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第75講 切點(diǎn)與切點(diǎn)弦
知識(shí)梳理
1、點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的切線方程為．
2、點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
3、點(diǎn)在圓內(nèi)，過點(diǎn)作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．
4、點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的切線方程為．
5、點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
6、點(diǎn)在圓內(nèi)，過點(diǎn)作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為．
7、點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作橢圓的切線方程為．
8、點(diǎn)在橢圓外，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
9、點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過點(diǎn)作橢圓的弦（不過橢圓中心），分別過作橢圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．
10、點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．
11、點(diǎn)在雙曲線外，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
12、點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，過點(diǎn)作雙曲線的弦（不過雙曲線中心），分別過作雙曲線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．
13、點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作拋物線的切線方程為．
14、點(diǎn)在拋物線外，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
15、點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)作拋物線的弦，分別過作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．
必考題型全歸納
題型一：切線問題
例1．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，焦點(diǎn)為.過拋物線外一點(diǎn)（不在軸上）作拋物線的切線，其中為切點(diǎn)，兩切線分別交軸于點(diǎn).
(1)求的值；
(2)證明：
①是與的等比中項(xiàng)；
②平分.
例2．（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C交于H，I兩點(diǎn)，且在H，I兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T．
(1)當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，求；
(2)證明：．
例3．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，拋物線在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)到直線的距離分別為，求的值.
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．
變式2．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 ，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.
變式3．（2024·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接，，．
(1)證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)；
(2)若記、的面積分別為和，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線的方程．
參考結(jié)論：為橢圓上一點(diǎn)，則過點(diǎn)的橢圓的切線方程為．
題型二：切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線，直線l2：，且l2與拋物線C沒有公共點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)點(diǎn)M在直線l1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
例5．（2024·福建寧德·校考一模）雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過直線上任意一點(diǎn)P作雙曲線C的兩條切線，交漸近線于A，B兩點(diǎn)，證明：以AB為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F．
例6．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是該拋物線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓（其中）的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)，連接．探究：直線是否過一定點(diǎn)，若過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．
變式4．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
(1)求C的方程；
(2)若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
變式5．（2024·貴州·校聯(lián)考二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的短軸長．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn),,證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)．
變式6．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．
變式7．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；
(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)（不同于），直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.
題型三：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決定值問題
例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且.
(1)求拋物線C和圓F的方程；
(2)若點(diǎn)P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，請(qǐng)問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)引圓：的一條切線，切點(diǎn)為，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，是否存在點(diǎn)A使得的面積為？若存在，求點(diǎn)A的個(gè)數(shù)；否則，請(qǐng)說明理由.
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(1)求拋物線和圓的方程；
(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.
變式9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到F的最小距離為1．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)向C作兩條切線AM，AN，切點(diǎn)分別為M，N，直線AF與直線MN交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q到直線FM的距離等于到直線FN的距離．
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，若直線與直線交于點(diǎn)，且點(diǎn)到直線 直線的距離分別為.求證：為定值.
變式11．（2024·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)校考開學(xué)考試）在以為圓心，6為半徑的圓A內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)P為圓A上的任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點(diǎn)M．
(1)判斷點(diǎn)M的軌跡是什么曲線，并求其方程；
(2)記點(diǎn)M的軌跡為曲線，過點(diǎn)B的直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，求的最大值；
(3)在圓上的任取一點(diǎn)Q，作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過程．
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且
(1)求拋物線的方程；
(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.
變式13．（2024·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線，圓是上異于原點(diǎn)的一點(diǎn).
(1)設(shè)是上的一點(diǎn)，求的最小值；
(2)過點(diǎn)作的兩條切線分別交于兩點(diǎn)（異于）.若，求點(diǎn)的坐標(biāo).
變式14．（2024·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，橢圓，圓，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為．
(1)過橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若，求的值；
(2)過圓O上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直．
變式15．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)，若，存在，證明：為定值.
題型四：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決最值問題
例10．（2024·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，M位于F的上方且.
(1)求p；
(2)若點(diǎn)P在直線上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求的最小值.
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，離心率為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為8．
(1)求橢圓的方程；
(2)過直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為，
①證明：直線過定點(diǎn)；
②求的最大值．
備注：若點(diǎn)在橢圓C：上，則橢圓C在點(diǎn)處的切線方程為．
變式16．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點(diǎn)在直線：上，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的值.
變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為，，為C上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，且長軸長和短軸長之比為2 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，過P作圓 的兩條切線，，設(shè)，與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值.
變式18．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知直線與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為.
(1)證明點(diǎn)D在一條定直線上；
(2)過點(diǎn)D作y軸的平行線交C于點(diǎn)E，線段的中點(diǎn)為，
①證明：為的中點(diǎn)；
②求面積的最小值.
變式19．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為3.
(1)求；
(2)若點(diǎn)在圓上，，是拋物線的兩條切線，是切點(diǎn)，求三角形面積的最大值.
變式20．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線方程；
(2)圓：，過拋物線上一點(diǎn)作圓的兩條切線與軸交于、兩點(diǎn)，求的最小值.
變式21．（2024·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，P到定點(diǎn)的距離與P到定直線的距離之比為，
(1)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C ，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作做曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求面積的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
注：橢圓：上任意一點(diǎn)處的切線方程是：.
變式22．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考三模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上（異于，），且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求的最大值．
變式23．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：的準(zhǔn)線為l，圓O：.
(1)當(dāng)時(shí)，圓O與拋物線C和準(zhǔn)線l分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)M，N，且，求拋物線C的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是（1）中所求拋物線C上的動(dòng)點(diǎn).過P作圓O的兩條切線分別與拋物線C的準(zhǔn)線l交于D，E兩點(diǎn)，求面積的最小值.
題型五：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決范圍問題
例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的取值范圍．
例14．（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，且，求面積的取值范圍.
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的周長為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.
變式24．（2024·遼寧沈陽·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．
變式25．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）直線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)作一條斜率為k的直線，若直線上存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P總能作C的兩條切線互相垂直，求直線k的取值范圍.
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第75講 切點(diǎn)與切點(diǎn)弦
知識(shí)梳理
1、點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的切線方程為．
2、點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
3、點(diǎn)在圓內(nèi)，過點(diǎn)作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．
4、點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的切線方程為．
5、點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
6、點(diǎn)在圓內(nèi)，過點(diǎn)作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為．
7、點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作橢圓的切線方程為．
8、點(diǎn)在橢圓外，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
9、點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過點(diǎn)作橢圓的弦（不過橢圓中心），分別過作橢圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．
10、點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．
11、點(diǎn)在雙曲線外，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
12、點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，過點(diǎn)作雙曲線的弦（不過雙曲線中心），分別過作雙曲線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．
13、點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作拋物線的切線方程為．
14、點(diǎn)在拋物線外，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．
15、點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)作拋物線的弦，分別過作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．
必考題型全歸納
題型一：切線問題
例1．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，焦點(diǎn)為.過拋物線外一點(diǎn)（不在軸上）作拋物線的切線，其中為切點(diǎn)，兩切線分別交軸于點(diǎn).
(1)求的值；
(2)證明：
①是與的等比中項(xiàng)；
②平分.
【解析】（1）拋物線焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，
設(shè)拋物線的切線的方程分別為：
由整理得，，
由，
可得，同理，
則拋物線的切線的方程分別為：
則，，
則，
（2）①由（1）可得
，，
則，
，
則，故是與的等比中項(xiàng)；
②
，
則,又，則
故平分.
例2．（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C交于H，I兩點(diǎn)，且在H，I兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T．
(1)當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，求；
(2)證明：．
【解析】（1）依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，當(dāng)l的斜率為時(shí)，l的方程為，
由，得，設(shè)，，則，
所以.
（2）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
由消去y得，由（1），，
，，對(duì)求導(dǎo)，得，
切線的方程為，切線的方程為，
由，解得，即，
當(dāng)時(shí)，，顯然；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，因此，
所以.
例3．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，拋物線在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)到直線的距離分別為，求的值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
設(shè)，
聯(lián)立方程組,消去得，
所以恒成立，
，，
所以，
解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）知，則，
設(shè)，顯然，，線段的中點(diǎn)為，
聯(lián)立方程組消去得，
恒成立，
所以，
所以，
所以，則的中垂線方程為，
令，得，所以，
所以.
由得，則，
不妨設(shè)，，則切線的斜率為，切線的斜率為，
則切線：，即，
切線，即，
聯(lián)立方程組，解得，
由，，
得，得，
得，得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
則，所以，
所以點(diǎn)到直線的距離.
故.
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．
【解析】（1）由題意，，直線l的方程為，代入，得．于是，∴焦點(diǎn)弦，解得p＝2．故拋物線E的方程為．
（2）因在E上，∴m＝2．設(shè)E在P處的切線方程為，代入，得．由，解得t＝1，∴P處的切線方程為y＝x＋1，從而得．
易知直線MN的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，．
將代入，得．于是，，且，．
∴
．
故為定值2．
變式2．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 ，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意得，
由橢圓定義可得，又，
由余弦定理可得：
，
所以，又，解得，
所以，故橢圓的方程為.
（2）直線，設(shè)，
聯(lián)立與得，所以，
恒成立，
所以，
故，
設(shè)直線為，，
聯(lián)立，所以，
由可得，
所以，則，所以得，所以，
則，
由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，
所以.
變式3．（2024·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接，，．
(1)證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)；
(2)若記、的面積分別為和，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線的方程．
參考結(jié)論：為橢圓上一點(diǎn)，則過點(diǎn)的橢圓的切線方程為．
【解析】（1）由題意可得，即，，
故橢圓的方程為，
設(shè)，，，
由參考結(jié)論知過點(diǎn)在處的橢圓的切線方程為，
同理，過點(diǎn)在處的橢圓的切線方程為，
點(diǎn)在直線，上，，
直線的方程為，即，
可得，則直線過定點(diǎn)；
（2）由（1）知，，，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，
得，故，，
為，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，
即或．
題型二：切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線，直線l2：，且l2與拋物線C沒有公共點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)點(diǎn)M在直線l1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）作PA，PB分別垂直l1和l2，垂足為A，B，拋物線C的焦點(diǎn)為，
由拋物線定義知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，
顯見d1+d2的最小值即為點(diǎn)F到直線l2的距離，
故，解之得或（舍）
所以拋物線C的方程為x2＝4y．
（2）由（1）知直線l1的方程為，當(dāng)點(diǎn)M在特殊位置時(shí)，
顯見兩個(gè)切點(diǎn)P1，P2關(guān)于y軸對(duì)稱，故要使得MN⊥P1P2，點(diǎn)N必須在y軸上．
故設(shè)M，N，，，
拋物線C的方程為，求導(dǎo)得，所以切線MP1的斜率，
直線MP1的方程為，又點(diǎn)M在直線MP1上，
所以，整理得，
同理可得，
故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，
由韋達(dá)定理得，
，
可見n＝1時(shí)，恒成立，
所以存在定點(diǎn)N，使得MN⊥P1P2恒成立．
例5．（2024·福建寧德·校考一模）雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過直線上任意一點(diǎn)P作雙曲線C的兩條切線，交漸近線于A，B兩點(diǎn)，證明：以AB為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F．
【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意可得，解得．
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）設(shè)，過點(diǎn)的斜率不存在的直線的方程為，
直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，不可能為雙曲線的切線，
所以過點(diǎn)P的切線斜率存在，設(shè)此切線方程為，
聯(lián)立，整理得．
由，得．
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，
則，．
聯(lián)立，解得，，則．
同理可得．
因?yàn)椋裕?
則．
因?yàn)椋?
所以，即以AB為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F．
例6．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是該拋物線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓（其中）的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)，連接．探究：直線是否過一定點(diǎn)，若過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，，所以，
設(shè)，則直線為，
即．
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以，整理得．
同理，直線與圓相切，
可得．
所以可得是方程的兩個(gè)根，
所以，
代入，化簡得，
若直線過定點(diǎn)，則須滿足，解得
所以直線恒過定點(diǎn)．
變式4．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
(1)求C的方程；
(2)若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋裕瑒t直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去y，整理得，
所以有，，
又，得，
整理得，解得．
所以C的方程為．
（2）由，得，所以，
設(shè)過點(diǎn)E作拋物線C的切線的切點(diǎn)為，
則相應(yīng)的切線方程為，即，
設(shè)點(diǎn)，由切線經(jīng)過點(diǎn)E，得，即，
設(shè)，，則，是的兩實(shí)數(shù)根，
可得，．
設(shè)M是的中點(diǎn)，則相應(yīng)，
則，即，
又，
直線的方程為，即，
所以直線恒過定點(diǎn)．
變式5．（2024·貴州·校聯(lián)考二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的短軸長．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn),,證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)．
【解析】（1）由橢圓方程可知短軸長為，
∴拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
故拋物線方程為．
（2）∵是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，∴且，∴．
設(shè)，，則直線方程為，
即，
∵直線DM：與圓E：相切，
∴，整理可得，，①
同理，直線DN與圓E相切可得，，②
由①②得a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，
∴，，
代入，化簡整理可得，
，
令，解得，
故直線MN恒過定點(diǎn)．
變式6．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．當(dāng)圓在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，橢圓的方程為．
當(dāng)圓在橢圓的外部時(shí)，，
橢圓的方程為．
（2）證明：設(shè)．
因?yàn)闄E圓的短軸長小于4，所以的方程為．
則由已知可得，切線的方程為的方程為，
將代入的方程整理可得，
．
顯然的坐標(biāo)都滿足方程，
故直線的方程為，
令，可得，即直線過定點(diǎn)．
變式7．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；
(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)（不同于），直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題意，故橢圓方，
設(shè)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，由于圓在橢圓內(nèi)部，則恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
令，
，
則，于是有；
（2）設(shè)，，
，（由（1）斜率都存在），
由于兩直線均與圓C相切，則，
則為方程的兩根，由韋達(dá)定理可知，
設(shè)，
由韋達(dá)定理可知，
由.則
.故過定點(diǎn).
題型三：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決定值問題
例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為，，，
橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，
，解得，，
橢圓的方程為，拋物線的方程為．
（2）由題意知過點(diǎn)與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設(shè)，則切線方程為，
聯(lián)立，消去，得，
由，得，
直線，的斜率分別為，，，
為定值．
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且.
(1)求拋物線C和圓F的方程；
(2)若點(diǎn)P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，請(qǐng)問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題意可得：拋物線C：的焦點(diǎn)為，則圓F的方程為，
聯(lián)立方程，消去x得，解得或（舍去），
將代入得A，B的坐標(biāo)分別為，.
故，所以，
所以拋物線C的方程為，圓F的方程為.
（2）是，理由如下：
設(shè)，則，
因?yàn)閽佄锞€的方程為，則，
所以切線PM的方程為，即，①
同理切線PN的方程為，②
則由①②過，則，
所以直線MN的方程為，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，，
所以
，
又在圓F上，則，即，
故為定值16.
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)引圓：的一條切線，切點(diǎn)為，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，是否存在點(diǎn)A使得的面積為？若存在，求點(diǎn)A的個(gè)數(shù)；否則，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）如圖
已知拋物線：的焦點(diǎn)為，
圓：的圓心，半徑，
則，
過點(diǎn)M作軸，則，，
在中，滿足，
即，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）存在點(diǎn)A使得的面積為，點(diǎn)A的個(gè)數(shù)為2，理由如下：
設(shè)，，，
由（1）可知拋物線的方程為，
則切點(diǎn)弦PQ的方程為，斜率，
聯(lián)立，得，
所以，，
，
點(diǎn)到直線PQ的距離，
，
所以，
即點(diǎn)A的軌跡為拋物線往左平移個(gè)單位長度，
因?yàn)辄c(diǎn)A在圓M上，聯(lián)立，得，
顯然是一個(gè)根，因式分解得，
令，，則，
若，由于，
則恒成立，所以為增函數(shù)，
，，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，
所以存在兩個(gè)點(diǎn)A使得的面積為.
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(1)求拋物線和圓的方程；
(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.
【解析】（1）由題設(shè)得，
所以拋物線的方程為.
因此，拋物線的焦點(diǎn)為，即圓的圓心為
由圓與軸相切，所以圓半徑為，
所以圓的方程為.
（2）證明：由于，每條切線都與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則.
故設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的切線方程為，即.
依題意得，整理得①；
設(shè)直線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，
故，②，
由得③，
因?yàn)辄c(diǎn)，
則④，⑤
由②，④，⑤三式得：
，
即，
則，即，
所以點(diǎn)在圓.
變式9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到F的最小距離為1．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)向C作兩條切線AM，AN，切點(diǎn)分別為M，N，直線AF與直線MN交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q到直線FM的距離等于到直線FN的距離．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由拋物線定義可知，
故，得，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）解法一 ，設(shè)，，由，得，
所以拋物線在點(diǎn)M處的切線方程為，
在點(diǎn)N處的切線方程為．
因?yàn)閮蓷l切線均過點(diǎn)，所以，
所以點(diǎn)M，N的坐標(biāo)滿足，
所以，即，解得或，
不妨設(shè)，，則，．就
易知，所以，，，
所以，，
所以，所以．
因?yàn)镕Q平分，所以點(diǎn)Q到直線FM的距離等于到直線FN的距離．
解法二 設(shè)切點(diǎn)為，由，得，
所以過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，
聯(lián)立，得，消去y并整理得，
則，解得或，
不妨設(shè)，，則，，
所以直線MN的方程為，易知，所以直線AF的方程為，
由，得，即．
易得直線FM的方程為，直線FN的方程為，
所以點(diǎn)Q到直線FM的距離，
點(diǎn)Q到直線FN的距離，所以，得證．
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，若直線與直線交于點(diǎn)，且點(diǎn)到直線 直線的距離分別為.求證：為定值.
【解析】（1）因?yàn)椋深}意可得，
解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）方法一：設(shè)，由，得，
所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，
在點(diǎn)處的切線方程為，
因?yàn)閮蓷l切線均過點(diǎn)，所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足，
所以，即，解得或，
不妨設(shè)，則，
易知，所以，
所以，
，
所以，所以，所以平分，
所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，
所以，為定值，得證.
方法二：設(shè)切點(diǎn)為，由，得，
所以過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，
聯(lián)立方程，消去并整理得，
則，解得或，
不妨設(shè)，則，
所以直線的方程為，
易知，所以直線的方程為，
由，得，即，
易得直線的方程為，直線的方程為，
所以點(diǎn)到直線的距離，
點(diǎn)到直線的距離，
所以，則，為定值，得證.
變式11．（2024·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)校考開學(xué)考試）在以為圓心，6為半徑的圓A內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)P為圓A上的任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點(diǎn)M．
(1)判斷點(diǎn)M的軌跡是什么曲線，并求其方程；
(2)記點(diǎn)M的軌跡為曲線，過點(diǎn)B的直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，求的最大值；
(3)在圓上的任取一點(diǎn)Q，作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過程．
【解析】（1）由題意可知,
因?yàn)榫€段的垂直平分線和半徑交于點(diǎn)，
所以,
所以,
由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，
由，得，又，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，,
所以，
此時(shí)，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則
，消去，得，
所以，
設(shè)，,則，
所以，
綜上，的最大值為.
（3）與垂直,證明如下：設(shè)，則，
①當(dāng)兩切線中有一條切線斜率不存在時(shí)，即與軸垂直時(shí)，切線方程為，
即，得，
所以另一條切線方程為，即與軸平行，所以兩切線垂直.
當(dāng)斜率存在時(shí)，，設(shè)切線方程為，則
，消，得，
由于直線與橢圓相切，得，
化簡得，
因?yàn)椋裕磧蓷l切線相互垂直，
綜上，過點(diǎn)作的兩條切線與垂直.
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且
(1)求拋物線的方程；
(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.
【解析】（1）由題意可知，半徑為，
由圓的圓心以及拋物線的焦點(diǎn)均在在坐標(biāo)軸軸，故由對(duì)稱性可知：軸于點(diǎn)，
在直角三角形中，,
因此 故，將其代入拋物線方程中得，
故拋物線方程為：
（2）令，
拋物線在點(diǎn)處的切線方程為,
與聯(lián)立得①
由相切得，
代入①得
故在點(diǎn)處的切線方程為，即為
同理：點(diǎn)處的切線方程為，
而兩切線交于點(diǎn)，
所以有，
則直線的方程為:，
由得,所以
于是
，
又點(diǎn)在圓上，
所以,即.
變式13．（2024·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線，圓是上異于原點(diǎn)的一點(diǎn).
(1)設(shè)是上的一點(diǎn)，求的最小值；
(2)過點(diǎn)作的兩條切線分別交于兩點(diǎn)（異于）.若，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)，圓心，半徑為，
，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，
所以的最小值；
（2）由題設(shè)，切線斜率一定存在，設(shè)切線的斜率為，
所以切線的方程為：，
由圓的切線性質(zhì)可知：
，
設(shè)，
，是方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，
因此，即，且，
所以由圓的切線性質(zhì)知：，
，
所以的坐標(biāo)為或.
變式14．（2024·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，橢圓，圓，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為．
(1)過橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若，求的值；
(2)過圓O上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直．
【解析】（1）設(shè)，由于，
而，則，
所以（其中），
．
（2）設(shè)，則，即，
設(shè)過點(diǎn)R的圓O的切線斜率都存在時(shí)的方程：，代入橢圓方程得：
，
整理得：，
則，
即，
是上述關(guān)于k的方程的兩個(gè)根，則，
即兩條切線的斜率都存在時(shí)，有兩條切線相互垂直；
而當(dāng)過R的切線斜率不存在時(shí)，易知R點(diǎn)的坐標(biāo)為，
此時(shí)顯然兩條切線相互垂直，
綜上，過圓O上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，則兩條切線相互垂直．
變式15．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)，若，存在，證明：為定值.
【解析】（1）將，代入到，
可得，解得，，
所以橢圓的方程為：.
（2）由題意可知，蒙日?qǐng)A方程為：.
（ⅰ）若直線斜率不存在，則直線的方程為：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為：.
聯(lián)立，化簡整理得：，
據(jù)題意有，于是有：.
設(shè)（），（）.
化簡整理得：，
，
，.
則
，
，所以.
綜上可知，為定值.
題型四：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決最值問題
例10．（2024·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，M位于F的上方且.
(1)求p；
(2)若點(diǎn)P在直線上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求的最小值.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，即，
由是拋物線上的點(diǎn)，則，
聯(lián)立可得，消去可得，
分解因式可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，不合題意，
所以；
（2）任意取點(diǎn)位于拋物線上，設(shè)點(diǎn)，則，即，
由拋物線方程，可得函數(shù)，求導(dǎo)可得，
令，整理可得，
設(shè)，，則，，
由拋物線的定義，可得，，
則，
其中，
，
所以，
當(dāng)時(shí)，.
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.
【解析】（1）由題知，，
拋物線的方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（2）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，
設(shè)點(diǎn)，則，
在中，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
由圓的切線性質(zhì)知，，
四邊形的面積，
故四邊形面積的最小值為.
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，離心率為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為8．
(1)求橢圓的方程；
(2)過直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為，
①證明：直線過定點(diǎn)；
②求的最大值．
備注：若點(diǎn)在橢圓C：上，則橢圓C在點(diǎn)處的切線方程為．
【解析】（1）因?yàn)榻?jīng)過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長為，
由橢圓的定義，可得，可得，
又由離心率為，可得，所以，
則，所以橢圓C的方程為.
（2）①證明：由（1）知，，設(shè)，，，
根據(jù)題意，可得以M為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，
以N為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，
又兩切線均過點(diǎn)P，故，且，
整理化簡得，且，
所以點(diǎn)，，均在直線上，
所以直線MN的方程為，且直線MN過定點(diǎn).
②由題意，直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去得，
可得，且，
可得
，
令，設(shè)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，
即的最大值為，
又由，
所以的最大值為，此時(shí)直線的方程為.
變式16．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點(diǎn)在直線：上，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的值.
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，可得，
又因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，
由拋物線的性質(zhì)可得，解得，即拋物線的方程為.
（2）由題意可設(shè)，且，，
因?yàn)椋裕傻茫裕淼茫?br/>設(shè)點(diǎn)，同理可得，
則直線方程為，
令，可得，即點(diǎn)，
因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線方程為，
令，可得，即點(diǎn)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)上式等號(hào)成立，
即的最小值為，
聯(lián)立方程組，整理得，
所以，
則
所以.
變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為，，為C上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，且長軸長和短軸長之比為2 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，過P作圓 的兩條切線，，設(shè)，與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意得，，
所以，
所以，
解得，，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）如圖所示：
當(dāng)過P的切線斜率存在，即，時(shí)，
設(shè)其方程為，即，
令，得切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)榍芯€和圓O相切，所以
化簡得，
則有，.
設(shè)切線，的斜率分別為，，則，，
所以
因?yàn)镻在橢圓C上，所以有，代入上式化簡可得.
令 ，得，，
則.
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即.
當(dāng)過P的切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)或.
若P點(diǎn)的坐標(biāo)為，由對(duì)稱性可得，
因?yàn)椋悦娣e的最小值為.
變式18．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知直線與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為.
(1)證明點(diǎn)D在一條定直線上；
(2)過點(diǎn)D作y軸的平行線交C于點(diǎn)E，線段的中點(diǎn)為，
①證明：為的中點(diǎn)；
②求面積的最小值.
【解析】（1）設(shè)，，，由得，
C在點(diǎn)A處的切線方程為，
將代入上式得，故，
同理，
A，B兩點(diǎn)兩點(diǎn)都在直線上，
所以直線與直線是同一直線，故，，
即點(diǎn)D在定直線上.
（2）①，即為，為，
將與聯(lián)立得，，
故，
線段的中點(diǎn)為，故三點(diǎn)共線，
，，故為的中點(diǎn).
②，，
點(diǎn)到直線的距離為：
，
（當(dāng)時(shí)取等），
面積的最小值為.
變式19．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為3.
(1)求；
(2)若點(diǎn)在圓上，，是拋物線的兩條切線，是切點(diǎn)，求三角形面積的最大值.
【解析】（1）圓的圓心，半徑，
由點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，解得；
（2）由（1）知，拋物線的方程為，即，則，
設(shè)切點(diǎn)，，則，
則，
則直線，直線，
聯(lián)立，解得，
從而得到，
設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，消去并整理，得，
則，即，
且，，故，
因?yàn)椋?br/>點(diǎn)到直線的距離，
所以，①
又點(diǎn)在圓上，
故，代入①得，
而，故當(dāng)時(shí)，.
變式20．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線方程；
(2)圓：，過拋物線上一點(diǎn)作圓的兩條切線與軸交于、兩點(diǎn)，求的最小值.
【解析】（1）設(shè)焦點(diǎn)，，，
∴方程為；
（2）設(shè)切線：，：①，：②.
∵，∴，∴，
整理得：.
∵，
∴，
由韋達(dá)定理：，，
∴.
在①中令，，同理，
∴，
，∴，
∵，∴，
令，，則，
令，，
，∴在上單調(diào)遞增，
∴，∴.
變式21．（2024·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，P到定點(diǎn)的距離與P到定直線的距離之比為，
(1)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C ，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作做曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求面積的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
注：橢圓：上任意一點(diǎn)處的切線方程是：.
【解析】（1）設(shè)d是點(diǎn)P到直線 的距離，
根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是集合．
由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得.
（2）設(shè)，則，
切線方程：，切線方程：，
因?yàn)閮芍本€都經(jīng)過點(diǎn)，
所以，得， ，
從而直線的方程是：，
由，得，
由韋達(dá)定理，得，
，
點(diǎn)到直線的距離，
，其中，
令，則，
令，則，
在上遞增，
，即時(shí)，的面積取到最大值，此時(shí)點(diǎn).
變式22．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考三模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上（異于，），且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求的最大值．
【解析】（1）設(shè)，則，
可得，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得，
整理得，即，可得，
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，
由，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知：切線的斜率存在，設(shè)為，
設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線為，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，
整理得，則，
即過直線上任一點(diǎn)均可作橢圓的兩條切線，且，
可得，
因?yàn)椋?br/>因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
則，可得，
所以，
故當(dāng)時(shí)，取到最大值.
變式23．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：的準(zhǔn)線為l，圓O：.
(1)當(dāng)時(shí)，圓O與拋物線C和準(zhǔn)線l分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)M，N，且，求拋物線C的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是（1）中所求拋物線C上的動(dòng)點(diǎn).過P作圓O的兩條切線分別與拋物線C的準(zhǔn)線l交于D，E兩點(diǎn)，求面積的最小值.
【解析】（1）因?yàn)椋渣c(diǎn)O到AB的距離等于點(diǎn)O到MN的距離，該距離等于，
由對(duì)稱性可得直線的方程為，
由取可得，
所以.
由解得，
所以拋物線C的方程為.
（2）由（1）可知準(zhǔn)線l的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，
則直線PD的方程為，
整理得.
因?yàn)橹本€PD和圓O相切，所以點(diǎn)O到直線PD的距離等于1，
即，
整理得，
同理有，
因?yàn)椋詍，n是一元二次方程的兩個(gè)根，
則，，
故，
又因?yàn)椋?br/>所以.
因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為，
所以
令，則
令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
則，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
綜上，面積的最小值為.
題型五：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決范圍問題
例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的取值范圍．
【解析】（1）直線，經(jīng)過點(diǎn)，，被橢圓截得的弦長為，可得．
又，，解得：，，，
橢圓的方程為．
（2）由（1）可得：圓的方程為：．
設(shè)，則以為直徑的圓的方程為：，
與相減可得：直線的方程為：，
設(shè)，，，，聯(lián)立，化為：，
，則，，
故．
又圓心到直線的距離，
，
，
令，則，
，可得，可得：．
例14．（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，且，求面積的取值范圍.
【解析】（1）直線，當(dāng)時(shí)，，即，，
則，解得或（舍去），
故拋物線的方程為.
（2）設(shè)，，，，，
的直線方程為：，整理得到，
同理可得：方程為，
故，故的直線方程為，
，整理得到，，
，
，解得，
設(shè)到的距離為，
，
，故，
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的周長為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)橢圓焦距為2c，根據(jù)橢圓定義可知，
的周長為，離心率
聯(lián)立，解得，，
所以，
即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)點(diǎn)，又為切點(diǎn)，可知，
所以四點(diǎn)共圓，即在以O(shè)M為直徑的圓上，
則以O(shè)M為直徑的圓的方程為，
又在圓上，
兩式相減得直線AB的方程為，如下圖所示：
設(shè)，，由，
消去y整理后得，
，，
所以
，
又點(diǎn)O到直線PQ的距離，
設(shè)的面積為S，則
，
其中，令，則，
設(shè)，，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得，
于是可得，
即的面積的取值范圍為.
變式24．（2024·遼寧沈陽·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．
【解析】（1）由題設(shè)，令，，根據(jù)拋物線性質(zhì)知：直線必過焦點(diǎn)，
所以，則，整理得，，則，
所以拋物線C的方程為.
（2）由題意，，且，，，
所以，
而，
令，則，
所以，，
綜上，，
又，，若，則，
由，當(dāng)，即時(shí)，無最大值，
所以，即，故，，
令，則，
令，在上恒成立，即遞減，所以.
變式25．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）直線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)作一條斜率為k的直線，若直線上存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P總能作C的兩條切線互相垂直，求直線k的取值范圍.
【解析】（1）依題意，直線交x軸于點(diǎn)，則雙曲線的半焦距，
直線的斜率為，因此雙曲線的一條漸近線斜率為，則，而，解得，，
所以雙曲線的方程為.
（2）當(dāng)過點(diǎn)的兩條切線斜率都存在時(shí)，設(shè)此切線的方程為：，
由消去y并整理得：，顯然，
則有，整理得，
由于點(diǎn)在直線上，即，因此，
設(shè)兩條切線的斜率分別為，，即有，化簡得，
過點(diǎn)的其中一條切線斜率不存在時(shí)，也滿足，
即點(diǎn)P一定在圓上，而過點(diǎn)的直線方程為：，
于是，解得，
所以
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