資源簡介

第80講 阿基米德三角形
知識(shí)梳理
如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．
1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．
2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)的軌跡為一條直線．
3、若直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)．
4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．
5、若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．
6、點(diǎn)的坐標(biāo)為；
7、底邊所在的直線方程為
8、的面積為．
9、若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則底邊的直線方程為．
10、如圖1，若為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)處的切線與，分別交于點(diǎn)C，D，則.
11、若為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點(diǎn)C，D，則．
12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
圖1
必考題型全歸納
題型一：定點(diǎn)問題
例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求的方程；
（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過定點(diǎn)．
例2．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知?jiǎng)訄A恒過定點(diǎn)，圓心到直線的距離為．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線恒過定點(diǎn)．
例3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知平面曲線滿足：它上面任意一定到的距離比到直線的距離小1.
(1)求曲線的方程；
(2)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線過定點(diǎn)；
(3)在（2）的條件下，以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積.
變式1．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
(1)求C的方程；
(2)若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
變式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．對于拋物線C：給出如下三個(gè)條件：①焦點(diǎn)為；②準(zhǔn)線為；③與直線相交所得弦長為2．
(1)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線C的方程；
(2)已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)Q是拋物線C在弦AB兩端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線AB是否過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．
變式3．（2024·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線（a是常數(shù)）過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程；
(3)證明：直線AB過定點(diǎn)．
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在x軸及其上方，且點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比到x軸的距離大1.
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若點(diǎn)Q是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作點(diǎn)P的軌跡C的兩切線QA QB，其中A B為切點(diǎn)，試證明直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).
題型二：交點(diǎn)的軌跡問題
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)；
(3)過（2）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)定在直線上；
(3)橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、、為切點(diǎn)），使得直線過點(diǎn)？若存在，求出切線、的方程；若不存在，試說明理由．
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸上方，且到定點(diǎn)距離比到軸的距離大.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別異于原點(diǎn)，在曲線的，兩點(diǎn)處的切線分別為，，且與交于點(diǎn)，求證：在定直線上.
變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比為，記P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)，分別為曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線交于點(diǎn)N，求證:點(diǎn)N在定直線上．
變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上，且、、三點(diǎn)共線.若圓的直徑為.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，分別過、兩點(diǎn)作拋物線的切線，，證明直線，的交點(diǎn)在定直線上，并求出該直線.
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下面是某同學(xué)在學(xué)段總結(jié)中對圓錐曲線切線問題的總結(jié)和探索，現(xiàn)邀請你一起合作學(xué)習(xí)，請你思考后，將答案補(bǔ)充完整．
(1)圓上點(diǎn)處的切線方程為 　　．理由如下：　　．
(2)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為 ；
(3)是橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如圖，則直線的方程是 　　．這是因?yàn)樵冢瑑牲c(diǎn)處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點(diǎn)，所以得到了和，由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；
(4)問題（3）中兩切線，斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為，由，得，化簡得，得．若，則由這個(gè)方程可知點(diǎn)一定在一個(gè)圓上，這個(gè)圓的方程為 　　．
（5）拋物線上一點(diǎn)處的切線方程為；
（6）拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作拋物線的兩條切線和，設(shè)，，則直線的方程為．直線的方程為，設(shè)和相交于點(diǎn)．則①點(diǎn)在以線段為直徑的圓上；②點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．
題型三：切線垂直問題
例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求切線的方程；
（2）若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線和互相垂直.
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的中點(diǎn).
（1）求證：切線和互相垂直；
（2）求證：直線與軸平行；
（3）求面積的最小值.
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．
求橢圓和拋物線的方程；
設(shè)點(diǎn)P為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；
若直線AB交橢圓于C，D兩點(diǎn)，，分別是，的面積，試問：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．
變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證： .
變式10．（2024·河南駐馬店·校考模擬預(yù)測）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線：與相離．若到直線的距離為，且的最小值為．過上兩點(diǎn)分別作的兩條切線，若這兩條切線的交點(diǎn)恰好在直線上．
（1）求的方程；
（2）設(shè)線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，．
題型四：面積問題
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值．
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，過直線上一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，且直線與軸交于點(diǎn)．設(shè)直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，求四邊形面積的最小值．
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于直線的斜率.
（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線方程；
（2）點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求面積的最小值.
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線上的點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為F，且，過點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，D為線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，過D作拋物線的切線，切點(diǎn)為E（異于點(diǎn)A，B），且直線DE交線段PB于點(diǎn)H.
(1)求拋物線C的方程；
(2)（i）求證：為定值；
（ii）設(shè)，的面積分別為，求的最小值.
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C 的軌跡方程；
（2）Q為直線y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．
變式13．（2024·河南開封·河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，平面上的動(dòng)點(diǎn)S到F的距離是S到直線的距離的倍，記點(diǎn)S的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過直線上的動(dòng)點(diǎn)向曲線C作兩條切線，，交x軸于M，交y軸于N，交x軸于T，交y軸于Q，記的面積為，的面積為，求的最小值．
題型五：外接圓問題
例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知P是拋物線C：的頂點(diǎn)，A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）試判斷直線是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)M是的外接圓圓心，求點(diǎn)M的軌跡方程．
例14．（2024·高二單元測試）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程.
題型六：最值問題
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與軸分別交于.
（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，記兩點(diǎn)到直線的距離分別為；求當(dāng)取最大值時(shí)的面積.
例17．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)在軸上時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值.
例18．（2024·遼寧沈陽·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．
變式14．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點(diǎn)在直線：上，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的值.
變式15．（2024·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為（ ）
A．1 B．4 C．5 D．
題型七：角度相等問題
例19．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).
（1）求△APB的重心G的軌跡方程.
（2）證明∠PFA=∠PFB．
例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓長軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.
(1)求軌跡的方程；
(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且過點(diǎn)作軌跡的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.
例21．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓與拋物線交于點(diǎn)M，N（異于原點(diǎn)O），MN恰為該圓的直徑，過點(diǎn)E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．
(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；
(2)若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線l：上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，求證：.
變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)E(0，2)，以O(shè)E為直徑的圓與拋物線C∶x2=2py(p>0)交于點(diǎn)M，N(異于原點(diǎn)O)，MN恰為該圓的直徑，過點(diǎn)E作直線交拋物線與A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P.
（1）求證∶點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；
（2）若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明∶∠PFA=∠PFB
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第80講 阿基米德三角形
知識(shí)梳理
如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．
1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．
2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)的軌跡為一條直線．
3、若直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)．
4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．
5、若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．
6、點(diǎn)的坐標(biāo)為；
7、底邊所在的直線方程為
8、的面積為．
9、若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則底邊的直線方程為．
10、如圖1，若為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)處的切線與，分別交于點(diǎn)C，D，則.
11、若為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點(diǎn)C，D，則．
12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
圖1
必考題型全歸納
題型一：定點(diǎn)問題
例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求的方程；
（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)，則，，
，，
所以，可以化為，
化簡得．
所以，的方程為．
（2）由題設(shè)可設(shè)，，，
由題意知切線，的斜率都存在，
由，得，則，
所以，
直線的方程為，即，①
因?yàn)樵谏希裕矗?br/>將②代入①得，
所以直線的方程為
同理可得直線的方程為．
因?yàn)樵谥本€上，所以，
又在直線上，所以，
所以直線的方程為，
故直線過定點(diǎn)．
例2．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知?jiǎng)訄A恒過定點(diǎn)，圓心到直線的距離為．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線恒過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)，則，
因?yàn)椋矗?br/>當(dāng)，即時(shí)，則，整理得；
當(dāng)，即時(shí)，則，
整理得，不成立；
綜上所述：點(diǎn)的軌跡的方程.
（2）由（1）可知：曲線：，即，則，
設(shè)，
可知切線的斜率為，所以切線：，
則，整理得，
同理由切線可得：，
可知：為方程的兩根，則，
可得直線的斜率，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
即，
所以直線：，整理得，
所以直線恒過定點(diǎn).
例3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知平面曲線滿足：它上面任意一定到的距離比到直線的距離小1.
(1)求曲線的方程；
(2)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線過定點(diǎn)；
(3)在（2）的條件下，以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積.
【解析】（1）思路一：由題意知，曲線是一個(gè)以為焦點(diǎn)，以的拋物線，
故的方程為：.
思路二：設(shè)曲線上的點(diǎn)為，則，
由題意易知，，整理得，.
（2）設(shè)，則.
又因?yàn)椋?則切線的斜率為，
故，整理得.
設(shè)，同理得.
都滿足直線方程.
于是直線過點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，
所以直線方程為，即，
當(dāng)時(shí)等式恒成立.
所以直線恒過定點(diǎn).
（3）思路一：利用公共邊結(jié)合韋達(dá)定理求面積
設(shè)的中點(diǎn)為，則，.
由，得，
將代入上式并整理得，
因?yàn)椋曰?
由（1）知，所以軸，
則
（設(shè)）.
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，
即.
綜上，四邊形的面積為3或.
思路二：利用弦長公式結(jié)合面積公式求面積
設(shè)，由（1）知拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
由拋物線的定義，得.
線段的中點(diǎn)為.
當(dāng)時(shí)，軸，，
；
當(dāng)時(shí)，，由，得，即.
所以，直線的方程為.
根據(jù)對稱性考慮點(diǎn)和直線的方程即可.
到直線的距離為，
到直線的距離為.
所以.
綜上，四邊形的面積為3或.
思路三：結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)求面積
圖5中，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)易得，又，所以.
因?yàn)椋浴眨?br/>所以.
同理≌，所以，即點(diǎn)為中點(diǎn).
圖6中已去掉坐標(biāo)系和拋物線，并延長于點(diǎn).
因?yàn)椋?
又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
故為平行四邊形，從而.
因?yàn)榍遥詾榈闹悬c(diǎn)，
從而.
.
當(dāng)直線平行于準(zhǔn)線時(shí)，易得.
綜上，四邊形的面積為3或.
思路四：結(jié)合弦長公式和向量的運(yùn)算求面積
由（1）得直線的方程為.
由，可得，
于是
設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.
因此，四邊形的面積.
設(shè)為線段的中點(diǎn)，則，
由于，而與向量平行，所以，解得或.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)
因此，四邊形的面積為3或.
變式1．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
(1)求C的方程；
(2)若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋裕瑒t直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去y，整理得，
所以有，，
又，得，
整理得，解得．
所以C的方程為．
（2）由，得，所以，
設(shè)過點(diǎn)E作拋物線C的切線的切點(diǎn)為，
則相應(yīng)的切線方程為，即，
設(shè)點(diǎn)，由切線經(jīng)過點(diǎn)E，得，即，
設(shè)，，則，是的兩實(shí)數(shù)根，
可得，．
設(shè)M是的中點(diǎn)，則相應(yīng)，
則，即，
又，
直線的方程為，即，
所以直線恒過定點(diǎn)．
變式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．對于拋物線C：給出如下三個(gè)條件：①焦點(diǎn)為；②準(zhǔn)線為；③與直線相交所得弦長為2．
(1)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線C的方程；
(2)已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)Q是拋物線C在弦AB兩端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線AB是否過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．
【解析】（1）C：即C：，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
若選①，焦點(diǎn)為，則，得，
所以拋物線的方程為；
若選②，準(zhǔn)線為，則，得，
所以拋物線的方程為；
若選③，與直線相交所得的弦為2，
將代入方程中，得，
即拋物線與直線相交所得的弦長為，
解得，所以拋物線的方程為；
（2）設(shè)，，，切線：，
將其與C：聯(lián)立得，
由得，
故切線：，即；
同理：
又點(diǎn)滿足切線，的方程，
即有
故弦AB所在直線方程為，其過定點(diǎn)．
變式3．（2024·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線（a是常數(shù)）過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程；
(3)證明：直線AB過定點(diǎn)．
【解析】（1）由點(diǎn)P代入得，所以C的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；
（2）設(shè)，此時(shí)，則，
因?yàn)椋郧芯€DA的斜率，即，
所以（1）
同理可得（2）
所以由（1）、（2）可得直線AB的方程為；
法二：設(shè)其中一條切線的斜率為k（顯然存在），則切線方程為，
由得，
所以由得，
不妨設(shè)，
可解得
所以AB的斜率，
得直線AB的方程為即
（3）由（2）知：，所以，
同理可得，
顯然直線AB經(jīng)過定點(diǎn)．
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在x軸及其上方，且點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比到x軸的距離大1.
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若點(diǎn)Q是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作點(diǎn)P的軌跡C的兩切線QA QB，其中A B為切點(diǎn)，試證明直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，即
化簡得
∵∴.
∴點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）對函數(shù)求導(dǎo)數(shù).
設(shè)切點(diǎn)，則過該切點(diǎn)的切線的斜率為，
∴切線方程為.
即，
設(shè)點(diǎn)，由于切線經(jīng)過點(diǎn)Q，
∴
設(shè)，則兩切線方程是，，
所以過兩點(diǎn)的直線方程是，
即
∴當(dāng)，時(shí)，方程恒成立.
∴對任意實(shí)數(shù)t，直線恒過定點(diǎn).
題型二：交點(diǎn)的軌跡問題
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)；
(3)過（2）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．
【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為，
∵拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，設(shè)切點(diǎn)為，曲線，，
則切線的斜率為，化簡得，
設(shè)，，，則，是以上方程的兩根，
則，，
，
直線的方程為：，整理得，
∵切線的方程為，整理得，且點(diǎn)，在切線上，
∴，即直線的方程為：，化簡得，
又∵，∴，
故直線過定點(diǎn)．
（3）設(shè)，，，
過的切線，過的切線，
則交點(diǎn)，
設(shè)過點(diǎn)的直線為，
聯(lián)立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴點(diǎn)滿足的軌跡方程為．
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)定在直線上；
(3)橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、、為切點(diǎn)），使得直線過點(diǎn)？若存在，求出切線、的方程；若不存在，試說明理由．
【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為．由已知有，
，，，解得，．
∴橢圓的方程為．
（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
故可設(shè)直線的方程為，,,，
與拋物線方程聯(lián)立，消去，并整理得，，則．
拋物線的方程為，求導(dǎo)得，
過拋物線上，兩點(diǎn)的切線方程分別是，，即，
解得兩條切線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
點(diǎn)在直線上.
（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，
由（2）知：必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點(diǎn)，故的坐標(biāo)為,，
設(shè)過且與拋物線相切的切線方程為，其中,為切點(diǎn)．
令，得，，解得或，
故不妨取,,，即直線過．
綜上，橢圓上存在，經(jīng)過作拋物線的兩條切線、、為切點(diǎn)），能使直線過．
此時(shí)，兩切線的方程分別為和．
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸上方，且到定點(diǎn)距離比到軸的距離大.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別異于原點(diǎn)，在曲線的，兩點(diǎn)處的切線分別為，，且與交于點(diǎn)，求證：在定直線上.
【解析】（1）設(shè)，
則有，化簡得，
故軌跡的方程為.
（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，
設(shè)直線的方程為與
聯(lián)立得，
設(shè)，，
則，，
又，所以，
所以切線的方程為，
即，
同理切線的方程為
聯(lián)立得，.
兩式消去得，
當(dāng)時(shí)，，，
所以交點(diǎn)的軌跡為直線，去掉點(diǎn).
因而交點(diǎn)在定直線上.
變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比為，記P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)，分別為曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線交于點(diǎn)N，求證:點(diǎn)N在定直線上．
【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，
∵動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比為，
∴，整理得，
∴曲線C的方程為；
（2）設(shè)，，，直線方程，
與橢圓方程聯(lián)立，整理得：，
，
由韋達(dá)定理得：，化簡得：，
由已知得,,
則直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線和： ，代入，、可得：，化簡可得：，
所以N點(diǎn)在一條定直線上．
變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上，且、、三點(diǎn)共線.若圓的直徑為.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，分別過、兩點(diǎn)作拋物線的切線，，證明直線，的交點(diǎn)在定直線上，并求出該直線.
【解析】（1）由題可知中點(diǎn)為，設(shè)、到準(zhǔn)線的距離分別為，.到準(zhǔn)線的距離為，
則，由拋物線定義得，，所以，
所以，即.
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，，由，得，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立，方程得，即，的點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)檫^焦點(diǎn)，
由題可知直線的斜率存在，所以設(shè)直線方程為，
與拋物線聯(lián)立得，
所以，，
所以直線，的交點(diǎn)在定直線上.
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下面是某同學(xué)在學(xué)段總結(jié)中對圓錐曲線切線問題的總結(jié)和探索，現(xiàn)邀請你一起合作學(xué)習(xí)，請你思考后，將答案補(bǔ)充完整．
(1)圓上點(diǎn)處的切線方程為 　　．理由如下：　　．
(2)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為 ；
(3)是橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如圖，則直線的方程是 　　．這是因?yàn)樵冢瑑牲c(diǎn)處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點(diǎn)，所以得到了和，由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；
(4)問題（3）中兩切線，斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為，由，得，化簡得，得．若，則由這個(gè)方程可知點(diǎn)一定在一個(gè)圓上，這個(gè)圓的方程為 　　．
（5）拋物線上一點(diǎn)處的切線方程為；
（6）拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作拋物線的兩條切線和，設(shè)，，則直線的方程為．直線的方程為，設(shè)和相交于點(diǎn)．則①點(diǎn)在以線段為直徑的圓上；②點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．
【解析】（1）圓上點(diǎn)處的切線方程為．
理由如下：
①若切線的斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則，
所以，
又過點(diǎn)，
由點(diǎn)斜式可得，，
化簡可得，，
又，
所以切線的方程為；
②若切線的斜率不存在，則，
此時(shí)切線方程為．
綜上所述，圓上點(diǎn)處的切線方程為．
（2）①當(dāng)切線斜率存在時(shí), 設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立方程，得，
，即，
，
又，
把代入中，得，
，
化簡得.
②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過的切線方程為，滿足上式.
綜上，橢圓上一點(diǎn)的切線方程為：.
（3）在，兩點(diǎn)處，橢圓的切線方程為和，
因?yàn)閮汕芯€都過點(diǎn)，
所以得到了和，
由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程為；
（4）問題（3）中兩切線，斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為，
由，可得，
由，可得，
因?yàn)椋?br/>則，
所以式中關(guān)于的二次方程有兩個(gè)解，且其乘積為，
則，
可得，
所以圓的半徑為2，且過原點(diǎn)，其方程為．
題型三：切線垂直問題
例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求切線的方程；
（2）若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線和互相垂直.
【解析】（1）由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在，設(shè)切線斜率為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立方程，消去，得，
由，解得，
所以切線的方程分別為和，
即切線方程分別為和；
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，過點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立方程，消去，得，
由，得，記關(guān)于的一元二次方程的兩根為，
則分別為切線的斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知，
所以切線和互相垂直.
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的中點(diǎn).
（1）求證：切線和互相垂直；
（2）求證：直線與軸平行；
（3）求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，過點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立方程，，
消去，得，
由，得，
記關(guān)于的一元二次方程的兩根為，
則分別為切線的斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知，
所以切線和互相垂直.
（2）設(shè)點(diǎn)，由，知，則，
所以過點(diǎn)的切線方程為，
將點(diǎn)代入，化簡得，
同理可得，
所以是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系知，
所以，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
而點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為，所以直線與軸平行.
（3）點(diǎn)，則，
則，
由（2）知，，
則，，
，
當(dāng)時(shí)，面積的最小值為4.
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為，，，
橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，
，解得，，
橢圓的方程為，拋物線的方程為．
（2）由題意知過點(diǎn)與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設(shè)，則切線方程為，
聯(lián)立，消去，得，
由，得，
直線，的斜率分別為，，，
為定值．
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．
求橢圓和拋物線的方程；
設(shè)點(diǎn)P為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；
若直線AB交橢圓于C，D兩點(diǎn)，，分別是，的面積，試問：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．
【解析】設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為和，，
中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，
拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．
，解得，，，
橢圓的方程為，拋物線的方程為．
證明：設(shè)，過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為，
由，消去x得，
由得，，即，
．
設(shè)，
由得，，則，，
直線BA的方程為，即，
直線AB過定點(diǎn)．
以A為切點(diǎn)的切線方程為，即，
同理以B為切點(diǎn)的切線方程為，
兩條切線均過點(diǎn)，
，
則切點(diǎn)弦AB的方程為，即直線AB過定點(diǎn)
設(shè)P到直線AB的距離為d，
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，
設(shè)，，，，
由，得，時(shí)恒成立．
．
由，得，恒成立．
．
．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，
此時(shí)，，，
．
綜上，有最小值．
變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證： .
【解析】（1）由題意知：，
則焦點(diǎn)到直線的距離為：，
所以拋物線的方程為：；
（2）證明：
把直線代入消得：，
又，
利用韋達(dá)定理得，
由題意設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
由（1）可得：，
則，
所以，
則切線的方程為：，切線的方程為：，
則，
利用韋達(dá)定理化簡整理得：，
把代入整理得：
，
則，
，
則
變式10．（2024·河南駐馬店·校考模擬預(yù)測）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線：與相離．若到直線的距離為，且的最小值為．過上兩點(diǎn)分別作的兩條切線，若這兩條切線的交點(diǎn)恰好在直線上．
（1）求的方程；
（2）設(shè)線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，．
【解析】（1）由題意，得，且的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，
即，解得（負(fù)值舍去），
∴拋物線的方程為．
（2）由，得，故，設(shè)，，
則切線方程分別為，，
設(shè)兩切線的交點(diǎn)為，
代入切線方程并整理可得：，，
即，是方程的實(shí)數(shù)根．
則，，
則線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為
，
∴當(dāng)時(shí)，取最小值．
此時(shí)，，，，，
則
．
∴．
解法二：（同解法一）
∴當(dāng)時(shí)，取最小值．
此時(shí)，，由得，
故，
∴．
題型四：面積問題
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值．
【解析】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用．
（1）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，由題意可得，故，
∴拋物線的方程為．
（2）設(shè)，由題可知切線的斜率存在且不為0，
故可設(shè)切線方程為，．
聯(lián)立，消去得．
由直線與拋物線相切可得，
∴，即．
∴，解得，
可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)，．
由，可得，，
∴，∴為直角三角形，
∴的面積．
令切點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，
則
，
∴，，
∴
，
當(dāng)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的面積取得最小值1．
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，過直線上一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，且直線與軸交于點(diǎn)．設(shè)直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）由，得，所以拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，可知在點(diǎn)處的切線方程為：，即，
同理，在點(diǎn)處的切線方程為：，
可得，
又兩切線均過點(diǎn)，所以，
于是的方程為，
所以點(diǎn)．
將與聯(lián)立可得，
則，，
記四邊形面積為，則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）
所以．
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于直線的斜率.
（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線方程；
（2）點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，，即，可知拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為.
（2），則切線：，即；
同理：.
分別代入點(diǎn)可得，對比可知直線的方程為：.(即切點(diǎn)弦方程)
聯(lián)解，可知，
點(diǎn)到直線的距離為，
因此，，
而，故.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線上的點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為F，且，過點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，D為線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，過D作拋物線的切線，切點(diǎn)為E（異于點(diǎn)A，B），且直線DE交線段PB于點(diǎn)H.
(1)求拋物線C的方程；
(2)（i）求證：為定值；
（ii）設(shè)，的面積分別為，求的最小值.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線
則，則，拋物線C的方程為
（2）（i）設(shè)直線AP：
由，可得
則，解得
則，解得
不妨令直線AP：，直線BP：，則
設(shè)，設(shè)直線
由，可得
由，可得或（舍）
則，直線
由，可得
故，為定值.
（ii）由（i）得，
，
則，
故，令
則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
則，故的最小值為6.
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C 的軌跡方程；
（2）Q為直線y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．
【解析】（Ⅰ）設(shè)，由題意得，化簡可得曲線的方程為； （Ⅱ）設(shè)，切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立互為，由于直線與拋物線相切可得，解得，可切點(diǎn)，由
，利用韋達(dá)定理，得到，得到為直角三角形，得出三角形面積的表達(dá)式，即可求解三角形的最小值．
試題解析：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得：，
化為x2=4y．
∴曲線C 的軌跡方程為x2=4y且（x≠±4）．
（2）聯(lián)立，化為x2﹣4kx+4（km+1）=0，
由于直線與拋物線相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．
∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切點(diǎn)（2k，k2），
由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1 k2=﹣1．
∴切線QD⊥QE．
∴△QDE為直角三角形，|QD| |QE|．
令切點(diǎn)（2k，k2）到Q的距離為d，
則d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），
∴|QD|=，
|QE|=，
∴（4+m2）=≥4，
當(dāng)m=0時(shí)，即Q（0，﹣1）時(shí)，△QDE的面積S取得最小值4．
變式13．（2024·河南開封·河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，平面上的動(dòng)點(diǎn)S到F的距離是S到直線的距離的倍，記點(diǎn)S的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過直線上的動(dòng)點(diǎn)向曲線C作兩條切線，，交x軸于M，交y軸于N，交x軸于T，交y軸于Q，記的面積為，的面積為，求的最小值．
【解析】（1）設(shè)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，
由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到的距離是到直線的距離的倍，
可得，整理得，
即曲線C的方程為.
（2）設(shè)直線的方程分別為，
可得，
所以
，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，
整理得，所以，
所以，所以，
代入上式，可得，
令，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，的最小值為.
題型五：外接圓問題
例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知P是拋物線C：的頂點(diǎn)，A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）試判斷直線是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)M是的外接圓圓心，求點(diǎn)M的軌跡方程．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，，，，，
故，
因?yàn)椋瑒t，
又、是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，，故，
即，解得，
由，消去可得，則有，
所以，解得，
所以直線的方程為，
所以直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．
（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線的斜率為，
所以線段的垂直平分線的方程為，①
同理，線段的垂直平分線的方程為，②
由①②解得，
設(shè)點(diǎn)，則有，消去，得到，
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
例14．（2024·高二單元測試）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.
【解析】（1）設(shè)直線方程，
根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，
則
則
由
所以
將代入上式
化簡可得，所以
則直線方程為，
所以直線過定點(diǎn)，
所以可知點(diǎn)不在直線上.
（2）設(shè)
線段的中點(diǎn)為
線段的中點(diǎn)為
則直線的斜率為，
直線的斜率為
可知線段的中垂線的方程為
由，所以上式化簡為
即線段的中垂線的方程為
同理可得：
線段的中垂線的方程為
則
由（1）可知：
所以
即，所以點(diǎn)軌跡方程為
焦點(diǎn)為，
所以
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大
所以
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】(1) 點(diǎn)在直線上.理由如下，
由題意, 拋物線的頂點(diǎn)為
因?yàn)橹本€與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，
所以設(shè)直線AB的方程為
聯(lián)立得到，
其中，
所以，
因?yàn)?br/>所以
，
所以，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，
所以直線AB的方程為，恒過定點(diǎn).
（2）因?yàn)辄c(diǎn)是的外接圓的圓心，所以點(diǎn)是三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為為，
因?yàn)椋O(shè)，，，
所以，，，，，，
所以線段的中垂線的方程為：，
因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，
的中垂線的方程為：，即，
同理可得線段的中垂線的方程為：，
聯(lián)立兩個(gè)方程，解得，
由（1）可得，，
所以，，
即點(diǎn)，所以，
即點(diǎn)的軌跡方程為：．
題型六：最值問題
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與軸分別交于.
（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，記兩點(diǎn)到直線的距離分別為；求當(dāng)取最大值時(shí)的面積.
【解析】（1）設(shè)過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為：，
由，得，
因?yàn)橄嗲校裕吹茫?br/>設(shè)是該方程的兩根，由韋達(dá)定理得：，
分別表示切線斜率的倒數(shù)，且每條切線對應(yīng)一個(gè)切點(diǎn)，所以切點(diǎn)，
所以，
所以直線為：，得，
直線方程為：，
所以過定點(diǎn).
（2）由（1）知，
由（1）知點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以直線方程為：，
即：，所以，
分居直線兩側(cè)可得
，
所以
，
∴
∴當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
又由，令得：，
.
例17．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)在軸上時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值.
【解析】（1）當(dāng)在軸上時(shí)，即，由題意不妨設(shè)則，
設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，
由直線和拋物線相切可得，，所以
由得，∴，，
由可得，解得，
∴拋物線的方程為；
（2），∴，
設(shè)，，則，又，所以
即，同理可得，
又為直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，
則，，
由兩點(diǎn)確定一條直線可得的方程為，
即，∴直線恒過定點(diǎn)，
∴點(diǎn)到直線距離的最大值為.
例18．（2024·遼寧沈陽·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．
【解析】（1）由題設(shè)，令，，根據(jù)拋物線性質(zhì)知：直線必過焦點(diǎn)，
所以，則，整理得，，則，
所以拋物線C的方程為.
（2）由題意，，且，，，
所以，
而，
令，則，
所以，，
綜上，，
又，，若，則，
由，當(dāng)，即時(shí)，無最大值，
所以，即，故，，
令，則，
令，在上恒成立，即遞減，所以.
變式14．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點(diǎn)在直線：上，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的值.
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，可得，
又因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，
由拋物線的性質(zhì)可得，解得，即拋物線的方程為.
（2）由題意可設(shè)，且，，
因?yàn)椋裕傻茫裕淼茫?br/>設(shè)點(diǎn)，同理可得，
則直線方程為，
令，可得，即點(diǎn)，
因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線方程為，
令，可得，即點(diǎn)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)上式等號(hào)成立，
即的最小值為，
聯(lián)立方程組，整理得，
所以，
則
所以.
變式15．（2024·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為（ ）
A．1 B．4 C．5 D．
【答案】D
【解析】設(shè)，切點(diǎn)，
由題意知在點(diǎn)A處的切線斜率存在且不為0，設(shè)在點(diǎn)A處切線斜率為
在點(diǎn)A處切線方程可設(shè)為
由，可得
由，可得
則在點(diǎn)A處切線方程可化為，即
由題意知在點(diǎn)B處的切線斜率存在且不為0，設(shè)在點(diǎn)B處切線斜率為
在點(diǎn)B處切線方程可設(shè)為
由，可得
由，可得
則在點(diǎn)B處切線方程可化為，即
又兩條切線均過點(diǎn)P，則，
則直線AB的方程為，即
則直線AB恒過定點(diǎn)
點(diǎn)到直線AB的距離的最大值即為點(diǎn)到的距離
故點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為.
故選：D
題型七：角度相等問題
例19．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).
（1）求△APB的重心G的軌跡方程.
（2）證明∠PFA=∠PFB．
【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)，坐標(biāo)分別為和，
切線的方程為：；切線的方程為：；
由于既在又在上，所以 解得，
所以的重心的坐標(biāo)為，
，
所以，由點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心的軌跡方程為：
，即．
（2）方法1：因?yàn)椋?br/>由于點(diǎn)在拋物線外，則．
，
同理有
，
．
方法2：①當(dāng)時(shí)，由于，不妨設(shè)，則，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：；而直線的方程：，
即．所以P點(diǎn)到直線BF的距離為： 所以，即得．
②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：，即，
直線的方程：，即，
所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：
，
同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離
，因此由，可得到．
例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓長軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.
(1)求軌跡的方程；
(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且過點(diǎn)作軌跡的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.
【解析】（1），，
橢圓半焦距長為，，，
，
動(dòng)點(diǎn)到定直線與定點(diǎn)的距離相等，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定直線為準(zhǔn)線，定點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，
軌跡的方程是；
（2）猜想
證明如下：由（1）可設(shè)，
，
，則，
切線的方程為：
同理，切線的方程為：
聯(lián)立方程組可解得的坐標(biāo)為，
在拋物線外，
，，
同理
例21．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓與拋物線交于點(diǎn)M，N（異于原點(diǎn)O），MN恰為該圓的直徑，過點(diǎn)E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．
(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；
(2)若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）由對稱性可知交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，(-1，1)，
代入拋物線方程可得2p=1，
所以拋物線的方程為x2=y，
設(shè)A，B，
所以，
所以直線AB的方程為，
即，
因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)C(0，2)，
所以，所以①.
因?yàn)椋灾本€PA的斜率為，直線PB的斜率為，
直線PA的方程為，
即，
同理直線PB的方程為，
聯(lián)立兩直線方程，可得P
由①可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值-2.
（2），，
注意到兩角都在內(nèi)，
可知要證， 即證，
，，
所以，
又，所以，
同理式得證.
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線l：上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，求證：.
【解析】證明：設(shè)切A、B的坐標(biāo)分別為和（）.
可得切線的方程為；切線的方程為，
解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，.
則，，.
由于點(diǎn)P在拋物線外，即.
∴.
同理有，
所以
綜上可知：.
變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)E(0，2)，以O(shè)E為直徑的圓與拋物線C∶x2=2py(p>0)交于點(diǎn)M，N(異于原點(diǎn)O)，MN恰為該圓的直徑，過點(diǎn)E作直線交拋物線與A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P.
（1）求證∶點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；
（2）若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明∶∠PFA=∠PFB.
【解析】（1）以O(shè)C為直徑的圓為x2+(y-1)2=1.
由題意可知該圓與拋物線交于一條直徑，
由對稱性可知交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，(-1，1)
代入拋物線方程可得2p=1.
所以拋物線的方程為x2=y.
設(shè)A，B，
所以
所以直線AB的方程為，
即
因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)C(0，2)，
所以，所以①.
因?yàn)椋灾本€PA的斜率為，直線PB的斜率為
直線PA的方程為，
即，
同理直線PB的方程為
聯(lián)立兩直線方程，可得P
由①可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值-2.
（2），，
注意到兩角都在內(nèi)，
可知要證， 即證，
，，
所以，
又，所以，
同理式得證
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