資源簡介

第01講 直線方程及直線間的位置關系
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2023年新I卷，第6題,5分 已知點到直線距離求參數 給值求值型問題 余弦定理解三角形 切線長
2023年新Ⅱ卷，第15題,5分 求點關于直線的對稱點 直線關于直線對稱問題 由直線與圓的位置關系求參數
2022年新Ⅱ卷，第3題,5分 已知斜率求參數 等差數列通項公式的基本量計算
2022年全國甲卷（理科）， 第10題,5分 已知兩點求斜率 求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
2022年全國甲卷（文科）， 第14題,5分 求平面兩點間的距離 由圓心 (或半徑)求圓的方程
2021年新Ⅱ卷，第3題,5分 已知點到直線距離求參數 根據拋物線方程求焦點或準線
2021年全國甲卷（文科）， 第5題,5分 求點到直線的距離 已知方程求雙曲線的漸近線
2021年全國乙卷（文科）， 第14題,5分 求點到直線的距離 求雙曲線的焦點坐標
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低，分值為5-6分
【備考策略】1.理解、掌握直線的傾斜角與斜率及其關系
2.熟練掌握直線方程的5種形式及其應用
3.熟練掌握距離計算及其參數求解
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，通常和圓結合在一起考查，需重點練習
知識講解
兩點間的距離公式
，，
中點坐標公式
，，為的中點，則：
三角形重心坐標公式
直線的斜率與傾斜角的定義及其關系
斜率：表示直線的變化快慢的程度；，直線遞增，，直線遞減，
傾斜角：直線向上的部分與軸正方向的夾角，范圍為
直線的斜率與傾斜角的關系：
不存在
兩點間的斜率公式
，，
直線的斜截式方程
，其中為斜率，為軸上的截距
直線的點斜式方程
已知點，直線的斜率，則直線方程為：
直線的一般式方程
兩條直線的位置關系
平行的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
點到直線的距離公式
點，直線，點到直線的距離為：
兩條平行線間的距離公式
，，
考點一、直線的傾斜角與斜率
1．（2024·上海·高考真題）直線的傾斜角 .
2．（23-24高二上·青海西寧·階段練習）已知三點在同一條直線上，則實數的值為 ．
3．（23-24高二上·山東棗莊·階段練習）經過兩點的直線的傾斜角是鈍角，則實數的范圍是 .
4．（23-24高二上·福建廈門·期中）已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024高三·全國·專題練習）直線的傾斜角的大小是（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·河南信陽·二模）已知直線的傾斜角為，則的值是 ．
3．（2022·上海·模擬預測）若是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角大小為 ．
考點二、直線的5種方程
1．（22-23高三·全國·課后作業）經過點和點的直線方程是 .
2．（22-23高二上·山東日照·階段練習）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是 ．
3．（22-23高二上·廣東江門·期末）直線的傾斜角及在y軸上的截距分別是（ ）
A．，2 B．， C．， D．，2
4．（24-25高三上·湖南長沙·開學考試）過點，傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21高一·全國·單元測試）如果，，那么直線不通過（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1．（2024高三·全國·專題練習）過點A(0，2)且傾斜角的正切值是的直線方程為（ ）
A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0
2．（21-22高二上·湖南·階段練習）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·陜西·階段練習）直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2024高三·全國·專題練習）已知直線l的斜率為6，且被兩坐標軸所截得的線段長為，則直線l的方程為（　　）
A．y＝6x＋ B．y＝6x＋6
C．y＝6x±6 D．y＝6x－6
5．（18-19高一下·福建莆田·期中）如果且，那么直線不通過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考點三、兩直線平行求參數
1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知直線與直線平行，則的值為（ ）
A．4 B． C．2或 D．或4
2．（2024·全國·模擬預測）已知直線：，直線：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知直線，直線，則“”是“或”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·河北保定·三模）已知直線，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考點四、兩直線垂直求參數
1．（23-24高三下·江蘇·階段練習）已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習）已知直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
1．（2024·四川南充·一模）“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（23-24高三上·河北·階段練習）已知直線與直線垂直，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考點五、直線的交點坐標與距離公式
1．（2024·廣西柳州·模擬預測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（ ）．
A． B．4 C． D．
2．（2024·黑龍江吉林·二模）兩條平行直線：，：之間的距離是（ ）
A．1 B． C． D．2
1．（23-24高二下·廣西·開學考試）橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為（ ）
A． B． C．2 D．
2．（23-24高二上·河南·期中）若直線與平行，則兩直線之間的距離為（ ）
A． B．1 C． D．2
考點六、直線恒過定點問題
1．（2022高三·全國·專題練習）已知直線 則當變化時，直線都通過定點
2．（2024·重慶·三模）當點到直線l：的距離最大時，實數的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
1．（20-21高二上·安徽六安·期末）直線，當變動時，所有直線都通過定點（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川·階段練習）已知直線，則點到直線的距離的最大值為 .
考點七、 直線綜合問題
1．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習）已知，，動點P在直線上.則的最小值為 .
2．（24-25高二上·四川成都·階段練習）已知直線與直線，則直線關于軸對稱的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·山東濰坊·階段練習）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·河北石家莊·階段練習）已知點，若直線與線段AB（含端點）有公共點，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高二上·四川成都·階段練習）已知平面上兩點是直線上一動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．5
2．（24-25高二上·四川成都·階段練面內四個點分布在直線的兩側，且兩側的點到直線的距離之和相等，則直線過定點（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·福建廈門·階段練習）經過點作直線l，若直線l與連接兩點的線段總有公共點，則l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·福建·階段練習）已知直線過點和，且在軸上的截距是，則實數等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·山東棗莊·期中）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024·河南洛陽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（2024·安徽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（2024·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山東·二模）已知直線與直線平行，且在軸上的截距是，則直線的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空題
8．（2024·上海·三模）已知直線的傾斜角為，且直線與直線：垂直，則
9．（2024·山東·二模）過直線和的交點，傾斜角為的直線方程為 .
10．（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線在處的切線與直線垂直，則 .
一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知直線：和直線：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知直線與直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）如圖所示，已知點，從點射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到點，則光線所經過的路程是（ ）
A．3 B． C． D．
4．（24-25高二上·四川成都·階段練習）已知直線與直線，則直線關于軸對稱的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二上·四川成都·階段練習）已知平面上兩點是直線上一動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．5
6．（2024·河南信陽·模擬預測）動點P在函數的圖象上，以P為切點的切線的傾斜角取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（24-25高二上·江西贛州·階段練習）若直線 則（ ）
A．的截距式方程為 B．
C．與之間的距離為1 D．與的傾斜角互補
三、填空題
8．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習）已知點P在直線上，點，，則的最小值為 ，此時點P坐標為
9．（2024·河北·模擬預測）拋物線上的動點到直線的距離最短時，到的焦點距離為 .
四、解答題
10．（24-25高二上·湖北黃岡·階段練習）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線所在直線方程為．
(1)求邊所在直線的方程；
(2)求的面積．
1．（2024·上海·高考真題）直線的傾斜角 .
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．（2021·全國·高考真題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為 ．
6．（2021·全國·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．（2020·全國·高考真題）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
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（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2023年新I卷，第6題,5分 已知點到直線距離求參數 給值求值型問題 余弦定理解三角形 切線長
2023年新Ⅱ卷，第15題,5分 求點關于直線的對稱點 直線關于直線對稱問題 由直線與圓的位置關系求參數
2022年新Ⅱ卷，第3題,5分 已知斜率求參數 等差數列通項公式的基本量計算
2022年全國甲卷（理科）， 第10題,5分 已知兩點求斜率 求橢圓的離心率或離心率的取值范圍
2022年全國甲卷（文科）， 第14題,5分 求平面兩點間的距離 由圓心 (或半徑)求圓的方程
2021年新Ⅱ卷，第3題,5分 已知點到直線距離求參數 根據拋物線方程求焦點或準線
2021年全國甲卷（文科）， 第5題,5分 求點到直線的距離 已知方程求雙曲線的漸近線
2021年全國乙卷（文科）， 第14題,5分 求點到直線的距離 求雙曲線的焦點坐標
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低，分值為5-6分
【備考策略】1.理解、掌握直線的傾斜角與斜率及其關系
2.熟練掌握直線方程的5種形式及其應用
3.熟練掌握距離計算及其參數求解
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，通常和圓結合在一起考查，需重點練習
知識講解
兩點間的距離公式
，，
中點坐標公式
，，為的中點，則：
三角形重心坐標公式
直線的斜率與傾斜角的定義及其關系
斜率：表示直線的變化快慢的程度；，直線遞增，，直線遞減，
傾斜角：直線向上的部分與軸正方向的夾角，范圍為
直線的斜率與傾斜角的關系：
不存在
兩點間的斜率公式
，，
直線的斜截式方程
，其中為斜率，為軸上的截距
直線的點斜式方程
已知點，直線的斜率，則直線方程為：
直線的一般式方程
兩條直線的位置關系
平行的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的條件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
點到直線的距離公式
點，直線，點到直線的距離為：
兩條平行線間的距離公式
，，
考點一、直線的傾斜角與斜率
1．（2024·上海·高考真題）直線的傾斜角 .
【答案】
【分析】求出直線的斜率，再根據斜率與傾斜角之間的關系求解即可.
【詳解】設直線的傾斜角為，
易知直線的斜率為，
所以，
解得.
故答案為：
2．（23-24高二上·青海西寧·階段練習）已知三點在同一條直線上，則實數的值為 ．
【答案】5
【分析】根據三點共線，直線斜率相等，即可列式計算.
【詳解】根據題意可得：，
即：，，
解得或；
又當時，是同一個點，不滿足題意，故舍去；
綜上所述，實數的值為：.
故答案為：.
3．（23-24高二上·山東棗莊·階段練習）經過兩點的直線的傾斜角是鈍角，則實數的范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可得且斜率，計算即可得解.
【詳解】根據題意，即，
且斜率，
即，
解得或.
實數的范圍是.
故答案為：
4．（23-24高二上·福建廈門·期中）已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.
【詳解】
，而，
故直線的取值范圍為，
故選：A.
1．（2024高三·全國·專題練習）直線的傾斜角的大小是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根據題意，求得直線的斜率，得到，結合傾斜角的定義，即可求解.
【詳解】由直線，可得直線的斜率，所以直線的傾斜角為2.
故選:D.
2．（2024·河南信陽·二模）已知直線的傾斜角為，則的值是 ．
【答案】
【分析】根據直線斜率等于傾斜角的正切值，得，再利用正切的二倍角公式即可得到結果.
【詳解】由直線方程，得直線斜率，
所以.
故答案為：
3．（2022·上海·模擬預測）若是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角大小為 ．
【答案】
【分析】先根據直線方向向量求出斜率，再由直線方向向量和傾斜角關系求出傾斜角.
【詳解】因為是直線的一個方向向量，所以直線的斜率，
所以直線的傾斜角大小為．
故答案為：．
考點二、直線的5種方程
1．（22-23高三·全國·課后作業）經過點和點的直線方程是 .
【答案】
【分析】根據兩點式求得直線方程.
【詳解】經過點和點的直線方程是：，
整理得.
故答案為：
2．（22-23高二上·山東日照·階段練習）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是 ．
【答案】或.
【分析】分截距為0和截距不為0兩種情況，設出直線方程，待定系數法進行求解.
【詳解】當截距為0時，設直線方程為，
將代入，可得，
所以直線方程為，
當截距不為0時，設直線方程為，
將代入，可得：，
所以直線方程為，
綜上：直線方程為或.
故答案為：或.
3．（22-23高二上·廣東江門·期末）直線的傾斜角及在y軸上的截距分別是（ ）
A．，2 B．， C．， D．，2
【答案】C
【分析】將直線方程化成斜截式方程，即可求解.
【詳解】直線化成斜截式，
可知直線的斜率，故傾斜角為，直線在y軸上的截距為，
故選：C
4．（24-25高三上·湖南長沙·開學考試）過點，傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得直線的斜率，可得點斜式方程，化為一般方程可得.
【詳解】由題可得直線的斜率為，
所以直線方程為：，
化簡可得：；
故選：B
5．（20-21高一·全國·單元測試）如果，，那么直線不通過（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】化簡直線方程為直線的斜截式方程，結合斜率和在軸上的截距，即可求解.
【詳解】因為，且，所以均不為零，
由直線方程，可化為，
因為，且，可得，y軸截距，
所以直線經過第一、三、四象限，所以不經過第二象限．
故選：B.
1．（2024高三·全國·專題練習）過點A(0，2)且傾斜角的正切值是的直線方程為（ ）
A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0
【答案】A
【分析】結合條件求直線的斜率，再利用點斜式可求結論.
【詳解】因為所求直線的傾斜角的正切值是，
所以所求直線的斜率為，
由點斜式可知直線方程為，
即3x－5y＋10＝0.
故選：A.
2．（21-22高二上·湖南·階段練習）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.
【詳解】由直線的兩點式方程可得，
直線l的方程為，即．
故選：C．
3．（23-24高二上·陜西·階段練習）直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據題意，由直線的方程，結合直線截距的定義計算，即可求解．
【詳解】由題意，直線，
令，解得，故；令，解得，所以．
故選：B．
4．（2024高三·全國·專題練習）已知直線l的斜率為6，且被兩坐標軸所截得的線段長為，則直線l的方程為（　　）
A．y＝6x＋ B．y＝6x＋6
C．y＝6x±6 D．y＝6x－6
【答案】C
【詳解】
解析：設所求直線l的方程為y＝6x＋b.令x＝0，∴ y＝b，與y軸的交點為（0，b）；令y＝0，∴ x＝－，與x軸的交點為（－，0）.∵ 被兩坐標軸所截得的線段長為，∴ （－）2＋b2＝37，解得b＝±6，因此所求直線方程為y＝6x±6.
5．（18-19高一下·福建莆田·期中）如果且，那么直線不通過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】化簡直線方程為直線的斜截式方程，結合斜率和在軸上的截距，即可求解.
【詳解】因為，且，所以、、均不為零，
由直線方程，可化為，
因為，且，可得，，
所以直線經過第一、二、四象限，所以不經過第三象限．
故選：C.
考點三、兩直線平行求參數
1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知直線與直線平行，則的值為（ ）
A．4 B． C．2或 D．或4
【答案】B
【分析】根據兩直線平行得到，求出的值，再檢驗即可.
【詳解】因為直線與直線平行，
所以，解得或，
當時直線與直線重合，不符合題意；
當時直線與直線平行.
故選：B
2．（2024·全國·模擬預測）已知直線：，直線：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用兩直線平行求解的值，結合充要關系的定義判斷即可.
【詳解】由可得，解得或.
當時，：，：，顯然，重合，舍去，
故時，.
因此“”是“”的充要條件.
故選：C
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知直線，直線，則“”是“或”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據直線平行滿足的系數關系列式求解a，結合充分條件、必要條件的概念判斷即可.
【詳解】若直線和直線平行，
則，解得，
所以“”是“或”的充分不必要條件.
故選：A
2．（2023·河北保定·三模）已知直線，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據題意，由直線平行的判斷方法分析“”和“”的關系，結合充分必要條件的定義分析可得答案.
【詳解】若直線與平行，
則，解得或，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：.
考點四、兩直線垂直求參數
1．（23-24高三下·江蘇·階段練習）已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出直線的斜率，再由直線與垂直，求出直線的斜率，然后由傾斜角與斜率的關系可求得結果.
【詳解】由，得，則，
因為直線與垂直，所以，
所以，得，
設直線的傾斜角為，則，
因為，所以，
故選：C
2．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習）已知直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】C
【分析】當時可得，即；當時可得，結合充分、必要條件的定義即可求解.
【詳解】當時，，
即，則，即；
當時，，解得.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
1．（2024·四川南充·一模）“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進而根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若直線與直線垂直，
則，解得，
所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（23-24高三上·河北·階段練習）已知直線與直線垂直，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根據直線的垂直關系可得，利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】因為直線與直線垂直，
所以，即，所以，
當且僅當或時等號成立．
即的最小值為4，
故選：B
考點五、直線的交點坐標與距離公式
1．（2024·廣西柳州·模擬預測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】求出頂點坐標和漸近線方程，然后利用點到直線的距離公式求解．
【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點，，
漸近線方程為，
由對稱性，不妨求到直線的距離，．
故選：C．
2．（2024·黑龍江吉林·二模）兩條平行直線：，：之間的距離是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用平行直線間的距離公式即可得解.
【詳解】因為：，：，
所以它們之間的距離為.
故選：B.
1．（23-24高二下·廣西·開學考試）橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先求橢圓的上頂點，再求雙曲線的漸近線，然后代入點到直線的距離公式求解.
【詳解】
橢圓的上頂點為，
雙曲線的漸近線方程為，
則橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為．
故選：B
2．（23-24高二上·河南·期中）若直線與平行，則兩直線之間的距離為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根據兩直線平行可得，再由平行線間的距離公式即可求得結果.
【詳解】依題意，由兩直線平行可知，解得，
所以兩直線分別為，
可得兩直線之間的距離為，
故選：C．
考點六、直線恒過定點問題
1．（2022高三·全國·專題練習）已知直線 則當變化時，直線都通過定點
【答案】
【分析】整理得，，利用，即可計算求得定點.
【詳解】整理得，
令，從而該直線必過定點.
故答案為：
2．（2024·重慶·三模）當點到直線l：的距離最大時，實數的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先求得直線過的定點，再由點P與定點的連線與直線垂直求解.
【詳解】直線l：，
整理得，
由，可得，
故直線恒過點，
點到的距離，
故；
直線l：的斜率，
故，解得
故選：B.
1．（20-21高二上·安徽六安·期末）直線，當變動時，所有直線都通過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直線方程轉化為：，然后令，解方程即可求解．
【詳解】解：直線方程轉化為：，
令，解得，
所以直線過定點，
故選：A．
2．（23-24高三上·四川·階段練習）已知直線，則點到直線的距離的最大值為 .
【答案】
【分析】求出直線l所過的定點，確定何時點到直線的距離最大，結合兩點間的距離公式，即可求得答案.
【詳解】直線，即，
由,解得，，所以直線恒過定點，
當直線l與直線AP垂直時，點到直線的距離的最大，

最大值為，
所以點到直線的距離的最大值為，
故答案為：
考點七、 直線綜合問題
1．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習）已知，，動點P在直線上.則的最小值為 .
【答案】
【分析】借助線段和的幾何意義求解即可.
【詳解】設關于直線對稱對稱點坐標為，
則，解得，即，
，
所以的最小值為.
故答案為：.
2．（24-25高二上·四川成都·階段練習）已知直線與直線，則直線關于軸對稱的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直線關于軸對稱的直線方程，由此得解.
【詳解】直線關于軸對稱的直線方程為：，
又與關于軸對稱，所以.
所以直線與關于軸對稱的充要條件是.
故選：D.
3．（24-25高二上·山東濰坊·階段練習）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由直線的方程求出其所過定點坐標，由此確定最大距離及此時直線的方程.
【詳解】直線的方程可化為，
聯立，解得，
所以直線經過定點，
當時，點到直線的距離最大，最大距離為，
因為直線的斜率，，
所以直線的斜率，
所以，
所以，
所以，故，
所以直線的方程為.
故選：C.
4．（24-25高二上·河北石家莊·階段練習）已知點，若直線與線段AB（含端點）有公共點，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直線l過的定點，設為P，求出，結合圖象，即可確定答案.
【詳解】由可得，
即直線過定點，設為P，
結合，則，

直線與線段AB（含端點）有公共點，
則或，即或，
故m的范圍為，
故選：D
1．（24-25高二上·四川成都·階段練習）已知平面上兩點是直線上一動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】求出點關于直線的對稱點，再由幾何關系得到三點共線時距離最大，
最后利用兩點間距離求解即可；
【詳解】
設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
連接，可得，所以，
當三點共線時，等號成立，
所以的最大值為，
故選：B.
2．（24-25高二上·四川成都·階段練面內四個點分布在直線的兩側，且兩側的點到直線的距離之和相等，則直線過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知將的坐標代入直線的方程，得代數式之和等于0，整理可得，代入直線方程即可得結果.
【詳解】點分布在直線的兩側，且兩側的點到直線的距離之和相等，
則將的坐標代入直線的方程，得代數式之和等于0，
即，
則，即，
所以直線，即，過定點.
故選：B.
3．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題知直線的斜率，再根據斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.
【詳解】
設直線的傾斜角為，，
當直線的斜率不存在時，，符合，
當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，
因為點， ，，則，，
因為直線經過點，且與線段總有公共點，所以，
因為，又，所以，
所以直線的傾斜角范圍為.
故選：B.
4．（24-25高二上·福建廈門·階段練習）經過點作直線l，若直線l與連接兩點的線段總有公共點，則l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出直線的斜率范圍，進而求出傾斜角范圍.
【詳解】依題意，直線的斜率，直線的斜率，
由直線l與線段總有公共點，得直線的斜率，即，
當時，而，則；當，得，
所以l的傾斜角的取值范圍為.
故選：D
一、單選題
1．（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由直線垂直的充要條件即可列式得解.
【詳解】直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，
即且，，所以.
故選：D.
2．（24-25高二上·福建·階段練習）已知直線過點和，且在軸上的截距是，則實數等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得直線的方程，代入點的坐標，可求的值.
【詳解】因為直線在軸上的截距是1，所以過點，
又直線過點，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為：，即直線方程為，
又直線過點，所以，解得．
故選：D.
3．（23-24高二下·山東棗莊·期中）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由導數的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切點坐標，求出切點到直線的距離即為所求最小距離．
【詳解】直線的斜率，函數定義域為，
點是曲線上任意一點，設，由，
令，解得或（舍去），
，此時，∴曲線上與直線平行的切線的切點為，
所以曲線上點到直線的最小距離，
為點到直線的距離.
故選：C.
4．（2024·河南洛陽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】求出直線平行的充要條件為，結合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】若，則有，所以或，
當時，，故，重合；
當時，，滿足條件，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件，
故選：D．
5．（2024·安徽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】代入，可得兩直線為同一直線，可得結果.
【詳解】當時，
直線即直線，
直線即直線，
所以兩直線重合，“”是“直線與直線平行”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
6．（2024·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】聯立直線可得其交點坐標，由該點在圓的內部計算即可得.
【詳解】聯立，解得，即點在圓的內部，
即有，解得.
故選：D.
7．（2024·山東·二模）已知直線與直線平行，且在軸上的截距是，則直線的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依題意設直線的方程為，代入求出參數的值，即可得解.
【詳解】因為直線平行于直線，所以直線可設為，
因為在軸上的截距是，則過點，代入直線方程得，
解得，所以直線的方程是.
故選：C
二、填空題
8．（2024·上海·三模）已知直線的傾斜角為，且直線與直線：垂直，則
【答案】
【分析】根據題意，求得直線的斜率，結合直線、互相垂直算出的斜率，進而求出傾斜角的大小．
【詳解】直線即，斜率，
因為直線、互相垂直，所以直線的斜率，
直線的傾斜角為，則，結合，可知．
故答案為：．
9．（2024·山東·二模）過直線和的交點，傾斜角為的直線方程為 .
【答案】
【分析】聯立直線求解交點，即可根據點斜式求解直線方程.
【詳解】聯立與可得，
故交點為，傾斜角為，所以斜率為1，
故直線方程為，即，
故答案為：
10．（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線在處的切線與直線垂直，則 .
【答案】
【分析】利用導函數的幾何意義以及兩直線的位置關系與斜率的關系求解.
【詳解】由題意得函數的導函數為，故在處切線的斜率為，
直線的斜率存在為，根據題意得，，解得.
故答案為:.
一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知直線：和直線：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據直線平行求得或，再結合包含關系分析充分、必要條件.
【詳解】若，則，解得或，
若，則直線：、直線：，可知；
若，則直線：、直線：，可知；
綜上所述：或.
因為是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知直線與直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】由，計算得或，即可判斷.
【詳解】因為，
所以，
解得或，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件．
故選：D．
3．（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）如圖所示，已知點，從點射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到點，則光線所經過的路程是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出關于直線的對稱點和它關于軸的對稱點，則的長就是所求路程．
【詳解】依題意，直線方程為，設關于直線的對稱點，
則，解得，即，又關于軸的對稱點為，
，光線所經過的路程即的周長，
而的周長為，
所以光線所經過的路程是．
故選：B
4．（24-25高二上·四川成都·階段練習）已知直線與直線，則直線關于軸對稱的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直線關于軸對稱的直線方程，由此得解.
【詳解】直線關于軸對稱的直線方程為：，
又與關于軸對稱，所以.
所以直線與關于軸對稱的充要條件是.
故選：D.
5．（24-25高二上·四川成都·階段練習）已知平面上兩點是直線上一動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】求出點關于直線的對稱點，再由幾何關系得到三點共線時距離最大，
最后利用兩點間距離求解即可；
【詳解】
設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
連接，可得，所以，
當三點共線時，等號成立，
所以的最大值為，
故選：B.
6．（2024·河南信陽·模擬預測）動點P在函數的圖象上，以P為切點的切線的傾斜角取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據導數的幾何意義及直線的傾斜角與斜率的關系即可求解．
【詳解】設以點為切點的切線的傾斜角為，
因為函數，
所以，
當且僅當，即時取等號，
又因為，
所以，
所以.
故選：C.
二、多選題
7．（24-25高二上·江西贛州·階段練習）若直線 則（ ）
A．的截距式方程為 B．
C．與之間的距離為1 D．與的傾斜角互補
【答案】BCD
【分析】根據直線的截距式方程，直線平行的斜率結論，平行線之間的距離公式，斜率與傾斜角的關系逐個判斷即可.
【詳解】由 得 ，故的截距式方程為 故A 錯誤；
因為 與 的斜率都等于所以故B正確;
直線 化為一般方程是，則與之間的距離為故C正確；
因為的斜率，的斜率與的斜率互為相反數，所以與的傾斜角互補，故 D 正確.
故選： BCD.
三、填空題
8．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習）已知點P在直線上，點，，則的最小值為 ，此時點P坐標為
【答案】
【分析】作圖分析，結合對稱性將轉化為，則點與在同一直線時，最小，求得此時點坐標即可.
【詳解】如圖，
設關于直線的對稱點為，則，
解得，則，于是，
結合圖形知，當三點共線時，此時取得最小值，即在點位置時，
而，直線為，
由，得點，因此取得最小值時點坐標為.
故答案為：；
9．（2024·河北·模擬預測）拋物線上的動點到直線的距離最短時，到的焦點距離為 .
【答案】2
【分析】設，求出P到直線距離，結合絕對值變形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦點距離即可．
【詳解】設，則點到直線的距離為
,
當，即當時，
拋物線 上一點到直線的距離最短，P到C的焦點距離為.
故答案為：2．
四、解答題
10．（24-25高二上·湖北黃岡·階段練習）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線所在直線方程為．
(1)求邊所在直線的方程；
(2)求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直線的方程，聯立的方程解出，然后設，為的中點，所以，代入各自方程求出，然后計算所在直線的方程即可；
（2）先求出點到直線的距離，然后利用兩點間的距離公式求出，計算的面積即可.
【詳解】（1）因為，所以設直線的方程為：，
將代入得，所以直線的方程為：，
聯立，所在直線方程：，解得，
設，因為為的中點，所以，
因為在直線上，在上，
所以，，
解得，所以，，
所以所在直線的方程為：，即.
（2）點到直線的距離為：，
又，
所以.
1．（2024·上海·高考真題）直線的傾斜角 .
【答案】
【分析】求出直線的斜率，再根據斜率與傾斜角之間的關系求解即可.
【詳解】設直線的傾斜角為，
易知直線的斜率為，
所以，
解得.
故答案為：
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.
【詳解】由題意得，即，
則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
3．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
4．（2021·全國·高考真題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.
【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，
結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.
故選：A.
5．（2021·全國·高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為 ．
【答案】
【分析】先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解.
【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，
所以右焦點到直線的距離為.
故答案為：
6．（2021·全國·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.
【詳解】拋物線的焦點坐標為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
7．（2020·全國·高考真題）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】首先根據直線方程判斷出直線過定點，設，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結果.
【詳解】由可知直線過定點，設，
當直線與垂直時，點到直線距離最大，
即為.
故選：B.
【點睛】該題考查的是有關解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質是解題的關鍵，屬于基礎題.
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