資源簡介

第01講 基本立體圖形、
簡單幾何體的表面積及體積
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第5題,5分 圓柱表面積的有關計算 圓錐表面積的有關計算 錐體體積的有關計算 無
2024年新Ⅱ卷，第7題,5分 錐體體積的有關計算 臺體體積的有關計算 求線面角
2023年新I卷，第12題,5分 正棱錐及圓柱體的相關計算 球體相關計算
2023年新I卷，第14題,5分 臺體體積的有關計算 無
2023年新Ⅱ卷，第9題,5分 圓錐表面積的有關計算 錐體體積的有關計算 二面角的概念及辨析 二面角大小求線段長度或距離
2023年新Ⅱ卷，第14題,5分 正棱臺及其有關計算 錐體體積的有關計算 臺體體積的有關計算 無
2022年新I卷，第4題,5分 臺體體積的有關計算 無
2022年新I卷，第8題,5分 錐體體積的有關計算 球的體積的有關計算 多面體與球體內切外接問題 由導數求函數的最值 (不含參)
2022年新Ⅱ卷，第11題,5分 錐體體積的有關計算 證明線面垂直
2021年新I卷，第3題,5分 圓錐中截面的有關計算 無
2021年新Ⅱ卷，第5題,5分 棱臺的結構特征和分類 臺體體積的有關計算 無
2020年新Ⅱ卷，第13題,5分 錐體體積的有關計算 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低，分值為5-6分
【備考策略】1.了解柱、錐、臺體及簡單組合體的結構特征及其相關性質
2.會運用柱體、錐體、臺體等組合體的表面積和體積的計算公式求解相關問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般給定柱、錐、臺體及簡單組合體，求對應的表面積與體積，需強化復習.
知識講解
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行
側棱 平行且相等 相交于一點但不一定相等 延長線交于一點
側面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 平行、相等且垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圓
側面 展開圖 矩形 扇形 扇環
2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
3.空間幾何體的表面積與體積公式
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝S底·h
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝S底·h
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
考點一、空間幾何體的結構特征
1．以下結論中錯誤的是（ ）
A．經過不共面的四點的球有且僅有一個 B．平行六面體的每個面都是平行四邊形
C．正棱柱的每條側棱均與上下底面垂直 D．棱臺的每條側棱均與上下底面不垂直
2．下列命題：
①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（多選）如圖，我們常見的足球是由若干個正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個多面體，它有60個頂點，每個頂點發出的棱有3條，設其頂點數V，面數F與棱數E，滿足（Euler's formula），據此判斷，關于這個多面體的說法正確的是（ ）
A．共有20個六邊形
B．共有10個五邊形
C．共有90條棱
D．共有32個面
1．下列命題是真命題的是（ ）
A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側面都是等邊三角形
C．經過不共線的三個點的球有且只有一個 D．直棱柱的側面是矩形
2．下面關于空間幾何體敘述正確的有（ ）
A．圓柱的所有母線長都相等 B．底面是正方形的棱錐是正四棱錐
C．一個棱臺最少有5個面 D．用一平面去截圓臺，截面一定是圓面
3．給出下列命題：
①長方體是四棱柱；
②直四棱柱是長方體；
③底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐；
④延長一個棱臺的各條側棱，它們相交于一點．
則正確的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
考點二、柱體的表面積與體積
1．（2024·上海·三模）已知圓柱的底面半徑為3cm，側面積為cm3，則此圓柱的體積為 cm3
2．（全國·高考真題）在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為
A． B． C． D．
3．（江蘇·高考真題）設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側面積相等，且＝，則的值是 ．
1．2．4．（2024·天津·高考真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
1．
1．（上海·高考真題）若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .
2．（2024·山東·二模）已知圓柱的底面半徑為4，側面面積為，則該圓柱的母線長等于 ．
3．（全國·高考真題）正三棱柱側面的一條對角線長為2，且與底面成角，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
4．（全國·高考真題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為
A． B． C． D．
考點三、錐體的表面積與體積
1．（2021·全國·高考真題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為 .
2．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全國·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高考真題）（多選）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
考點四、臺體的表面積與體積
1．（2021·全國·高考真題）正四棱臺的上 下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為 ．
3．（2022·全國·高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為 ．
1．（2024·全國·模擬預測）已知一個高為6的圓錐被平行于底面的平面截去一個高為3的圓錐，所得圓臺的上、下底面圓周均在球的球面上，球的體積為，且球心在該圓臺內，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
3．2．（2024·陜西安康·模擬預測）在正四棱臺中，，若正四棱臺的高為，則其表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F分別為AB，AC的中點，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5
4．（2024·新疆喀什·二模）（多選）如圖圓臺，在軸截面中，，下面說法正確的是（ ）
A．線段
B．該圓臺的表面積為
C．該圓臺的體積為
D．沿著該圓臺的表面，從點到中點的最短距離為5
考點五、組合體的表面積與體積
1．（2024·遼寧大連·一模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結構圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積(單位：)是（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·湖北武漢·二模）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為4，則該幾何體的體積是（ ）

A． B． C． D．
3．（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
1．（2022·河南鄭州·三模）魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結構．這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內部的構造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（ ）
B．
C． D．
2．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于 ，表面積等于 ．
考點六、數學文化之表面積與體積
1．（全國·高考真題）(2015新課標全國I理科)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何 ”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少 ”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
2．（2024·浙江·模擬預測）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運送到全國各地．為了核準糧食的數量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內邊長為25cm，下底也為正方形，內邊長為50cm，斛內高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米 （ ）
A．10500 B．12500 C．31500 D．52500
3．（2024·福建寧德·模擬預測）《綴術》中提出的“緣冪勢既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，其意思是：如果兩個等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個幾何體的體積相等.該原理常應用于計算某些幾何體的體積.如圖，某個西晉越窯臥足杯的上下底為互相平行的圓面，側面為球面的一部分，上底直徑為，下底直徑為6cm，上下底面間的距離為3cm，則該臥足杯側面所在的球面的半徑是 cm；臥足杯的容積是 （杯的厚度忽略不計）
1．（2024·山東菏澤·模擬預測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發展提供了不可多得的實物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風紋罐（如圖）的高約為，把該瓷器看作兩個相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為，下底直徑約為，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川·三模）龍洗，古代中國盥洗用具，狀貌像鼎，用青銅鑄造，因盆內有龍紋而稱之為龍洗，中國傳說中也稱作聚寶盆．其盆體可以近似看作一個圓臺，現有一龍洗盆高，盆口直徑，盆底直徑．現往盆內注水，當水深為時，則盆內水的體積為（ ）（圓臺的體積公式：，其中分別表示圓臺上下底面的面積）
A． B． C． D．
3．（2024高三·河南·專題練習）我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸
考點七、表面積與體積中的最值及范圍問題
1．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）“冪勢既同，則積不容異”，這是“祖暅原理”，可以描述為，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，總被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，在圓錐內部放置一個平行六面體，則該平行六面體的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模擬預測）如圖，已知直三棱柱的體積為4，AC⊥BC，，D為的中點，E為線段AC上的動點（含端點），則平面BDE截直三棱柱所得的截面面積的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
1．（2024·福建泉州·模擬預測）在圓臺中，圓的半徑是2，母線，圓是的外接圓，，，則三棱錐體積最大值為 ．
2．（浙江·高考真題）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 .
1．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·三模）已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東·模擬預測）已知正方體的棱長為為棱的中點，則四面體的體積為（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）某小區花園內現有一個圓臺型的石碑底座，經測量發現該石碑底座上底面圓的半徑為1，且上底面圓直徑的一端點的投影為下底面圓半徑的中點，高為3，則這個圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）如圖，水面高度均為2的圓錐、圓柱容器的底面半徑相等，高均為4（不考慮容器厚度及圓錐容器開口）．現將圓錐容器內的水全部倒入圓柱容器內，則倒入前后圓柱容器內水的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知正三棱臺的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．18
7．（2024·天津北辰·三模）中國載人航天技術發展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百年來，中國人以不同的方式表達著對未知領域的探索與創新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南信陽·三模）如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高一下·吉林·期中）在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（ ）
A．2 B．6 C． D．
10．（2024·江西·二模）如圖，在直三棱柱中，，，點，分別為棱，上的動點（不包括端點），若，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在矩形中，為邊上的點，且，將沿所在直線翻折到的位置，使，則四棱錐的體積為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津·二模）在如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正方形，，，，均與底面垂直，且，點E、F分別為線段、的中點，記該幾何體的體積為，平面將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京西城·二模）楔體形構件在建筑工程上有廣泛的應用．如圖，某楔體形構件可視為一個五面體，其中面為正方形．若，，且與面的距離為，則該楔體形構件的體積為（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·模擬預測）我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為，其中分別是上 下底面的面積，是中截面的面積，為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的長 寬比下底的長 寬各少2米.現在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運，則至少需要運（ ）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）
A．51車 B．52車 C．54車 D．56車
5．（2024·河北保定·三模）如圖，在長方體中，，，是上一點，且，則四棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西·模擬預測）如圖，將邊長為1的正以邊為軸逆時針翻轉弧度得到，其中，構成一個三棱錐．若該三棱錐的外接球半徑不超過，則的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
7．（2024·新疆·二模）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結構是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形，，均為等腰梯形，，，，，到平面的距離為5，與間的距離為10，則這個羨除的體積 ．
8．（2024·青海海西·模擬預測）如圖，在幾何體中，，梯形和梯形為等腰梯形，，若幾何體的體積為，則 ．

9．（2024·重慶·三模）已知棱長為1的正方體內有一個動點M，滿足，且，則四棱錐體積的最小值為 .
10．（2024·山東菏澤·二模）已知在棱長為2的正方體中，挖去一個以上下底面各邊中點為頂點的四棱柱，再挖去一個以左右兩側面各邊中點為頂點的四棱柱，則原正方體剩下部分的體積為 ．
1．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
2．（2023·全國·高考真題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
3．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京·高考真題）某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：

等級 24h降雨量（精確到0.1）
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
5．（2020·海南·高考真題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為
6．（2020·江蘇·高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是 cm3.
7．（2019·天津·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為 .
8．（2019·江蘇·高考真題）如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是 .
9．（2019·全國·高考真題）學生到工廠勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為 .
118．10．（2015·山東·高考真題）直棱柱的底面是邊長為的菱形，側棱長為，那么直棱柱的側面積是 ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第01講 基本立體圖形、
簡單幾何體的表面積及體積
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第5題,5分 圓柱表面積的有關計算 圓錐表面積的有關計算 錐體體積的有關計算 無
2024年新Ⅱ卷，第7題,5分 錐體體積的有關計算 臺體體積的有關計算 求線面角
2023年新I卷，第12題,5分 正棱錐及圓柱體的相關計算 球體相關計算
2023年新I卷，第14題,5分 臺體體積的有關計算 無
2023年新Ⅱ卷，第9題,5分 圓錐表面積的有關計算 錐體體積的有關計算 二面角的概念及辨析 二面角大小求線段長度或距離
2023年新Ⅱ卷，第14題,5分 正棱臺及其有關計算 錐體體積的有關計算 臺體體積的有關計算 無
2022年新I卷，第4題,5分 臺體體積的有關計算 無
2022年新I卷，第8題,5分 錐體體積的有關計算 球的體積的有關計算 多面體與球體內切外接問題 由導數求函數的最值 (不含參)
2022年新Ⅱ卷，第11題,5分 錐體體積的有關計算 證明線面垂直
2021年新I卷，第3題,5分 圓錐中截面的有關計算 無
2021年新Ⅱ卷，第5題,5分 棱臺的結構特征和分類 臺體體積的有關計算 無
2020年新Ⅱ卷，第13題,5分 錐體體積的有關計算 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低，分值為5-6分
【備考策略】1.了解柱、錐、臺體及簡單組合體的結構特征及其相關性質
2.會運用柱體、錐體、臺體等組合體的表面積和體積的計算公式求解相關問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般給定柱、錐、臺體及簡單組合體，求對應的表面積與體積，需強化復習.
知識講解
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行
側棱 平行且相等 相交于一點但不一定相等 延長線交于一點
側面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 平行、相等且垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圓
側面 展開圖 矩形 扇形 扇環
2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
3.空間幾何體的表面積與體積公式
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝S底·h
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝S底·h
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
考點一、空間幾何體的結構特征
1．以下結論中錯誤的是（ ）
A．經過不共面的四點的球有且僅有一個 B．平行六面體的每個面都是平行四邊形
C．正棱柱的每條側棱均與上下底面垂直 D．棱臺的每條側棱均與上下底面不垂直
【答案】D
【分析】由空間幾何體的概念對選項逐一判斷
【詳解】對于A，經過不共面的四點的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個，故A正確，
對于B，平行六面體的每個面都是平行四邊形，故B正確，
對于C，正棱柱的每條側棱均與上下底面垂直，故C正確，
對于D，棱臺的每條側棱延長線交于一點，側棱中有可能與底面垂直，故D錯誤，
故選：D
2．下列命題：
①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】①②③④均可舉出反例.
【詳解】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，
顯然不是棱柱，故①錯誤；
②如圖2，滿足兩側面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；
③如圖3，四邊形為矩形，
即過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；
④所有側面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．
故選：A
3．（多選）如圖，我們常見的足球是由若干個正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個多面體，它有60個頂點，每個頂點發出的棱有3條，設其頂點數V，面數F與棱數E，滿足（Euler's formula），據此判斷，關于這個多面體的說法正確的是（ ）
A．共有20個六邊形
B．共有10個五邊形
C．共有90條棱
D．共有32個面
【答案】ACD
【分析】分別設出正五邊形和正六邊形的個數，利用關系式即可解出正五邊形和正六邊形的數量，以及棱數和面數.
【詳解】解：由題意，
設共有m個正五邊形，n個正六邊形，
解得：.
B錯誤.
∵頂點數：，
解得：，
∴A正確.
面數：.
∴D正確.
棱數：.
C正確.
故選：ACD.
1．下列命題是真命題的是（ ）
A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側面都是等邊三角形
C．經過不共線的三個點的球有且只有一個 D．直棱柱的側面是矩形
【答案】D
【分析】利用空間幾何體的結構，依次分析選項即可得到答案.
【詳解】對于A，兩個四棱錐不一定可以拼成一個四棱柱，A錯誤．
對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯誤．
對于C，經過不共線的三個點只能確定一個平面，經過不共線的三個點的球有無數個，C錯誤．
對于D，直棱柱的側面是矩形，D正確．
故選：D
2．下面關于空間幾何體敘述正確的有（ ）
A．圓柱的所有母線長都相等 B．底面是正方形的棱錐是正四棱錐
C．一個棱臺最少有5個面 D．用一平面去截圓臺，截面一定是圓面
【答案】AC
【分析】根據多面體和旋轉體的定義和特征即可一一判斷.
【詳解】對于A，根據圓柱的定義可知，母線均與圓柱的軸平行，則其長度都相等，故A正確；
對于B，只有底面是正方形，且頂點在底面上的射影為底面正方形的中心時，才是正四棱錐，故B錯誤；
對于C，根據棱臺的定義知，底面邊數至少為3，故棱臺的表面至少有兩個底面和三個側面，即五個平面，故C正確；
對于D，若用一個與圓臺底面不平行的平面截圓臺，則截面將不是圓面，故D錯誤.
故選：AC.
3．給出下列命題：
①長方體是四棱柱；
②直四棱柱是長方體；
③底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐；
④延長一個棱臺的各條側棱，它們相交于一點．
則正確的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】AD
【分析】根據棱柱、棱錐及棱臺的定義判斷即可；
【詳解】解：對于①：長方體滿足有兩個面互相平行且全等，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，故長方體是四棱柱，故①正確；
對于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，則這樣的直四棱柱不是長方體，故②錯誤；
對于③：如果棱錐的底面是正多邊形，但頂點在底面的射影不是底面的中心，這樣的棱錐不是正棱錐，故③錯誤；
對于④：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面與底面之間的部分為棱臺，故延長一個棱臺的各條側棱，它們必相交于一點，故④正確；
故選：AD
考點二、柱體的表面積與體積
1．（2024·上海·三模）已知圓柱的底面半徑為3cm，側面積為cm3，則此圓柱的體積為 cm3
【答案】
【分析】先根據已知條件求出圓柱的高，再利用圓柱的體積公式可求得結果.
【詳解】設圓柱的高為，則，得，
所以此圓柱的體積為，
故答案為：
2．（全國·高考真題）在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先畫出長方體，利用題中條件，得到，根據，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.
【詳解】在長方體中，連接，

根據線面角的定義可知，
因為，所以，從而求得，
所以該長方體的體積為，故選C.
【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從而求得結果.
3．（江蘇·高考真題）設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側面積相等，且＝，則的值是 ．
【答案】
【詳解】試題分析：設兩個圓柱的底面半徑分別為R，r；高分別為H，h；∵，∴，它們的側面積相等，∴，∴．故答案為．
考點：1．棱柱、棱錐、棱臺的體積；2．旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．
4．（2024·天津·高考真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用補形法，補成一個棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.
【詳解】用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應）與該五面體相嵌，使得；;重合，
因為，且兩兩之間距離為1．，
則形成的新組合體為一個三棱柱，
該三棱柱的直截面（與側棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側棱長為，
.
故選：C.
1．（上海·高考真題）若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .
【答案】4
【詳解】試題分析：棱柱的底面積為
考點：棱柱體積
2．（2024·山東·二模）已知圓柱的底面半徑為4，側面面積為，則該圓柱的母線長等于 ．
【答案】2
【分析】根據圓柱的側面積公式求解即可.
【詳解】由題意可知圓柱的底面周長，
所以根據圓柱的側面面積公式可知，該圓柱的母線長，
故答案為：
3．（全國·高考真題）正三棱柱側面的一條對角線長為2，且與底面成角，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合已知條件，求出正三棱柱底面邊長和高，然后利用柱體體積公式求解即可.
【詳解】因為正三棱柱側面的一條對角線長為2，且與底面成角，
所以正三棱柱的側面為正方形，且這個正方形的邊長為，
即正三棱柱的底面邊長為，高，
故正三棱柱的底面面積，
從而正三棱柱的體積為.
故選：A.
4．（全國·高考真題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】分析：首先根據正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.
詳解：根據題意，可得截面是邊長為的正方形，
結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，
所以其表面積為，故選B.
點睛：該題考查的是有關圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側面積的和.
考點三、錐體的表面積與體積
1．（2021·全國·高考真題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為 .
【答案】
【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側面積公式求出答案.
【詳解】∵
∴
∴
∴.
故答案為：.
2．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.
【詳解】取中點，連接，如圖，
是邊長為2的等邊三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以，
故選：A
3．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數量積運算與余弦定理得到關于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結交于，連結，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結交于，連結，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，
在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因為，所以，
即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
4．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.
【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因為平面，平面，所以平面平面.
又因為平面平面，，平面，所以平面，且.
在中，因為，所以，所以，
在中，因為，所以，
所以.
故選：B
1．（2024·全國·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設圓柱的底面半徑為，根據圓錐和圓柱的側面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，
而它們的側面積相等，所以即，
故，故圓錐的體積為.
故選：B.
2．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.
【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，
，，由的面積為，得，
解得，于是，
所以圓錐的體積.
故選：B
3．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，
則，
所以，
又，
則，
所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以.
故選：C.
4．（2022·全國·高考真題）（多選）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】直接由體積公式計算，連接交于點，連接，由計算出，依次判斷選項即可.
【詳解】
設，因為平面，，則，
，連接交于點，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.
故選：CD.
考點四、臺體的表面積與體積
1．（2021·全國·高考真題）正四棱臺的上 下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.
【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，
因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，
所以該棱臺的高，
下底面面積，上底面面積，
所以該棱臺的體積.
故選：D.
2．（2023·全國·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為 ．
【答案】/
【分析】結合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，

因為，
則，
故，則，
所以所求體積為.
故答案為：.
3．（2022·全國·高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．
【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．
棱臺上底面積，下底面積，
∴
．
故選：C．
4．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為 ．
【答案】
【分析】先根據已知條件和圓臺結構特征分別求出兩圓臺的高，再根據圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.
【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為，
，
所以.
故答案為：.
1．（2024·全國·模擬預測）已知一個高為6的圓錐被平行于底面的平面截去一個高為3的圓錐，所得圓臺的上、下底面圓周均在球的球面上，球的體積為，且球心在該圓臺內，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設圓錐的底面半徑為，球心到圓臺上底面的距離為，由球的體積可得半徑為，結合圓臺的結構特征列式解得，進而可求得表面積.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，依題意得該圓臺的上底面半徑為，且圓臺的高為3．
設球心到圓臺上底面的距離為，球的半徑為，
由球的體積為，解得，
因為點在該圓臺內，則， 解得，
可得該圓臺的母線長，
所以圓臺的表面積為．
故選：B.
2．（2024·陜西安康·模擬預測）在正四棱臺中，，若正四棱臺的高為，則其表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，則，連接，交于點，連接交于點，連接，即可得到為正四棱臺的高，由勾股定理求出，再求出斜高，最后由表面積公式計算可得.
【詳解】設，則，
如圖，連接，交于點，連接交于點，連接，
由正四棱臺的幾何性質可知分別是上 下底面的中心，
所以平面平面，所以為正四棱臺的高，
所以由題可知，過點作交于點，
則，即，解得，
過點作交于點，則為斜高，此時，
所以正四棱臺的表面積為.
故選：D.
3．（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F分別為AB，AC的中點，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5
【答案】D
【分析】根據割補法結合棱臺的體積公式，即可求得答案.
【詳解】設三棱柱的高為h，上下底面面積均為S，體積為V，
則，
因為E，F分別為AB，AC的中點，故,
結合題意可知幾何體為棱臺，
則，
故,故，
故選：D
4．（2024·新疆喀什·二模）（多選）如圖圓臺，在軸截面中，，下面說法正確的是（ ）
A．線段
B．該圓臺的表面積為
C．該圓臺的體積為
D．沿著該圓臺的表面，從點到中點的最短距離為5
【答案】ABD
【分析】在等腰梯形中求出判斷A；利用圓臺表面積公式、體積公式計算判斷BC；利用側面展開圖計算判斷D.
【詳解】顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺的高
對于A，在等腰梯形中，，A正確；
對于B，圓臺的表面積，B正確；
對于C，圓臺的體積，C錯誤；
對于D，將圓臺一半側面展開，如下圖中扇環且為中點，
而圓臺對應的圓錐半側面展開為且，又，
在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，
所以C到AD中點的最短距離為5cm，D正確.

故選：ABD
考點五、組合體的表面積與體積
1．（2024·遼寧大連·一模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結構圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積(單位：)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意先求圓錐的母線長，結合圓柱和圓錐的側面積公式分析求解.
【詳解】由題意可知：圓錐的母線長為，
所以這個陀螺的表面積是.
故選：C.
2．（2024·湖北武漢·二模）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為4，則該幾何體的體積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出圓錐的底面半徑，根據圓錐以及圓柱的體積公式，即可求得答案.
【詳解】設圓錐的底面半徑為r，則，高為，
故圓錐的體積為，
圓柱的底面半徑也為，母線長也即高為4，
則圓柱的體積為，
故幾何體的體積為，
故選：C
3．（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結合幾何體體積公式即可得組合體的體積.
【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，
因為，所以，
因為重疊后的底面為正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，則,
由可得平面，
設重疊后的EG與交點為
則
則該幾何體的體積為.
故選：D.
1．（2022·河南鄭州·三模）魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結構．這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內部的構造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出正八邊形的面積，再由該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的面積和計算表面積即可.
【詳解】
由圖可知：該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的面積和，如圖為正八邊形的平面圖，易得，作，垂足為，則，則八邊形的面積為，則該魯班鎖玩具的表面積為.
故選：A.
2．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于 ，表面積等于 ．
【答案】 6 22
【分析】根據，，均垂直于平面，所以，在上取，連接，從而根據線線平行可得故為三棱柱，為三棱柱，根據柱體體積公式即可得該六面體的體積，根據幾何體外表面的線線關系結合勾股定理、余弦定理、三角形面積公式、梯形面積公式、正方形面積公式，即可得幾何體的表面積.
【詳解】如圖，在上取，連接，
因為，，均垂直于平面，所以，
則，因為正方形，所以，
又平面，所以平面，
由可得四邊形為平行四邊形，所以，
因為面為正方形，則，所以，
則四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因為平面平面，則，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
故為三棱柱，為三棱柱，
則該六面體的體積；
如圖，連接，
又，，
所以，
則在四邊形中，由余弦定理得，
所以，則，
該六面體的表面積
.
故答案為：；.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定六面體的線線關系.關于求幾何體的體積，要注意分割與補形．將不規則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規則的幾何體求解．
考點六、數學文化之表面積與體積
1．（全國·高考真題）(2015新課標全國I理科)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何 ”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少 ”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
【答案】B
【詳解】試題分析：設圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.
考點：圓錐的性質與圓錐的體積公式
2．（2024·浙江·模擬預測）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運送到全國各地．為了核準糧食的數量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內邊長為25cm，下底也為正方形，內邊長為50cm，斛內高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米 （ ）
A．10500 B．12500 C．31500 D．52500
【答案】A
【分析】利用棱臺的體積公式,即可計算得出答案．
【詳解】一斛米的體積為，
因為五斗為一斛，所以一斗米的體積為，
故選：A.
3．（2024·福建寧德·模擬預測）《綴術》中提出的“緣冪勢既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，其意思是：如果兩個等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個幾何體的體積相等.該原理常應用于計算某些幾何體的體積.如圖，某個西晉越窯臥足杯的上下底為互相平行的圓面，側面為球面的一部分，上底直徑為，下底直徑為6cm，上下底面間的距離為3cm，則該臥足杯側面所在的球面的半徑是 cm；臥足杯的容積是 （杯的厚度忽略不計）
【答案】
【分析】設球體的半徑為，，得到，解出，求出球體半徑；由祖暅原理知，碗的體積等于下圖右邊中間高為的圓柱體積減去一個圓臺，分別求出圓柱和圓臺的容積，作差即可求解.
【詳解】如下圖：設球體的半徑為，，由，
得，解得，所以；
作一個高與球的半徑相等，底面半徑也與球的半徑相等的圓柱，可得過的兩截面的面積相等，
由祖暅原理知，碗的體積等于下圖右邊中間高為的圓柱體積減去一個圓臺，
設圓臺上表面半徑為，則，
下表面半徑為，所以，
， .
.故答案為：；.
1．（2024·山東菏澤·模擬預測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發展提供了不可多得的實物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風紋罐（如圖）的高約為，把該瓷器看作兩個相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為，下底直徑約為，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據圓臺體積公式求解.
【詳解】根據題意，.
故選：B
2．（2024·四川·三模）龍洗，古代中國盥洗用具，狀貌像鼎，用青銅鑄造，因盆內有龍紋而稱之為龍洗，中國傳說中也稱作聚寶盆．其盆體可以近似看作一個圓臺，現有一龍洗盆高，盆口直徑，盆底直徑．現往盆內注水，當水深為時，則盆內水的體積為（ ）（圓臺的體積公式：，其中分別表示圓臺上下底面的面積）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出有水部分的高，根據圓臺的體積公式，即可求得答案.
【詳解】由題意可知，該龍洗盆的軸截面圖如圖：
龍洗盆上底半徑為12cm，下底半徑為6cm，
當水深為4cm時，占盆高的，此時水面的半徑為cm，
則盆內水的體積，
故選：B
3．（2024高三·河南·專題練習）我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸
【答案】C
【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.
【詳解】
如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，
因為積水深9寸，所以水面半徑為寸，
則盆中水的體積為立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故選：C.
考點七、表面積與體積中的最值及范圍問題
1．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導數法
設正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當時，，當時，，
所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當且僅當取到，
當時，得，則
當時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
2．（2024·全國·模擬預測）“冪勢既同，則積不容異”，這是“祖暅原理”，可以描述為，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，總被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，在圓錐內部放置一個平行六面體，則該平行六面體的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據祖暅原理知，圓錐內接斜平行六面體的體積與直平行六面體的體積相同，所以圓錐內接斜平行六面體的體積的最大值為圓錐內接正四棱柱的體積的最大值，求解即可.
【詳解】根據祖暅原理知，圓錐內接斜平行六面體的體積與直平行六面體的體積相同．
當底面為正方形時，平行六面體的底面面積最大，
所以圓錐內接斜平行六面體的體積的最大值為圓錐內接正四棱柱的體積的最大值，
如圖（1），設正四棱柱的底面邊長為x，高為y，
作出圓錐的軸截面，如圖（2），

由圖可知，，，，．
易知，，
所以，而，則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用祖暅原理將問題轉化為求圓錐的內接正四棱柱的體積，從而得解.
3．（2024·河南·模擬預測）如圖，已知直三棱柱的體積為4，AC⊥BC，，D為的中點，E為線段AC上的動點（含端點），則平面BDE截直三棱柱所得的截面面積的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過作，交于，連接，取的中點，連接，可得平面BDE截直三棱柱所得的截面為梯形，根據邊長關系求出梯形的面積即可得到答案.
【詳解】直三棱柱的體積為4，AC⊥BC，，所以，解得，
過作，交于，連接，取的中點，連接，

設，
①當時，平面BDE截直三棱柱所得的截面為正方形，面積為，
②當時，因為，，所以四邊形為平行四邊形，則，，
因為，分別為，的中點，所以，，
因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，且
則，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面為梯形
在中，，，，則，
在中，，，，則，
在中，，，，則，則
過作垂足為，過作垂足為，所得平面圖形如下;

則，，，，
設，則
所以，，因為，
化簡可得：，則，
所以，
因為當，所以，則，
綜上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面積的范圍為
故選：A
【點睛】方法點睛：立體幾何中找截面的步驟一般分為三步：
第一步，找截點：
方式1：延長截小面上一條直線，與幾何體的棱、面（或其延長部分）相交，交點即截點；
方式2：過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體棱于截點；
第二步，連截線：將各截點收尾相連，圍成截面；
第三步，圍截面：連接同一平面內的兩個截點，形成截線.
1．（2024·福建泉州·模擬預測）在圓臺中，圓的半徑是2，母線，圓是的外接圓，，，則三棱錐體積最大值為 ．
【答案】/
【分析】先求出圓的半徑，再求圓臺的高，列出三棱錐體積表示式，由余弦定理和基本不等式推出， 即得體積最大值.
【詳解】

如圖，設圓，的半徑分別為，，則由正弦定理，，解得，
設圓臺的高為，則，
在中，取，由余弦定理，，
即得，即得，當且僅當時取等號.
因三棱錐的體積為，
即時，三棱錐的體積的最大值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查與圓臺有關的三棱錐的體積最值問題，屬于難題.
解題關鍵在于，弄清圓臺與三棱錐的關系，分析三棱錐的體積關系式中，哪些為定值，需要選設怎樣的變量表示，考慮運用二次函數，還是基本不等式，雙勾函數還是求導方法求得體積最值.
2．（浙江·高考真題）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 .
【答案】
【詳解】中，因為，
所以.
由余弦定理可得
，
所以.
設，則，.
在中，由余弦定理可得
.
故.
在中，，.
由余弦定理可得，
所以.
過作直線的垂線，垂足為.設
則，
即，
解得.
而的面積.
設與平面所成角為，則點到平面的距離.
故四面體的體積
.
設，因為，所以.
則.
（1）當時，有，
故.
此時，
.
，因為，
所以，函數在上單調遞減，故.
（2）當時，有，
故.
此時，
.
由（1）可知，函數在單調遞減，故.
綜上，四面體的體積的最大值為.
1．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，求得圓錐底面圓的半徑，結合圓錐的側面積公式，即可求解.
【詳解】圓錐的母線長為2，母線與底面所成角為，所以底面圓的半徑為，
所以該圓錐的側面積為.
故選：C
2．（2024·河南·三模）已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據半徑求底面周長，由弧長公式可得母線長，然后可得側面積.
【詳解】因為底面半徑，所以底面周長，
又圓錐母線長，所以圓錐側面積．
故選：A．
3．（2024·山東·模擬預測）已知正方體的棱長為為棱的中點，則四面體的體積為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】設與交于點，證得平面，得到，且，在對角面中，結合，即可求解.
【詳解】設與交于點，在正方形中，，
又由正方體中，平面，
因為平面，可得，
又因為且平面，所以平面，
所以四面體的體積為，且，
在對角面中，可得，
所以四面體的體積為．
故選：A.
4．（2024·全國·模擬預測）某小區花園內現有一個圓臺型的石碑底座，經測量發現該石碑底座上底面圓的半徑為1，且上底面圓直徑的一端點的投影為下底面圓半徑的中點，高為3，則這個圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可得圓臺上下底面的半徑以及圓臺的高，代入圓臺體積公式即可得解.
【詳解】如圖，設圓臺上 下底面圓心分別為為點在底面的投影點，上 下底面圓的半徑分別為，，
由題意得，設上底面圓的面積與下底面圓的面積分別為，
所以該圓臺容器的容積，
故選：C.
5．（2024·全國·模擬預測）如圖，水面高度均為2的圓錐、圓柱容器的底面半徑相等，高均為4（不考慮容器厚度及圓錐容器開口）．現將圓錐容器內的水全部倒入圓柱容器內，則倒入前后圓柱容器內水的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設出底面半徑，分別表示出圓錐和圓柱內水的體積再求解即可.
【詳解】設圓錐容器的底面半徑為，
倒入前圓錐和圓柱容器中水的體積分別為，
則,
，
所以．
故選：D.
6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知正三棱臺的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．18
【答案】A
【分析】由上下底面的面積可求出上下底面邊長，構造直角三角形結合棱臺的高求出側面梯形的高，求出側面積后得表面積.
【詳解】由面積公式可得正三棱臺上下底面邊長分別為和，
設在底面內的射影為，作于，
平面，平面，則有，
又，，平面，所以平面，
平面，所以，
由，，，則，
又，所以，則，
故三棱臺的側面積為，表面積為.
故選：A.
7．（2024·天津北辰·三模）中國載人航天技術發展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百年來，中國人以不同的方式表達著對未知領域的探索與創新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合軸截面分析可知，，再利用圓柱以及圓臺的體積公式運算求解.
【詳解】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺，
取軸截面，如圖所示，分別為的中點，
可知：∥∥，且，
可得，即，
所以該容器中液體的體積為.
故選：A.
8．（2024·河南信陽·三模）如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，設所求角并表示出，利用繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，求得關系式，即可得答案.
【詳解】
設，則，
令大圓錐的體積為，圓錐和圓錐的體積分別為，
，，
由題意可得：，解得，
故選：B
9．（23-24高一下·吉林·期中）在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根據面面垂直可得線面垂直，結合等腰三角形可知四面體的高，進而可得體積.
【詳解】如圖所示，
取的中點，連接，
因為，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
因為，，所以，
又，
所以四面體的體積，
故選：C.
10．（2024·江西·二模）如圖，在直三棱柱中，，，點，分別為棱，上的動點（不包括端點），若，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得為三棱錐的高，設，，由 表示出錐體的體積，再結合二次函數的性質求解即可．
【詳解】在直三棱柱中，平面，
故為三棱錐的高，
設，，則，
由，得，故，
則，
故，
故當時，三棱錐的體積有最大值．
故選：D．
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在矩形中，為邊上的點，且，將沿所在直線翻折到的位置，使，則四棱錐的體積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據翻折不變性，勾股定理及線面垂直的判定定理推出平面，由棱錐的體積公式即可得解．
【詳解】如圖，過作，垂足為，連接，由翻折不變性可知：，，
在中，，且，
所以，
所以在中，，所以．
又因為，平面，平面，所以平面，
則四棱錐的體積．
故選：A．
2．（2024·天津·二模）在如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正方形，，，，均與底面垂直，且，點E、F分別為線段、的中點，記該幾何體的體積為，平面將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求幾何體的體積，再求被截較小部分的體積即可.
【詳解】由題意可知，如圖所示，，
所以平面即為平面截幾何體的截面.
因為，,
所以幾何體的體積,
被截棱臺的體積
,
較大部分體積為,
且,
所以較小部分的體積為.
故選：D.
3．（2024·北京西城·二模）楔體形構件在建筑工程上有廣泛的應用．如圖，某楔體形構件可視為一個五面體，其中面為正方形．若，，且與面的距離為，則該楔體形構件的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，分別為，的中點，連接，，，由，，，可知為三棱柱，再利用椎體與柱體的體積關系計算該幾何體的體積．
【詳解】如圖所示，

設，分別為，的中點，連接，，，
因為面為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以 ，
因為，分別為，的中點，，，
所以，則為平行四邊形，則，
同理，又，所以為三棱柱，
由題意，可得；
又；
所以該多面體的體積為．
故選：C．
4．（2024·四川成都·模擬預測）我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為，其中分別是上 下底面的面積，是中截面的面積，為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的長 寬比下底的長 寬各少2米.現在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運，則至少需要運（ ）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）
A．51車 B．52車 C．54車 D．56車
【答案】B
【分析】由圖形直接解出上下底面及中截面面積，再由解出擬柱體的體積，最后結合實際求出需要的卡車數量即可.
【詳解】由條件可知：上底長為米，寬為米；中截面長米，寬米；
則上底面積平方米，中截面積平方米，
下底面積平方米，
所以該建筑材料的體積為(立方米)，
所以建筑材料重約（噸），
需要的卡車次為，所以至少需要運車.
故選：B
5．（2024·河北保定·三模）如圖，在長方體中，，，是上一點，且，則四棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通過證明平面得到，則可確定點在上的位置，進而得到點到平面的距離，然后用棱錐的體積公式計算即可.
【詳解】在長方體中，平面，又平面，
所以，又，，面，
所以平面，又面，
所以，
由，，，
得，所以，又，
所以，
則點到平面的距離，
故四棱錐的體積.
故選：A.
6．（2024·江西·模擬預測）如圖，將邊長為1的正以邊為軸逆時針翻轉弧度得到，其中，構成一個三棱錐．若該三棱錐的外接球半徑不超過，則的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作輔助線，則即為三棱錐的外接球球心，翻折的角即為的大小，設，結合題意分析可知，結合題意分析求解即可.
【詳解】取線段的中點，線段上靠近點的三等分點，的中點，
連接，則為正的外心，，可知為線段的中垂線，
在平面內過作的垂線交于，連接，

則即為三棱錐的外接球球心，翻折的角即為的大小．
設，則，，，，，
可得，
化簡得，
又因為，即，解得，
結合，可得，則，所以．
故選：C．
【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法
1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解；
2.利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解．
二、填空題
7．（2024·新疆·二模）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結構是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形，，均為等腰梯形，，，，，到平面的距離為5，與間的距離為10，則這個羨除的體積 ．
【答案】200
【分析】先連線再根據棱錐體積公式計算組合體體積即可.
【詳解】
連接
.
故答案為：200.
8．（2024·青海海西·模擬預測）如圖，在幾何體中，，梯形和梯形為等腰梯形，，若幾何體的體積為，則 ．

【答案】
【分析】取的中點，連接，得到四邊形為平行四邊形，進而證得三棱錐為正三棱錐，設，結合錐體與柱體的體積公式，列出方程，即可求解.
【詳解】如圖所示，取的中點，連接，
由，可得四邊形為平行四邊形，
可得，又由，可得，
可得為等邊三角形，三棱錐為正三棱錐，
設，如圖，過點作平面，連接，
可得，，
，
又由，可得三棱柱的體積是三棱錐體積的3倍，
可得，解得．
故答案為：.

9．（2024·重慶·三模）已知棱長為1的正方體內有一個動點M，滿足，且，則四棱錐體積的最小值為 .
【答案】
【分析】利用正方體的空間垂直關系去證明平面內的點都滿足，再去證明動點M在以為圓心，以為半徑的圓上，從而利用點M在圓上的性質去解決最值問題.
【詳解】解：如圖所示，設，
由正方體性質可知平面，
由于平面，，又因為線段的中點，
所以，
即點在平面內，
又因為，所以與點在以點為球心，1為半徑的球面上，
又因為平面，
到平面的距離為的一半，由正方體的邊長為1，則，
又，，
在平面內，且以H為圓心，為半徑的半圓弧上，
到平面的距離的最小值為，
四棱錐體積的最小值為
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：借助空間關系可知到線段兩端點距離相等的點M在線段的中垂面上，又由到定點距離為1的點M又在球面上，從而得到點M的軌跡是中垂面截平面的小圓.
10．（2024·山東菏澤·二模）已知在棱長為2的正方體中，挖去一個以上下底面各邊中點為頂點的四棱柱，再挖去一個以左右兩側面各邊中點為頂點的四棱柱，則原正方體剩下部分的體積為 ．
【答案】
【分析】結合圖形可知兩個挖去的四棱柱重合部分為兩個正四棱錐的組合體，分別求得兩個四棱柱的體積，再求得正四棱錐的體積，得到挖去部分的體積，即可求得結果．
【詳解】如圖：
，
可知四棱錐為正四棱錐，
四邊形為邊長為2的正方形，棱錐的高為1，
可知兩個挖去的四棱柱重合部分為兩個正四棱錐的組合體，
四棱柱的底面是邊長為的正方形，
則，
同理可得，
，
則挖去部分的體積為，
可得原正方體剩下部分的體積為．
故答案為：.
【點睛】本題考查組合體的體積的求法，棱柱，棱錐的體積公式的應用.
1．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
【答案】 23 57.5/
【分析】根據體積為公比為10的等比數列可得關于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.
【詳解】設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，
故，.
故答案為：.
2．（2023·全國·高考真題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
【答案】ABD
【分析】根據題意結合正方體的性質逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，
所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；
對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，
所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；
對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，
所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；
對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，
如圖，過的中點作，設，
可知，則，
即，解得，
且，即，
故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，
若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，
可知：，則，
即，解得，
根據對稱性可知圓柱的高為，
所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；
故選：ABD.
3．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結果.
【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點，
設圓錐和圓錐的高之比為，即，
設球的半徑為，則，可得，所以，，
所以，，，
，則，所以，，
又因為，所以，，
所以，，，
因此，這兩個圓錐的體積之和為.
故選：B.
4．（2021·北京·高考真題）某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：

等級 24h降雨量（精確到0.1）
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.
【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，
所以積水厚度，屬于中雨.
故選：B.
5．（2020·海南·高考真題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為
【答案】
【分析】利用計算即可.
【詳解】
因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點
所以
故答案為：
【點睛】在求解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當成頂點好計算一些.
6．（2020·江蘇·高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是 cm3.
【答案】
【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結果.
【詳解】正六棱柱體積為
圓柱體積為
所求幾何體體積為
故答案為：
【點睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
7．（2019·天津·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為 .
【答案】.
【分析】根據棱錐的結構特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑．
【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，圓柱的底面半徑為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．
【點睛】本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎題.
8．（2019·江蘇·高考真題）如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是 .
【答案】10.
【分析】由題意結合幾何體的特征和所給幾何體的性質可得三棱錐的體積.
【詳解】因為長方體的體積為120，
所以，
因為為的中點，
所以，
由長方體的性質知底面，
所以是三棱錐的底面上的高，
所以三棱錐的體積.
【點睛】本題蘊含“整體和局部”的對立統一規律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.
9．（2019·全國·高考真題）學生到工廠勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為 .
【答案】118．8
【分析】根據題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型的質量.
【詳解】由題意得， ，
四棱錐O EFG的高3cm， ∴．
又長方體的體積為，
所以該模型體積為，
其質量為．
【點睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯系幾何體的體積和質量關系，從而利用公式求解．
10．（2015·山東·高考真題）直棱柱的底面是邊長為的菱形，側棱長為，那么直棱柱的側面積是 ．
【答案】
【分析】直棱柱的四個側面都是長為，寬為的矩形，依此計算側面積即可.
【詳解】直棱柱的四個側面都是長為，寬為的矩形，該直棱柱的側面積為四個矩形面積之和，
所以直棱柱的側面積是.
故答案為：.
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