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第78講 參數范圍與最值
知識梳理
1、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質來解決，這是幾何法．
（2）代數法：題中給出的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求該函數的最值．求函數的最值常見的方法有基本不等式法、單調性法、導數法和三角換元法等，這就是代數法．
2、求參數范圍問題的常用方法
構建所求幾何量的含參一元函數，形如，并且進一步找到自變量范圍，進而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數有：
（1）二次函數；（2）“對勾函數”；（3）反比例函數；（4）分式函數．若出現非常規函數，則可考慮通過換元“化歸”為常規函數，或者利用導數進行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產生．除此之外，在找自變量取值范圍時，還可以從以下幾個方面考慮：
①利用判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍．
②利用已知參數的范圍，求出新參數的范圍，解題的關鍵是建立兩個參數之間的等量關系．
③利用基本不等式求出參數的取值范圍．
④利用函數值域的求法，確定參數的取值范圍．
必考題型全歸納
題型一：弦長最值問題
例1．（2024·湖北武漢·高二華中師大一附中校考期中）已知圓的任意一條切線l與橢圓都有兩個不同交點A，B（O是坐標原點）
（1）求圓O半徑r的取值范圍；
（2）是否存在圓O，使得恒成立？若存在，求出圓O的方程及的最大值；若不存在，說明理由.
例2．（2024·河北·統考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點A在軸上滑動，點B在軸上滑動，A、B兩點間距離為．點P滿足，且點P的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設M，N是C上的不同兩點，直線MN斜率存在且與曲線相切，若點F為，那么的周長是否有最大值．若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理由．
例3．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）在橢圓）中，，過點與的直線的斜率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設為橢圓的右焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于兩點，求的最大值.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．
(1)若，求證：；
(2)過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，左頂點為，直線與橢圓交于，兩點.
(1)求橢圓的的標準方程；
(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.
變式3．（2024·江西南昌·統考一模）已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，離心率，點在雙曲線上.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與雙曲線交于P、Q兩點，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.
題型二：三角形面積最值問題
例4．（2024·云南·校聯考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點分別為、，為橢圓上異于、的動點，設直線、的斜率分別為、，且.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設動直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，若，的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.
例5．（2024·安徽安慶·安慶一中校考模擬預測）如圖，分別是矩形四邊的中點，，.
(1)求直線與直線交點的軌跡方程；
(2)過點任作直線與點的軌跡交于兩點，直線與直線的交點為，直線與直線的交點為，求面積的最小值.
例6．（2024·上海黃浦·高三上海市大同中學校考階段練習）已知橢圓．
(1)求該橢圓的離心率；
(2)設點是橢圓C上一點，求證：過點P的橢圓C的切線方程為；
(3)若點M為直線l：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA，MB，切點分別為，求△的面積的最小值．
變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線：和圓：（其中原點為圓心），過雙曲線上一點引圓的兩條切線，切點分別為、．
（1）若雙曲線上存在點，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．
變式5．（2024·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習）已知拋物線為拋物線上四點，點在軸左側，滿足.
(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標；
(2)設線段的中點為.證明：直線與軸垂直；
(3)設圓，若點為圓上動點，設的面積為，求的最大值.
變式6．（2024·河北·統考模擬預測）已知拋物線，過點的直線與交于兩點，當直線與軸垂直時，（其中為坐標原點）.
(1)求的準線方程；
(2)若點在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點作的切線與軸交于點，連接交于另一點為，直線與軸交于點，求與面積之比的最大值.
題型三：四邊形面積最值問題
例7．（2024·河南·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點，直線，作直線l的平行線，動點P滿足到F的距離與到直線的距離之和等于直線l與之間的距離．記動點P的軌跡為E．
(1)求E的方程；
(2)過作傾斜角互補的兩條直線分別交E于A，B兩點和C，D兩點，且直線AB的傾斜角，求四邊形ACBD面積的最大值．
例8．（2024·全國·高三專題練習）O為坐標原點橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為，已知，切．
(1)求的方程；
(2)過作的不垂直于y軸的弦，M為的中點，當直線與交于P，Q兩點時，求四邊形面積的最小值．
例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖,為坐標原點,橢圓的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過點作的不垂直于軸的弦,為的中點,當直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.
變式7．（2024·山西朔州·高三校聯考開學考試）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設經過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.
變式8．（2024·湖南郴州·統考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，P是橢圓C上異于左、右頂點的動點，的最小值為2，且橢圓C的離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l過與橢圓C相交于A，B兩點，A，B兩點異于左、右頂點，直線過交橢圓C于M，N兩點，，求四邊形面積的最小值．
變式9．（2024·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）平面內動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線分別交軌跡于點和，求四邊形面積的最小值.
題型四：弦長的取值范圍問題
例10．（2024·河北·統考一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的中心在原點，點在橢圓上，且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)動直線交橢圓于，兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段上一點，圓的半徑為，且，求的范圍.
例11．（2024·浙江·模擬預測）已知橢圓，點，斜率不為0的直線與橢圓交于點，與圓相切且切點為為中點.
(1)求圓的半徑的取值范圍；
(2)求的取值范圍.
變式12．（2024·廣東深圳·高三校聯考期中）已知點在運動過程中，總滿足關系式：.
(1)點的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；
(2)設圓，直線與圓O相切且與點的軌跡交于不同兩點，當且時，求弦長的取值范圍.
變式13．（2024·江蘇南通·統考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點是雙曲線的頂點，的焦點到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點，.
(1)求證：
(2)若直線l與相交于P，Q兩點，求的取值范圍.
變式14．（2024·陜西咸陽·校考三模） 已知雙曲線的離心率為，過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，且.
(1)求雙曲線的標準方程;
(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，與雙曲線的漸近線分別交于兩點，求的取值范圍.
變式15．（2024·全國·高三校聯考開學考試）已知雙曲線的漸近線方程為，點，分別為雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于第一象限的點，且的周長為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線的左支、右支分別交于，兩點，與直線，分別交于P，Q兩點，求的取值范圍．
題型五：三角形面積的取值范圍問題
例13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知雙曲線，其左、右焦點分別為、，上有一點P滿足，．
(1)求b；
(2)過作直線l交于B、C，取BC中點D，連接OD交雙曲線于E、H，當BD與EH的夾角為時，求的取值范圍．
例14．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學校考階段練習）橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，上頂點為，點到直線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過點的直線交雙曲線右支于點，，點在上，求面積的取值范圍.
例15．（2024·浙江金華·模擬預測）P是雙曲線右支上一點，A，B是雙曲線的左右頂點，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點為Q，PA與BQ的交點為C．
(1)記P，Q的縱坐標分別為，求的值；
(2)記的面積分別為，當時，求的取值范圍．
變式16．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知，為橢圓C：的左、右頂點，且橢圓C過點.
(1)求C的方程；
(2)過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中點D在x軸上方），求的取值范圍.
變式17．（2024·四川南充·模擬預測）如圖所示，以原點為圓心，分別以2和1為半徑作兩個同心圓，設為大圓上任意一點，連接交小圓于點，設，過點分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點．

(1)求動點的軌跡的方程；
(2)點分別是軌跡上兩點，且，求面積的取值范圍．
變式18．（2024·福建漳州·高三統考開學考試）已知橢圓的左焦點為，且過點.
(1)求C的方程；
(2)不過原點O的直線與C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數列.
（i）求的斜率；
（ii）求的面積的取值范圍.
題型六：四邊形面積的取值范圍問題
例16．（2024·四川成都·高三石室中學校考開學考試）已知橢圓：（）左、右焦點分別為，，且為拋物線的焦點， 為橢圓上一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，為橢圓上不同兩點，且都在軸上方，滿足.
（ⅰ）若，求直線的斜率；
（ⅱ）若直線與拋物線無交點，求四邊形面積的取值范圍.
例17．（2024·河北·高三統考階段練習）已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓上.直線與橢圓交于兩點.且，其中為坐標原點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過原點的直線與橢圓交于兩點，且過的中點.求四邊形面積的取值范圍.
例18．（2024·全國·模擬預測）設橢圓的左焦點為F，上頂點為P，離心率為，O是坐標原點，且.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點，求四邊形面積的取值范圍.
變式19．（2024·遼寧遼陽·高三遼陽縣第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線過點，且的漸近線方程為．
(1)求的方程；
(2)如圖，過原點作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點和，兩點，，在軸同側．
①求四邊形面積的取值范圍；
②設直線與兩漸近線分別交于，兩點，是否存在直線使，為線段的三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
變式20．（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知橢圓的離心率為，拋物線的準線與相交，所得弦長為.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分別以為切點，作的切線相交于點，點恰好在上，直線分別交軸于兩點.求四邊形面積的取值范圍.
題型七：向量數量積的取值范圍問題
例19．（2024·吉林長春·長春市第八中學校考模擬預測）已知，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．
（1）若，點在橢圓上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；
（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時直線斜率；若不能，說明理由．
例20．（2024·安徽合肥·合肥市廬陽高級中學校考模擬預測）已知橢圓的左，右焦點分別為，，焦距為，點在上.
(1)是上一動點，求的范圍；
(2)過的右焦點，且斜率不為零的直線交于，兩點，求的內切圓面積的最大值.
例21．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：經過點，一個焦點的坐標為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線：與橢圓交于，兩點，為坐標原點，若，求的取值范圍.
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：經過點，一個焦點的坐標為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線：與橢圓交于，兩點，為坐標原點，若，求的取值范圍.
變式22．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中校考階段練習）已知橢圓經過點，一個焦點的坐標為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，求·的取值范圍.
題型八：參數的取值范圍
例22．（2024·全國·高三專題練習）已知曲線表示焦點在軸上的橢圓.
（1）求的取值范圍；
（2）設，過點的直線交橢圓于不同的兩點，（在，之間），且滿足，求的取值范圍.
例23．（2024·黑龍江大慶·統考三模）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率，且經過拋物線的焦點．若過點的直線斜率不等于零與橢圓交于不同的兩點E、在B、F之間，
求橢圓的標準方程；
求直線l斜率的取值范圍；
若與面積之比為，求的取值范圍．
例24．（2024·廣東廣州·高二執信中學校考期末）已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓過點，且它的離心率
（I）求橢圓的標準方程；
（II）與圓相切的直線交橢圓于、兩點，若橢圓上一點滿足，求實數的取值范圍
變式23．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓：的左頂點為，右頂點為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.
變式24．（2024·天津河西·天津市新華中學校考一模）設橢圓的左頂點為，右頂點為．已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍．
變式25．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，.
(1)求橢圓的方程；
(2)設為橢圓上一點，且滿足為坐標原點），試求實數的取值范圍.
變式26．（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期中）已知橢圓的離心率為,過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為,過點的直線與橢圓相交于兩點
(1)求橢圓的方程;
(2)設為橢圓上一點,且滿足(為坐標原點),當時,求實數的取值范圍
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知識梳理
1、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質來解決，這是幾何法．
（2）代數法：題中給出的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求該函數的最值．求函數的最值常見的方法有基本不等式法、單調性法、導數法和三角換元法等，這就是代數法．
2、求參數范圍問題的常用方法
構建所求幾何量的含參一元函數，形如，并且進一步找到自變量范圍，進而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數有：
（1）二次函數；（2）“對勾函數”；（3）反比例函數；（4）分式函數．若出現非常規函數，則可考慮通過換元“化歸”為常規函數，或者利用導數進行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產生．除此之外，在找自變量取值范圍時，還可以從以下幾個方面考慮：
①利用判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍．
②利用已知參數的范圍，求出新參數的范圍，解題的關鍵是建立兩個參數之間的等量關系．
③利用基本不等式求出參數的取值范圍．
④利用函數值域的求法，確定參數的取值范圍．
必考題型全歸納
題型一：弦長最值問題
例1．（2024·湖北武漢·高二華中師大一附中校考期中）已知圓的任意一條切線l與橢圓都有兩個不同交點A，B（O是坐標原點）
（1）求圓O半徑r的取值范圍；
（2）是否存在圓O，使得恒成立？若存在，求出圓O的方程及的最大值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）當時，圓在橢圓內部，切點在橢圓內，圓的每一條切線都過橢圓內部的點，切線與橢圓總有兩個不同交點，滿足題意；當時，圓的切線和都和橢圓最多只有一個公共點，不滿足題意；
故的取值范圍是.
（2）當圓的切線的斜率存在時，設圓的切線為，設，由消去得：，則，，則，由得，即，，又由與圓相切得，即，解得，此時圓的方程為.
當切線斜率不存在時，上述圓的切線為或，這兩條切線與橢圓的交點為，或，，也滿足，故滿足條件的圓存在，其方程為.
當切線斜率存在且不等于時，因為，當且僅當時取等號；
當切線斜率不存在或等于時，，則，又，故，則.
例2．（2024·河北·統考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點A在軸上滑動，點B在軸上滑動，A、B兩點間距離為．點P滿足，且點P的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設M，N是C上的不同兩點，直線MN斜率存在且與曲線相切，若點F為，那么的周長是否有最大值．若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理由．
【解析】（1）設點坐標為，點,的坐標分別為,．
由題意，得
則，，
又因為、兩點間距離為，則
整理得點的軌跡為橢圓，其方程：．
（2）因為直線的斜率存在，設，，
設直線：，因為，是橢圓上的不同兩點，所以
由直線與曲線相切可得，得，
聯立可得，
所以，，
所以
，
∵，
同理
所以的周長
當時，的周長
當時，的周長，
（法一）由
設，則，，
當，即時，最大值為．
此時，，所以，即或，
此時直線：或，
所以的周長最大值為．
（法二）
當，即時，等號成立，則或，
此時直線：或，
所以的周長最大值為．
例3．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）在橢圓）中，，過點與的直線的斜率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設為橢圓的右焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于兩點，求的最大值.
【解析】（1）過點與的直線的斜率為，
所以，即，
又，即，解得，
所以橢圓的標準方程是.
（2）由題知，作出圖形如圖所示
設點，則直線的斜率為.
當時，直線的斜率，直線的方程是；
當時，直線的方程是，也符合的形式，
將直線的方程代入橢圓方程得
，且，
設，則.
所以
又，令，則
，
當且僅當，即時等號成立，
由，解得，
所以的最大值為.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．
(1)若，求證：；
(2)過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．
【解析】（1）證明：設、，因為橢圓的焦距為，所以，解得．
又因為橢圓的離心率，所以，所以，
所以橢圓的方程為.
因為直線經過、，，
所以，直線的方程為，
設點、，聯立可得，
由，得，.
所以，
，
因此，.
（2）證明：若直線、中兩條直線分別與兩條坐標軸垂直，則其中有一條必與直線平行，不合乎題意，
所以，直線的斜率存在且不為零，設直線方程為，
則直線方程為，其中．
聯立可得，
設、，則，
由韋達定理可得，，
易知且，將代入直線的方程可得，即點，
所以
，
同理可得，
所以
，
當且僅當時，等號成立，
因此，的最大值為.
變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，左頂點為，直線與橢圓交于，兩點.
(1)求橢圓的的標準方程；
(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.
【解析】（1）由題知，橢圓的離心率為，左頂點為，
所以，解得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由（1）得，，
因為直線與橢圓交于，兩點，
由題可知，直線斜率為0時，，
所以直線的斜率不為0，
所以設直線，
聯立方程，得，
所以，
，
所以
，解得，
此時恒成立，
所以直線的方程為直線，直線過定點，
此時，
所以
，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為3.
變式3．（2024·江西南昌·統考一模）已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，離心率，點在雙曲線上.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與雙曲線交于P、Q兩點，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.
【解析】（1）由，可得，
∴，
∴ 雙曲線方程為，
∵ 點在雙曲線上，
∴，
解得 ，
∴ 雙曲線的方程為．
（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
由消去整理得，
∵直線與雙曲線交于兩點，
∴．
設，，
則，
由得到：，
即，
∴，
化簡得．
∴，
當時上式取等號，且方程（*）有解．
②當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，則有，
由可得，
可得，解得.
∴．
∴．
綜上可得的最小值是24．
題型二：三角形面積最值問題
例4．（2024·云南·校聯考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點分別為、，為橢圓上異于、的動點，設直線、的斜率分別為、，且.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設動直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，若，的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）不妨設的坐標為，則，則，
又、，則.
故可得，可得，故可得橢圓的方程為.
（2）因為，且、均為非零向量，則.
當點、均為橢圓的頂點時，則；
若直線、的斜率都存在時，設直線的方程為，
則直線的方程為，
聯立可得，所以，，
同理可得，
此時，
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
又因為，故當時，的面積存在最小值，且最小值為.
例5．（2024·安徽安慶·安慶一中校考模擬預測）如圖，分別是矩形四邊的中點，，.
(1)求直線與直線交點的軌跡方程；
(2)過點任作直線與點的軌跡交于兩點，直線與直線的交點為，直線與直線的交點為，求面積的最小值.
【解析】（1）由已知，，，，
當時，直線方程：，
直線方程：，
聯立上述兩方程消去得：，
當時，交點符合上述方程，
又交點不可能為，
故所求的軌跡方程為且.
（2）設方程：（依題意存在，
代入得，
，設，
，，
方程：，方程：，
聯立上述兩方程消去得：
.
，
所以，其中，
同理直線與直線的交點，其中，
，
（當且僅當時取等號），
故的面積最小值為，此時直線的方程為.
例6．（2024·上海黃浦·高三上海市大同中學校考階段練習）已知橢圓．
(1)求該橢圓的離心率；
(2)設點是橢圓C上一點，求證：過點P的橢圓C的切線方程為；
(3)若點M為直線l：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA，MB，切點分別為，求△的面積的最小值．
【解析】（1）橢圓中，，則，
則，則橢圓的離心率為
（2）當切線斜率存在時，其方程可設為，
由，整理得，
則，則
此時方程的根為，則切點橫坐標，
切點縱坐標，
則，，
則切線方程為，整理得；
當切線斜率不存在時，其切點為或，
切線方程為，滿足.
綜上，點是橢圓C上一點時，
過點P的橢圓C的切線方程為
（3）設，，
則橢圓C在點的切線方程分別為，，
又在兩條切線上，則，，
則直線的方程為，即
由整理得，，
則，
則
，
又點M到直線的距離，
則△的面積為
令，則，，
則，
令，，
則恒成立，
則在上單調遞增，則
當且僅當即點M坐標為時等號成立，
則△的面積的最小值為.
變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線：和圓：（其中原點為圓心），過雙曲線上一點引圓的兩條切線，切點分別為、．
（1）若雙曲線上存在點，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．
【解析】（1）因為，所以，所以．
由及圓的性質，可知四邊形是正方形，所以．
因為，所以，所以．
故雙曲線離心率的取值范圍為．
（2）因為，
所以以點為圓心，為半徑的圓的方程為．
因為圓與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，
所以聯立方程組 ，
消去，，即得直線的方程為．
（3）由（2）知，直線的方程為，
所以點到直線的距離為．
因為，
所以三角形的面積．
：
因為點在雙曲線上，
所以，即．
設，
所以．
因為，
所以當時，，當時，．
所以在上單調遞增，在上單調遞減．當，即時，，當，即時，．
綜上可知，當時，；當時，．
變式5．（2024·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習）已知拋物線為拋物線上四點，點在軸左側，滿足.
(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標；
(2)設線段的中點為.證明：直線與軸垂直；
(3)設圓，若點為圓上動點，設的面積為，求的最大值.
【解析】（1）因為所以，
所以準線是焦點坐標是.
（2）
設，
由可知，為中點，且點在拋物線上，即
又
，
整理可得：，
由可知，為中點，且點在拋物線上，
同理可得：，
故為方程的兩根，
D點的縱坐標為
所以直線的TD的斜率為0，即直線與軸垂直.
（3）,
,
,
因為在圓上，所以
,
，
則當時，
.
變式6．（2024·河北·統考模擬預測）已知拋物線，過點的直線與交于兩點，當直線與軸垂直時，（其中為坐標原點）.
(1)求的準線方程；
(2)若點在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點作的切線與軸交于點，連接交于另一點為，直線與軸交于點，求與面積之比的最大值.
【解析】（1）將代入，則，
由，故為等腰直角三角形，故，即，
所以，故準線方程為.
（2）設，直線，聯立拋物線得，
所以，則，故，
由，則，故，直線，
令，則，故，
設直線，聯立拋物線得，
所以，則，故，
綜上，直線，令，則，故，
由直線的傾斜角為銳角，故，則，，
所以，令，則，
則，僅當，即時等號成立，
所以與面積之比的最大值.
題型三：四邊形面積最值問題
例7．（2024·河南·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點，直線，作直線l的平行線，動點P滿足到F的距離與到直線的距離之和等于直線l與之間的距離．記動點P的軌跡為E．
(1)求E的方程；
(2)過作傾斜角互補的兩條直線分別交E于A，B兩點和C，D兩點，且直線AB的傾斜角，求四邊形ACBD面積的最大值．
【解析】（1）過P分別作直線l，的垂線，垂足為M，N，則由題意可得，即，
則由拋物線的定義可知，動點P的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，
則有，，故E的方程為．
（2）由題目條件過作傾斜角互補的兩條直線分別交E于A，B兩點和C，D兩點，
可知直線AB，CD的斜率互為相反數．設，，，
由直線AB的傾斜角，且直線AB的斜率，
可知，解得．
聯立,消去x可得，
則，，，
則
，
同理可得．
記直線AB，CD的夾角為，
則
，
又，
則，
令，，則，
令，則，
當時，，單調遞增，
則，
故四邊形ACBD面積的最大值為．
例8．（2024·全國·高三專題練習）O為坐標原點橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為，已知，切．
(1)求的方程；
(2)過作的不垂直于y軸的弦，M為的中點，當直線與交于P，Q兩點時，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）因為，，，
所以①
因為，所以②
由①得：，解得：，代入②式中，
解得：，
所以的方程為：，的方程為：
（2），因為直線不垂直于y軸
所以設方程為：
聯立 得：
設，，
則，，，
則，
因為點M在直線上，所以，
直線：
聯立得：
解得：，顯然，故
當時，，
當時，
則，
，點直線距離分別是：
，
因為，點直線兩側，故
顯然，所以
所以
則
則四邊形面積
當時，四邊形面積取得最小值，此時
此時方程為：，符合題意，故四邊形面積的最小值為1
例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖,為坐標原點,橢圓的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過點作的不垂直于軸的弦,為的中點,當直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.
【解析】(1)利用橢圓和雙曲線之間的關系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點,由題目和即可得到之間的兩個方程,聯立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標準方程.
(2)利用(1)求出焦點的坐標,設出弦的直線的方程,聯立直線與橢圓消得到關于的一元二次方程,再利用根與系數的關系得到兩點縱坐標之間的和與積,進而得到點的縱坐標帶入AB直線即可得到的橫坐標,進而求出直線的方程,即為直線的方程,聯立直線的方程得到的取值范圍和求出點的坐標得到的長度,利用點到直線的距離得到到直線的距離表達式,進而用表示四邊形的面積,利用不等式的性質和的取值范圍即可得到面積的最小值.
(1)由題可得,且,因為,且,所以且且,所以橢圓方程為,雙曲線的方程為.
(2)由(1)可得,因為直線不垂直于軸,所以設直線的方程為,聯立直線與橢圓方程可得,則,,則,因為在直線上,所以,則直線的方程為,聯立直線與雙曲線可得,則,則,設點到直線的距離為,則到直線的距離也為,則,因為在直線的兩端,所以,
則,又因為在直線上,所以,
則四邊形面積
,因為,所以當時,四邊形面積的最小值為.
考點：弦長 雙曲線 橢圓 最值
變式7．（2024·山西朔州·高三校聯考開學考試）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設經過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.
【解析】（1）設，由，有.
又由，有（O為坐標原點），可得，，
可得橢圓E的方程為，
代入點N的坐標，有，解得，，
故橢圓E的標準方程為；
（2）①當直線AB的斜率不存在或為0時，為長軸長或，
不妨設，，
故；
②當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線AB：，，，
聯立方程，消去y得，
則，，
所以
，
同理可得，
所以，
因為，
當且僅當，即時等號成立，
所以，而，
綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.
變式8．（2024·湖南郴州·統考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，P是橢圓C上異于左、右頂點的動點，的最小值為2，且橢圓C的離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l過與橢圓C相交于A，B兩點，A，B兩點異于左、右頂點，直線過交橢圓C于M，N兩點，，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）設．由對稱性，不妨設，
則，所以．
因為，
所以，
所以當時，取得最小值，所以．
由，解得，
所以橢圓C的標準方程為；
（2）由題設直線l斜率存在，設，
由得，∴，
所以
，
因為，所以，則，
所以四邊形面積：
，
，
當且僅當時取等號，即時，，
當直線l的斜率不存在時，，四邊形的面積為，
又由，所以四邊形面積的最小值為．
變式9．（2024·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）平面內動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線分別交軌跡于點和，求四邊形面積的最小值.
【解析】（1）設，由題意有且，
化簡得，即．
（2）當其中一條直線的斜率不存在時，則、一條為長軸長、另一條為過的通徑長，
令，則，可得，故通徑長為，而長軸長為，易得．
當直線的斜率存在且不為0時，設直線的斜率為，則直線為，
，化簡整理得，
設，則，
，
，則直線的斜率為，同理，
，
令，則，當，即時等號成立，
而，則四邊形面積的最小值為.
題型四：弦長的取值范圍問題
例10．（2024·河北·統考一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的中心在原點，點在橢圓上，且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)動直線交橢圓于，兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段上一點，圓的半徑為，且，求的范圍.
【解析】（1）橢圓的離心率為，則，解得，橢圓的方程為
又點在橢圓上，則，解得
所以橢圓的標準方程為.
（2）設，由消去y并整理得：，
顯然，于是得，，
則，
從而得圓的半徑，
由得，即直線的方程為，由得，則，
所以
因，有，從而有，即，
所以的取值范圍為.
例11．（2024·浙江·模擬預測）已知橢圓，點，斜率不為0的直線與橢圓交于點，與圓相切且切點為為中點.
(1)求圓的半徑的取值范圍；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）如圖所示，
由題意知，直線l的斜率存在且不為0，設直線l方程為（），，，設圓N的半徑為r，
，
，
， ，
所以，
又因為M為的中點，所以，
又因為圓N與直線l相切于點M，所以，且，
所以，
所以，解得，
所以，
，解得：，
所以（），
所以，即，
所以圓N的半徑r的取值范圍為.
（2）由（1）知，，
所以（），
令，則（），
所以，
顯然在上單調遞減，
所以，所以，即，
故的取值范圍為.
例12．數形結合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數形結合求解；
變式10．構建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構建以待求量為元的不等式求解；
變式11．構建函數法：先引入變量構建以待求量為因變量的函數，再求其值域．
變式12．（2024·廣東深圳·高三校聯考期中）已知點在運動過程中，總滿足關系式：.
(1)點的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；
(2)設圓，直線與圓O相切且與點的軌跡交于不同兩點，當且時，求弦長的取值范圍.
【解析】（1）由關系式，結合橢圓的定義，
點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓.
∴ ，
∴點M的方程為.
（2）由題意，聯立方程，則
設，，
則，,
因直線與圓相切，且，
∴ ，
，
， ①
②
將①代入②.
因為，所以.
變式13．（2024·江蘇南通·統考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點是雙曲線的頂點，的焦點到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點，.
(1)求證：
(2)若直線l與相交于P，Q兩點，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意得橢圓焦點坐標為，雙曲線漸近線方程為，
所以，解得，所以的方程為，
由，消y得，
所以得，
設，，則，
所以
，
化簡得，得證；
（2）由消x，得，
所以，即，
結合，及，可得，
設，，則，
所以，
所以，
設，由，得，所以，
所以，
所以.
變式14．（2024·陜西咸陽·校考三模） 已知雙曲線的離心率為，過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，且.
(1)求雙曲線的標準方程;
(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，與雙曲線的漸近線分別交于兩點，求的取值范圍.
【解析】（1）由題可知，，解得，所以雙曲線的標準方程為；
（2）由題可知，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，
聯立消去，得，
所以，解得，
且，
所以
.
聯立可得，同理可得，
所以，
所以，
其中，則，所以.
變式15．（2024·全國·高三校聯考開學考試）已知雙曲線的漸近線方程為，點，分別為雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于第一象限的點，且的周長為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線的左支、右支分別交于，兩點，與直線，分別交于P，Q兩點，求的取值范圍．
【解析】（1）因為雙曲線的漸近線方程為，所以，
設，則，
所以，因為點在第一象限，所以，即，
所以，又，
所以，所以，
所以雙曲線的方程為.
（2）設，，
聯立，消去并整理得，
所以，解得，
，，
所以，
聯立，解得，所以，
聯立，解得，所以，
所以，
所以，其中，
因為，所以，.
所以的取值范圍為.
題型五：三角形面積的取值范圍問題
例13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知雙曲線，其左、右焦點分別為、，上有一點P滿足，．
(1)求b；
(2)過作直線l交于B、C，取BC中點D，連接OD交雙曲線于E、H，當BD與EH的夾角為時，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意,，
，，
在中,由余弦定理得，
，
則，即，.
（2）
雙曲線，，
設直線BC的方程為，
由，得，即，
由題意，，
設，則，
則，
則，
則，，直線的方程為，
由，得，由題意，解得，
設，則，
當BD與EH的夾角為時，，
則，得，可知，
所以
，
，，，，
所以，
即的取值范圍是．
例14．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學校考階段練習）橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，上頂點為，點到直線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過點的直線交雙曲線右支于點，，點在上，求面積的取值范圍.
【解析】（1）直線方程為，即，
到直線的距離，化簡得，
又離心率，即，且，
解得，，，
所以的方程為：.
（2）設直線的方程為，由于的漸近線的斜率為，所以.
將方程代入，化簡得.
設，，則，，
，
設平行于與橢圓相切的直線為，
由得，
由得，
直線與之間的較小距離，
直線與之間的較大距離，
則面積的較小值為，
面積的較大值為，
設，，，則，，，
∴，.
所以面積的取值范圍為.
例15．（2024·浙江金華·模擬預測）P是雙曲線右支上一點，A，B是雙曲線的左右頂點，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點為Q，PA與BQ的交點為C．
(1)記P，Q的縱坐標分別為，求的值；
(2)記的面積分別為，當時，求的取值范圍．
【解析】（1）由已知條件得：，設PA，PB的斜率分別為，
則QA，QB的斜率分別為，
由即有．
由即有
而，
．
（2）由于，
顯然P，Q，B，A四點共圓，
PO為直徑，PQ中點為圓心，
又
則，
①，又 ②，
得：，解得．
由，，而．
．
因為，根據單調性，求得
變式16．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知，為橢圓C：的左、右頂點，且橢圓C過點.
(1)求C的方程；
(2)過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中點D在x軸上方），求的取值范圍.
【解析】（1）由題意得，把代入，
解得，
所以C的方程為；.
（2）由（1）知：，，
①當l斜率不存在時，易知；
②當l斜率存在時，設l：，，，
由，得，顯然，
所以，，
因為，，
所以，
因為，
所以.
又，
設，則，，解得且，
所以，
因為，可得的取值范圍為.
變式17．（2024·四川南充·模擬預測）如圖所示，以原點為圓心，分別以2和1為半徑作兩個同心圓，設為大圓上任意一點，連接交小圓于點，設，過點分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點．

(1)求動點的軌跡的方程；
(2)點分別是軌跡上兩點，且，求面積的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，
設，則（是參數），消去得，
即曲線的方程為；
（2），
，
當直線或的斜率不存在時，易得
當直線和的斜率都存在時，設，
則
由得，
，
同理可得
，令
故.
變式18．（2024·福建漳州·高三統考開學考試）已知橢圓的左焦點為，且過點.
(1)求C的方程；
(2)不過原點O的直線與C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數列.
（i）求的斜率；
（ii）求的面積的取值范圍.
【解析】（1）由題知，
橢圓C的右焦點為，且過點，
所以，所以.
又，所以，
所以C的方程為.
（2）（ⅰ）由題知，直線l的斜率存在，且不為0.
設，，，
則，所以，
所以，，
且，即.
因為直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數列.
所以，即，
所以，且.
因為，所以，所以.
（ii）由（ⅰ）知，，
所以，且.
設點O到直線PQ的距離為d，所以.
因為，所以，，
所以
，
又，且.所以
即的面積的取值范圍.
題型六：四邊形面積的取值范圍問題
例16．（2024·四川成都·高三石室中學校考開學考試）已知橢圓：（）左、右焦點分別為，，且為拋物線的焦點， 為橢圓上一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，為橢圓上不同兩點，且都在軸上方，滿足.
（ⅰ）若，求直線的斜率；
（ⅱ）若直線與拋物線無交點，求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）依題意得，則，，而，
于是，
從而. 又，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）如圖，設直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，
由，故，由橢圓對稱性，，且四邊形為平行四邊形.
（ⅰ）由題意直線的斜率不為0，設直線：，
由，消去整理得，
設，，則，，
由（*）帶入上式，解得：，
故，由于，，所以，
所以，故的斜率為1.
（ⅱ）由，消去整理得，由得.
所以，
與間的距離（即點到的距離），
故，
令，函數在區間上單調遞增，
所以，
則，
所以四邊形的面積的取值范圍為.
例17．（2024·河北·高三統考階段練習）已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓上.直線與橢圓交于兩點.且，其中為坐標原點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過原點的直線與橢圓交于兩點，且過的中點.求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）設橢圓的半焦距為，
由題意可得：，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）當直線斜率存在時，設其方程為，，，
聯立，可得，
可得①，且②，③
若以為直徑的圓過原點，則，
整理得，
代入②③兩式得，整理得④，
將④式代入①式，得恒成立，則，
由題意可設，所以，
因為，
且點到直線的距離，
可得，
又因為，則點坐標為，
化簡可得，
代入橢圓方程可得，整理得，
則，
因為，則，
所以；
當直線斜率不存在時，設，，
則，且，解得，
可知方程為，
因為直線過中點，即為軸，
可知，，，
綜上所述：四邊形面積的取值范圍為.
例18．（2024·全國·模擬預測）設橢圓的左焦點為F，上頂點為P，離心率為，O是坐標原點，且.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點，求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）設橢圓的焦距為，則，所以
因為，所以，
又，，所以，即
所以
所以
（2）當，中有一條斜率不存在時，
設直線的方程為，此時直線與軸重合，
即，所以；
當，的斜率都存在時，設過點的兩條互相垂直的直線：，直線：
由得
此時，，
則.
把上式中的換成得：
則四邊形的面積為
令，則，且，
，，
，
所以四邊形的面積的取值范圍是.
變式19．（2024·遼寧遼陽·高三遼陽縣第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線過點，且的漸近線方程為．
(1)求的方程；
(2)如圖，過原點作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點和，兩點，，在軸同側．
①求四邊形面積的取值范圍；
②設直線與兩漸近線分別交于，兩點，是否存在直線使，為線段的三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意有，則，
將點代入雙曲線方程得，
聯立解得，
故的方程為；
（2）①，易知直線，的斜率均存在且不為，
設，
的方程為，則的方程為，
聯立，消整理得，
直線與雙曲線交于兩點，
故且，則，
則，
則，
聯立，消整理得，
直線與雙曲線交于兩點，
故且，解得，
則，
則，
根據對稱性可知四邊形為菱形，
其面積
，
，∴，∴，
∴，
；
②，假設滿足題意的直線存在，
易知直線斜率存在，設直線的方程為，
，
聯立，整理得，
則且，
解得且，
由韋達定理有，
則
，
不妨設為直線與漸近線的交點，
聯立，解得，
，
同理可得點的坐標為，
則 ，
因為，為線段的三等分點，，
即，
整理得，①
，，
則，即，
，
整理得,②
聯立①②得，無解，
故沒有滿足條件的直線．
變式20．（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知橢圓的離心率為，拋物線的準線與相交，所得弦長為.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分別以為切點，作的切線相交于點，點恰好在上，直線分別交軸于兩點.求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）由題知過點，則，解得，
.
（2）設直線的方程為，
聯立，得，
，
則，而，則，
故以為切點的切線為，即，
同理以為切點的切線為，則，
由，故兩式作差得：，所以，
兩式求和得：，
所以點由在橢圓上，即.
點到直線的距離，
所以，，
，
而、在上遞增且恒正，
則在上遞增，.
題型七：向量數量積的取值范圍問題
例19．（2024·吉林長春·長春市第八中學校考模擬預測）已知，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．
（1）若，點在橢圓上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；
（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時直線斜率；若不能，說明理由．
【解析】（1）時，橢圓，兩個焦點，，，，
設，可得，即，
，，，，
，
因為，
所以的范圍是；
（2）設，的坐標分別為，，，，可得，，
則，兩式相減可得，
，即，
故，又設，，直線，
即直線的方程為，
從而，代入橢圓方程可得，，
由與，聯立得，
若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點，
所以，即，整理可得，
解得，經檢驗滿足題意，
所以當時，四邊形為平行四邊形．
例20．（2024·安徽合肥·合肥市廬陽高級中學校考模擬預測）已知橢圓的左，右焦點分別為，，焦距為，點在上.
(1)是上一動點，求的范圍；
(2)過的右焦點，且斜率不為零的直線交于，兩點，求的內切圓面積的最大值.
【解析】（1）由題意知，所以.
將點代入，解得，所以橢圓的方程為：.
設點，則.
又因為，所以的范圍是.
（2）依題意可設直線的方程為，，.
聯立得.
所以，，
所以，
又因為，
當且僅當時等號成立.所以.
又因為三角形內切圓半徑滿足.
所以的內切圓面積的最大值為.
例21．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：經過點，一個焦點的坐標為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線：與橢圓交于，兩點，為坐標原點，若，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意得，，
根據橢圓定義可得：，解得
根據，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）設，，
由得：，
，即，
，，，
所以，所以，
故，解得，
所以.
故的取值范圍為
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：經過點，一個焦點的坐標為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線：與橢圓交于，兩點，為坐標原點，若，求的取值范圍.
【解析】（1），，
∴橢圓的方程為.
（2）設，，
由得：，
，
即，
，，
，
，
∴即，故，
.
故的取值范圍為.
變式22．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中校考階段練習）已知橢圓經過點，一個焦點的坐標為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，求·的取值范圍.
【解析】（1）由題意可知再焦點坐標，（-2，0），再由橢圓定義.(2)橢圓與直線組方程組，，所以代入韋達，利用判別式控制范圍．
試題解析
題型八：參數的取值范圍
例22．（2024·全國·高三專題練習）已知曲線表示焦點在軸上的橢圓.
（1）求的取值范圍；
（2）設，過點的直線交橢圓于不同的兩點，（在，之間），且滿足，求的取值范圍.
【解析】（1）因為曲線表示焦點在軸上的橢圓，
所以解得：，
所以m的取值范圍是；
（2）因為，所以橢圓方程為：；
當直線l的斜率不存在時，即直線，此時，，
由解得：；
當直線l的斜率存在時，設直線，，，
聯立直線l與橢圓消得，
所以，，即，解得，
由，得，
而，
即，
又在上單調遞增，
所以，又在，之間，即，解得：；
綜上所述，的取值范圍是.
例23．（2024·黑龍江大慶·統考三模）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率，且經過拋物線的焦點．若過點的直線斜率不等于零與橢圓交于不同的兩點E、在B、F之間，
求橢圓的標準方程；
求直線l斜率的取值范圍；
若與面積之比為，求的取值范圍．
【解析】設橢圓的方程為，則 ，
拋物線的焦點為
由解得，橢圓的標準方程為；
如圖，由題意知l的斜率存在且不為0，
設l 方程為，
將代入 整理得：
，由 得，
；
設，，則 令，則，
由此可得 ，且，
，即，
，
，解得 又，
，
與面積之比的取值范圍是．
例24．（2024·廣東廣州·高二執信中學校考期末）已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓過點，且它的離心率
（I）求橢圓的標準方程；
（II）與圓相切的直線交橢圓于、兩點，若橢圓上一點滿足，求實數的取值范圍
【解析】（1）設橢圓的標準方程為，
由已知得解得
所以橢圓的標準方程為.
（2）因為直線：y＝kx＋t與圓(x－1)2＋y2＝1相切，
所以＝1，
整理得(t≠0)．
由消去y整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，
因為直線與橢圓交于M，N兩點，
所以，
將代入上式可得恒成立．
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則有x1＋x2＝－，
所以y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，
因為)，
所以可得C，
又因為點C在橢圓上，
所以＋＝1,
所以，
因為t2＞0，所以＋＋1＞1，
所以，
所以的取值范圍為.
變式23．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓：的左頂點為，右頂點為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.
【解析】（1）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑，
圓心到直線的距離，
直線被圓截得的弦長為，
解得：，又橢圓離心率，
∴，，
橢圓的標準方程為：.
（2）設，其中，，則，
∴，，
則直線為：；直線為：，
由得：，
∴，
∴，
∴，
令，，則，
∴，
∵∴，
∴，
即.
變式24．（2024·天津河西·天津市新華中學校考一模）設橢圓的左頂點為，右頂點為．已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑
圓心到直線的距離
直線被圓截得的弦長為
解得：，又橢圓離心率
，
橢圓的標準方程為：
（Ⅱ）設，其中，，則
，
則直線為：；直線為：
由得：
令，，則

即
變式25．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，.
(1)求橢圓的方程；
(2)設為橢圓上一點，且滿足為坐標原點），試求實數的取值范圍.
【解析】（1）橢圓的離心率為，
過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，
，
又，
解得，
橢圓方程為.
（2）設，，，，，
設，
聯立得，
，
解得，，
，
，
，
由點在橢圓上得，
整理可得，
當時，；
當時，，
，，
據此可得實數的取值范圍是.
變式26．（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期中）已知橢圓的離心率為,過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為,過點的直線與橢圓相交于兩點
(1)求橢圓的方程;
(2)設為橢圓上一點,且滿足(為坐標原點),當時,求實數的取值范圍.
【解析】解(1) 由已知,所以,所以
所以
又由過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為
所以
所以
(2)設
設與橢圓聯立得
整理得
得


由點在橢圓上得

又由, 所以

所以
所以 由得

所以,所以或
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