資源簡介

第01講 數列的概念及其表示
（含數列周期性單調性和數列通項公式的構造）
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第19題,17分 由遞推關系證明等比數列 求直線與雙曲線的交點坐標 向量夾角的坐標表示
2024年全國甲卷，第18題,12分 利用an與sn關系求通項 錯位相減法求和
2023年全國甲卷（理科）， 第17題,10分 利用與關系求通項或項 錯位相減法求和
2022年新I卷，第17題,10分 利用與關系求通項或項 累乘法求數列通項 利用等差數列通項公式求數列中的項 裂項相消法求和
2022年全國甲卷（理科）， 第17題,10分 求數列最值 利用與關系求通項或項
2022年全國乙卷（理科）， 第4題,5分 判斷數列單調性 數學新文化
2021年全國甲卷（理科）， 第7題,10分 判斷數列單調性 充分條件與必要條件
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分
【備考策略】1.掌握數列的有關概念和表示方法
2.能利用與的關系以及遞推關系求數列的通項公式
3.理解數列是一種特殊的函數,能利用數列的周期性、單調性解決簡單的問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，常考查利用與關系求通項或項及通項公式構造的相關應用，需綜合復習
知識講解
1．數列的有關概念
概念 含義
數列的定義 按照一定順序排列的一列數
數列的項 數列中的每一個數
數列的通項 數列{an}的第n項an
通項公式 數列{an}的第n項an與n之間的關系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數列的通項公式
前n項和 數列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數列的前n項和
2.數列的分類
分類標準 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列 an＋1＞an 其中n∈N*
遞減數列 an＋1＜an
常數列 an＋1＝an
擺動數列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
數列的表示方法
列表法 列表格表示n與an的對應關系
圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標系中
公式法 通項公式 把數列的通項使用公式表示的方法
遞推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數列的方法
4．若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝
（1）已知Sn求an的三個步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．
(3)注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并．
（2）Sn與an關系問題的求解思路
根據所求結果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
5．在數列{an}中，若an最大，則若an最小，則
6. 根據形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的遞推公式求通項公式時，常用累加法求出an－a1與n的關系式，進而得到an的通項公式．
7. 根據形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項公式時，常用累乘法求出與n的關系式，進而得到an的通項公式．
8.形如an＋1＝(p，q，r是常數)的數列，將其變形為＝·＋.若p＝r，則是等差數列，且公差為，即可用公式求通項．
9.根據形如an＋1＝pan＋q的遞推關系式求通項公式時，一般先構造公比為p的等比數列{an＋x}，即將原遞推關系式化為an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出數列{an＋x}的通項公式，最后求{an}的通項公式．
10. 數列的周期性
對于無窮數列,如果存在一個正整數,對于任意正整數恒有成立,則稱是周期為的周期數列.的最小值稱為最小正周期,簡稱周期.
考點一、數列周期性的應用
1．（湖南·高考真題）已知數列滿足， ，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山東濟寧·三模）已知數列中，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，，，數列，滿足，則數列的前2024項的和為 ．
6．
1．（2024·陜西安康·模擬預測）在數列中，，若對，則（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知函數，數列的首項為1，且滿足．若，則數列的前2023項和為（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
3．（2024·山東濱州·二模）已知函數，數列滿足，，，則 ．
考點二、數列單調性的應用
1．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西·模擬預測）已知數列滿足，則“”是是遞增數列的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·四川雅安·模擬預測）已知數列滿足，，，單調遞增，則的取值范圍為 .
4．（2024·陜西西安·模擬預測）已知等比數列是遞減數列，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西漢中·二模）已知正項數列的前n項和為，且，數列的前n項積為且，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．為遞減數列
C． D．
1．（2024·北京東城·一模）設等差數列的公差為，則“”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，若是遞減數列，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西·二模）已知數列的首項為常數且，，若數列是遞增數列，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·北京·高考真題）在等差數列中，，．記，則數列（ ）．
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
考點三、用與的關系求通項或項
1．（2024·全國·高考真題）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
2．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
3．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
4．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數列；
(2)若成等比數列，求的最小值．
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知各項均為正數的數列前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：．
2．（2024·四川自貢·三模）已知數列的前項和為，且．
(1)證明：數列為等差數列；
(2)若，，成等比數列，求的最大值．
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前100項的和.
4．（2024·全國·二模）已知數列的前n項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和為.
考點四、累加法求數列通項公式
1．（2024·福建福州·模擬預測）已知數列滿足，（）．
(1)求數列的通項公式；
(2)記數列的前項和為，證明：．
2．（全國·高考真題）已知數列滿足．
(1)求；
(2)證明：．
3．（2024·湖北·模擬預測）數列中，，，且，
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前項和為，且滿足，，求．
1．（2024·遼寧丹東·二模）已知數列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)設數列是等差數列，記為數列的前n項和，，，求．
2．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知各項均為正數的數列的前項和為,且.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數列的前項和.
考點五、累乘法求數列通項公式
1．（23-24高二上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）已知數列中，，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
2．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）已知數列的前項和為，且（）．
(1)求的通項公式；
(2)記，求數列的前項和．
1．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學考試）記數列的前項和，對任意正整數，有 ，且 .
(1)求數列的通項公式；
(2)對所有正整數，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數列，求的前91項和.
2．（2024·全國·模擬預測）已知（常數），數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，數列的前項和為，求證：．
3．（2024·陜西西安·模擬預測）設數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，數列的前項和為恒成立，求實數的最小值．
考點六、遞推數列構造等差數列
1．（2023·全國·模擬預測）在數列中，，且，其中．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
2．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
1．（23-24高三上·江蘇南京·期末）已知數列滿足，且對任意都有.
(1)設，證明：是等差數列；
(2)設，求數列的前項和.
2．（2024·山東青島·二模）已知數列滿足，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若，求的最小值.
考點七、遞推數列構造等比數列
1．（重慶·高考真題）數列中，若=1，=2+3 （n≥1），則該數列的通項=
2．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，記．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，記數列的前項和為．求證：．
3．（四川·高考真題）設數列的前n項和為，已知．
(1)證明：當時，是等比數列；
(2)求的通項公式．
1．（2024·安徽·模擬預測）已知數列的首項，且滿足．
(1)求的通項公式；
(2)已知，求使取得最大項時的值．（參考值：）
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）設數列滿足：，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
3．（23-24高三上·重慶·期中）設數列的前項之積為，滿足.
(1)設，求數列的通項公式；
(2)設數列的前項之和為，證明：.
一、單選題
1．（2023·浙江寧波·模擬預測）數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．3
2．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知數列各項均為正數，，且有，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知數列的首項，則（ ）
A．為等差數列 B．
C．為遞增數列 D．的前20項和為10
三、填空題
4．（2024·四川·模擬預測）已知為正項數列的前項和，且，則 .
四、解答題
5．（2024·四川雅安·三模）已知數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和.
6．（2024·山西·模擬預測）已知數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
7．（2024·河北滄州·三模）已知數列滿足，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，求證：.
8．（2024·貴州貴陽·三模）已知正項數列的前項和為，且滿足.試求:
(1)數列的通項公式;
(2)記，數列的前項和為，當時，求滿足條件的最小整數.
9．9．（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項和為．
(1)求．
(2)若，則當取最小值時，求的值．
10．（2024·河北保定·二模）已知數列的前n項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，求的前項和.
一、單選題
1．（2024·安徽合肥·三模）已知數列的前項和為，首項，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數列的前項和為，，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·福建泉州·一模）已知數列滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，數列是常數列
C．當時， D．當時，數列單調遞減
三、填空題
4．（2024·浙江紹興·三模）記為正項數列的前項積，已知，則 ； ．
5．（2024·山東菏澤·模擬預測）已知正項數列的前項和為，且，則的最小值為 ．
四、解答題
6．（2024·山東·模擬預測）設數列滿足，且．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
7．（2024·吉林·模擬預測）已知數列的前項和為，且.
(1)求實數的值和數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
8．（2024·江西宜春·模擬預測）數列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前項和．
9．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設為數列的前項和.若對任意的恒成立，求k的取值范圍.
10．（2024·四川成都·模擬預測）記數列的前n項和為，已知．
(1)若，證明：是等比數列；
(2)若是和的等差中項，設，求數列的前n項和為．
1．（2023·北京·高考真題）已知數列滿足，則（ ）
A．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立
B．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立
C．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立
D．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立
2．（2022·浙江·高考真題）已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·高考真題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真題）已知數列的前n項和為，，且.
（1）求數列的通項；
（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
5．（2021·全國·高考真題）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;
（2）求的通項公式．
6．（2020·北京·高考真題）在等差數列中，，．記，則數列（ ）．
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
7．（2020·全國·高考真題）數列滿足，前16項和為540，則 .
8．（2018·全國·高考真題）已知數列滿足，，設．
（1）求；
（2）判斷數列是否為等比數列，并說明理由；
（3）求的通項公式．
9．（2016·全國·高考真題）已知數列的前n項和，其中．
（Ⅰ）證明是等比數列，并求其通項公式；
（Ⅱ）若 ，求．
10．（2015·全國·高考真題）為數列{}的前項和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通項公式；
（Ⅱ）設 ,求數列{}的前項和.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第01講 數列的概念及其表示
（含數列周期性單調性和數列通項公式的構造）
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第19題,17分 由遞推關系證明等比數列 求直線與雙曲線的交點坐標 向量夾角的坐標表示
2024年全國甲卷，第18題,12分 利用an與sn關系求通項 錯位相減法求和
2023年全國甲卷（理科）， 第17題,10分 利用與關系求通項或項 錯位相減法求和
2022年新I卷，第17題,10分 利用與關系求通項或項 累乘法求數列通項 利用等差數列通項公式求數列中的項 裂項相消法求和
2022年全國甲卷（理科）， 第17題,10分 求數列最值 利用與關系求通項或項
2022年全國乙卷（理科）， 第4題,5分 判斷數列單調性 數學新文化
2021年全國甲卷（理科）， 第7題,10分 判斷數列單調性 充分條件與必要條件
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分
【備考策略】1.掌握數列的有關概念和表示方法
2.能利用與的關系以及遞推關系求數列的通項公式
3.理解數列是一種特殊的函數,能利用數列的周期性、單調性解決簡單的問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，常考查利用與關系求通項或項及通項公式構造的相關應用，需綜合復習
知識講解
1．數列的有關概念
概念 含義
數列的定義 按照一定順序排列的一列數
數列的項 數列中的每一個數
數列的通項 數列{an}的第n項an
通項公式 數列{an}的第n項an與n之間的關系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數列的通項公式
前n項和 數列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數列的前n項和
2.數列的分類
分類標準 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列 an＋1＞an 其中n∈N*
遞減數列 an＋1＜an
常數列 an＋1＝an
擺動數列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
數列的表示方法
列表法 列表格表示n與an的對應關系
圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標系中
公式法 通項公式 把數列的通項使用公式表示的方法
遞推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數列的方法
4．若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝
（1）已知Sn求an的三個步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．
(3)注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并．
（2）Sn與an關系問題的求解思路
根據所求結果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
5．在數列{an}中，若an最大，則若an最小，則
6. 根據形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的遞推公式求通項公式時，常用累加法求出an－a1與n的關系式，進而得到an的通項公式．
7. 根據形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項公式時，常用累乘法求出與n的關系式，進而得到an的通項公式．
8.形如an＋1＝(p，q，r是常數)的數列，將其變形為＝·＋.若p＝r，則是等差數列，且公差為，即可用公式求通項．
9.根據形如an＋1＝pan＋q的遞推關系式求通項公式時，一般先構造公比為p的等比數列{an＋x}，即將原遞推關系式化為an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出數列{an＋x}的通項公式，最后求{an}的通項公式．
10. 數列的周期性
對于無窮數列,如果存在一個正整數,對于任意正整數恒有成立,則稱是周期為的周期數列.的最小值稱為最小正周期,簡稱周期.
考點一、數列周期性的應用
1．（湖南·高考真題）已知數列滿足， ，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】計算出的前四項的值，可得出，由此可求得的值.
【詳解】因為數列滿足，，，
，，，
由上可知，對任意的，，.
故選：B.
2．（2024·山東濟寧·三模）已知數列中，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用數列的遞推公式求出數列的周期，即可求解.
【詳解】由，得
，
，
，
，
，
，
則是以6為周期的周期數列，
所以.
故選：C
3．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，，，數列，滿足，則數列的前2024項的和為 ．
【答案】1
【分析】利用數列的遞推公式求出數列的項，再利用特殊角的三角函數值及數列的周期性，結合數列的求和公式即可求解.
【詳解】因為，，
所以
…，
所以數列的各項依次為3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期為6．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
…，
所以數列是周期為12的周期數列，前12項依次為3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0，
其前項12的和為．
又，
所以數列的前2024項的和為等于前8項的和．
故答案為：.
1．（2024·陜西安康·模擬預測）在數列中，，若對，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根據遞推公式得出,進而即可．
【詳解】由與相減得：，
即，又，故，所以.
故選：A.
2．（2024·全國·模擬預測）已知函數，數列的首項為1，且滿足．若，則數列的前2023項和為（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
【分析】利用導數判斷得的單調性，直接由的解析式判斷其奇偶性，再利用數列的周期性轉化條件，結合的性質得到，從而利用數列的周期性即可得解.
【詳解】因為函數，則，
所以函數在上單調遞增，且是奇函數．
，，
，
，，即，
數列的前2023項和為．
故選：B．
3．（2024·山東濱州·二模）已知函數，數列滿足，，，則 ．
【答案】2
【分析】根據函數性質分析可知：在上單調遞增，且為奇函數，進而可得，結合數列周期性分析求解.
【詳解】由題意可知：的定義域為，
且，即，
可知為定義在上的奇函數；
且，
因為在上單調遞增，可知在上單調遞增；
綜上所述：在上單調遞增，且為奇函數.
因為，則，
可得，即，
由可知：3為數列的周期，則，
且，所以.
故答案為：2.
【點睛】易錯點睛：本題分析的奇偶性的同時，必須分析的單調性，若沒有單調性，由無法得出.
考點二、數列單調性的應用
1．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據，再利用數列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.
【詳解】[方法一]:常規解法
因為，
所以，，得到，
同理，可得，
又因為，
故，；
以此類推，可得，，故A錯誤；
，故B錯誤；
，得，故C錯誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設則
故D正確.
2．（2024·江西·模擬預測）已知數列滿足，則“”是是遞增數列的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】當時，則，
所以，即，所以是遞增數列，故充分性成立；
當時，則，所以是遞增數列，
所以當數列是遞增數列，可以大于，所以必要性不成立，
所以“”是是遞增數列的充分不必要條件.
故選：B
3．（2024·四川雅安·模擬預測）已知數列滿足，，，單調遞增，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據可得，再結合單調遞增以及等比數列定義可求出，則由即可得解.
【詳解】因為，所以，
又因為單調遞增，所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
所以即，
則的取值范圍為，
故答案為：.
4．（2024·陜西西安·模擬預測）已知等比數列是遞減數列，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等比數列時遞減數列，確定公比，且，故；再根據等比數列的性質得到，最后解一元二次不等式組求出結果即可.
【詳解】等比數列是遞減數列，且，故，且公比，
由得，
故，
所以的取值范圍是.
故選：A.
5．（2024·陜西漢中·二模）已知正項數列的前n項和為，且，數列的前n項積為且，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．為遞減數列
C． D．
【答案】B
【分析】根據與及 與的關系，利用等差數列的定義及通項公式，結合數列的性質即可求解.
【詳解】當時，，解得（負舍），
當時，，即，且，
所以數列是首項為，公差為的等差數列，
所以，
又，所以，故A正確；
當時，有，
取時，此式也滿足，
故數列的通項公式為,故D正確；
因為數列的前n項積為且，
所以，
當時，，
當時，，
顯然不適用，故數列的通項公式為，
顯然，所以數列不是遞減數列，故B錯誤，
由當時，，得，故C正確，
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用和,結合等差數列的定義及通項公式即可求解.
1．（2024·北京東城·一模）設等差數列的公差為，則“”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用等差數列通項公式求出，再利用單調數列的定義，結合充分條件、必要條件的意義判斷即得.
【詳解】由等差數列的公差為，得，則，
當時，，而，則，因此，為遞增數列；
當為遞增數列時，則，即有，整理得，不能推出，
所以“”是“為遞增數列”的充分不必要條件.
故選：A
2．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，若是遞減數列，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意得到是等比數列，利用等比數列的通項公式得到，利用是遞減數列列出關于的不等式，進而求出的取值范圍.
【詳解】將整理得，
又，易知當時,，不滿足是遞減數列，故，
因此數列是以為首項，2為公比的等比數列，
故，因此，
由于是遞減數列，故恒成立，得，
化簡得，故，
因此，解得，
故選：B．
3．（2024·江西·二模）已知數列的首項為常數且，，若數列是遞增數列，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知條件推得數列是首項為，公比為的等比數列，運用等比數列的通項公式可得，再由數列的單調性，結合不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．
【詳解】因為，
所以，
由于，即，
可得數列是首項為，公比為的等比數列，
則，因為數列是遞增數列，可得，
即對任意的正整數都成立．
當為偶數時，恒成立，由于數列單調遞減，
可得，則；
當為奇數時，恒成立，由于數列單調遞增，
可得，則；
綜上可得的取值范圍是．
故選：B ．
4．（2020·北京·高考真題）在等差數列中，，．記，則數列（ ）．
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
【答案】B
【分析】首先求得數列的通項公式，然后結合數列中各個項數的符號和大小即可確定數列中是否存在最大項和最小項.
【詳解】由題意可知，等差數列的公差，
則其通項公式為：，
注意到，
且由可知，
由可知數列不存在最小項，
由于，
故數列中的正項只有有限項：，.
故數列中存在最大項，且最大項為.
故選：B.
【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，等差數列中項的符號問題，分類討論的數學思想等知識，屬于中等題.
考點三、用an與Sn的關系求通項或項
1．（2024·全國·高考真題）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通項公式．
（2）利用錯位相減法可求.
【詳解】（1）當時，，解得．
當時，，所以即，
而，故，故，
∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
2．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
所以數列的前n項和
.
3．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據即可求出；
（2）根據錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
4．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數列；
(2)若成等比數列，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據二次函數的性質計算可得．
【詳解】（1）因為，即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數列．
（2）[方法一]：二次函數的性質
由（1）可得，，，
又，，成等比數列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當或時，．
[方法二]：【最優解】鄰項變號法
由（1）可得，，，
又，，成等比數列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當或時，．
【整體點評】（2）法一：根據二次函數的性質求出的最小值，適用于可以求出的表達式；
法二：根據鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優解．
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知各項均為正數的數列前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知可得，進而可得，可求的通項公式；
（2）可求得，進而可得結論.
【詳解】（1）因為①，所以②，③，
由③得：，所以，
②-①得：，整理得：，
又因為各項均為正數，所以，
所以是公差的等差數列，．
（2）由（1），，
所以，
所以．
2．（2024·四川自貢·三模）已知數列的前項和為，且．
(1)證明：數列為等差數列；
(2)若，，成等比數列，求的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據作差得到，結合等差數列的定義證明即可；
（2）根據等比中項的性質及等差數列通項公式求出，即可得到的通項公式，結合的單調性及求和公式計算可得.
【詳解】（1）數列滿足①，
當時，有②，
①②可得：，
即，
變形可得，
故數列是以為等差的等差數列；
（2）由（1）可知數列是以為等差的等差數列，
若，，成等比數列，則有，
即，解得，
所以，
所以單調遞減，又當時，，當時，，當時，，
故當或時，取得最大值，
且．
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前100項的和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據作差得到，從而得到，結合等差數列的定義計算可得；
（2）由（1）可得，記，則，利用并項求和法計算可得.
【詳解】（1）由，，
兩式相減得，即，
因為，所以，即，
故是首項為，公差為的等差數列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
記，則，
4．（2024·全國·二模）已知數列的前n項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和為.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據，作差得到，從而得到，再由等差數列的定義及通項公式計算可得
（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.
【詳解】（1）因為，
即，
當時，解得或（舍去），
當時，
所以，
即，
即，即，
又，所以，即，
所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
考點四、累加法求數列通項公式
1．（2024·福建福州·模擬預測）已知數列滿足，（）．
(1)求數列的通項公式；
(2)記數列的前項和為，證明：．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，利用累加法，結合等差數列前項和公式求解即得.
（2）利用裂項相消法求和即可得證.
【詳解】（1）數列中，當時，，即，
則
，而滿足上式，
所以數列的通項公式是，．
（2）由（1）知，，則，
因此
，而，則，
所以．
2．（全國·高考真題）已知數列滿足．
(1)求；
(2)證明：．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析.
【分析】(1)將代入遞推式求解即可；
(2)用累加法求出數的通項公式即得證明.
【詳解】（1）解：因為，
所以，
；
（2）證明：因為，
所以，
，
，
…
，
將以上個式子相加，
得.
也滿足
所以．
3．（2024·湖北·模擬預測）數列中，，，且，
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前項和為，且滿足，，求．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）依題意可得，即可得到為等差數列，即可得到，再利用累加法計算可得；
（2）由（1）可得，由，得到與同號，再對分類討論，利用并項求和法計算可得.
【詳解】（1）因為，所以，
所以數列是公差為的等差數列，其首項為，
于是，
則，，，
，，
所以，
所以；而符合該式，故.
（2）由（1）問知，，則，
又，則，兩式相乘得，即，
因此與同號，
因為，所以當時，，此時，
當為奇數時，，
當為偶數時，；
當時，，此時，
當為奇數時，，
當為偶數時，；
綜上，當時，；當時，.
1．（2024·遼寧丹東·二模）已知數列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)設數列是等差數列，記為數列的前n項和，，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到，再利用累加法求解；
（2）設數列的公差為d，根據，得到，從而，再由求解.
【詳解】（1）由，得，
當時，，
當時，，
所以．
（2）設數列的公差為d，
因為，得，易知，
因為，所以，可得，
又因為，所以，所以．
2．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知各項均為正數的數列的前項和為,且.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據公式求即可.
（2）由（1）知,根據通項公式規律,用錯位相減來求即可.
【詳解】（1）當時,,解出,又,則；
當時,由兩式相減得,兩邊同時除以
即,即,
利用上述等式有,,
因此,即,,
當時,,滿足,因此；
（2）由（1）可知,,則,
兩邊同時乘以得,,
錯位相減得,
即
整理得，.
考點五、累乘法求數列通項公式
1．（23-24高二上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）已知數列中，，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用累乘法即可得解；
（2）利用裂項相消法即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，
當時， 滿足上式，
所以；
（2）因為，
所以，
所以.
2．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）已知數列的前項和為，且（）．
(1)求的通項公式；
(2)記，求數列的前項和．
【答案】(1)（）
(2)
【分析】（1）根據計算可得，利用累乘法計算即可求解；
（2）由（1）可得，結合裂項相消求和法即可求解.
【詳解】（1）令，得
因為（），所以（，），
兩式相減得（，），
即．所以（，），
所以，即，
所以（，），
又，符合上式，所以（）．
（2）由（1），
所以．
1．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學考試）記數列的前項和，對任意正整數，有 ，且 .
(1)求數列的通項公式；
(2)對所有正整數，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數列，求的前91項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出數列的遞推關系，然后由連乘法求得通項；
（2）考慮到，，從而確定的前91項中有87項來自，其他4項由組成，由此分組求和．
【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，
整理得：，即時，，
所以時， ，
又時，，得，也滿足上式.
故.
（2）由，所以，
又，所以前91項中有87項來自.
所以故
.
2．（2024·全國·模擬預測）已知（常數），數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，數列的前項和為，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用、累乘法可得答案；
（2）求出裂項相消求和可得答案.
【詳解】（1）當時，．當時，，
化簡變形得，
當時，根據累乘法得，
又，（為大于0的常數）適合上式，故；
（2）由（1）知，，又，
故．所以，
所以
．
3．（2024·陜西西安·模擬預測）設數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，數列的前項和為恒成立，求實數的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據條件，利用與間的關系，得到，再利用累積法，即可求出結果；
（2）根據（1）中結果得到，利用裂項相消法得到，即可求出結果.
【詳解】（1）因為①，所以當時，②，
由①②得到，整理得到，
又，所以，得到，
所以當時，，
當，滿足，所以.
（2）由（1）知，
所以，
因為，且，所以是關于的遞增數列，由恒成立，得到，
所以實數的最小值為.
考點六、遞推數列構造等差數列
1．（2023·全國·模擬預測）在數列中，，且，其中．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用構造法可證明數列為等差數列，進而求得通項公式；
（2）利用錯位相減法可求得.
【詳解】（1）由已知，
得，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
則，
所以，
所以.
2．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據條件可得數列是以1為首項，為公差的等差數列，即可求出結果；
（2）由（1）可得，再利用裂項相消法即可求出結果.
【詳解】（1）由，可得，又，
故數列是以1為首項，為公差的等差數列，
所以，得到．
（2）由（1）可知，
故．
1．（23-24高三上·江蘇南京·期末）已知數列滿足，且對任意都有.
(1)設，證明：是等差數列；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以替換得，，得到，從而證明是公差為的等差數列；
（2）令得，，可得，推出，再由（1），得到，再分和求解前項和.
【詳解】（1）因為對任意都有，
所以以替換得，，
則，
由,
，所以是公差為的等差數列；
（2）令得，，即，
則，
所以由（1）得，是以為首項，公差為的等差數列，
所以，即.
由，
令可得，，
則，
由得，.
當時，；
當時，①，
則②，
得，，
所以，
綜上，.
2．（2024·山東青島·二模）已知數列滿足，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)5.
【分析】（1）根據給定的遞推公式，按奇偶分別求出通項即可.
（2）由（1）的結論，利用等比數列前項和公式求出，再借助單調性求解即得.
【詳解】（1）數列中，，，當時，，
則，由，得，
當為正奇數時，數列是首項為3，公差為4的等差數列，
則，即，
當為偶奇數時，數列是首項為5，公差為4的等差數列，
則，即，即，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）知，顯然數列是首項為，公比的等比數列，
則，由，得，整理得，
而數列是遞增數列，，因此，
所以的最小值為5.
考點七、遞推數列構造等比數列
1．（重慶·高考真題）數列中，若=1，=2+3 （n≥1），則該數列的通項=
【答案】
【分析】先化簡已知式證明是等比數列，再利用公式寫出通項公式，即得結果.
【詳解】因為=2+3，所以，
即是等比數列，公比為2，首項為，所以，
即.
故答案為：.
2．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，記．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，記數列的前項和為．求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先構造數列是等比數列，求數列的通項公式，再代入條件，即可求解數列的通項公式；
（2）由（1）的結果可知，數列的通項公式，并變形為，再討論為奇數和偶數，采用累加法求和，最后結合數列的單調性，即可證明.
【詳解】（1）由，則．又，
所以數列是以1為首項，3為公比的等比數列，所以．
所以．
（2）因為，
所以，
所以．
當為奇數時，．
當為偶數時，是遞增數列，所以．
綜上，
3．（四川·高考真題）設數列的前n項和為，已知．
(1)證明：當時，是等比數列；
(2)求的通項公式．
【答案】(1)證明見解析.
(2)當時，;當時.
【分析】（1）當 時，由題設條件知 ,由此可知 ，即可證明結論．
（2）當時，由題設條件結合（1）可求得；當時，則，當時，由題設推出 ，求得，綜合可得出的通項公式．
【詳解】（1）當時，由題意知，
令，則 ，解得 ，
且，，
兩式相減得，
于是，
又 ，所以是首項為1，公比為2的等比數列；
（2）當時，由（1）知，即,
當時，則，
當且時，由得，
兩式相減得，即，
故
，
因此 ，
令 ，則即，
即為首項為，公比為b的等比數列，
故 ，
則,時，適合上式，
故.
1．（2024·安徽·模擬預測）已知數列的首項，且滿足．
(1)求的通項公式；
(2)已知，求使取得最大項時的值．（參考值：）
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）由遞推關系將已知等式變形為，即可求出通項；
（2）由已知可設，代入解不等式組求出即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
又，
所以，所以.
（2）由（1）有，
所以，
設時，最大，
因為，
所以，
即，
解得，又，
所以，
所以使取得最大項時的值為4.
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）設數列滿足：，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據數列遞推式可推出，結合等比數列通項公式即可求得答案；
（2）利用（1）的結果可得的表達式，利用等差數列、等比數列的前n項和以及錯位相減法，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知數列滿足：，，
則
，，故為首項是6，公比為2的等比數列，
故，即，
適合上述結果，故；
（2）
設，
則，
設，故；
，
，
作差得到，
故，
，
故.
3．（23-24高三上·重慶·期中）設數列的前項之積為，滿足.
(1)設，求數列的通項公式；
(2)設數列的前項之和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）數列的前項之積為，滿足，時，，解得．時，，變形為，結合，即可得出．
（2）由（1）可得：，解得，當時，，可得，需要證明，即證明，設，，令，，利用導數研究函數的單調性即可得出結論．
【詳解】（1）因為數列的前項之積為，滿足，
所以當時，，解得．
當時，，
化為，
變形為，
又，所以，即且，
則數列是以為首項，為公比的等比數列
所以．
（2）由（1）可得：，解得，
當時，．
，
需要證明，
即證明，
設，，
則，
設，，
則函數在上單調遞增，
所以，
即，
所以．
一、單選題
1．（2023·浙江寧波·模擬預測）數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】首先根據遞推公式，求數列中的項，并得到數列的周期，再求的值.
【詳解】因為，，
所以，解得，
又，解得，
又，，，
顯然，接下去，
所以數列是以3為周期的周期數列，
則.
故選：A.
2．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知數列各項均為正數，，且有，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，根據題設中的遞推關系可得，故利用等比數列的通項公式可求，從而可求的通項公式.
【詳解】，，
顯然若，則，則，，與題意矛盾，
所以，，兩邊同時取倒數，得：，
設，，，，
因為，故，故，所以為等比數列，
所以，故，所以，
故，
故選：D.
二、多選題
3．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知數列的首項，則（ ）
A．為等差數列 B．
C．為遞增數列 D．的前20項和為10
【答案】AD
【分析】A選項，變形得到，得到為等差數列；B選項，在A選項基礎上得到，得到；C選項，計算出，C錯誤；D選項，分為奇數和為偶數，得到通項公式，得到前20項和.
【詳解】A選項，因為，所以，
所以為公差為1的等差數列，A正確；
B選項，因為，所以，故，故，
則，B錯誤；
C選項，，，為遞減數列，C錯誤；
D選項，當為奇數時，，當為偶數時，，
所以的前20項和為
，D正確.
故選：AD．
三、填空題
4．（2024·四川·模擬預測）已知為正項數列的前項和，且，則 .
【答案】
【分析】依題意可得，即可得到，兩式作差得到，再求出，即可得到數列表示首項為，公差為的等差數列，即可求出其通項公式.
【詳解】因為，即，
當時，，又因為，
即，解得或（舍去），
當時，，兩式相減，可得，
因為，可得，
又，所以，
所以數列表示首項為，公差為的等差數列，
所以．
故答案為：
四、解答題
5．（2024·四川雅安·三模）已知數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的關系分是否等于1進行討論即可求解；
（2）首先得，進一步結合錯位相減法以及等比數列求和公式即可得解.
【詳解】（1）
當時，
當時，，兩式相減得，
，
數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
（2）由（1）可知，記，
，
，
兩式相減得
.
6．（2024·山西·模擬預測）已知數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用作差法得到，再由作差可得；
（2）由（1）知，再利用分組求和法及裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）因為，
當時有，
兩式相減得，所以，
當時，，所以，此時仍然成立，
所以，
當時，，
又也滿足，
所以.
（2）由（1）知
，
所以.
7．（2024·河北滄州·三模）已知數列滿足，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由數列的遞推公式，利用累乘法即可求解；
（2）對進行不等式放縮，即可證明不等式.
【詳解】（1），，，
，兩式相除，得，
當，時，，，即；
當，時，，，即，
綜上所述，數列的通項公式為；
（2），
，
又，
.
8．（2024·貴州貴陽·三模）已知正項數列的前項和為，且滿足.試求:
(1)數列的通項公式;
(2)記，數列的前項和為，當時，求滿足條件的最小整數.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）由已知結合和與項的遞推關系進行轉化，結合等差數列的通項公式即可求解；
（2）利用裂項求和求出，然后結合恒成立與最值關系的轉化即可求解．
【詳解】（1）因為，
當時，，
當時，，
因為，
兩式相減得，，
因為，所以，
所以，均為等差數列，，．
所以；
（2）由題意得，，
所以，
因為，
所以，
解得．所以滿足條件的最小整數為9．
9．（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項和為．
(1)求．
(2)若，則當取最小值時，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用與的關系，消去，求出，代入原式計算即得；
（2）依題意求得的表達式，取，則需求在且為奇數時的最小值，根據此函數的單調性即可求得.
【詳解】（1）由，
得．
兩式相減，得，
所以，代入，
即得.
（2）由（1）知，則，
不妨取，則且為奇數，
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增.
因且為奇數，當時，，，此時 ；
當時，，，此時，因，
故當取得最小值時，.
10．（2024·河北保定·二模）已知數列的前n項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，求的前項和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據的關系由：求解即可；
（2）根據通項分奇偶分別計算求和，結合裂項相消和等比數列求和公式即可.
【詳解】（1）當時，.
當時，，
當時，也符合.
綜上，.
（2）由
則
，
故的前項和.
一、單選題
1．（2024·安徽合肥·三模）已知數列的前項和為，首項，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助與的關系并化簡可得，結合，逐項代入計算即可得解.
【詳解】由可得，
所以可得，
.
故選：D
2．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數列的前項和為，，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定的遞推公式求出，再按為奇數、偶數分類求解即可得的范圍.
【詳解】由，得，
當時，，則，
整理得，即，
而，解得，
于是，數列是首項為，公比為的等比數列，
因此，即，
由，得，
當為奇數時，，即，顯然為遞增數列，
當時，，于是，
當為偶數時，，即，顯然恒有，于是，
所以實數的取值范圍為.
故選：B
二、多選題
3．（2024·福建泉州·一模）已知數列滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，數列是常數列
C．當時， D．當時，數列單調遞減
【答案】BCD
【分析】對于A，直接說明即可；對于B，直接用數學歸納法即可；對于C和D，用數學歸納法證明，再推知C和D的結論即可.
【詳解】對于A，當時，由知A錯誤；
對于B，當時，有，這意味著只要就有.
而，從而由數學歸納法即可證明，所以B正確；
對于C和D，當時，我們用數學歸納法證明.
當時，由知結論成立；
假設已有，則由可知.
所以，展開即.
這就得到.
同時，由可得.
所以.
故由數學歸納法可知恒成立，所以C正確；
同時，由于，故.
展開即，故，所以D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于是用數學歸納法證明數列的范圍和單調性.
三、填空題
4．（2024·浙江紹興·三模）記為正項數列的前項積，已知，則 ； ．
【答案】 2 2025
【分析】由數列的前項積，利用賦值法令可求得，將表達式化簡可得數列是等差數列，即可求得.
【詳解】根據題意令，可知，又數列的各項均為正，即；
解得；
由可得，
即，可得；
所以數列是以為首項，公差為的等差數列；
因此，
所以.
故答案為：2；2025.
5．（2024·山東菏澤·模擬預測）已知正項數列的前項和為，且，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據給定的遞推公式探求得數列的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得.
【詳解】正項數列中，由，得，則，
即數列是以4為周期的周期數列，而，則，
因此，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵是求出數列的周期，再借助周期性求前n項和.
四、解答題
6．（2024·山東·模擬預測）設數列滿足，且．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通項公式；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求的前項和.
【詳解】（1）由題易知，且，
所以，
所以，
所以也滿足該式，
所以．
（2），①
，②
②-①，得．
設，③
則，④
④-③，得，
所以．
7．（2024·吉林·模擬預測）已知數列的前項和為，且.
(1)求實數的值和數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用，和等比數列的定義可得答案；
（2）法一：利用錯位相減求和可得答案；法二：設，求出，可得，可得可得答案.
【詳解】（1）當時，，
，
，
當時，，
整理得，
數列是以1為首項，3為公比的等比數列，
；
（2）法一：
，
①，
②，
①②得
；
法二：
，
設，
且，解得，
，
即，其中，
，
.
8．（2024·江西宜春·模擬預測）數列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知結合數列的和與項的遞推關系即可求解；
（2）先求出，然后結合錯位相減求和即可求解．
【詳解】（1）數列滿足，
當時，，
兩式相減可得，，所以，
當時，也滿足上式，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
則，
兩式相減的，，
所以．
9．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設為數列的前項和.若對任意的恒成立，求k的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運用公式，已知求即可；
（2）求出，后運用錯位相減求出，后結合函數單調性可解．
【詳解】（1）①，且，
當時，代入①得；
當時，.②
①-②得，整理得，
因為，所以，所以數列為等差數列，公差為1，所以.
（2），，③
，④
③-④得，
所以，所以，且，化簡得，
令，所以，
所以的最大值為，所以.
所以的取值范圍為.
10．（2024·四川成都·模擬預測）記數列的前n項和為，已知．
(1)若，證明：是等比數列；
(2)若是和的等差中項，設，求數列的前n項和為．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用公式得到數列的遞推公式，構造法證明是等比數列；
（2）由已知求出，裂項相消求數列的前n項和為．
【詳解】（1）對①，當時，有②，
：，即，
經整理，可得，
，故是以為首項、為公比的等比數列．
（2）由（1）知，有，，
題設知，即，則，故．
而，
故.
1．（2023·北京·高考真題）已知數列滿足，則（ ）
A．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立
B．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立
C．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立
D．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用數列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數列的性質，故可判斷B的正誤.
法2：構造，利用導數求得的正負情況，再利用數學歸納法判斷得各選項所在區間，從而判斷的單調性；對于A，構造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區間同時證得后續結論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構造，判斷得，進而取推得不恒成立.
【詳解】法1：因為，故，
對于A ，若，可用數學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關系成立；
設當時，成立，
則，故成立，
由數學歸納法可得成立.
而，
，，故，故，
故為減數列，注意
故，結合，
所以，故，故，
若存在常數，使得恒成立，則，
故，故，故恒成立僅對部分成立，
故A不成立.
對于B，若可用數學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關系成立；
設當時，成立，
則，故成立即
由數學歸納法可得成立.
而，
，，故，故，故為增數列，
若，則恒成立，故B正確.
對于C，當時， 可用數學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關系成立；
設當時，成立，
則，故成立即
由數學歸納法可得成立.
而，故，故為減數列，
又，結合可得：，所以，
若，若存在常數，使得恒成立，
則恒成立，故，的個數有限，矛盾，故C錯誤.
對于D，當時， 可用數學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關系成立；
設當時，成立，
則，故成立
由數學歸納法可得成立.
而，故，故為增數列，
又，結合可得：，所以，
若存在常數，使得恒成立，則，
故，故，這與n的個數有限矛盾，故D錯誤.
故選：B.
法2：因為，
令，則，
令，得或；
令，得；
所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
令，則，即，解得或或，
注意到，，
所以結合的單調性可知在和上，在和上，
對于A，因為，則，
當時，，，則，
假設當時，，
當時，，則，
綜上：，即，
因為在上，所以，則為遞減數列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞減，故，
所以在上單調遞增，故，
故，即，
假設存在常數，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故A錯誤；
對于B，因為，
當時，，，
假設當時，，
當時，因為，所以，則，
所以，
又當時，，即，
假設當時，，
當時，因為，所以，則，
所以，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數列，
此時，取，滿足題意，故B正確；
對于C，因為，則，
注意到當時，，，
猜想當時，，
當與時，與滿足，
假設當時，，
當時，所以，
綜上：，
易知，則，故，
所以，
因為在上，所以，則為遞減數列，
假設存在常數，使得恒成立，
記，取，其中，
則，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C錯誤；
對于D，因為，
當時，，則，
假設當時，，
當時，，則，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞增，故，
所以，
故，即，
假設存在常數，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故D錯誤.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是根據首項給出與通項性質相關的相應的命題，再根據所得命題結合放縮法得到通項所滿足的不等式關系，從而可判斷數列的上界或下界是否成立.
2．（2022·浙江·高考真題）已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．
【詳解】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.
3．（2021·浙江·高考真題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據裂項相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因為，所以，．
由
，即
根據累加法可得，，當時，
則，當且僅當時等號成立，
，
由累乘法可得，且，
則，當且僅當時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點睛】本題解題關鍵是通過倒數法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．
4．（2021·浙江·高考真題）已知數列的前n項和為，，且.
（1）求數列的通項；
（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，結合與的關系，分討論，得到數列為等比數列，即可得出結論；
（2）由結合的結論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數，轉化為與關于的函數的范圍關系，即可求解.
【詳解】（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數不等式要變號.
5．（2021·全國·高考真題）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;
（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數列是等差數列;
（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數列是以為首項，以為公差等差數列;
[方法二]【最優解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數列是以為首項，為公差的等差數列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當時，．
故數列是以為首項，為公差的等差數列．
[方法四]：數學歸納法
由已知，得，，，，猜想數列是以為首項，為公差的等差數列，且．
下面用數學歸納法證明．
當時顯然成立．
假設當時成立，即．
那么當時，．
綜上，猜想對任意的都成立．
即數列是以為首項，為公差的等差數列．
（2）
由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，
,
,
當n=1時，,
當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數列的遞推關系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關系，從而證得結論；
方法二先從的定義，替換相除得到，再結合得到，從而證得結論，為最優解；
方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結論；方法四利用歸納猜想得到數列，然后利用數學歸納法證得結論．
（2）由（1）的結論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關系求得的通項公式；
6．（2020·北京·高考真題）在等差數列中，，．記，則數列（ ）．
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
【答案】B
【分析】首先求得數列的通項公式，然后結合數列中各個項數的符號和大小即可確定數列中是否存在最大項和最小項.
【詳解】由題意可知，等差數列的公差，
則其通項公式為：，
注意到，
且由可知，
由可知數列不存在最小項，
由于，
故數列中的正項只有有限項：，.
故數列中存在最大項，且最大項為.
故選：B.
【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，等差數列中項的符號問題，分類討論的數學思想等知識，屬于中等題.
7．（2020·全國·高考真題）數列滿足，前16項和為540，則 .
【答案】
【分析】對為奇偶數分類討論，分別得出奇數項、偶數項的遞推關系，由奇數項遞推公式將奇數項用表示，由偶數項遞推公式得出偶數項的和，建立方程，求解即可得出結論.
【詳解】，
當為奇數時，；當為偶數時，.
設數列的前項和為，
，
.
故答案為：.
【點睛】本題考查數列的遞推公式的應用，以及數列的并項求和，考查分類討論思想和數學計算能力，屬于較難題.
8．（2018·全國·高考真題）已知數列滿足，，設．
（1）求；
（2）判斷數列是否為等比數列，并說明理由；
（3）求的通項公式．
【答案】（1），，；（2）是首項為，公比為的等比數列．理由見解析；（3）.
【分析】（1）根據，求得和，再利用，從而求得，，；
（2）方法一：利用條件可以得到，從而可以得出，這樣就可以得到數列是首項為，公比為的等比數列；
（3）方法一：借助等比數列的通項公式求得，從而求得.
【詳解】（1）由條件可得，
將代入得，，而，所以，．
將代入得，，所以，．
從而，，；
（2）[方法1]：【通性通法】定義法
由以及可知，，，
所以，，又，所以為等比數列．
[方法2]：等比中項法
由知，所以，．
由知，所以．
所以為等比數列．
（3）[方法1]：【最優解】定義法
由（2）知，所以．
[方法2]：累乘法
因為，累乘得：．
所以．
【整體點評】（2）方法一：利用定義證明數列為等比數列，是通性通法；
方法二：利用等差中項法判斷數列為等比數列，也是常用方法；
（3）方法一：根據（2）中結論利用等比數列的通項公式求解，是該題的最優解；
方法二：根據遞推式特征利用累乘法求通項公式．
9．（2016·全國·高考真題）已知數列的前n項和，其中．
（Ⅰ）證明是等比數列，并求其通項公式；
（Ⅱ）若 ，求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【詳解】試題分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到數列的遞推公式，即可得到是等比數列及的通項公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前項和，結合的值，建立方程可求得的值．
試題解析：（Ⅰ）由題意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首項為，公比為的等比數列，于是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.
解得.
【考點】數列的通項與前項和的關系，等比數列的定義、通項公式及前項和.
【方法總結】等比數列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數）；（2）中項法，即證明．根據數列的遞推關系求通項常常要將遞推關系變形，轉化為等比數列或等差數列來求解．
10．（2015·全國·高考真題）為數列{}的前項和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通項公式；
（Ⅱ）設 ,求數列{}的前項和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（I）根據數列的遞推關系，利用作差法即可求{an}的通項公式：
（Ⅱ）求出bn，利用裂項法即可求數列{bn}的前n項和．
【詳解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3
兩式相減得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
則{an}是首項為3，公差d＝2的等差數列，
∴{an}的通項公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），∴數列{bn}的前n項和Tn（）（）.
【點睛】本題主要考查數列的通項公式以及數列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關鍵．
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