資源簡介

第82講 圓錐曲線題型拓展（二）
知識梳理
一、仿射變換問題
仿射變換有如下性質：
1、同素性：在經過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；
2、結合性：在經過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；
3、其它不變關系．
我們以橢圓為例闡述上述性質．
橢圓，經過仿射變換，則橢圓變為了圓，并且變換過程有如下對應關系：
（1）點變為；
（2）直線斜率變為，對應直線的斜率比不變；
（3）圖形面積變為，對應圖形面積比不變；
（4）點、線、面位置不變（平 直線還是平 直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等）；
（5）弦長關系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變
總結可得下表：
變換前 變換后
方程
橫坐標
縱坐標
斜率
面積
弦長
不變量 平行關系；共線線段比例關系；點分線段的比
二、非對稱韋達問題
在一元二次方程中，若，設它的兩個根分別為，則有根與系數關系：，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理之類的結構，但在有些問題時，我們會遇到涉及的不同系數的代數式的應算，比如求或之類的結構，就相對較難地轉化到應用韋達定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數不對等的情況，這些式子是非對稱結構，稱為“非對稱韋達”．
三、光學性質問題
1、橢圓的光學性質
從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點（如圖1）．
【引理1】若點在直線的同側，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．
【引理2】若點在直線的兩側，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．
【引理3】設橢圓方程為，分別是其左、右焦點，若點在橢圓外，則．
2、雙曲線的光學性質
從雙曲線的一個焦點發出的光從雙曲線的一個焦點發出的光線經過雙曲線的另一個焦點（如圖）．
【引理4】若點在直線的同側，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．
【引理5】若點在直線的兩側，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．
【引理6】設雙曲線方程為，分別是其左、右焦點，若點在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．
3、拋物線的光學性質
從拋物線的焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經反射后都通過焦點．
【結論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點，是過拋物線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）
【結論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點，入射光線從點發出射到拋物線上的點，求證：反射光線平行于軸．
四、三點共線問題
證明三點共線問題常用方法是斜率法和向量法
必考題型全歸納
題型一：仿射變換問題
例1．（2024·全國·模擬預測）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關系，其體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變為，直線的斜率與原斜率的關系為，然后聯立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關系．最后轉換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點且垂直于軸的直線與相交于、兩點且，過橢圓外一點作橢圓的兩條切線、且，切點分別為、．
(1)求證：點的軌跡方程為；
(2)若原點到、的距離分別為、，延長表示距離、的兩條直線，與橢圓交于、兩點，試求：原點在邊上的射影所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數．
【解析】（1）證明：在橢圓中，因為，則，，
橢圓的方程為，
過右焦點且垂直于軸的直線與相交于、兩點且，
則點在橢圓上，則，解得，
所以，橢圓的標準方程為，
①當直線、的斜率都存在時，設直線、的斜率分別為、，
作變換，，則橢圓方程變為，
記，，則，設點，
①當直線、的斜率都存在時，
設過點且與圓相切的直線的斜率為，
則切線的方程為，即，
由題意可得，整理可得，
由韋達定理可得，整理可得，
即，即；
②作放射變換前，若直線、與兩坐標軸分別垂直，則點，
此時，點的坐標滿足方程.
綜上所述，點的軌跡方程為.
（2）邊上的垂足所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差為，
則，
所以，，
所以，，下面來求的值：
①若、分別與兩坐標軸重合，則；
②若、的斜率都存在，設直線的方程為，
則直線的方程為，
聯立可得，，
所以，，同理可得，
所以，，
綜上所述，，所以，，
所以，點的軌跡方程為.
所以，原點在邊上的射影所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差為.
例2．（2024·河北邯鄲·高二校考期末）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關系，具體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變為，直線的斜率與原斜率的關系為，然后聯立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關系，最后轉換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點且垂直于軸的直線與相交于兩點且，過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，且，切點分別為．
(1)求證：點的軌跡方程為；
(2)若原點到，的距離分別為，，延長表示距離，的兩條直線，與橢圓交于兩點，過作交于，試求：點所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數．
【解析】（1）由仿射變換得：，，則橢圓變為
設原斜率存在分別為，，，變換后為，，所以，
設變換后的坐標系動點，過點的直線為
到原點距離為，
即，
由韋達定理得：，化簡得：
由于原坐標系中，，
所以在原坐標系中軌跡方程為：，
由解得，所以點的軌跡方程為，
當切線斜率不存在時，由橢圓方程易得點在上.
（2）如圖所示延長交于，延長交于，
由題意可知，所以四邊形為矩形，，
所以，且，
分子分母同乘得，
因為，當直線斜率存在時，設，，
由解得，，所以，
由解得，，所以，
所以，
當斜率不存在時仍成立，
所以，，
所以所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是定值.
例3．（2024·全國·高三專題練習）MN是橢圓上一條不過原點且不垂直于坐標軸的弦，P是MN的中點，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點，Q是橢圓上不與A，B重合的點，則_________．CD是該橢圓過原點O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．
【答案】
【解析】作變換，那么橢圓變為圓，方程為：，
是中點，那么，
∴，
是圓的左右頂點即直徑，那么，∴，
是過圓心O的一條弦即直徑，那么，
∴．
變式1．（2024·全國·高三專題練習）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于 兩點，且在直線的上方，則△內切圓的圓心所在的定直線方程為__________________________．
【答案】
【解析】如圖，作仿射變換：，橢圓變為，直線的斜率變為直線的斜率，變為
，
由垂徑定理平分，其方程為，
平分，
△內切圓的圓心所在的定直線方程為．
故答案為：
變式2．（2024·全國·高三專題練習）Р是橢圓上任意一點，O為坐標原點，，過點Q的直線交橢圓于A，B兩點，并且，則面積為______________．
【答案】
【解析】作變換之后橢圓變為圓，方程為，
是的重心，又O是的外心
′是等邊三角形，
∴．
故答案為：
變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l與橢圓交于M，N兩點，當______，面積最大，并且最大值為______.記，當面積最大時，_____﹐_______.Р是橢圓上一點，，當面積最大時，______.
【答案】 4 2 1
【解析】作變換此時橢圓變為圓，方程為，
當時，最大，并且最大為，
此時，.
由于，，
∴，
，
因為，所以
.
故答案為：；；4；2；1.
變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且， （是非零實數），求______________.
【答案】1
【解析】解法1：可得點，設，則，
由可得，即有，
，，兩邊同乘以，可得，解得，將代入橢圓方程可得，由可得，可得；
故答案為：．
解法2：作變換之后橢圓變為圓，方程為，
，
設，則，
，
∴，
，
∴.
故答案為：．
題型二：非對稱韋達問題
例4．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，
直線與交于點M.
(1)求橢圓的方程；
(2)(ⅰ)求證直線與交點M在一條定直線l上；
(ⅱ)N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值．
【解析】(1)設橢圓的焦距是2c，
據題意有：，，，則，
所以橢圓的方程是.
(2) (ⅰ)由(1)知，，，
設直線PQ的方程是，
代入橢圓方程得：，
易知，
設，，，
則
，
直線的方程是： ①，
直線的方程是： ②，
設，既滿足①也滿足②，
則
，
故直線與交點M在一條定直線l：x＝2上.
(ⅱ)設，，，則，
∴.
例5．（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知點A，B分別為橢圓的左、右頂點，，為橢圓的左、右焦點，，P為橢圓上異于A，B的一個動點，的周長為12．
(1)求橢圓E的方程；
(2)已知點，直線PM與橢圓另外一個公共點為Q，直線AP與BQ交于點N，求證：當點P變化時，點N恒在一條定直線上．
【解析】（1）設橢圓的焦距為2c，則，，，
，，
由得，即
由的周長為12，得，所以，，
，
故橢圓E的方程為：
（2）設直線PQ的方程：，，
（此處若設點斜式方程，需要討論斜率是否存在，無討論的扣1分，只討論斜率不存在的情況給1分）
聯立方程組得，
恒成立．
，即①
直線AP的方程：，直線的方程：，
聯立方程組消去y，得②
由①②得
所以，當點P運動時，點N恒在定直線上．
方法二
設，，
設直線AP的方程：，直線BQ的方程：
聯立得①
又∵P，Q兩點在橢圓E上，
因此，，②，
故P，M，Q三點共線，所以，
即③
由②，③得
將其代入①得
所以，當點P運動時，點N恒在定直線上
例6．（2024·陜西榆林·高二校聯考期末）已知橢圓：的左 右焦點分別為，，離心率，為上一動點，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)若過且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，，分別為橢圓的左 右頂點，直線，分別與直線：交于，兩點，證明：四邊形為菱形.
【解析】（1）由題意知，，（其中為半焦距），
所以，，，
故的方程為；
（2）由（1）知，，，
因為的斜率不為0，故設的方程為，，，
聯立得，消去并化簡得，
，
，，
直線的斜率，故直線的方程為，
與聯立可得，故點的坐標為，
同理可求點的坐標為，
.
，
即，所以，
又，且，
所以四邊形為菱形.
變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，短軸長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q．證明：點Q在定直線上．
【解析】（1）因為橢圓的離心率，，，
又，．
因為，所以，，
所以橢圓C的方程為．
（2）解法一：設直線，，，
，可得，
所以．
直線AM的方程：①
直線BN的方程：②
由對稱性可知：點Q在垂直于x軸的直線上，
聯立①②可得．
因為，
所以
所以點Q在直線上．
解法二：設，，，兩兩不等，
因為P，M，N三點共線，
所以，
整理得：．
又A，M，Q三點共線，有：①
又B，N，Q三點共線，有②將①與②兩式相除得：
即，
將即
代入得：解得（舍去）或，（因為直線與橢圓相交故）
所以Q在定直線上．
【點晴】求解直線與圓錐曲線定點定值問題：關鍵在于運用設而不求思想、聯立方程和韋達定理，構造坐標點方程從而解決相關問題.
變式6．（2024·吉林四平·高二校考階段練習）已知橢圓的左、右頂點分別為、，短軸長為，點上的點滿足直線、的斜率之積為．
(1)求的方程；
(2)若過點且不與軸垂直的直線與交于、兩點，記直線、交于點．探究：點是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
【解析】（1）設，則，且，所以，，
則，
故①，又②，
聯立①②，解得，，故橢圓的方程為．
（2）結論：點在定直線上．
由（1）得，、，設，
設直線的方程為，設點、，
聯立，整理得，
，
，
直線的方程為，直線的方程為，
所以，，
可得
，解得，
因此，點在直線上.
變式7．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓的長軸長為4，且經過點，其中為橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓的左、右頂點分別為，直線過的右焦點，且交于兩點，若直線與交于點，求證：點在定直線上．
【解析】（1）因為長軸長，所以，
因為橢圓經過點，所以，
又，所以.
整理得，解得或 (舍).
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）知，，，.
當的斜率不存在時為，若在軸上方，則，，
所以，，聯立得，同理，若在軸下方得，
與均在直線上.
當的斜率存在時，設為，，.
由，得，
顯然，則，.
又，，消去，
可得
，
所以點在直線上 .
綜上，點在定直線上.
變式8．（2024·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）已知橢圓：的離心率為，是上一點.
(1)求的方程.
(2)設，分別為橢圓的左、右頂點，過點作斜率不為0的直線，與交于，兩點，直線與直線交于點，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點在定直線上.
【解析】（1）由題意，橢圓的離心率為，是橢圓上一點，
所以，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）①因為過點且斜率不為0，所以可設的方程為，代入橢圓方程得，方程的判別式，設，，則
，.
兩式相除得
，．
因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，．
從而；
②由①知，設，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯立可得，所以直線與直線的交點的坐標為，所以點在定直線上.
變式9．（2024·廣西桂林·高二統考期末）已知橢圓的左、右焦點分別是，點P是橢圓C上任一點，若面積的最大值為，且離心率．
(1)求C的方程；
(2)A，B為C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，證明：直線與的交點在一條定直線上．
【解析】（1）由題意可得：，解得：,所以C的方程為.
（2）由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設直線MN的方程為x=my+1.
設,由，消去y得：，
所以.所以.
因為直線AM的方程為，直線BN的方程為，二者聯立，有，所以，解得：，
直線AM與BN的交點在直線上.
變式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中學校考期中）已知橢圓：的左 右頂點分別為，，離心率為，點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程.
(2)若過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，已知直線與相交于點，試判斷點是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由.
【解析】（1）依題意可得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設，，直線的方程為：，
聯立方程組可得，得到，
，則或，
由根與系數的關系得到，，
因為直線：，
直線：，
聯立兩直線方程得到：，
即
，
即，整理得：，
所以點在定直線上.
題型三：橢圓的光學性質
例7．（2024·湖北孝感·高二大悟縣第一中學校聯考期中）生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過另一個焦點現橢圓C的焦點在x軸上，中心在坐標原點，從左焦點射出的光線經過橢圓鏡面反射到右焦點，這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A、B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時點P的坐標；
(3)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點，并求出定點的坐標．
【解析】（1）由題意可知，
則，
所以，所以
（2）由（1）得橢圓C的方程為，則，設，
則，
因為點P在橢圓上，
所以，
則，
則，
所以當時，，
此時，
所以；
（3）證明：，
設直線l的方程為，
聯立，消y得，
則，
則
因為，
則，
即，
即，
即，
即，
化簡得，
解得或，
時過點A，舍去
所以，
所以直線l得方程為，
所以直線l過定點．
例8．（2024·全國·高三專題練習）橢圓的光學性質，從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．已知橢圓C：，為其左、右焦點．M是C上的動點，點，若的最大值為6.動直線l為此橢圓C的切線，右焦點關于直線l的對稱點，，則橢圓C的離心率為 ；S的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】根據橢圓定義得：，
所以，
因為的最大值為6，，所以，即，
解得，所以離心率為；
右焦點關于直線l的對稱點，
設切點為A，由橢圓的光學性質可得：三點共線，
所以，
即點的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，
圓心到直線的距離為，
則圓上的點到直線3x＋4y－24＝0的距離最小值為，最大值為，
所以點到直線的距離為，
所以表示點到直線的距離的5倍，
則，即.
故答案為：①#；②.
例9．（2024·山東青島·統考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與交于點、，直線為在點處的切線，點關于的對稱點為.由橢圓的光學性質知，、、三點共線.若，，則 .
【答案】/
【解析】如下圖所示：
因為點關于的對稱點為，則，
因為，且，
所以，，所以，，
可得，則，
所以，，故.
故答案為：.
變式11．（2024·安徽六安·高三六安一中校考階段練習）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內心，記直線OP，PI（O為坐標原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【解析】不妨設點在第二象限，的內切圓與各邊的切點分別為,設,
則
，
故，，
，
由于點在第二象限，，所以
，故，
，因此，
，
當代入得（負值舍去），
故答案為：
變式12．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習）歐幾里得生活的時期人們就發現了橢圓有如下的光學性質：由橢圓一焦點射出的光線經橢圓內壁反射后必經過另一焦點現有一橢圓，長軸長為，從一個焦點發出的一條光線經橢圓內壁上一點反射之后恰好與軸垂直，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知為該橢圓的左頂點，若斜率為且不經過點的直線與橢圓交于，兩點，記直線，的斜率分別為，且滿足．
①證明：直線過定點；
②若，求的值．
【解析】（1）不妨設、是橢圓的左焦點、右焦點，
則軸，又因為，，
所以，
即，所以，
則橢圓的標準方程為：.
（2）①證明：設直線的方程為，，，
聯立，得：，
則，，
因為，所以，
即，
即，
即，
則，
即，即，
則或，
當時，直線可化為，
即直線過定點（與左焦點重合，舍）；
當時，直線可化為，
即直線過定點；
綜上所述，直線過定點；
②由①得，則，，
且，
解得；
因為，所以，
即，
即，即，
即，
即，即，
則或，
所以或.
變式13．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓C：上、下頂點分別為，且短軸長為，T為橢圓上（除外）任意一點，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點．
(1)求橢圓C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號．在“天眼”的建設中，用到了大量的圓錐曲線的光學性質，請以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點發出的光線射到橢圓上任意一點M后反射，反射光線必經過另一焦點．（提示：光線射到曲線上某點并反射時，法線垂直于該點處的切線）
【解析】（1）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設，直線的斜率分別為，，由題意知，，由得，整理得，故橢圓C的方程為．
（2）
當M為橢圓頂點時結論顯然成立，當M不是橢圓頂點時，要證明結論成立，
只需證明法線平分．
設M點坐標為，則．
設與橢圓切于M點的切線方程為，
與橢圓方程聯立得消去y得：，，
得．
所以切線斜率為，所以法線斜率為，法線方程為，
令，可得法線與x軸交點N的橫坐標為，
易知，，所以，，，
所以，，
所以，
則或（舍去），
所以法線MN平分，所以原結論成立．
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與交于點，.直線為在點處的切線，點關于的對稱點為.由橢圓的光學性質知，三點共線.若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下圖所示：
因為點關于的對稱點為，則，
因為，且，
所以，，所以，，
可得，則，
所以，，故.
故選：C
變式15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）橢圓有一條光學性質：從橢圓一個焦點出發的光線，經過橢圓反射后，一定經過另一個焦點．假設光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個焦點出發，到首次回到該焦點所經過的路程可能為（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】ACD
【解析】設橢圓左焦點為，右焦點為，左頂點為，右頂點為.
由已知可得，，，所以.
①當光線從出發，沿方向傳播，到達后，根據橢圓的光學性質可知，光線沿方向傳播，第一次經過，此時所經過的路程為，故A項正確；
②當光線從出發，沿方向傳播，到達后，根據橢圓的光學性質可知，光線沿方向傳播，過點后，繼續傳播第一次經過，此時所經過的路程為，故C項正確；
③當光線從出發后，不沿軸傳播，如圖2
光線開始沿傳播，到達點后，根據橢圓的光學性質可知，光線沿方向傳播，過點后，繼續傳播到達點后，根據橢圓的光學性質可知，光線沿方向傳播，第一次經過，此時所經過的路程為.
根據橢圓的定義可知，，，
所以，故D項正確.
故選：ACD.
變式16．（2024·全國·高三專題練習）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡 系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應切點的直線，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點為，，若由發出的光線經橢圓兩次反射后回到經過的路程為.對于橢圓上除頂點外的任意一點，橢圓在點處的切線為，在上的射影為，其中.
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，過作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點（點在軸上方）.點，是橢圓上異于，的兩點，，分別平分和，若外接圓的面積為，求直線的方程.
【解析】（1）
延長交于點，
則在中，，
又因為由發出的光線經橢圓兩次反射后回到經過的路程為，
所以，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）令則且設
則，代入橢圓方程可得，
，得
即①，
又因為，分別平分和，
所以
所以在以為定點的阿波羅尼斯圓上，
設圓的半徑為，因為，所以，
根據阿波羅尼斯圓的性質可知，直線過外接圓的圓心，
則直線與外接圓的一個交點為，設另一個交點為，
則根據阿波羅尼斯圓的性質可知，
得則，
而
得
所以由點斜式可得，
即直線的方程為.
變式17．（2024·貴州黔西·高二統考期末）歐幾里得生活的時期人們就發現了橢圓有如下的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線經橢圓內壁反射后必經過該橢圓的另一焦點．現有橢圓，長軸長為4，從橢圓的一個焦點發出的一條光線經該橢圓內壁上一點反射之后恰好與軸垂直，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知為坐標原點，A為橢圓的左頂點，若斜率為且不經過點A的直線與橢圓交于，兩點，記直線，的斜率分別為，，且滿足，且，求的值.
【解析】（1）不妨設、是橢圓的左焦點、右焦點，
則軸，又因為，，
所以，所以點，代入得，
又，解得，，
所以橢圓的標準方程為：；
（2）設直線的方程為，，，
聯立，得：，
則，，
因為，所以，
即，
即，
即，
則，
即，即，則或，
當時，直線可化為，即直線過定點（與左焦點重合，舍去），
所以，則，，
且，
解得；因為，所以，
即，即，即，
即，
即，即，
則或，所以或
變式18．（2024·四川成都·川大附中校考二模）橢圓的光學性質：光線從橢圓的一個焦點出發經橢圓反射后通過另一個焦點.現有一橢圓，長軸長為4，從一個焦點F發出的一條光線經橢圓內壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)點Q為直線上一點，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設，的面積分別為，，求的最大值.
【解析】（1）不妨設、是橢圓的左焦點、右焦點，
則軸，又因為，，
所以，即，所以，
所以橢圓C的方程為.
（2）設，，
則：，：
聯立，消去x得，解得，
同理，聯立，消去x得，解得，
所以
.
令，
則
當且僅當，即，即時，取得最大值.
變式19．（2024·江蘇連云港·高二統考期中）班級物理社團在做光學實驗時，發現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左 右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】橢圓對應的，
所以，
依題意可知是的角平分線，
根據角平分線定理得.
故選：D
題型四：雙曲線的光學性質
例10．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習）圓錐曲線都具有光學性質，如雙曲線的光學性質是：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是發散的，其反向延長線會經過雙曲線的另一個焦點．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，F是它的一個焦點，一光線從焦點F發出，射到鏡面上點B，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于 ．
【答案】/
【解析】在平面直角坐標系中，如圖，
反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點，
由，，可得，，
在直角三角形中，，，
由雙曲線的定義可得，所以，即，
所以，
故答案為：．
例11．（2024·全國·高二專題練習）雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發出的光線經雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當時，求雙曲線的標準方程；
(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.
【解析】（1）如圖所示：
延長與交于，
因為，
所以，
設，則，即，
，
故方程為；
（2）設，
則，
，
兩漸近線所在直線方程為：，
設直線方程為，將漸近線兩側平方與直線聯立，
則可得，則，
則，
故.
例12．（2024·山東煙臺·校考模擬預測）圓錐曲線的光學性質被人們廣泛地應用于各種設計中，例如從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經過另一個焦點．如圖，從雙曲線的右焦點發出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經過左焦點．已知入射光線的斜率為，且和反射光線互相垂直（其中為入射點），則雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】和
【解析】設雙曲線的方程為，設，，
故，由此
所以,將其代入雙曲線方程中得，結合，，
所以，解得或（舍去），因此，
所以漸近線方程為：和.
故答案為：和
變式20．（2024·江蘇南京·高二校考期末）圓錐曲線具有光學性質，如雙曲線的光學性質是：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是發散的，其反向延長線會經過雙曲線的另一個焦點，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，是它的一個焦點，一光線從焦點發出，射到鏡面上點，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在平面直角坐標系中，如圖，
反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點，
由，，可得，.
記雙曲線的焦距為2c，長軸長為2a，
在直角三角形中，，，
由雙曲線的定義，可得，所以，即，
所以離心率.
故選：C
變式21．（多選題）（2024·高二單元測試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左 右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為13
D．若點坐標為，直線與相切，則
【答案】ABD
【解析】因為雙曲線的方程為，所以，漸近線方程為，
選項A，因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，即A正確；
選項B，由雙曲線的定義知，，
若，則，
因為，
所以，
解得，即B正確；
選項C：，即C錯誤；
選項D，因為平分，由角分線定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正確.
故選：ABD.
變式22．（2024·全國·高三專題練習）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知延長則必過點,如圖：
由雙曲線的定義知，
又因為，所以，
因為，所以，
設，則，因此，
從而由得，所以，
則，，，
又因為，所以，
即，即，
故選：B.
變式23．（多選題）（2024·湖北·黃岡中學校聯考模擬預測）雙曲線具有如下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點，則（ ）
A．的漸近線方程為 B．
C．過點作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為
【答案】ABD
【解析】對于A選項，由已知可得，，∴C的漸近線方程為，故A正確；
對于B選項，由題意得，AM的直線方程為，所以，∴為雙曲線的切線，由雙曲線的光學性質可知，AM平分，故B正確；
對于C選項，延長，與的延長線交于點，則AH垂直平分，即點為的中點．又是的中點，
∴，故C錯誤；
對于D選項，
，
當且僅當，即時，等號成立．∴四邊形面積的最小值為，故D正確.
故選：ABD．
變式24．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統考模擬預測）雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點出發的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.已知為坐標原點，，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且在第一象限，，的內心分別為，，其內切圓半徑分別為，，的內心為.雙曲線在處的切線方程為，則下列說法正確的有（ ）
A．點、均在直線上 B．直線的方程為
C． D．
【答案】ABD
【解析】由雙曲線得，
設的內切圓與分別切于點，
則,
所以，
又,所以,即圓與軸的切點是雙曲線的右頂點，即在直線上，
同理可得圓與軸的切點也是雙曲線的右頂點，即也在直線上，故選項A正確；
因為點在雙曲線上，所以，
點到直線的距離，
點到直線的距離
所以，
又，
所以，即，
又因為為的平分線，
所以直線的方程為，故選項B正確；
設圓與切于點，連接，設，
因為,所以,所以，即，所以，
又，所以，即，所以，故選項C錯誤；
由B知的方程為，①
設，同理得的方程為，②
由①②得，③
因為，所以設的方程為，
因為在上，所以，代入③得
，所以在直線上，
所以到的距離為，
又到的距離為，
所以,故選項D正確；
故選：ABD.
變式25．（多選題）（2024·海南·海南中學校考三模）已知雙曲線C的左 右焦點分別為，，雙曲線具有如下光學性質：從右焦點發出的光線m交雙曲線右支于點P，經雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結論正確的有（ ）
A．雙曲線C的方程為
B．若，則
C．若射線n所在直線的斜率為k，則
D．當n過點M（8，5）時，光由所經過的路程為10
【答案】AC
【解析】對于A ，由題意可知，因為雙曲線C的一條漸近線的方程為，
所以，即，所以雙曲線的方程為故A正確；
對于B，由，得，解得，
在中，，由勾股定理及雙曲線的定義知，，
即，解得，故B錯誤；
對于C，由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，
由雙曲線的性質可得射線所在直線的斜率范圍為，故C正確；
對于D，由題意可知，，當過點時，
由雙曲線定義可得光由所經過的路程為，故D錯誤.
故選：AC.
變式26．（多選題）（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）雙曲線具有如下光學性質：如圖，，是雙曲線的左、右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為5
D．若點坐標為，直線與相切，則
【答案】ACD
【解析】在雙曲線中，，，則，故、，
設，，
對于A選項，因為雙曲線的漸近線方程為，
當點在第一象限內運動時，隨著的增大，射線慢慢接近于直線，
此時，
同理可知當點在第四象限內運動時，，
當點為雙曲線的右頂點時，，
綜上所述，，A對；
對于B選項，當時，，
，
所以，B錯；
對于C選項，，
故過點時，光由到再到所經過的路程為
，C對；
對于D選項，若，，
因為，
且，
所以，
即，解得，D對.
故選：ACD.
變式27．（多選題）（2024·廣東廣州·高二統考期末）費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，可以推導出雙曲線具有如下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知、分別是以為漸近線且過點的雙曲線C的左、右焦點，在雙曲線C右支上一點處的切線l交x軸于點Q，則（ ）
A．雙曲線C的離心率為 B．雙曲線C的方程為
C．過點作，垂足為K，則 D．點Q的坐標為
【答案】BD
【解析】因為雙曲線的漸近線為，設雙曲線方程為，
代入點，可得，
所以雙曲線方程為，可得，
所以離心率為，故A錯誤，B正確；
因為，
設，
因為，且為的角平分線，
所以，且，故C錯誤；
因為，當時，整理得，
則，可得，
即切點坐標為，切線斜率，
則切線方程為，
令，整理得，
又因為，可得，
所以點Q的坐標為，故D正確；
故選：BD.
題型五：拋物線的光學性質
例13．（2024·甘肅白銀·高二統考開學考試）拋物線的光學性質：經焦點的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點處反射等效于在這點處切線的反射），過拋物線上一點作其切線交準線于點，，垂足為，拋物線的焦點為，射線交于點，若．則 ， ．

【答案】 /
【解析】由拋物線的光學性質知平分，又，所以，所以，
由得，
設準線交軸于點，則，且，且，所以
，所以．
故答案為：；.
例14．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則 ．
【答案】
【解析】如圖，由題意可知軸，，
將代入中得，即,
又，則，故的方程為，聯立，
可得，解得，或（此時C與B關于x軸對稱，不合題意），
則，故，
故答案為：.
例15．（2024·全國·高二專題練習）根據拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發出的光，經拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點Q（3，2）發射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經A點反射后交拋物線于B點，則 .
【答案】
【解析】由條件可知AQ與x軸平行，令，可得，故A點坐標為，
因為 經過拋物線焦點，所以 方程為，
整理得，聯立，得，，所以，
又，所以，，
所以.
故答案為：.
變式28．（2024·四川·校聯考模擬預測）拋物線有一條重要的光學性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線：，一條光線從點沿平行于軸的方向射出，與拋物線相交于點，經點反射后與交于另一點，則的面積為 .
【答案】/0.625
【解析】如圖，
依題意，由拋物線的光學性質知直線過焦點.而，，
則：，設，.
由，得.
所以，.則.
故答案為：.
變式29．（2024·江蘇常州·高二常州市北郊高級中學校考期中）拋物線有光學性質，即由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線（），一光源在點處，由其發出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，反射后又射向拋物線上的點Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：上的點N，再反射后又射回點M，設P，Q兩點的坐標分別是，．
(1)證明：；
(2)求拋物線方程．
【解析】（1）根據拋物線的光學性質可知，直線過拋物線的焦點，且與軸不平行，
設直線的方程為，
由消去并化簡得，
設，，
則.
（2）依題意，，所以，則.
設關于直線的對稱點為，
則，解得，即.
則，，則，
三點共線，，
所以，解得，
所以拋物線的方程為.
變式30．（2024·四川·校聯考模擬預測）拋物線有一條重要的光學性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，一條光線從點沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點M，經點M反射后與C交于另一點N．若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，由拋物線性質知直線過焦點，
設，，直線的方程為，
由，得：，
所以，，
則，又，所以，
而，故，
所以.
故選：A.
變式31．（2024·湖南長沙·高三長郡中學校聯考階段練習）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由拋物線的光學性質可知，直線過拋物線的焦點，
設直線的方程為，將直線的方程代入中，
得，所以，，
直線與間的距離，
當時，取最小值4，
故選：B.
變式32．（2024·全國·高二專題練習）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的面積為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，所以，
所以，又，所以4），
即，又，
所以，解得或，所以，
又因為，
點到直線的距離，
所以的面積.
故選：.
變式33．（2024·江西·統考模擬預測）用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中，對稱軸與軸重合，頂點與原點重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點射出，經過上的點反射后，再從上的另一點射出，則（ ）

A．6 B．8 C． D．29
【答案】C
【解析】由，可得的縱坐標為，設，則，解得，
由題意反射光線經過拋物線的焦點，
所以直線的方程為，整理可得，
由消去整理得，解得，，
則，所以，所以.
故選：C
變式34．（多選題）（2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考一模）如圖，拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線了上另一點反射，沿直線射出，則下列結論中正確的是（ ）

A． B． C． D．與之間的距離為5
【答案】ABD
【解析】由拋物線的光學性質可知，直線過拋物線的焦點，
又是水平的，所以可得，因此，即選項B正確；
易知直線的方程為，
聯立直線和拋物線，消去可得，
由韋達定理可知，故A正確；
由可得，所以點的坐標為，
利用拋物線定義可知，即C錯誤；
因為與兩直線平行，所以與之間的距離為，即D正確.
故選：ABD
變式35．（多選題）（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）拋物線有如下光學性質：從焦點發出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后，必過拋物線的焦點.已知平行于軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射，再經過上另一點反射后，沿直線射出，經過點，則（ ）

A．若的方程為，則
B．若的方程為，且，則
C．分別延長交于點，則點在的準線上
D．拋物線在點處的切線分別與直線，所成角相等
【答案】BCD
【解析】對于選項A、B：
若的方程為，則，又，
直線的斜率，直線的方程為：，
聯立，得，
，，，
，所以A選項錯誤；
由，，得直線的方程為，直線的方程為，
若，則點在的平分線上，點到直線和到直線的距離相等，設，
則有，由，解得，所以，B選項正確；
對于選項C：拋物線，焦點坐標，準線方程，
設，，由，得， 即，由，得，
又直線的斜率，直線的方程為：，直線的方程為：，
分別延長交于點，由得，即點橫坐標為-2，所以點在的準線上，C選項正確；
對于選項D：設拋物線在處的切線方程為：，
聯立，得，
由，解得．
該切線與直線所成角的正切值為．
設該切線與直線所成角為，
則，
該切線與直線所成角的正切值與該切線與直線所成角的正切值相同，
即拋物線在點處的切線分別與直線、所成角相等，D選項正確．
故選：BCD.
變式36．（多選題）（2024·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．點關于x軸的對稱點在直線上
C．直線與直線相交于點D，則A，O，D三點共線
D．直線與間的距離最小值為4
【答案】ACD
【解析】由拋物線的光學性質可知，直線AB過拋物線的焦點，
設直線AB的方程為，
將直線AB的方程代入中，得，
所以由韋達定理得，，所以，故選項A正確；
若點關于x軸的對稱點在直線上，則，
所以，即，不一定成立，故不合題意，選項B錯誤；
直線與相交于點，所以直線OD的斜率為，
又直線OA的斜率為，所以，所以A，O，D三點共線，故選項C正確；
直線與間的距離，
當時，d取最小值4，故選項D正確；
故選：ACD.
變式37．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數學家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經典的光學性質：從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動點，焦點，，下列說法正確的是（ ）

A．的方程為 B．的方程為
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】BD
【解析】由題可得，即的方程為，
設準線為，過作交于點，過作交于點，交于點，連接，
將代入可得，
所以，
于是，
當與重合時，取得最小值.
故選：BD.
題型六：三點共線問題
例16．（2024·貴州畢節·校考模擬預測）已知是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，當平行于軸時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標原點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線與拋物線的另一交點為的中點為，證明：三點共線.
【解析】（1）拋物線的焦點為，
當平行于軸時，設直線的方程為，設點、，
，解得，
所以，拋物線的方程為.
（2）設直線的方程為，設點、，
聯立可得，
由韋達定理可得，，
又因為直線的方程為，
將代入直線的方程可得，可得，即點，
所以，，
因為，則，
所以，直線的方程為，
聯立可得，則，
故，則，
由的中點為，可得，
故、、三點共線．
例17．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知A，B為橢圓的左、右頂點，P為橢圓上異于A，B的一點，直線AP與直線BP的斜率之積為，且橢圓C過點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線AP，BP分別與直線相交于M，N兩點，且直線BM與橢圓C交于另一點Q，證明：A，N，Q三點共線．
【解析】（1）令，則，又，則，
所以，即，，
由在橢圓上，則，
聯立以上兩式，可得，故橢圓C的標準方程為.
（2）由題設，直線、斜率存在且不為0，，
令，則，故，，
所以，聯立，整理得，
顯然，則，則，
由，，即，
所以A，N，Q三點共線.
例18．（2024·廣東肇慶·高三德慶縣香山中學校考階段練習）已知雙曲線經過點，雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知為的中點，作的平行線與雙曲線交于不同的兩點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，證明：三點共線.
【解析】（1）因為雙曲線的漸近線方程為，
所以雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為.
因為雙曲線經過點，所以，解得.
故雙曲線的方程為.
（2）證明：因為為的中點，所以.
設直線的方程為，
所以，
直線的方程為，
直線的方程為.
聯立,
可得，
所以
又因為，所以，
則.
同理可得.
,
，
所以.
故三點共線.
變式38．（2024·全國·高三專題練習）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學家、物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.過點的直線與橢圓C交于不同的兩點A，B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設橢圓C的左、右頂點分別為P，Q，直線PA與直線交于點F，試證明B，Q，F三點共線.
【解析】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標準方程是.
（2）（i）當直線的斜率不存在，易知，，或，，
當，時，直線PA的方程為：，所以點，
此時，，，顯然B，Q，F三點共線，
同理，時，B，Q，F三點共線；
（ii）當直線的斜率存在時，顯然斜率，設直線的方程：，
設，，
由整理可得：，
，，
由（1）可得左右頂點分別為，，
直線PA的方程為，又因為直線與交于F，所以，
所以，，
因為
，
又
，
所以，所以，所以B，Q，F三點共線；
變式39．（2024·重慶·校聯考三模）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率為，A，F分別為橢圓C的左頂點、右焦點．P，Q為橢圓C上異于A的兩個動點，直線AP，AQ與直線l：分別交于M，N兩個不同的點．
(1)求橢圓C的方程：
(2)設直線l與x軸交于R，若P，F，Q三點共線，求證：與相似．
【解析】（1）依題意，，離心率，解得，，
所以橢圓C的方程為.
（2）由（1）知，，
設，若，則為橢圓的右頂點，由三點共線知，為橢圓的左頂點，不符合題意，
則，同理，直線的方程為，
由消去，整理得，顯然是方程組的解，
必有，由，解得，，得，
當時，，即直線軸，由橢圓的對稱性知，
又，于是，
當時，，直線的斜率，同理直線的斜率，
因為三點共線，于是，整理得，
在Rt和Rt中，，
因此，又均為銳角，則，
所以與相似.
變式40．（2024·江蘇揚州·江蘇省高郵中學校考模擬預測）設直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個不同的點，，關于軸的對稱點為，為的右焦點，若，，三點共線，證明：直線經過軸上的一個定點.
【解析】（1）雙曲線：的漸近線方程為，
不妨設，
因為三角形的面積為，所以，
所以，又，所以.
（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點的坐標為，
依題意，設直線與軸交于點，直線的方程為，
設，，則，
聯立，得，
且，
化簡得且，
所以，，
因為直線的斜率存在，所以直線的斜率也存在，
因為，，三點共線，所以，
即，即，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
化簡得，所以經過軸上的定點.
變式41．（2024·北京海淀·高三專題練習）已知橢圓的左頂點為，上、下頂點分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設是橢圓上一點，不與頂點重合，點與點關于坐標原點中心對稱，過作垂直于軸的直線交直線于點，再過作垂直于軸的直線交直線于點．求證：三點共線．
【解析】（1）可得，
因此．
（2）設．聯立方程可得：，
解得，代入得，于是．
的方程為，代入，得：．
再代入得：，即．
所以，，
而，
總之三點共線．
變式42．（2024·江西·校聯考模擬預測）已知圓A：，直線過點且與軸不重合，交圓于C，D兩點，過作AC的平行線交AD于點E.
(1)求點E的軌跡的方程；
(2)設軌跡的上、下頂點分別為G、H，過點的直線交軌跡于M、N兩點（不與G、H重合），直線GM與直線交于點，求證：P、H、N三點共線.
【解析】（1）
如圖：因為，平行于，
所以，所以，
故，
又由于圓A：，可得，
從而，所以.
又，，所以,
所以，
有橢圓的定義可知點E的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，
所以點E的軌跡的方程為：.
（2）證明：如圖：
由題意可知：,，
因為過點的直線交軌跡于M、N兩點（不與G、H重合），
所以直線的斜率存在，可設直線的方程為：，設，.
聯立與可得：
恒成立，
所以，.
直線的斜率為，所以方程為：與直線交于點，
所以，所以，，
所以P、H、N三點共線
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第82講 圓錐曲線題型拓展（二）
知識梳理
一、仿射變換問題
仿射變換有如下性質：
1、同素性：在經過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；
2、結合性：在經過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；
3、其它不變關系．
我們以橢圓為例闡述上述性質．
橢圓，經過仿射變換，則橢圓變為了圓，并且變換過程有如下對應關系：
（1）點變為；
（2）直線斜率變為，對應直線的斜率比不變；
（3）圖形面積變為，對應圖形面積比不變；
（4）點、線、面位置不變（平 直線還是平 直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等）；
（5）弦長關系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變
總結可得下表：
變換前 變換后
方程
橫坐標
縱坐標
斜率
面積
弦長
不變量 平行關系；共線線段比例關系；點分線段的比
二、非對稱韋達問題
在一元二次方程中，若，設它的兩個根分別為，則有根與系數關系：，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理之類的結構，但在有些問題時，我們會遇到涉及的不同系數的代數式的應算，比如求或之類的結構，就相對較難地轉化到應用韋達定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數不對等的情況，這些式子是非對稱結構，稱為“非對稱韋達”．
三、光學性質問題
1、橢圓的光學性質
從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點（如圖1）．
【引理1】若點在直線的同側，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．
【引理2】若點在直線的兩側，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．
【引理3】設橢圓方程為，分別是其左、右焦點，若點在橢圓外，則．
2、雙曲線的光學性質
從雙曲線的一個焦點發出的光從雙曲線的一個焦點發出的光線經過雙曲線的另一個焦點（如圖）．
【引理4】若點在直線的同側，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．
【引理5】若點在直線的兩側，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．
【引理6】設雙曲線方程為，分別是其左、右焦點，若點在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．
3、拋物線的光學性質
從拋物線的焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經反射后都通過焦點．
【結論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點，是過拋物線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）
【結論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點，入射光線從點發出射到拋物線上的點，求證：反射光線平行于軸．
四、三點共線問題
證明三點共線問題常用方法是斜率法和向量法
必考題型全歸納
題型一：仿射變換問題
例1．（2024·全國·模擬預測）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關系，其體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變為，直線的斜率與原斜率的關系為，然后聯立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關系．最后轉換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點且垂直于軸的直線與相交于、兩點且，過橢圓外一點作橢圓的兩條切線、且，切點分別為、．
(1)求證：點的軌跡方程為；
(2)若原點到、的距離分別為、，延長表示距離、的兩條直線，與橢圓交于、兩點，試求：原點在邊上的射影所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數．
例2．（2024·河北邯鄲·高二校考期末）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關系，具體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變為，直線的斜率與原斜率的關系為，然后聯立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關系，最后轉換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點且垂直于軸的直線與相交于兩點且，過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，且，切點分別為．
(1)求證：點的軌跡方程為；
(2)若原點到，的距離分別為，，延長表示距離，的兩條直線，與橢圓交于兩點，過作交于，試求：點所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數．
例3．（2024·全國·高三專題練習）MN是橢圓上一條不過原點且不垂直于坐標軸的弦，P是MN的中點，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點，Q是橢圓上不與A，B重合的點，則_________．CD是該橢圓過原點O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．
變式1．（2024·全國·高三專題練習）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于 兩點，且在直線的上方，則△內切圓的圓心所在的定直線方程為__________________________．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）Р是橢圓上任意一點，O為坐標原點，，過點Q的直線交橢圓于A，B兩點，并且，則面積為______________．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l與橢圓交于M，N兩點，當______，面積最大，并且最大值為______.記，當面積最大時，_____﹐_______.Р是橢圓上一點，，當面積最大時，______.
變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且， （是非零實數），求______________.
題型二：非對稱韋達問題
例4．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，
直線與交于點M.
(1)求橢圓的方程；
(2)(ⅰ)求證直線與交點M在一條定直線l上；
(ⅱ)N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值．
例5．（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知點A，B分別為橢圓的左、右頂點，，為橢圓的左、右焦點，，P為橢圓上異于A，B的一個動點，的周長為12．
(1)求橢圓E的方程；
(2)已知點，直線PM與橢圓另外一個公共點為Q，直線AP與BQ交于點N，求證：當點P變化時，點N恒在一條定直線上．
例6．（2024·陜西榆林·高二校聯考期末）已知橢圓：的左 右焦點分別為，，離心率，為上一動點，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)若過且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，，分別為橢圓的左 右頂點，直線，分別與直線：交于，兩點，證明：四邊形為菱形.
變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，短軸長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q．證明：點Q在定直線上．
變式6．（2024·吉林四平·高二校考階段練習）已知橢圓的左、右頂點分別為、，短軸長為，點上的點滿足直線、的斜率之積為．
(1)求的方程；
(2)若過點且不與軸垂直的直線與交于、兩點，記直線、交于點．探究：點是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
變式7．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓的長軸長為4，且經過點，其中為橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓的左、右頂點分別為，直線過的右焦點，且交于兩點，若直線與交于點，求證：點在定直線上．
變式8．（2024·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）已知橢圓：的離心率為，是上一點.
(1)求的方程.
(2)設，分別為橢圓的左、右頂點，過點作斜率不為0的直線，與交于，兩點，直線與直線交于點，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點在定直線上.
變式9．（2024·廣西桂林·高二統考期末）已知橢圓的左、右焦點分別是，點P是橢圓C上任一點，若面積的最大值為，且離心率．
(1)求C的方程；
(2)A，B為C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，證明：直線與的交點在一條定直線上．
變式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中學校考期中）已知橢圓：的左 右頂點分別為，，離心率為，點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程.
(2)若過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，已知直線與相交于點，試判斷點是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由.
題型三：橢圓的光學性質
例7．（2024·湖北孝感·高二大悟縣第一中學校聯考期中）生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過另一個焦點現橢圓C的焦點在x軸上，中心在坐標原點，從左焦點射出的光線經過橢圓鏡面反射到右焦點，這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A、B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時點P的坐標；
(3)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點，并求出定點的坐標．
例8．（2024·全國·高三專題練習）橢圓的光學性質，從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．已知橢圓C：，為其左、右焦點．M是C上的動點，點，若的最大值為6.動直線l為此橢圓C的切線，右焦點關于直線l的對稱點，，則橢圓C的離心率為 ；S的取值范圍為 ．
例9．（2024·山東青島·統考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與交于點、，直線為在點處的切線，點關于的對稱點為.由橢圓的光學性質知，、、三點共線.若，，則 .
變式11．（2024·安徽六安·高三六安一中校考階段練習）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內心，記直線OP，PI（O為坐標原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為 ．
變式12．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習）歐幾里得生活的時期人們就發現了橢圓有如下的光學性質：由橢圓一焦點射出的光線經橢圓內壁反射后必經過另一焦點現有一橢圓，長軸長為，從一個焦點發出的一條光線經橢圓內壁上一點反射之后恰好與軸垂直，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知為該橢圓的左頂點，若斜率為且不經過點的直線與橢圓交于，兩點，記直線，的斜率分別為，且滿足．
①證明：直線過定點；
②若，求的值．
變式13．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓C：上、下頂點分別為，且短軸長為，T為橢圓上（除外）任意一點，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點．
(1)求橢圓C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號．在“天眼”的建設中，用到了大量的圓錐曲線的光學性質，請以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點發出的光線射到橢圓上任意一點M后反射，反射光線必經過另一焦點．（提示：光線射到曲線上某點并反射時，法線垂直于該點處的切線）
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與交于點，.直線為在點處的切線，點關于的對稱點為.由橢圓的光學性質知，三點共線.若，，則（ ）
A． B． C． D．
變式15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）橢圓有一條光學性質：從橢圓一個焦點出發的光線，經過橢圓反射后，一定經過另一個焦點．假設光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個焦點出發，到首次回到該焦點所經過的路程可能為（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
變式16．（2024·全國·高三專題練習）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡 系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應切點的直線，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點為，，若由發出的光線經橢圓兩次反射后回到經過的路程為.對于橢圓上除頂點外的任意一點，橢圓在點處的切線為，在上的射影為，其中.
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，過作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點（點在軸上方）.點，是橢圓上異于，的兩點，，分別平分和，若外接圓的面積為，求直線的方程.
變式17．（2024·貴州黔西·高二統考期末）歐幾里得生活的時期人們就發現了橢圓有如下的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線經橢圓內壁反射后必經過該橢圓的另一焦點．現有橢圓，長軸長為4，從橢圓的一個焦點發出的一條光線經該橢圓內壁上一點反射之后恰好與軸垂直，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知為坐標原點，A為橢圓的左頂點，若斜率為且不經過點A的直線與橢圓交于，兩點，記直線，的斜率分別為，，且滿足，且，求的值.
變式18．（2024·四川成都·川大附中校考二模）橢圓的光學性質：光線從橢圓的一個焦點出發經橢圓反射后通過另一個焦點.現有一橢圓，長軸長為4，從一個焦點F發出的一條光線經橢圓內壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)點Q為直線上一點，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設，的面積分別為，，求的最大值.
變式19．（2024·江蘇連云港·高二統考期中）班級物理社團在做光學實驗時，發現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左 右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q，則（ ）

A． B． C． D．
題型四：雙曲線的光學性質
例10．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習）圓錐曲線都具有光學性質，如雙曲線的光學性質是：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是發散的，其反向延長線會經過雙曲線的另一個焦點．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，F是它的一個焦點，一光線從焦點F發出，射到鏡面上點B，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于 ．
例11．（2024·全國·高二專題練習）雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發出的光線經雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當時，求雙曲線的標準方程；
(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.
例12．（2024·山東煙臺·校考模擬預測）圓錐曲線的光學性質被人們廣泛地應用于各種設計中，例如從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經過另一個焦點．如圖，從雙曲線的右焦點發出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經過左焦點．已知入射光線的斜率為，且和反射光線互相垂直（其中為入射點），則雙曲線的漸近線方程為 ．
變式20．（2024·江蘇南京·高二校考期末）圓錐曲線具有光學性質，如雙曲線的光學性質是：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是發散的，其反向延長線會經過雙曲線的另一個焦點，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，是它的一個焦點，一光線從焦點發出，射到鏡面上點，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（ ）

A． B． C． D．
變式21．（多選題）（2024·高二單元測試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左 右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為13
D．若點坐標為，直線與相切，則
變式22．（2024·全國·高三專題練習）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
變式23．（多選題）（2024·湖北·黃岡中學校聯考模擬預測）雙曲線具有如下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點，則（ ）
A．的漸近線方程為 B．
C．過點作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為
變式24．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統考模擬預測）雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點出發的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.已知為坐標原點，，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且在第一象限，，的內心分別為，，其內切圓半徑分別為，，的內心為.雙曲線在處的切線方程為，則下列說法正確的有（ ）
A．點、均在直線上 B．直線的方程為
C． D．
變式25．（多選題）（2024·海南·海南中學校考三模）已知雙曲線C的左 右焦點分別為，，雙曲線具有如下光學性質：從右焦點發出的光線m交雙曲線右支于點P，經雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結論正確的有（ ）
A．雙曲線C的方程為
B．若，則
C．若射線n所在直線的斜率為k，則
D．當n過點M（8，5）時，光由所經過的路程為10
變式26．（多選題）（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）雙曲線具有如下光學性質：如圖，，是雙曲線的左、右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為5
D．若點坐標為，直線與相切，則
變式27．（多選題）（2024·廣東廣州·高二統考期末）費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，可以推導出雙曲線具有如下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知、分別是以為漸近線且過點的雙曲線C的左、右焦點，在雙曲線C右支上一點處的切線l交x軸于點Q，則（ ）
A．雙曲線C的離心率為 B．雙曲線C的方程為
C．過點作，垂足為K，則 D．點Q的坐標為
題型五：拋物線的光學性質
例13．（2024·甘肅白銀·高二統考開學考試）拋物線的光學性質：經焦點的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點處反射等效于在這點處切線的反射），過拋物線上一點作其切線交準線于點，，垂足為，拋物線的焦點為，射線交于點，若．則 ， ．

例14．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則 ．
例15．（2024·全國·高二專題練習）根據拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發出的光，經拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點Q（3，2）發射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經A點反射后交拋物線于B點，則 .
變式28．（2024·四川·校聯考模擬預測）拋物線有一條重要的光學性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線：，一條光線從點沿平行于軸的方向射出，與拋物線相交于點，經點反射后與交于另一點，則的面積為 .
變式29．（2024·江蘇常州·高二常州市北郊高級中學校考期中）拋物線有光學性質，即由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線（），一光源在點處，由其發出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，反射后又射向拋物線上的點Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：上的點N，再反射后又射回點M，設P，Q兩點的坐標分別是，．
(1)證明：；
(2)求拋物線方程．
變式30．（2024·四川·校聯考模擬預測）拋物線有一條重要的光學性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，一條光線從點沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點M，經點M反射后與C交于另一點N．若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式31．（2024·湖南長沙·高三長郡中學校聯考階段練習）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
變式32．（2024·全國·高二專題練習）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的面積為（ ）
A．4 B． C． D．
變式33．（2024·江西·統考模擬預測）用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中，對稱軸與軸重合，頂點與原點重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點射出，經過上的點反射后，再從上的另一點射出，則（ ）

A．6 B．8 C． D．29
變式34．（多選題）（2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考一模）如圖，拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線了上另一點反射，沿直線射出，則下列結論中正確的是（ ）

A． B． C． D．與之間的距離為5
變式35．（多選題）（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）拋物線有如下光學性質：從焦點發出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后，必過拋物線的焦點.已知平行于軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射，再經過上另一點反射后，沿直線射出，經過點，則（ ）

A．若的方程為，則
B．若的方程為，且，則
C．分別延長交于點，則點在的準線上
D．拋物線在點處的切線分別與直線，所成角相等
變式36．（多選題）（2024·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．點關于x軸的對稱點在直線上
C．直線與直線相交于點D，則A，O，D三點共線
D．直線與間的距離最小值為4
變式37．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數學家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經典的光學性質：從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動點，焦點，，下列說法正確的是（ ）

A．的方程為 B．的方程為
C．的最小值為 D．的最小值為
題型六：三點共線問題
例16．（2024·貴州畢節·校考模擬預測）已知是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，當平行于軸時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標原點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線與拋物線的另一交點為的中點為，證明：三點共線.
例17．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知A，B為橢圓的左、右頂點，P為橢圓上異于A，B的一點，直線AP與直線BP的斜率之積為，且橢圓C過點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線AP，BP分別與直線相交于M，N兩點，且直線BM與橢圓C交于另一點Q，證明：A，N，Q三點共線．
例18．（2024·廣東肇慶·高三德慶縣香山中學校考階段練習）已知雙曲線經過點，雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知為的中點，作的平行線與雙曲線交于不同的兩點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，證明：三點共線.
變式38．（2024·全國·高三專題練習）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學家、物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.過點的直線與橢圓C交于不同的兩點A，B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設橢圓C的左、右頂點分別為P，Q，直線PA與直線交于點F，試證明B，Q，F三點共線.
變式39．（2024·重慶·校聯考三模）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率為，A，F分別為橢圓C的左頂點、右焦點．P，Q為橢圓C上異于A的兩個動點，直線AP，AQ與直線l：分別交于M，N兩個不同的點．
(1)求橢圓C的方程：
(2)設直線l與x軸交于R，若P，F，Q三點共線，求證：與相似．
變式40．（2024·江蘇揚州·江蘇省高郵中學校考模擬預測）設直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個不同的點，，關于軸的對稱點為，為的右焦點，若，，三點共線，證明：直線經過軸上的一個定點.
變式41．（2024·北京海淀·高三專題練習）已知橢圓的左頂點為，上、下頂點分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設是橢圓上一點，不與頂點重合，點與點關于坐標原點中心對稱，過作垂直于軸的直線交直線于點，再過作垂直于軸的直線交直線于點．求證：三點共線．
變式42．（2024·江西·校聯考模擬預測）已知圓A：，直線過點且與軸不重合，交圓于C，D兩點，過作AC的平行線交AD于點E.
(1)求點E的軌跡的方程；
(2)設軌跡的上、下頂點分別為G、H，過點的直線交軌跡于M、N兩點（不與G、H重合），直線GM與直線交于點，求證：P、H、N三點共線
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