資源簡介

第74講 存在性問題的探究
知識梳理
題型一：存在點使向量數量積為定值
例1．（2024·甘肅天水·高二天水市第一中學校考期末）已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓的左頂點坐標為，離心率為．
求橢圓E的方程；
過點作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由．
例2．（2024·山西大同·高二統考期末）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與構成正三角形.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線與橢圓交于不同兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值 若存在，求出的坐標及定值；若不存在，請說明理由.
例3．（2024·重慶渝北·高二重慶市松樹橋中學校校考階段練習）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，其左、右焦點分別為，，短軸長為.點在橢圓上，且滿足的周長為6.
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一定點，使得恒為定值？若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，橢圓經過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交于兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，使為定值？若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由.
變式2．（2024·遼寧錦州·統考模擬預測）已知為雙曲線的左、右焦點，的離心率為為上一點，且.
(1)求的方程；
(2)設點在坐標軸上，直線與交于異于的兩點，且點在以線段為直徑的圓上，過作，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
變式3．（2024·山西大同·統考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．
變式4．（2024·江蘇揚州·統考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．
(1)求的內心坐標；
(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由．
題型二：存在點使斜率之和或之積為定值
例4．（2024·山東泰安·統考模擬預測）已知為坐標原點，，，和交點為.
(1)求點的軌跡；
(2)直線和曲線交與兩點，試判斷是否存在定點使？如果存在，求出點坐標，不存在請說明理由.
例5．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知點，，是異于A，的動點，，分別是直線，的斜率，且滿足.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)在線段上是否存在定點，使得過點的直線交的軌跡于，兩點，且對直線上任意一點，都有直線，，的斜率成等差數列.若存在，求出定點，若不存在，請說明理由.
例6．（2024·吉林·吉林省實驗校考模擬預測）以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點
(1)求的方程.
(2)在軸上是否存在定點，過點任意作一條不與坐標軸垂直的直線，當與交于兩點時，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.
變式5．（2024·湖北荊州·高二荊州中學校考階段練習）已知圓C方程為，橢圓中心在原點，焦點在x軸上.
（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標；
（2）判斷直線與圓C的位置關系，并證明你的結論；
（3）當時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線，的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標；若不存在，請說明理由.
變式6．（2024·河北·高三校聯考階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，焦距為2，實軸長為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點不與軸重合的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一個點，使得直線，的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點的坐標；若不存在，請說明理由.
變式7．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且的周長是6.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線經過橢圓的右焦點且與交于不同的兩點，，試問：在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
變式8．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓的離心率是，過點的動直線于橢圓相交于兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得弦長為．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在上是否存在與點不同的定點，使得直線和的傾斜角互補？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．
題型三：存在點使兩角度相等
例7．（2024·新疆阿勒泰·統考三模）已知橢圓的左右焦點分別為，分別為橢圓的上，下頂點，到直線的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別交x軸于兩點．問：y軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．
例8．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓經過點且兩個焦點及短軸兩頂點圍成四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)設，為橢圓上不同的兩個點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且、、三點共線.其中為坐標原點.問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由.
例9．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知點A是圓上的任意一點，點，線段AF的垂直平分線交AC于點P．
(1)求動點P的軌跡E的方程；
(2)若過點且斜率不為O的直線l交（1）中軌跡E于M、N兩點，O為坐標原點，點．問：x軸上是否存在定點T，使得恒成立．若存在，請求出點T的坐標，若不存在，請說明理由．
變式9．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知橢圓經過點，過點的直線交該橢圓于，兩點.
(1)求面積的最大值，并求此時直線的方程；
(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
變式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考開學考試）已知橢圓過點，且上頂點與右頂點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線交橢圓于兩點，軸上是否存在點使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
變式11．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線距離的倍，記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)已知直線：與曲線交于兩點，問曲線上是否存在兩點滿足，若存在，請求出兩點坐標，不存在，請說明理由.
題型四：存在點使等式恒成立
例10．（2024·福建漳州·統考模擬預測）已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過點的直線與曲線相交于，兩點，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點，使得的內心在一條定直線上 請你給出結論并證明.
例11．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且與直線垂直的直線交軸負半軸于，且．
(1)求橢圓的離心率；
(2)若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；
(3)設．過橢圓右焦點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于、兩點，點是點關于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
例12．（2024·福建福州·福州三中校考模擬預測）如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近線的距離為，左、右頂點分別為A、B．曲線C是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設P在第一象限且在雙曲線上，直線BP交橢圓于點M，直線AP與橢圓交于另一點N．
(1)求橢圓及雙曲線的標準方程；
(2)設MN與x軸交于點T，是否存在點P使得(其中，為點P，T的橫坐標)，若存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由．
變式12．（2024·福建福州·福州四中校考模擬預測）已知在平面直角坐標系中，橢圓的左頂點和右焦點分別為，動點滿足，記動點的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)設點在上，過作的兩條切線，分別與軸相交于兩點.是否存在點，使得等于的短軸長？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.
變式13．（2024·甘肅定西·統考模擬預測）已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.
(1)求E的方程；
(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.
變式14．（2024·北京海淀·中關村中學校考三模）已知橢圓的焦距為2，長軸長為4.
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)過點且與軸不重合的直線與橢圓交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.問：平面內是否存在定點，使得恒在直線上？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
題型五：存在點使線段關系式為定值
例13．（2024·全國·高三專題練習）橢圓經過兩點，，過點的動直線與橢圓相交于，兩點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓的右焦點是，其右準線與軸交于點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：；
(3)設點是橢圓的長軸上某一點（不為長軸頂點及坐標原點），是否存在與點不同的定點，使得恒成立？只需寫出點的坐標，無需證明．
例14．（2024·福建寧德·校考模擬預測）已知雙曲線C與雙曲線 有相同的漸近線，且過點.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知點，E，F是雙曲線C上不同于D的兩點，且，于點G，證明:存在定點H，使為定值.
例15．（2024·四川成都·高三校考階段練習）已知橢圓C：的離心率為，過橢圓右焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，當直線l與x軸垂直時，．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當直線l的斜率為k時，在x軸上是否存在一點P（異于點F），使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由．
變式15．（2024·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過點，.直線（不經過點）與橢圓交于兩點，，直線與橢圓交于另一點，點滿足，且在直線上.
(1)求的方程；
(2)證明：直線過定點，且存在另一個定點，使為定值.
變式16．（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考階段練習）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標原點.
(1)求雙曲線的方程.
(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
變式17．（2024·河北秦皇島·校聯考模擬預測）如圖，橢圓的左、右頂點分別為A，B．左、右焦點分別為，，離心率為，點在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；
(2)已知P，Q是橢圓C上兩動點，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，．過點B作直線PQ的垂線，垂足為H．問：在平面內是否存在定點T，使得為定值，若存在，求出點T的坐標；若不存在，試說明理由．
變式18．（2024·四川遂寧·高三射洪中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，設點的軌跡為曲線.①過點的動圓恒與軸相切，為該圓的直徑；②點到的距離比到y軸的距離大1.
在①和②中選擇一個作為條件:
(1)選擇條件： 求曲線的方程；
(2)在軸正半軸上是否存在一點，當過點的直線與拋物線交于兩點時，為定值？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
變式19．（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知橢圓的離心率為，且經過點．P為橢圓C在第一象限內部分上的一點．
(1)若，，求面積的最大值；
(2)是否存在點P，使得過點P作圓的兩條切線，分別交y軸于D，E兩點，且．若存在，點求出P的坐標；若不存在，說明理由
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第74講 存在性問題的探究
知識梳理
解決存在性問題的技巧：
（1）特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立．
（2）假設法：先假設存在，推證滿足條件的結論．若結論正確，則存在；若結論不正確，則不存在．
必考題型全歸納
題型一：存在點使向量數量積為定值
例1．（2024·甘肅天水·高二天水市第一中學校考期末）已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓的左頂點坐標為，離心率為．
求橢圓E的方程；
過點作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】設橢圓E的方程為，
由已知得，解得：，
所以．
所以橢圓E的方程為．
假設存在符合條件的點，
設，，
則，，
，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，
由，得：，
，，
，
，
對于任意的k值，上式為定值，
故，解得：，
此時，為定值；
當直線l的斜率不存在時，
直線l：，，，，
由，得為定值，
綜合知，符合條件的點M存在，其坐標為．
例2．（2024·山西大同·高二統考期末）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與構成正三角形.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線與橢圓交于不同兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值 若存在，求出的坐標及定值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意知拋物線的焦點為，
所以，
因為橢圓短軸的兩個端點與F構成正三角形，
所以，
可求得a=2.
故橢圓的方程為.
（2）假設存在滿足條件的點，
當直線的斜率存在時，設其斜率為，則的方程為，
由得，
設，
所以，
則
，
要使為定值，令，即，
此時.
當直線的斜率不存在時，不妨取，
由，可得，
所以.
綜上所述，存在點，使為定值.
例3．（2024·重慶渝北·高二重慶市松樹橋中學校校考階段練習）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，其左、右焦點分別為，，短軸長為.點在橢圓上，且滿足的周長為6.
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一定點，使得恒為定值？若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（Ⅰ）所以橢圓的方程為
（Ⅱ）假設存在這樣的定點，設，直線方程為
則
=
聯立消去得
令即，
當軸時，令,仍有
所以存在這樣的定點，使得
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，橢圓經過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交于兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，使為定值？若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意，，，得，所以橢圓C的方程為.
（2）當的斜率存在時，設，，，，則
聯立方程組消去y得，.
∴，.
∵
為定值.
∴，解得.此時的值為.
當的斜率不存在時，的方程為，解得，.
又，則.∴，此時也滿足條件.
綜上所述，在x軸上存在定點，使為定值.
變式2．（2024·遼寧錦州·統考模擬預測）已知為雙曲線的左、右焦點，的離心率為為上一點，且.
(1)求的方程；
(2)設點在坐標軸上，直線與交于異于的兩點，且點在以線段為直徑的圓上，過作，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為雙曲線的離心率為，所以，即，
又，所以，則，所以，
因為，所以，
故雙曲線的方程為.
（2）因為點滿足，
所以點在雙曲線的左支上，又因為點在坐標軸上，則，
設，當的斜率存在時，設的方程為，
聯立方程，整理得,則，,即,
，因為在以線段為直徑的圓上，所以，
則，又，，
則，
所以，
即，整理得，
即，解得或，經檢驗均滿足，
當時，直線的方程為，則直線過點，不合題意，舍去；
當時，直線的方程為，則直線恒過定點，符合題意.
當的斜率不存在時，， ，，
，又，解得（舍去）或，
所以直線方程為，則直線恒過定點.
綜上，直線恒過定點.
因為，所以是以為斜邊的直角三角形，
即點在以為直徑的圓上，則點為該圓的圓心即斜邊的中點，
又，，所以，為該圓的半徑，即，
故存在點，使得為定值.
變式3．（2024·山西大同·統考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由得
直線是拋物線的一條切線．所以
，所以橢圓
（2）
當直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為
當直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為
所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．
證明如下．當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點
當直線與軸不垂直時，可設直線為：
由得，設，則
則
所以，即以為直徑的圓過點
所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．
變式4．（2024·江蘇揚州·統考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．
(1)求的內心坐標；
(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）
∴橢圓的標準方程為，
不妨取，則；
因為中，，所以的內心在軸，設直線平分，交軸于，則為的內心，且，所以，則；
（2）∵橢圓和弦均關于軸上下對稱．若存在定點，則點必在軸上∴設
當直線斜率存在時，設方程為，直線方程與橢圓方程聯立，
消去得，
則①
∵點的橫坐標為1，均在直線上，
，整理得，
因為點在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點滿足題意
題型二：存在點使斜率之和或之積為定值
例4．（2024·山東泰安·統考模擬預測）已知為坐標原點，，，和交點為.
(1)求點的軌跡；
(2)直線和曲線交與兩點，試判斷是否存在定點使？如果存在，求出點坐標，不存在請說明理由.
【解析】（1）設點，，
，即，
點坐標為，
，即，
點坐標為，
根據兩點坐標可得，
直線方程為：，
直線方程為：，
兩式移項相乘得：，
整理得，
點的軌跡為以為焦點，長軸長為的橢圓，
即其方程為.
（2）假設存在定點，
設點坐標為，，
聯立方程組消得，
直線與橢圓交于兩點，
即，
，
，
，
，
，
整理得：
，
，對恒成立，
，得，
，
所以存在定點坐標為或.
例5．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知點，，是異于A，的動點，，分別是直線，的斜率，且滿足.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)在線段上是否存在定點，使得過點的直線交的軌跡于，兩點，且對直線上任意一點，都有直線，，的斜率成等差數列.若存在，求出定點，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意，即，
又直線，的斜率存在，所以點的軌跡方程為
（2）若存在這樣的定點，不妨設為，令，，，
直線的方程為，
，
由韋達定理得：，，，
，
，
對任意成立，所以
由得，
所以，
對任意成立，，經檢驗，符合題意，
所以，存在滿足題意.
例6．（2024·吉林·吉林省實驗校考模擬預測）以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點
(1)求的方程.
(2)在軸上是否存在定點，過點任意作一條不與坐標軸垂直的直線，當與交于兩點時，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.
【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，
圓與直線切于點，所以代入得，①
設，直線FQ有斜率，則，即，②
又③
由①②③解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）假設存在滿足條件的定點，因為直線不與坐標軸垂直，
故設的方程為.
由消去整理得，
則即
且
因為，所以直線的斜率為.
設為定值，即，
即，
即，
整理得，
所以，
所以.
因為為定值，且上式對任意恒成立，
所以
解得.
將代入式解得或且.
綜上，存在滿足條件的定點.
變式5．（2024·湖北荊州·高二荊州中學校考階段練習）已知圓C方程為，橢圓中心在原點，焦點在x軸上.
（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標；
（2）判斷直線與圓C的位置關系，并證明你的結論；
（3）當時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線，的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）圓C的方程可化為：，
由，解得，所以圓C過定點.
（2）圓C的方程可化為：，
圓心到直線l的距離為，
所以直線與圓C相切.
（3）當時，圓C方程為，圓心為，半徑為10，
與直線，即相切，所以橢圓的左準線為，
又橢圓過點，則，所以，解得，
所以橢圓方程為.
在橢圓上任取一點（），設定點，，
則對恒成立，
所以對恒成立，
所以，故或，
所以，或者，.
變式6．（2024·河北·高三校聯考階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，焦距為2，實軸長為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點不與軸重合的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一個點，使得直線，的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為焦距為2，長軸長為4，
即，，
解得，，
所以，
所以橢圓的方程為．
（2）由（1）知，設點，，，，，
因為直線不與軸重合，
所以設直線的方程為，
聯立，得，
所以，
所以，，
又，
直線，的斜率分別為，，
所以
，
要使得直線，的斜率之積恒為定值，直線，解得，
當時，存在點，使得，
當時，存在點，使得，
綜上，在軸上存在點，使得，的斜率之積恒為定值，
當點的坐標為時，直線，的斜率之積為定值，
當點的坐標為時，直線，的斜率之積為定值．
變式7．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且的周長是6.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線經過橢圓的右焦點且與交于不同的兩點，，試問：在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由橢圓的定義知的周長為，所以，
又因為橢圓的離心率，
所以，聯立解得，，
所以，
所求橢圓方程為.
（2）若存在滿足條件的點.
當直線的斜率存在時，設，聯立，
消得.
設，，則，x，
∵
，
∴要使對任意實數，為定值，則只有，此時，.
當直線與軸垂直時，若，也有.
故在軸上存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值0.
變式8．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓的離心率是，過點的動直線于橢圓相交于兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得弦長為．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在上是否存在與點不同的定點，使得直線和的傾斜角互補？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．
【解析】（Ⅰ）由已知可得，橢圓經過點，
因此，,解得，
所以橢圓E方程為；
（Ⅱ）設點的坐標為，
當直線與x軸垂直時，直線與的傾斜角均為，滿足題意，
此時，且；
當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，，
聯立，得，
其判別式，
，，
直線的傾斜角互補，
，
∴，
即，
整理得，
把，代入得，
所以，即，
綜上所述存在與點不同的定點滿足題意．
題型三：存在點使兩角度相等
例7．（2024·新疆阿勒泰·統考三模）已知橢圓的左右焦點分別為，分別為橢圓的上，下頂點，到直線的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別交x軸于兩點．問：y軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）中由面積公式得，
即，得，
橢圓方程為；
（2）如圖，
假設存在點使得，設，
，即，
，即，
直線與橢圓交于不同的兩點，易知關于對稱，
設，則，
由（1）知，直線的方程是，令得，
直線方程是，令得，
由，得，
又在橢圓上，所以，即，
，即.
所以存在點，使得成立．
例8．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓經過點且兩個焦點及短軸兩頂點圍成四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)設，為橢圓上不同的兩個點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且、、三點共線.其中為坐標原點.問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由.
【解析】（1）依題意可得，，又，解得，
所以橢圓方程為，則離心率
（2）因為、、三點共線，根據橢圓的對稱性可知、關于點對稱，
設點，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
所以點，．
假設存在M使，，
所以，又，所以，
即，所以，
設，則，，
所以，即，
又，所以，所以，解得，
所以.
例9．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知點A是圓上的任意一點，點，線段AF的垂直平分線交AC于點P．
(1)求動點P的軌跡E的方程；
(2)若過點且斜率不為O的直線l交（1）中軌跡E于M、N兩點，O為坐標原點，點．問：x軸上是否存在定點T，使得恒成立．若存在，請求出點T的坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由圓，可得圓心坐標為，半徑，
如圖所示，線段的垂直平分線交于點，
所以，
根據橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，
可得，則，
所以動點的軌跡方程為.
（2）由題意，設直線的方程為，且，
聯立方程組，整理得，
則，解得且，
設，所以
根據橢圓的對稱性，不妨令在軸上方，且，顯然，
假設存在使得恒成立，即恒成立，
可得，即恒成立，即恒成立，
又由，
所以，
所以
，
所以存在點，使得恒成立，
變式9．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知橢圓經過點，過點的直線交該橢圓于，兩點.
(1)求面積的最大值，并求此時直線的方程；
(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）將代入橢圓方程，
得到，故，
故橢圓方程為.
當直線的斜率為0時，此時三點共線，不合要求，舍去；
當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，
與橢圓方程聯立，得，
設，則，
則
，
當且僅當，即時，等號成立，
故面積的最大值為，
此時直線的方程為或.
（2）在x軸上存在點使得恒成立，
理由如下：
因為，所以，即，
整理得，
即，
所以，
則，解得，
故在x軸上存在點，使得恒成立.
變式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考開學考試）已知橢圓過點，且上頂點與右頂點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線交橢圓于兩點，軸上是否存在點使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）橢圓上頂點與右頂點的距離為，；
又橢圓過點，；
兩式聯立可解得：，，橢圓的方程為：.
（2）當直線與軸不重合時，設其方程為，，
由得：，
則，解得：或，
，，
假設存在點使得，即存在點使得，
設點，則，
，
，又，，解得：，
；
當直線與軸重合時，分別為橢圓左右頂點，
若，此時顯然成立；
綜上所述：軸上存在點滿足題意．
變式11．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線距離的倍，記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)已知直線：與曲線交于兩點，問曲線上是否存在兩點滿足，若存在，請求出兩點坐標，不存在，請說明理由.
【解析】（1）設，動點到點的距離等于點到直線距離的倍，
所以，
化簡得.
所以曲線的方程為.
（2）存在兩點滿足.
設
聯立直線與雙曲線方程，有，
由韋達定理，有，
，，
所以上式當時，上式恒成立，
即過定點，經檢驗兩點恰在雙曲線上，且不與重合，
故存在雙曲線上兩點滿足.
題型四：存在點使等式恒成立
例10．（2024·福建漳州·統考模擬預測）已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過點的直線與曲線相交于，兩點，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點，使得的內心在一條定直線上 請你給出結論并證明.
【解析】（1）圓的圓心為，半徑，
因為，所以，又因為，
所以，
所以，
所以點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，
設雙曲線的方程為，
則，.
所以，，
又不可能在軸上，所以曲線的方程為.
（2）在軸上存在定點，使得的內心在一條定直線上.
證明如下：由條件可設：.代入，
得，
設，，則
，得，
所以
所以，
取，
則
又，都在軸上方，所以的平分線為定直線，
所以在軸上存在定點，使得的內心在定直線上.
例11．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且與直線垂直的直線交軸負半軸于，且．
(1)求橢圓的離心率；
(2)若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；
(3)設．過橢圓右焦點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于、兩點，點是點關于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由題意知，由得是線段的中點，故.
又因為直線與垂直，所以，即，
所以橢圓的離心率為.
（2）由（1）得過、、三點的圓的圓心為，半徑為.
因為過、、三點的圓恰好與直線相切，所以，解得.
又，所以，從而.
故橢圓的方程為.
（3）由（1）及得，，橢圓的方程為.
設直線方程為，，則，
聯立得，
，.
直線的方程為，
令得
.
故在軸上存在一個定點，使得、、三點共線.
例12．（2024·福建福州·福州三中校考模擬預測）如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近線的距離為，左、右頂點分別為A、B．曲線C是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設P在第一象限且在雙曲線上，直線BP交橢圓于點M，直線AP與橢圓交于另一點N．
(1)求橢圓及雙曲線的標準方程；
(2)設MN與x軸交于點T，是否存在點P使得(其中，為點P，T的橫坐標)，若存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由已知可設雙曲線方程為，橢圓方程，則雙曲線的一條漸近線方程為，即，故，即，又，
解得，所以雙曲線方程：，
橢圓方程為：；
（2）設，，，，，
P、A、N三點共線，，
P、B、M三點共線，，
相除：，
令，則設：，
聯立橢圓方程：，
由在橢圓內，故，所以，
∴，
，
若存在，即，
，得，
又P在第一象限，所以，；
法二：，，，，，
直線AP：，
，顯然，
由，又因為P在雙曲線上，滿足，即，
所以，
即，
同理BP：，可得，所以，
若存在，即，
而P在第一象限，所以，即.
變式12．（2024·福建福州·福州四中校考模擬預測）已知在平面直角坐標系中，橢圓的左頂點和右焦點分別為，動點滿足，記動點的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)設點在上，過作的兩條切線，分別與軸相交于兩點.是否存在點，使得等于的短軸長？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）依題意知，，
設，則由，得，
即，
曲線的方程為.
（2）（方法一）設點，則，
由題意知，的斜率存在，不妨依次設為，
則直線的方程為，即，
直線與圓相切，
即，
同理，可得，
顯然是方程的兩根，
，
即，.
設，則，
由，得，
由，得，
存在點，或滿足題意.
（方法二）設點在上，，
由題意知，的斜率存在，分別為，
則直線的方程為，
直線與圓相切，，
即，
同理，可得，
顯然是方程的兩根，
，
由，得，.
由，得，
存在點或滿足題意.
變式13．（2024·甘肅定西·統考模擬預測）已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.
(1)求E的方程；
(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為點M到點的距離比它到直線l：的距離小，
所以點M到點的距離等于它到直線l：的距離，
則點M的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，
則曲線E的方程為.
（2）設，
由得：，且，得，
即，所以，
代入拋物線方程，得，
整理得，同理可得
故是方程的兩根，，
由韋達定理可得①，
由題意，直線AB的斜率一定存在，故設直線AB的方程為，
與拋物線方程聯立可得，
易得，由韋達定理可得②，
由①②可得，
故在x軸的正半軸上存在一點滿足條件.
變式14．（2024·北京海淀·中關村中學校考三模）已知橢圓的焦距為2，長軸長為4.
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)過點且與軸不重合的直線與橢圓交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.問：平面內是否存在定點，使得恒在直線上？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【解析】（1）因為橢圓的焦距為，長軸長為，
所以，，則橢圓的離心率，
所以，
所以橢圓的方程為.
（2）存在定點，使得恒在直線上.
設直線為，，，則，
聯立，消去得，
，解得，
則，，
又直線的方程為，
又，
，恒過定點，
故存在定點，使得恒在直線上.
題型五：存在點使線段關系式為定值
例13．（2024·全國·高三專題練習）橢圓經過兩點，，過點的動直線與橢圓相交于，兩點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓的右焦點是，其右準線與軸交于點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：；
(3)設點是橢圓的長軸上某一點（不為長軸頂點及坐標原點），是否存在與點不同的定點，使得恒成立？只需寫出點的坐標，無需證明．
【解析】（1）設橢圓方程為，，，，
橢圓經過兩點，，
，解得，，
橢圓的方程為．
（2）設，，則，，
由題意，，
，,,，
，，
，
，
若，則，結論成立．
若，則，
．
（3）當與軸平行時，設直線與橢圓相交于、兩點，
如果存在定點滿足條件，則有，
，在軸上，設，，
當直線與軸垂直時，設直線與橢圓相交于，兩點，
則，的坐標分別為,，,，
由，有，
解得，
若存在不同于點不同的定點滿足條件，則點坐標只可能為，．
下面證明：對任意直線，均有，
記直線的斜率為，直線的斜率為，
設，，則，．
由題意，,，
，，
，
，
若，則，符合題意；
若，則，
，
設點關于軸對稱的點，，，A，三點共線，
，
對任意直線，均有．
例14．（2024·福建寧德·校考模擬預測）已知雙曲線C與雙曲線 有相同的漸近線，且過點.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知點，E，F是雙曲線C上不同于D的兩點，且，于點G，證明:存在定點H，使為定值.
【解析】（1）依題意，設雙曲線C的方程為，而點在雙曲線C上，
于是，雙曲線C的方程為，即，
所以雙曲線C的標準方程為.
（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為：，設，
由消去y并整理得，
有，且，即且，
有，又，
，由，得，
整理得，
于是，化簡得，
即，解得或，均滿足條件，
當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾，
當時，直線的方程為，直線過定點；
當直線的斜率不存在時，由對稱性不妨設直線的方程為：，
由解得或，因此點的橫坐標有，即直線過定點，
綜上得直線過定點，
由于，即點在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，
所以存在定點，使為定值.
例15．（2024·四川成都·高三校考階段練習）已知橢圓C：的離心率為，過橢圓右焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，當直線l與x軸垂直時，．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當直線l的斜率為k時，在x軸上是否存在一點P（異于點F），使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設橢圓C的半焦距為，
由題意可得，解得，
所以橢圓C的標準方程為.
（2）由（1）可得：，
根據題意可設直線，
聯立方程，消去y得，
則，
可得，①
由題意可知x軸為直線PA與直線PB的對稱軸，則，
可得，
因為，可得，
整理得，②
將①代入②得：，解得，
所以存在點P，使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等，此時.
變式15．（2024·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過點，.直線（不經過點）與橢圓交于兩點，，直線與橢圓交于另一點，點滿足，且在直線上.
(1)求的方程；
(2)證明：直線過定點，且存在另一個定點，使為定值.
【解析】（1）設的方程為，
則，解得，
所以的方程為.
（2）
由題意可知直線的斜率存在且不為0，
設的方程為，
設點，，則，.
聯立，消去，得，
則，
且，.
所以，所以的方程為.
令，則，
所以直線恒過定點，設為點.
又因為，在上，
所以，
則點在以為直徑的圓上，從而的中點，使為定值.
變式16．（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考階段練習）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標原點.
(1)求雙曲線的方程.
(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設，所以，，，
因為點在線段上，且滿足，所以點，
因為直線的斜率為1，所以，所以，
因為，所以，解得，，.
所以雙曲線的方程為.
（2）假設在軸上存在與不同的定點，使得恒成立，
當直線l的斜率不存在時，E在x軸上任意位置，都有；
當直線l的斜率存在且不為0時，設，直線l的方程為，
直線與雙曲線的右支相交于，兩點，則且，
設，，
由，得， ，，
所以，，
因為，即，所以平分，，
有，即，得，
所以，由，解得.
綜上所述，存在與不同的定點，使得恒成立，且.
變式17．（2024·河北秦皇島·校聯考模擬預測）如圖，橢圓的左、右頂點分別為A，B．左、右焦點分別為，，離心率為，點在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；
(2)已知P，Q是橢圓C上兩動點，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，．過點B作直線PQ的垂線，垂足為H．問：在平面內是否存在定點T，使得為定值，若存在，求出點T的坐標；若不存在，試說明理由．
【解析】（1）由題意，可得，則橢圓方程為；
（2）若直線斜率為，則直線斜率為，而，
所以，，
聯立與橢圓，則，整理得，
所以，則，故，
聯立與橢圓，則，整理得，
所以，則，故，
綜上，，
，
當，即時，，
此時，
所以，即直線過定點；
當，即時，
若，則且，且，故直線過定點；
若，則且，且，故直線過定點；
綜上，直線過定點，又于，
易知軌跡是以為直徑的圓上，故的中點到的距離為定值，
所以，所求定點T為.
變式18．（2024·四川遂寧·高三射洪中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，設點的軌跡為曲線.①過點的動圓恒與軸相切，為該圓的直徑；②點到的距離比到y軸的距離大1.
在①和②中選擇一個作為條件:
(1)選擇條件： 求曲線的方程；
(2)在軸正半軸上是否存在一點，當過點的直線與拋物線交于兩點時，為定值？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）選①：
如圖，過作軸的垂線，垂足為，交直線于點，
設動圓的圓心為，半徑為，則到軸的距離為，
在梯形中，由中位線性質可得，
所以，又，所以，
由拋物線的定義知，點是以為焦點，以直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為：.
選②：
設動圓的圓心為，則，
由圓與軸相切可得，
即，整理可得.
（2）設點，由題意知直線的斜率不為零，設直線的方程為，點，
由，得，則.
又，同理可得，
則有
.
若為定值，則，此時點為定點.
又當時，，所以，存在點，
當過點的直線與拋物線交于兩點時，為定值1．
變式19．（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知橢圓的離心率為，且經過點．P為橢圓C在第一象限內部分上的一點．
(1)若，，求面積的最大值；
(2)是否存在點P，使得過點P作圓的兩條切線，分別交y軸于D，E兩點，且．若存在，點求出P的坐標；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由題知解得，，故橢圓C的方程為．
所以點，，．
設點，則
所以．
（2）設點，，，
則直線PD的方程為，即，因為圓心到直線PD的距離為1，即，
即，即，
同理．由此可知，m，n為方程的兩個實根，所以，．
．
因為點在橢圓C上，則，則，
則，
則，因為，則，，即，
故存在點滿足題設條件
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