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第77講 定點、定值問題
知識梳理
1、定值問題
解析幾何中定值問題的證明可運用函數的思想方法來解決．證明過程可總結為“變量—函數—定值”，具體操作程序如下：
（1）變量----選擇適當的量為變量．
（2）函數----把要證明為定值的量表示成變量的函數．
（3）定值----化簡得到的函數解析式，消去變量得到定值．
2、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
常用消參方法：
①等式帶用消參：找到兩個參數之間的等式關系，用一個參數表示另外一個參數，即可帶用其他式子，消去參數．
②分式相除消參：兩個含參數的式子相除，消掉分子和分母所含參數，從而得到定值．
③因式相減消參：兩個含參數的因式相減，把兩個因式所含參數消掉．
④參數無關消參：當與參數相關的因式為時，此時與參數的取值沒什么關系，比如：
，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．
3、求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
一般解題步驟：
①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數，需要消掉一個．
②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．
③參數無關找定點：找到和沒有關系的點．
必考題型全歸納
題型一：面積定值
例1．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知橢圓過點兩點，橢圓的離心率為，為坐標原點，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)設P為橢圓上第一象限內任意一點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.
例2．（2024·陜西漢中·高三統考階段練習）已知雙曲線：的焦距為，且焦點到近線的距離為1.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.
例3．（2024·廣東廣州·高三廣州市真光中學校考階段練習）已知雙曲線，漸近線方程為，點在上；

(1)求雙曲線的方程；
(2)過點的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點（不與點重合），且兩條直線的斜率，滿足，直線與直線，軸分別交于，兩點，求證：的面積為定值.
變式1．（2024·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）設橢圓過點，且左焦點為．
(1)求橢圓的方程；
(2)內接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，證明：面積為定值，并求出該定值．
變式2．（2024·全國·高二專題練習）已知，既是雙曲線：的兩條漸近線，也是雙曲線：的漸近線，且雙曲線的焦距是雙曲線的焦距的倍.

(1)任作一條平行于的直線依次與直線以及雙曲線，交于點，，，求的值；
(2)如圖，為雙曲線上任意一點，過點分別作，的平行線交于，兩點，證明：的面積為定值，并求出該定值.
變式3．（2024·四川成都·高二樹德中學校考階段練習）已知橢圓，是橢圓上的兩個不同的點，為坐標原點，三點不共線，記的面積為.

(1)若，求證：；
(2)記直線的斜率為，當時，試探究是否為定值并說明理由.
題型二：向量數量積定值
例4．（2024·新疆昌吉·高二統考期中）已知橢圓，，是C的左、右焦點，過的動直線l與C交于不同的兩點A，B兩點，且的周長為，橢圓的其中一個焦點在拋物線準線上，
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點，證明:為定值.
例5．（2024·江西萍鄉·高二萍鄉市安源中學校考期末）已知是拋物線上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標；
(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設，，求證：是定值.
例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學校考開學考試）已知點到的距離是點到的距離的2倍.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若點與點關于點對稱，過的直線與點的軌跡交于，兩點，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
變式4．（2024·全國·高二校聯考階段練習）已知橢圓的右焦點為，點在E上．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)過點F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，點Q為橢圓E的左頂點，直線QA，QB分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求證：為定值．
變式5．（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知橢圓的離心率為，橢圓的一個頂點與兩個焦點構成的三角形面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線與橢圓C交于A，B兩點，且與x軸，y軸交于M，N兩點.
①若，求k的值；②若點Q的坐標為，求證：為定值.
題型三：斜率和定值
例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考開學考試）已知，．
(1)證明：總與和相切；
(2)在（1）的條件下，若與在y軸右側相切于A點，與在y軸右側相切于B點．直線與和分別交于P，Q，M，N四點.是否存在定直線使得對任意題干所給a，b，總有為定值？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．
例8．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯考開學考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點.
(1)已知為拋物線的焦點，若的中點坐標為，求；
(2)設為坐標原點，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.
例9．（2024·河南許昌·高二統考期末）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設點P的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程；
(2)經過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.
變式6．（2024·河南商丘·高二校考階段練習）已知是橢圓的頂點（如圖），直線l與橢圓交于異于頂點的兩點，且，若橢圓的離心率是，且，

(1)求此橢圓的方程；
(2)設直線和直線的斜率分別為，證明為定值.
變式7．（2024·云南昆明·高二云南師范大學實驗中學校考階段練習）過點的直線為為圓與軸正半軸的交點.
(1)若直線與圓相切，求直線的方程：
(2)證明：若直線與圓交于兩點，直線的斜率之和為定值.
題型四：斜率積定值
例10．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切．
(1)求C的方程；
(2)直線與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，且平分，設直線的斜率為（O為坐標原點），判斷是否為定值？并說明理由．
例11．（2024·內蒙古包頭·高三統考開學考試）已知點，動點滿足直線PM與PN的斜率之積為，記點P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)過坐標原點的直線交曲線C于A，B兩點，點A在第一象限，AD⊥x軸，垂足為D，連接BD并延長交曲線C于點H．證明：直線AB與AH的斜率之積為定值．
例12．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）在直角坐標系中，點到點的距離與到直線：的距離之比為，記動點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過上兩點，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
變式8．（2024·全國·高二隨堂練習）已知橢圓的離心率為，點在C上，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
題型五：斜率比定值
例13．（2024·福建廈門·高二廈門一中校考期中）已知雙曲線：實軸長為4（在的左側），雙曲線上第一象限內的一點到兩漸近線的距離之積為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點，記直線，的斜率為，，請從下列的結論中選擇一個正確的結論，并予以證明.
①為定值；
②為定值；
③為定值
例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知橢C：，為其左右焦點，離心率為，
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設點P，點P在橢圓C上，過點P作橢圓C的切線l，斜率為，，的斜率分別為，，則是否是定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.
例15．（2024·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）已知雙曲線的實軸長為，左右兩個頂點分別為，經過點的直線交雙曲線的右支于兩點，且在軸上方，當軸時，.
(1)求雙曲線方程.
(2)求證：直線的斜率之比為定值.
題型六：線段定值
例16．（2024·浙江·高二校聯考期中）已知圓：與圓：.
(1)若圓與圓內切，求實數的值；
(2)設，在軸正半軸上是否存在異于A的點，使得對于圓上任意一點，為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
例17．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）已知P為平面上的動點，記其軌跡為Γ.
(1)請從以下三個條件中選擇一個，求對應的Γ的方程；①以點P為圓心的動圓經過點，且內切于圓；②已知點，直線，動點P到點T的距離與到直線l的距離之比為；③設E是圓上的動點，過E作直線EG垂直于x軸，垂足為G，且.
(2)在（1）的條件下，設曲線Γ的左、右兩個頂點分別為A，B，若過點的直線m的斜率存在且不為0，設直線m交曲線Γ于點M，N，直線n過點且與x軸垂直，直線AM交直線n于點P，直線BN交直線n于點Q，則線段的比值是否為定值 若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
例18．（2024·江西九江·統考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點分別為，，點為上的一個動點(非左右頂點)，連接并延長交于點，且的周長為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若橢圓的長軸端點為，且與的離心率相等，為與異于的交點，直線交于兩點，證明：為定值．
變式9．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學校聯考開學考試）已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，且．
(1)求的值；
(2)若直線l與交于M，N兩點，與交于P，Q兩點，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，證明：為定值．
變式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯考開學考試）已知拋物線（為常數，）.點是拋物線上不同于原點的任意一點.
(1)若直線與只有一個公共點，求；
(2)設為的準線上一點，過作的兩條切線，切點為，且直線，與軸分別交于，兩點.
①證明：
②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
變式11．（2024·山東淄博·高二校聯考階段練習）已知圓：與直線相切.
(1)若直線與圓交于，兩點，求；
(2)已知，，設為圓上任意一點，證明：為定值.
變式12．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）已知，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線，與，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，.
（i）求的面積與的面積之比；
（ⅱ）證明：為定值.
變式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中學校考期中）已知圓過點，，且圓心在直線上.是圓外的點，過點的直線交圓于，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若點的坐標為，求證：無論的位置如何變化恒為定值；
(3)對于（2）中的定值，使恒為該定值的點是否唯一？若唯一，請給予證明；若不唯一，寫出滿足條件的點的集合.
變式14．（2024·云南·校聯考模擬預測）已知點到定點的距離和它到直線：的距離的比是常數．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)若直線：與圓相切，切點在第四象限，直線與曲線交于，兩點，求證：的周長為定值．
題型七：直線過定點
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知分別為橢圓的左、右焦點，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.
(1)若的面積為，求直線的方程；
(2)過兩點分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點.
例20．（2024·江西南昌·高三校聯考階段練習）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，點為橢圓上任意一點，面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過軸上一點的直線與橢圓交于兩點，過分別作直線的垂線，垂足為，兩點，證明：直線，交于一定點，并求出該定點坐標.
例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外國語學校校考期中）在平面直角坐標系中，橢圓C： (a>b>0)過點，離心率為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點K(2，0)作與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，過A，B點作直線l：x＝的垂線，其中c為橢圓C的半焦距，垂足分別為A1，B1，試問直線AB1與A1B的交點是否為定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.
變式15．（2024·甘肅天水·高二統考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，點在E上．
(1)求E的方程；
(2)過點作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點，證明：直線MN過定點．
變式16．（2024·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考期中）在平面直角坐標系中， 橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點， 并求出定點的坐標．
變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知A B分別為橢圓E∶的右頂點和上頂點 橢圓的離心率為，F1 F2為橢圓的左 右焦點，點P是線段AB上任意一點，且的最小值為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l是圓C∶x2+y2=9上的點處的切線，點M是直線l上任一點，過點M作橢圓C的切線MG，MH，切點分別為G，H，設切線的斜率都存在.試問∶直線GH是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的右頂點是M（2，0），離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)過點T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．
題型八：動點在定直線上
例22．（2024·江蘇南通·高二校考階段練習）已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.
(1)求點的軌跡的方程.
(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，試問：當點變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請證明；若不是，請說明理由.
例23．（2024·上海·高二專題練習）已知雙曲線的兩焦點為，為動點，若.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）若，設直線過點，且與軌跡交于兩點，直線與交于點.試問：當直線在變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.
例24．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率，長軸的左、右端點分別為
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線 與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：當變化時，點是否恒在一條直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知曲線，直線與曲線交于軸右側不同的兩點．
(1)求的取值范圍；
(2)已知點的坐標為，試問：的內心是否恒在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．
變式20．（2024·浙江臺州·高二校聯考期中）已知直線l：與圓C：交于A B兩點.
(1)若時，求弦AB的長度；
(2)設圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
變式21．（2024·全國·高二專題練習）已知直線，圓.
(1)證明：直線與圓相交；
(2)設直線與的兩個交點分別為、，弦的中點為，求點的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，設圓在點處的切線為，在點處的切線為，與的交點為.證明：Q，A，B，C四點共圓，并探究當變化時，點是否恒在一條定直線上 若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
變式22．（2024·吉林四平·高二校考階段練習）已知橢圓的左、右頂點分別為、，短軸長為，點上的點滿足直線、的斜率之積為．
(1)求的方程；
(2)若過點且不與軸垂直的直線與交于、兩點，記直線、交于點．探究：點是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
變式23．（2024·高二課時練習）已知橢圓：（）過點，且離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程．
題型九：圓過定點
例25．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓M：的切線l(直線l的斜率存在且不為零)與橢圓相交于兩點，求證：以為直徑的圓是否經過坐標原點.
例26．（2024·四川宜賓·校考模擬預測）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.
例27．（2024·遼寧葫蘆島·統考二模）已知直線l1: 過橢圓C: 的左焦點，且與拋物線M: 相切.
(1)求橢圓C及拋物線M的標準方程;
(2)直線l2過拋物線M的焦點且與拋物線M交于A，B兩點，直線OA，OB與橢圓的過右頂點的切線交于M，N兩點.判斷以MN為直徑的圓與橢圓C是否恒交于定點P，若存在，求出定點P的坐標；若不存在，請說明理由.
變式24．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，動點M到直線的距離等于點M到點的距離的2倍，記動點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)已知斜率為的直線l與曲線C交于A、B兩個不同點，若直線l不過點，設直線的斜率分別為，求的值；
(3)設點Q為曲線C的上頂點，點E、F是C上異于點Q的任意兩點，以為直徑的圓恰過Q點，試判斷直線是否經過定點？若經過定點，請求出定點坐標；若不經過定點，請說明理由．
變式25．（2024·廣西·高三象州縣中學校考階段練習）在直角坐標系中，動點M到定點的距離比到y軸的距離大1．
(1)求動點M的軌跡方程；
(2)當時，記動點M的軌跡為曲線C，過F的直線與曲線C交于P，Q兩點，直線OP，OQ與直線分別交于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否經過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
變式26．（2024·江西宜春·高二江西省豐城中學校考期末）已知雙曲線：經過點A，且點到的漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點作斜率不為的直線與雙曲線交于M，N兩點，直線分別交直線AM，AN于點E，F．試判斷以EF為直徑的圓是否經過定點，若經過定點，請求出定點坐標；反之，請說明理由．
題型十：角度定值
例28．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.
(1)求圓O和橢圓C的方程；
(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N.求證：為定值.
例29．（2024·北京·高三北京八中校考期中）已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為，以橢圓的短軸為直徑的圓經過這兩個焦點，點，分別是橢圓的左、右頂點．
（1）求圓和橢圓的方程．
（2）已知，分別是橢圓和圓上的動點（，位于軸兩側），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點，．求證：為定值．
例30．（2024·全國·高三專題練習）已知點是橢圓的左焦點，過且垂直軸的直線交于，，且.
(1)求橢圓的方程
(2)四邊形(A，D在軸上方的四個頂點都在橢圓上，對角線，恰好交于點，若直線，分別與直線交于，，且為坐標原點，求證：．
變式27．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）如圖3所示，點，分別為橢圓的左焦點和右頂點，點為拋物線的焦點，且（為坐標原點）.

(1)求橢圓的方程；
(2)過點作直線交橢圓于，兩點，連接，并延長交拋物線的準線于點，，求證：為定值.
變式28．（2024·四川綿陽·高二鹽亭中學校考期中）已知圓 ，為圓上一動點，，若線段的垂直平分線交于點.

(1)求動點的軌跡方程;
(2)如圖，點 在曲線上，是曲線上位于直線兩側的動點，當運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.
變式29．（2024·廣東陽江·高三統考開學考試）已知，分別是橢圓長軸的兩個端點，C的焦距為2．，，P是橢圓C上異于A，B的動點，直線PM與C的另一交點為D，直線PN與C的另一交點為E．
(1)求橢圓C的方程；
(2)證明：直線DE的傾斜角為定值．
變式30．（2024·陜西榆林·高二校考階段練習）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過，兩點.
(1)求E的方程；
(2)若直線l與圓O：相切，且直線l交E于M，N兩點，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第77講 定點、定值問題
知識梳理
1、定值問題
解析幾何中定值問題的證明可運用函數的思想方法來解決．證明過程可總結為“變量—函數—定值”，具體操作程序如下：
（1）變量----選擇適當的量為變量．
（2）函數----把要證明為定值的量表示成變量的函數．
（3）定值----化簡得到的函數解析式，消去變量得到定值．
2、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
常用消參方法：
①等式帶用消參：找到兩個參數之間的等式關系，用一個參數表示另外一個參數，即可帶用其他式子，消去參數．
②分式相除消參：兩個含參數的式子相除，消掉分子和分母所含參數，從而得到定值．
③因式相減消參：兩個含參數的因式相減，把兩個因式所含參數消掉．
④參數無關消參：當與參數相關的因式為時，此時與參數的取值沒什么關系，比如：
，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．
3、求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
一般解題步驟：
①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數，需要消掉一個．
②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．
③參數無關找定點：找到和沒有關系的點．
必考題型全歸納
題型一：面積定值
例1．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知橢圓過點兩點，橢圓的離心率為，為坐標原點，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)設P為橢圓上第一象限內任意一點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.
【解析】（1）根據題意可知，
又，即可得，結合，
解得；
即橢圓的方程為.
（2）證明：由（1）可知，如下圖所示：
設，且；
易知直線的斜率，所以的直線方程為；
同理直線的斜率，所以的直線方程為；
由題意解得；
所以可得，
四邊形的面積
又，可得，
故，
即四邊形的面積為定值.
例2．（2024·陜西漢中·高三統考階段練習）已知雙曲線：的焦距為，且焦點到近線的距離為1.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.
【解析】（1）依題意得，，一條漸近線為，即，右焦點為，
所以，即，，所以，
所以，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）當直線的斜率不存在時，若動直線與雙曲線恰有1個公共點，則直線經過雙曲線的頂點，不妨設，又漸近線方程為，
將代入，得，將代入，得，
則，.
當直線的斜率存在，設直線，且，
聯立，消去并整理得，
因為動直線與雙曲線恰有1個公共點，
所以，得，
設動直線與的交點為，與的交點為，
聯立，得，同理得，
則
因為原點到直線的距離，
所以，
又因為，所以，即，
故的面積為定值，且定值為.
例3．（2024·廣東廣州·高三廣州市真光中學校考階段練習）已知雙曲線，漸近線方程為，點在上；

(1)求雙曲線的方程；
(2)過點的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點（不與點重合），且兩條直線的斜率，滿足，直線與直線，軸分別交于，兩點，求證：的面積為定值.
【解析】（1），，依題意，，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意可知斜率存在，設方程為，，，
，
，①，
，
整理得.
1），，過舍去，
2），，過點，
此時，將代入①得，
與交于點，故（定值）
變式1．（2024·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）設橢圓過點，且左焦點為．
(1)求橢圓的方程；
(2)內接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，證明：面積為定值，并求出該定值．
【解析】（1）由題意得，
解得，
所以橢圓C的方程為．
（2）設點的坐標分別為，，．
由題設知，，，均不為零，
記，則且
又四點共線，從而，
于是，，，
從而①，②，
又點在橢圓上，即③，④，
①＋②×2并結合③、④得，
即點總在定直線上．
∴所在直線為上．
由 消去y得，，
設，則，
于是，
又到的距離，
∴
∴面積定值為．
變式2．（2024·全國·高二專題練習）已知，既是雙曲線：的兩條漸近線，也是雙曲線：的漸近線，且雙曲線的焦距是雙曲線的焦距的倍.

(1)任作一條平行于的直線依次與直線以及雙曲線，交于點，，，求的值；
(2)如圖，為雙曲線上任意一點，過點分別作，的平行線交于，兩點，證明：的面積為定值，并求出該定值.
【解析】（1）依題意，根據雙曲線的焦距是雙曲線的焦距的倍，可得，
即，故雙曲線：，
不妨設：，則設：，
聯立，可得，聯立可得，
聯立可得，
從而,所以
（2）如圖，延長，分別交漸近線于，兩點，
由（1）可知，則，
設，則：，聯立，
解得，
而：，聯立，解得，
從而，
設的傾斜角為，則，而，故，
則，因此.
變式3．（2024·四川成都·高二樹德中學校考階段練習）已知橢圓，是橢圓上的兩個不同的點，為坐標原點，三點不共線，記的面積為.

(1)若，求證：；
(2)記直線的斜率為，當時，試探究是否為定值并說明理由.
【解析】（1）設的夾角為，
則，所以，
則
；
（2）由可知，，所以，
設直線的方程分別為：，
設.
則，
所以
.
題型二：向量數量積定值
例4．（2024·新疆昌吉·高二統考期中）已知橢圓，，是C的左、右焦點，過的動直線l與C交于不同的兩點A，B兩點，且的周長為，橢圓的其中一個焦點在拋物線準線上，
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點，證明:為定值.
【解析】（1）由可得準線為，
所以橢圓的左焦點，所以橢圓的半焦距，
因為的周長為，
所以，故.
所以，
所求橢圓的方程為.
（2）如圖所示：
①當直線斜率不存在時，的方程為，
將代入可得，
所以，，此時，，
則，
②當直線斜率存在時，設直線的方程為，設，，
由，得，
則，，，，
所以，
，
，
，
綜上所述，為定值，且定值為.
例5．（2024·江西萍鄉·高二萍鄉市安源中學校考期末）已知是拋物線上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標；
(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設，，求證：是定值.
【解析】（1）由拋物線的定義，得，解得p＝2.
所以拋物線C的方程為，M的坐標為或.
（2）由題意知直線l的斜率存在且不為0，設l的方程為x＝ty＋1（t≠0），則.將x＝ty＋1代入得.設，，則，.
由，得；由，得.
所以，故是定值1.
例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學校考開學考試）已知點到的距離是點到的距離的2倍.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若點與點關于點對稱，過的直線與點的軌跡交于，兩點，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）設點，由題意可得，即，
化簡可得.
（2）設點，由（1）點滿足方程:，，
代入上式消去可得，即的軌跡方程為，
當直線的斜率存在時，設其斜率為，則直線的方程為，
由，消去，得，顯然，
設，則，，
又，，
則
.
當直線的斜率不存在時，，，.
故是定值，即.
變式4．（2024·全國·高二校聯考階段練習）已知橢圓的右焦點為，點在E上．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)過點F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，點Q為橢圓E的左頂點，直線QA，QB分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求證：為定值．
【解析】（1）由題意得，又點在橢圓上，
則，解得，
故所求橢圓E的標準方程為.
（2）由題意知直線的斜率不為，可設方程為，
聯立，消得，
則，
設
由韋達定理得，，
則，
且
，
又則直線的方程為：，
令得，，
同理可得，，
故，
由，
則，
則.
即為定值.
變式5．（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知橢圓的離心率為，橢圓的一個頂點與兩個焦點構成的三角形面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線與橢圓C交于A，B兩點，且與x軸，y軸交于M，N兩點.
①若，求k的值；②若點Q的坐標為，求證：為定值.
【解析】（1），，代入得.
又橢圓的一個頂點與兩個焦點構成的三角形的面積為2，即，即，
以上各式聯立解得，則橢圓方程為.
（2）①直線與軸交點為，與軸交點為，
聯立消去得:，
設，則
解得:.由得;
②證明：由①知
，
為定值.
題型三：斜率和定值
例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考開學考試）已知，．
(1)證明：總與和相切；
(2)在（1）的條件下，若與在y軸右側相切于A點，與在y軸右側相切于B點．直線與和分別交于P，Q，M，N四點.是否存在定直線使得對任意題干所給a，b，總有為定值？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：
當時，故切線的斜率存在，設切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
則橢圓的切線斜率為，切線方程為，
整理得到，
其中，故，即，
當時，此時或，
當時，切線方程為，滿足，
當時，切線方程為，滿足，
所以橢圓在處的切線方程為；
上一點的切線方程為，理由如下：
設過點的切線方程為，與聯立得，
，
由，
化簡得，
因為，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因為，，
所以，
聯立，兩式相乘得，，
從而，
故，
即，
令，則，即，
解得，即，
所以上一點的切線方程為，
綜上：在點的切線方程為.
故曲線且在點的切線方程為．
當時，，聯立得，，
解得，則，
當時，，，滿足，
當時，，，滿足，
即曲線C與相切，
而此時且．故總與和相切．
（2）設直線．
設與交于和，
聯立得，
由韋達定理得，，
由題意，，
代入整理得，
因為為定值對任意a，b均成立，故為定值與a無關，為定值與b無關．
當時，必有，
此時．
故有，
代入解得，矛盾．
當時，且時成立．
此時直線，由（1）知與曲線僅有1個交點，矛盾．
故不存在，使為定值對任意a，b均成立．
例8．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯考開學考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點.
(1)已知為拋物線的焦點，若的中點坐標為，求；
(2)設為坐標原點，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.
【解析】（1）由得，設，
因為的中點坐標為，所以，
解得.
（2）
聯立，解得或，
所以，
所以直線的斜率.
設直線的方程為.
聯立，消去得，
因為直線與拋物線相切，
所以，即，
若，則，不符合題意，
所以，即，①
聯立，消去得，
因為直線與拋物線相切，
所以，即，②
由①②可得，所以，
故為定值，該定值為0.
例9．（2024·河南許昌·高二統考期末）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設點P的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程；
(2)經過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.
【解析】（1）設，則由直線PA，PB的斜率之積是可得，
化簡可得
（2）設直線方程為：，
則與橢圓方程聯立可得：，
則，故或，
設，則，.
故
.
變式6．（2024·河南商丘·高二校考階段練習）已知是橢圓的頂點（如圖），直線l與橢圓交于異于頂點的兩點，且，若橢圓的離心率是，且，

(1)求此橢圓的方程；
(2)設直線和直線的斜率分別為，證明為定值.
【解析】（1）由已知可得橢圓的離心率，
，
∴，
∴橢圓方程為；
（2）如圖，
由（1）可知：，，，且，所以直線的斜率，
設直線的方程為，設，
聯立得：，
，∴，
則，
又，，，，
∴，
，為定值.
變式7．（2024·云南昆明·高二云南師范大學實驗中學校考階段練習）過點的直線為為圓與軸正半軸的交點.
(1)若直線與圓相切，求直線的方程：
(2)證明：若直線與圓交于兩點，直線的斜率之和為定值.
【解析】（1）由已知可得，圓心，半徑.
當直線斜率不存在時，方程為，此時直線與圓不相切；
當直線斜率存在時，設直線斜率為，則方程為，即.
由直線與圓相切，可知圓心到直線的距離，
整理可得，，
解得或.
所以，直線的方程為或.
綜上所述，直線的方程為或.
（2）由題設得到點，
當直線斜率不存在時，方程為，
此時直線與圓的交點為，，
則；
當直線斜率存在時，設直線方程為，
代入圓的方程可得.
設點，
則.
所以，
，
則
.
綜上所述，與的斜率之和為定值.
故與的斜率之和為定值.
題型四：斜率積定值
例10．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切．
(1)求C的方程；
(2)直線與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，且平分，設直線的斜率為（O為坐標原點），判斷是否為定值？并說明理由．
【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，即有，
由以C的短軸為直徑的圓方程為，
由與直線相切得：，
聯立解得，
∴C的方程為；
（2）為定值，且，理由如下：
由題意，直線AP，BP的斜率互為相反數，即，
設，
由，消去y得：，
∴，
而，
∴，
即
，
∴，
∴，
化簡得，
又∵在橢圓上，∴，∴，
∴，
∴，
又∵不在直線，
則有，即，
∴為定值，且.
例11．（2024·內蒙古包頭·高三統考開學考試）已知點，動點滿足直線PM與PN的斜率之積為，記點P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)過坐標原點的直線交曲線C于A，B兩點，點A在第一象限，AD⊥x軸，垂足為D，連接BD并延長交曲線C于點H．證明：直線AB與AH的斜率之積為定值．
【解析】（1）由題設得，化解得，
所以為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點．
（2）
設直線的斜率為，則其方程為．
由得，
記，則，，．
于是直線的斜率為，方程為．
由得．①
設，則和是方程①的解，則，
故，由此得．
從而直線的斜率，所以．
所以直線與的斜率之積為定值．
例12．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）在直角坐標系中，點到點的距離與到直線：的距離之比為，記動點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過上兩點，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
【解析】（1）設，由題意可知，
所以的方程為；
（2）設，，
∴方程：代入橢圓方程
，
∴，
∴，∴，
∴，∴
同理設，，∴，
∴為定值.
變式8．（2024·全國·高二隨堂練習）已知橢圓的離心率為，點在C上，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
【解析】證明：由題意可得，解得，
故橢圓方程為，
由題意可設直線l的方程為，
設，則，
則，
兩式相減得，即，
即，又M為線段AB的中點，即有,
即，
即直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
題型五：斜率比定值
例13．（2024·福建廈門·高二廈門一中校考期中）已知雙曲線：實軸長為4（在的左側），雙曲線上第一象限內的一點到兩漸近線的距離之積為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點，記直線，的斜率為，，請從下列的結論中選擇一個正確的結論，并予以證明.
①為定值；
②為定值；
③為定值
【解析】（1）設是上的一點，與是的兩條漸近線，
到兩條漸近線的距離之積，
依題意，，故，雙曲線的標準方程為；
（2）正確結論：③為定值.
證明如下：由（1）知，，設，，
因為，不與，重合，所以可設直線：，
與聯立：，消去整理可得：
故，，，
所以，
，，
①，
，不是定值，
②，
，不是定值，
③，
所以是定值.
例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知橢C：，為其左右焦點，離心率為，
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設點P，點P在橢圓C上，過點P作橢圓C的切線l，斜率為，，的斜率分別為，，則是否是定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）由已知條件可得，，解得，
橢圓；
（2） 是定值，
證明：因為點，，過點作橢圓的切線，斜率為，
且，
與聯立消得，
由題設得，
即，
因為點在橢圓上，
，代入上式得，
而，
定值），
是定值；
例15．（2024·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）已知雙曲線的實軸長為，左右兩個頂點分別為，經過點的直線交雙曲線的右支于兩點，且在軸上方，當軸時，.
(1)求雙曲線方程.
(2)求證：直線的斜率之比為定值.
【解析】（1）由題意可得，
當軸時，直線，
則，
又，所以；
（2）
由題意可知，
不妨設：,，易知，
聯立雙曲線方程得，
則，且，不難發現
由斜率公式可知，
則，
故是定值.
題型六：線段定值
例16．（2024·浙江·高二校聯考期中）已知圓：與圓：.
(1)若圓與圓內切，求實數的值；
(2)設，在軸正半軸上是否存在異于A的點，使得對于圓上任意一點，為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為：，即，
故圓的圓心坐標為，半徑長，
且圓：，故圓的圓心坐標為，半徑長，
若圓與圓內切，則，
即，且，所以.
（2）設點，則，
于是，即，
同理，可得，
要使為定值，則，解得或（舍去），
故存在點使得為定值，此時.
例17．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）已知P為平面上的動點，記其軌跡為Γ.
(1)請從以下三個條件中選擇一個，求對應的Γ的方程；①以點P為圓心的動圓經過點，且內切于圓；②已知點，直線，動點P到點T的距離與到直線l的距離之比為；③設E是圓上的動點，過E作直線EG垂直于x軸，垂足為G，且.
(2)在（1）的條件下，設曲線Γ的左、右兩個頂點分別為A，B，若過點的直線m的斜率存在且不為0，設直線m交曲線Γ于點M，N，直線n過點且與x軸垂直，直線AM交直線n于點P，直線BN交直線n于點Q，則線段的比值是否為定值 若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）選①，則由得，
由橢圓的定義得長軸為4，焦距為2，所求軌跡Γ的方程為.
選②，設，由，
化簡得即所求軌跡Γ的方程為.
選③，設，由，得，
代入圓O的方程，得，即所求軌跡Γ的方程為
（2）已知直線m的斜率存在且不為0，設過點K的直線m的方程為，設，
與方程聯立得：，
∴.
且
直線AM的方程為，∴.同理，，
∴
其中，，
將代入可得，
，
∴.
例18．（2024·江西九江·統考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點分別為，，點為上的一個動點(非左右頂點)，連接并延長交于點，且的周長為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若橢圓的長軸端點為，且與的離心率相等，為與異于的交點，直線交于兩點，證明：為定值．
【解析】（1）的周長為，由橢圓的定義得，即，
又面積的最大值為2，，即，
，，，解得，
橢圓的標準方程為.
（2）由（1）可知，，橢圓的離心率，
設橢圓的方程為，則有，，解得，
橢圓的標準方程為，
設，，，點在曲線上，，
依題意，可設直線，的斜率分別為，
則的方程分別為，，
于是，
聯立方程組，消去整理，得，
，，
，
同理可得：，
，，
為定值.
變式9．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學校聯考開學考試）已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，且．
(1)求的值；
(2)若直線l與交于M，N兩點，與交于P，Q兩點，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，證明：為定值．
【解析】（1）由題意知，，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
設直線，，，，，
根據題意結合圖形可知，且．
聯立，得，
則，
同理聯立，得，
則．
由可得，，
又，，
所以，
即，化簡得，即，
又因為，，所以，
再由，得．
聯立，解得，
所以，，．
故，
所以為定值.
變式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯考開學考試）已知拋物線（為常數，）.點是拋物線上不同于原點的任意一點.
(1)若直線與只有一個公共點，求；
(2)設為的準線上一點，過作的兩條切線，切點為，且直線，與軸分別交于，兩點.
①證明：
②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）將直線與拋物線聯立，
消去可得，由題意可知該方程只有一個實數根，
所以，又點在拋物線上，即；
可得，解得
（2）①易知拋物線的準線方程為；
不妨設，切點，如下圖所示：
將求導可得，
則切線的斜率，切線的方程為，
又，的方程可化為；
同理可得的方程可化為；
又兩切線交于點，所以，
因此可得是方程的兩根，因此；
所以；
因此
②設直線和的傾斜角為，直線的傾斜角為，
所以；
又；；
；
所以
，
將代入可得
，
則可得，即；
又，所以，
可得，則為定值.
變式11．（2024·山東淄博·高二校聯考階段練習）已知圓：與直線相切.
(1)若直線與圓交于，兩點，求；
(2)已知，，設為圓上任意一點，證明：為定值.
【解析】（1）由題意，
圓心 到直線 的距離：，
圓 與直線相切，
∴ ，圓 方程為: ，
∵圓心 到直線 的距離: ，
∴.
（2）由題意及（1）證明如下
設 , 則 ，
∴，
即 為定值.
變式12．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）已知，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線，與，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，.
（i）求的面積與的面積之比；
（ⅱ）證明：為定值.
【解析】（1）∵、是橢圓，的兩個頂點，且，
直線的斜率為，由，，得，
又，
解得，，
∴橢圓的方程為；
（2）
設直線的方程為，則，，
聯立方程消去，
整理得，，得
設，，∴，.
（i），，
∴，
∴的面積與的面積之比為1；
（ii）證明：
綜上，.
變式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中學校考期中）已知圓過點，，且圓心在直線上.是圓外的點，過點的直線交圓于，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若點的坐標為，求證：無論的位置如何變化恒為定值；
(3)對于（2）中的定值，使恒為該定值的點是否唯一？若唯一，請給予證明；若不唯一，寫出滿足條件的點的集合.
【解析】（1）顯然，兩點的中點為，直線斜率為，
線段的垂直平分線的方程為：，由，解得，，
因此圓心，半徑，所以圓的方程為：.
（2）如圖，若斜率不存在，則，，；
若斜率存在，設直線的方程為，
由消去整理得，設，，
則，，，同理，
，
所以不論的斜率是否存在，恒為定值.
（3）設，當過的直線斜率存在時，設其方程為，
由消去y得，
設，，則，，
則，同理，
于是
，
當過的直線斜率不存在時，其方程為，由，解得，
于是，即，
因此，而點在圓外，即有，則，
所以滿足條件的點不唯一，點的集合.
變式14．（2024·云南·校聯考模擬預測）已知點到定點的距離和它到直線：的距離的比是常數．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)若直線：與圓相切，切點在第四象限，直線與曲線交于，兩點，求證：的周長為定值．
【解析】（1）
設，由條件可知：，等號的兩邊平方，整理后得：；
（2）
由（1）的結論知：曲線C是方程為的橢圓，設，依題意有：，
則，所以直線l的方程為：，
聯立方程： ，得：，
設，則，
，
，
由條件可知：，，
的周長，即定值為10；
綜上，曲線C的方向為，的周長.
題型七：直線過定點
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知分別為橢圓的左、右焦點，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.
(1)若的面積為，求直線的方程；
(2)過兩點分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點.
【解析】（1）因的周長為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，
依題意，設直線的方程為，由消去x并整理得，
設，，則，，
，
因此，解得，
所以直線的方程為或.
（2）由（1）知，，則，，設直線與交點為，
則，，
而，，則，，
兩式相加得：，而，
則，因此，兩式相減得：
，而，則，即，
所以直線與交于定點.
例20．（2024·江西南昌·高三校聯考階段練習）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，點為橢圓上任意一點，面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過軸上一點的直線與橢圓交于兩點，過分別作直線的垂線，垂足為，兩點，證明：直線，交于一定點，并求出該定點坐標.
【解析】（1）設橢圓半焦距為，∵離心率為，∴.
由橢圓性質可知，當為短軸端點時，面積最大.
∴，∴.
又，解得，，.
∴橢圓的方程為：；
（2）設與軸交于點，則，
當的斜率為0時，顯然不適合題意；
當的斜率不存在時，直線為，
∵四邊形為矩形，∴，交于線段的中點.
當直線的斜率存在且不為0時，設，，
直線為：，聯立，
得，
，
∴，，
設，，則，，
聯立，得，
將，代入整理得.
將代入，得
.
綜上，直線、交于定點.
例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外國語學校校考期中）在平面直角坐標系中，橢圓C： (a>b>0)過點，離心率為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點K(2，0)作與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，過A，B點作直線l：x＝的垂線，其中c為橢圓C的半焦距，垂足分別為A1，B1，試問直線AB1與A1B的交點是否為定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.
【解析】(1)由題意得
所以橢圓C的標準方程為.
(2)①當直線AB的斜率不存在時，直線l：x＝，
AB1與A1B的交點是.
②當直線AB的斜率存在時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB為y＝k(x－2)，
由 (1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
A1 ，B1，
所以lAB1： ， lA1B：y＝，
聯立解得x＝，
代入上式可得
＝ ＝0.
綜上，直線AB1與A1B過定點．
變式15．（2024·甘肅天水·高二統考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，點在E上．
(1)求E的方程；
(2)過點作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點，證明：直線MN過定點．
【解析】（1）因為該橢圓的離心率，
所以有，又，所以有，
因為點在E上，所以，
聯立，解得，
所以E的方程為；
（2）由（1）知，由題意知直線AB和直線CD的斜率都存在且不為0，
設直線AB方程為：，與E的方程聯立，消去x并整理，得，
且，
設，則，所以，
所以點M的坐標為，
因為，則直線CD的方程為，
同理得，
當，即時，直線MN的斜率，
所以直線MN的方程為，
所以，
因為，
所以直線MN的方程即為，顯然直線MN過定點；
當，即時，則或，
此時直線MN的方程為，也過點.
綜上所述，直線MN過定點.
變式16．（2024·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考期中）在平面直角坐標系中， 橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點， 并求出定點的坐標．
【解析】（1）由題意知，，，，
∵，，
∴，解得，從而，
∴橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為，，．
直線不過點，因此．
由 ，得，
時，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程為，恒過定點．
變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知A B分別為橢圓E∶的右頂點和上頂點 橢圓的離心率為，F1 F2為橢圓的左 右焦點，點P是線段AB上任意一點，且的最小值為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l是圓C∶x2+y2=9上的點處的切線，點M是直線l上任一點，過點M作橢圓C的切線MG，MH，切點分別為G，H，設切線的斜率都存在.試問∶直線GH是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.
【解析】解∶（1）由.知，，則橢圓方程為，
設，線段AB的方程為
則，
又因為，所以的最小值為，解得a2=9，所以，故橢圓E的方程為.
（2）由題意可知，直線l的方程為，即，
設G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由題知，設直線MG的方程為，，.
，化簡得
所以，因為方程只有一解，
所以，故直線MG的方程為，化簡得，
同理可得直線MH的方程為，
又因為兩切線都經過點M(x3，y3)，所以
所以直線GH的方程為，
又因為，所以直線GH的方程為，.
令，得所以直線GH恒過定點.
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的右頂點是M（2，0），離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)過點T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由右頂點是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，
所以，所以橢圓C的標準方程為．
（2）設，，顯然直線l的斜率存在．
直線l的方程為，聯立方程組
消去y得，由，得，
所以，．
因為點，所以直線AD的方程為．
又，
所以直線AD的方程可化為，
即，
所以直線AD恒過點（1，0）．
（方法二）設，，直線l的方程為，
聯立方程組消去x得，
由，得或，所以，．
因為點，則直線AD的方程為．
又，
所以直線AD的方程可化為
，
此時直線AD恒過點（1,0），
當直線l的斜率為0時，直線l的方程為y＝0，也過點（1，0）．
綜上，直線AD恒過點（1，0）．
題型八：動點在定直線上
例22．（2024·江蘇南通·高二校考階段練習）已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.
(1)求點的軌跡的方程.
(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，試問：當點變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請證明；若不是，請說明理由.
【解析】（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，
所以，
故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），
且，所以，
所以的軌跡的方程為；
（2）設直線的方程為：，，，
聯立方程得：，
則，，
所以，
又直線的方程為：，
又直線的方程為：，
聯立方程，解得，
把代入上式得：，
所以當點運動時，點恒在定直線上
例23．（2024·上海·高二專題練習）已知雙曲線的兩焦點為，為動點，若.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）若，設直線過點，且與軌跡交于兩點，直線與交于點.試問：當直線在變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.
【解析】（1）雙曲線的兩焦點為，
設動點 ，
因為，且 ，
所以動點的軌跡是以為焦點的橢圓.
因為 ，
所以的軌跡方程；.
（2）由題意設直線的方程為，
取 ，得，
直線 的方程是，
直線的方程是，
交點為 .
若，由對稱性可知：交點為.
若點在同一條直線上，則該直線只能為.
以下證明 對任意的，直線與交點均在直線上.
由得 ，
設，
由韋達定理得：
設直線與交點為 ，
由 ，
得.
設直線與 交點為 ，
由 ，
得，
因為，
.
所以與重合.
所以當直線在變化時，點恒在直線上.
例24．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率，長軸的左、右端點分別為
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線 與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：當變化時，點是否恒在一條直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.
【解析】（1）設橢圓的標準方程為，
根據題意，可得且，所以，所以，
所以橢圓的標準方程為.
（2）根據題意，可設直線的方程為，
取，可得，
可得直線的方程為，直線的方程為，
聯立方程組，可得交點為；
若，由對稱性可知交點，
若點在同一直線上，則直線只能為；
以下證明：對任意的，直線與直線的交點均在直線上，
由，整理得，
設，則，
設與交于點，由，可得，
設與交于點，由，可得，
因為
，
因為，即與重合，
所以當變化時，點均在直線上，.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知曲線，直線與曲線交于軸右側不同的兩點．
(1)求的取值范圍；
(2)已知點的坐標為，試問：的內心是否恒在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．
【解析】（1）設，
聯立方程，消去y得：，
由題意可得，解得，
故的取值范圍為.
（2）內心恒在一條定直線上，該直線為，
∵，即點在橢圓上，
若直線過點，則，解得，
即直線不過點，故直線的斜率存在，
由（1）可得：，
設直線的斜率分別為，則，
∵
，
即，則的角平分線為，
故的內心恒在直線上.
變式20．（2024·浙江臺州·高二校聯考期中）已知直線l：與圓C：交于A B兩點.
(1)若時，求弦AB的長度；
(2)設圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
【解析】（1），圓心，半徑，
點C到直線的距離，
∴；
（2）設點，由題意得：Q A B C四點共圓，
且圓的方程為：，
即，
與圓C的方程C：聯立，
消去二次項得：，
即為直線l的方程，因為直線l：過定點，
所以，解得：，
所以當m變化時，點Q恒在直線上.
變式21．（2024·全國·高二專題練習）已知直線，圓.
(1)證明：直線與圓相交；
(2)設直線與的兩個交點分別為、，弦的中點為，求點的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，設圓在點處的切線為，在點處的切線為，與的交點為.證明：Q，A，B，C四點共圓，并探究當變化時，點是否恒在一條定直線上 若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
【解析】（1）證明：如圖所示，
圓，化成標準方程為，圓心，半徑為2，
直線過定點，定點到圓心距離為1，即在圓內，故直線l與圓C相交；
（2）l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，
設點，由垂徑定理得，即，整理得，
直線l不過圓心C，則，
所以點M的軌跡方程為；
（3）依題意有，，
四邊形QACB對角互補，所以Q，A，B，C四點共圓， 且QC為圓的直徑，
設，則圓心坐標為， 半徑為，
則圓的標準方程為 ，
整理得，與圓C的方程聯立，
消去二次項得∶，即為直線l的方程，
因為直線過定點，所以，解得：，
所以當m變化時，點Q恒在直線上．
變式22．（2024·吉林四平·高二校考階段練習）已知橢圓的左、右頂點分別為、，短軸長為，點上的點滿足直線、的斜率之積為．
(1)求的方程；
(2)若過點且不與軸垂直的直線與交于、兩點，記直線、交于點．探究：點是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
【解析】（1）設，則，且，所以，，
則，
故①，又②，
聯立①②，解得，，故橢圓的方程為．
（2）結論：點在定直線上．
由（1）得，、，設，
設直線的方程為，設點、，
聯立，整理得，
，
，
直線的方程為，直線的方程為，
所以，，
可得
，解得，
因此，點在直線上.
變式23．（2024·高二課時練習）已知橢圓：（）過點，且離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程．
【解析】（1）由橢圓過點，且離心率為，所以，解得
故所求的橢圓方程為．
（2）由題意得，，
直線的方程，設，
聯立，整理得，
∴，．
由求根公式可知，不妨設，，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立，得
代入，得，
解得，即直線與的交點在定直線上．
題型九：圓過定點
例25．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓M：的切線l(直線l的斜率存在且不為零)與橢圓相交于兩點，求證：以為直徑的圓是否經過坐標原點.
【解析】（1）由題意可知，離心率，
拋物線的焦點為，即該橢圓的一個頂點為，故，
故，所以橢圓C的方程為；
（2）直線l的斜率存在且不為零，故設直線為，
依題意，圓M：，圓心為，半徑，
由直線l與圓M：相切，得圓心到直線l的距離，
化簡得，即.
設，
聯立方程，得，
則，，
故，
則，
故，即，
故以為直徑的圓經過坐標原點.
例26．（2024·四川宜賓·校考模擬預測）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.
【解析】（1）因為橢圓的離心率,所以,即.
因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點,
所以,所以.所以橢圓的方程為.
（2）因為直線的斜率存在且不為零.故設直線的方程為.
由消去,得,
所以設,則.
所以.
所以.①
因為直線和圓相切,所以圓心到直線的距離,
整理,得,②
將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經過定點
綜上可知,以為直徑的圓過定點.
例27．（2024·遼寧葫蘆島·統考二模）已知直線l1: 過橢圓C: 的左焦點，且與拋物線M: 相切.
(1)求橢圓C及拋物線M的標準方程;
(2)直線l2過拋物線M的焦點且與拋物線M交于A，B兩點，直線OA，OB與橢圓的過右頂點的切線交于M，N兩點.判斷以MN為直徑的圓與橢圓C是否恒交于定點P，若存在，求出定點P的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由，得，
因為直線與拋物線只有1個公共點，
所以，解得，
故拋物線的方程為.
由直線過橢圓C的左焦點得得
所以，，3，
所以橢圓C的方程為.
（2）如圖1，
設，，
當直線l2斜率存在時，可設直線方程：
由得，
所以，
，.
所以，
，
直線的方程為，同理可得，直線的方程為，
令得，，，
假設橢圓C上存在點，恒有.
則
即，
即，
即，
令，可得或.
由于點不在橢圓C上，點在橢圓上，
所以橢圓C上存在點，使恒成立
如圖2，當直線斜率不存在時，直線過拋物線的右焦點，
則直線方程為，與拋物線交于，，
則直線OA方程為：，直線OB方程為：，
橢圓的過右頂點的切線方程為，切線方程與直線OA交于，與直線OB交于，由上面斜率存在可知恒過，經驗證滿足，
所以當斜率不存在時候也滿足以MN為直徑的圓恒過定點.
變式24．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，動點M到直線的距離等于點M到點的距離的2倍，記動點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)已知斜率為的直線l與曲線C交于A、B兩個不同點，若直線l不過點，設直線的斜率分別為，求的值；
(3)設點Q為曲線C的上頂點，點E、F是C上異于點Q的任意兩點，以為直徑的圓恰過Q點，試判斷直線是否經過定點？若經過定點，請求出定點坐標；若不經過定點，請說明理由．
【解析】（1）不妨設點的坐標為，
由題意可知，，
化簡可得，，
故曲線C的方程為.
（2）不妨設直線的方程：，，，
因為直線l不過點，易知，
由可得，，
由且可得，或，
由韋達定理可知，，，
因為，，，，
所以，
將，代入上式得，，
故的值為0.
（3）由橢圓方程可知，點坐標為，
因為以為直徑的圓恰過Q點，所以，
結合橢圓特征可知，直線的斜率存在，
不妨設直線方程：，且，，，
由可得，，
由可得，，
由韋達定理可知，，，
因為，，，，
所以，
將，代入上式并化簡可得，，
故直線方程：，
易知直線必過定點，
從而直線經過定點，定點坐標為.
變式25．（2024·廣西·高三象州縣中學校考階段練習）在直角坐標系中，動點M到定點的距離比到y軸的距離大1．
(1)求動點M的軌跡方程；
(2)當時，記動點M的軌跡為曲線C，過F的直線與曲線C交于P，Q兩點，直線OP，OQ與直線分別交于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否經過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
【解析】（1）動點M到定點的距離比到y軸的距離大1，
當時，動點M到定點的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，
設拋物線方程為，，，
當時，滿足條件.
綜上所述：
軌跡方程為：時，；時，
（2）設直線的方程為，，聯立，
整理得：，，，
直線的方程為，同理：直線的方程為，
令得，，
設中點的坐標為，則，，
所以.
，
圓的半徑為.
所以為直徑的圓的方程為.
展開可得，令，可得，解得或.
所以以為直徑的圓經過定點和
變式26．（2024·江西宜春·高二江西省豐城中學校考期末）已知雙曲線：經過點A，且點到的漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點作斜率不為的直線與雙曲線交于M，N兩點，直線分別交直線AM，AN于點E，F．試判斷以EF為直徑的圓是否經過定點，若經過定點，請求出定點坐標；反之，請說明理由．
【解析】（1）由題意得：
因為雙曲線C的漸近線方程為，所以有：
解得：
因此，雙曲線C的方程為：
（2）①當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為
由可得：
設、，
則由：，
由直線AM方程，令，得點
由直線AN方程，令，得點
則以EF為直徑的圓的方程為：
令，有：
將，代入上式，得
可得：
解得：，或
即以EF為直徑的圓經過點和；
②當直線l的斜率不存在時，點E、F的坐標分別為、，以EF為直徑的圓方程為，該圓經過點和
綜合可得，以EF為直徑的圓經過定點和
題型十：角度定值
例28．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.
(1)求圓O和橢圓C的方程；
(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N.求證：為定值.
【解析】（1）由題意可得，解得，，
所以圓的方程為，橢圓的方程為．
（2）
證明：設點P的坐標為，點Q的坐標為，
則，即，
又由，得點M的坐標為，
由，得點N的坐標為，
所以，，，
所以，
所以，即
例29．（2024·北京·高三北京八中校考期中）已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為，以橢圓的短軸為直徑的圓經過這兩個焦點，點，分別是橢圓的左、右頂點．
（1）求圓和橢圓的方程．
（2）已知，分別是橢圓和圓上的動點（，位于軸兩側），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點，．求證：為定值．
【解析】（1）依題意，得，，
∴圓方程，橢圓方程．
（2）設，，
∴，，，
∵方程，令時，，
方程為，令得，
∴，，
∴，
∴．
例30．（2024·全國·高三專題練習）已知點是橢圓的左焦點，過且垂直軸的直線交于，，且.
(1)求橢圓的方程
(2)四邊形(A，D在軸上方的四個頂點都在橢圓上，對角線，恰好交于點，若直線，分別與直線交于，，且為坐標原點，求證：．
【解析】（1）由已知得 ，
解得，，
故橢圓的方程是.
（2）由題設直線的方程為，，，
把代入得，
所以， ，
設直線的方程為，，，
類似可得，，
因直線的方程為，
所以點的縱坐標，
同理可得點的縱坐標，
要證，只需證，
即證，
即
而式左邊
，故結論成立 .
變式27．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）如圖3所示，點，分別為橢圓的左焦點和右頂點，點為拋物線的焦點，且（為坐標原點）.

(1)求橢圓的方程；
(2)過點作直線交橢圓于，兩點，連接，并延長交拋物線的準線于點，，求證：為定值.
【解析】（1）因為點為拋物線的焦點，所以，即，
因為，所以，，所以，，，
所以橢圓的方程為.
（2）證明：由（1）可知：，，
設，，，，
顯然直線的斜率不為0，故可設為.
由得：，
，
，.
，，三點共線，.
同理：，
，
，
故，即：.
變式28．（2024·四川綿陽·高二鹽亭中學校考期中）已知圓 ，為圓上一動點，，若線段的垂直平分線交于點.

(1)求動點的軌跡方程;
(2)如圖，點 在曲線上，是曲線上位于直線兩側的動點，當運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.
【解析】（1）
依題意，，因此，
于是點的軌跡為以為焦點，長軸長為 8的橢圓，則長半軸長，半焦距，短半軸長，
所以曲線的軌亦方程為.
（2）直線的斜率為定值．
設，由，得直線的斜率互為相反數，
設直線 的斜率為，則直線的斜率為，直線 的方程為，
由消去得，
，同理得，
，依題意，，
所以直線的斜率，
即直線的斜率為定值.
變式29．（2024·廣東陽江·高三統考開學考試）已知，分別是橢圓長軸的兩個端點，C的焦距為2．，，P是橢圓C上異于A，B的動點，直線PM與C的另一交點為D，直線PN與C的另一交點為E．
(1)求橢圓C的方程；
(2)證明：直線DE的傾斜角為定值．
【解析】（1）由題意，a＝2，2c＝2，c＝1，∴．
∴橢圓C的方程為．
（2）設，，，則．①
當直線PN的斜率存在時，其方程為，代入橢圓C的方程，整理得
．
∴．
直線PM的方程為，代入橢圓C的方程，整理得
．
∴．
因此，此時DE⊥x軸，即直線DE的傾斜角為．
②當直線PN的斜率不存在時，其方程為，此時．
由①知，∴．
∴，此時DE⊥x軸，即直線DE的傾斜角為．
綜上所述，直線DE的傾斜角為．
【反思】如圖所示，由條件，，，，知，故A，B，M，N為調和點列．因此PA，PB，PM，PN為調和線束，即PA，PB，PD，PE為調和線束．由定理3知直線DE經過直線AB的極點（為無窮遠點），因此直線DE⊥x軸．
變式30．（2024·陜西榆林·高二校考階段練習）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過，兩點.
(1)求E的方程；
(2)若直線l與圓O：相切，且直線l交E于M，N兩點，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）設E的方程為，過，，
所以，解得，，所以E的方程為.
（2）當直線l的斜率不存在時，易得直線l的方程為或．
若直線l的方程為則，
或，，所以，所以；
若直線l的方程為，則，
或，，所以，所以.
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，，，
因為直線l與圓O：相切，所以，即.
由得，
所以，，
所以，所以.
綜上，為定值，該定值為.
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