資源簡介

第85講 計數原理
知識梳理
知識點1、分類加法計數原理
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
知識點2、分步乘法計數原理
完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
注意：兩個原理及其區別
分類加法計數原理和“分類”有關，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數時，就用分類加法計數原理．
分步乘法計數原理和“分步”有關，是針對“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個步驟，而且這幾個步驟缺一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這個步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數時，就用分步乘法計數原理．
當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應用分類計數原理或分步計數原理，有時可能同時用到兩個計數原理．即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的方法數可能會采取分類的思想求方法數．對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數相同），這也是檢驗排列組合問題的很好方法．
知識點3、兩個計數原理的綜合應用
如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步計數原理．
必考題型全歸納
題型一：分類加法計數原理的應用
例1．（2024·全國·高三專題練習）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（　?。?br/>A．48 B．18 C．24 D．36
例2．（2024·四川成都·雙流中學?？寄M預測）如圖，小黑圓表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相連．連線上標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量．現從結點A向結點B傳遞信息（ ）

A．26 B．24 C．20 D．19
例3．（2024·江蘇鎮江·高三揚中市第二高級中學校考階段練習）定義：“各位數字之和為7的四位數叫好運數”，比如1006，2203，則所有好運數的個數為（ ）
A．82 B．83 C．84 D．85
變式1．（2024·全國·高三專題練習）從1，2，3，4，5，6中選取4個數字，組成各個數位上的數字既不全相同，也不兩兩互異的四位數，記四位數中各個數位上的數字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿足條件的四位數的個數為 .
變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知直線方程，若從0、1、2、3、5、7這六個數中每次取兩個不同的數分別作為A、B的值，則可表示 條不同的直線．
變式3．（2024·遼寧·高三校聯考開學考試）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個長方體的兩個頂點，，是邊長為3米的大正方形的兩個頂點，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點沿著圖中的線段爬到點，再從點沿著長方體的棱爬到點，則小貓從點爬到點可以選擇的最短路徑共有 條.

【解題方法總結】
分類標準的選擇
（1）應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素、關鍵位置．根據題目特點恰當選擇一個分類標準．
（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏．
題型二：分步乘法計數原理的應用
例4．（2024·廣東深圳·高三?？茧A段練習）甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有 種承包方式（用數字作答）.
例5．（2024·全國·高三專題練習）若一個三位數同時滿足：①各數位的數字互不相同；②任意兩個數位的數字之和不等于9，則這樣的三位數共有 個．(結果用數字作答)
例6．（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中學校考階段練習）將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數有（ ）
A．4種 B．8種 C．12種 D．48種
變式4．（2024·四川成都·高三統考開學考試）“數獨九宮格”原創者是18世紀的瑞士數學家歐拉，它的游戲規則很簡單，將1到9這九個自然數填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數，且9個空格的數字各不相同，若中間空格已填數字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數字都是從小到大排列的，則不同的填法種數為（ ）
A．72 B．108
C．144 D．196
變式5．（2024·全國·高三專題練習）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數為（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
變式6．（2024·河北石家莊·高三校聯考期中）臨近春節，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯，準備贈送給四戶孤寡老人．春聯分為長聯和短聯兩種，無論是長聯或短聯，內容均不相同．經過調查，四戶老人各戶需要1副長聯，其中乙戶老人需要1副短聯，其余三戶各要2副短聯．書法愛好小組按要求選出11副春聯，則不同的贈送方法種數為（ ）
A．15120 B．7560 C．12520 D．12160
變式7．（2024·北京東城·高三北京市廣渠門中學校考開學考試）魚缸里有8條熱帶魚和2條冷水魚，為避免熱帶魚咬死冷水魚，現在把魚缸出孔打開，讓魚隨機游出，每次只能游出1條，直至2條冷水魚全部游出就關閉出孔，若恰好第3條魚游出后就關閉了出孔，則不同游出方案的種數為（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
變式8．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學校聯考開學考試）在如圖所示的表格中填寫，，三個數字，要求每一行、每一列均有這個數字，則不同的填法種數為（ ）．
A． B． C． D．
變式9．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開學考試）甲、乙分別從門不同課程中選修門，且人選修的課程不同，則不同的選法有（ ）種．
A． B． C． D．
變式10．（2024·陜西西安·西安市第三十八中學?？寄M預測）從六人（含甲）中選四人完成四項不同的工作（含翻譯），則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有（ ）
A．120種 B．150種 C．180種 D．210種
變式11．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）某足球比賽有，，，，，，，，共9支球隊，其中，，為第一檔球隊，，，為第二檔球隊，，，為第三檔球隊，現將上述9支球隊分成3個小組，每個小組3支球隊，若同一檔位的球隊不能出現在同一個小組中，則不同的分組方法有（ ）
A．27種 B．36種 C．72種 D．144種
【解題方法總結】
利用分步乘法計數原理解題的策略
（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．
（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．
題型三：兩個計數原理的綜合應用
例7．（2024·全國·高三專題練習）第屆世界大學生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例8．（2024·江蘇南京·高三校聯考階段練習）從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（ ）種
A．16 B．36 C．54 D．96
例9．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業中學校考開學考試）三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人只選擇一個項目，則同一個項目最多只有2人參賽的情況共有 種．
變式12．（2024·廣東·高三河源市河源中學校聯考階段練習）現有5名同學從北京、上海、深圳三個路線中選擇一個路線進行研學活動，每個路線至少1人，至多2人，其中甲同學不選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有 種．（用數字作答）
變式13．（2024·浙江·高三舟山中學校聯考開學考試）杭州亞運會舉辦在即，主辦方開始對志愿者進行分配．已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會說韓語，3名會說日語．目前可供選擇的志愿者中有4人只會韓語，5人只會日語，另外還有1人既會韓語又會日語，則不同的選人方案共有 種．（用數字作答）．
變式14．（2024·江蘇揚州·高三儀征中學?？茧A段練習）已知如圖所示的電路中，每個開關都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個開關共有種可能，在這種可能中，電路從P到Q接通的情況有 種．

變式15．（2024·湖北·高三校聯考開學考試）從5男3女共8名學生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有 種不同的選法.（用數字作答）
變式16．（2024·湖北·高三校聯考階段練習）有兩個家庭共8人暑假到新疆結伴旅游（每個家庭包括一對夫妻和兩個孩子），他們在烏魯木齊租了兩輛不同的汽車進行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數為 .
變式17．（2024·福建福州·高三統考開學考試）“二十四節氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結晶，其劃分如圖所示．小明打算在網上搜集一些與二十四節氣有關的古詩．他準備在春季的6個節氣與夏季的6個節氣中共選出3個節氣，若春季的節氣和夏季的節氣各至少選出1個，則小明選取節氣的不同情況的種數是（　?。?br/>
A．90 B．180 C．270 D．360
【解題方法總結】
利用兩個計數原理解題時的三個注意點
（1）當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．
（2）分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖．
（3）對于復雜問題，一般是先分類再分步
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第85講 計數原理
知識梳理
知識點1、分類加法計數原理
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
知識點2、分步乘法計數原理
完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
注意：兩個原理及其區別
分類加法計數原理和“分類”有關，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數時，就用分類加法計數原理．
分步乘法計數原理和“分步”有關，是針對“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個步驟，而且這幾個步驟缺一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這個步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數時，就用分步乘法計數原理．
當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應用分類計數原理或分步計數原理，有時可能同時用到兩個計數原理．即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的方法數可能會采取分類的思想求方法數．對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數相同），這也是檢驗排列組合問題的很好方法．
知識點3、兩個計數原理的綜合應用
如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步計數原理．
必考題型全歸納
題型一：分類加法計數原理的應用
例1．（2024·全國·高三專題練習）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（　?。?br/>A．48 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【解析】正方體的兩個頂點確定的直線有棱、面對角線、體對角線，
對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有（個）；
對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個，
不存在四個頂點確定的平面與體對角線垂直，
所以正方體中“正交線面對”共有（個）.
故選：D
例2．（2024·四川成都·雙流中學?？寄M預測）如圖，小黑圓表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相連．連線上標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量．現從結點A向結點B傳遞信息（ ）

A．26 B．24 C．20 D．19
【答案】D
【解析】根據題意，結合圖形知，
從A到B傳播路徑有4條，如圖所示；
途徑①傳播的最大信息量為3，途徑②傳播的最大信息量為4；
途徑③傳播的最大信息量為6，途徑④傳播的最大信息量為6；
所以從A向B傳遞信息，單位時間內傳遞的最大信息量為，
故選：D．
例3．（2024·江蘇鎮江·高三揚中市第二高級中學?？茧A段練習）定義：“各位數字之和為7的四位數叫好運數”，比如1006，2203，則所有好運數的個數為（ ）
A．82 B．83 C．84 D．85
【答案】C
【解析】因為各位數字之和為7的四位數叫好運數，所以按首位數字分別計算：
當首位數字為7，則剩余三位數分別為0，0，0，共有1個好運數；
當首位數字為6，則剩余三位數分別為1，0，0，共有3個好運數；
當首位數字為5，則剩余三位數分別為1，1，0或2，0，0，共有個好運數；
當首位數字為4，則剩余三位數分別為3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有個好運數；
當首位數字為3，則剩余三位數分別為4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，
共有個好運數；
當首位數字為2，則剩余三位數分別為5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，
共有個好運數；
當首位數字為1，則剩余三位數分別為6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，
共有個好運數；
所以共有個好運數，
故選：C
變式1．（2024·全國·高三專題練習）從1，2，3，4，5，6中選取4個數字，組成各個數位上的數字既不全相同，也不兩兩互異的四位數，記四位數中各個數位上的數字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿足條件的四位數的個數為 .
【答案】105
【解析】由題意可知，只用2個不同的數字時，有（種）選法，
按照位數要求，每種數字組合組成的符合要求的四位數有3個，比如數字1和2，可以構成的四位數有1222，1122，1112，所以共有（個）符合要求的四位數.
只用3個不同的數字時，有（種）選法，
按照位數要求，每種數字組合組成的符合要求的四位數有3個，比如數字1，2，3，可以構成的四位數有1123，1223，1233，所以共有（個）符合要求的四位數.
故符合要求的四位數總共有（個）.
故答案為：105
變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知直線方程，若從0、1、2、3、5、7這六個數中每次取兩個不同的數分別作為A、B的值，則可表示 條不同的直線．
【答案】22
【解析】當時，可表示1條直線；當時，可表示1條直線；
當時，A有5種選法，B有4種選法，可表示條不同的直線．
由分類加法計數原理，知共可表示條不同的直線．
故答案為：22
變式3．（2024·遼寧·高三校聯考開學考試）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個長方體的兩個頂點，，是邊長為3米的大正方形的兩個頂點，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點沿著圖中的線段爬到點，再從點沿著長方體的棱爬到點，則小貓從點爬到點可以選擇的最短路徑共有 條.

【答案】
【解析】小貓要從點爬到點，需要先從點爬到點，需要走3橫3豎，則可選的路徑共有條，
再從點爬到點的路徑共6條，用分步乘法計數原理可得小貓可以選擇的最短路徑有20×6=120條.
故答案為：120.
【解題方法總結】
分類標準的選擇
（1）應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素、關鍵位置．根據題目特點恰當選擇一個分類標準．
（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏．
題型二：分步乘法計數原理的應用
例4．（2024·廣東深圳·高三?？茧A段練習）甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有 種承包方式（用數字作答）.
【答案】60
【解析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，有種，再讓乙承包2項，有，剩下的3項丙承包，
所以由分步乘法原理可得共有種方案，
故答案為：60
例5．（2024·全國·高三專題練習）若一個三位數同時滿足：①各數位的數字互不相同；②任意兩個數位的數字之和不等于9，則這樣的三位數共有 個．(結果用數字作答)
【答案】432
【解析】從百位開始討論：
（1）百位數字為1，十位數字有0,2,3,4,5,6,7,9，（除1,8外所有數字）；
當十位數字為0時，個位數字為2,3,4,5,6,7,（除1,0，8，9外所有數字），所以對應的三位數有種；
（2）百位數字為2,3,4,5,6,7,8,9，情況同（1）；
綜上這樣的三位數共有：種；
故答案為：432.
例6．（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中學校考階段練習）將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數有（ ）
A．4種 B．8種 C．12種 D．48種
【答案】B
【解析】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法，最后再排剩余的2名男生，
根據分步乘法原理得，有種不同的排法.
故選：B
變式4．（2024·四川成都·高三統考開學考試）“數獨九宮格”原創者是18世紀的瑞士數學家歐拉，它的游戲規則很簡單，將1到9這九個自然數填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數，且9個空格的數字各不相同，若中間空格已填數字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數字都是從小到大排列的，則不同的填法種數為（ ）
A．72 B．108
C．144 D．196
【答案】C
【解析】按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。谝徊?，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法.
由分步計數原理得， 填法總數為.
故選：C.
變式5．（2024·全國·高三專題練習）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數為（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
【答案】B
【解析】三棱柱的三個側面將空間分成7部分，三棱柱的兩個底面將空間分成3部分．
故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數為．
故選：B．
變式6．（2024·河北石家莊·高三校聯考期中）臨近春節，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯，準備贈送給四戶孤寡老人．春聯分為長聯和短聯兩種，無論是長聯或短聯，內容均不相同．經過調查，四戶老人各戶需要1副長聯，其中乙戶老人需要1副短聯，其余三戶各要2副短聯．書法愛好小組按要求選出11副春聯，則不同的贈送方法種數為（ ）
A．15120 B．7560 C．12520 D．12160
【答案】A
【解析】4副長聯內容不同，贈送方法有種；
從剩余的7副短聯中選出1副贈送給乙戶老人，有種方法，
再將剩余的6副短聯平均分為3組，最后將這3組贈送給三戶老人，
方法種數為．
所以所求方法種數為．
故選：A
變式7．（2024·北京東城·高三北京市廣渠門中學校考開學考試）魚缸里有8條熱帶魚和2條冷水魚，為避免熱帶魚咬死冷水魚，現在把魚缸出孔打開，讓魚隨機游出，每次只能游出1條，直至2條冷水魚全部游出就關閉出孔，若恰好第3條魚游出后就關閉了出孔，則不同游出方案的種數為（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【答案】B
【解析】由題意得，前2條魚游出1條冷水魚，1條熱帶魚，第3條為另一條冷水魚，
先選出一條熱帶魚，有種，再選出一條冷水魚，有種，
兩條魚可在第一條魚和第二條魚順序上進行全排列，
則不同游出方案的種數為.
故選：B
變式8．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學校聯考開學考試）在如圖所示的表格中填寫，，三個數字，要求每一行、每一列均有這個數字，則不同的填法種數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先填第一行，有種填法；再填第二行，有種填法；最后填第三行，只有種填法；
不同的填法種數為種.
故選：C.
變式9．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開學考試）甲、乙分別從門不同課程中選修門，且人選修的課程不同，則不同的選法有（ ）種．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】甲從門課程中選擇門，有種選法；乙再從甲未選的課程中選擇門，有種選法；
根據分步乘法計數原理可得：不同的選法有種.
故選：C.
變式10．（2024·陜西西安·西安市第三十八中學?？寄M預測）從六人（含甲）中選四人完成四項不同的工作（含翻譯），則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有（ ）
A．120種 B．150種 C．180種 D．210種
【答案】C
【解析】依題意可得，甲需從除翻譯外的其他三項工作中任選一項，有3種選法，
再從其余五人中選三人參加剩下的三項工作，有種選法，
所以滿足條件的不同選法共有種．
故選：C
變式11．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）某足球比賽有，，，，，，，，共9支球隊，其中，，為第一檔球隊，，，為第二檔球隊，，，為第三檔球隊，現將上述9支球隊分成3個小組，每個小組3支球隊，若同一檔位的球隊不能出現在同一個小組中，則不同的分組方法有（ ）
A．27種 B．36種 C．72種 D．144種
【答案】B
【解析】根據題意，先排，共有1種排法；
再排，共有種不同的排法；
最后排，共有種不同的排法，
由分步計數原理得，共有種不同的排法.
故選：B.
【解題方法總結】
利用分步乘法計數原理解題的策略
（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．
（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．
題型三：兩個計數原理的綜合應用
例7．（2024·全國·高三專題練習）第屆世界大學生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】分以下兩種情況討論：
①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的人中選出男女，選法種數為，
則女志愿者甲可安排在號或號或號賽場，另一位女志愿者安排在號賽場，
余下個男志愿者隨意安排，此時，不同的安排種數為；
②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余人中選出男女，選法種數為，
編號為的賽場必須安排女志愿者，只需從名女志愿者中抽人安排在號賽場，
余下人可隨意安排，此時，不同的安排方法種數為.
由分類加法計數原理可知，不同的安排方法種數為種.
故選：D.
例8．（2024·江蘇南京·高三校聯考階段練習）從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（ ）種
A．16 B．36 C．54 D．96
【答案】C
【解析】當選擇一個男生，二個女生時，不同的安排方法有；
當選擇二個男生，一個女生時，不同的安排方法有，
所以不同安排方法有種，
故選：C
例9．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業中學校考開學考試）三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人只選擇一個項目，則同一個項目最多只有2人參賽的情況共有 種．
【答案】24
【解析】三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人只選擇一個項目，
同一個項目最多只有2人參賽有以下兩種情況：①同一個項目有且僅有兩人選擇；②每個項目分別只有一人選擇；
有且僅有兩人選擇的項目完全相同有種；
每個項目分別只有一人選擇；種；
故同一個項目最多只有2人參賽的情況共有種.
故答案為：24.
變式12．（2024·廣東·高三河源市河源中學校聯考階段練習）現有5名同學從北京、上海、深圳三個路線中選擇一個路線進行研學活動，每個路線至少1人，至多2人，其中甲同學不選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有 種．（用數字作答）
【答案】.
【解析】每個路線至少1人，至多2人，則一個路線1人，另外兩個路線各2人，
若甲同學單獨1人時，有種不同的選法；
若甲同學與另外一個同學一起，則有種不同的選法，
則不同的選擇方法有60種．
故答案為：.
變式13．（2024·浙江·高三舟山中學校聯考開學考試）杭州亞運會舉辦在即，主辦方開始對志愿者進行分配．已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會說韓語，3名會說日語．目前可供選擇的志愿者中有4人只會韓語，5人只會日語，另外還有1人既會韓語又會日語，則不同的選人方案共有 種．（用數字作答）．
【答案】140
【解析】若從只會韓語中選3人，則種，
若從只會韓語中選2人，則種，
故不同的選人方案共有種.
故答案為：140.
變式14．（2024·江蘇揚州·高三儀征中學?？茧A段練習）已知如圖所示的電路中，每個開關都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個開關共有種可能，在這種可能中，電路從P到Q接通的情況有 種．

【答案】16
【解析】若電路從到接通，共有三種情況：
（1）若1閉合，而4不閉合時，可得分為：
①若1、2閉合，而4不閉合，則3、5可以閉合也可以不閉合，共有種情況；
②若1、3、5閉合，而4不閉合，則2可以閉合也可以不閉合，有2種情況，
但①與②中都包含1、2、3、5都閉合，而4不閉合的情況，所以共有種情況；
（2）若4閉合，而1不閉合時，可分為：
③若4、5閉合，而1不閉合，則2、3可以閉合也可以不閉合，有種情況；
④若4、3、2閉合，而1不閉合，則5可以閉合也可以不閉合，有2種情況，
但③與④中，都包含4、2、3、5都閉合，而1不閉合的情況，所以共有種情況；
（3）若1、4都閉合，共有種情況，而其中電路不通有2、3、5都不閉合與2、5都不閉合2種情況，則此時電路接通的情況有種情況；
所以電路接通的情況有種情況.
故答案為：.
變式15．（2024·湖北·高三校聯考開學考試）從5男3女共8名學生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有 種不同的選法.（用數字作答）
【答案】
【解析】由題意可知，當志愿組有3名男生，2名女生時，有種方法；
當志愿組有4名男生，1名女生時，有種方法，
由分類計數原理得，共有種不同的選法.
故答案為：.
變式16．（2024·湖北·高三校聯考階段練習）有兩個家庭共8人暑假到新疆結伴旅游（每個家庭包括一對夫妻和兩個孩子），他們在烏魯木齊租了兩輛不同的汽車進行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數為 .
【答案】10
【解析】由題意得當每個家庭各乘坐一輛車時，有2種乘車方案；
當每對夫妻乘坐的車上恰有一個自己的孩子時，乘車方案種數為，
故滿足條件的不同乘車方案種數為，
故答案為：10
變式17．（2024·福建福州·高三統考開學考試）“二十四節氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結晶，其劃分如圖所示．小明打算在網上搜集一些與二十四節氣有關的古詩．他準備在春季的6個節氣與夏季的6個節氣中共選出3個節氣，若春季的節氣和夏季的節氣各至少選出1個，則小明選取節氣的不同情況的種數是（　　）

A．90 B．180 C．270 D．360
【答案】B
【解析】根據題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，
其中1春2夏的不同情況有：種；
2春1夏的不同情況有：種，
所以小明選取節氣的不同情況有：種．
故選：B．
【解題方法總結】
利用兩個計數原理解題時的三個注意點
（1）當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．
（2）分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖．
（3）對于復雜問題，一般是先分類再分步．
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