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第81講 圓錐曲線拓展題型一
必考題型全歸納
題型一：定比點差法
例1．已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求
【解析】由，可設橢圓為（），
設，，，由，
所以，．
又
由（1）-（3）得，
又．
又．
例2．已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．
【解析】設，，，由，
所以．
由
由（1）-（3）得：
，又，
又，從而．
例3．已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．
【解析】設，，，，由，得
①滿足
滿足
②由
③由（1）-（3）得：
，又
，同理可得
．
變式1．設，分別為橢圓的左、右焦點，點，在橢圓上，若，求點的坐標
【解析】記直線反向延長交橢圓于，由及橢圓對稱性得，
設，，．
①由定比分點公式得
．
②又
③由（1）-（3）得，
又．
變式2．已知橢圓，設過點的直線與橢圓交于，，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．
【解析】設，，
由
，記，
即，．
①，由定比分點得：
，由定比分點得
②又
③由（1）-（3）得：
，即．
題型二：齊次化
例4．已知拋物線，過點的直線與拋物線交于P，Q兩點，為坐標原點．證明：．
【解析】直線
由，得
則由，得：，
整理得：，即：．
所以，
則，即：．
例5．如圖，橢圓，經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P，Q（均異于點，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．
【解析】設直線
則．
由，
得：．
則，
故．
所以．
即．
例6．已知橢圓，設直線不經過點且與相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點．
【解析】設直線．．．．．．（1）
由，得
即：．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
整理得：
則，
則，代入直線，得：
顯然，直線過定點．
變式3．已知橢圓，，，為上的兩個不同的動點，，求證：直線過定點．
【解析】設直線方程為：
則
即，又因為
化簡得或（舍去）．
即直線為，即直線過定點．
題型三：極點極線問題
例7．（2024·全國·高三專題練習）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．
(1)若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；
(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；
(3)若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．
【解析】（1）由題意知，當時，，所以或．
由定義可知橢圓在點處的極線方程為，
所以橢圓在點處的極線方程為，即
點處的極線方程為，即
（2）因為在橢圓上，所以，
由定義可知橢圓在點處的極線方程為，
當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線．
當時，極線方程為．
聯立，得．
．
綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線；
（3）設點，，，
由（2）可知，過點的切線方程為，
過點N的切線方程為．
因為，都過點，所以有，
則割線的方程為；
同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為．
又因為割線過點，代入割線方程得．
所以，，三點共線，都在直線上．
例8．（2024·全國·高三專題練習）閱讀材料：
（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.
（二）極點與極線的基本性質 定理
①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；
②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；
③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.
結合閱讀材料回答下面的問題：
(1)已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；
(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為橢圓過點P(4,0)，
則，得，又，
所以，所以，
所以橢圓C的方程為.
根據閱讀材料，與點P對應的極線方程為，即；
（2）由題意，設點Q的坐標為(,)，
因為點Q在直線上運動，所以，
聯立，得，
，該方程無實數根，
所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，
又QM，QN都與橢圓C相切，
所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.
對于橢圓，與點Q(,)對應的極線方程為，
將代入，整理得，
又因為定點T的坐標與的取值無關，
所以，解得，
所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.
當時，T是線段MN的中點，
設，直線MN的斜率為，
則，兩式相減，整理得，即，
所以當時，直線MN的方程為，即.
例9．（2024秋·北京·高三中關村中學校考開學考試）已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點．
（1）求橢圓M的離心率；
（2）設橢圓M的右頂點為C，點P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點重合），直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點S，求證：直線SQ過定點．
【解析】（1）因為點，都在橢圓上，
所以，．
所以．
所以橢圓的離心率．
（2）由（1）知橢圓的方程為，．
由題意知：直線的方程為．
設（，），，．
因為三點共線，所以有，，
所以．
所以．
所以．
因為三點共線，
所以，即．
所以．
所以直線的方程為，
即．
又因為點在橢圓上，所以．
所以直線的方程為．
所以直線過定點．
變式4．（2024·全國·高三專題練習）若雙曲線與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由已知得雙曲線的離心率為，又兩曲線離心率之積為，所以橢圓的離心率為；
由題意知，所以，．
所以橢圓的標準萬程為．
（2）當直線l的斜率為零時，由對稱性可知：
，不滿足，
故直線l的斜率不為零．設直線l的方程為，
由，得：，
因為直線l與橢圓C交于P、Q兩點，
所以，
整理得：，
設、，則
，，，．
因為，
所以，
整理得：，
，
將，代入整理得：
要使上式恒成立，只需，此時滿足，
因此，直線l恒過定點．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且過點，A，B分別為橢圓E的左，右頂點，P為直線上的動點（不在x軸上），與橢圓E的另一交點為C，與橢圓E的另一交點為D，記直線與的斜率分別為，．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）證明：直線過一個定點，并求出此定點的坐標．
【解析】（1）由條件可知：且，解得，所以橢圓的方程為；
（2）因為，設，
所以，所以；
（3）設，所以，
因為，所以，
所以，所以，所以，所以，
又因為，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以直線過定點.
題型四：蝴蝶問題
例10．（2003·全國·高考真題）如圖，橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．
(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；
(2)直線交橢圓于兩點；直線交橢圓于兩點，．求證：；
(3)對于（2）中的中的在，，，，設交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）
【解析】（1）橢圓的長軸與軸平行，短軸在軸上，中心，
橢圓方程為
焦點坐標為，
離心率
（2）證明：將直線的方程代入橢圓方程，得
整理得
根據韋達定理，得，，
所以①
將直線的方程代入橢圓方程，同理可得②
由 ①、②得
所以結論成立.
（3）證明：設點，點
由、、共線，得
解得
由、、共線，同理可得
由變形得
所以
即
例11．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓（），四點，，，，中恰有三點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）蝴蝶定理：如圖1，為圓的一條弦，是的中點，過作圓的兩條弦，.若，分別與直線交于點，，則.
該結論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓中，弦的中點的坐標為，且兩條弦，所在直線斜率存在，證明：.
【解析】（1）由于，兩點關于軸對稱，
故由題設知經過，兩點，
又由知，不過點，所以點在上，
因此，解得，
故橢圓的方程為；
（2）因點的坐標在軸上，且為的中點，
所以直線平行于軸，
設，，，，
設直線的方程為，代入橢圓，
得：，
根據韋達定理得：，，①
同理，設直線的方程為，代入橢圓，
得：，
根據韋達定理得：，，②
由于、、三點共線，得，，
同理，由于、、三點共線，得：，結合①和②可得：
即，所以，即.
例12．（2021·全國·高三專題練習）（蝴蝶定理）過圓弦的中點M，任意作兩弦和，與交弦于P、Q，求證：.
【解析】如圖所示，以為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系，設圓方程為
設直線、的方程分別為，.
將它們合并為，于是過點C、D、E、F的曲線系方程為
.
令，得，即過點C、D、E、F的曲線系與交于點P、Q的橫坐標是方程的兩根.
由韋達定理得，即是的中點，故.
變式6．（2024·全國·高三專題練習）蝴蝶定理因其美妙的構圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點在圓內.
（1）求證：.
（2）設交軸于點，交軸于點.求證：.
【解析】（1）已知圓的方程為，
直線與圓交于，，聯立，
化簡得，
則，，所以，
同理線與圓交于，，
聯立 化簡得，
則，，所以，
故有，所以成立；
（2）不妨設點，點，
因為、、三點共線，所以，化簡得，
因為點在直線上，所以，點在直線上，所以，
則，
同理因為、、三點共線，所以，化簡得，
因為點在直線上，所以，點在直線上，所以，
則，
又由，可得，，
即，所以，則，
所以，所以成立.
變式7．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知橢圓的左 右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.
【解析】（1）因為，橢圓離心率為，
所以，解得，.
所以橢圓的方程是.
（2）①若直線的斜率不存在時，如圖，
因為橢圓的右焦點為，所以直線的方程是.
所以點的坐標是，點的坐標是.
所以直線的方程是，
直線的方程是.
所以直線，的交點的坐標是.
所以點在直線上.
②若直線的斜率存在時，如圖.
設斜率為.所以直線的方程為.
聯立方程組
消去，整理得.
顯然.不妨設，，
所以，.
所以直線的方程是.
令，得.
直線的方程是.
令，得.
所以
分子
.
.
所以點在直線上.
變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．
【解析】(1)因為橢圓的離心率為，所以a＝2c.
又因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
又因為點P為橢圓上一點，所以＋＝1，解得c＝1.
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
(2) 由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y＝kx＋1.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)．
聯立方程組
消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根與系數關系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.
因為k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.
即＝.　①
又因為M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，
所以＝ (4－)，＝ (4－)．　②
將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.
所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.
解得k＝或k＝，又因為k>1，所以k＝.
變式9．（2021秋·廣東深圳·高二校考期中）已知橢圓的右焦點是，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點Q的坐標為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知是橢圓C的下頂點，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；
(3)過點作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A，B為橢圓的左右頂點，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【解析】（1）設，，直線AB的斜率顯然存在，則，
因為線段AB中點Q的坐標為，所以，，
直線AB的斜率，
A，B兩點在橢圓橢圓C上，
所以，，兩式相減得
，
即，
所以，整理得，①
又且，②
由①②可解得，，
所以橢圓C的方程為.
（2）由得，
則，，，
設M，N中點為，
則，，
因為M，N都在以P為圓心的圓上，所以，則點P在線段MN的垂直平分線上，
依題意，所以線段MN的垂直平分線方程為，
M，N中點為在此直線上，
所以有，即，解得.
所以k的值為.
（3）依題意有，，，
設直線的方程為，
由得，
則，，
，
所以為定值.
變式10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記，的面積分別為，，若，求的值；
(3)設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．
【解析】（1）設橢圓的焦距為．
依題意可得，，
解得，．
故．
所以橢圓的標準方程為．
（2）設點，，，．
若，則，即有，①
設直線的方程為，與橢圓方程，
可得，
則，，②
將①代入②可得，解得，
則；
（3）由（2）得
，，
所以直線的方程為，
令，得，即．
所以．
所以，
，
，
.
變式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期末）已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為
（1）求橢圓的方程；
（2）不經過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.
【解析】（Ⅰ）由題意，，
即① 又②
聯立①①解得
所以，橢圓的方程為：.
（Ⅱ）設，，，由，
得，
所以，即，
又因為，所以，，
，，
解法一：要證明，可轉化為證明直線，的斜率互為相反數，只需證明，即證明.
∴
∴，∴.
解法二：要證明，可轉化為證明直線，與軸交點、連線中點的縱坐標為，即垂直平分即可.
直線與的方程分別為：
，，
分別令，得，
而，同解法一，可得
，即垂直平分.
所以，.
變式12．（2022·全國·高三專題練習）極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種基本特征.對于圓，與點對應的極線方程為，我們還知道如果點在圓上，極線方程即為切線方程；如果點在圓外，極線方程即為切點弦所在直線方程.同樣，對于橢圓，與點對應的極線方程為.如上圖，已知橢圓C：，，過點P作橢圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為 ；直線AB與OP交于點M，則的最小值是 .
【答案】 （或）； .
【解析】（1）由題得AB：，即，
（2），，∴的方向向量，
所以
，
即.
故答案為：；
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必考題型全歸納
題型一：定比點差法
例1．已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求
例2．已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．
例3．已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．
變式1．設，分別為橢圓的左、右焦點，點，在橢圓上，若，求點的坐標
變式2．已知橢圓，設過點的直線與橢圓交于，，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．
題型二：齊次化
例4．已知拋物線，過點的直線與拋物線交于P，Q兩點，為坐標原點．證明：．
例5．如圖，橢圓，經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P，Q（均異于點，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．
例6．已知橢圓，設直線不經過點且與相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點．
變式3．已知橢圓，，，為上的兩個不同的動點，，求證：直線過定點．
題型三：極點極線問題
例7．（2024·全國·高三專題練習）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．
(1)若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；
(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；
(3)若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．
例8．（2024·全國·高三專題練習）閱讀材料：
（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.
（二）極點與極線的基本性質 定理
①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；
②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；
③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.
結合閱讀材料回答下面的問題：
(1)已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；
(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.
例9．（2024秋·北京·高三中關村中學校考開學考試）已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點．
（1）求橢圓M的離心率；
（2）設橢圓M的右頂點為C，點P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點重合），直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點S，求證：直線SQ過定點．
變式4．（2024·全國·高三專題練習）若雙曲線與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且過點，A，B分別為橢圓E的左，右頂點，P為直線上的動點（不在x軸上），與橢圓E的另一交點為C，與橢圓E的另一交點為D，記直線與的斜率分別為，．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）證明：直線過一個定點，并求出此定點的坐標．
題型四：蝴蝶問題
例10．（2003·全國·高考真題）如圖，橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．
(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；
(2)直線交橢圓于兩點；直線交橢圓于兩點，．求證：；
(3)對于（2）中的中的在，，，，設交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）
例11．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓（），四點，，，，中恰有三點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）蝴蝶定理：如圖1，為圓的一條弦，是的中點，過作圓的兩條弦，.若，分別與直線交于點，，則.
該結論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓中，弦的中點的坐標為，且兩條弦，所在直線斜率存在，證明：.
例12．（2021·全國·高三專題練習）（蝴蝶定理）過圓弦的中點M，任意作兩弦和，與交弦于P、Q，求證：.
變式6．（2024·全國·高三專題練習）蝴蝶定理因其美妙的構圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點在圓內.
（1）求證：.
（2）設交軸于點，交軸于點.求證：.
變式7．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知橢圓的左 右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.
變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．
變式9．（2021秋·廣東深圳·高二校考期中）已知橢圓的右焦點是，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點Q的坐標為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知是橢圓C的下頂點，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；
(3)過點作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A，B為橢圓的左右頂點，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
變式10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記，的面積分別為，，若，求的值；
(3)設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．
變式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期末）已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為
（1）求橢圓的方程；
（2）不經過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.
變式12．（2022·全國·高三專題練習）極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種基本特征.對于圓，與點對應的極線方程為，我們還知道如果點在圓上，極線方程即為切線方程；如果點在圓外，極線方程即為切點弦所在直線方程.同樣，對于橢圓，與點對應的極線方程為.如上圖，已知橢圓C：，，過點P作橢圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為 ；直線AB與OP交于點M，則的最小值是 .
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