資源簡(jiǎn)介

第01講 任意角和弧度制、三角函數(shù)
的概念與誘導(dǎo)公式
（6類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第4題,5分 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值
2024年新I卷，第13題,5分 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值
2023年新I卷，第6題,5分 三角函數(shù)求值 余弦定理解三角形、已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)、切線長(zhǎng)問(wèn)題
2023年新Ⅱ卷，第16題,5分 特殊角的三角函數(shù)值 由圖象確定正(余)弦型函數(shù)解析式
2021年新I卷，第6題,5分 正、余弦齊次式的計(jì)算 三角函數(shù)求值 二倍角的正弦公式
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-11分
【備考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化
2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，并能利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)問(wèn)題
3..理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系+商數(shù)關(guān)系），夠利用公式化簡(jiǎn)求值
4.能借助單位圓的對(duì)稱性利用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，能夠運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決相關(guān)問(wèn)題
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值或特殊角求三角函數(shù)值，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考
知識(shí)講解
角的定義
平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的的圖形叫做角；射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫做角的終邊
角的分類
按照角終邊的位置可分為（象限角和軸線角）
按照選擇方向可分為（正角（逆時(shí)針選擇）、負(fù)角（順時(shí)針選擇）和零角（不旋轉(zhuǎn)））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
軸線角
終邊落在軸正半軸上：，
終邊落在軸負(fù)半軸上：，
終邊落在軸正半軸上：，
終邊落在軸負(fù)半軸上：，
終邊落在軸上：，，終邊落在軸上：，
終邊落在坐標(biāo)軸上：，，終邊落在上：，
終邊落在上：，或：，
β，α終邊相同 β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α終邊關(guān)于x軸對(duì)稱 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α終邊關(guān)于y軸對(duì)稱 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.　
終邊相同的角
與終邊相同的角的集合為：，
角度與弧度的關(guān)系
，
扇形的弧長(zhǎng)、周長(zhǎng)及面積公式
角度制 弧度制
弧長(zhǎng)公式
面積公式
周長(zhǎng)公式
是扇形的半徑，是圓心角的度數(shù) 是扇形的半徑，是圓心角弧度數(shù)，是弧長(zhǎng)
三角函數(shù)的定義
，正弦線：
，余弦線：
，正切線：
三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)
三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函數(shù)值
度
弧度 0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 不存在 0 不存在 0
兩角互余的三角函數(shù)關(guān)系
互余，，
已知，則：
兩角互補(bǔ)的三角函數(shù)關(guān)系
互補(bǔ)，，，
已知，則：，
常見(jiàn)三角不等式
若，則；
若，則.
.
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
平方關(guān)系：
商數(shù)關(guān)系：
推導(dǎo)公式：
誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)類型
或，，
或，，
或，，
誘導(dǎo)方法：奇變偶不變，符號(hào)看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若為奇數(shù)，變函數(shù)名；，
若為偶數(shù)，不變函數(shù)名；，，
象限指的是原函數(shù)名的象限，再判斷符號(hào)
規(guī)定：無(wú)論角多大，看作第一象限角（銳角）
誘導(dǎo)公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考點(diǎn)一、扇形的弧長(zhǎng)及面積計(jì)算
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面面積是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
2．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長(zhǎng)為1，則萊洛三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國(guó)·高考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）“會(huì)圓術(shù)”是我國(guó)古代計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的方法，它是我國(guó)古代科技史上的杰作，如圖所示是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點(diǎn)，在上，，則的弧長(zhǎng)的近似值的計(jì)算公式：.利用上述公式解決如下問(wèn)題：現(xiàn)有一自動(dòng)傘在空中受人的體重影響，自然緩慢下降，傘面與人體恰好可以抽象成傘面的曲線在以人體為圓心的圓上的一段圓弧，若傘打開(kāi)后繩長(zhǎng)為6米，該圓弧所對(duì)的圓心角為，則傘的弧長(zhǎng)大約為（ ）
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米
3．（2024·山東濰坊·三模）如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點(diǎn)，切點(diǎn)處有一個(gè)標(biāo)志，該圓沿軸向右滾動(dòng)，當(dāng)圓滾動(dòng)到與出發(fā)位置時(shí)的圓相外切時(shí)(記此時(shí)圓心為)，標(biāo)志位于點(diǎn)處，圓與軸相切于點(diǎn)，則陰影部分的面積是（ ）

A．2 B．1 C． D．
考點(diǎn)二、定義法求三角函數(shù)值
1．（全國(guó)·高考真題）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=
A． B． C． D．
2．（全國(guó)·高考真題）已知α是第四象限角，cos α＝，則sin α等于（ ）
A． B．－
C． D．－
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸．若是角終邊上一點(diǎn)，且，則 ．
1．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知，且為第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江金華·三模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.若為角終邊上的一點(diǎn)，則 ．
考點(diǎn)三、三角函數(shù)值的大小比較
1．（北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段弧（如圖），點(diǎn)P在其中一段上，角以為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是
A． B．
C． D．
2．（2023·貴州遵義·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（新疆喀什·期末）如果，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
2．（22-23高一下·北京延慶·期中）設(shè)，，，則
A． B． C． D．
3．（21-22高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之平方關(guān)系
1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（2023·全國(guó)·高考真題）若，則 ．
4．（2020·全國(guó)·高考真題）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·新疆·三模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)五、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之商數(shù)關(guān)系（含弦切互化）
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全國(guó)·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國(guó)·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A． B．7 C． D．
3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知為第一象限角，則（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
考點(diǎn)六、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
1．（2024·四川自貢·三模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一上·北京·期末）已知，且，化簡(jiǎn)并求的值.
4．（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·遼寧·三模）已知，則（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（22-23高一下·甘肅天水·期末）化簡(jiǎn)
4．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知．
(1)求的值；
(2)已知，求.
1．（2024·上海奉賢·三模）在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分永件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
2．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）集合中的最大負(fù)角為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計(jì)算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計(jì)算弧田面積是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·廣東·一模）為解決皮尺長(zhǎng)度不夠的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來(lái)測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測(cè)，在前進(jìn)過(guò)程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（ ）（參考數(shù)值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
6．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．2
7．（2024·廣東茂名·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為 .
10．（22-23高一下·黑龍江齊齊哈爾·開(kāi)學(xué)考試）已知，，
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若為第三象限角，且，求的值.
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·山東濟(jì)南·三模）若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（）
A． B． C． D．
5．（2024·河北·三模）已知點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來(lái)，明清時(shí)代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個(gè)梅花磚雕，其正面是一個(gè)扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對(duì)的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（ ）

A． B． C． D．
7．（2024·江西·二模）已知，求（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）（多選）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則角的集合是
B．若，則
C．若，則
D．若扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則此扇形的半徑是
9．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則 ．
10．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長(zhǎng)度為 百米.
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若，則的最大值為 ．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
4．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說(shuō)明p為假命題的一組的值為 ， ．
5．（2022·浙江·高考真題）若，則 ， ．
6．（2021·北京·高考真題）若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為 ．
7．（2020·全國(guó)·高考真題）若α為第四象限角，則（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
8．（2020·全國(guó)·高考真題）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·浙江·高考真題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：） 為2π，且它的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：）是 ．
10．（2020·北京·高考真題）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（ Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（ ）．
A． B．
C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第01講 任意角和弧度制、三角函數(shù)
的概念與誘導(dǎo)公式
（6類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第4題,5分 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值
2024年新I卷，第13題,5分 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值
2023年新I卷，第6題,5分 三角函數(shù)求值 余弦定理解三角形、已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)、切線長(zhǎng)問(wèn)題
2023年新Ⅱ卷，第16題,5分 特殊角的三角函數(shù)值 由圖象確定正(余)弦型函數(shù)解析式
2021年新I卷，第6題,5分 正、余弦齊次式的計(jì)算 三角函數(shù)求值 二倍角的正弦公式
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-11分
【備考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化
2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，并能利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)問(wèn)題
3..理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系+商數(shù)關(guān)系），夠利用公式化簡(jiǎn)求值
4.能借助單位圓的對(duì)稱性利用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，能夠運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決相關(guān)問(wèn)題
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值或特殊角求三角函數(shù)值，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考
知識(shí)講解
角的定義
平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的的圖形叫做角；射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫做角的終邊
角的分類
按照角終邊的位置可分為（象限角和軸線角）
按照選擇方向可分為（正角（逆時(shí)針選擇）、負(fù)角（順時(shí)針選擇）和零角（不旋轉(zhuǎn)））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
軸線角
終邊落在軸正半軸上：，
終邊落在軸負(fù)半軸上：，
終邊落在軸正半軸上：，
終邊落在軸負(fù)半軸上：，
終邊落在軸上：，，終邊落在軸上：，
終邊落在坐標(biāo)軸上：，，終邊落在上：，
終邊落在上：，或：，
β，α終邊相同 β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α終邊關(guān)于x軸對(duì)稱 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α終邊關(guān)于y軸對(duì)稱 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.　
終邊相同的角
與終邊相同的角的集合為：，
角度與弧度的關(guān)系
，
扇形的弧長(zhǎng)、周長(zhǎng)及面積公式
角度制 弧度制
弧長(zhǎng)公式
面積公式
周長(zhǎng)公式
是扇形的半徑，是圓心角的度數(shù) 是扇形的半徑，是圓心角弧度數(shù)，是弧長(zhǎng)
三角函數(shù)的定義
，正弦線：
，余弦線：
，正切線：
三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)
三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函數(shù)值
度
弧度 0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 不存在 0 不存在 0
兩角互余的三角函數(shù)關(guān)系
互余，，
已知，則：
兩角互補(bǔ)的三角函數(shù)關(guān)系
互補(bǔ)，，，
已知，則：，
常見(jiàn)三角不等式
若，則；
若，則.
.
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
平方關(guān)系：
商數(shù)關(guān)系：
推導(dǎo)公式：
誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)類型
或，，
或，，
或，，
誘導(dǎo)方法：奇變偶不變，符號(hào)看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若為奇數(shù)，變函數(shù)名；，
若為偶數(shù)，不變函數(shù)名；，，
象限指的是原函數(shù)名的象限，再判斷符號(hào)
規(guī)定：無(wú)論角多大，看作第一象限角（銳角）
誘導(dǎo)公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考點(diǎn)一、扇形的弧長(zhǎng)及面積計(jì)算
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面面積是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【分析】根據(jù)側(cè)面展開(kāi)的弧長(zhǎng)與圓錐的底面周長(zhǎng)相等，求得底面半徑，進(jìn)而即可得解.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，
則根據(jù)弧長(zhǎng)公式＝π，解得r＝，
所以該圓錐的底面面積為π×()2＝3π．
故選：C．
2．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長(zhǎng)為1，則萊洛三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖形分析，利用扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)的關(guān)系，即可求解.
【詳解】由已知，．
得，
則萊洛三角形的周長(zhǎng)是
故選：A．
3．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計(jì)算即得.
【詳解】顯然為等腰三角形，，則，，
即，于是，
所以璜身的面積近似為.
故選：C
4．（2022·全國(guó)·高考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
又，所以三點(diǎn)共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圓面積公式求出圓錐的底面面積，再由扇形側(cè)面積公式求出圓錐側(cè)面積，即可得到圓錐的表面積.
【詳解】因?yàn)榈酌姘霃剑缘酌娣e，底面周長(zhǎng)，圓錐母線長(zhǎng)，圓錐側(cè)面積，故圓錐的表面積為．
故選：C.
2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）“會(huì)圓術(shù)”是我國(guó)古代計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的方法，它是我國(guó)古代科技史上的杰作，如圖所示是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點(diǎn)，在上，，則的弧長(zhǎng)的近似值的計(jì)算公式：.利用上述公式解決如下問(wèn)題：現(xiàn)有一自動(dòng)傘在空中受人的體重影響，自然緩慢下降，傘面與人體恰好可以抽象成傘面的曲線在以人體為圓心的圓上的一段圓弧，若傘打開(kāi)后繩長(zhǎng)為6米，該圓弧所對(duì)的圓心角為，則傘的弧長(zhǎng)大約為（ ）
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合垂徑定理計(jì)算即可得解.
【詳解】依題意，點(diǎn)共線，，，
所以（米）.
故選：B
3．（2024·山東濰坊·三模）如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點(diǎn)，切點(diǎn)處有一個(gè)標(biāo)志，該圓沿軸向右滾動(dòng)，當(dāng)圓滾動(dòng)到與出發(fā)位置時(shí)的圓相外切時(shí)(記此時(shí)圓心為)，標(biāo)志位于點(diǎn)處，圓與軸相切于點(diǎn)，則陰影部分的面積是（ ）

A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出劣弧的長(zhǎng)，再利用扇形面積公式計(jì)算即得．
【詳解】由圓與圓外切，得，
又圓，圓與軸分別相切于原點(diǎn)和點(diǎn)，則，
所以劣弧長(zhǎng)等于，
所以劣弧對(duì)應(yīng)的扇形面積為.
故選：B
考點(diǎn)二、定義法求三角函數(shù)值
1．（全國(guó)·高考真題）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】試題分析：由題意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故選D.
考點(diǎn)：三角函數(shù)的概念.
2．（全國(guó)·高考真題）已知α是第四象限角，cos α＝，則sin α等于（ ）
A． B．－
C． D．－
【答案】B
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系式以及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)即可解出．
【詳解】由條件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)平方關(guān)系式以及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)的應(yīng)用，屬于容易題．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸．若是角終邊上一點(diǎn)，且，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義式列方程，解方程即可.
【詳解】由題設(shè)知，
即，且，
即，且，
解得，
故答案為：.
1．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，
所以由三角函數(shù)定義可知，
故選：C.
2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知，且為第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?
所以，
因?yàn)闉榈诙笙藿牵?br/>所以.
故選：C.
3．（2024·浙江金華·三模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.若為角終邊上的一點(diǎn)，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)余弦的定義可得出答案.
【詳解】為角終邊上的一點(diǎn)，則.
故答案是：.
考點(diǎn)三、三角函數(shù)值的大小比較
1．（北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段弧（如圖），點(diǎn)P在其中一段上，角以為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】分析：逐個(gè)分析A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.
詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.
A選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，
，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，
，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，
，故C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)：點(diǎn)在上且在第三象限，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
綜上，故選C.
點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線進(jìn)行比較.
2．（2023·貴州遵義·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)時(shí)，求解.
【詳解】由時(shí)，可知，，
即，
故選：A
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，可證，，得結(jié)論.
【詳解】先證明：當(dāng)時(shí)，.

如圖，角終邊為OP，其中點(diǎn)P為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，軸，交x軸于點(diǎn)M，
A點(diǎn)為單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，軸，交角終邊于點(diǎn)T，
則有向線段MP為角的正弦線，有向線段AT為角的正切線，
設(shè)弧長(zhǎng)，
由圖形可知：，即，
所以，即.
則，所以．
而，所以，
所以.
故選：D．
1．（新疆喀什·期末）如果，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分別作出角的正弦線、余弦線和正切線，結(jié)合圖象，即可求解.
【詳解】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，
很容易地觀察出，即.
故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)線的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的正弦線、余弦線和正切線，合理作出圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2．（22-23高一下·北京延慶·期中）設(shè)，，，則
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】因?yàn)椋裕?
故選：C.
3．（21-22高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先證明當(dāng)0＜x＜時(shí)，，從而可得，再利用正切函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案.
【詳解】先證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，
如圖，角x終邊為OP，其中點(diǎn)P為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM⊥x軸，交x軸與點(diǎn)M，
A點(diǎn)為單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，AT⊥x軸，交角x終邊于點(diǎn)T，
則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設(shè)弧PA＝l＝x×1＝x，
由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
所以＜＜，即
所以
又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以
又由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則
所以
所以，即
故選：C．
考點(diǎn)四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之平方關(guān)系
1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】因?yàn)榭傻茫?br/>當(dāng)時(shí)，，充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；
所以當(dāng)，是的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，例如但，
即推不出；
當(dāng)時(shí)，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
3．（2023·全國(guó)·高考真題）若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
又因?yàn)椋瑒t，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案為：.
4．（2020·全國(guó)·高考真題）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
1．（2024·新疆·三模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接代入二倍角公式，然后因式分解，最后根據(jù)解方程組即可得出答案.
【詳解】，
因?yàn)椋裕裕?br/>又，解方程組得：.
故選：D
2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.
【詳解】由，可得，
可得
則，
因?yàn)椋耘c異號(hào)，可得為第二或第四象限，
當(dāng)為第二象限角時(shí)，可得；
當(dāng)為第四象限角時(shí)，可得.
故選：C.
3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二倍角公式可得，即可由求解.
【詳解】由可得，
解得，或（舍去）
故，故，
故選：A
考點(diǎn)五、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之商數(shù)關(guān)系（含弦切互化）
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
所以，
故選：B.
2．（2021·全國(guó)·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出.
3．（2021·全國(guó)·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過(guò)齊次化處理，可以避開(kāi)了這一討論．
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為“齊次式”，代入即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以
.
故選：B.
2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)已知及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系弦化切，再根據(jù)正切的和角公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>整理得，
所以，
又.
故選：B
3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知為第一象限角，則（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】C
【分析】由可得，借助二倍角公式將弦化切計(jì)算即可得.
【詳解】由為第一象限角得，所以，
則原式.
故選：C.
考點(diǎn)六、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
1．（2024·四川自貢·三模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式結(jié)合充分必要條件求解即可.
【詳解】因?yàn)樗曰?br/>所以或者
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后對(duì)原式進(jìn)行齊次化，轉(zhuǎn)化為只含有的代數(shù)式，代入計(jì)算可知結(jié)果為選項(xiàng)B.
【詳解】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)：
已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，且.
分子分母同時(shí)除以：
.
故選：B
3．（22-23高一上·北京·期末）已知，且，化簡(jiǎn)并求的值.
【答案】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，然后利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得出所求代數(shù)式的值.
【詳解】解：因?yàn)椋遥瑒t，
所以，，
故.
4．（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得出答案；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案；
（3）由已知求出，結(jié)合的范圍，由誘導(dǎo)公式即可求出的值.
【詳解】（1）
（2）因?yàn)椋詾榈谌笙藿腔虻谒南笙藿?
當(dāng)為第三象限角時(shí)，；
當(dāng)為第四象限角村，.
（3）因?yàn)椋?
因?yàn)椋?
故.
因此.
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)所求式即可得出答案．
【詳解】由得，
則．
故選：A.
2．（2024·遼寧·三模）已知，則（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和弦切關(guān)系化簡(jiǎn)可得.
【詳解】，
故選：D.
3．（22-23高一下·甘肅天水·期末）化簡(jiǎn)
【答案】
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系得解.
【詳解】原式．
4．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知．
(1)求的值；
(2)已知，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后代值求解即可；
（2）利用二倍角公式和弦切互化公式求解即可.
【詳解】（1）原式
，
（2）由可知即；
.
1．（2024·上海奉賢·三模）在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分永件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)值及充分條件、必要條件的定義即可得出結(jié)論.
【詳解】在中，若，則；
反之，若，且，
所以或，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角的集合.
【詳解】終邊落在陰影部分的角為，，
即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是．
故選：B．
3．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）集合中的最大負(fù)角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用任意角的定義與集合所表示的角即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以集合中的最大負(fù)角為.
故選：C.
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計(jì)算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計(jì)算弧田面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)半角公式求出，再分別求出弦長(zhǎng)和矢長(zhǎng)，再根據(jù)弧田的面積公式即可得解.
【詳解】由，可得，
故弦長(zhǎng)為，矢長(zhǎng)為，
所以所求弧田面積為.
故選：A.
5．（2022·廣東·一模）為解決皮尺長(zhǎng)度不夠的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來(lái)測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測(cè)，在前進(jìn)過(guò)程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（ ）（參考數(shù)值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
【答案】D
【分析】由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了圈，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】解：由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了圈，
所以A，B兩點(diǎn)之間的距離約為，
故選：D.
6．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)切弦互化法計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以．
故選：B．
7．（2024·廣東茂名·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齊次式法計(jì)算得解.
【詳解】由，得，則，
所以.
故選：D
8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由條件推知，然后對(duì)表達(dá)式變形即可求解.
【詳解】由，可得，所以.
故.
故選：D.
9．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為 .
【答案】
【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式即可求解結(jié)果．
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，
所以，
所以，則，
故答案為：.
10．（22-23高一下·黑龍江齊齊哈爾·開(kāi)學(xué)考試）已知，，
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若為第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn);
(2)首先化簡(jiǎn)，根據(jù)第三象限角，同角基本關(guān)系式求,確定的值.
【詳解】（1）

∴
（2）∵
∴
∵為第三象限角，
∴
∴的值為.
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分為第一象限角和第三象限角時(shí)，求出的取值集合再求并集.
【詳解】
根據(jù)題意，角的終邊在直線上，為第一象限角時(shí)，；
為第三象限角時(shí)，；
綜上，角的取值集合是.
故選：D.
2．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】當(dāng)時(shí)，代入可得，由正弦函數(shù)性質(zhì)，可驗(yàn)證充分性，為偶函數(shù)時(shí)，得到，可驗(yàn)證必要性.
【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
，
則為奇函數(shù)，所以充分性不成立，
當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，所以必要性不成立，
故“，”是“為偶函數(shù)”的既不充分也不必要條件．
故選：D.
3．（2024·山東濟(jì)南·三模）若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由同角的三角函數(shù)和二倍角公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
故選：B
4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知先利用和差角的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，然后結(jié)合二倍角公式及同角基本關(guān)系對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
解得或（舍，
則
.
故選：A.
5．（2024·河北·三模）已知點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意，，
所以.
故選：B.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來(lái)，明清時(shí)代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個(gè)梅花磚雕，其正面是一個(gè)扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對(duì)的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出，，進(jìn)而求得梅花磚雕的側(cè)面積及扇環(huán)的面積可得該梅花磚雕的表面積.
【詳解】
延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．由，，得，．
因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角為直角，所以，．
所以該梅花磚雕的側(cè)面積，
扇環(huán)的面積為，
則該梅花磚雕的表面積．
故選：C．
7．（2024·江西·二模）已知，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由誘導(dǎo)公式將條件式化簡(jiǎn)為，再利用兩角和與差公式化簡(jiǎn)運(yùn)算得解.
【詳解】根據(jù)題意，，
由誘導(dǎo)公式，可得，
所以，
則
.
故選：D.
8．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）（多選）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則角的集合是
B．若，則
C．若，則
D．若扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則此扇形的半徑是
【答案】ABC
【分析】由三角函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷B，根據(jù)“1”的代換和弦切互化求解判斷C，根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式求解判斷D.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，為第一象限角，
所以由三角函數(shù)的定義知，所以角的終邊與終邊相同，
所以角的集合是，故A選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋訠選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋訡選項(xiàng)正確；
設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，因?yàn)樯刃嗡鶎?duì)的弧長(zhǎng)為，
所以扇形周長(zhǎng)為，故，所以D選項(xiàng)不正確．
故選：ABC
9．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得，將表達(dá)式利用平方和關(guān)系為1化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】由可得，即；
所以
將代入計(jì)算可得；
即.
故答案為：
10．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長(zhǎng)度為 百米.
【答案】
【分析】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，借助相似三角形性質(zhì)用表示，結(jié)合對(duì)稱性求出步道長(zhǎng)度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.
【詳解】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，顯然，
由點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，得兩個(gè)半圓步道及直道都關(guān)于過(guò)點(diǎn)垂直于的直線對(duì)稱，
則，又，則∽，有，
即有，因此步道長(zhǎng)，，
求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，
因此當(dāng)時(shí)，，
所以步道的最大長(zhǎng)度為百米.
故答案為：
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>而，所以，
故即，
從而，故，
故選：A.
2．（2024·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若，則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】首先得出，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可求解最值.
【詳解】由題意，從而，
因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵娜≈捣秶牵?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.
故答案為：.
3．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br/>所以，即，
則，故，
此時(shí)，
所以，
又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，
所以.
故答案為：2.
4．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說(shuō)明p為假命題的一組的值為 ， ．
【答案】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，
取，
則，即，
令，則，
因?yàn)椋瑒t，
即，則.
不妨取，即滿足題意.
故答案為：.
5．（2022·浙江·高考真題）若，則 ， ．
【答案】
【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．
【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理
∵，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則.
故答案為：；.
[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程
∵，∴，即，
又，將代入得，解得，
則.
故答案為：；.
6．（2021·北京·高考真題）若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為 ．
【答案】（滿足即可）
【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對(duì)稱，得出求解.
【詳解】與關(guān)于軸對(duì)稱，
即關(guān)于軸對(duì)稱，
，
則，
當(dāng)時(shí)，可取的一個(gè)值為.
故答案為：（滿足即可）.
7．（2020·全國(guó)·高考真題）若α為第四象限角，則（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項(xiàng)是否正確即可.
【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，
所以
此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以
故選：D.
方法二：當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
8．（2020·全國(guó)·高考真題）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
9．（2020·浙江·高考真題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：） 為2π，且它的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：）是 ．
【答案】
【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則
，解得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.
10．（2020·北京·高考真題）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（ Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長(zhǎng)，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.
【詳解】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角為，每條邊長(zhǎng)為 ，
所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，
單位圓的外切正邊形的每條邊長(zhǎng)為，其周長(zhǎng)為，
，
則.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查圓周率的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
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