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第73講 斜率題型全歸納
知識梳理
1、已知是橢圓上的定點，直線（不過點）與橢圓交于，兩點，且，則直線斜率為定值．
2、已知是雙曲線上的定點，直線（不過點）與雙曲線交于，兩點，且，直線斜率為定值．
3、已知是拋物線上的定點，直線（不過點）與拋物線交于，兩點，若，則直線斜率為定值．
4、為橢圓上一定點，過點作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于兩點．
（1）若，則直線過定點；
（2）若，則直線過定點．
5、設是直角坐標平面內不同于原點的一定點，過作兩條直線，交橢圓于、、、，直線，的斜率分別為，，弦，的中點記為，．
（1）若，則直線過定點；
（2）若，則直線過定點．
6、過拋物線上任一點引兩條弦，，直線，斜率存在，分別記為，即，則直線經過定點．
必考題型全歸納
題型一：斜率和問題
例1．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知點，，是異于A，的動點，，分別是直線，的斜率，且滿足.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)在線段上是否存在定點，使得過點的直線交的軌跡于，兩點，且對直線上任意一點，都有直線，，的斜率成等差數列.若存在，求出定點，若不存在，請說明理由.
例2．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯考開學考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點.
(1)已知為拋物線的焦點，若的中點坐標為，求；
(2)設為坐標原點，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.
例3．（2024·廣東廣州·高三廣州市真光中學校考階段練習）已知雙曲線，漸近線方程為，點在上；

(1)求雙曲線的方程；
(2)過點的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點（不與點重合），且兩條直線的斜率，滿足，直線與直線，軸分別交于，兩點，求證：的面積為定值.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知兩定點，，M是平面內一動點，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．
(1)求動點M的軌跡；
(2)設過的直線交曲線于C，D兩點，Q為平面上一動點，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）設是拋物線上一點，不過點A的直線l交E于M，N兩點，F為E的焦點．
(1)若直線l過F，求的值；
(2)設直線AM，AN和直線l的斜率分別為，和k，若，求k的值．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓經過點，離心率為．過點的直線l與橢圓E交于不同的兩點M，N．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設直線AM和直線AN的斜率分別為和，求的值．
變式4．（2024·山西運城·山西省運城中學校校考二模）已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.
變式5．（2024·重慶巴南·統考一模）在平面直角坐標系中，已知點、，的內切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.
(1)求C的方程；
(2)設點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P，Q兩點，連接.若直線的斜率與直線的斜率之和為0，試比較與的大小.
變式6．（2024·湖南湘潭·高三湘鋼一中校考開學考試）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左右頂點，分別為橢圓的左右焦點，是橢圓的上頂點，且的外接圓半徑為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設與軸不垂直的直線交橢圓于兩點（在軸的兩側），記直線的斜率分別為．
（i）求的值；
（ii）若，則求的面積的取值范圍．
變式7．（2024·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設為E上一點，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．
變式8．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）已知橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的右焦點為，過點斜率不為0的直線交橢圓于兩點，記直線與直線的斜率分別為，當時，求：
①直線的方程；
②的面積．
變式9．（2024·湖北隨州·高三隨州市曾都區第一中學校考開學考試）在平面直角坐標系中，已知圓心為C的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲線E上的兩點B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經過定點．
變式10．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）已知橢圓C：過點，且C的右焦點為．
(1)求C的離心率；
(2)過點F且斜率為1的直線與C交于M，N兩點，P直線上的動點，記直線PM，PN，PF的斜率分別為，，，證明：．
變式11．（2024·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）已知橢圓的左右焦點分別為是橢圓的中心，點為其上的一點滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)設定點，過點的直線交橢圓于兩點，若在上存在一點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求的范圍．
變式12．（2024·湖北武漢·高三武漢市第四十九中學校考階段練習）已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．
(1)求動圓的圓心所在軌跡的方程；
(2)已知點是軌跡上一點，點是軌跡上不同的兩點（點均不與點重合），設直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點，并求出定點的坐標．
題型二：斜率差問題
例4．（2024·全國·高三專題練習）橢圓C：的離心率，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．
例5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知定點A(1，0)，點M在軸上運動，點N在軸上運動，點P為坐標平面內的動點，且滿足.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)點Q為圓上一點，由Q向C引切線，切點分別為S、T,記分別為切線QS，QT的斜率，當Q運動時，求的取值范圍.
例6．（2024·四川成都·高二棠湖中學校考階段練習）設、為拋物線上的兩點，與的中點的縱坐標為4，直線的斜率為.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點，、為拋物線（除原點外）上的不同兩點，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點，線段的中點為，若，求的值.
變式13．（2024·全國·高三專題練習）如圖,已知點是拋物線：的焦點,點在拋物線上,且.
（1）若直線與拋物線交于兩點,求的值;
（2）若點在拋物線上,且拋物線在點處的切線交于點,記直線的斜率分別為,且滿足,求證：的面積為定值.
變式14．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記，的面積分別為，，若，求的值；
(3)設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．
變式15．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學考試）已知橢圓的兩焦點分別為 ，A是橢圓上一點，當時，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.
題型三：斜率積問題
例7．（2024·黑龍江雞西·高三雞東縣第二中學校考期末）已知雙曲線(，)的兩條漸近線互相垂直，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設P為雙曲線的左頂點，直線l過坐標原點且斜率不為0，l與雙曲線C交于A，B兩點，直線m過x軸上一點Q(異于點P)，且與直線l的傾斜角互補，m與直線PA，PB分別交于M，N(M，N不在坐標軸上)兩點，若直線OM，ON的斜率之積為定值，求點Q的坐標．
例8．（2024·貴州畢節·校考模擬預測）如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，為橢圓上的動點且在第一象限內，線段與橢圓交于點（異于點），直線與直線交于點，為坐標原點，連接，且直線與的斜率之積為．

(1)求橢圓的方程．
(2)設直線的斜率分別為，證明：為定值．
例9．（2024·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）橢圓的離心率，過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為，求直線與直線的斜率之積.
變式16．（2024·湖北武漢·統考模擬預測）已知為坐標原點，橢圓的離心率為，橢圓的上頂點到右頂點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓的左、右頂點分別為、，過點作直線與橢圓交于、兩點，且、位于第一象限，在線段上，直線與直線相交于點，連接、，直線、的斜率分別記為、，求的值．
變式17．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切．
(1)求C的方程；
(2)直線與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，且平分，設直線的斜率為（O為坐標原點），判斷是否為定值？并說明理由．
變式18．（2024·內蒙古赤峰·高三統考開學考試）已知橢圓：的右頂點為，點在圓：上運動，且的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)不經過點的直線與交于，兩點，且直線和的斜率之積為1.求直線被圓截得的弦長.
變式19．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，漸近線方程為，焦點到漸近線距離為1，直線與C左右兩支分別交于P，Q，且點在雙曲線C上.記和面積分別為，，，的斜率分別為，
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，試問是否存在實數，使得，，.成等比數列，若存在，求出的值，不存在說明理由.
變式20．（2024·陜西西安·高三校聯考開學考試）已知橢圓的右頂點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)不經過點的直線與交于兩點，且直線和的斜率之積為1，證明：直線過定點.
變式21．（2024·內蒙古包頭·高三統考開學考試）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程，并說明是什么曲線；
(2)過坐標原點的直線交曲線于，兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結并延長交曲線于點.
（ⅰ）證明：直線與的斜率之積為定值；
（ⅱ）求面積的最大值.
變式22．（2024·內蒙古包頭·高三統考開學考試）已知點，動點滿足直線PM與PN的斜率之積為，記點P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)過坐標原點的直線交曲線C于A，B兩點，點A在第一象限，AD⊥x軸，垂足為D，連接BD并延長交曲線C于點H．證明：直線AB與AH的斜率之積為定值．
變式23．（2024·山西大同·高三統考開學考試）已知雙曲線的離心率為，且過點．
(1)求C的方程；
(2)設A，B為C上異于點P的兩點，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點？若是，則求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
變式24．（2024·河南周口·高三校聯考階段練習）已知是橢圓上的兩點，關于原點對稱，是橢圓上異于的一點，直線和的斜率滿足.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若斜率存在且不經過原點的直線交橢圓于兩點異于橢圓的上、下頂點），當的面積最大時，求的值.
變式25．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）在直角坐標系中，點到點的距離與到直線：的距離之比為，記動點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過上兩點，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
變式26．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中學校考階段練習）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切．直線l過右焦點F且不平行于坐標軸，l與C有兩交點A，B，線段的中點為M．
(1)求C的方程；
(2)證明：直線的斜率與l的斜率的乘積為定值；
(3)延長線段與橢圓C交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線l的斜率．
變式27．（2024·四川瀘州·統考三模）已知橢圓的右焦點為，短軸長等于焦距．
(1)求的方程；
(2)過的直線交于，交直線于點，記的斜率分別為，若，求的值．
題型四：斜率商問題
例10．（2024·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）已知雙曲線的實軸長為，左右兩個頂點分別為，經過點的直線交雙曲線的右支于兩點，且在軸上方，當軸時，.
(1)求雙曲線方程.
(2)求證：直線的斜率之比為定值.
例11．（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校校考階段練習）如圖，為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN相交于點，直線AN過點

(1)記A，B的縱坐標分別為，求；
(2)記直線AN，BM的斜率分別為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在說明理由
例12．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）過原點O的直線交橢圓E：（）于A，B兩點，，面積的最大值為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)連AR交橢圓于另一個交點C，又（），分別記PA，PR，PC的斜率為，，，求的值.
變式28．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學校考階段練習）已知隨圓的左 右焦點分別為點在上，的周長為，面積為.
(1)求的方程.
(2)設的左 右頂點分別為，過點的直線與交于兩點（不同于左右頂點），記直線的斜率為，直線的斜率為，則是否存在實常數，使得恒成立.
變式29．（2024·河南·高三校聯考開學考試）已知雙曲線實軸左右兩個頂點分別為，雙曲線的焦距為，漸近線方程為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點的直線與雙曲線交于兩點．設的斜率分別為，且，求的方程．
變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的焦距為，為坐標原點，橢圓的上下頂點分別為，，左右頂點分別為，，依次連接的四個頂點構成的四邊形的面積為4．
(1)求的方程；
(2)過點的任意直線與橢圓交于，（不同于，）兩點，直線的斜率為，直線的斜率為．求證：．
變式31．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.
變式32．（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）已知M是平面直角坐標系內的一個動點，直線MA與直線垂直，A為垂足且位于第三象限；直線MB與直線垂直，B為垂足且位于第二象限.四邊形OAMB(O為原點)的面積為2，記動點M的軌跡為C.
(1)求C的方程；
(2)點，直線PE，QE與C分別交于P，Q兩點，直線PE，QE，PQ的斜率分別為，，.若，求△PQE周長的取值范圍.
變式33．（2024·全國·高三專題練習）已知分別為橢圓E：的左、右頂點，直線過定點，記直線的斜率為，求的值．
變式34．（2024·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．

(1)求C的方程；
(2)設直線與C另一個交點分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．
變式35．（2024·高二課時練習）在平面直角坐標系中，已知點，拋物線的焦點為F，M為拋物線C上異于頂點的動點，直線MF交拋物線C于另一點N，直線ME，NE分別交拋物線C于點P，Q．
(1)當軸時，求直線PQ與x軸的交點坐標；
(2)設直線MN，PQ的斜率分別為，，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第73講 斜率題型全歸納
知識梳理
1、已知是橢圓上的定點，直線（不過點）與橢圓交于，兩點，且，則直線斜率為定值．
2、已知是雙曲線上的定點，直線（不過點）與雙曲線交于，兩點，且，直線斜率為定值．
3、已知是拋物線上的定點，直線（不過點）與拋物線交于，兩點，若，則直線斜率為定值．
4、為橢圓上一定點，過點作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于兩點．
（1）若，則直線過定點；
（2）若，則直線過定點．
5、設是直角坐標平面內不同于原點的一定點，過作兩條直線，交橢圓于、、、，直線，的斜率分別為，，弦，的中點記為，．
（1）若，則直線過定點；
（2）若，則直線過定點．
6、過拋物線上任一點引兩條弦，，直線，斜率存在，分別記為，即，則直線經過定點．
必考題型全歸納
題型一：斜率和問題
例1．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知點，，是異于A，的動點，，分別是直線，的斜率，且滿足.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)在線段上是否存在定點，使得過點的直線交的軌跡于，兩點，且對直線上任意一點，都有直線，，的斜率成等差數列.若存在，求出定點，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意，即，
又直線，的斜率存在，所以點的軌跡方程為
（2）若存在這樣的定點，不妨設為，令，，，
直線的方程為，
，
由韋達定理得：，，，
，
，
對任意成立，所以
由得，
所以，
對任意成立，，經檢驗，符合題意，
所以，存在滿足題意.
例2．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯考開學考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點.
(1)已知為拋物線的焦點，若的中點坐標為，求；
(2)設為坐標原點，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.
【解析】（1）由得，設，
因為的中點坐標為，所以，
解得.
（2）
聯立，解得或，
所以，
所以直線的斜率.
設直線的方程為.
聯立，消去得，
因為直線與拋物線相切，
所以，即，
若，則，不符合題意，
所以，即，①
聯立，消去得，
因為直線與拋物線相切，
所以，即，②
由①②可得，所以，
故為定值，該定值為0.
例3．（2024·廣東廣州·高三廣州市真光中學校考階段練習）已知雙曲線，漸近線方程為，點在上；

(1)求雙曲線的方程；
(2)過點的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點（不與點重合），且兩條直線的斜率，滿足，直線與直線，軸分別交于，兩點，求證：的面積為定值.
【解析】（1），，依題意，，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意可知斜率存在，設方程為，，，
，
，①，
，
整理得.
1），，過舍去，
2），，過點，
此時，將代入①得，
與交于點，故（定值）
變式1．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知兩定點，，M是平面內一動點，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．
(1)求動點M的軌跡；
(2)設過的直線交曲線于C，D兩點，Q為平面上一動點，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．
【解析】（1）設，則，由題意知－4＜x＜4．
∵，∴，即，故動點M的軌跡為．
（2）存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．理由如下：
當直線CD的斜率存在時，設直線CD的方程為y＝kx＋1．
設，，，則，，，由此知．
將y＝kx＋1代入，得，于是
，．①
條件即，也即．
將，代入得．
顯然不在直線y＝kx＋1上，∴，從而得，即．
將，代入得．將式①代入得
，解得．
當直線CD的斜率不存在時，經檢驗符合題意．
因此存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）設是拋物線上一點，不過點A的直線l交E于M，N兩點，F為E的焦點．
(1)若直線l過F，求的值；
(2)設直線AM，AN和直線l的斜率分別為，和k，若，求k的值．
【解析】（1）因直線l過，可設其方程為y＝kx＋1，設，．
將y＝kx＋1代入，得．于是，．
由焦點弦公式，得，．
∴．
（2）顯然直線l的斜率存在，設其方程為y＝kx＋m，設，．
將y＝kx＋m代入，得．于是，，
，，且，
∴
．
∵，∴，即．
∵直線l：y＝kx＋m不過點，∴2k＋m－1≠0，故k＝1．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓經過點，離心率為．過點的直線l與橢圓E交于不同的兩點M，N．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設直線AM和直線AN的斜率分別為和，求的值．
【解析】（1）由題意，，，且，解得，．
故橢圓E的方程為．
（2）當直線l的斜率存在時，設l的方程為y＝kx＋2，設，．
將y＝kx＋2代入，消去y得；消去x得．于是
，，，．
∴
．
當直線l的斜率不存在時，，，此時．
綜上，．
變式4．（2024·山西運城·山西省運城中學校校考二模）已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.
【解析】（1）設到漸近線，即的距離為，
則，結合得，
又在雙曲線上，所以，得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）聯立，消去并整理得，
則，，即，
設，，
則，，
則
，
所以，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因為直線不過，即，，
所以，即，
所以直線，即過定點.
變式5．（2024·重慶巴南·統考一模）在平面直角坐標系中，已知點、，的內切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.
(1)求C的方程；
(2)設點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P，Q兩點，連接.若直線的斜率與直線的斜率之和為0，試比較與的大小.
【解析】（1）因為點、，的內切圓與直線相切于點，
所以，
因此根據雙曲線的定義可知，點的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，
設點的軌跡C的方程為，焦距為，
所以，，
所以，，，
所以點的軌跡方程C為
（2）由題意，直線的斜率互為相反數，記，
則，，，，，
設，則直線，.
聯立直線和雙曲線方程，
整理得.
該方程有兩個不等實根，，
則
根據韋達定理可得，，
同理可得，.
又因為，.
，.
則，
同理可得
即
進而可得相似于，
即，，
也即A，B，Q，P四點共圓，可得
從而得.
因此
變式6．（2024·湖南湘潭·高三湘鋼一中校考開學考試）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左右頂點，分別為橢圓的左右焦點，是橢圓的上頂點，且的外接圓半徑為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設與軸不垂直的直線交橢圓于兩點（在軸的兩側），記直線的斜率分別為．
（i）求的值；
（ii）若，則求的面積的取值范圍．
【解析】（1）由于橢圓的離心率為，故，
故，則，
又，則，
又的外接圓半徑為，則，
解得，故，
故橢圓方程為；
（2）（i）設l與x軸的交點為D，由于直線交橢圓于兩點（在軸的兩側），
故直線l的斜率不為0，
設l的方程為，聯立，
則，需滿足，
設，則，
又，故，
同理可得；
（ii）因為，
則，
又直線l與x軸不垂直可得，則，
即，所以，
即，
即，
即，
整理得，解得或，
因為在軸的兩側，故，則，
故，此時直線l為，過定點，與橢圓C交于不同兩點；
此時，
，
令，由于l與軸不垂直，故，所以，
故，
設，時，，
即在上單調遞增，即，
故，即的面積的取值范圍為.
變式7．（2024·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設為E上一點，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．
【解析】（1）由題意，，直線l的方程為，代入，得．于是，∴焦點弦，解得p＝2．故拋物線E的方程為．
（2）因在E上，∴m＝2．設E在P處的切線方程為，代入，得．由，解得t＝1，∴P處的切線方程為y＝x＋1，從而得．
易知直線MN的斜率存在，設其方程為，設，．
將代入，得．于是，，且，．
∴
．
故為定值2．
變式8．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）已知橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的右焦點為，過點斜率不為0的直線交橢圓于兩點，記直線與直線的斜率分別為，當時，求：
①直線的方程；
②的面積．
【解析】（1）由題意知，又，則
，解得
由在橢圓上及得，解得
橢圓的方程為
（2）
由（1）知，右焦點為
據題意設直線的方程為
則
于是由得，化簡得（*）
①由消去整理得
由根與系數的關系得：．
代入（*）式得：，解得
直線l的方程為
②方法一
由①可知：
由求根公式與弦長公式得：．
設點到直線l的距離為，則．
．
方法二
由題意可知
由①知，直線l的方程為
代入消去得
∴
．
變式9．（2024·湖北隨州·高三隨州市曾都區第一中學校考開學考試）在平面直角坐標系中，已知圓心為C的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲線E上的兩點B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經過定點．
【解析】（1）設圓心，半徑為，
因為圓心為C的動圓過點，所以，
因為圓心為C的動圓在軸上截得的弦長為4，所以，
所以，即，所以曲線E是拋物線.
（2）證明：由題意點坐標適合，即點A在E上，
由題意可知BD斜率不會為0，設直線：，
聯立，消去并整理得，
需滿足，即，
設，，則，，
因為，，
所以，
所以，將，代入得，
即，
所以直線：，即，
所以直線BD經過定點.
變式10．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）已知橢圓C：過點，且C的右焦點為．
(1)求C的離心率；
(2)過點F且斜率為1的直線與C交于M，N兩點，P直線上的動點，記直線PM，PN，PF的斜率分別為，，，證明：．
【解析】（1）由得C的半焦距為，所以，
又C過點，所以，解得，
所以，．
故C的離心率為．
（2）
由（1）可知C的方程為．
設，，．
由題意可得直線MN的方程為，
聯立 ，消去y可得，
則，，
則
，
又，
因此．
變式11．（2024·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）已知橢圓的左右焦點分別為是橢圓的中心，點為其上的一點滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)設定點，過點的直線交橢圓于兩點，若在上存在一點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求的范圍．
【解析】（1）設，在中，設，
，
，
，
，
所以橢圓的方程為：
（2）設，直線的方程為，
，
，
，
設
，
若為常數，則，
即，而此時，
又，即或，
綜上所述，或，存在點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值
變式12．（2024·湖北武漢·高三武漢市第四十九中學校考階段練習）已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．
(1)求動圓的圓心所在軌跡的方程；
(2)已知點是軌跡上一點，點是軌跡上不同的兩點（點均不與點重合），設直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點，并求出定點的坐標．
【解析】（1）設點，圓與直線的切點為，
因為動圓過點，且與直線相切，則，
所以點的軌跡是以原點為頂點，以點為焦點的拋物線，
則動圓的圓心軌跡的方程為．
（2）若直線的斜率為0，則直線與拋物線只有1個交點，不合要求，
設直線的方程為
，消去可得：，
則，
因為為拋物線上一點，所以，解得，
，
解得，代入，
解得或，
結合點均不與點重合，則，則，解得，
故且或，
所以直線即
所以直線恒過定點.
題型二：斜率差問題
例4．（2024·全國·高三專題練習）橢圓C：的離心率，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．
【解析】（1）由橢圓的離心率，則，
又，
解得：，，
則橢圓的標準方程為：；
（2）證明：因為，P不為橢圓頂點，則可設直線BP的方程為
聯立整理得．
則，故，則．
所以
又直線AD的方程為．
聯立，解得
由三點，共線，
得，所以．
的斜率為．
則．
為定值．
例5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知定點A(1，0)，點M在軸上運動，點N在軸上運動，點P為坐標平面內的動點，且滿足.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)點Q為圓上一點，由Q向C引切線，切點分別為S、T,記分別為切線QS，QT的斜率，當Q運動時，求的取值范圍.
【解析】(1) 設N(0，b)M(a，0)，P(x，y).
因為
所以，即
因為
所以
所以x＝-a，y＝2b，
所以y2＝4x
(2)設Q(x，y)，x∈[-3，-1]
由題意知:切線斜率存在，設為k
切線方程為:y-y0＝k(x-x0)，
聯立，化簡得:ky2-4y+4y0-4kx0=0
△＝16-16k(y-kx0)=0
∴將代入得
，
∴.
∴的取值范圍是
例6．（2024·四川成都·高二棠湖中學校考階段練習）設、為拋物線上的兩點，與的中點的縱坐標為4，直線的斜率為.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點，、為拋物線（除原點外）上的不同兩點，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點，線段的中點為，若，求的值.
【解析】（1）設，.
又、都在拋物線上，
即所以，.
由兩式相減得，
直線的斜率為，.
兩邊同除以，且由已知得，
所以，即.
所以拋物線的方程為.
（2）設，，.
因為
所以，所以，
設直線的斜率為，則直線，
由消得.
由，得，即.
所以直線，
同理得直線.
聯立以上兩個方程解得
又，
所以，
所以.
變式13．（2024·全國·高三專題練習）如圖,已知點是拋物線：的焦點,點在拋物線上,且.
（1）若直線與拋物線交于兩點,求的值;
（2）若點在拋物線上,且拋物線在點處的切線交于點,記直線的斜率分別為,且滿足,求證：的面積為定值.
【解析】（Ⅰ）設,由題意,得,
故,即
代入中,得,所以,
所以拋物線方程為,
聯立方程,得
消去,得,
,記,
根據根與系數的關系,得,
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,拋物線方程為,,
設,,,
因為直線MP,MQ的斜率分別為,
則,
又因為,所以,
直線,直線,
易得
因為直線,
如圖,過S作y軸平行線交PQ于點E,
將的值代入直線PQ的方程,可得,
所以.
所以的面積為定值32.
變式14．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記，的面積分別為，，若，求的值；
(3)設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．
【解析】（1）設橢圓的焦距為．
依題意可得，，
解得，．
故．
所以橢圓的標準方程為．
（2）設點，，，．
若，則，即有，①
設直線的方程為，與橢圓方程，
可得，
則，，②
將①代入②可得，解得，
則；
（3）由（2）得
，，
所以直線的方程為，
令，得，即．
所以．
所以，
，
，
.
變式15．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學考試）已知橢圓的兩焦點分別為 ，A是橢圓上一點，當時，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意得，
由橢圓定義可得，又，
由余弦定理可得：
，
所以，又，解得，
所以，故橢圓的方程為.
（2）直線，設，
聯立與得，所以，
恒成立，
所以，
故，
設直線為，，
聯立，所以，
由可得，
所以，則，所以得，所以，
則，
由于函數在上為減函數，所以函數在上為增函數，
所以函數在上為減函數，所以，
所以.
題型三：斜率積問題
例7．（2024·黑龍江雞西·高三雞東縣第二中學校考期末）已知雙曲線(，)的兩條漸近線互相垂直，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設P為雙曲線的左頂點，直線l過坐標原點且斜率不為0，l與雙曲線C交于A，B兩點，直線m過x軸上一點Q(異于點P)，且與直線l的傾斜角互補，m與直線PA，PB分別交于M，N(M，N不在坐標軸上)兩點，若直線OM，ON的斜率之積為定值，求點Q的坐標．
【解析】（1）由可得漸近線方程為：，
因為兩條漸近線互相垂直，所以，可得，
又因為，解得：，
所以雙曲線的方程為.
（2）設，，，，
由（1）知：，設直線，的斜率分別為，
因為三點共線，所以，即，
因為直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補，
所以，即，所以，
由可得，所以，
同理可得，
因為直線，的斜率之積為定值，設定值為，
則，
整理可得：，其中，
因為上式對任意的都成立，所以，可得，，
所以點的坐標為.
例8．（2024·貴州畢節·校考模擬預測）如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，為橢圓上的動點且在第一象限內，線段與橢圓交于點（異于點），直線與直線交于點，為坐標原點，連接，且直線與的斜率之積為．

(1)求橢圓的方程．
(2)設直線的斜率分別為，證明：為定值．
【解析】（1）設直線與的斜率分別為，則，
設，由橢圓，且分別為其左右頂點，則，，
因為在橢圓上，則，即，
設直線與的斜率分別為，
則，
由，則，化簡可得，
解得，由，解得，
則橢圓.
（2）由（1）可得，，易知直線斜率存在，否則直線過點，就不在第一象限.
設直線，由在直線上，則，即，
設，，聯立可得，即，
化簡可得：，，
由韋達定理，可得，，
直線，直線，
聯立可得：，則，，
即，故，則，
故，，
可得，由，，代入，
則，
由，則
，
將，代入上式，并分子分母同乘以，
則
，
將代入上式，則
.
例9．（2024·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）橢圓的離心率，過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為，求直線與直線的斜率之積.
【解析】（1）因為橢圓的離心率，
所以 ，即，
又因為橢圓過點，
所以，
又因為，
所以，
所以橢圓的方程為；
（2）如圖所示：
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
與橢圓方程聯立求得，
又，
所以，
所以；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
由，消去y得：，
，
由韋達定理得，
所以，
，
.
變式16．（2024·湖北武漢·統考模擬預測）已知為坐標原點，橢圓的離心率為，橢圓的上頂點到右頂點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓的左、右頂點分別為、，過點作直線與橢圓交于、兩點，且、位于第一象限，在線段上，直線與直線相交于點，連接、，直線、的斜率分別記為、，求的值．
【解析】（1）由題意知，，橢圓的上頂點到右頂點的距離為，
即，解得，，，
因此，橢圓的方程為．
（2）如下圖所示：
不妨設、，由圖可知，直線的斜率存在，
設直線的方程為，因為點，則，則，
聯立可得，
，可得，即，
解得，
由韋達定理可得，解得，
所以，，易知、，
由于在直線上，設，
又由于在直線上，則，所以，，
.
變式17．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切．
(1)求C的方程；
(2)直線與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，且平分，設直線的斜率為（O為坐標原點），判斷是否為定值？并說明理由．
【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，即有，
由以C的短軸為直徑的圓方程為，
由與直線相切得：，
聯立解得，
∴C的方程為；
（2）為定值，且，理由如下：
由題意，直線AP，BP的斜率互為相反數，即，
設，
由，消去y得：，
∴，
而，
∴，
即
，
∴，
∴，
化簡得，
又∵在橢圓上，∴，∴，
∴，
∴，
又∵不在直線，
則有，即，
∴為定值，且.
變式18．（2024·內蒙古赤峰·高三統考開學考試）已知橢圓：的右頂點為，點在圓：上運動，且的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)不經過點的直線與交于，兩點，且直線和的斜率之積為1.求直線被圓截得的弦長.
【解析】（1）如圖所示：
由題可知，圓：的圓心為，半徑，又因為，所以，所以，所以橢圓的方程.
（2）當直線l的斜率不存在時，顯然不符合題意.
故設，，直線：，聯立，消去整理得一元二次方程，
其判別式，則；因為，所以，
所以，所以，整理得.
若，則，則直線過定點，與題意矛盾；
若，則，則直線過定點.
因為圓的圓心為，半徑，所以直線被圓截得的弦長為4.
變式19．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，漸近線方程為，焦點到漸近線距離為1，直線與C左右兩支分別交于P，Q，且點在雙曲線C上.記和面積分別為，，，的斜率分別為，
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，試問是否存在實數，使得，，.成等比數列，若存在，求出的值，不存在說明理由.
【解析】（1）由題可得，解得，所以雙曲線C的方程為；
（2）由點在上可得：.
聯立和整理得：，
設，，則有：，，
，
又由直線交左右兩支各一點可得：，所以，即，
所以，
又到直線的距離，
到直線的距離，
所以，所以，
所以（），解得，
又，
其中，
，
所以，假設存在實數，使得，，成等比數列，
則有，所以，解得，故存在滿足題意.
變式20．（2024·陜西西安·高三校聯考開學考試）已知橢圓的右頂點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)不經過點的直線與交于兩點，且直線和的斜率之積為1，證明：直線過定點.
【解析】（1）由題可知，
因為，所以.
又，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）
證明：當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意，
故設，，直線，
聯立消去整理得，
方程的判別式，
則，
因為，所以，
所以，
所以，
整理得.
若，則，則直線過定點，與題意矛盾；
若，則，則直線過定點.
變式21．（2024·內蒙古包頭·高三統考開學考試）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程，并說明是什么曲線；
(2)過坐標原點的直線交曲線于，兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結并延長交曲線于點.
（ⅰ）證明：直線與的斜率之積為定值；
（ⅱ）求面積的最大值.
【解析】（1）因為，，，
所以，
所以，化解得，
所以為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點；
（2）（ⅰ）設直線的斜率為，則其方程為，
由，得，記，則，，，
于是直線的斜率為，方程為，
由，得①，
設，則和是方程①的解，
故，由此得，
從而直線的斜率，
所以，即直線與的斜率之積為定值；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，
所以
，
當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.
變式22．（2024·內蒙古包頭·高三統考開學考試）已知點，動點滿足直線PM與PN的斜率之積為，記點P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)過坐標原點的直線交曲線C于A，B兩點，點A在第一象限，AD⊥x軸，垂足為D，連接BD并延長交曲線C于點H．證明：直線AB與AH的斜率之積為定值．
【解析】（1）由題設得，化解得，
所以為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點．
（2）
設直線的斜率為，則其方程為．
由得，
記，則，，．
于是直線的斜率為，方程為．
由得．①
設，則和是方程①的解，則，
故，由此得．
從而直線的斜率，所以．
所以直線與的斜率之積為定值．
變式23．（2024·山西大同·高三統考開學考試）已知雙曲線的離心率為，且過點．
(1)求C的方程；
(2)設A，B為C上異于點P的兩點，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點？若是，則求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由題意知，
解得，，，
所以C的方程為．
（2）證明：設，．
又，則，．
因為，所以，所以，
即，
所以，
所以，
當直線的斜率為0時，，，所以，解得或，不符合題意，所以直線的斜率不為0．
設直線的方程為，
由得，
，即，
所以，．
因為，
所以，
整理得，
所以，
所以，
整理得，
即，則或．
當時，直線的方程為，此時直線過定點；
當時，直線的方程為，此時直線過定點．
即為，因為A，B為C上異于點的兩個動點，所以不符合題意．
故直線過的定點為．
變式24．（2024·河南周口·高三校聯考階段練習）已知是橢圓上的兩點，關于原點對稱，是橢圓上異于的一點，直線和的斜率滿足.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若斜率存在且不經過原點的直線交橢圓于兩點異于橢圓的上、下頂點），當的面積最大時，求的值.
【解析】（1）設，易知，由，
得，
化簡得，
故橢圓的標準方程為.
（2）
設的方程為，，，
將代入橢圓方程整理得，
，，
，，
則，
又原點到的距離為，
故，
當且僅當時取等號，
此時，的面積最大.
故
.
變式25．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）在直角坐標系中，點到點的距離與到直線：的距離之比為，記動點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過上兩點，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
【解析】（1）設，由題意可知，
所以的方程為；
（2）設，，
∴方程：代入橢圓方程
，
∴，
∴，∴，
∴，∴
同理設，，∴，
∴為定值.
變式26．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中學校考階段練習）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切．直線l過右焦點F且不平行于坐標軸，l與C有兩交點A，B，線段的中點為M．
(1)求C的方程；
(2)證明：直線的斜率與l的斜率的乘積為定值；
(3)延長線段與橢圓C交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線l的斜率．
【解析】（1）由橢圓C的離心率為得：，即有，
由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，
聯立解得，，
所以C的方程是．
（2）設直線l的方程為，，，
聯立，消去y得，，
則，，
∵M為線段的中點，∴，，
∴，∴為定值．
（3）若四邊形為平行四邊形，則，設，
∴，，
∵點P在橢圓上，∴，解得，即，
∴當四邊形為平行四邊形時，直線l的斜率為．
變式27．（2024·四川瀘州·統考三模）已知橢圓的右焦點為，短軸長等于焦距．
(1)求的方程；
(2)過的直線交于，交直線于點，記的斜率分別為，若，求的值．
【解析】（1）根據題意得到，，解得，
故，
故橢圓方程為；
（2）當過的直線斜率不存在時，此時該直線與直線無交點，舍去；
當過的直線斜率存在時，設為，令，得，
故，
聯立與得，，
其中，
設，
則，
，
故
，
故，即，解得，
不妨令，則直線方程為，
，則，
，
故
，
當時，同理可得，
綜上：.
題型四：斜率商問題
例10．（2024·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）已知雙曲線的實軸長為，左右兩個頂點分別為，經過點的直線交雙曲線的右支于兩點，且在軸上方，當軸時，.
(1)求雙曲線方程.
(2)求證：直線的斜率之比為定值.
【解析】（1）由題意可得，
當軸時，直線，
則，
又，所以；
（2）
由題意可知，
不妨設：,，易知，
聯立雙曲線方程得，
則，且，不難發現
由斜率公式可知，
則，
故是定值.
例11．（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校校考階段練習）如圖，為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN相交于點，直線AN過點

(1)記A，B的縱坐標分別為，求；
(2)記直線AN，BM的斜率分別為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在說明理由
【解析】（1）設直線的方程為，
由消去并化簡得，
則.
（2）設直線的方程為，同（1）可求得，
設直線的方程為，
由消去并化簡得，
所以.
，
同理可求得，
則，
所以存在使得.
例12．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）過原點O的直線交橢圓E：（）于A，B兩點，，面積的最大值為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)連AR交橢圓于另一個交點C，又（），分別記PA，PR，PC的斜率為，，，求的值.
【解析】（1）由題知：，
所以，故橢圓的方程為.
（2）如圖所示：
設的方程為，，
由，
，，，
設，則，，
變式28．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學校考階段練習）已知隨圓的左 右焦點分別為點在上，的周長為，面積為.
(1)求的方程.
(2)設的左 右頂點分別為，過點的直線與交于兩點（不同于左右頂點），記直線的斜率為，直線的斜率為，則是否存在實常數，使得恒成立.
【解析】（1）依題意，得，即，
解得，所以的方程；
（2）依題意，可設直線的方程為，
聯立方程，化簡整理，得，
易得恒成立，
設，由韋達定理，
得，可得，
于是
，
故存在實數，使得恒成立.
變式29．（2024·河南·高三校聯考開學考試）已知雙曲線實軸左右兩個頂點分別為，雙曲線的焦距為，漸近線方程為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點的直線與雙曲線交于兩點．設的斜率分別為，且，求的方程．
【解析】（1）雙曲線的焦距，；
雙曲線的漸近線方程為，即，，
又，，，雙曲線的標準方程為：.
（2）由（1）得：，，
設，，
由題意知：直線的斜率一定存在，則可設，
由得：，
，解得：且，
，，；
，，即，
，
解得：或，又且，，
直線的方程為：，即.
變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的焦距為，為坐標原點，橢圓的上下頂點分別為，，左右頂點分別為，，依次連接的四個頂點構成的四邊形的面積為4．
(1)求的方程；
(2)過點的任意直線與橢圓交于，（不同于，）兩點，直線的斜率為，直線的斜率為．求證：．
【解析】（1）依題意可得，解得，
所以橢圓的方程為
（2）由（1）可知，，
由題意，直線l的斜率不為0，設直線，，，
由
可得，則，，
因為直線的斜率，直線的斜率，
由，，得，
所以，
所以直線和的斜率之比為，即
變式31．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.
【解析】（1）依題可得，解得，所以，
所以橢圓的方程為．
（2）設，，因為直線過點且斜率不為，
所以可設的方程為，代入橢圓方程得，
其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，
所以，．
從而．
（3）由（1）知，設，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯立可得，
所以直線與直線的交點的坐標為，
所以點在定直線上.
變式32．（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）已知M是平面直角坐標系內的一個動點，直線MA與直線垂直，A為垂足且位于第三象限；直線MB與直線垂直，B為垂足且位于第二象限.四邊形OAMB(O為原點)的面積為2，記動點M的軌跡為C.
(1)求C的方程；
(2)點，直線PE，QE與C分別交于P，Q兩點，直線PE，QE，PQ的斜率分別為，，.若，求△PQE周長的取值范圍.
【解析】（1）因為直線、相互垂直，則四邊形OAMB為矩形，
設，且，可得，
則點到直線、的距離分別為、，
可得，整理得，
所以C的方程為.
（2）設直線，
聯立方程，消去y得，
由題意可得：，①
因為，則，
整理得，
即，
整理得，解得或，
若，則直線，過定點，
此時①式為，無解，不符合題意；
當時，則直線，過定點，
此時①式為，解得，即或，
則，
因為，則，可得，
所以，
又因為為雙曲線的左、右焦點，
則，即，
可得△PQE周長為，
所以△PQE周長的取值范圍.
變式33．（2024·全國·高三專題練習）已知分別為橢圓E：的左、右頂點，直線過定點，記直線的斜率為，求的值．
【解析】（蝴蝶定理法）過點，交于點， 顯然的中點；
由蝴蝶定理得：的中點，即；．
變式34．（2024·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．

(1)求C的方程；
(2)設直線與C另一個交點分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．
【解析】（1）拋物線C的方程為
（2） 解法一：
設，直線，
聯立直線，得，，
聯立直線，得，，
∴，同理可得，
由斜率公式可得，，∴．
解法二：三點共線
設，
由M、N、F三點共線，得，
由M、D、A三點共線，得，
由N、D、B三點共線，得，
則，AB過定點（4，0）．
變式35．（2024·高二課時練習）在平面直角坐標系中，已知點，拋物線的焦點為F，M為拋物線C上異于頂點的動點，直線MF交拋物線C于另一點N，直線ME，NE分別交拋物線C于點P，Q．
(1)當軸時，求直線PQ與x軸的交點坐標；
(2)設直線MN，PQ的斜率分別為，，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
【解析】(1)由題意,當軸時，則直線的方程，代入拋物線可得
不妨設，則
所以直線的方程為 由 ，解得或（舍）,
即,所以,所以點
則
所以直線的方程為,由 ，解得或（舍）,
即,所以 所以點
所以直線PQ的方程為，所以直線PQ與x軸的交點坐標
(2)設直線的方程為：
設
由 ，則
所以 （1）
設直線的方程為：，
由 ，則
則 （2）
設直線的方程為：，
由 ，則
則 （3）
由，，可得
由，，，可得
同理由，，，可得
，
所以為定值2.
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