資源簡介

第01講 分類加法原理與分步乘法原理
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第14題,6分 分步乘法計數原理 全排列問題解讀 寫出基本事件
2023年新I卷，第13題,5分 分類加法計數原理 實際問題中的組合計數問題
2023年新Ⅱ卷，第3題,5分 分步乘法計數原理及簡單應用 抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容量的計算 實際問題中的組合計數問題
2023年全國甲卷（理）， 第9題,5分 分類加法計數原理 排列數的計算
2023年全國乙卷（理）， 第7題,5分 分步乘法計數原理及簡單應用 排列數的計算 實際問題中的組合計數問題
2020年全國乙卷（理）， 第14題,5分 分步乘法計數原理及簡單應用 相鄰問題的排列問題
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握分類加法原理與分步乘法原理的定義
2.會分類加法原理與分步乘法原理在實際問題中的應用及計算
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般會和排列組合結合在小題中考查，需重點復習
知識講解
1．分類加法計數原理
做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
2．分步乘法計數原理
做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
3．分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別
分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．
使用分類加法計數原理時兩個注意點
(1)根據問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統一，不能遺漏.
(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復.
利用分步乘法計數原理解題時三個注意點
(1)要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事．
(3)對完成每一步的不同方法數要根據條件準確確定．
　應用兩個計數原理的難點在于明確分類和分步．分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復雜的問題可借助圖表完成．
考點一、分類加法原理
1．（2023·北京東城·二模）某社區計劃在端午節前夕按如下規則設計香囊：在基礎配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
2．（2023·全國·高三專題練習）將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（ ）
A．16種 B．12種 C．9種 D．6種
1．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有 種不同的去法.（用數字回答）
2．（2023·全國·高三專題練習）如果把個位數是1，且恰有3個數字相同的四位數叫做“好數”，那么在由1，2，3，4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數”共有 個.
考點二、分步乘法原理
1．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
2．（全國·高考真題）如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為
A．24 B．18 C．12 D．9
1．（2023秋·山東·高三校聯考階段練習）某商店共有，，三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（ ）
A．3種 B．7種 C．12種 D．24種
2．（2024·山東菏澤·二模）在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學決定報考三所高校，則恰有兩人報考同一高校的方法共有（ ）
A．9種 B．36種 C．38種 D．45種
3．（2024·江蘇南通·模擬預測）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、B兩個社區開展活動，其中1人到社區，則不同的選法有（ ）
A．12種 B．24種 C．30種 D．60種
考點三、兩個計數原理的綜合應用
1．（2024·上海·高考真題）設集合中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值 ．
2．（2024·河南信陽·模擬預測）從0，1，2，5中取三個不同的數字，組成能被5整除的三位數，則不同三位數有（ ）
A．12個 B．10個 C．8個 D．7個
3．（2024·安徽合肥·模擬預測）2024屆高三某次聯考中對尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有五名屏蔽生總分在前9名，現在確定第一、二、五名是三位同學，但不是第一名，兩名同學只知道在6至9名，且的成績比好，則這5位同學總分名次有多少種可能（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
1．（2024·河北·模擬預測）用能組成沒有重復數字且比32000小的數字（ ）個.
A．212 B．213 C．224 D．225
2．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數字，，，，，組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江蘇揚州·儀征中學校考模擬預測）某人從上一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（ ）種.
A．10 B．9 C．8 D．12
1．（2024·云南大理·模擬預測）現有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4個同學順序不變，不同的方法共有（ ）種
A．10 B．20 C．30 D．60
2．（2024·河南·二模）將甲，乙等5人全部安排到四個工廠實習，每人只去一個工廠，每個工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠，則不同的安排方法有（ ）
A．72種 B．108種 C．126種 D．144種
3．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A，B，C三家企業可供選擇，若去C企業最多一人，則不同分配種數是（ ）
A．112 B．80 C．64 D．32
4．（2024·河南濮陽·模擬預測）某班派遣五位同學到甲、乙、丙三個街道打掃衛生．每個街道至少有一位同學去，至多有兩位同學去，且兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）從0，2，4中選一個數字．從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數．其中奇數的個數為（ ）
A．48 B．30 C．24 D．6
6．（23-24高二下·廣西桂林·期末）從1，3，5，7中任取2個數字，從2，4中任取1個數字，可以組成沒有重復數字的三位數的個數是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．72
7．（24-25高三上·北京·階段練習）某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有（ ）
A．36種 B．60種 C．120種 D．180種
8．（24-25高三上·廣東·階段練習）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質飲料中選3瓶進行購買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質飲料都至少買1瓶的買法種數為 ．（用數字作答）
9．（24-25高三上·上海黃浦·階段練習）若甲、乙兩人從門課程中各選修門，則甲、乙所選修的課程中至少有門相同的選法種數為 .
10．（24-25高三上·上海·開學考試）若從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取2個偶數和2個奇數，組成一個無重復數字的四位數，則不同的四位數的個數是 .
1．（2024·河北·模擬預測）用能組成沒有重復數字且比32000小的數字（ ）個.
A．212 B．213 C．224 D．225
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知6件不同的產品中有2件次品，現對它們一一測試，直至找到所有2件次品為止，若至多測試4次就能找到這2件次品，則共有（ ）種不同的測試方法．
A．114 B．90 C．106 D．128
3．（2024·陜西銅川·模擬預測）小張同學喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個不同顏色的塑料袋，每個袋子中至少裝1種奶糖．小張同學希望任意兩個袋子所包含奶糖種類不完全相同，且每一種奶糖均要在兩個袋子中出現，那么不同的方案數為（ ）
A．3000 B．3360 C．1440 D．1560
4．（23-24高二下·浙江杭州·期中）將5名醫生分配到三個社區協助開展社區老年人體檢活動，每個社區至少1人，則不同的分配方法有（ ）
A．50 B．150 C．240 D．300
5．（24-25高三上·浙江·階段練習）將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側，要求每一側種植3棵，且每一側中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（ ）
A．20種 B．40種 C．80種 D．160種
6．（23-24高三上·江蘇·階段練習）若一個五位數的各個數位上的數字之和為3，則這樣的五位數共有 個．
7．（2024·浙江杭州·模擬預測）袋子中有數字“7”的卡片3張和數字“2”，“3”，“5”的卡片各1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成 個不同的四位數（用數字回答）．
8．（23-24高二下·吉林長春·期末）有4人到甲、乙、丙三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數為 .（用數字作答）
9．（2024高三·全國·專題練習）用，，，，，這六個數字組成沒有重復的四位偶數，將這些數字從小到大排列起來，第個數是 ．
10．（23-24高三上·山東泰安·階段練習）現有名志愿者報名參加某項暑期公益活動，此項公益活動為期兩天，每天從這人中安排人參加，則恰有人在這兩天都參加的不同安排方式有 種.
1．（2023·全國·統考高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
2．（2023·全國·統考高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
3．（2023·全國·統考高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
4．（北京·高考真題）從0，2中選一個數字．從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數．其中奇數的個數為
A．24 B．18 C．12 D．6
5．（全國·高考真題）5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（ ）
A．10種 B．20種 C．25種 D．32種
6．（全國·高考真題）甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有
A．36種 B．48種 C．96種 D．192種
7．（四川·高考真題）由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是
A．72 B．96 C．108 D．144
8．（全國·統考高考真題）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有 種.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第01講 分類加法原理與分步乘法原理
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第14題,6分 分步乘法計數原理 全排列問題解讀 寫出基本事件
2023年新I卷，第13題,5分 分類加法計數原理 實際問題中的組合計數問題
2023年新Ⅱ卷，第3題,5分 分步乘法計數原理及簡單應用 抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容量的計算 實際問題中的組合計數問題
2023年全國甲卷（理）， 第9題,5分 分類加法計數原理 排列數的計算
2023年全國乙卷（理）， 第7題,5分 分步乘法計數原理及簡單應用 排列數的計算 實際問題中的組合計數問題
2020年全國乙卷（理）， 第14題,5分 分步乘法計數原理及簡單應用 相鄰問題的排列問題
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握分類加法原理與分步乘法原理的定義
2.會分類加法原理與分步乘法原理在實際問題中的應用及計算
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般會和排列組合結合在小題中考查，需重點復習
知識講解
1．分類加法計數原理
做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
2．分步乘法計數原理
做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
3．分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別
分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．
使用分類加法計數原理時兩個注意點
(1)根據問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統一，不能遺漏.
(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復.
利用分步乘法計數原理解題時三個注意點
(1)要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事．
(3)對完成每一步的不同方法數要根據條件準確確定．
　應用兩個計數原理的難點在于明確分類和分步．分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復雜的問題可借助圖表完成．
考點一、分類加法原理
1．（2023·北京東城·二模）某社區計劃在端午節前夕按如下規則設計香囊：在基礎配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【分析】分四種情況，利用分類計數原理即可求出結果.
【詳解】從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選一種，有種，
從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選二種，有種，
從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選三種，有種，
從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥全選，有種，
所以從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一種，共有種，
故選：C.
2．（2023·全國·高三專題練習）將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（ ）
A．16種 B．12種 C．9種 D．6種
【答案】B
【分析】分六種情況討論，求解每一種類型的放球方法數，然后利用分類計數加法原理求解即可．
【詳解】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時，放球方法有：
當1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法； ^
當1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
因此，不同的放球方法有12種，故選B．
點睛：本題主要考查分類計數加法原理的應用，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”，在應用分類計數加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率．
1．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有 種不同的去法.（用數字回答）
【答案】7
【分析】按去1，2，3個人分類，利用組合數求解即可.
【詳解】由題意，去1人有種去法，去2人有種去法，去3人有種去法，
所以共有種不同的去法，
故答案為：7
2．（2023·全國·高三專題練習）如果把個位數是1，且恰有3個數字相同的四位數叫做“好數”，那么在由1，2，3，4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數”共有 個.
【答案】12
【分析】分析可得，共有三個1，三個2，三個3，三個4， 4種情況，分別求得滿足題意“好數”個數，根據分類加法計數原理，即可得答案.
【詳解】當組成的數字有三個1，三個2，三個3，三個4時共有4種情況.
當有三個1時：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9種，
當有三個2，3，4時：2221，3331，4441，有3種，
根據分類加法計數原理可知，共有12種結果.
故答案為：12
考點二、分步乘法原理
1．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【答案】C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據分步乘法公式則共有種，
故選：C.
2．（全國·高考真題）如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【詳解】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，
從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種走法．
同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．
∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為6×3＝18種走法．
故選B．
【考點】計數原理、組合
【名師點睛】分類加法計數原理在使用時易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互獨立的；分步乘法計數原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相互關聯的．
1．（2023秋·山東·高三校聯考階段練習）某商店共有，，三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（ ）
A．3種 B．7種 C．12種 D．24種
【答案】C
【分析】根據分步乘法計數原理即可求解.
【詳解】由分步乘法計數原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．
故選：C
2．（2024·山東菏澤·二模）在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學決定報考三所高校，則恰有兩人報考同一高校的方法共有（ ）
A．9種 B．36種 C．38種 D．45種
【答案】B
【分析】利用排列、組合數即可求解．
【詳解】由題意，恰有兩人報考同一高校的方法共有種.
故選：B.
3．（2024·江蘇南通·模擬預測）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、B兩個社區開展活動，其中1人到社區，則不同的選法有（ ）
A．12種 B．24種 C．30種 D．60種
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理及組合數計算即得.
【詳解】求不同選法種數需2步，先從5人中選1人去社區，再從余下4人中選2人去社區，
所以不同的選法有（種）.
故選：C
考點三、兩個計數原理的綜合應用
1．（2024·上海·高考真題）設集合中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值 ．
【答案】329
【分析】三位數中的偶數分個位是0和個位不是0討論即可.
【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數，其余均是偶數．
首先討論三位數中的偶數，
①當個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數字中選擇兩個進行排列，則這樣的偶數有個；
②當個位不為0時，則個位有個數字可選，百位有個數字可選，十位有個數字可選，
根據分步乘法這樣的偶數共有，
最后再加上單獨的奇數，所以集合中元素個數的最大值為個．
故答案為：329．
2．（2024·河南信陽·模擬預測）從0，1，2，5中取三個不同的數字，組成能被5整除的三位數，則不同三位數有（ ）
A．12個 B．10個 C．8個 D．7個
【答案】B
【分析】根據能被5整除的數的特征，分類討論，結合排列組合即可求解.
【詳解】能被5整除的三位數末位數字得是0或5，
當末位數字為0時，此時有個符合條件的三位數，
當末位數字為5時，此時有個符合條件的三位數，
因此一共有個，
故選：B
3．（2024·安徽合肥·模擬預測）2024屆高三某次聯考中對尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有五名屏蔽生總分在前9名，現在確定第一、二、五名是三位同學，但不是第一名，兩名同學只知道在6至9名，且的成績比好，則這5位同學總分名次有多少種可能（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【分析】先排，再排和，對進行分類，可排6，7，8位，最后根據的情況再排。
【詳解】第一步排有兩種可能：第2名或第5名；
第二步排和有兩種可能；
第三步排和，有6，7，8位三種可能；
當為第6名時，有7，8，9名三種可能，
當為第7名時，有8，9名兩種可能，
當為第8名時，只有第9名一種可能，
所以第三步的總數為種；
根據分類計數原理，所有名次排位的總數種。
故選：C
1．（2024·河北·模擬預測）用能組成沒有重復數字且比32000小的數字（ ）個.
A．212 B．213 C．224 D．225
【答案】D
【分析】先對數字位數分類討論，在對五位數的首位數字進行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數的選取，結合分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得結果.
【詳解】分數字位數討論：
一位數5個；
兩位數有個；
三位數有個；
四位數有個；
五位數分以下兩種情況討論：
①首位數字為1或2，此時共有個；
②首位數字為3，則千位數從0或1中選擇一個，其余三個數位任意排列，
此時共有個.
綜上所述，共有個比小的數.
故選：D.
2．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數字，，，，，組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】組成有重復數字的三位數，且是偶數,按個位是和不是進行分類; 個位不是時要注意選中的數有和不是情況求解.
【詳解】由題意可知，這三位數是偶數，則說明其個位數為偶數，即0，2，4，有3種選擇，
而由于這是一個三位數，所以百位數不能是0，有5種選擇，因為存在重復數字，由此分類討論:
①當個位數為0時，則百位數有5種選擇，十位數有兩種情況，
與百位數一樣，只有一種選擇，
與個位數一樣，也只有一種選擇;
②當個位數為2時，
如果百位數為2，則十位數有6種選擇，
如果百位數不為2，則百位數有4種選擇，此時十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇:
當個位數為4時，
如果百位數為4，則十位數有6種選擇，
如果百位數不為4，則百位數有4種選擇，十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇
綜上所述，.
故選：B.
3．（2023·江蘇揚州·儀征中學校考模擬預測）某人從上一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（ ）種.
A．10 B．9 C．8 D．12
【答案】A
【分析】利用計數原理直接計算即可.
【詳解】按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.
因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.
為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：
白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，
每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.
下面分三種情形討論.
（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側，
此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種可能的不同排列；
（2）第1球不是白球.
（i）第1球為紅球，則余下5球只有一種可能的排列；
（ii）若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，
此種情形共有3種不同排列；
（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.
總之，按題意要求從一層到二層共有種可能的不同過程.
故選：A
1．（2024·云南大理·模擬預測）現有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4個同學順序不變，不同的方法共有（ ）種
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】C
【分析】應用分步乘法原理計算即可.
【詳解】4個同學站成一排有5個空，甲加入排列有5種情況，隊列變成5個人有6個空，乙加入排列有6種情況，
由分步計數原理得，共有種不同的方法.
故選：C
2．（2024·河南·二模）將甲，乙等5人全部安排到四個工廠實習，每人只去一個工廠，每個工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠，則不同的安排方法有（ ）
A．72種 B．108種 C．126種 D．144種
【答案】C
【分析】利用分類加法計數原理，結合分組分配問題和排列組合知識求解．
【詳解】由題意可知，分兩種情況討論，
①工廠安排1人，有種，
②工廠安排2人，有種，
所以不同的安排方法有種．
故選：C．
3．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A，B，C三家企業可供選擇，若去C企業最多一人，則不同分配種數是（ ）
A．112 B．80 C．64 D．32
【答案】A
【分析】根據已知條件及分類分步計數原理即可求解.
【詳解】分兩類情況，第一類情況，去C企業僅有一人，有種情況；
第二類情況，沒有一個去C企業，有種情況，
所以根據分類加法計數原理共有種.
故選：A.
4．（2024·河南濮陽·模擬預測）某班派遣五位同學到甲、乙、丙三個街道打掃衛生．每個街道至少有一位同學去，至多有兩位同學去，且兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】A
【分析】先安排，再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，求出答案.
【詳解】由題意得，學生的分配人數分別為2，2，1，
由于兩位同學去同一個街道，故先從3個街道中選擇1個安排，有種，
再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，有
故不同的派遣方法有種.
故選：A.
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）從0，2，4中選一個數字．從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數．其中奇數的個數為（ ）
A．48 B．30 C．24 D．6
【答案】B
【分析】考慮到百位數字非零的限制，將三位奇數分成三類，分別用排列組合數表示方法數，最后運用分類加法計數原理計算即得.
【詳解】依題意，這樣的三位奇數分為三類：
①元素0被選中，則應放在十位，從1，3，5中選兩個數字排在個位與百位，共有種方法；
②元素2被選中，則可放在百位或十位，再從1，3，5中選兩個數字排在余下的兩個數位，有種方法；
③元素4被選中，與②情況相同，有種方法.
由分類加法計數原理可得，奇數的個數為個.
故選：B.
6．（23-24高二下·廣西桂林·期末）從1，3，5，7中任取2個數字，從2，4中任取1個數字，可以組成沒有重復數字的三位數的個數是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．72
【答案】D
【分析】利用分步計數原理，結合組合數與排列數，即可計算結果.
【詳解】從1，3，5，7中任取2個數的方法數有；
從2，4中任取1個數的方法數有；
選出的3個數的排列有；
再利用分步計數乘法原理得：
可以組成沒有重復數字的三位數的個數有.
故選：D.
7．（24-25高三上·北京·階段練習）某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有（ ）
A．36種 B．60種 C．120種 D．180種
【答案】C
【分析】根據題意，分兩種情況討論，一是在兩個城市分別投資1個項目、2個項目，二是在三個城市各投資1個項目，分別計算其情況數目，進而由加法原理，計算可得答案．
【詳解】該外商不同的投資方案分為兩類：若1個城市投資2個項目，另外1個城市投資1個項目，有種投資方案；
若3個城市各投資1個項目，共有種投資方案，
由分類計數原理知，共有120種不同的投資方案．
故選：C．
8．（24-25高三上·廣東·階段練習）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質飲料中選3瓶進行購買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質飲料都至少買1瓶的買法種數為 ．（用數字作答）
【答案】70
【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理及組合計數問題列式計算即得.
【詳解】依題意，兩種飲料都至少買1種的買法種數為.
故答案為：70
9．（24-25高三上·上海黃浦·階段練習）若甲、乙兩人從門課程中各選修門，則甲、乙所選修的課程中至少有門相同的選法種數為 .
【答案】
【分析】分有門相同、門相同、門相同三種情況討論，利用分步乘法計數原理與分類加法計數原理計算可得.
【詳解】若甲、乙所選的課程有門相同，則有種情況；
若甲、乙所選的課程有門相同，則有種情況；
若甲、乙所選的課程有門相同，則有種情況；
綜上可得甲、乙所選修的課程中至少有門相同的選法種數為.
故答案為：
10．（24-25高三上·上海·開學考試）若從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取2個偶數和2個奇數，組成一個無重復數字的四位數，則不同的四位數的個數是 .
【答案】180
【分析】根據特殊元素優先法，按照0是否被取到，先分類再分步即可解決.
【詳解】根據題意，可將四位數分成兩類：
第一類，數字0被取到，則可從2，4中任選一個，再從1，3，5中任選兩個，
接著從除0外的另外三個數中取一個排在首位，剩下的在三個數位上全排，
此時共有個四位數；
第二類，數字0沒被取到，故2，4全被取到，只需從1，3，5中任選兩個，
再與2，4共4個數字在四個數位上全排，此時共有個四位數.
根據分類加法計數原理，不同的四位數的個數是.
故答案為：180.
1．（2024·河北·模擬預測）用能組成沒有重復數字且比32000小的數字（ ）個.
A．212 B．213 C．224 D．225
【答案】D
【分析】先對數字位數分類討論，在對五位數的首位數字進行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數的選取，結合分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得結果.
【詳解】分數字位數討論：
一位數5個；
兩位數有個；
三位數有個；
四位數有個；
五位數分以下兩種情況討論：
①首位數字為1或2，此時共有個；
②首位數字為3，則千位數從0或1中選擇一個，其余三個數位任意排列，
此時共有個.
綜上所述，共有個比小的數.
故選：D.
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知6件不同的產品中有2件次品，現對它們一一測試，直至找到所有2件次品為止，若至多測試4次就能找到這2件次品，則共有（ ）種不同的測試方法．
A．114 B．90 C．106 D．128
【答案】A
【分析】利用分類加法計數原理可求得測試方法的種數.
【詳解】解：檢測2次可測出2件次品，不同的測試方法有種；
檢測3次可測出2件次品，不同的測試方法有種；
檢測4次測出2件次品；不同的測試方法有種；
檢測4次測出4件正品，不同的測試方法共有種，
由分類計數原理，滿足條件的不同的測試方法的種數為：
種．
故選：A．
3．（2024·陜西銅川·模擬預測）小張同學喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個不同顏色的塑料袋，每個袋子中至少裝1種奶糖．小張同學希望任意兩個袋子所包含奶糖種類不完全相同，且每一種奶糖均要在兩個袋子中出現，那么不同的方案數為（ ）
A．3000 B．3360 C．1440 D．1560
【答案】A
【分析】根據已知先分類討論再排列得出結果.
【詳解】依次記四種奶糖為，則每個字母出現2次，先分堆．
若是“”，則其中的“4”必須是，故有1種可能；
若是“”，則考慮，故有種可能；
若是“”，則考慮，故有種可能，
所以不同的方案數為種．
故選:A．
4．（23-24高二下·浙江杭州·期中）將5名醫生分配到三個社區協助開展社區老年人體檢活動，每個社區至少1人，則不同的分配方法有（ ）
A．50 B．150 C．240 D．300
【答案】B
【分析】考慮分組為1、1、3和1、2、2兩種情況，分別討論即可得到答案.
【詳解】可以分組為1、1、3，或1、2、2兩種情況，
若分組為1、1、3，則有；
若分組為1、2、2，則有；
則不同分法為種.
故選：B
5．（24-25高三上·浙江·階段練習）將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側，要求每一側種植3棵，且每一側中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（ ）
A．20種 B．40種 C．80種 D．160種
【答案】C
【分析】先分步計算兩側的排法，再結合分步計數原理計算即可.
【詳解】一側的種植方法有種排法，
另一側的種植方法有種排法
再由分步計數原理得不同的種植方法共有種排法，
故選:C.
6．（23-24高三上·江蘇·階段練習）若一個五位數的各個數位上的數字之和為3，則這樣的五位數共有 個．
【答案】
【分析】先分類，再分步，結合排列組合知識，利用計數原理求解即得.
【詳解】若一個五位數的各個數位上的數字之和為3，則這樣的五位數可分為類：
第一類，五位數的各個數位上的數字是個，個組成，
則由首位不為可知，在首位，其余各位為，即，僅有種方法；
第二類，五位數的各個數位上的數字是個，個，個組成，
則由首位不為可知，或在首位，選個放在首位，另個則從其它個位選個位放上，其余各位為，
共有種方法；
第三類，五位數的各個數位上的數字是個，個組成，
則由首位不為可知，在首位，在其它個位中選個位為，其余各位為，共有種方法；
所以由分類計數原理可得共有個這樣的五位數.
故答案為：.
7．（2024·浙江杭州·模擬預測）袋子中有數字“7”的卡片3張和數字“2”，“3”，“5”的卡片各1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成 個不同的四位數（用數字回答）．
【答案】
【分析】分取一張、兩張、三張數字7的卡片進行討論，即可得到答案.
【詳解】如果取一張數字7的卡片，則數字2、3、5的卡片都要取出，則組成個不同的四位數；
如果取兩張數字7的卡片，則數字2、3、5的卡片要取出兩張，則組成個不同的四位數；
如果取三張數字7的卡片，則數字2、3、5的卡片要取出一張，則組成個不同的四位數；
所以最多能組成個不同的四位數.
故答案為：.
8．（23-24高二下·吉林長春·期末）有4人到甲、乙、丙三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數為 .（用數字作答）
【答案】60
【分析】分類討論錄取的人數，結合排列數、組合數運算求解.
【詳解】當人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數為，
當4人全部被錄取，則不同的錄取情況數為，
綜上不同的錄取情況數共有種.
故答案為：60
9．（2024高三·全國·專題練習）用，，，，，這六個數字組成沒有重復的四位偶數，將這些數字從小到大排列起來，第個數是 ．
【答案】
【分析】根據四位數偶數，分千位數字是1，2，3，分別計算得出第71個數.
【詳解】
①千位為，個位為，有個；
②千位為，個位為，有個；
③千位為，個位為，有個；
④千位為，個位為，有個；
⑤千位為，個位為，有個；
⑥千位為，百位為，個位為（或），各有個．共個．
接下來有,,,,，，第個數是．
故答案為：3140.
10．（23-24高三上·山東泰安·階段練習）現有名志愿者報名參加某項暑期公益活動，此項公益活動為期兩天，每天從這人中安排人參加，則恰有人在這兩天都參加的不同安排方式有 種.
【答案】
【分析】根據分步乘法計數原理求解即可；
【詳解】根據分步計數乘法法則，第一天：，第二天：，
則恰有人在這兩天都參加的不同安排方式有：種，
故答案為：180.
1．（2023·全國·統考高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【答案】C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據分步乘法公式則共有種，
故選：C.
2．（2023·全國·統考高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設連續參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，
同理：連續參加了兩天公益活動，也各有種方法，
所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數有種.
故選：B.
3．（2023·全國·統考高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
【答案】64
【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.
【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
4．（北京·高考真題）從0，2中選一個數字．從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數．其中奇數的個數為
A．24 B．18 C．12 D．6
【答案】B
【詳解】由于題目要求的是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況．
5．（全國·高考真題）5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（ ）
A．10種 B．20種 C．25種 D．32種
【答案】D
【分析】由分步乘法原理計算．
【詳解】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.
故選：D
6．（全國·高考真題）甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有
A．36種 B．48種 C．96種 D．192種
【答案】C
【詳解】試題分析：設4門課程分別為1，2，3，4，甲選修2門，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，∴不同的選修方案共有6×4×4=96種，故選C．
考點：分步計數原理
點評：本題需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一種方案，用列舉法找到相應的組合即可．
7．（四川·高考真題）由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是
A．72 B．96 C．108 D．144
【答案】C
【詳解】試題分析：依題意可知個位的選擇有2,4,6三種選法，
第一種情況，5在十位上，此時有種排法；
第二種情況，5在百位上，此時有種排法；
第三種情況，5在千位上，此時有種排法；
第四種情況，5在萬位上，此時有種排法；
第五種情況，5在十萬位上，此時組合數有種排法；
所以由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是36+12+12+12+36=108個．
8．（全國·統考高考真題）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有 種.
【答案】
【分析】根據題意，有且只有2名同學在同一個小區，利用先選后排的思想，結合排列組合和乘法計數原理得解.
【詳解】4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學
先取2名同學看作一組，選法有：
現在可看成是3組同學分配到3個小區，分法有：
根據分步乘法原理，可得不同的安排方法種
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了計數原理的綜合應用，解題關鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.
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