資源簡介

第71講 面積問題
知識梳理
1、三角形的面積處理方法
（1）底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）
（2）水平寬·鉛錘高或
（3）在平面直角坐標系中，已知的頂點分別為，，，三角形的面積為．
2、三角形面積比處理方法
（1）對頂角模型
（2）等角、共角模型
3、四邊形面積處理方法
（1）對角線垂直
（2）一般四邊形
（3）分割兩個三角形
4、面積的最值問題或者取值范圍問題
一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉化為某個變量的一個函數，再求解函數的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數模型，利用二次函數、三角函數的有界性求最值或利用導數法求最值，構造函數求導等等），在算面積的過程中，優先選擇長度為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積，盡可能降低計算量．
必考題型全歸納
題型一：三角形的面積問題之底·高
例1．（2024·福建漳州·高三統考開學考試）已知橢圓的左焦點為，且過點.
(1)求C的方程；
(2)不過原點O的直線與C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數列.
（i）求的斜率；
（ii）求的面積的取值范圍.
【解析】（1）由題知，
橢圓C的右焦點為，且過點，
所以，所以.
又，所以，
所以C的方程為.
（2）（ⅰ）由題知，直線l的斜率存在，且不為0.
設，，，
則，所以，
所以，，
且，即.
因為直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數列.
所以，即，
所以，且.
因為，所以，所以.
（ii）由（ⅰ）知，，
所以，且.
設點O到直線PQ的距離為d，所以.
因為，所以，，
所以
，
又，且.所以
即的面積的取值范圍.
例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點在直線 上運動，過點與垂直的直線和的中垂線相交于點.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)設點是軌跡上的動點，點在軸上，圓內切于，求的面積的最小值.
【解析】（1）設點為軌跡上任意一點 ，由題意知，，
所以動點的軌跡是以為焦點 ，以 為準線的拋物線 ，
設其方程 為，所以，即，故拋物線方程為，
所以動點的軌跡的方程為.
（2）設 ， ，，且，
所以直線的方程為 ．
圓的圓心為 ，半徑為 ，
因為圓內切于△PRN ，所以直線與圓相切，
則圓心到直線的距離為 ，即，
則 ①，
因為，所以化簡①得， ②，
圓內切于△PRN ，所以直線與圓相切，
同理可得 ③，
由②③可知， 為方程的兩根，所以，
又，，，
所以 ，
故的面積為，
等號當且僅當，即等號成立，
此時點的坐標為 )或.
故當的坐標為或時，的面積取最小值.
例3．（2024·浙江·模擬預測）我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，已知曲線C上任意一點滿足.
(1)化簡曲線的方程；
(2)已知圓（為坐標原點），直線經過點且與圓相切，過點A作直線的垂線，交于兩點，求面積的最小值.
【解析】（1），由得．
所以曲線的方程是；
（2）設，直線方程是，則直線方程為，即,
直線與已知圓相切，所以，則，
由得，，
由題意（∵），
，，∴或，
，
又原點到直線的距離為，
∴，
由或得，設，
，當且僅當時等號成立，
，當且僅當時等號成立，
∴時，，
∴，即時，．
變式1．（2024·河北秦皇島·校聯考二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.
【解析】（1）設點，點，則直線的方程為，
與漸近線聯立，得，解之得，
即直線與雙曲線的一條漸近線交點為，
又直線與雙曲線的一條漸近線的交點為，
所以，即，因此雙曲線方程為.
（2）
設，把代入，
得，
則 ，，
，
點到直線的距離，所以的面積為
，
令，所以，令，則，
因為，所以，由，得，由，
得，由，得，
即當時，等號成立，
此時滿足，所以面積的最小值為.
變式2．（2024·四川成都·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）設橢圓過點，且左焦點為.
(1)求橢圓的方程；
(2)內接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，求面積的最大值.
【解析】（1）令橢圓的半焦距為c，依題意，，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設點的坐標分別為，
顯然均不為零，依題意，令，有且，
又四點共線，從而，
即，，
于是，從而①，②，
又點在橢圓上，即③，④，
①+②并結合③，④得，即動點總在定直線上，因此直線方程為，
由消去y得，，
設，則，
于是，設，
則點到直線的距離，其中銳角由確定，
因此，當且僅當時取等號，
所以的面積最大值為.
題型二：三角形的面積問題之分割法
例4．（2024·全國·高三專題練習）設動點M與定點的距離和M到定直線l：的距離的比是．
(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；
(2)當時，記動點M的軌跡為，動直線m與拋物線：相切，且與曲線交于點A，B．求面積的最大值．
【解析】（1）設，則，
化簡得，，
當時，，軌跡為一條直線；
當時，，此時軌跡為焦點在軸上的橢圓；
當時，，此時軌跡為焦點在軸上的雙曲線；
綜上：當時，軌跡方程為，軌跡為一條直線，
當時，軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的橢圓；
當時，軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的雙曲線；
（2）當時，，
當直線斜率不存在時，又與相切，故此時直線，此時三點共線，不合要求，舍去，
設直線，聯立得，
由得，顯然，
聯立得，，
由，結合，解得，
設，
則，
設直線與軸交于點，則，
則
，
將代入得，
因為，令，則，
，
設，則設，則
，，
當時，，當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，
故最大值為.
例5．（2024·四川成都·高三校聯考階段練習）已知橢圓的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率，且過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓交于兩點，且直線的傾斜角互補，點，求三角形面積的最大值．
【解析】（1），
設橢圓的標準方程為，即，
過點，
橢圓的標準方程為；
（2）由題意可知直線的斜率存在，且不過點，
設直線的方程為，，
由消去整理得，
，，
，
，
，
，
將，代入整理得，
，
又因為，
解得：，
三角形的面積，
令，
導函數，
當，，
當，，
增區間為，減區間為，
當時，三角形的面積取得最大值，最大值為18．
例6．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）已知雙曲線的離心率為2，右焦點到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點為雙曲線右支上一動點，過點與雙曲線相切的直線，直線與雙曲線的漸近線分別交于M，N兩點，求的面積的最小值．
【解析】（1）由已知得漸近線方程為，右焦點，
∴，
又∵，所以，解得，
又因為離心率，解得，，
∴雙曲線的標準方程為；
（2）解法1：的漸近線方程為，
當直線的斜率不存在時，此時，直線方程為，代入漸近線方程，
得到，故，又，
故的面積；
當直線的斜率存在時，設其方程為，直線與雙曲線聯立得
，
因為相切，所以，解得，
另設，，
聯立，
∴，，
，
，
在中，，，
∴，
所以，
所以，
因為，所以，
綜上所述，，其最小值為；
解法2：由條件知，若直線的斜率存在，則斜率不為零，
故可設，直線與雙曲線聯立得，
，
因為相切，所以，即，
又因為直線與雙曲線的漸近線交于兩點，設為，，
聯立，
由于，所以，
則,
由直線的方程得，直線與軸的交點坐標為，
∴
，
∵，
∴即，且，
∴時，的最小值為，
綜上所述，，其最小值為.
變式3．（2024·廣東廣州·高三中山大學附屬中學校考階段練習）過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的弦，.，的中點分別為，.
(1)證明：直線過定點；
(2)若，的斜率均存在，求面積的最大值.
【解析】（1）由題可知.
若直線，有一條斜率不存在，則另一條斜率為0，其中點分別為直線與軸的交點、原點，過此兩點的直線方程為.
若直線，的斜率存在，設直線的斜率為，則直線的斜率為，
由題，可設直線的方程為，直線的方程為.
聯立，消元，整理得，
因為直線所過定點在橢圓內部，則該直線與橢圓必然有兩交點，
設，，則，，
從而，，即；
用替換點坐標中得.
若，解得，此時，
當時，則，
則直線的方程為，
整理得，即直線過定點，
而直線的斜率不存在時也過定點，直線也滿足過定點，
綜上，直線過定點.
（2）因為，的斜率均存在，則，由（1）可得
令，則，當且僅當，即時取等號.
從而在上單調遞增，
當，即時取得最小值.
所以，即當時，取得最大值為.
題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標化
例7．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，若點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.
（1）求四邊形的面積；
（2）若對于更一般的雙曲線，點為雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.
【解析】（1）因為雙曲線，由雙曲線的定義可得，
又因為，，，
因為，所以，，軸，
點的橫坐標為，所以，，，可得，即點，
過點且與漸近線平行的直線的方程為，
聯立，解得，即點，
直線的方程為，點到直線的距離為，
且，因此，四邊形的面積為；
（2）四邊形的面積為定值，理由如下：
設點，雙曲線的漸近線方程為，
則直線的方程為，
聯立，解得，即點，
直線的方程為，即，
點到直線的距離為
，且，
因此，（定值）.
例8．（2024·浙江·高三競賽）已知直線與橢圓：交于、兩點，直線不經過原點.
（1）求面積的最大值；
（2）設為線段的中點，延長交橢圓于點，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.
【解析】解法一 當直線的斜率不存在時，由對稱性，設直線方程為，則，
，
當且僅當時取等號.
設直線：，，，聯立方程，消去得：
，
判別式，則，于是
.
原點到的距離，所以
，
當且僅當時取等號.
（2）不妨設，根據垂徑定理得：，則的方程為.
將的方程代入橢圓方程，消去得.注意、在直線的兩側，所以
，.
又點在直線上，所以，化簡得：，則
.
解法二 （1）設，則，.
設原點到直線的距離為，則
.
（2）要四邊形為平行四邊形，則四邊形為菱形，由（1）知
.
解法三 （1）設，，則
，
當且僅當，時取等號.
（2），則，
即，移項整理得，則，
故.
例9．（2024·全國·高三專題練習）分別是橢圓于的左、右焦點.
(1)若Р是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；
(2)設是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.求四邊形AEBF面積的最大值.
【解析】(1)由題意可知，，
，，設，
，，
由橢圓的性質可知，
，
，故，即.
(2)設，，聯立消去整理可得，
，，
，，
直線的方程為：，
根據點到直線的距離公式可知，點，到直線的距離分別為
，
，
，
，
四邊形的面積為
，當且僅當即時，上式取等號，
所以的最大值為.
變式4．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點（其中點在第一象限），過點作的切線交軸于點，直線交于另一點，直線交軸于點.
(1)求證：；
(2)記，，的面積分別為，，，當點的橫坐標大于2時，求的最小值及此時點的坐標.
【解析】（1）設點，則.因為點在第一象限，
可設函數，則，所以，
所以直線方程為，令，則，即點.
設直線，與聯立得，所以，同理.
因為，，所以，則，
設直線，與聯立得，
又因為直線與拋物線交于兩點，所以.
因為點，所以，代入拋物線，
又因為在第四象限，可知.
因為，，
所以，
即，原命題得證.
（2）由（1）知，所以，得，即.
所以，
另由（1）知，，，
所以，即；
，，
設函數，，
則.
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
所以當時，取得最小值為，此時點的坐標為.
變式5．（2024·上海浦東新·高三上海市進才中學校考階段練習）設橢圓：的一個頂點為，離心率為，為橢圓的右焦點．
(1)求橢圓的方程；
(2)設過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若滿足，求的值；
(3)過點的直線與橢圓交于，兩點，過點，分別作直線：的垂線（點，在直線的兩側）．垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數，使得，，總成等比數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因為橢圓：的一個頂點為，離心率為，
所以有，，則，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）因為為橢圓的右焦點，所以，
過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，
所以設直線方程為，，，
則，則，
，，，
，，
因為滿足，所以，
即，
即，
則有，
整理得，
解得（舍），.
（3）
由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x軸的同側，
設直線BC的方程為，，，不妨設，
則，，
由得，
所以，，，
因為，，，
所以
，
，
要使，，總成等比數列，則應有解得，
所以存在，使得，，總成等比數列.
變式6．（2024·福建泉州·泉州七中校考模擬預測）已知圓，點，圓周上任一點P，若線段PG的垂直平分線和CP相交于點Q，點Q的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過點的動直線與橢圓相交于兩點，直線的方程為.過點作于點，過點作于點.記的面積分別為，，.問是否存在實數，使得成立？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）圓的圓心，半徑，
因為線段PG的垂直平分線和CP相交于點Q，所以，又，
所以，
所以點Q的軌跡是以，為焦點的橢圓，
這里，，所以，，則，
所以曲線的方程為.
（2）設直線的方程為，
設，，則，，
聯立，消去并整理得，
恒成立，
，，
所以
，
，
同理得，
所以
，
所以，所以，
所以，所以存在實數，使得成立.
變式7．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學校考開學考試）設拋物線：的焦點為，經過軸正半軸上點的直線交于不同的兩點和.
(1)若，求點的坐標；
(2)若，求證：原點總在以線段為直徑的圓的內部；
(3)若，且直線，與有且只有一個公共點，問：的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出點的坐標；若不存在，請說明理由.（三角形面積公式：在中，設，，則的面積為
【解析】（1）設，因為，又，得到，
將代入，得到，
所以點的坐標為或.
（2）設，直線，
由，消得到，由韋達定理知，，所以，
又，由，
故為鈍角，原點總在以線段為直徑的圓的內部.
（3）設，由，得到，
又，得到或，即或（舍），
故，所以直線的斜率，
由題可設的方程為，由，消得到，
由題知，，得到，代入，得到，所以，
設，則，，即，
所以，
故的面積為，
當且僅當時取等號，
由，得，所以最小值為2， 點的坐標為.
變式8．（2024·四川眉山·高三校考階段練習）在中，已知點，，邊上的中線長與邊上的中線長之和為6；記的重心的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)若圓：，，過坐標原點且與軸不重合的任意直線與圓相交于點，，直線，與曲線的另一個交點分別是點，，求面積的最大值.
【解析】（1）設的中點為，的中點為，
所以，，
所以，
所以，
所以點的軌跡是以為焦點，長軸長，的橢圓.
所以，所以，，
所以曲線的方程為.
（2）設直線為（不妨設），設，，
所以，
，
，解得（舍去），則，
由于是單位圓的直徑，所以，
所以直線的斜率為，直線的方程為，
同理可求得，則，
由上述分析可知，而，
所以
，
所以，
令，當且僅當時等號成立，
則，
函數在上單調遞增，
所以當時，取得最小值為.
題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型
例10．（2024·河北·統考模擬預測）已知拋物線，過點的直線與交于兩點，當直線與軸垂直時，（其中為坐標原點）.
(1)求的準線方程；
(2)若點在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點作的切線與軸交于點，連接交于另一點為，直線與軸交于點，求與面積之比的最大值.
【解析】（1）將代入，則，
由，故為等腰直角三角形，故，即，
所以，故準線方程為.
（2）設，直線，聯立拋物線得，
所以，則，故，
由，則，故，直線，
令，則，故，
設直線，聯立拋物線得，
所以，則，故，
綜上，直線，令，則，故，
由直線的傾斜角為銳角，故，則，，
所以，令，則，
則，僅當，即時等號成立，
所以與面積之比的最大值.
例11．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學校考階段練習）已知橢圓，且過兩點．
(1)求橢圓E的方程和離心率e；
(2)若經過有兩條直線，它們的斜率互為倒數，與橢圓E交于A，B兩點，與橢圓E交于C，D兩點，P，Q分別是AB，CD的中點試探究：與的面積之比是否為定值？
若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由題意可得，解得，
則的方程；
（2）
由已知可得直線的斜率存在，且不為，也不為，
設直線，（且），聯立可得，
方程的判別式，
設，，，
則，.
所以，，
所以，
因為兩直線斜率互為倒數，則，
用代換點坐標中的得.
所以，
所以直線即
所以恒過定點，
設點、到直線的距離分別是，，
則.
與的面積之比是定值，定值為4.
例12．（2024·江蘇徐州·高三校考開學考試）設橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．
(1)求橢圓方程及其離心率；
(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【解析】（1）如圖，
由題意得，解得，所以，
所以橢圓的方程為，離心率為.
（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，
設直線的方程為，
聯立方程組，消去整理得：，
由韋達定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直線的方程為.
變式9．（2024·廣東深圳·深圳中學校考模擬預測）已知定點，關于原點對稱的動點，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線？
(2)已知點，是直線與曲線的兩個交點，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點），且直線與直線相交于點，求與面積的比值.
【解析】（1）設，.
由有，，
兩邊平方得，
化簡得，
即曲線的方程為或.
曲線是以點，為焦點，長軸長為的橢圓與軸組成的曲線.
（2）設直線與橢圓相交于，兩點，則，.
令，將代入并整理得，，，.
直線的方程為：.
設，則，
同理直線與直線相交于點，.
，其中.
從而，與重合.
因為，所以.
又，，則.
所以與面積的比值為1.
變式10．（2024·河北·高三校聯考階段練習）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點F的直線與拋物線C交于兩點，直線與圓E：的另一交點分別為為坐標原點，求與面積之比的最小值．
【解析】（1）依題意得，解得，所以拋物線方程為.
（2）拋物線的焦點為，直線與軸不重合，
設直線的方程為，
由消去并化簡得，，
設，則，
所以，
所以.
，由，而，
故解得.同理可求得.
，
同理，
所以
，
故當時，取得最小值為.
變式11．（2024·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．
(1)求的方程；
(2)若直線經過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【解析】（1）由題意得，即①．
當點為的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，
所以，即②．
聯立①②，得．
故的方程為．
（2）
與的面積之比為定值．
由（1）可得，
由題意設直線．
聯立得，
則，
，
所以．
直線的方程為，
令，得，即．
同理可得．
故與的面積之比為
，
即與的面積之比為定值．
變式12．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）已知，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線，與，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，.
（i）求的面積與的面積之比；
（ⅱ）證明：為定值.
【解析】（1）∵、是橢圓，的兩個頂點，且，
直線的斜率為，由，，得，
又，
解得，，
∴橢圓的方程為；
（2）
設直線的方程為，則，，
聯立方程消去，
整理得，，得
設，，∴，.
（i），，
∴，
∴的面積與的面積之比為1；
（ii）證明：
綜上，.
題型五：三角形的面積比問題之對頂角模型
例13．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且經過點．

(1)求橢圓方程；
(2)直線與橢圓交于點為的右焦點，直線分別交于另一點、，記與的面積分別為，求的范圍．
【解析】（1）由離心率為，且經過點可得，又，
解得，所以橢圓；
（2）設，則，，
令，，
可得，
代入，得，
又，得，
設，，
可得，
代入，得，
又，得，
∵，∴，
∵，，∴．
例14．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，點B與點關于原點O對稱，P是動點，且直線與的斜率之積等于．
(1)求動點P的軌跡方程；
(2)設直線和分別與直線交于點M，N,問：是否存在點P使得與的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
【解析】（1）因為點B與點關于原點O對稱，所以點B的坐標為.
設點P的坐標為，則由直線與的斜率之積等于，得，
化簡得，故動點P的軌跡方程為.
（2）若存在點P使得與的面積相等，
設點P的坐標為，則，
因為，所以，即.
作直線，作于，于，則，
所以，同理，所以可得，
整理得，解得；
因為，所以.
故存在點P使得與的面積相等，此時點P的坐標為.
例15．（2024·重慶·高三重慶一中校考階段練習）已知O為坐標原點，拋物線的方程為，F是拋物線的焦點，橢圓的方程為，過F的直線l與拋物線交于M，N兩點，反向延長，分別與橢圓交于P，Q兩點．

(1)求的值；
(2)若恒成立，求橢圓的方程；
(3)在（2）的條件下，若的最小值為1，求拋物線的方程（其中，分別是和的面積）．
【解析】（1）設直線OM的斜率為，直線ON的斜率為，
由題可知，直線MN的斜率不為0，設，
設直線，
則由，可得，
易知，且，
則；
（2）設，
由題可知，，其中，
聯立方程，同理，
因為：
．
因為為定值，所以上式與無關，
所以當，即時，此時，所以，
所以橢圓的方程為．
（3）因為，
由（2）可知，當時，
，
故，當且僅當時，等號成立，
此時拋物線方程為.
變式13．（2024·四川·校聯考一模）已知點在橢圓上，點在橢圓C內．設點以為的短軸的上、下端點，直線分別與橢圓C相交于點，且的斜率之積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)記，分別為，的面積，若，求的取值范圍．
【解析】（1）設，依題意知，，
則，整理有：．
因為橢圓C過點，所以，所以橢圓的方程為．
（2）由橢圓，可得，，
可得，代入橢圓，整理得，
解得，則，所以，
又由，代入橢圓，整理有，
解得，則，所以，
所以，
，
于是
，
因為，所以，所以，
故的范圍為．
變式14．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學考試）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內.設點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F，且EA，EB的斜率之積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.
【解析】（1）設，依題意，，
可得，整理可得，
又橢圓C過點，所以，故橢圓C的方程為；
（2）依題意，可知AM：，代入橢圓方程，
整理得，從而得到，
又BM：，代入橢圓方程，
整理得，從而得到，
所以，
，
則
,
由于，所以，解得.
變式15．（2024·四川南充·四川省南充高級中學校考三模）已知橢圓的左、右焦點為，離心率為.點是橢圓上不同于頂點的任意一點，射線分別與橢圓交于點，的周長為8.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設，，的面積分別為.求證：為定值.
【解析】（1）因為的周長為，即
所以，可得，
由橢圓的離心率，可得，從而，
所以橢圓的標準方程為．
（2）證明：設，則，
可設直線PA的方程為，其中，
聯立方程，整理得，
則，
同理可得，．
因為，
所以
所以是定值．
題型六：四邊形的面積問題之對角線垂直模型
例16．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）設雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．
(1)求E的方程；
(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．
【解析】（1）由題意，得的漸近線方程為，
因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，
又因為，所以，則，
故的方程為．
（2）根據題意，直線，的斜率都存在且不為0，
設直線，，其中，
因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，
將的方程與聯立，可得，
設，則，，
所以
，
用替換，可得，
所以．
令，所以，
則，
當，即時，等號成立，
故四邊形面積的最小值為．
例17．（2024·山西朔州·高三校聯考開學考試）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設經過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.
【解析】（1）設，由，有.
又由，有（O為坐標原點），可得，，
可得橢圓E的方程為，
代入點N的坐標，有，解得，，
故橢圓E的標準方程為；
（2）①當直線AB的斜率不存在或為0時，為長軸長或，
不妨設，，
故；
②當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線AB：，，，
聯立方程，消去y得，
則，，
所以
，
同理可得，
所以，
因為，
當且僅當，即時等號成立，
所以，而，
綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.
例18．（2024·江西·高三統考階段練習）已知直線與拋物線交于兩點，.
(1)求；
(2)設拋物線的焦點為，過點且與垂直的直線與拋物線交于，求四邊形的面積.
【解析】（1）設，
由，可得，
易得，所以，
則，
即，因為，所以.
（2）由題意可得拋物線的焦點為，直線的方程為.
聯立，化簡可得，則，
設，則，
則，
因為，所以.
題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形
例19．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.
（i）證明：點B在以為直徑的圓內；
（ii）求四邊形面積的最大值.
【解析】（1）依題意將和兩點代入橢圓可得
，解得；
所以橢圓方程為
（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設，；
根據題意可知直線斜率均存在，且；
所以直線的方程為，的方程為；
聯立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達定理可得，解得，則；
聯立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達定理可得，解得，則；
則，；
所以；
即可知為鈍角，
所以點B在以為直徑的圓內；
（ii）易知四邊形的面積為，
設，則，當且僅當時等號成立；
由對勾函數性質可知在上單調遞增，
所以，可得，
由對稱性可知，即當點的坐標為或時，
四邊形的面積最大，最大值為6.
例20．（2024·新疆伊犁·高三校考階段練習）已知橢圓C：經過點，O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積.
【解析】（1）由題意可設：直線l，，則，
可得：直線l的斜率，直線OM的斜率，
因為A，B兩點在橢圓C上，則，
兩式相減得整理得，即，
所以，可得，
又因為點在橢圓C上，則，解得，
所以橢圓C的標準方程為.
（2）因為四邊形OAPB為平行四邊形，則M為的中點，可得，
則，可得直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即，
可得點到直線l的距離，
由（1）可知：橢圓C的標準方程為，即，
聯立方程，消去y得，
可得，且，
則，
所以四邊形OAPB的面積.
例21．（2024·上海黃浦·高三格致中學校考開學考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作.已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求“共軛點對”中點所在直線的方程；
(3)設為坐標原點，點在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點，且點的縱坐標大于0，設四點在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.
【解析】（1）依題意，橢圓的另一焦點為，
因此 ，
于是，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設“共軛點對”中點B的坐標為，由（1）知，點在橢圓C：上，
依題意，直線l的方程為，整理得，
所以直線的方程為.
（3）由（2）知，直線：，由，解得或，則，，
設點，，則，兩式相減得，
又，于是，則，有，線段PQ被直線l平分，
設點到直線的距離為d，則四邊形的面積，
而，則有，
設過點P且與直線l平行的直線的方程為，則當與C相切時，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
當時，此時方程為，即，解得，
則此時點P或點Q必有一個和點重合，不符合條件，從而直線與C不可能相切，
即d小于平行直線和（或）的距離，
所以.
變式16．（2024·四川成都·高三石室中學校考開學考試）已知橢圓：（）左、右焦點分別為，，且為拋物線的焦點， 為橢圓上一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，為橢圓上不同兩點，且都在軸上方，滿足.
（ⅰ）若，求直線的斜率；
（ⅱ）若直線與拋物線無交點，求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）依題意得，則，，而，
于是，
從而. 又，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）如圖，設直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，
由，故，由橢圓對稱性，，且四邊形為平行四邊形.
（ⅰ）由題意直線的斜率不為0，設直線：，
由，消去整理得，
設，，則，，
由（*）帶入上式，解得：，
故，由于，，所以，
所以，故的斜率為1.
（ⅱ）由，消去整理得，由得.
所以，
與間的距離（即點到的距離），
故，
令，函數在區間上單調遞增，
所以，
則，
所以四邊形的面積的取值范圍為.
變式17．（2024·湖北·高三孝感高中校聯考開學考試）已知橢圓的離心率，且經過點.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設直線與橢圓E交于A，B兩點，且橢圓E上存在點M，使得四邊形為平行四邊形.試探究：四邊形OAMB的面積是否為定值？若是定值，求出四邊形的面積；若不是定值，請說明理由.
【解析】（1）由已知可得：，，
可得：，，橢圓E的方程為.
（2）四邊形OAMB的面積為定值，理由如下：
將代入可得：，
設，則，，
且，
由于四邊形OAMB為平行四邊形，則，
則點，代入橢圓E的方程，化簡可得：，
此時恒成立，
由于點O到直線AB的距離為，
而，
又由，可得，
從而，
又.
所以四邊形OAMB的面積為定值.
變式18．（2024·浙江·高三浙江省普陀中學校聯考開學考試）類似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質：不過橢圓中心的一條弦的中點為，當，斜率均存在時，，利用這一結論解決如下問題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，且，其中為坐標原點.
(1)求點的軌跡方程；
(2)過點作直線交橢圓于，兩點，使，求四邊形的面積.
【解析】（1）設，因為，
，代入橢圓得：，
點的軌跡方程為：.
（2）
設，由（1）則，
①當直線不與坐標軸重合時，由，知為中點，
，
直線：，
代入橢圓：的方程得：
即：，設，，
由根與系數關系，
，
設表示點到直線的距離，表示點到直線的距離，
；
它法：利用比例關系轉化：，酌情給分.
②當直線與坐標軸重合時，
不妨取，，，
或，，，
綜上所述：四邊形的面積是.
變式19．（2024·浙江·高三舟山中學校聯考開學考試）已知拋物線：與圓：相交于，，，四個點．

(1)當時，求四邊形的面積；
(2)四邊形的對角線交點是否可能為，若可能，求出此時的值，若不可能，請說明理由；
(3)當四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值．
【解析】（1）將代入，并化簡得，解得或，
代入拋物線方程可得
，，，
；
（2）聯立拋物線與圓的方程有，可得．
不妨設與的四個交點的坐標為，，，．
直線的方程為，
由對稱性，對角線交點肯定在軸上，令，
解得交點坐標為．若交點為點，則，則，不可能．
（3）聯立拋物線與圓的方程有，可得．
由于四邊形為等腰梯形，因而其面積
則，
設，則，
將，代入上式，并令，
得
求導數，
令，解得：，（舍去）．
當時，；此時單調遞增，
當時，；當時，．此時單調遞減，
故當且僅當時，取得最大值，即此時四邊形的面積最大，
此時．
變式20．（2024·四川成都·校聯考模擬預測）已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．
(1)求實數a和b的值；
(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點P．且點P在橢圓上，試探究梯形的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由題意知，，且，
解得，．
（2）梯形的面積是定值，該定值為．
理由如下：
由（1）知：，：,
設，，，則，
因為，，所以A，B分別為PD，PC的中點，
則，，則，
作差可得，．
因為，即，所以．
同理可得，，所以C，D都在直線上，
即直線CD的方程為．
聯立，可得，，
則，
即．
又因為點P到直線CD的距離，
所以的面積為．
又因為∽，，所以，
所以梯形ABCD的面積為．
變式21．（2024·廣東佛山·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，，，為線段上異于的一動點，點滿足.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)點是曲線上兩點，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值.
【解析】（1），，，
，
點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，
設橢圓方程為，則，，，
點的軌跡的方程為：.
（2）連接，延長交橢圓于點，連接，
由橢圓對稱性可知：，又，四邊形為平行四邊形，
，，且三點共線
四邊形的面積，
設直線，，
由得：，
，，
，
又，點到直線的距離即為點到直線的距離，
點到直線的距離，，
設，則，，，
又，當，即時，四邊形面積取得最大值，最大值為.
變式22．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習）已知為坐標原點，，是橢圓的兩個焦點，斜率為的直線與交于，兩點，線段的中點坐標為，直線過原點且與交于，兩點，橢圓過的切線為，的中點為.
(1)求橢圓的方程.
(2)過作直線的平行線與橢圓交于，兩點，在直線上取一點使，求證：四邊形是平行四邊形.
(3)判斷四邊形的面積是否為定值，若是定值請求出面積，若不是，請說明理由.
【解析】（1）由題知，設橢圓方程為，
設：，，則，
聯立得，
因為線段的中點坐標為，
所以，
，
所以，再代入得，
又，
所以，
所以橢圓的方程為.
（2）設，
則，因的中點為，所以，
根據已知，過點的切線方程斜率為，
又，知，
所以：，
即，，
聯立得，
所以，
，
可得，
即是的中點，
又，知是的中點，
所以四邊形是平行四邊形.
（3）由（2）知，，，
，
：，即，
設點到直線的距離為，
所以
，
，
所以，
所以四邊形的面積為.
即四邊形的面積是定值，且為.
變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線：與圓：相交于四個點．

(1)當時，求四邊形面積；
(2)當四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值．
【解析】（1）將代入，并化簡得，解得或，代入拋物線方程可得.
故；
（2）不妨設與的四個交點的坐標為．
則直線的方程分別為 ，，兩方程相加可得，故，解得點的坐標為．
聯立拋物線與圓的方程有，即，可得.
設，則，由（1）知由于四邊形為等腰梯形，因而其面積
則將代入上式，并令，得．
求導數， 令 ，解得：（舍去）．
當時，；當時，；當時，.
故當且僅當時，此時．
變式24．（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知橢圓的離心率為，拋物線的準線與相交，所得弦長為.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分別以為切點，作的切線相交于點，點恰好在上，直線分別交軸于兩點.求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）由題知過點，則，解得，
.
（2）設直線的方程為，
聯立，得，
，
則，而，則，
故以為切點的切線為，即，
同理以為切點的切線為，則，
由，故兩式作差得：，所以，
兩式求和得：，
所以點由在橢圓上，即.
點到直線的距離，
所以，，
，
而、在上遞增且恒正，
則在上遞增，.
變式25．（2024·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若動直線：與橢圓交于兩點，且在坐標平面內存在兩個定點，使得（定值），其中分別是直線的斜率，分別是直線的斜率．
①求的值；
②求四邊形面積的最大值．
【解析】（1）由題意得，
解得，
則橢圓的標準方程為.
（2）①設，
把與橢圓的標準方程聯立，
消去，可得，
注意到為方程的兩根，
故有恒等式，
則，
同理，把與橢圓的標準方程聯立，
消去，可得，
注意到為方程的兩根，
故有恒等式，
則，
則，
所以，
若為定值，則必有，
計算可得或，
故．
②不妨設點，點，點，點到直線的距離分別是，
因為，，，
所以，
四邊形面積
（當時取等號），
所以四邊形面積的最大值是
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第71講 面積問題
知識梳理
1、三角形的面積處理方法
（1）底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）
（2）水平寬·鉛錘高或
（3）在平面直角坐標系中，已知的頂點分別為，，，三角形的面積為．
2、三角形面積比處理方法
（1）對頂角模型
（2）等角、共角模型
3、四邊形面積處理方法
（1）對角線垂直
（2）一般四邊形
（3）分割兩個三角形
4、面積的最值問題或者取值范圍問題
一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉化為某個變量的一個函數，再求解函數的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數模型，利用二次函數、三角函數的有界性求最值或利用導數法求最值，構造函數求導等等），在算面積的過程中，優先選擇長度為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積，盡可能降低計算量．
必考題型全歸納
題型一：三角形的面積問題之底·高
例1．（2024·福建漳州·高三統考開學考試）已知橢圓的左焦點為，且過點.
(1)求C的方程；
(2)不過原點O的直線與C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數列.
（i）求的斜率；
（ii）求的面積的取值范圍.
例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點在直線 上運動，過點與垂直的直線和的中垂線相交于點.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)設點是軌跡上的動點，點在軸上，圓內切于，求的面積的最小值.
例3．（2024·浙江·模擬預測）我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，已知曲線C上任意一點滿足.
(1)化簡曲線的方程；
(2)已知圓（為坐標原點），直線經過點且與圓相切，過點A作直線的垂線，交于兩點，求面積的最小值.
變式1．（2024·河北秦皇島·校聯考二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.
變式2．（2024·四川成都·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）設橢圓過點，且左焦點為.
(1)求橢圓的方程；
(2)內接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，求面積的最大值.
題型二：三角形的面積問題之分割法
例4．（2024·全國·高三專題練習）設動點M與定點的距離和M到定直線l：的距離的比是．
(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；
(2)當時，記動點M的軌跡為，動直線m與拋物線：相切，且與曲線交于點A，B．求面積的最大值．
例5．（2024·四川成都·高三校聯考階段練習）已知橢圓的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率，且過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓交于兩點，且直線的傾斜角互補，點，求三角形面積的最大值．
例6．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）已知雙曲線的離心率為2，右焦點到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點為雙曲線右支上一動點，過點與雙曲線相切的直線，直線與雙曲線的漸近線分別交于M，N兩點，求的面積的最小值．
變式3．（2024·廣東廣州·高三中山大學附屬中學校考階段練習）過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的弦，.，的中點分別為，.
(1)證明：直線過定點；
(2)若，的斜率均存在，求面積的最大值.
題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標化
例7．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，若點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.
（1）求四邊形的面積；
（2）若對于更一般的雙曲線，點為雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.
例8．（2024·浙江·高三競賽）已知直線與橢圓：交于、兩點，直線不經過原點.
（1）求面積的最大值；
（2）設為線段的中點，延長交橢圓于點，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.
例9．（2024·全國·高三專題練習）分別是橢圓于的左、右焦點.
(1)若Р是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；
(2)設是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.求四邊形AEBF面積的最大值.
變式4．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點（其中點在第一象限），過點作的切線交軸于點，直線交于另一點，直線交軸于點.
(1)求證：；
(2)記，，的面積分別為，，，當點的橫坐標大于2時，求的最小值及此時點的坐標.
變式5．（2024·上海浦東新·高三上海市進才中學校考階段練習）設橢圓：的一個頂點為，離心率為，為橢圓的右焦點．
(1)求橢圓的方程；
(2)設過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若滿足，求的值；
(3)過點的直線與橢圓交于，兩點，過點，分別作直線：的垂線（點，在直線的兩側）．垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數，使得，，總成等比數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
變式6．（2024·福建泉州·泉州七中校考模擬預測）已知圓，點，圓周上任一點P，若線段PG的垂直平分線和CP相交于點Q，點Q的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過點的動直線與橢圓相交于兩點，直線的方程為.過點作于點，過點作于點.記的面積分別為，，.問是否存在實數，使得成立？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
變式7．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學校考開學考試）設拋物線：的焦點為，經過軸正半軸上點的直線交于不同的兩點和.
(1)若，求點的坐標；
(2)若，求證：原點總在以線段為直徑的圓的內部；
(3)若，且直線，與有且只有一個公共點，問：的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出點的坐標；若不存在，請說明理由.（三角形面積公式：在中，設，，則的面積為
變式8．（2024·四川眉山·高三校考階段練習）在中，已知點，，邊上的中線長與邊上的中線長之和為6；記的重心的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)若圓：，，過坐標原點且與軸不重合的任意直線與圓相交于點，，直線，與曲線的另一個交點分別是點，，求面積的最大值.
題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型
例10．（2024·河北·統考模擬預測）已知拋物線，過點的直線與交于兩點，當直線與軸垂直時，（其中為坐標原點）.
(1)求的準線方程；
(2)若點在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點作的切線與軸交于點，連接交于另一點為，直線與軸交于點，求與面積之比的最大值.
例11．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學校考階段練習）已知橢圓，且過兩點．
(1)求橢圓E的方程和離心率e；
(2)若經過有兩條直線，它們的斜率互為倒數，與橢圓E交于A，B兩點，與橢圓E交于C，D兩點，P，Q分別是AB，CD的中點試探究：與的面積之比是否為定值？
若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．
例12．（2024·江蘇徐州·高三校考開學考試）設橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．
(1)求橢圓方程及其離心率；
(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
變式9．（2024·廣東深圳·深圳中學校考模擬預測）已知定點，關于原點對稱的動點，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線？
(2)已知點，是直線與曲線的兩個交點，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點），且直線與直線相交于點，求與面積的比值.
變式10．（2024·河北·高三校聯考階段練習）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點F的直線與拋物線C交于兩點，直線與圓E：的另一交點分別為為坐標原點，求與面積之比的最小值．
變式11．（2024·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．
(1)求的方程；
(2)若直線經過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
變式12．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）已知，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線，與，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，.
（i）求的面積與的面積之比；
（ⅱ）證明：為定值.
題型五：三角形的面積比問題之對頂角模型
例13．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且經過點．

(1)求橢圓方程；
(2)直線與橢圓交于點為的右焦點，直線分別交于另一點、，記與的面積分別為，求的范圍．
例14．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，點B與點關于原點O對稱，P是動點，且直線與的斜率之積等于．
(1)求動點P的軌跡方程；
(2)設直線和分別與直線交于點M，N,問：是否存在點P使得與的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
例15．（2024·重慶·高三重慶一中校考階段練習）已知O為坐標原點，拋物線的方程為，F是拋物線的焦點，橢圓的方程為，過F的直線l與拋物線交于M，N兩點，反向延長，分別與橢圓交于P，Q兩點．

(1)求的值；
(2)若恒成立，求橢圓的方程；
(3)在（2）的條件下，若的最小值為1，求拋物線的方程（其中，分別是和的面積）．
變式13．（2024·四川·校聯考一模）已知點在橢圓上，點在橢圓C內．設點以為的短軸的上、下端點，直線分別與橢圓C相交于點，且的斜率之積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)記，分別為，的面積，若，求的取值范圍．
變式14．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學考試）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內.設點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F，且EA，EB的斜率之積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.
變式15．（2024·四川南充·四川省南充高級中學校考三模）已知橢圓的左、右焦點為，離心率為.點是橢圓上不同于頂點的任意一點，射線分別與橢圓交于點，的周長為8.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設，，的面積分別為.求證：為定值.
題型六：四邊形的面積問題之對角線垂直模型
例16．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）設雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．
(1)求E的方程；
(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．
例17．（2024·山西朔州·高三校聯考開學考試）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設經過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.
例18．（2024·江西·高三統考階段練習）已知直線與拋物線交于兩點，.
(1)求；
(2)設拋物線的焦點為，過點且與垂直的直線與拋物線交于，求四邊形的面積.
題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形
例19．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.
（i）證明：點B在以為直徑的圓內；
（ii）求四邊形面積的最大值.
例20．（2024·新疆伊犁·高三校考階段練習）已知橢圓C：經過點，O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積.
例21．（2024·上海黃浦·高三格致中學校考開學考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作.已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求“共軛點對”中點所在直線的方程；
(3)設為坐標原點，點在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點，且點的縱坐標大于0，設四點在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.
變式16．（2024·四川成都·高三石室中學校考開學考試）已知橢圓：（）左、右焦點分別為，，且為拋物線的焦點， 為橢圓上一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，為橢圓上不同兩點，且都在軸上方，滿足.
（ⅰ）若，求直線的斜率；
（ⅱ）若直線與拋物線無交點，求四邊形面積的取值范圍.
變式17．（2024·湖北·高三孝感高中校聯考開學考試）已知橢圓的離心率，且經過點.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設直線與橢圓E交于A，B兩點，且橢圓E上存在點M，使得四邊形為平行四邊形.試探究：四邊形OAMB的面積是否為定值？若是定值，求出四邊形的面積；若不是定值，請說明理由.
變式18．（2024·浙江·高三浙江省普陀中學校聯考開學考試）類似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質：不過橢圓中心的一條弦的中點為，當，斜率均存在時，，利用這一結論解決如下問題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，且，其中為坐標原點.
(1)求點的軌跡方程；
(2)過點作直線交橢圓于，兩點，使，求四邊形的面積.
變式19．（2024·浙江·高三舟山中學校聯考開學考試）已知拋物線：與圓：相交于，，，四個點．

(1)當時，求四邊形的面積；
(2)四邊形的對角線交點是否可能為，若可能，求出此時的值，若不可能，請說明理由；
(3)當四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值．
變式20．（2024·四川成都·校聯考模擬預測）已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．
(1)求實數a和b的值；
(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點P．且點P在橢圓上，試探究梯形的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
變式21．（2024·廣東佛山·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，，，為線段上異于的一動點，點滿足.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)點是曲線上兩點，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值.
變式22．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習）已知為坐標原點，，是橢圓的兩個焦點，斜率為的直線與交于，兩點，線段的中點坐標為，直線過原點且與交于，兩點，橢圓過的切線為，的中點為.
(1)求橢圓的方程.
(2)過作直線的平行線與橢圓交于，兩點，在直線上取一點使，求證：四邊形是平行四邊形.
(3)判斷四邊形的面積是否為定值，若是定值請求出面積，若不是，請說明理由.
變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線：與圓：相交于四個點．

(1)當時，求四邊形面積；
(2)當四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值．
變式24．（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知橢圓的離心率為，拋物線的準線與相交，所得弦長為.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分別以為切點，作的切線相交于點，點恰好在上，直線分別交軸于兩點.求四邊形面積的取值范圍.
變式25．（2024·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若動直線：與橢圓交于兩點，且在坐標平面內存在兩個定點，使得（定值），其中分別是直線的斜率，分別是直線的斜率．
①求的值；
②求四邊形面積的最大值
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