資源簡介

第83講 統(tǒng)計
知識梳理
知識點(diǎn)一、抽樣
1、抽樣調(diào)查
（1）總體：統(tǒng)計中所考察對象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．
（2）個體：構(gòu)成總體的每一個元素叫做個體．
（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進(jìn)行考察，這若干個個體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量．
2、簡單隨機(jī)抽樣
（1）定義
一般地，設(shè)一個總體含有個個體，從中逐個不放回地抽取個個體作為樣本（），如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機(jī)樣本．
（2）兩種常用的簡單隨機(jī)抽樣方法
①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到一個容量為的樣本．
②隨機(jī)數(shù)法：即利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．這里僅介紹隨機(jī)數(shù)表法．隨機(jī)數(shù)表由數(shù)字，，，…，組成，并且每個數(shù)字在表中各個位置出現(xiàn)的機(jī)會都是一樣的．
注意：為了保證所選數(shù)字的隨機(jī)性，需在查看隨機(jī)數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位置．
（3）抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況
抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況，但是當(dāng)總體容量很大時，需要的樣本容量也很大時，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便．
（4）簡單隨機(jī)抽樣的特征
①有限性：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進(jìn)行分析．
②逐一性：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作．
③不放回性：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計算．
④等可能性：簡單單隨機(jī)抽樣中各個個體被抽到的機(jī)會都相等，從而保證了抽樣方法的公平．
只有四個特點(diǎn)都滿足的抽樣才是簡單隨機(jī)抽樣．
3、分層抽樣
（1）定義
一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．
分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的．
（2）分層抽樣問題類型及解題思路
①求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．
②已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計算．
③分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝＝”
注意：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取（）個個體（其中是層數(shù)，是抽取的樣本容量，是第層中個體的個數(shù)，是總體容量）．
知識點(diǎn)二、用樣本估計總體
1、頻率分布直方圖
（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法
①×組距＝頻率．
②＝頻率，＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．
③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于．
2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算
（1）最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．
（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．
（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個小長方形底邊的中點(diǎn)，為每個小長方形的面積．
3、百分位數(shù)
（1）定義
一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．
（2）計算一組個數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟
①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
②計算．
③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）四分位數(shù)
我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第百分位數(shù)．在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第百分位數(shù)，第百分位數(shù)．這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．
4、樣本的數(shù)字特征
（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平．
②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平．
③平均數(shù)：個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變形：．
5、標(biāo)準(zhǔn)差和方差
（1）定義
①標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用表示．假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差．
②方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．在解決實(shí)際問題時，多采用標(biāo)準(zhǔn)差．
（2）數(shù)據(jù)特征
標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小．
（3）平均數(shù)、方差的性質(zhì)
如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，那么
①一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．
②一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．
③一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．
必考題型全歸納
題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣
例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某工廠為了對產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行嚴(yán)格把關(guān)，從500件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出50件進(jìn)行檢驗(yàn)，對這500件產(chǎn)品進(jìn)行編號001，002，…，500，從下列隨機(jī)數(shù)表的第二行第三組第一個數(shù)字開始，每次從左往右選取三個數(shù)字，則抽到第四件產(chǎn)品的編號為（ ）
2839 3125 8395 9524 7232 8995
7216 2884 3660 1073 4366 7575
9436 6118 4479 5140 9694 9592
6017 4951 4068 7516 3241 4782
A．447 B．366 C．140 D．118
【答案】A
【解析】從第二行第三組第一個數(shù)字開始，每次從左往右選取三個數(shù)字，依次可得： 366，010，118，447，…
故選：A.
例2．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某班共有學(xué)生46人，該班語文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書籍的時長情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進(jìn)行編號．現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個樣本編號是（ ）
A．07 B．12 C．39 D．44
【答案】D
【解析】由題意可知得到的樣本編號依次為12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，則得到的第8個樣本編號是44．
故選：D.
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：
①從10盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；
②東方中學(xué)共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．
較為合理的抽樣方法是（ ）
A．①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣 B．①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣
C．①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法 D．①抽簽法， ②隨機(jī)數(shù)法
【答案】A
【解析】①總體較少，宜用抽簽法；②各層間差異明顯，宜用分層隨機(jī)抽樣．
故選：A．
變式1．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在二戰(zhàn)期間，技術(shù)先進(jìn)的德國坦克使德軍占據(jù)了戰(zhàn)場主動權(quán)，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義，盟軍請統(tǒng)計學(xué)家參與情報的收集和分析工作．在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)每輛坦克都有獨(dú)一無二的發(fā)動機(jī)序列號，前6位表示生產(chǎn)的年月，最后4位是按生產(chǎn)順序開始的連續(xù)編號．統(tǒng)計學(xué)家將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法推斷德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N，繳獲的該月生產(chǎn)的n輛坦克編號從小到大為，，，，繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，繳獲坦克的編號，，，，相當(dāng)于從中隨機(jī)抽取的n個整數(shù)，這個數(shù)將區(qū)間分成個小區(qū)間（如圖）．可以用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到的估計．如果繳獲的坦克編號為：35，67，90，127，185，245，287．則可以估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為（ ）

A．288 B．308 C．328 D．348
【答案】C
【解析】，解得．可以估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)大約是328．
故選：C.
變式2．（2024·江蘇·高三江蘇省梁豐高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會，學(xué)校采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人觀看“中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會”直播，那么高三年級被抽取的人數(shù)為（ ）
A．36 B．42 C．50 D．54
【答案】D
【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，抽樣比為，
高三年級被抽取的人數(shù)為人.
故選：D.
變式3．（2024·北京·高三強(qiáng)基計劃）某校共2017名學(xué)生，其中每名學(xué)生至少要選A，B兩門課中的一門，也有些學(xué)生選了兩門課．已知選A的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在到之間，選B的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在到之間．則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．同時選A，B的可能有200人 B．同時選A，B的可能有300人
C．同時選A，B的可能有400人 D．同時選A，B的可能有500人
【答案】BC
【解析】根據(jù)題意，同時選A，B的人數(shù)在到之間，換算成人數(shù)為202到403之間，
因此符合題意的選項(xiàng)有B，C．
故選：BC.
變式4．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，若抽取的老年人與青年人共21名，則的值為（ ）
A．15 B．30 C．32 D．36
【答案】D
【解析】由題可知，解得.
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．
題型二：統(tǒng)計圖表
例4．（多選題）（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重，它在一定程度上可以用來反映人民生活水平．恩格爾系數(shù)的一般規(guī)律：收入越低的家庭，恩格爾系數(shù)就越大；收入越高的家庭，恩格爾系數(shù)就越小．國際上一般認(rèn)為，當(dāng)恩格爾系數(shù)大于0.6時，居民生活處于貧困狀態(tài)；在0.5-0.6之間，居民生活水平處于溫飽狀態(tài)；在0.4-0.5之間，居民生活水平達(dá)到小康；在0.3-0.4之間，居民生活水平處于富裕狀態(tài)；當(dāng)小于0.3時，居民生活達(dá)到富有．下面是某地區(qū)2022年兩個統(tǒng)計圖，它們分別為城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)統(tǒng)計圖和城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入統(tǒng)計圖，請你依據(jù)統(tǒng)計圖進(jìn)行分析判斷，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．農(nóng)村居民自2017年到2021年，居民生活均達(dá)到富有
B．近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差異最大的年份是2020年
C．城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差異最小的年份是2019年
D．2022年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的生活水平已經(jīng)全部處于富有狀態(tài)
【答案】ABD
【解析】對于A項(xiàng)，由圖1可知2021年農(nóng)村居民的恩格爾系數(shù)為0.316，居民生活水平處于富裕狀態(tài)，故A項(xiàng)錯誤；
對于B項(xiàng)，根據(jù)圖2計算出的2017至2021年近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差分別為37270元，38344元，39285元，40360元，40915元，
差異最大的年份是2021年，故B項(xiàng)錯誤；
對于C項(xiàng)，根據(jù)圖1計算出的2017至2021年近五年城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差（%）分別為5.6，4.3，3.9，4.3，5.5，
差異最小的年份是2019年，故C項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)不足以判斷是否正確，故D項(xiàng)錯誤．
故選：ABD.
例5．（多選題）（2024·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)校考二模）2022年的夏季，全國多地迎來罕見極端高溫天氣．某課外小組通過當(dāng)?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計了當(dāng)?shù)仄咴路萸?0天每天的最高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，則根據(jù)圖表，下列判斷正確的是（ ）

A．七月份前20天最低氣溫的中位數(shù)低于25℃
B．七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差
C．七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40℃
D．七月份前10天（1—10日）最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差
【答案】BD
【解析】七月份前20天中，最低氣溫低于℃的天數(shù)不超過9天，故中位數(shù)不可能低于℃，故 A錯誤；
最高氣溫的最大值大于℃，最小值低于℃，而最低氣溫的最大值小于℃，最小值接近℃，
故最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差，故B正確；
最高氣溫超過℃的天數(shù)不超過5天，且最大值不超過℃，故平均數(shù)不可能高于℃，故C錯誤；
前10天中，最低氣溫的分布更集中，故最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差，故D正確．
故選：BD
例6．（多選題）（2024·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）航海模型項(xiàng)目在我國已開展四十余年，深受青少年的喜愛.該項(xiàng)目整合國防、科技、工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學(xué)等知識，主要通過讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識，探究海洋奧秘，助力培養(yǎng)未來海洋強(qiáng)國的建設(shè)者.某學(xué)樣為了解學(xué)生對航海模型項(xiàng)目的喜愛程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法從某校高一、高二、高三年級所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查.已知該學(xué)校高一、高二、高三年級學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級學(xué)生有32人，則下列說法正確的是（ ）
A．該校高一學(xué)生人數(shù)是2000
B．樣本中高二學(xué)生人數(shù)是28
C．樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多12
D．該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是8000
【答案】BC
【解析】由圖可知高三年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%，抽取的樣本中高三年級學(xué)生有32人，
則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，
則樣本中高一學(xué)生人數(shù)為，樣本中高二學(xué)生人數(shù)為，
從而樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多.
因?yàn)閺脑撔Ｋ袑W(xué)生中抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是80，但抽取的比例不知道，
所以該校高一學(xué)生人數(shù)和該校學(xué)生總?cè)藬?shù)求不出來，
所以AD錯誤，BC正確，
故選：BC.
變式5．（多選題）（2024·湖南株洲·高三校考階段練習(xí)）某公司統(tǒng)計了2024年1月至6月的月銷售額（單位：萬元），并與2022年比較，得到同比增長率數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（ ）
注：同比增長率=（今年月銷售額一去年同期月銷售額）÷去年同期月銷售額．

A．2024年1月至6月的月銷售額的極差為8
B．2024年1月至6月的月銷售額的第60百分位數(shù)為8
C．2024年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5
D．2022年5月的月銷售額為10萬元
【答案】ACD
【解析】對于A，2024年1月至6月的月銷售額的最大值是14，最小值是6，極差為8，故A正確；
對于B，六個數(shù)從小到大排列為，因?yàn)椋?024年1月至6月的月銷售額的第60百分位數(shù)為第四個數(shù)11，故B錯誤；
對于C，2024年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5，故C正確；
對于D，設(shè)2022年5月的月銷售額為萬元，則，解得，故D正確．
故選：ACD．
變式6．（多選題）（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）某公司經(jīng)營五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對市場變化，在五年前進(jìn)行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤不斷增長，今年總利潤比五年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤與總利潤的占比如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．調(diào)整后傳媒的利潤增量小于雜志
B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤有所下降
C．調(diào)整后試卷的利潤增加不到一倍
D．調(diào)整后圖書的利潤增長了一倍以上
【答案】ABC
【解析】設(shè)調(diào)整前的各產(chǎn)業(yè)利潤的總和為，則調(diào)整后的各產(chǎn)業(yè)利潤的總和為.
對于選項(xiàng)A，調(diào)整前傳媒的利潤為，雜志的利潤為，
調(diào)整后傳媒的利潤為，雜志的利潤為，
則調(diào)整后傳媒的利潤增量為，雜志的利潤增量為，故選項(xiàng)A不正確；
對于選項(xiàng)B，調(diào)整前房地產(chǎn)的利潤為，調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤為，故選項(xiàng)B不正確；
對于選項(xiàng)C，調(diào)整前試卷的利潤為，調(diào)整后試卷的利潤為，且，故選項(xiàng)C不正確；
對于選項(xiàng)D，調(diào)整前圖書的利潤為，調(diào)整后圖書的利潤為，且，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABC.
變式7．（多選題）（2024·福建福州·福州三中校考模擬預(yù)測）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對我國若干大型科技公司進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到了從事芯片、軟件兩個行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個行業(yè)的崗位分布雷達(dá)圖，則下列說法中一定正確的是（ ）

A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過
B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計崗位的“90后”人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的
C．芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多
【答案】ABD
【解析】A選項(xiàng)，從餅形圖可看出芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例為，超過，A正確；
B選項(xiàng)，芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計崗位的“90后”人數(shù)比例為，超過總?cè)藬?shù)的，B正確；
C選項(xiàng)，芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”人數(shù)占比為，
芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中“80后”占總?cè)藬?shù)的，但不知道從事技術(shù)崗位的比例，故無法確定兩者人數(shù)的多少，C錯誤；
D選項(xiàng)，芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場崗位的人數(shù)占比為，“80前”占總?cè)藬?shù)的，故D正確.
故選：ABD
變式8．（多選題）（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某地環(huán)保部門公布了該地兩個景區(qū)2016年至2022年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖，則由該圖得出的下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254
B．景區(qū)這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的第80百分位數(shù)為280
C．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大
D．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)大
【答案】AC
【解析】由圖可得：景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)排序得：203，217，254，254，293，301，313；
景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)排序得：255，262，262，266，280，283，293；
對于選項(xiàng)A：景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254，故A正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t第80百分位數(shù)為第6個數(shù)，為283，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：由圖可知：景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動大，
所以景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大，故C正確；
對于選項(xiàng)D：景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均值，
景區(qū)B的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均值，
因?yàn)椋矗?br/>所以這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)小，故D錯誤；
故選：AC.
【解題方法總結(jié)】
統(tǒng)計圖表的主要應(yīng)用
扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；
折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢；
條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率．
題型三：頻率分布直方圖
例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）某區(qū)為了解全區(qū)名高二學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全區(qū)高二學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行體能測試，并將這名的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，這名學(xué)生平均成績的估計值為 ．

【答案】
【解析】由于頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為，
可得，解得，
由頻率分布直方圖可知，這名學(xué)生平均成績的估計值為
分.
故答案為：.
例8．（2024·云南·統(tǒng)考二模）某大學(xué)有男生名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機(jī)抽查了該校名男生的體重，并將這名男生的體重（單位：）分成以下六組：、、、、、，繪制成如下的頻率分布直方圖：
該校體重（單位：）在區(qū)間上的男生大約有 人．
【答案】
【解析】由頻率分布直方圖可知，該校體重（單位：）在區(qū)間上的男生的人數(shù)為
.
故答案為：.
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2022年12月4日是第九個國家憲法日，主題為“學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，推動全面貫徹實(shí)施憲法”，某校由學(xué)生會同學(xué)制作了憲法學(xué)習(xí)問卷，收獲了有效答卷2000份，先對其得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計，按照、、…、分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中 .
【答案】0.020
【解析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，
，
故答案為：0.020
變式9．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中樣本數(shù)據(jù)分組，，，，，若要從身高在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加一項(xiàng)活動，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為 ．
【答案】
【解析】依題意，解得，
所以，，三組的頻率分別為，
所以從身高在內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為人.
故答案為：
變式10．（2024·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位:小時），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為： ．
【答案】140
【解析】由頻率分布直方圖得：這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為:
,
這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為：，
故答案為：140.
變式11．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三海拉爾第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某蔬菜批發(fā)市場銷售某種蔬菜.在一個銷售周期內(nèi)，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價處理，每噸虧損100元.統(tǒng)計該蔬菜在過去的100個銷售周期內(nèi)的市場需求量所得頻率分布直方圖如下：

(1)求圖中a的值并求100個銷售周期的平均市場需求量；
(2)若經(jīng)銷商在下一個銷售周期購入190噸該蔬菜，設(shè)為銷售周期所得利潤（單位：元），為該銷售周期的市場需求量（單位：噸），求的函數(shù)關(guān)系式，并估計銷售的利潤不少于86000元的概率.
【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為1得：，
解得，
由圖知100個銷售周期的平均市場需求量為
；
（2）由題意，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，，
設(shè)銷售的利潤不少于86000元的事件為A，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以，則，
所以.
【解題方法總結(jié)】
（1）利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)；
（2）利用頻率分布直方圖估計總體．
（3）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率．
題型四：百分位數(shù)
例10．（2024·上海·高三專題練習(xí)）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績（單位：分），分?jǐn)?shù)從低到高依次：,則這15人成績的第80百分位數(shù)是 ．
【答案】90.5
【解析】因?yàn)椋?br/>故這15人成績的第80百分位數(shù)為，
故答案為：90.5
例11．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）某校為了了解高三年級學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，在開學(xué)初舉行了一場身體素質(zhì)體能測試，以便對體能不達(dá)標(biāo)的學(xué)生進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練，促進(jìn)他們體能的提升，現(xiàn)從整個年級測試成績中抽取100名學(xué)生的測試成績，并把測試成績分成六組，繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.其中分?jǐn)?shù)在這一組中的縱坐標(biāo)為，則該次體能測試成績的分位數(shù)約為 分.
【答案】92
【解析】由頻率分布直方圖知，
由得：.
因?yàn)椋?br/>所以該次體能測試成績的分位數(shù)落在內(nèi)，設(shè)其為，
則由，解得.
故答案為：92.
例12．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）國慶節(jié)前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩、喜迎二十大”為主題的青少年學(xué)生演講比賽，其中10人比賽的成績從低到高依次為：85，86，88，88，89，90，92，93，94，98（單位：分），則這10人成績的第75百分位數(shù)是 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋鶕?jù)第百位數(shù)的含義知，應(yīng)該選取第8個數(shù)作為第75百分位數(shù)，所以這10人成績的第75百分位數(shù)是93.
故答案為：93.
變式12．（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校校考期末）已知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為 .
【答案】36
【解析】因?yàn)椋蔬@組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，
因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)為，
所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，
故答案為：36．
變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動時長（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（ ）
A．58或64 B．59或64 C．58 D．59
【答案】A
【解析】將已知的6個數(shù)從小到大排序?yàn)?5，49，53，57，61，79．
若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；
若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；
若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x），則，
解得或
故選：A
【解題方法總結(jié)】
計算一組個數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟
①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
②計算．
③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
題型五：樣本的數(shù)字特征
例13．（多選題）（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（ ）
A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．極差
【答案】AD
【解析】對A，由題意得，
則新的平均數(shù)，故A與原本相同；
對B，舉例一組數(shù)據(jù)：1,1,1,1,2.4,2.6,3,4.滿足平均數(shù)為2，原中位數(shù)為，
增加一個數(shù)據(jù)2后中位數(shù)變成了，故B錯誤；
對C，舉例一組數(shù)據(jù)為1,2,2,2,2,2,2,3，其方差為，
增加一個數(shù)據(jù)2后根據(jù)A中結(jié)論知平均數(shù)不變，則方差變?yōu)椋蔆錯誤；
對D，根據(jù)平均數(shù)的概念知，當(dāng)所有數(shù)據(jù)均相等時，取等；則增加一個數(shù)據(jù)2，極差不變，故D正確.
故選：AD.
例14．（多選題）（2024·吉林·高一榆樹市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知數(shù)據(jù)1：，，，，數(shù)據(jù)2：，，，，則下列統(tǒng)計量中，數(shù)據(jù)2不是數(shù)據(jù)1的兩倍的有（　　）
A．平均數(shù) B．極差 C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差
【答案】AC
【解析】設(shè)數(shù)據(jù)1：，，，，的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為s，中位數(shù)為，極差為
則數(shù)據(jù)2：，，，，的均值為，故A錯誤，
數(shù)據(jù)2：，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故B正確；
數(shù)據(jù)2：，，，，的中位數(shù)為，故C錯誤；
極差為，故D正確；
故選：AC．
例15．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測）“說文明話、辦文明事、做文明人，樹立城市新風(fēng)尚！創(chuàng)建文明城市，你我共同參與！”為宣傳創(chuàng)文精神，華強(qiáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（2）班組織了甲乙兩名志愿者，利用一周的時間在街道對市民進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下說法不正確的為（ ）

A．甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù) B．乙的極差小于甲的極差
C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)
【答案】D
【解析】由圖可知，甲志愿者的宣傳次數(shù)分別為：4，5，6，3，4，3，3，
乙志愿者的宣傳次數(shù)分別為：5，4，4，5，4，3，3，
甲的平均數(shù)為，
乙的平均數(shù)為，故D錯誤，
甲的眾數(shù)為3，乙的眾數(shù)為4，故甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù)，故A正確；
甲的極差為3，乙的極差為2，則乙的極差小于甲的極差，故B正確；
甲的方差為，
乙的方差為，
故甲的方差大于乙的方差，故C正確．
故選：D．
變式14．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）某學(xué)校對班級管理實(shí)行量化打分，每周一總結(jié)，若一個班連續(xù)5周的量化打分不低于80分，則為優(yōu)秀班級.下列能斷定該班為優(yōu)秀班級的是（ ）
A．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，中位數(shù)為81
B．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差大于0
C．某班連續(xù)5周量化打分的中位數(shù)為81，眾數(shù)為83
D．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差為1
【答案】D
【解析】若連續(xù)5周的量化打分?jǐn)?shù)據(jù)為，滿足的條件，但第5周的打分低于80分，故A，B錯誤；
若連續(xù)5周的量化打分?jǐn)?shù)據(jù)為，滿足C的條件，但第5周的打分低于80分，C錯誤；
根據(jù)方差公式，
因?yàn)榉讲顬椋匀舸嬖谝恢艿牧炕蚍值陀?0分，
則方差一定大于1，故能斷定該班為優(yōu)秀班級，D正確.
故選：D.
變式15．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知一組數(shù)據(jù)：2，3，4，6，m，則下列說法不正確的是（ ）
A．若m＝7，則平均數(shù)為4.4 B．若m＝4，則眾數(shù)為4
C．若m＝6，則中位數(shù)為4 D．若m＝10，則方差為40
【答案】D
【解析】對于A，若m＝7，則平均數(shù)為，故A正確；
對于B，當(dāng)m＝4時，眾數(shù)為4，故B正確；
對于C，若m＝6，則這組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，6，6，所以中位數(shù)為4，故C正確；
對于D，計算平均數(shù)為5，則方差，故D錯誤．
故選：D．
變式16．（2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)校考開學(xué)考試）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：
①平均數(shù)；
②平均數(shù)且極差小于或等于3；
③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；
④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．
則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（ ）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】B
【解析】①舉反例：，，，，，其平均數(shù)．但不符合入冬指標(biāo)；
②假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3可知，
則此組數(shù)據(jù)中的最小值為，此時數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7，
與矛盾，故假設(shè)錯誤.則此組數(shù)據(jù)全部小于10. 符合入冬指標(biāo)；
③舉反例：1，1，1，1，11，平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差.但不符合入冬指標(biāo)；
④在眾數(shù)等于5且極差小于等于4時，則最大數(shù)不超過9.符合入冬指標(biāo).
故選：B．
變式17．（2024·天津河?xùn)|·高一統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組的四名同學(xué)各自拋擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四名同學(xué)的部分統(tǒng)計結(jié)果如下：
甲同學(xué)：中位數(shù)為3，方差為2.8； 乙同學(xué)：平均數(shù)為3.4，方差為1.04；
丙同學(xué)：中位數(shù)為3，眾數(shù)為3； 丁同學(xué)：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2.
根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是 同學(xué).
【答案】乙
【解析】對于甲同學(xué)，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，
平均數(shù)為：，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；
對于乙同學(xué)，若平均數(shù)為3.4，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則方差，
所以當(dāng)平均數(shù)為3.4，方差為1.04時，一定不會出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；
對于丙同學(xué)，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；
對于丁同學(xué)，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為時，滿足平均數(shù)為，中位數(shù)為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).
綜上，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是乙同學(xué).
故答案為：乙
變式18．（2024·云南大理·高一校考階段練習(xí)）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，眾數(shù)為6；②乙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，極差為3；
③丙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，中位數(shù)為4；④丁地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差小于3.
則肯定進(jìn)入冬季的地區(qū)是（ ）
A．甲地 B．乙地
C．丙地 D．丁地
【答案】D
【解析】①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，眾數(shù)為6；則這5個數(shù)據(jù)可能為6，6，7，10，11，
即連續(xù)5天的日平均氣溫不是都低于10℃，所以甲地不一定入冬，故A錯；
②乙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，極差為3；則這5個數(shù)據(jù)可能為7，7，8，8，10，
即連續(xù)5天的日平均氣溫不是都低于10℃，所以乙地不一定入冬，故B錯；
③丙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，中位數(shù)為4；則這5個數(shù)據(jù)可能為1，2，4，7，11，
即連續(xù)5天的日平均氣溫不是都低于10℃，所以丙地不一定入冬，故C錯；
④丁地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差小于3，如果有數(shù)據(jù)大于等于10，
則方差必大于等于，不滿足題意，
因此丁地連續(xù)5天的日平均氣溫都低于10℃，所以丁地一定入冬，故D正確，
故選：D.
變式19．（2024·河北滄州·高二肅寧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）氣象意義上的春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度不低于.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
①甲地：5個數(shù)據(jù)是中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；
②乙地：5個數(shù)據(jù)是中位數(shù)為27，總體均值為24；
③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8
則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
【解析】由統(tǒng)計知識①甲地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為可知①符合題意；而②乙地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為中有可能某一天的氣溫低于，故不符合題意，③丙地：個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是，總體均值為，總體方差為．若由有某一天的氣溫低于則總體方差就大于，故滿足題意，選C
考點(diǎn)：統(tǒng)計初步
變式20．（2024·吉林長春·高一長春市第五中學(xué)校考期末）下列命題中是真命題的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；
B．有、、三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的個體數(shù)為，則樣本容量為；
C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)為，，，，，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲；
D．一組數(shù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為．
【答案】A
【解析】對于A：平均數(shù)為，眾數(shù)為3，中位數(shù)為，故A正確；
對于B：設(shè)樣本容量為，則，解得，故B錯誤；
對于C：乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)為，其方差為，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故C錯誤；
對于D：因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故D錯誤；
故選：A
【解題方法總結(jié)】
（1）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小．
（2）方差的簡化計算公式：或?qū)懗桑捶讲畹扔谠瓟?shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．
題型六：總體集中趨勢的估計
例16．（2024·湖北孝感·高二孝昌縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；
(3)已知落在的平均成績是61，方差是7，落在的平均成績?yōu)?0，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.
【解析】（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，
，
解得
（2）成績落在內(nèi)的頻率為，
落在內(nèi)的頻率為，
設(shè)第75百分位數(shù)為，
由，得，
故第75百分位數(shù)為84；
（3）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，
成績在的市民人數(shù)為，
故；
由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為.
例17．（2024·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）年入冬以來，為進(jìn)一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆發(fā)，地區(qū)規(guī)定居民出行或者出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)個居民一周的口罩使用個數(shù)統(tǒng)計如下表所示，其中每周的口罩使用個數(shù)在以上（含）的有人．
口罩使用數(shù)量
頻率
(1)求的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；（只畫圖，不要過程）
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的分位數(shù)和中位數(shù)；（四舍五入，精確到）
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的平均數(shù)以及方差．（每組數(shù)據(jù)用每組中點(diǎn)值代替）
【解析】（1）由每周的口罩使用個數(shù)在以上（含）的有人得：，解得：，
，
則頻率分布直方圖如下：
（2），，
分位數(shù)位于，設(shè)其為，
則，解得：，即估計分位數(shù)為個；
，，
中位數(shù)位于，設(shè)其為，
則，解得：，即估計中位數(shù)為個.
（3）由頻率分布直方圖得一周內(nèi)使用口罩的平均數(shù)為：（個），
方差為，
則所求平均數(shù)估計為個，方差估計為．
例18．（2024·河北邯鄲·高二校考開學(xué)考試）某工廠在加大生產(chǎn)量的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查產(chǎn)品質(zhì)量．該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：．得到如下頻率分布直方圖．

(1)求出直方圖中m的值；
(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和60%分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，60%分位數(shù)精確到0.01）．
【解析】（1）由，得．
（2）平均數(shù)，
設(shè)60%分位數(shù)為n，則由，
可得n在上，由，得．
故可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為，60%分位數(shù)為．
變式21．（2024·福建·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）小晟統(tǒng)計了他6月份的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這100次通話的通話時間（單位：分鐘）按照，，，，，分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a的值；
(2)求通話時間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)；
(3)試估計小晟這100次通話的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．
【解析】（1）由，
得．
（2）因?yàn)橥ㄔ挄r間在區(qū)間內(nèi)的頻率為，
所以通話時間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)為．
（3）這100次通話的平均時間的估計值為:
分鐘．
變式22．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考開學(xué)考試）為了迎接新高考，某校舉行物理和化學(xué)等選科考試，其中，600名學(xué)生化學(xué)成績（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.已知圖中第三組頻率為，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；
(2)估算高分（大于等于80分）人數(shù)；
(3)估計這600名學(xué)生化學(xué)成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù).（中位數(shù)精確到0.1）
【解析】（1）第一組頻率，第二組頻率，
第三組頻率,第四組頻率,第五組頻率,
由概率之和為，可得即，
第三組頻率為0.45，可得，
解得，
（2）高分（大于等于80分）頻數(shù)，
則估算高分（大于等于80分）頻數(shù)為（人），
（3）估計平均數(shù)為，
設(shè)中位數(shù)為，
由于，故，
，解得，故中位數(shù)為.
變式23．（2024·湖北武漢·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）某學(xué)校為了了解老師對“民法典”知識的認(rèn)知程度，針對不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識競答，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人年齡的第75百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，擔(dān)任“民法典”知識的宣傳使者.
①若有甲（年齡23），乙（年齡43）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第一組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲 乙兩人恰有一人被選上的概率；
②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.
【解析】（1）設(shè)這人年齡的第75百分位數(shù)為，
根據(jù)百分位數(shù)定義可得，
解得.
（2）①由題意得，第一組應(yīng)抽取2人，記為，甲，第五組抽取4人，記為，，，乙.
對應(yīng)的樣本空間為：
，共15個樣本點(diǎn).
設(shè)事件“甲 乙兩人恰有一人被選上”，
則，共有8個樣本點(diǎn).
所以，.
②設(shè)第四組 第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，
則，，，.
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.
則，，
因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為.
據(jù)此，可估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為.
【解題方法總結(jié)】
頻率分布直方圖的數(shù)字特征
（1）眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（2）中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．
（3）平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和．
題型七：總體離散程度的估計
例19．（2024·高一課時練習(xí)）某學(xué)校高一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績均在分到分之間，學(xué)生成績的頻率分布直方圖如下圖：

(1)估計這名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；(精確到)
(2)某老師抽取了名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若剔除其中的和兩個分?jǐn)?shù)，求剩余個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．
(參考公式：)
【解析】（1），，
中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，
則，解得：，即中位數(shù)為；
平均數(shù)為.
（2）剩余個分?jǐn)?shù)的平均值為；
，，
剩余個分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.
例20．（2024·四川綿陽·綿陽中學(xué)校考二模）年月日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段圓滿完成．并將進(jìn)入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文學(xué)的興趣，開展了天文知識比賽，滿分分（分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，這人按年齡分成組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的第百分位數(shù)（中位數(shù)第百分位數(shù)）；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．
①若有甲（年齡），乙（年齡）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，據(jù)此估計這人中歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差．
【解析】（1）設(shè)第百分位數(shù)為，
，，
位于第四組：內(nèi)；
方法一：由得：．
方法二：由得：．
（2）①由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為，，，甲；第五組抽取人，記為，乙，
對應(yīng)的樣本空間為：，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，甲，甲乙，乙，共個樣本點(diǎn)．
設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，
則有甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，甲乙，乙，共有個樣本點(diǎn)．
；
②設(shè)第四組的宣傳使者的年齡分別為，平均數(shù)分別為，方差分別為，
設(shè)第五組的宣傳使者的年齡分別為，，平均數(shù)分別為，方差分別為，
則，，，，
可得，，，，
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為．
則，
即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，
則
.
即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為；
據(jù)此估計這人中年齡在歲的所有人的年齡的平均數(shù)為，方差約為．
例21．（2024·北京·高三校考階段練習(xí)）某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，對高一、高二兩個年級的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測試．現(xiàn)從兩個年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取20人，將他們的測試數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下：
高一 高二
6 4 3 9 0 5 8
9 6 2 3 8 1 4 5 8
9 8 5 2 1 7 2 3 3 9
9 7 7 6 4 6 4 5 7 8
8 3 0 5 0 2 6
4 0 2
《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的等級標(biāo)準(zhǔn)如下表．規(guī)定：測試數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格．
等級 優(yōu)秀 良好 及格 不及格
測試數(shù)據(jù) [90，100] [80，89] [60，79] [0，59]
(1)從該校高二年級學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率；
(2)從兩個年級等級為優(yōu)秀的樣本中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，求選取的兩名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率；
(3)設(shè)該校高一學(xué)生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，高二學(xué)生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，試比較與、與的大小．（只需寫出結(jié)論）
【解析】（1）由莖葉圖可知高二學(xué)生樣本中體質(zhì)健康合格的人數(shù)為，
故樣本中學(xué)生體質(zhì)健康合格的頻率為，
故從該校高二年級學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率為.
（2）設(shè)高一年級樣本中測試數(shù)據(jù)為的三名學(xué)生分別為，
高一年級樣本中測試數(shù)據(jù)為的三名學(xué)生分別為，
學(xué)區(qū)的2名學(xué)生構(gòu)成的基本事件共有，共9個，
其中兩名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的有，共4個，
故選取的兩名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率為.
（3）由莖葉圖中相應(yīng)分?jǐn)?shù)段內(nèi)數(shù)據(jù)可看出高一學(xué)生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)要大于高二學(xué)生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
高一學(xué)生的測試數(shù)據(jù)比高二學(xué)生的測試數(shù)據(jù)更為集中，因此高一學(xué)生測試數(shù)據(jù)的方差要小于高二學(xué)生測試數(shù)據(jù)的方差，
故.
變式24．（2024·廣西·高一期末）某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競賽，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；
(3)已知樣本中男生與女生的比例是，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請計算出總體的方差．
【解析】（1）由頻率分布直方圖，設(shè)分?jǐn)?shù)中位數(shù)為，則有，解得，
所以分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.5；
（2）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在的頻率為，
在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為（人），
在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為95人，所以估計總體中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為（人），
總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人；
（3）總樣本的均值為，
所以總樣本的方差為．
變式25．（2024·湖北武漢·高一期末）某中學(xué)為了貫策教育部對學(xué)生的五項(xiàng)管理中的體質(zhì)管理，對高一年級學(xué)生身高進(jìn)行調(diào)查，在調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男34人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和15，抽取了女生16人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和35．
(1)由這些數(shù)據(jù)計算總樣本的平均數(shù)；
(2)由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計．
參考數(shù)據(jù)：
【解析】（1）把男生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；
把女生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；
把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．
則，
故.
（2）由分層方差公式可得
.
據(jù)此估計高一總方差為.
變式26．（2024·湖北武漢·高一期末）為了監(jiān)控某種裝件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：）．其中元近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差能夠反映數(shù)據(jù)取值的信息．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：
9.9 10.1 10.2 10.2 9.9 9.8 10.1 10
10.2 10.3 9.1 10.1 9.9 9.9 10.1 10.2
經(jīng)計算得，其中為抽取的第個零件的尺寸，．
(1)利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？
(2)剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（精確到0.01）．
【解析】（1）由，得，
由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸9.1在之外，
因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．
（2）剔除之外的數(shù)據(jù)9.1，
剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
因此的估計值為10.06．
，
剔除之外的數(shù)據(jù)9.1，
剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，
因此的估計值為．
變式27．（2024·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）某學(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對高二年級的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測試.已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.

(1)求的值，并估計此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值；
(2)學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)；
(3)試估計這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)？
（參考公式：，其中為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1），所以，
所以該次校內(nèi)考試測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)的估計值為：
分.
（2）因?yàn)椋?br/>所以這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)就是該次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的分位數(shù).
該次校內(nèi)考試測試分?jǐn)?shù)的分位數(shù)為
這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)的估計值為90分.
（3）
，
，
得分為52分的同學(xué)的成績沒有進(jìn)入到內(nèi)，
得分為94分的同學(xué)的成績進(jìn)入到了內(nèi).
即：得分為52分的同學(xué)的成績沒有進(jìn)入到范圍，
得分為94分的同學(xué)的成績進(jìn)入到范圍了.
變式28．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）4月23日是世界讀書日，樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生 40名，女生 60名．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間(單位：小時)的頻數(shù)分布表和 60名女生一周課外閱讀時間(單位： 小時) 的頻率分布直方圖．(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值)
男生一周課外閱讀時間頻數(shù)分布表
小時 頻數(shù)
9
25
3
3
女生一周課外閱讀時間頻率分布直方圖

(1)從一周課外閱讀時間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，再從這6名學(xué)生中選出2名同學(xué)調(diào)查他們閱讀書目．求這兩人都是女生的概率；
(2)分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)；
(3)估計總樣本的平均數(shù)和方差．
參考數(shù)據(jù)和公式： 男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為 和，，和分別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本， 其中．
【解析】（1）一周課外閱讀時間為的學(xué)生中男生有3人，女生有人，
若從中按比例分配抽取6人，則男生有人，女生有人，
用表示男生，用1，2，3，4，5表示女生，
則樣本空間為，
設(shè)事件“選出兩人都是女生”，則，
由于抽中中每一個樣本點(diǎn)的可能性相等，所以這是一個古典概型，
所以.
（2）估計男生一周課外閱讀時間平均數(shù)；
估計女生一周課外閱讀時間的平均數(shù).
（3）估計總樣本的平均數(shù)，
∵，
∴，
，
∴，
所以估計總樣本的平均數(shù)，方差．
【解題方法總結(jié)】
總體離散程度的估計
標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．
題型八：分層方差問題
例22．（2024·高一課時練習(xí)）某車間有甲、乙兩臺機(jī)床同時加工直徑為的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中各抽取6件，測得甲、乙兩組數(shù)據(jù)的均值為，兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則估計該車間這批零件的直徑的方差 ．
【答案】/
【解析】依題意，抽取的12件零件直徑的平均數(shù)，
所以該車間這批零件的直徑的方差.
故答案為：
例23．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某校高二年級有男生400人和女生600人，為分析期末物理調(diào)研測試成績，按照男女比例通過分層隨機(jī)抽樣的方法取到一個樣本，樣本中男生的平均成績?yōu)?0分，方差為10，女生的平均成績?yōu)?0分，方差為20，由此可以估計該校高二年級期末物理調(diào)研測試成績的方差為 .
【答案】
【解析】由，不妨設(shè)樣本由男生2人和女生3人組成.由題設(shè)：
，，解得，；
，
解得，；
所以樣本的平均分，樣本的方差.
故答案為：.
例24．（2024·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，為了獲取學(xué)生身高信息，采用男、女按比例分配分層抽樣的方法抽取樣本50人，并觀測樣本的指標(biāo)值（單位：），計算得男生樣本的均值為170，方差為20，女生樣本的均值為160，方差為30，據(jù)此估計該校高一年級學(xué)生身高的總體方差為 ．
【答案】48
【解析】由題意，某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，
可得總體的均值為，
總體的方差為.
故答案為：48.
變式29．（2024·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測）為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為1，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為 .
【答案】
【解析】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的平均數(shù)為：
（小時），
該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為：
.
故答案為：
變式30．（2024·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）某校教師男女人數(shù)之比為5:4，該校所有教師進(jìn)行1分鐘限時投籃比賽．現(xiàn)記錄了每個教師1分鐘命中次數(shù)，已知男教師命中次數(shù)的平均數(shù)為17，方差為16，女教師命中次數(shù)的平均數(shù)為8，方差為16，那么全體教師1分鐘限時投籃次數(shù)的方差為 ．
【答案】
【解析】設(shè)男女人數(shù)分別為，則男女教師總命中次數(shù)分別為、，
所以全體教師平均命中次數(shù)為，
若男教師命中次數(shù)為，女教師命中次數(shù)為，
所以，，
全體教師1分鐘限時投籃次數(shù)的方差為，則
，
所以.
故答案為：
變式31．（2024·江蘇南京·高一南京市燕子磯中學(xué)校考期中）甲、乙兩支田徑隊(duì)隊(duì)員的體重（單位：kg）信息如下：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為68，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為，則關(guān)于甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的平均數(shù)和方差分別為
參考公式：總體分為2層，分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：記總樣本的平均數(shù)，樣本方差為，
【答案】66；287
【解析】根據(jù)題意，甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為68，方差為300，
甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，
則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的平均數(shù)，
方差.
故答案為：66，287.
變式32．（2024·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高（單位：）調(diào)查中，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差為 ．
【答案】/
【解析】依題意得，題干中人身高的平均數(shù)為：，
根據(jù)方差公式，總體的方差為：
故答案為：
變式33．（2024·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）湖州地區(qū)甲、乙、丙三所學(xué)科基地學(xué)校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組人數(shù)之比為，三所學(xué)校共有數(shù)學(xué)強(qiáng)基學(xué)生48人，在一次統(tǒng)一考試中，所有學(xué)生的成績平均分為117，方差為21.5．已知甲、乙兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組學(xué)生的平均分分別為118和114，方差分別為15和21，則丙學(xué)校的學(xué)生成績的方差是 .
【答案】12
【解析】甲、乙、丙三所學(xué)科基地學(xué)校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組人數(shù)之比為，三所學(xué)校共有數(shù)學(xué)強(qiáng)基學(xué)生48人，
則甲校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組人數(shù)24；乙校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組人數(shù)為16；丙校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組人數(shù)8，
把甲校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組學(xué)生的平均分記為，方差記為；
把乙校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組學(xué)生的平均分記為，方差記為；
把丙校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組學(xué)生的平均分記為，方差記為；
把所有學(xué)生的平均分記為，方差記為．
根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，
可得，即，解得，
因此，，
即，
解得.
故答案為：12.
變式34．（2024·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）已知一組數(shù)據(jù)，，，的平均值為，，刪去一個數(shù)之后，平均值沒有改變，方差比原來大4，則這組數(shù)據(jù)的個數(shù) ．
【答案】9
【解析】由題意刪去一個數(shù)之后，平均值沒有改變，所以刪除的數(shù)為5，
由題意，得，
刪除一個數(shù)后的方差為：
得，即，
故答案為：9
【解題方法總結(jié)】
分層隨機(jī)抽樣的方差
設(shè)樣本容量為，平均數(shù)為，其中兩層的個體數(shù)量分別為，兩層的平均數(shù)分別為，，方差分別為，則這個樣本的方差為
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第83講 統(tǒng)計
知識梳理
知識點(diǎn)一、抽樣
1、抽樣調(diào)查
（1）總體：統(tǒng)計中所考察對象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．
（2）個體：構(gòu)成總體的每一個元素叫做個體．
（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進(jìn)行考察，這若干個個體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量．
2、簡單隨機(jī)抽樣
（1）定義
一般地，設(shè)一個總體含有個個體，從中逐個不放回地抽取個個體作為樣本（），如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機(jī)樣本．
（2）兩種常用的簡單隨機(jī)抽樣方法
①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到一個容量為的樣本．
②隨機(jī)數(shù)法：即利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．這里僅介紹隨機(jī)數(shù)表法．隨機(jī)數(shù)表由數(shù)字，，，…，組成，并且每個數(shù)字在表中各個位置出現(xiàn)的機(jī)會都是一樣的．
注意：為了保證所選數(shù)字的隨機(jī)性，需在查看隨機(jī)數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位置．
（3）抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況
抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況，但是當(dāng)總體容量很大時，需要的樣本容量也很大時，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便．
（4）簡單隨機(jī)抽樣的特征
①有限性：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進(jìn)行分析．
②逐一性：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作．
③不放回性：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計算．
④等可能性：簡單單隨機(jī)抽樣中各個個體被抽到的機(jī)會都相等，從而保證了抽樣方法的公平．
只有四個特點(diǎn)都滿足的抽樣才是簡單隨機(jī)抽樣．
3、分層抽樣
（1）定義
一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．
分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的．
（2）分層抽樣問題類型及解題思路
①求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．
②已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計算．
③分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝＝”
注意：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取（）個個體（其中是層數(shù)，是抽取的樣本容量，是第層中個體的個數(shù)，是總體容量）．
知識點(diǎn)二、用樣本估計總體
1、頻率分布直方圖
（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法
①×組距＝頻率．
②＝頻率，＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．
③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于．
2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算
（1）最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．
（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．
（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個小長方形底邊的中點(diǎn)，為每個小長方形的面積．
3、百分位數(shù)
（1）定義
一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．
（2）計算一組個數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟
①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
②計算．
③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）四分位數(shù)
我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第百分位數(shù)．在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第百分位數(shù)，第百分位數(shù)．這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．
4、樣本的數(shù)字特征
（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平．
②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平．
③平均數(shù)：個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變形：．
5、標(biāo)準(zhǔn)差和方差
（1）定義
①標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用表示．假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差．
②方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．在解決實(shí)際問題時，多采用標(biāo)準(zhǔn)差．
（2）數(shù)據(jù)特征
標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小．
（3）平均數(shù)、方差的性質(zhì)
如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，那么
①一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．
②一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．
③一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．
必考題型全歸納
題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣
例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某工廠為了對產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行嚴(yán)格把關(guān)，從500件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出50件進(jìn)行檢驗(yàn)，對這500件產(chǎn)品進(jìn)行編號001，002，…，500，從下列隨機(jī)數(shù)表的第二行第三組第一個數(shù)字開始，每次從左往右選取三個數(shù)字，則抽到第四件產(chǎn)品的編號為（ ）
2839 3125 8395 9524 7232 8995
7216 2884 3660 1073 4366 7575
9436 6118 4479 5140 9694 9592
6017 4951 4068 7516 3241 4782
A．447 B．366 C．140 D．118
例2．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某班共有學(xué)生46人，該班語文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書籍的時長情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進(jìn)行編號．現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個樣本編號是（ ）
A．07 B．12 C．39 D．44
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：
①從10盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；
②東方中學(xué)共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．
較為合理的抽樣方法是（ ）
A．①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣 B．①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣
C．①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法 D．①抽簽法， ②隨機(jī)數(shù)法
變式1．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在二戰(zhàn)期間，技術(shù)先進(jìn)的德國坦克使德軍占據(jù)了戰(zhàn)場主動權(quán)，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義，盟軍請統(tǒng)計學(xué)家參與情報的收集和分析工作．在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)每輛坦克都有獨(dú)一無二的發(fā)動機(jī)序列號，前6位表示生產(chǎn)的年月，最后4位是按生產(chǎn)順序開始的連續(xù)編號．統(tǒng)計學(xué)家將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法推斷德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N，繳獲的該月生產(chǎn)的n輛坦克編號從小到大為，，，，繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，繳獲坦克的編號，，，，相當(dāng)于從中隨機(jī)抽取的n個整數(shù)，這個數(shù)將區(qū)間分成個小區(qū)間（如圖）．可以用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到的估計．如果繳獲的坦克編號為：35，67，90，127，185，245，287．則可以估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為（ ）

A．288 B．308 C．328 D．348
變式2．（2024·江蘇·高三江蘇省梁豐高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會，學(xué)校采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人觀看“中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會”直播，那么高三年級被抽取的人數(shù)為（ ）
A．36 B．42 C．50 D．54
變式3．（2024·北京·高三強(qiáng)基計劃）某校共2017名學(xué)生，其中每名學(xué)生至少要選A，B兩門課中的一門，也有些學(xué)生選了兩門課．已知選A的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在到之間，選B的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在到之間．則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．同時選A，B的可能有200人 B．同時選A，B的可能有300人
C．同時選A，B的可能有400人 D．同時選A，B的可能有500人
變式4．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，若抽取的老年人與青年人共21名，則的值為（ ）
A．15 B．30 C．32 D．36
【解題方法總結(jié)】
不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．
題型二：統(tǒng)計圖表
例4．（多選題）（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重，它在一定程度上可以用來反映人民生活水平．恩格爾系數(shù)的一般規(guī)律：收入越低的家庭，恩格爾系數(shù)就越大；收入越高的家庭，恩格爾系數(shù)就越小．國際上一般認(rèn)為，當(dāng)恩格爾系數(shù)大于0.6時，居民生活處于貧困狀態(tài)；在0.5-0.6之間，居民生活水平處于溫飽狀態(tài)；在0.4-0.5之間，居民生活水平達(dá)到小康；在0.3-0.4之間，居民生活水平處于富裕狀態(tài)；當(dāng)小于0.3時，居民生活達(dá)到富有．下面是某地區(qū)2022年兩個統(tǒng)計圖，它們分別為城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)統(tǒng)計圖和城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入統(tǒng)計圖，請你依據(jù)統(tǒng)計圖進(jìn)行分析判斷，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．農(nóng)村居民自2017年到2021年，居民生活均達(dá)到富有
B．近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差異最大的年份是2020年
C．城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差異最小的年份是2019年
D．2022年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的生活水平已經(jīng)全部處于富有狀態(tài)
例5．（多選題）（2024·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)校考二模）2022年的夏季，全國多地迎來罕見極端高溫天氣．某課外小組通過當(dāng)?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計了當(dāng)?shù)仄咴路萸?0天每天的最高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，則根據(jù)圖表，下列判斷正確的是（ ）

A．七月份前20天最低氣溫的中位數(shù)低于25℃
B．七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差
C．七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40℃
D．七月份前10天（1—10日）最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差
例6．（多選題）（2024·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）航海模型項(xiàng)目在我國已開展四十余年，深受青少年的喜愛.該項(xiàng)目整合國防、科技、工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學(xué)等知識，主要通過讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識，探究海洋奧秘，助力培養(yǎng)未來海洋強(qiáng)國的建設(shè)者.某學(xué)樣為了解學(xué)生對航海模型項(xiàng)目的喜愛程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法從某校高一、高二、高三年級所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查.已知該學(xué)校高一、高二、高三年級學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級學(xué)生有32人，則下列說法正確的是（ ）
A．該校高一學(xué)生人數(shù)是2000
B．樣本中高二學(xué)生人數(shù)是28
C．樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多12
D．該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是8000
變式5．（多選題）（2024·湖南株洲·高三校考階段練習(xí)）某公司統(tǒng)計了2024年1月至6月的月銷售額（單位：萬元），并與2022年比較，得到同比增長率數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（ ）
注：同比增長率=（今年月銷售額一去年同期月銷售額）÷去年同期月銷售額．

A．2024年1月至6月的月銷售額的極差為8
B．2024年1月至6月的月銷售額的第60百分位數(shù)為8
C．2024年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5
D．2022年5月的月銷售額為10萬元
變式6．（多選題）（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）某公司經(jīng)營五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對市場變化，在五年前進(jìn)行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤不斷增長，今年總利潤比五年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤與總利潤的占比如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．調(diào)整后傳媒的利潤增量小于雜志
B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤有所下降
C．調(diào)整后試卷的利潤增加不到一倍
D．調(diào)整后圖書的利潤增長了一倍以上
變式7．（多選題）（2024·福建福州·福州三中校考模擬預(yù)測）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對我國若干大型科技公司進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到了從事芯片、軟件兩個行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個行業(yè)的崗位分布雷達(dá)圖，則下列說法中一定正確的是（ ）

A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過
B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計崗位的“90后”人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的
C．芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多
變式8．（多選題）（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某地環(huán)保部門公布了該地兩個景區(qū)2016年至2022年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖，則由該圖得出的下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254
B．景區(qū)這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的第80百分位數(shù)為280
C．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大
D．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)大
【解題方法總結(jié)】
統(tǒng)計圖表的主要應(yīng)用
扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；
折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢；
條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率．
題型三：頻率分布直方圖
例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）某區(qū)為了解全區(qū)名高二學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全區(qū)高二學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行體能測試，并將這名的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，這名學(xué)生平均成績的估計值為 ．

例8．（2024·云南·統(tǒng)考二模）某大學(xué)有男生名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機(jī)抽查了該校名男生的體重，并將這名男生的體重（單位：）分成以下六組：、、、、、，繪制成如下的頻率分布直方圖：
該校體重（單位：）在區(qū)間上的男生大約有 人．
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2022年12月4日是第九個國家憲法日，主題為“學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，推動全面貫徹實(shí)施憲法”，某校由學(xué)生會同學(xué)制作了憲法學(xué)習(xí)問卷，收獲了有效答卷2000份，先對其得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計，按照、、…、分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中 .
變式9．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中樣本數(shù)據(jù)分組，，，，，若要從身高在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加一項(xiàng)活動，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為 ．
變式10．（2024·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位:小時），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為： ．
變式11．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三海拉爾第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某蔬菜批發(fā)市場銷售某種蔬菜.在一個銷售周期內(nèi)，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價處理，每噸虧損100元.統(tǒng)計該蔬菜在過去的100個銷售周期內(nèi)的市場需求量所得頻率分布直方圖如下：

(1)求圖中a的值并求100個銷售周期的平均市場需求量；
(2)若經(jīng)銷商在下一個銷售周期購入190噸該蔬菜，設(shè)為銷售周期所得利潤（單位：元），為該銷售周期的市場需求量（單位：噸），求的函數(shù)關(guān)系式，并估計銷售的利潤不少于86000元的概率.
【解題方法總結(jié)】
（1）利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)；
（2）利用頻率分布直方圖估計總體．
（3）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率．
題型四：百分位數(shù)
例10．（2024·上海·高三專題練習(xí)）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績（單位：分），分?jǐn)?shù)從低到高依次：,則這15人成績的第80百分位數(shù)是 ．
例11．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）某校為了了解高三年級學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，在開學(xué)初舉行了一場身體素質(zhì)體能測試，以便對體能不達(dá)標(biāo)的學(xué)生進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練，促進(jìn)他們體能的提升，現(xiàn)從整個年級測試成績中抽取100名學(xué)生的測試成績，并把測試成績分成六組，繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.其中分?jǐn)?shù)在這一組中的縱坐標(biāo)為，則該次體能測試成績的分位數(shù)約為 分.
例12．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）國慶節(jié)前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩、喜迎二十大”為主題的青少年學(xué)生演講比賽，其中10人比賽的成績從低到高依次為：85，86，88，88，89，90，92，93，94，98（單位：分），則這10人成績的第75百分位數(shù)是 .
變式12．（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校校考期末）已知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為 .
變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動時長（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（ ）
A．58或64 B．59或64 C．58 D．59
【解題方法總結(jié)】
計算一組個數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟
①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
②計算．
③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
題型五：樣本的數(shù)字特征
例13．（多選題）（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（ ）
A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．極差
例14．（多選題）（2024·吉林·高一榆樹市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知數(shù)據(jù)1：，，，，數(shù)據(jù)2：，，，，則下列統(tǒng)計量中，數(shù)據(jù)2不是數(shù)據(jù)1的兩倍的有（　　）
A．平均數(shù) B．極差 C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差
例15．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測）“說文明話、辦文明事、做文明人，樹立城市新風(fēng)尚！創(chuàng)建文明城市，你我共同參與！”為宣傳創(chuàng)文精神，華強(qiáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（2）班組織了甲乙兩名志愿者，利用一周的時間在街道對市民進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下說法不正確的為（ ）

A．甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù) B．乙的極差小于甲的極差
C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)
變式14．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）某學(xué)校對班級管理實(shí)行量化打分，每周一總結(jié)，若一個班連續(xù)5周的量化打分不低于80分，則為優(yōu)秀班級.下列能斷定該班為優(yōu)秀班級的是（ ）
A．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，中位數(shù)為81
B．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差大于0
C．某班連續(xù)5周量化打分的中位數(shù)為81，眾數(shù)為83
D．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差為1
變式15．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知一組數(shù)據(jù)：2，3，4，6，m，則下列說法不正確的是（ ）
A．若m＝7，則平均數(shù)為4.4 B．若m＝4，則眾數(shù)為4
C．若m＝6，則中位數(shù)為4 D．若m＝10，則方差為40
變式16．（2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)校考開學(xué)考試）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：
①平均數(shù)；
②平均數(shù)且極差小于或等于3；
③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；
④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．
則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（ ）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
變式17．（2024·天津河?xùn)|·高一統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組的四名同學(xué)各自拋擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四名同學(xué)的部分統(tǒng)計結(jié)果如下：
甲同學(xué)：中位數(shù)為3，方差為2.8； 乙同學(xué)：平均數(shù)為3.4，方差為1.04；
丙同學(xué)：中位數(shù)為3，眾數(shù)為3； 丁同學(xué)：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2.
根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是 同學(xué).
變式18．（2024·云南大理·高一校考階段練習(xí)）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，眾數(shù)為6；②乙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，極差為3；
③丙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，中位數(shù)為4；④丁地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差小于3.
則肯定進(jìn)入冬季的地區(qū)是（ ）
A．甲地 B．乙地
C．丙地 D．丁地
變式19．（2024·河北滄州·高二肅寧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）氣象意義上的春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度不低于.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
①甲地：5個數(shù)據(jù)是中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；
②乙地：5個數(shù)據(jù)是中位數(shù)為27，總體均值為24；
③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8
則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
變式20．（2024·吉林長春·高一長春市第五中學(xué)校考期末）下列命題中是真命題的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；
B．有、、三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的個體數(shù)為，則樣本容量為；
C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)為，，，，，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲；
D．一組數(shù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為．
【解題方法總結(jié)】
（1）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小．
（2）方差的簡化計算公式：或?qū)懗桑捶讲畹扔谠瓟?shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．
題型六：總體集中趨勢的估計
例16．（2024·湖北孝感·高二孝昌縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；
(3)已知落在的平均成績是61，方差是7，落在的平均成績?yōu)?0，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.
例17．（2024·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）年入冬以來，為進(jìn)一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆發(fā)，地區(qū)規(guī)定居民出行或者出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)個居民一周的口罩使用個數(shù)統(tǒng)計如下表所示，其中每周的口罩使用個數(shù)在以上（含）的有人．
口罩使用數(shù)量
頻率

(1)求的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；（只畫圖，不要過程）
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的分位數(shù)和中位數(shù)；（四舍五入，精確到）
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的平均數(shù)以及方差．（每組數(shù)據(jù)用每組中點(diǎn)值代替）
例18．（2024·河北邯鄲·高二校考開學(xué)考試）某工廠在加大生產(chǎn)量的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查產(chǎn)品質(zhì)量．該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：．得到如下頻率分布直方圖．

(1)求出直方圖中m的值；
(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和60%分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，60%分位數(shù)精確到0.01）．
變式21．（2024·福建·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）小晟統(tǒng)計了他6月份的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這100次通話的通話時間（單位：分鐘）按照，，，，，分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a的值；
(2)求通話時間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)；
(3)試估計小晟這100次通話的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．
變式22．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考開學(xué)考試）為了迎接新高考，某校舉行物理和化學(xué)等選科考試，其中，600名學(xué)生化學(xué)成績（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.已知圖中第三組頻率為，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；
(2)估算高分（大于等于80分）人數(shù)；
(3)估計這600名學(xué)生化學(xué)成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù).（中位數(shù)精確到0.1）
變式23．（2024·湖北武漢·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）某學(xué)校為了了解老師對“民法典”知識的認(rèn)知程度，針對不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識競答，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人年齡的第75百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，擔(dān)任“民法典”知識的宣傳使者.
①若有甲（年齡23），乙（年齡43）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第一組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲 乙兩人恰有一人被選上的概率；
②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.
【解題方法總結(jié)】
頻率分布直方圖的數(shù)字特征
（1）眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（2）中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．
（3）平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和．
題型七：總體離散程度的估計
例19．（2024·高一課時練習(xí)）某學(xué)校高一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績均在分到分之間，學(xué)生成績的頻率分布直方圖如下圖：

(1)估計這名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；(精確到)
(2)某老師抽取了名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若剔除其中的和兩個分?jǐn)?shù)，求剩余個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．
(參考公式：)
例20．（2024·四川綿陽·綿陽中學(xué)校考二模）年月日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段圓滿完成．并將進(jìn)入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文學(xué)的興趣，開展了天文知識比賽，滿分分（分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，這人按年齡分成組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的第百分位數(shù)（中位數(shù)第百分位數(shù)）；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．
①若有甲（年齡），乙（年齡）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，據(jù)此估計這人中歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差．
例21．（2024·北京·高三校考階段練習(xí)）某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，對高一、高二兩個年級的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測試．現(xiàn)從兩個年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取20人，將他們的測試數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下：
高一 高二
6 4 3 9 0 5 8
9 6 2 3 8 1 4 5 8
9 8 5 2 1 7 2 3 3 9
9 7 7 6 4 6 4 5 7 8
8 3 0 5 0 2 6
4 0 2
《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的等級標(biāo)準(zhǔn)如下表．規(guī)定：測試數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格．
等級 優(yōu)秀 良好 及格 不及格
測試數(shù)據(jù) [90，100] [80，89] [60，79] [0，59]
(1)從該校高二年級學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率；
(2)從兩個年級等級為優(yōu)秀的樣本中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，求選取的兩名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率；
(3)設(shè)該校高一學(xué)生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，高二學(xué)生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，試比較與、與的大小．（只需寫出結(jié)論）
變式24．（2024·廣西·高一期末）某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競賽，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；
(3)已知樣本中男生與女生的比例是，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請計算出總體的方差．
變式25．（2024·湖北武漢·高一期末）某中學(xué)為了貫策教育部對學(xué)生的五項(xiàng)管理中的體質(zhì)管理，對高一年級學(xué)生身高進(jìn)行調(diào)查，在調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男34人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和15，抽取了女生16人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和35．
(1)由這些數(shù)據(jù)計算總樣本的平均數(shù)；
(2)由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計．
參考數(shù)據(jù)：
變式26．（2024·湖北武漢·高一期末）為了監(jiān)控某種裝件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：）．其中元近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差能夠反映數(shù)據(jù)取值的信息．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：
9.9 10.1 10.2 10.2 9.9 9.8 10.1 10
10.2 10.3 9.1 10.1 9.9 9.9 10.1 10.2
經(jīng)計算得，其中為抽取的第個零件的尺寸，．
(1)利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？
(2)剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（精確到0.01）．
變式27．（2024·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）某學(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對高二年級的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測試.已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.

(1)求的值，并估計此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值；
(2)學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)；
(3)試估計這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)？
（參考公式：，其中為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：）
變式28．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）4月23日是世界讀書日，樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生 40名，女生 60名．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間(單位：小時)的頻數(shù)分布表和 60名女生一周課外閱讀時間(單位： 小時) 的頻率分布直方圖．(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值)
男生一周課外閱讀時間頻數(shù)分布表
小時 頻數(shù)
9
25
3
3
女生一周課外閱讀時間頻率分布直方圖

(1)從一周課外閱讀時間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，再從這6名學(xué)生中選出2名同學(xué)調(diào)查他們閱讀書目．求這兩人都是女生的概率；
(2)分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)；
(3)估計總樣本的平均數(shù)和方差．
參考數(shù)據(jù)和公式： 男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為 和，，和分別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本， 其中．
【解題方法總結(jié)】
總體離散程度的估計
標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．
題型八：分層方差問題
例22．（2024·高一課時練習(xí)）某車間有甲、乙兩臺機(jī)床同時加工直徑為的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中各抽取6件，測得甲、乙兩組數(shù)據(jù)的均值為，兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則估計該車間這批零件的直徑的方差 ．
例23．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某校高二年級有男生400人和女生600人，為分析期末物理調(diào)研測試成績，按照男女比例通過分層隨機(jī)抽樣的方法取到一個樣本，樣本中男生的平均成績?yōu)?0分，方差為10，女生的平均成績?yōu)?0分，方差為20，由此可以估計該校高二年級期末物理調(diào)研測試成績的方差為 .
例24．（2024·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，為了獲取學(xué)生身高信息，采用男、女按比例分配分層抽樣的方法抽取樣本50人，并觀測樣本的指標(biāo)值（單位：），計算得男生樣本的均值為170，方差為20，女生樣本的均值為160，方差為30，據(jù)此估計該校高一年級學(xué)生身高的總體方差為 ．
變式29．（2024·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測）為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為1，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為 .
變式30．（2024·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）某校教師男女人數(shù)之比為5:4，該校所有教師進(jìn)行1分鐘限時投籃比賽．現(xiàn)記錄了每個教師1分鐘命中次數(shù)，已知男教師命中次數(shù)的平均數(shù)為17，方差為16，女教師命中次數(shù)的平均數(shù)為8，方差為16，那么全體教師1分鐘限時投籃次數(shù)的方差為 ．
變式31．（2024·江蘇南京·高一南京市燕子磯中學(xué)校考期中）甲、乙兩支田徑隊(duì)隊(duì)員的體重（單位：kg）信息如下：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為68，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為，則關(guān)于甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的平均數(shù)和方差分別為
參考公式：總體分為2層，分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：記總樣本的平均數(shù)，樣本方差為，
變式32．（2024·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高（單位：）調(diào)查中，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差為 ．
變式33．（2024·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）湖州地區(qū)甲、乙、丙三所學(xué)科基地學(xué)校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組人數(shù)之比為，三所學(xué)校共有數(shù)學(xué)強(qiáng)基學(xué)生48人，在一次統(tǒng)一考試中，所有學(xué)生的成績平均分為117，方差為21.5．已知甲、乙兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)強(qiáng)基小組學(xué)生的平均分分別為118和114，方差分別為15和21，則丙學(xué)校的學(xué)生成績的方差是 .
變式34．（2024·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）已知一組數(shù)據(jù)，，，的平均值為，，刪去一個數(shù)之后，平均值沒有改變，方差比原來大4，則這組數(shù)據(jù)的個數(shù) ．
【解題方法總結(jié)】
分層隨機(jī)抽樣的方差
設(shè)樣本容量為，平均數(shù)為，其中兩層的個體數(shù)量分別為，兩層的平均數(shù)分別為，，方差分別為，則這個樣本的方差為
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1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
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高二資料群內(nèi)容：
1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
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高三資料群內(nèi)容：
1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）
2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）
3、高三三輪押題（純word解析版）
4、高考真題分類匯編（純word解析版）
5、專題分類匯編（純word解析版）
6、圓錐曲線專題（word+PDF）
7、導(dǎo)數(shù)專題（word+PDF）
8、全國名校期中期末一模二模（純word解析版）
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