資源簡介

第79講 圓錐曲線中的圓問題
知識梳理
1、曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓：．
2、雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓．
3、拋物線的兩條互相垂直的切線的交點在該拋物線的準線上．
4、證明四點共圓的方法：
方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．
方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一同弧所對的圓周角相等證）．
方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內對角時，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一圓內接四邊形的對角和為，并且任何一個外角都等于它的內對角）．
方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．
必考題型全歸納
題型一：蒙日圓問題
例1．（2024·全國·高三專題練習）在學習數學的過程中，我們通常運用類比猜想的方法研究問題．
(1)已知動點為圓外一點，過引圓的兩條切線、，、為切點，若，求動點的軌跡方程；
(2)若動點為橢圓外一點，過引橢圓的兩條切線、，、為切點，若，求出動點的軌跡方程；
(3)在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動點的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）．
【解析】（1）由切線的性質及可知，四邊形為正方形，
所以點在以為圓心，長為半徑的圓上，且，
進而動點的軌跡方程為
（2）設兩切線為，，
①當與軸不垂直且不平行時，設點的坐標為，則，
設的斜率為，則，的斜率為，
的方程為，聯立，
得，
因為直線與橢圓相切，所以，得，
化簡，，
進而，
所以
所以是方程的一個根，
同理是方程的另一個根，
，得，其中，
②當與軸垂直或平行時，與軸平行或垂直，
可知：點坐標為：，
點坐標也滿足，
綜上所述，點的軌跡方程為：．
（3）動點的軌跡方程是
以下是證明：
設兩切線為，，
①當與軸不垂直且不平行時，設點的坐標為，則，
設的斜率為，則，的斜率為，
的方程為，聯立，
得，
因為直線與橢圓相切，所以，
得，
化簡，，
進而，
所以
所以是方程的一個根，
同理是方程的另一個根，
，得，其中，
②當與軸垂直或平行時，與軸平行或垂直，
可知：點坐標為：，
點坐標也滿足，
綜上所述，點的軌跡方程為：．
例2．（2022·全國·高三專題練習）在學習過程中，我們通常遇到相似的問題.
（1）已知動點為圓：外一點，過引圓的兩條切線、，、為切點，若，求動點的軌跡方程；
（2）若動點為橢圓：外一點，過引橢圓的兩條切線、，、為切點，若，猜想動點的軌跡是什么，請給出證明并求出動點的軌跡方程.
【解析】（1）因為、是圓的兩條切線，所以，
由可得，所以四邊形是矩形，
因為，所以四邊形為正方形，
所以，即點在以為圓心，長為半徑的圓上，
所以動點的軌跡方程為；
（2）動點的軌跡是一個圓，
設切線、為，，
①當與軸不垂直且不平行時，設點的坐標為，則，
設的斜率為，則，的斜率為，
的方程為，與聯立可得，
因為直線與橢圓相切，所以，得，即，
所以
所以，
所以是方程的一個根，
同理是方程的另一個根，
所以，得，其中；
②當軸或軸時，對應軸或軸，可知，滿足上式；
綜上所述，點的軌跡方程為
例3．（2024·河南·校聯考模擬預測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.
【解析】（1）將，代入到，
可得，解得，，
所以橢圓的方程為：.
（2）由題意可知，蒙日圓方程為：.
（ⅰ）若直線斜率不存在，則直線的方程為：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直線斜率存在，設直線的方程為：.
聯立，化簡整理得：，
據題意有，于是有：.
設（），（）.
化簡整理得：，
，
，.
則
，
，所以.
綜上可知，為定值.
變式1．（2024秋·浙江寧波·高三期末）法國數學家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發現了一個有趣的重要結論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；
(2)設P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.
【解析】（1）設橢圓方程為，焦距為2c.
由題意可知，
所以，橢圓C的方程為，
且蒙日圓的方程為；
（2）設，設過點P的切線方程為，
由，消去y得①，
由于相切，所以方程①的，可得：，
整理成關于k的方程可得：，
由于P在橢圓外，故，
故，
設過點P的兩切線斜率為，
據題意得，，，
又因為，所以可得，
即點的軌跡方程為：，
由不等式可知：，
即，當且僅當時取等號，此時，
所以，即的面積的最大值為.
變式2．（2024·吉林白山·統考二模）法國數學家加斯帕爾·蒙日創立的《畫法幾何學》對世界各國科學技術的發展影響深遠．在雙曲線-=1（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與虛半軸長的平方差的算術平方根，這個圓被稱為蒙日圓．已知雙曲線C：-=1（a>b>0）的實軸長為6，其蒙日圓方程為x2+y2=1．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設D為雙曲線C的左頂點，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F兩點，若以EF為直徑的圓經過點D，且DG⊥EF于G，證明：存在定點H，使|GH|為定值．
【解析】（1）由題意知a=3，因為雙曲線C的蒙日圓方程為x2+y2=1，
所以a2-b2=1，所以b=2，
故雙曲線C的標準方程為-=1，
（2）證明：設E（x1，y1），F（x2，y2）．
當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m，
聯立方程組化簡得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，
則Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，
且
因為·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，
所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9
=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，
化簡得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，
所以m=3k或m=51k，且均滿足m2-9k2+8>0
當m=3k時，直線l的方程為y=k（x+3），直線過定點（-3，0），與已知矛盾，
當m=51k時，直線l的方程為y=k（x+51），過定點M（-51，0）
當直線l的斜率不存在時，由對稱性不妨設直線DE：y=x+3，
聯立方程組得x=-3（舍去）或x=-51，此時直線l過定點M（-51，0）．
因為DG⊥EF，所以點G在以DM為直徑的圓上，H為該圓圓心，|GH|為該圓半徑．
故存在定點H（-27，0），使|GH|為定值24.
變式3．（2022秋·江蘇鹽城·高三校聯考階段練習）定義橢圓的“蒙日圓”的方程為，已知橢圓的長軸長為4，離心率為.
(1)求橢圓的標準方程和它的“蒙日圓”E的方程；
(2)過“蒙日圓”E上的任意一點M作橢圓的一條切線，A為切點，延長MA與“蒙日圓”E交于點，O為坐標原點，若直線OM，OD的斜率存在，且分別設為，證明：為定值.
【解析】（1）由題意知
，
故橢圓的方程,
“蒙日圓”的方程為,即
（2）當切線的斜率存在且不為零時,設切線的方程為,則
由,消去得
,
由,消去得
設,則,
，
，
當切線的斜率不存在或為零時,易得成立,
為定值.
變式4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程；
(3)若過橢圓上任意一點的切線與（2）中所求點的軌跡方程交于、兩點，求證：．
【解析】（1）由題意可得，，則，，
所以，橢圓的方程為.
（2）設點，若兩切線分別與兩坐標軸垂直，則，，
此時；
若兩切線的斜率都存在，設兩切線的斜率分別為、，
切線的方程設為，聯立橢圓方程，
可得，
，
可得，
由題意可得，整理可得.
綜上所述，點的軌跡方程為.
（3）設點，則，且，
，
，
所以，，
連接，設過點且垂直于的直線交圓于、兩點，
由垂徑定理可知為的中點，且，
所以，,
連接，易得，
所以，所以
所以.
變式5．（2019·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）已知橢圓：的一個焦點為,離心率為.
（1）求的標準方程；
（2）若動點為外一點,且到的兩條切線相互垂直,求的軌跡的方程；
（3）設的另一個焦點為,過上一點的切線與（2）所求軌跡交于點,,求證：.
【解析】（1）設,
由題設,得,,所以,,
所以的標準方程為.
（2）如圖,設,切點分別為,,
當時,設切線方程為,
聯立方程,得,
消去,得,①
關于的方程①的判別式,
化簡,得,②
關于的方程②的判別式,
因為在橢圓外,
所以,即,所以.
關于的方程②有兩個實根,分別是切線,的斜率,
因為,所以,即,化簡為,
當時,可得,滿足,
所以的軌跡方程為.
（3）證明：如圖,設,先求.
方法一：由相交弦定理,得
.
方法二：切線的參數方程為（為參數）,
,
代入圓,整理得,
因為點在圓內,
所以上述方程必有兩個不等實根,,,且,
所以,
當時,,仍有.
再求.
,
因為點在橢圓上,所以,即,
所以,
所以.
變式6．（2022·全國·高三專題練習）設橢圓的中心在原點，焦點在軸上，垂直軸的直線與橢圓相交于、兩點，當的周長取最大值時，．
(1)求橢圓的方程；
(2)過圓上任意一點作橢圓的兩條切線、，直線、與圓的另一交點分別為、,
①證明：；
②求面積的最大值．
【解析】（1）根據題意，設橢圓的標準方程為，
如圖，不妨設焦點為橢圓的左焦點，為橢圓的右焦點，與的交點為，
所以，由橢圓定義，
因為在中，，且當點與點重合時，等號成立，
所以，，當點與點重合時，等號成立，
所以，
所以，的周長取最大值時，直線過橢圓的另一焦點，且最大值為，
所以把代入橢圓的方程可得，
因為，所以，，
因為的周長最大值為，所以，解得，，
所以，橢圓的方程為．
（2）①設，，則．
當切線的斜率都存在時，設切線的方程為：，
代入橢圓的方程可得：，
所以，△，化為．
所以，當時，設直線、的斜率分別為，
所以，，故．
當時，有一條切線的斜率不存在，
點可以為或或或，
此時，兩條切線為和，或和，或和或和，滿足；
綜上可得：．
②由①可得：，
所以，為的直徑，因此過圓心即原點．
所以，當時，面積取得最大值．
題型二：內圓與外圓問題
例4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓及圓，過點與橢圓相切的直線交圓于點，若，求橢圓的離心率．
【解析】由，可得為等邊三角形，即，
設直線的方程為，則
圓心到直線的距離為，弦長，解得，
，消去，整理得，
因為直線和橢圓相切，
所以，化簡可得，
由，可得，
即有．
例5．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓，，分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為的動直線交橢圓于，兩點，交圓于，兩點（如圖所示，點在軸上方）．當時，弦的長為．
(1)求圓與橢圓的方程；
(2)若，求直線的方程．
【解析】（1）取的中點，連接，，如圖所示：
由，，，可得，
由弦的長為，∴，
，，
所以圓的方程為，橢圓的方程為；
（2）由（1）知，，離心率，
又，得，，
設，，則，，
代入，得，解得，
代入，得．，
則直線的方程為：，即．
例6．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為的動直線交橢圓于兩點，交圓于兩點（如圖所示），當時，弦的長為．
（1）求圓和橢圓的方程
（2）若點是圓上一點，求當成等差數列時，面積的最大值．
【解析】（1）取的中點，連接
由，可得，
∵，∴
∴
∴圓的方程為，橢圓的方程為
（2）∵成等差數列，所以,又因為，
∴
設，則，得，
∴
∴到的距離為，
又圓上一點到直線的距離的最大值為
∴的面積的最大值為．
變式7．（2017·上海嘉定·統考二模）如圖，已知橢圓過點兩個焦點為和.圓O的方程為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過且斜率為的動直線l與橢圓C交于A、B兩點，與圓O交于P、Q兩點（點A、P在x軸上方），當成等差數列時，求弦PQ的長.
【解析】（1）由題意，，
設橢圓C的方程為，將點代入，
解得或（舍去），
所以，橢圓C的方程為.
（2）由橢圓定義，，兩式相加，得
，因為成等差數列，
所以，
于是，即.
設，由解得，
所以，，直線l的方程為，
即，
圓O的方程為，圓心O到直線l的距離，
此時，弦PQ的長.
變式8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓和圓（其中圓心為原點），過橢圓上異于上、下頂點的一點引圓的兩條切線，切點分別為．
(1)求直線的方程；
(2)求三角形面積的最大值．
【解析】（1）因為，
所以以點為圓心，為半徑的圓的方程為．
因為圓與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，
所以聯立方程組，
由，得，
所以直線的方程為．
（2）由（1）知，直線的方程為，
所以點到直線的距離為．
因為，
所以三角形的面積．
因為點，在橢圓上，
所以，即．
設，
所以．
當且僅當時，等號成立；
當，即時，三角形的面積取得最大值；
當，即時，三角形的面積取得最大值.
變式9．（2022·全國·高三專題練習）如圖，橢圓和圓，已知橢圓的離心率為，直線與圓相切．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)橢圓的上頂點為，是圓的一條直徑，不與坐標軸重合，直線、與橢圓的另一個交點分別為、，求的面積的最大值及此時所在的直線方程．
【解析】（1）直線與圓相切，則，
由橢圓的離心率，解得：，
橢圓的標準方程：；
（2）由題意知直線，的斜率存在且不為0，，
不妨設直線的斜率為，則直線．
由，得，或，
所以.
用代替，
則，
，
，
設，則．
當且僅當即時取等號，
所以.
即，．
直線的斜率，
所在的直線方程：.
變式10．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓，過橢圓上一點引圓的兩條切線，切點分別為．
（Ⅰ）若圓過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率的值；
（Ⅱ）設直線與、軸分別交于點，問當點在橢圓上運動時，是否為定值？請證明你的結論．
【解析】（Ⅰ）∵ 圓過橢圓的焦點，圓：，
∴ ，
∴ ， ，∴．
（Ⅱ）設，
由得，則, 整理得
∴方程為：，
同理可得方程為：．
從而直線的方程為：．
令，得，令，得
∴，
∴為定值，定值是.
題型三：直徑為圓問題
例7．（2024秋·湖南岳陽·高三校考階段練習）已知橢圓經過點，左，右焦點分別為，，為坐標原點，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設A為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于，兩點，以為直徑的圓過點A，求的最大值．
【解析】（1）根據題意可得解得，，
所以橢圓的方程為．
（2）
由(1)得，設直線的方程為，，，，
聯立，得，
所以，
，,
，
，
因為以為直徑的圓過點A，故，所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或舍去，
當時，，且，點A到MN的距離為，
所以，
化簡得，
令，則，
，
由對勾函數的單調性知，在上單調遞增，
即時取得最小值，此時.
例8．（2024秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.
（i）證明：點B在以為直徑的圓內；
（ii）求四邊形面積的最大值.
【解析】（1）依題意將和兩點代入橢圓可得
，解得；
所以橢圓方程為
（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設，；
根據題意可知直線斜率均存在，且；
所以直線的方程為，的方程為；
聯立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達定理可得，解得，則；
聯立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達定理可得，解得，則；
則，；
所以；
即可知為鈍角，
所以點B在以為直徑的圓內；
（ii）易知四邊形的面積為，
設，則，當且僅當時等號成立；
由對勾函數性質可知在上單調遞增，
所以，可得，
由對稱性可知，即當點的坐標為或時，
四邊形的面積最大，最大值為6.
例9．（2024·山西大同·統考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由得
直線是拋物線的一條切線．所以
，所以橢圓
（2）
當直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為
當直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為
所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．
證明如下．當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點
當直線與軸不垂直時，可設直線為：
由得，設，則
則
所以，即以為直徑的圓過點
所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．
變式11．（2024秋·福建福州·高三閩侯縣第一中學校考階段練習）已知橢圓的離心率是，上、下頂點分別為，.圓與軸正半軸的交點為，且.
(1)求的方程；
(2)直線與圓相切且與相交于，兩點，證明：以為直徑的圓恒過定點.
【解析】（1）由已知得，，.
則，，，所以.
因為，又，所以，.
故的方程為.
（2）當直線的斜率存在時，設的方程為，即.
因為直線與圓相切，所以，即.
設，，則，.
由化簡，得，
由韋達定理，得
所以，
所以，
故，即以為直徑的圓過原點.
當直線的斜率不存在時，的方程為或.
這時，或，.
顯然，以為直徑的圓也過原點.綜上，以為直徑的圓恒過原點.
變式12．（2024秋·廣東廣州·高三廣州市第六十五中學校考階段練習）已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，為坐標原點，線段的中點為，且．
(1)求方程；
(2)已知點、均在直線上，以為直徑的圓經過點，圓心為點，直線、分別交橢圓于另一點、，證明直線與直線垂直．
【解析】（1）由題意知：，，則，而，
∴，即，又，
∴，解得或（舍去），故，
∴的方程.
（2）令，，則，而，
∴，，
聯立橢圓方程，整理得，顯然，
若，則，得，則，即，
同理，整理得，顯然，
若，可得，則，即.
∴，
又，則，所以，故，而，
∴，則直線與直線垂直，得證.
變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B分別是C的右、上頂點，且，D是C上一點，周長的最大值為8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦過，直線，分別交直線于M，N兩點，P是線段的中點，證明：以為直徑的圓過定點.
【解析】（1）依題意，，
周長，當且僅當三點共線時等號成立，故，
所以，所以的方程；
（2）設，直線，代入，整理得，
，，
易知，令，得，同得，
從而中點，
以為直徑的圓為，
由對稱性可知，定點必在軸上，
令得，，
，
所以，即，因為，
所以，即，
解得，所以圓過定點.
變式14．（2024秋·全國·高三校聯考開學考試）在平面直角坐標系中，已知分別為橢圓的左、右焦點.為橢圓上的一個動點，的最大值為，且點到右焦點距離的最小值為，直線交橢圓于異于橢圓右頂點的兩個點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若以為直徑的圓恒過點，求證：直線恒過定點，并求此定點的坐標.
【解析】（1）因為的最大值為，
所以為短軸的頂點時，，此時易得.
又點到右焦點距離的最小值為，即，
解得.
又由，可得.
所以橢圓的標準方程為；
（2）證明：當直線的斜率不存在時，
設，聯立，
解得，
所以或.
又，
所以或，
因為以為直徑的圓恒過點，
所以.
所以，
解得或（舍去），
此時直線的方程為.
當直線的斜率存在時，易知直線的斜率不為0，設，
聯立，
消去得：.
由，得，
由根與系數的關系，知.
因為，
所以，
將代入上式，
整理得，
即，所以或.
當時，直線為，此時直線過點，不符合題意，舍去；
當時，直線為，此時直線過定點.
綜上所述，直線恒過定點.
變式15．（2024秋·重慶·高三統考開學考試）已知、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，兩點的坐標分別是，，若過點的直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過點，求出直線的所有方程.
【解析】（1）因為，
所以橢圓的左焦點的坐標是，
所以
解得
所以橢圓的方程為.
（2）若直線與軸垂直，則直線與橢圓的交點，的坐標分別是，，
以為直徑的圓顯然過點，此時直線的方程是；
若直線與軸不垂直，設直線的方程是，
與橢圓的方程聯立，消去并整理，得.
設，，則，
，，
.
因為以為直徑的圓過點，
所以，即，，
所以，，
，解得.
顯然滿足，
所以直線與軸不垂直時，直線的方程是，即.
綜上所述，當以為直徑的圓經過點時，直線的方程是或.
變式16．（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為.

(1)求橢圓的方程；
(2)設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，則在軸上一定存在定點，使得以為直徑的圓恒過點，試求出點的坐標.
【解析】（1）由橢圓的定義可知的周長為，即，
因為，所以，，
又因為，所以，，
故橢圓的方程為：.
（2）聯立可得，
因為動直線與橢圓有且只有一個公共點，
所以，，
所以，，
此時，，
故點，
由可得，即點，
假設在軸上存在定點，使得以為直徑的圓恒過點，
設，則，且，，
所以，，
整理得對任意實數、恒成立，則，
故在軸上存在定點，使得以為直徑的圓恒過點.
題型四：四點共圓問題
例10．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知，，動點P滿足，且.設動點P形成的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標準方程；
(2)過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點共圓.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.
【解析】（1）設，則，，，
因為，所以，
所以，，所以，，
又，整理得，
即曲線C的標準方程為；
（2）易知當l的斜率不存在時，直線l與曲線C沒有兩個交點，所以直線l的斜率存在，
設l：，將直線l與曲線C聯立，得，
消去y，整理得，
因為且，
所以且，
設，，
則，，
所以MN的中點，
且，
將，代入上式，
整理得，
當時，線段MN的中垂線方程為：，
令y＝0，解得，即與x軸的交點坐標為，
當k＝0時，線段MN的中垂線為y軸，與x軸交于原點，符合Q點坐標，
因為AB的中垂線為x軸，所以若A，B，M，N共圓，則圓心為，
所以，
所以，
整理得，即，
因為且，
所以上述方程無解，即不存在直線l符合題意.
例11．（2024秋·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市十二中校考階段練習）已知拋物線上的點到其焦點的距離為．
(1)求和的值；
(2)若直線交拋物線于、兩點，線段的垂直平分線交拋物線于、兩點，求證：、、、四點共圓．
【解析】（1）拋物線的焦點為，準線方程為，
點到其焦點的距離為，則，可得，故拋物線的方程為．
將點的坐標代入拋物線方程可得，解得.
（2）由中垂線的性質可得，，，，所以，，
設、，聯立消去并整理，得，
則，，且，即，
則．
設線段的中點為，則點的縱坐標為，
所以，點的橫坐標為，則．
直線為線段的垂直平分線，所以，直線的方程為．
設、，聯立，
消去并整理得，，可得，
則，，
故．
設線段的中點為，則．
，
，，
故，所以，，，
故，故，
所以，點、都在以為直徑的圓上，故、、、四點共圓．
例12．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且離心率為．
(1)求C的方程；
(2)直線交C于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，求證：M，，N，四點共圓．
【解析】（1）由題意知，解得，，，所以C的方程為．
（2）證明：設點（不妨設，則點，
由，消去y得，所以，，
所以直線AE的方程為．
因為直線AE與y軸交于點M，令得，
即點，同理可得點．
所以，，
所以，所以，同理．
則以MN為直徑的圓恒過焦點，，即M，，N，四點共圓．
綜上所述，M，，N，四點共圓．
變式17．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的右頂點為點A，直線l交C于M，N兩點，O為坐標原點．當四邊形AMON為菱形時，其面積為．
(1)求C的方程；
(2)若；是否存在直線l，使得A，M，O，N四點共圓？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因為四邊形AMON為菱形，所以MN垂直平分OA，
所以點M（x軸上方）的橫坐標為，代入橢圓方程，
得M的縱坐標為，所以，菱形AMON的面積為，所以，
所以C的方程為．
（2）設直線，，
聯立方程，得，
，
，，
因為O，M，N，A四點共圓，則∠MON＝∠MAN＝90°，
所以，即，
得，即
由（i）得，即，
由（ii）得，
即，
聯立，解得，（此時直線l過點A，舍去），
將代入，解得，即，
所以直線l的方程為．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且過點．
(1)求C的方程；
(2)過原點O且與x軸不重合的直線交C于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，求證：M，，N，四點共圓．
【解析】（1）由題意知
解得，，
所以C的方程為．
（2）證明：當直線EF的斜率不存在時，E，F為短軸的兩個端點，則，或，所以，，則以MN為直徑的圓恒過焦點，即M、，N，四點共圓．
當EF的斜率存在且不為零時，設直線EF的方程為，
設點（不妨設，則點．
由消去y得，所以，，
所以直線AE的方程為．
因為直線AE與y軸交于點M，令得，
即點，
同理可得點．
所以，，
所以，所以，同理．
則以MN為直徑的圓恒過焦點，，即M，，N，四點共圓．
綜上所述，M，，N，四點共圓．
變式19．（2024·山東青島·山東省青島第五十八中學校考一模）橢圓的離心率為，右頂點為A，設點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設直線交x軸于點P，其中，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O、A、M、N四點共圓，求t的值．
【解析】（1）由題意，設橢圓半焦距為c，則，即，得，
設，由，所以的最大值為，
將代入，有，解得，
所以橢圓的標準方程為；
（2）設，因為點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，則直線BC不與x軸重合，
設直線BC方程為，與橢圓方程聯立得，
，可得，
由韋達定理可得，
直線BA的方程為，令得點M縱坐標，
同理可得點N縱坐標，
當O、A、M、N四點共圓，由相交弦定理可得，即，
，
由，故，解得．
變式20．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓E：的離心率為，且經過點(-1，).
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設橢圓E的右頂點為A，點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左 右頂點的動點，直線l：交x軸于點P，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O A M N四點共圓，求t的值.
【解析】（1）依題意：，解得：，，
故橢圓C的方程為；
（2）設B(，)，C(，)，∵點B為橢圓E上異于左 右頂點的動點，
則直線BC不與x軸重合，則可設BC為，
與橢圓方程聯立得，
則，可得，
由韋達定理可得．
直線BA的方程為，令得點M縱坐標
同理可得，點N縱坐標
當O A M N四點共圓時，由割線定理可得，即，
∵
．
由，故，解得．
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線：，是上位于第一象限內的動點，它到點距離的最小值為，直線與交于另一點，線段AD的垂直平分線交于E，F兩點.
(1)求的值；
(2)若，證明A，D，E，F四點共圓，并求該圓的方程.
【解析】（1）設，則，
令，則，
對于二次函數，其對稱軸為，
當時，，在上單調遞增，其最小值為9，即的最小值為3，不滿足題意，
當時，，所以當時取得最小值，即
所以，解得或（舍）
所以
（2）由（1）可得，當時，，點，
所以，直線的方程為，
由可得，解得或，所以，
所以的中點為，所以直線的方程為，即，
設，由可得，所以
所以線段的中點為，
因為，所以A，D，E，F四點共圓，圓心為，半徑為8，
所以該圓的方程為
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第79講 圓錐曲線中的圓問題
知識梳理
1、曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓：．
2、雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓．
3、拋物線的兩條互相垂直的切線的交點在該拋物線的準線上．
4、證明四點共圓的方法：
方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．
方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一同弧所對的圓周角相等證）．
方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內對角時，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一圓內接四邊形的對角和為，并且任何一個外角都等于它的內對角）．
方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．
必考題型全歸納
題型一：蒙日圓問題
例1．（2024·全國·高三專題練習）在學習數學的過程中，我們通常運用類比猜想的方法研究問題．
(1)已知動點為圓外一點，過引圓的兩條切線、，、為切點，若，求動點的軌跡方程；
(2)若動點為橢圓外一點，過引橢圓的兩條切線、，、為切點，若，求出動點的軌跡方程；
(3)在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動點的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）．
例2．（2022·全國·高三專題練習）在學習過程中，我們通常遇到相似的問題.
（1）已知動點為圓：外一點，過引圓的兩條切線、，、為切點，若，求動點的軌跡方程；
（2）若動點為橢圓：外一點，過引橢圓的兩條切線、，、為切點，若，猜想動點的軌跡是什么，請給出證明并求出動點的軌跡方程.
例3．（2024·河南·校聯考模擬預測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.
變式1．（2024秋·浙江寧波·高三期末）法國數學家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發現了一個有趣的重要結論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；
(2)設P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.
變式2．（2024·吉林白山·統考二模）法國數學家加斯帕爾·蒙日創立的《畫法幾何學》對世界各國科學技術的發展影響深遠．在雙曲線-=1（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與虛半軸長的平方差的算術平方根，這個圓被稱為蒙日圓．已知雙曲線C：-=1（a>b>0）的實軸長為6，其蒙日圓方程為x2+y2=1．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設D為雙曲線C的左頂點，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F兩點，若以EF為直徑的圓經過點D，且DG⊥EF于G，證明：存在定點H，使|GH|為定值．
變式3．（2022秋·江蘇鹽城·高三校聯考階段練習）定義橢圓的“蒙日圓”的方程為，已知橢圓的長軸長為4，離心率為.
(1)求橢圓的標準方程和它的“蒙日圓”E的方程；
(2)過“蒙日圓”E上的任意一點M作橢圓的一條切線，A為切點，延長MA與“蒙日圓”E交于點，O為坐標原點，若直線OM，OD的斜率存在，且分別設為，證明：為定值.
變式4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程；
(3)若過橢圓上任意一點的切線與（2）中所求點的軌跡方程交于、兩點，求證：．
變式5．（2019·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）已知橢圓：的一個焦點為,離心率為.
（1）求的標準方程；
（2）若動點為外一點,且到的兩條切線相互垂直,求的軌跡的方程；
（3）設的另一個焦點為,過上一點的切線與（2）所求軌跡交于點,,求證：.
變式6．（2022·全國·高三專題練習）設橢圓的中心在原點，焦點在軸上，垂直軸的直線與橢圓相交于、兩點，當的周長取最大值時，．
(1)求橢圓的方程；
(2)過圓上任意一點作橢圓的兩條切線、，直線、與圓的另一交點分別為、,
①證明：；
②求面積的最大值．
題型二：內圓與外圓問題
例4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓及圓，過點與橢圓相切的直線交圓于點，若，求橢圓的離心率．
例5．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓，，分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為的動直線交橢圓于，兩點，交圓于，兩點（如圖所示，點在軸上方）．當時，弦的長為．
(1)求圓與橢圓的方程；
(2)若，求直線的方程．
例6．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為的動直線交橢圓于兩點，交圓于兩點（如圖所示），當時，弦的長為．
（1）求圓和橢圓的方程
（2）若點是圓上一點，求當成等差數列時，面積的最大值．
變式7．（2017·上海嘉定·統考二模）如圖，已知橢圓過點兩個焦點為和.圓O的方程為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過且斜率為的動直線l與橢圓C交于A、B兩點，與圓O交于P、Q兩點（點A、P在x軸上方），當成等差數列時，求弦PQ的長.
變式8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓和圓（其中圓心為原點），過橢圓上異于上、下頂點的一點引圓的兩條切線，切點分別為．
(1)求直線的方程；
(2)求三角形面積的最大值．
變式9．（2022·全國·高三專題練習）如圖，橢圓和圓，已知橢圓的離心率為，直線與圓相切．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)橢圓的上頂點為，是圓的一條直徑，不與坐標軸重合，直線、與橢圓的另一個交點分別為、，求的面積的最大值及此時所在的直線方程．
變式10．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓，過橢圓上一點引圓的兩條切線，切點分別為．
（Ⅰ）若圓過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率的值；
（Ⅱ）設直線與、軸分別交于點，問當點在橢圓上運動時，是否為定值？請證明你的結論．
題型三：直徑為圓問題
例7．（2024秋·湖南岳陽·高三校考階段練習）已知橢圓經過點，左，右焦點分別為，，為坐標原點，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設A為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于，兩點，以為直徑的圓過點A，求的最大值．
例8．（2024秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.
（i）證明：點B在以為直徑的圓內；
（ii）求四邊形面積的最大值.
例9．（2024·山西大同·統考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．
變式11．（2024秋·福建福州·高三閩侯縣第一中學校考階段練習）已知橢圓的離心率是，上、下頂點分別為，.圓與軸正半軸的交點為，且.
(1)求的方程；
(2)直線與圓相切且與相交于，兩點，證明：以為直徑的圓恒過定點.
變式12．（2024秋·廣東廣州·高三廣州市第六十五中學校考階段練習）已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，為坐標原點，線段的中點為，且．
(1)求方程；
(2)已知點、均在直線上，以為直徑的圓經過點，圓心為點，直線、分別交橢圓于另一點、，證明直線與直線垂直．
變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B分別是C的右、上頂點，且，D是C上一點，周長的最大值為8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦過，直線，分別交直線于M，N兩點，P是線段的中點，證明：以為直徑的圓過定點.
變式14．（2024秋·全國·高三校聯考開學考試）在平面直角坐標系中，已知分別為橢圓的左、右焦點.為橢圓上的一個動點，的最大值為，且點到右焦點距離的最小值為，直線交橢圓于異于橢圓右頂點的兩個點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若以為直徑的圓恒過點，求證：直線恒過定點，并求此定點的坐標.
變式15．（2024秋·重慶·高三統考開學考試）已知、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，兩點的坐標分別是，，若過點的直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過點，求出直線的所有方程.
變式16．（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為.

(1)求橢圓的方程；
(2)設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，則在軸上一定存在定點，使得以為直徑的圓恒過點，試求出點的坐標.
題型四：四點共圓問題
例10．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知，，動點P滿足，且.設動點P形成的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標準方程；
(2)過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點共圓.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.
例11．（2024秋·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市十二中校考階段練習）已知拋物線上的點到其焦點的距離為．
(1)求和的值；
(2)若直線交拋物線于、兩點，線段的垂直平分線交拋物線于、兩點，求證：、、、四點共圓．
例12．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且離心率為．
(1)求C的方程；
(2)直線交C于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，求證：M，，N，四點共圓．
變式17．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的右頂點為點A，直線l交C于M，N兩點，O為坐標原點．當四邊形AMON為菱形時，其面積為．
(1)求C的方程；
(2)若；是否存在直線l，使得A，M，O，N四點共圓？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且過點．
(1)求C的方程；
(2)過原點O且與x軸不重合的直線交C于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，求證：M，，N，四點共圓．
變式19．（2024·山東青島·山東省青島第五十八中學校考一模）橢圓的離心率為，右頂點為A，設點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設直線交x軸于點P，其中，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O、A、M、N四點共圓，求t的值．
變式20．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓E：的離心率為，且經過點(-1，).
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設橢圓E的右頂點為A，點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左 右頂點的動點，直線l：交x軸于點P，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O A M N四點共圓，求t的值.
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線：，是上位于第一象限內的動點，它到點距離的最小值為，直線與交于另一點，線段AD的垂直平分線交于E，F兩點.
(1)求的值；
(2)若，證明A，D，E，F四點共圓，并求該圓的方程.
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