資源簡介

第76講 雙切線問題
知識梳理
雙切線問題，就是過一點做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用同構(gòu)法.
解題思路：
①根據(jù)曲線外一點設(shè)出切線方程．
②和曲線方程聯(lián)立，求出判別式．
③整理出關(guān)于雙切線斜率的同構(gòu)方程．
④寫出關(guān)于的韋達定理，并解題．
必考題型全歸納
題型一：定值問題
例1．（2024·河南·高三競賽）已知拋物線C：與直線l：沒有公共點，P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A、B為切點.
（1）證明：直線AB恒過定點Q；
（2）若點P與Q的連線與拋物線C交于M、N兩點，證明：.
例2．（2024·高二單元測試）已知拋物線C：的焦點F與橢圓的右焦點重合，點M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A，B．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．
例3．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知坐標(biāo)原點為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點為，為雙曲線的上焦點，且的面積為3．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．
變式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線（為常數(shù)，）.點是拋物線上不同于原點的任意一點.
(1)若直線與只有一個公共點，求；
(2)設(shè)為的準(zhǔn)線上一點，過作的兩條切線，切點為，且直線，與軸分別交于，兩點.
①證明：
②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
變式2．（2024·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點到焦點的距離為3.

(1)求，的值；
(2)設(shè)為直線上除，兩點外的任意一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點，和，，試判斷，，，四點縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.
題型二：斜率問題
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上任意一點,且△PF1F2的周長是8+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2=,過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E,F兩點,求直線EF的斜率.
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點為拋物線外一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．
（Ⅰ）若點為，求直線的方程；
（Ⅱ）若點為圓上的點，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，且的周長是．
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，使得以為直徑圓過原點，若存在寫出直線方程；
(3)設(shè)圓，過橢圓的上頂點作圓的兩條切線交橢圓于、兩點，當(dāng)圓心在軸上移動且時，求的斜率的取值范圍．
變式3．（2024·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓心在拋物線上，圓過原點且與的準(zhǔn)線相切．
(1)求拋物線的方程；
(2)點，點（與不重合）在直線上運動，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為．求證：．
變式4．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是拋物線上一點，過作圓的兩條切線（切點為），交拋物線分別點且當(dāng)時，.
(1)求拋物線的方程;
(2)判斷直線的斜率是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，說明理由.
變式5．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知、分別為橢圓的左、右焦點，M為上的一點.
(1)若點M的坐標(biāo)為，求的面積；
(2)若點M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點A、B，求證：為定值，并求出該定值；
(3)如圖，設(shè)點M的坐標(biāo)為，過坐標(biāo)原點O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時圓M的方程.
題型三：交點弦過定點問題
例7．（2024·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為2的正方形（記為Q）．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點P在直線上，過點P作以原點為圓心短半軸長為半徑圓O的兩條切線，切點為M，N，求證：直線恒過定點．
例8．（2024·河北唐山·開灤第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線C：的焦點為F，P(4,4)是C上的一點.
(1)若直線PF交C于另外一點A，求；
(2)若圓：，過P作圓E的兩條切線，分別交C于M，N兩點，證明：直線MN過定點.
例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知動圓恒過定點，圓心到直線的距離為．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過直線上的動點作的兩條切線，切點分別為，證明：直線恒過定點．
變式6．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€，過拋物線的焦點F且斜率為的直線l與拋物線相交于不同的兩點A，B，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)點M在拋物線的準(zhǔn)線上運動，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為P，Q，在平面內(nèi)是否存在定點N，使得直線MN與直線PQ垂直？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
變式7．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知結(jié)論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．
變式8．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；
(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點（不同于），直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.
變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，點F是拋物線C：的焦點．
(1)過點F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點，求的面積；
(2)若點T為直線上的動點，過點T作拋物線C的兩條切線，切點分別為M，N，求證：直線MN過定點．
變式10．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知的焦點為，且經(jīng)過的直線被圓截得的線段長度的最小值為4．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)坐標(biāo)原點為，若過點作直線與拋物線相交于不同的兩點，，過點，作拋物線的切線分別與直線，相交于點，，請問直線是否經(jīng)過定點？若是，請求出此定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由．
變式11．（2024·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預(yù)測）如下圖所示，已知橢圓的上頂點為，離心率為，且橢圓經(jīng)過點.

(1)求橢圓的方程；
(2)若過點作圓（圓在橢圓內(nèi)）的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（異于點），當(dāng)變化時，試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由.
題型四：交點弦定值問題
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；
(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線方程為 (p＞0)，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.
（1）求直線AB與軸的交點坐標(biāo)；
（2）若E為拋物線弧AB上的動點，拋物線在E點處的切線與三角形MAB的邊MA，MB分別交于點，，記，問是否為定值？若是求出該定值；若不是請說明理由.
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點，若圓與拋物線交于兩點，且
(1)求拋物線的方程；
(2)若點為圓上任意一點，且過點可以作拋物線的兩條切線，切點分別為.求證：恒為定值.
變式12．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，離心率等于，點是雙曲線在第一象限上的點，直線與軸的交點為，的周長等于，.
(1)求的方程；
(2)過圓上一點（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，對應(yīng)的切點為，.證明：直線與橢圓相切于點，且.
題型五：交點弦最值問題
例13．（2024·江西撫州·臨川一中校考模擬預(yù)測）橢圓：的離心率為，焦距為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是橢圓上的動點，過原點作圓：的兩條斜率存在的切線分別與橢圓交丁點，，求的最大值.
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，為其焦點，過不在拋物線上的一點作此拋物線的切線，為切點.且.
（Ⅰ）求證：直線過定點；
（Ⅱ）直線與曲線的一個交點為，求的最小值.
例15．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點.
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
變式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，是橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線與直線交于點，是直線與橢圓的兩個交點.
(1)求直線與直線的斜率之積；
(2)求面積的最大值.
變式14．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C：的焦點為F，且F與圓M：上點的距離的最小值為3．
(1)求p；
(2)若點P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求三角形PAB面積的最值．
題型六：交點弦范圍問題
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，點P是半橢圓上的一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點M、N．
（1）證明：；
（2）求的取值范圍．
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點.
（i）當(dāng)直線的斜率都存在時，記直線的斜率分別為.求證：；
（ii）求的取值范圍.
例18．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓為坐標(biāo)原點，點在圓上運動，為過點的圓的切線，以為準(zhǔn)線的拋物線恒過點，拋物線的焦點為，記焦點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過動點的兩條直線均與曲線相切，切點分別為，且的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
變式15．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，以橢圓的頂點為頂點的四邊形面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)我們稱圓心在橢圓上運動且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.過原點作橢圓的“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于兩點，若直線的斜率存在，并記為，求的取值范圍
本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2 ,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載（群內(nèi)99%以上資料為純word解析版），群內(nèi)資料每周持續(xù)更新！
高一資料群內(nèi)容：
1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
高二資料群內(nèi)容：
1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
高三資料群內(nèi)容：
1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）
2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）
3、高三三輪押題（純word解析版）
4、高考真題分類匯編（純word解析版）
5、專題分類匯編（純word解析版）
6、圓錐曲線專題（word+PDF）
7、導(dǎo)數(shù)專題（word+PDF）
8、全國名校期中期末一模二模（純word解析版）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第76講 雙切線問題
知識梳理
雙切線問題，就是過一點做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用同構(gòu)法.
解題思路：
①根據(jù)曲線外一點設(shè)出切線方程．
②和曲線方程聯(lián)立，求出判別式．
③整理出關(guān)于雙切線斜率的同構(gòu)方程．
④寫出關(guān)于的韋達定理，并解題．
必考題型全歸納
題型一：定值問題
例1．（2024·河南·高三競賽）已知拋物線C：與直線l：沒有公共點，P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A、B為切點.
（1）證明：直線AB恒過定點Q；
（2）若點P與Q的連線與拋物線C交于M、N兩點，證明：.
【解析】（1）設(shè)點.則.
由，得.所以.
于是，拋物線C在點A處的切線方程為
．
設(shè)點.則.
設(shè)點.同理，.
從而，，即
.
因此，直線AB恒過定點Q（k，1）.
（2）設(shè).
與拋物線方程聯(lián)立，消去y得
.
設(shè)點.則
①
要證，即證，則只需證明
，即
. ②
由方程組①知
.
故式②成立.從而，結(jié)論成立.
例2．（2024·高二單元測試）已知拋物線C：的焦點F與橢圓的右焦點重合，點M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A，B．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．
【解析】（1）因為，所以，
所以，可得橢圓的右焦點為，
可得拋物線C的焦點為，∴，
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；
（2）由于點M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點，故可設(shè)，
因為直線MA，MB的分別與拋物線C相切于點A，B點可知直線MA，MB的斜率存在，
且不為0，
設(shè)過點的直線方程為，
聯(lián)立，消去得：，
其判別式，令，得，
由韋達定理知，，故為定值－1．
例3．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知坐標(biāo)原點為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點為，為雙曲線的上焦點，且的面積為3．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．
【解析】（1）雙曲線的上焦點為，設(shè)，，
由已知得：，則，
代入雙曲線方程可得，解得或（舍去），所以，
又因為在拋物線上，所以，解得，故拋物線的方程為．
（2）設(shè)點，，對求導(dǎo)得，
則切線的方程為，
由整理得，
令，則，即，同理可求得．
將代入直線可得：，
同理可求得直線的方程：，
所以，的直線方程．
聯(lián)立消去得，
則韋達定理：，
則弦長，
點到直線的距離，
所以，
又，
故．
變式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線（為常數(shù)，）.點是拋物線上不同于原點的任意一點.
(1)若直線與只有一個公共點，求；
(2)設(shè)為的準(zhǔn)線上一點，過作的兩條切線，切點為，且直線，與軸分別交于，兩點.
①證明：
②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）將直線與拋物線聯(lián)立，
消去可得，由題意可知該方程只有一個實數(shù)根，
所以，又點在拋物線上，即；
可得，解得
（2）①易知拋物線的準(zhǔn)線方程為；
不妨設(shè)，切點，如下圖所示：
將求導(dǎo)可得，
則切線的斜率，切線的方程為，
又，的方程可化為；
同理可得的方程可化為；
又兩切線交于點，所以，
因此可得是方程的兩根，因此；
所以；
因此
②設(shè)直線和的傾斜角為，直線的傾斜角為，
所以；
又；；
；
所以
，
將代入可得
，
則可得，即；
又，所以，
可得，則為定值.
變式2．（2024·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點到焦點的距離為3.

(1)求，的值；
(2)設(shè)為直線上除，兩點外的任意一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點，和，，試判斷，，，四點縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，到準(zhǔn)線的距離為3，
∴，∴；
∴拋物線的焦點坐標(biāo)為，∴，∴；
（2）設(shè)，過點的直線方程設(shè)為，
由得，，
若直線，的斜率分別為，，設(shè)，，，的縱坐標(biāo)分別為，，，，
∴，，
∵到的距離，∴，
∴，，
∴，
∴，，，四點縱坐標(biāo)之積為定值，且定值為64.
題型二：斜率問題
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上任意一點,且△PF1F2的周長是8+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2=,過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E,F兩點,求直線EF的斜率.
【解析】試題分析：
（1）由橢圓的離心率為可得a=4b，c=b，然后根據(jù)△PF1F2的周長可得b=1，a=4，從而可得橢圓的方程．（2）由題意知過點M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+1，由直線與圓相切可得32k2+36k+5=0，從而得到，．然后分別求出兩切線與橢圓交點的橫坐標(biāo)和，最后根據(jù)斜率公式求解即可．
試題解析：
(1)由題意得e=，
∴a=4b，
∴c=b．
∵△PF1F2的周長是8+2，
∴2a+2c=8+2，
∴b=1,
∴a=4．
∴橢圓C的方程為+y2=1．
(2)由（1）得橢圓的上頂點為M(0,1)，
又由題意知過點M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為l：y=kx+1，
∵直線y=kx+1與圓T相切，
∴，
整理得32k2+36k+5=0，
∴
由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0，
∴．
同理可得,
∴．
故直線EF的斜率為．
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點為拋物線外一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．
（Ⅰ）若點為，求直線的方程；
（Ⅱ）若點為圓上的點，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）設(shè)直線PA方程為，直線PB方程為，
由，可得，
因為PA與拋物線相切，所以，取，則，
即A（1，1）．同理可得B（1，-1）．所以AB：．
（Ⅱ）設(shè)，則直線PA方程為，直線PB方程為．
由可得．
因為直線PA與拋物線相切，所以△=．
同理可得，所以時方程的兩根．
所以，．則=..
又因為，則，
所以===
=.
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，且的周長是．
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，使得以為直徑圓過原點，若存在寫出直線方程；
(3)設(shè)圓，過橢圓的上頂點作圓的兩條切線交橢圓于、兩點，當(dāng)圓心在軸上移動且時，求的斜率的取值范圍．
【解析】（1）令橢圓半焦距為c，因，即，又，則有，，
因△的周長是，即，解得，，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線L方程是，，，由消去y得：，
，即，則，
弦的中點，，
以為直徑的圓的方程是，因此圓過原點，
則有，解得，顯然滿足，
所以存在符合條件的直線，其方程為.
（3）由（1）知，橢圓的上頂點為在圓T外，顯然過點M的圓T的切線斜率存在，
設(shè)過點與圓相切的直線方程為，于是得，即，
設(shè)切線ME，MF的斜率分別為，有，
由消去y得，，于是得點E的橫坐標(biāo)，
同理得點F的橫坐標(biāo)，直線EF的斜率：
，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，
所以斜率的取值范圍為.
變式3．（2024·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓，圓心在拋物線上，圓過原點且與的準(zhǔn)線相切．
(1)求拋物線的方程；
(2)點，點（與不重合）在直線上運動，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為．求證：．
【解析】（1）∵圓與拋物線準(zhǔn)線相切，
∴，又圓過和原點，
∴，∴，
解得.
∴拋物線的方程為；
（2）設(shè)，，方程為，
∴，
∴拋物線在點處的切線的斜率，
∴切線的方程為，
即，
化簡得：，
又因過點，故可得，
即，
同理可得，
∴為方程的兩根，
∴，，
∴
，
∴.
變式4．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是拋物線上一點，過作圓的兩條切線（切點為），交拋物線分別點且當(dāng)時，.
(1)求拋物線的方程;
(2)判斷直線的斜率是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，說明理由.
【解析】（1）如圖，
易知，
即.
∵ ∴，即.
代入得 ，
∴拋物線.
（2）法1: 易知，直線的傾斜角互補，斜率相反，
設(shè)直線，直線，
則，
即.
依題意 ，有，即.
用代替得，
∴直線的斜率為.
綜上知，直線的斜率為定值.
法2：易知，直線的傾斜角互補，斜率相反，
設(shè)，則由得：
，化簡得.
∴直線的斜率為 .
綜上知，直線的斜率為定值.
變式5．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知、分別為橢圓的左、右焦點，M為上的一點.
(1)若點M的坐標(biāo)為，求的面積；
(2)若點M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點A、B，求證：為定值，并求出該定值；
(3)如圖，設(shè)點M的坐標(biāo)為，過坐標(biāo)原點O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時圓M的方程.
【解析】（1）由已知條件得，因為，則，又，
因此的面積為.
（2）設(shè)，由，得，
，又，，
，
于是
，
即為定值.
（3）因為直線:與相切，則，即，
同理，由直線:與相切，可得，
于是、是關(guān)于的方程的兩實根，
注意到，且，故，
因為定值，故不妨設(shè)（定值），
于是有，即.
依題意可知，變化，而、均為定值，即有，解得，，
設(shè)，，由得，同理，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此，解得，所以的范圍為，
當(dāng)或時，直線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，此時圓心M為橢圓頂點，
所以圓M的方程為或.
題型三：交點弦過定點問題
例7．（2024·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為2的正方形（記為Q）．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點P在直線上，過點P作以原點為圓心短半軸長為半徑圓O的兩條切線，切點為M，N，求證：直線恒過定點．
【解析】（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為，焦距為，
由題設(shè)條件知，，，
故橢圓C的方程為．
（2）設(shè)點是直線上任意一點，
由題可知點P，M，O，N在以為直徑的圓上，
此圓方程為 ①
又圓O的方程為， ②
①－②可得直線方程為：，則直線恒過定點．
例8．（2024·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線C：的焦點為F，P(4,4)是C上的一點.
(1)若直線PF交C于另外一點A，求；
(2)若圓：，過P作圓E的兩條切線，分別交C于M，N兩點，證明：直線MN過定點.
【解析】（1）由題設(shè)，則，故，則，
又直線過拋物線焦點，則直線，
聯(lián)立直線與拋物線并整理得：，故，即，
所以，
結(jié)合拋物線定義知：.
（2）設(shè)，，則（斜率存在且不為0）：，
所以為，則①，
由，則，所以，
而，與圓相切，則，整理得：，
同理可得：，
所以為的兩個不同根，
故，，代入①，有，
所以，即，可得，
所以直線過定點.
例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知動圓恒過定點，圓心到直線的距離為．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過直線上的動點作的兩條切線，切點分別為，證明：直線恒過定點．
【解析】（1）設(shè)，則，
因為，即，
當(dāng)，即時，則，整理得；
當(dāng)，即時，則，
整理得，不成立；
綜上所述：點的軌跡的方程.
（2）由（1）可知：曲線：，即，則，
設(shè)，
可知切線的斜率為，所以切線：，
則，整理得，
同理由切線可得：，
可知：為方程的兩根，則，
可得直線的斜率，
設(shè)的中點為，則，
即，
所以直線：，整理得，
所以直線恒過定點.
變式6．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考三模）已知拋物線，過拋物線的焦點F且斜率為的直線l與拋物線相交于不同的兩點A，B，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)點M在拋物線的準(zhǔn)線上運動，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為P，Q，在平面內(nèi)是否存在定點N，使得直線MN與直線PQ垂直？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設(shè)，，
根據(jù)題意可知直線l的方程為，
聯(lián)立得，
所以，
因為，
所以，解得，
所以拋物線C的方程為．
（2）如圖所示，
拋物線的準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)點M在特殊位置時，
切點P，Q關(guān)于y軸對稱，要使MN⊥PQ，點N必在y軸上．
故設(shè)，，，，
拋物線C的方程為，求導(dǎo)得，
所以切線MP的斜率，
則直線MP的方程為，整理得，
又點M在直線MP上，
所以，整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，
所以
因為，，
所以
，
當(dāng)時，，
即存在定點，使得直線MN與直線PQ垂直．
變式7．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知結(jié)論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．當(dāng)圓在橢圓的內(nèi)部時，，橢圓的方程為．
當(dāng)圓在橢圓的外部時，，
橢圓的方程為．
（2）證明：設(shè)．
因為橢圓的短軸長小于4，所以的方程為．
則由已知可得，切線的方程為的方程為，
將代入的方程整理可得，
．
顯然的坐標(biāo)都滿足方程，
故直線的方程為，
令，可得，即直線過定點．
變式8．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；
(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點（不同于），直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.
【解析】（1）由題意，故橢圓方，
設(shè)為橢圓上的一動點，由于圓在橢圓內(nèi)部，則恒成立，
即對任意恒成立，
令，
，
則，于是有；
（2）設(shè)，，
，（由（1）斜率都存在），
由于兩直線均與圓C相切，則，
則為方程的兩根，由韋達定理可知，
設(shè)，
由韋達定理可知，
由.則
.故過定點.
變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，點F是拋物線C：的焦點．
(1)過點F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點，求的面積；
(2)若點T為直線上的動點，過點T作拋物線C的兩條切線，切點分別為M，N，求證：直線MN過定點．
【解析】（1）據(jù)題意，直線l的斜率為，則直線l的方程為，設(shè)，，
由，聯(lián)立可得，
易得，故，，
因此，．
（2）證明：設(shè)點，，，以M為切點的拋物線的切線方程為，
由，聯(lián)立可得，
由判別式，即，即，顯然，可得，
因此，以M為切點的拋物線的切線方程為，
同理可得，以N為切點的拋物線的切線方程為，
由于這兩條切線都經(jīng)過點，代入可得，，
則直線MN的方程為，可得直線MN過定點．
變式10．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知的焦點為，且經(jīng)過的直線被圓截得的線段長度的最小值為4．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)坐標(biāo)原點為，若過點作直線與拋物線相交于不同的兩點，，過點，作拋物線的切線分別與直線，相交于點，，請問直線是否經(jīng)過定點？若是，請求出此定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由．
【解析】（1）因為拋物線的焦點為，圓的圓心，
而經(jīng)過的直線被圓截得的線段長度，其中為圓心到直線的距離，
則，所以，
顯然，的最大值為焦點到圓心的距離，即，
所以，又，解得或（舍），
故拋物線的方程為．
（2）設(shè)點，，，由，即，得，
則點處的切線方程為，
直線的方程為：，
則點，同理點，
可得：
，
直線的方程為：，
注意到點，滿足，
直線的方程為．
注意令，則
，
直線經(jīng)過定點．
變式11．（2024·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預(yù)測）如下圖所示，已知橢圓的上頂點為，離心率為，且橢圓經(jīng)過點.

(1)求橢圓的方程；
(2)若過點作圓（圓在橢圓內(nèi)）的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（異于點），當(dāng)變化時，試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由.
【解析】（1）由題知解得，
故橢圓的方程為
（2）設(shè)點為橢圓上任意一點，則，
所以，
所以當(dāng)時，取最小值，
即橢圓上的點到點的最小距離為，
因為圓在橢圓內(nèi)部，所以半徑，
所以直線的斜率均存在，
設(shè)過點與圓相切的直線為，設(shè)直線的斜率分別為，
則圓心到直線的距離，
化簡得：①，
從而，
由得：，解得：或
將代入可得，
所以，
所以直線BD的斜率，
直線BD的方程為：
化簡為：，
即
所以，當(dāng)變化時，直線BD總過定點.
題型四：交點弦定值問題
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；
(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．
【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為，
∵拋物線的焦點到直線的距離為，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，設(shè)切點為，曲線，，
則切線的斜率為，化簡得，
設(shè)，，，則，是以上方程的兩根，
則，，
，
直線的方程為：，整理得，
∵切線的方程為，整理得，且點，在切線上，
∴，即直線的方程為：，化簡得，
又∵，∴，
故直線過定點．
（3）設(shè)，，，
過的切線，過的切線，
則交點，
設(shè)過點的直線為，
聯(lián)立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴點滿足的軌跡方程為．
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線方程為 (p＞0)，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.
（1）求直線AB與軸的交點坐標(biāo)；
（2）若E為拋物線弧AB上的動點，拋物線在E點處的切線與三角形MAB的邊MA，MB分別交于點，，記，問是否為定值？若是求出該定值；若不是請說明理由.
【解析】（1）設(shè)，，拋物線方程可變?yōu)椋?br/>所以，所以，，
直線的方程為，直線方程為，
則解得，，
又，所以直線的方程為，
化簡得， 令，，
又， 所以，
所以直線AB與軸的交點坐標(biāo)為.
（2）記，設(shè)點，
可得直線的方程為，
由可得，同理，
所以
，
所以，同理，
所以，
設(shè)，記，則，，，，，
于是，
所以
，
所以.
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點，若圓與拋物線交于兩點，且
(1)求拋物線的方程；
(2)若點為圓上任意一點，且過點可以作拋物線的兩條切線，切點分別為.求證：恒為定值.
【解析】（1）由題意可知，半徑為，
由圓的圓心以及拋物線的焦點均在在坐標(biāo)軸軸，故由對稱性可知：軸于點，
在直角三角形中，,
因此 故，將其代入拋物線方程中得，
故拋物線方程為：
（2）令，
拋物線在點處的切線方程為,
與聯(lián)立得①
由相切得，
代入①得
故在點處的切線方程為，即為
同理：點處的切線方程為，
而兩切線交于點，
所以有，
則直線的方程為:，
由得,所以
于是
，
又點在圓上，
所以,即.
變式12．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，離心率等于，點是雙曲線在第一象限上的點，直線與軸的交點為，的周長等于，.
(1)求的方程；
(2)過圓上一點（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，對應(yīng)的切點為，.證明：直線與橢圓相切于點，且.
【解析】（1）由題意知，，
又因為，
所以，
所以，又因為，所以，
所以的方程為：.
（2）設(shè)，則，
，，
設(shè)切線的斜率分別為，設(shè)的方程為：，
因為，所以，
所以，
所以 （*）
因為，整理得，
即，所以，同理：，
因為切線均過點，同理根據(jù)上面可知，
為的兩解，所以，
所以，為直角三角形，
因為，所以，
所以，同理：，
所以直線的方程為：，
將直線：，代入橢圓的方程：可得：
，即，
所以，，
所以直線與橢圓相切，切點，
所以，所以，
所以.
題型五：交點弦最值問題
例13．（2024·江西撫州·臨川一中校考模擬預(yù)測）橢圓：的離心率為，焦距為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是橢圓上的動點，過原點作圓：的兩條斜率存在的切線分別與橢圓交丁點，，求的最大值.
【解析】（1）由題意得，又，
所以，，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)圓的切線的方程為，則，
整理得，其兩根，滿足①，
這里，，且②，
由①②得，
設(shè)，，則，，
這里，，
所以，，
則，
因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即.
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，為其焦點，過不在拋物線上的一點作此拋物線的切線，為切點.且.
（Ⅰ）求證：直線過定點；
（Ⅱ）直線與曲線的一個交點為，求的最小值.
【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由消去得，根據(jù)韋達定理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義可得這兩條切線的斜率分別為，.由這兩切線垂直得，從而可得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)，則，， ，，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，
以為切點的切線方程分別為，.
由消去得.
則，.
這兩條切線的斜率分別為，.
由這兩切線垂直得，得.
所以直線恒過定點.
（Ⅱ）設(shè)，則，，
當(dāng)時，則，可得，
當(dāng)時，則，，，
同樣可得.
所以.
由.
所以 .
令，.
.
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
所以.
（或 當(dāng)時取等號.）
例15．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點.
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，設(shè)的方程為，
因為圓經(jīng)過拋物線的焦點，
所以，解得，
所以的方程為.
（2）如圖所示，
設(shè)，則，聯(lián)立方程組整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，則，所以拋物線的過點A的切線方程是，
將代入上式整理得，
同理可得拋物線的過點的切線方程為
由解得，所以，
所以到直線的距離，
所以的面積，
當(dāng)時，，
所以面積的最小值為.
變式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，是橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線與直線交于點，是直線與橢圓的兩個交點.
(1)求直線與直線的斜率之積；
(2)求面積的最大值.
【解析】（1）
設(shè)，，，
由可得，對其求導(dǎo)可得，
所以當(dāng)時，直線的斜率為，
則直線的方程為，即.
當(dāng)時，成立，所以直線的方程為.
同理可得直線的方程為，
又因為是兩條切線的交點，所以有，，
所以，則，又因為，
所以.
（2）①當(dāng)時，聯(lián)立直線與橢圓方程，
得，
，，
則，
聯(lián)立直線與橢圓方程，解得點.
則點到直線的距離，
所以
令，則，
令，則，記，
，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，，即時，.
所以，所以面積的最大值是.
②當(dāng)時，直線的方程為，聯(lián)立，
可得，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨令，則，
則點到直線的距離，
所以
令，則，記，
，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，時，.
所以，所以面積的最大值是.
根據(jù)對稱性可得當(dāng)時，面積的最大值是.
所以當(dāng)時，的最大值為.
當(dāng)時，同理可求得，當(dāng)時，的最大值為.
綜上，當(dāng)時，面積的最大值是.
變式14．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C：的焦點為F，且F與圓M：上點的距離的最小值為3．
(1)求p；
(2)若點P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求三角形PAB面積的最值．
【解析】（1）由點到圓M上的點的距離的最小值為
解得．
（2）由（1）知，拋物線的方程為，即，則．
設(shè)切點，，則易得直線PA：，直線PB：，
從而得到．
設(shè)直線AB：，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得，
則，即，且，，故．
因為，
點P到直線AB的距離，所以，①
又點在圓M：上，
故，代入①得，，
而，故當(dāng)時，,
故當(dāng)時，.
題型六：交點弦范圍問題
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，點P是半橢圓上的一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點M、N．
（1）證明：；
（2）求的取值范圍．
【解析】（1）由題意知，直線PA的斜率存在且不為0，設(shè)點P的坐標(biāo)為，
直線PA方程為．
令，可知點M的坐標(biāo)為．
由，消去x得．
因為直線與拋物線只有一個交點，
故，即．
因為點F的坐標(biāo)為，
故，．
則．
因此，亦即．
（2）設(shè)直線PB的方程為．
由（1）可知，n滿足方程．
故m，n是關(guān)于t的方程的兩個不同的實根．
所以．
由（1）可知：，同理可得．
故，．
則，
因為，
所以．
因此，的取值范圍是．
【點晴】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，計算量較大，考查學(xué)生的運算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點.
（i）當(dāng)直線的斜率都存在時，記直線的斜率分別為.求證：；
（ii）求的取值范圍.
【解析】（1）∵橢圓的左焦點，∴.
將代入，得.
又，∴，.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）（i）設(shè)點，設(shè)過點與橢圓相切的直線方程為.
由，消去，得.
.
令，整理得.
由已知，則.
又，∴.
（ii）設(shè)點，.
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.
由，消去，得.
.
令，整理得.
則.
∴直線的方程為.
化簡，可得，即.
經(jīng)驗證，當(dāng)直線的斜率不存在時，
直線的方程為或，也滿足.
同理，可得直線的方程為.
∵在直線，上，∴，.
∴直線的方程為.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又由（i）可知當(dāng)直線，的斜率都存在時，；
易知當(dāng)直線或斜率不存在時，也有.
∴為圓的直徑，即.
∴.
又，∴.
∴的取值范圍為.
例18．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓為坐標(biāo)原點，點在圓上運動，為過點的圓的切線，以為準(zhǔn)線的拋物線恒過點，拋物線的焦點為，記焦點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過動點的兩條直線均與曲線相切，切點分別為，且的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）分別過作的垂線，垂足分別為，連接，
由拋物線的定義，可得，則．
因為，所以焦點的軌跡是以為焦點的橢圓，
其中，
所以拋物線的焦點的軌跡方程為
（2）設(shè)點，過點的直線的斜率為，則方程為，
聯(lián)立方程組，消得，，
整理得，
，即，所以點在方程為的圓上．
設(shè)點在橢圓上，則，則，
由知，滿足：
則，即，故，
從而得切線的方程為
整理得，點滿足方程，則，
同理可得
即點滿足方程，所以的方程為．
消得，
，，
．
設(shè)，點到直線的距離為，
；
．
所以．
變式15．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，以橢圓的頂點為頂點的四邊形面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)我們稱圓心在橢圓上運動且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.過原點作橢圓的“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于兩點，若直線的斜率存在，并記為，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意，得且，又，
解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)切線的方程為，切線的方程為，“環(huán)繞圓”的圓心D為.
由“環(huán)繞圓”的定義，可得“環(huán)繞圓”的半徑為1，所以“環(huán)繞圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
因為直線與“環(huán)繞圓”相切，則由點到直線的距離公式可得：，
化簡得.
同理可得.
所以是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
所以.
又因為“環(huán)繞圓”的圓心在橢圓上，所以代入橢圓方程中，
可得，解得.
所以.
又因為且，所以或.
所以或，所以或，
所以或.
所以的取值范圍是
本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2 ,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載（群內(nèi)99%以上資料為純word解析版），群內(nèi)資料每周持續(xù)更新！
高一資料群內(nèi)容：
1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
高二資料群內(nèi)容：
1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
高三資料群內(nèi)容：
1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）
2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）
3、高三三輪押題（純word解析版）
4、高考真題分類匯編（純word解析版）
5、專題分類匯編（純word解析版）
6、圓錐曲線專題（word+PDF）
7、導(dǎo)數(shù)專題（word+PDF）
8、全國名校期中期末一模二模（純word解析版）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑