資源簡介

第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
（5類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關(guān)聯(lián)考點
2024年新I卷，第10題,6分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求已知函數(shù)的極值點
2024年新I卷，第18題,17分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性 證明函數(shù)的對稱性 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 利用不等式求取值范圍
2024年新Ⅱ卷，第11題,6分 利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)對稱性的應(yīng)用 極值與最值的綜合應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點 判斷零點所在的區(qū)間
2024年新Ⅱ卷，第16題,15分 利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性 求在曲線上一點處的切線方程 根據(jù)極值求參數(shù)
2023年新I卷，第19題,12分 含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題
2023年新Ⅱ卷，第22題,12分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (不含參) 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點 根據(jù)極值點求參數(shù)
2022年新I卷，第7題,5分 用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性 比較指數(shù)寡的大小 比較對數(shù)式的大小
2022年新Ⅱ卷，第22題,12分 含參分類討論求函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 裂項相消法求和
2021年新I卷，第22題,12分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (不含參) 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
2021年新Ⅱ卷，第22題,12分 含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分
【備考策略】1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間
3.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，且近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。
知識講解
導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系
條件 恒有 結(jié)論
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo) ＞0 f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增
＜0 f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減
＝0 f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
第1步，確定函數(shù)的定義域；
第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.
[常用結(jié)論]
1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，恒成立.
2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，＜0有解.
考點一、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系
1．（浙江·高考真題）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．
【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
2．（全國·高考真題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖，那么的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小可得答案.
【詳解】
因為，的導(dǎo)數(shù)大于零，因此，，單調(diào)遞增，
又，的導(dǎo)數(shù)表示曲線與的曲線上任一點切線的斜率，
是單調(diào)遞減的，故增的慢，
是單調(diào)遞增的，故增的快，排除A、C，
又，即與在的切線是平行的，排除B．
故選：D.
1．（浙江·高考真題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解析：檢驗易知A、B、C均適合，不存在選項D的圖象所對應(yīng)的函數(shù)，在整個定義域內(nèi)，不具有單調(diào)性，但y=f（x）和y=f′（x）在整個定義域內(nèi)具有完全相同的走勢，不具有這樣的函數(shù)，故選D．
2．（浙江·高考真題）是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項中的（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合圖象進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，只有選項C符合，
故選：C
3．（江西·高考真題）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到正確選項.
【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得
當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；
則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為
故僅選項C符合要求.
故選：C
考點二、利用導(dǎo)數(shù)求不含參函數(shù)的單調(diào)性
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析.
(2)
【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;
（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若
當(dāng),所以.
.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).
2．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)3個
【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；
（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).
【詳解】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設(shè)，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，即
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個極小值點；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；
所以在上有一個極大值點；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個極小值點；
當(dāng)時，，
所以，則單調(diào)遞增，
所以在上無極值點；
綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負(fù)情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點判斷即可得解.
3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.
(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)的定義域為．
由得，，
當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br/>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結(jié)論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.
1．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)有且僅有三個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值大于0來求單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，分析可得的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
令，得，解得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）令，解得或．
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表所示：
0 2
0 0
單調(diào)遞減 1 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減
由函數(shù)有且僅有三個零點，
得方程有且僅有三個不等的實數(shù)根，
所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個交點．
顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，
故．
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，，求的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和
(2).
【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間；
（2）先化簡不等式參數(shù)分離，再根據(jù)最值得出最小值即可求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由題得函數(shù)的定義域為，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（2）當(dāng)時，，
等價于，
即，
即等價于當(dāng)時，.
令，
所以
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
即的取值范圍為.
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，判斷的零點個數(shù).
【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為；
(2)2個.
【分析】（1）求導(dǎo)，當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和余弦函數(shù)有界性可判斷導(dǎo)數(shù)符號，當(dāng)時，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，然后可得導(dǎo)函數(shù)符號；
（2）當(dāng)時，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)有界性可判斷函數(shù)值符號，當(dāng)時，記，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象，根據(jù)與的圖象交點個數(shù)判斷即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，則，
所以，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，記，則，
因為，所以，在單調(diào)遞增，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增.
綜上，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）當(dāng)時，，則，
記，則，
當(dāng)時，，所以，在單調(diào)遞增，
所以，在上單調(diào)遞增，
所以，在上無零點.
當(dāng)時，因為，
所以，此時無零點.
當(dāng)時，記，則，
因為當(dāng)趨近于0時，趨近于0，所以的變化越來越慢，圖象下凹，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
作出函數(shù)和的圖象如圖，
由圖可知，當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有一個交點，即有一個零點.
易知是的一個零點.
綜上，函數(shù)共有2個零點.
考點三、利用導(dǎo)數(shù)求可分離型含參函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時，即可.
【詳解】（1）定義域為，
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），且時，，
令，下證即可.
，再令，則，
顯然在上遞增，則，
即在上遞增，
故，即在上單調(diào)遞增，
故，問題得證
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當(dāng)時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當(dāng)時，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當(dāng)時，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
1．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）得到的函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)最大值.
【詳解】（1）的定義域為 ，
求導(dǎo)數(shù)，得 ，
若，則，此時在上單調(diào)遞增，
若，則由得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時， ，在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間，
若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）由（1）知，當(dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
由，得，
若時，函數(shù)的最大值為，
若時，函數(shù)的最大值為，
綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時，函數(shù)的最大值為.
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）要證明，只要證即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且．
當(dāng)時，恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)時，因為，所以要證，只要證明即可，
即要證，等價于（*）．
令，則，
在區(qū)間上，單調(diào)遞減；
在區(qū)間上，單調(diào)遞增，
所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），
所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
又在上單調(diào)遞增，，
所以存在，使得成立．
綜上所述，原不等式成立．
3．（2024·新疆·三模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，分，，，四種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知當(dāng)時，可能有三個不同的零點，然后分和兩種情況結(jié)合零點存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性討論零點的個數(shù).
【詳解】（1）因為的定義域為，且，
當(dāng)時，令，解得；令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，時恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，令，解得，
令，解得或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，令，解得，
令，解得或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）得，當(dāng)時，至多有兩個零點，不符題意；
當(dāng)時，至多有一個零點，不符題意；
當(dāng)時，的極大值，至多有一個零點，不符題意；
當(dāng)時，的極小值，的極大值，至多有兩個零點，不符題意；
當(dāng)時，因為在上單調(diào)遞增，且，
，所以在上有且只有一個零點，
因為在上單調(diào)遞減，，且，
所以在上有且只有一個零點，
因為在上單調(diào)遞增，，
令，則，令，則
，
因為當(dāng)時，，
所以在上遞增，即在上遞增，
所以，所以在上遞增，
所以，
所以在上恒成立，
所以，
所以，
故在上有且只有一個零點，
所以有三個零點，
綜上，當(dāng)時，有三個不同的零點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是當(dāng)時，結(jié)合（1）當(dāng)時，的單調(diào)區(qū)間和零點存在性定理分析判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.
4．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，數(shù)列滿足，且
①比較，，1的大小
②證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，分和，，四種情況，得到函數(shù)單調(diào)性；
（2）①求導(dǎo)，得到，故，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到，從而確定，證明出結(jié)論；
②要證，即證，由于，故成立.
【詳解】（1）由題意知的單調(diào)性為，
.
當(dāng)時，令，解得，令，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，解得或，令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，解得或，令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）①當(dāng)時，，則，
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，，，，，
令，
，
所以在上單調(diào)遞減，且，
因為，
又，所以，
所以，則.
②要證，即證，
又，，即證.
所以，即，
所以成立，
故.
【點睛】導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.
5．（2024·廣西桂林·三模）已知．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若且有2個極值點，，求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分、、和四種情況討論，結(jié)合的正負(fù)，進(jìn)而得單調(diào)性；
（2）把原不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性求出最值進(jìn)行比較大小即可
【詳解】（1）的定義域為，
由題可得，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，
若，則，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增；
若，則時，，單調(diào)遞減，或時，，單調(diào)遞增；
若，則，在上單調(diào)遞增；
若，則時，，單調(diào)遞減，或時，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知時，恒有2個極值點，，且，，
所以，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，，
所以存在，使得，即，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
所以．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值，證得命題成立.
考點四、利用導(dǎo)數(shù)求不可分離型含參函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在唯一的極值點，證明：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求導(dǎo)，分，，三種情況討論，綜合可得；
（2）由（1）得，表示出得的范圍，并代入所證不等式，消去a得關(guān)于的不等式，構(gòu)造函數(shù)判單調(diào)性得最值即可證明.
【詳解】（1）因為，
當(dāng)時，，此時在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上有零點，
當(dāng)和時，，所以在和上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由題意可知，
若存在唯一的極值點，
由（1）可知且．
因為，
要證，
只需證①．
因為，所以．
將代入①整理可得，只需證．
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即原不等式成立．
2．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，定義域為.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求當(dāng)函數(shù)有且只有一個零點時，的取值范圍.
【答案】(1)答案見詳解
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，分和，根據(jù)二次方程根的個數(shù)以及韋達(dá)定理分析判斷的符號，進(jìn)而可得的單調(diào)性；
（2）參變分離可得，構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）因為，
（ⅰ）當(dāng)，即時，則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增；
（ⅱ）當(dāng)，即或時，可知有兩個不相等的根，
不妨令，可知，
①若，因為，可知，
令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
②若，因為，可知，
令，解得或；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.
（2）若，可知在內(nèi)無零點，不合題意，可知
令，整理得，
構(gòu)建，
原題意等價于與的圖象有且僅有一個交點，
因為，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，即在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，
且當(dāng)趨近于0時，趨近于；當(dāng)趨近于時，趨近于0且；
的大致圖象如圖所示，

可得，即，所以的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
1．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)得，分類討論可求單調(diào)區(qū)間；
（2）由已知可得，令，可得，進(jìn)而由單調(diào)性可得，求得函數(shù)的最大值即可.
【詳解】（1）的定義域為.
關(guān)于的方程，
當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，此時，
，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，則是方程的兩根.
又，所以，
令，解得或，
令，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由，可得，即.
令，易知單調(diào)遞增.
由，可得，則，即.
設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，
所以，則的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問的解決關(guān)鍵是，轉(zhuǎn)化得，從而利用同構(gòu)法即可得解.
2．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)
【分析】（1）求導(dǎo)，分和討論判斷正負(fù)，得解；
（2）根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為有兩解，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性極值情況得解；
（3）根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為，對恒成立．當(dāng)時，上式顯然成立；當(dāng)時，上式轉(zhuǎn)化為，令利用導(dǎo)數(shù)求出最值得解.
【詳解】（1）， ，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令，則．
若，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
若，即時，方程的根為，
當(dāng)時，或，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
（2）令，則．
令，則．
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．
又當(dāng)時，，且；當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，先減后增，且在處有最小值，
此時直線與有兩個交點，
所以實數(shù)的取值范圍為．
（3）因為，即，
即，對恒成立．
當(dāng)時，上式顯然成立；
當(dāng)時，上式轉(zhuǎn)化為，
令，，
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最值，進(jìn)而確定參數(shù)范圍.
考點五、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
2．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
3．（2023·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【詳解】首先求出的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間內(nèi)，且，得出關(guān)于的不等式組，求解即可．
【分析】函數(shù)的定義域為，
且，
令，得，
因為在區(qū)間上不單調(diào)，
所以，解得：
故選：B.
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，利用分離參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究最值即可得到答案.
【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即，
令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，故，即的最大值為，
故選：B
2．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用換元法將題目條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立；再構(gòu)造函數(shù)，判斷其函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值即可解答.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，
則，
所以在上恒成立.
又因為在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，
故.
故選：D.
3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件得即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最值即可解決問題.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，變形得，因為，所以，
所以當(dāng)，即時，，所以.
故選：A．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有解，得到在上有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)，可得，
因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
可得在上有解，
即在上有解，
令，則，且，
當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，，所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.
故選：D．
【點睛】結(jié)論點睛：“恒成立問題”與“有解問題”在等價轉(zhuǎn)化上的區(qū)別：
恒成立問題 有解問題
①恒成立；恒成立． ②恒成立； 恒成立． ③恒成立 ； 恒成立 ． ④ ． ①有解； 有解． ②有解； 有解． ③有解； 有解． ④，使得 ．
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)給定區(qū)間上為增函數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上恒為非負(fù)數(shù)，利用參變分離法即可通過求相應(yīng)函數(shù)的最值求得參數(shù)范圍.
【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立，
即在上恒成立．令，,則，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以．
故選：C．
2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使在上單調(diào)遞增的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)為增函數(shù)的等價條件，再由幾何概型公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得在上恒成立，
則在上恒成立，即，
則所求概率為.
故選：D
二、解答題
3．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）將原函數(shù)求導(dǎo)，就參數(shù)進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）構(gòu)造函數(shù)，在條件下，判斷的符號，得到得證.
【詳解】（1）的定義域,
若則在上單調(diào)遞增；
若當(dāng)時，則單調(diào)遞減，時，則單調(diào)遞增.
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）因，設(shè)則，
則在上單調(diào)遞減，故.
4．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即得；
（2）通過代入不等式整理成在上存在實數(shù)解問題，故可轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在得最小值問題，計算即得.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
∴，由，得，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
（2）原條件等價于：在上存在實數(shù)解．
化為在上存在實數(shù)解，
令，
則，
∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，
∴的最小值為，
∴時，不等式在上存在實數(shù)解．
5．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求導(dǎo)得，令可求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）易判斷在時單增，在時單減，進(jìn)而求出.
【詳解】（1），令，得，即，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，即的最大值為.
6．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知，.
(1)討論的單調(diào)性.
(2)若使得，求參數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)
【分析】（1）對求導(dǎo)數(shù)，然后分類討論即可；
（2）直接對和分類討論，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由，知.
當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，對有，
對有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時，由（1）的結(jié)論，知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以對任意的都有，
故恒成立，這表明此時條件不滿足；
當(dāng)時，設(shè)，由于，，
故由零點存在定理，知一定存在，使得，
故，從而，這表明此時條件滿足.
綜上，的取值范圍是.
7．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，且在處的切線方程是．
(1)求實數(shù)，的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．
【答案】(1)，
(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；
（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值.
【詳解】（1）因為，所以，
又在處的切線方程為，
所以，，
解得，．
（2）由（1）可得定義域為，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
則在處取得極小值，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
因此極小值為，無極大值．
8．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若曲線在點處的切線與二次曲線只有一個公共點，求實數(shù)a的值．
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．
(2)或．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）首先求出函數(shù)的切線方程，與曲線聯(lián)立方程，分析得出結(jié)論.
【詳解】（1）易知定義域為R，，
所以，，，．
故單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．
（2）因為，，
所以曲線在點處的切線為
把切線方程代入二次曲線方程，得有唯一解，
即且，即
解得或．
9．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）求出，切點為，直接寫出切線方程；
（2）轉(zhuǎn)化為對于恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
，，，
所以的圖象在處的切線方程為：.
（2），
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對于恒成立，
即對于恒成立，
令，
當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
故.
10．（23-24高三上·湖北·期中）已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義和平行關(guān)系得到方程，求出，從而得到，求出切線方程；
（2）求定義域，求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)因式分解，分，和三種情況，討論得到函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】（1），
由已知，
∴得
又
∴曲線在點處的切線方程為
化簡得：
（2）定義域為R，
，令得或
①當(dāng)即時，
令得或，令得，
故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
②當(dāng)即時，恒成立，
故在R上單調(diào)遞增；
③當(dāng)即時，
令得或，令得，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
一、單選題
1．（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)遞減，得到，得出，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得
因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即，
則，解得，即實數(shù)的取值范圍是．
故選：D．
2．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．-1
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對于使得取得最小值時，直線和函數(shù)的圖象相切，求得上的一點的切線方程為，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.
【詳解】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
對于使得取得最小值時，直線和函數(shù)的圖象相切，
又由，可得，則，
可得在點的切線為，即，
令，所以，
令，所以，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
所以的最小值為.
故選：C.
【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；
2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
二、解答題
3．（2024·四川涼山·三模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍，
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論的范圍求解單調(diào)性；
（2）由（1）單調(diào)性進(jìn)行判斷具有三個零點，進(jìn)行求解的取值范圍.
【詳解】（1）求導(dǎo)
當(dāng)時
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，或.
若即時，或,
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
若時， 函數(shù)在單調(diào)遞增
若即時，或．
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
（2）由（1）知當(dāng)時函數(shù)至多兩個零點，不滿足條件．
當(dāng)時，函數(shù)至多一個零點，不滿足條件；
當(dāng)時函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，函數(shù)至多一個零點，不滿足
當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．
，令，
在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
即
綜上：的取值范圍是
4．（23-24高二下·湖北武漢·期中）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值集合.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，分類討論和，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）知，當(dāng)時，不合題意，則，將恒成立等價于，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即最值，即可求解.
【詳解】（1）由題意得：的定義域為，
，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，
當(dāng)時，令，解得：，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
綜上所述：時，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，
時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）當(dāng)時，，不合題意，
當(dāng)時，由（1）知，
則，
令，則，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
實數(shù)的取值集合為.
5．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)，，其中．
(1)若，求實數(shù)a的值
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若存在使得不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）求導(dǎo)可得，由代入計算，即可求解；
（2）求導(dǎo)可得，然后分討論，即可求解；
（3）根據(jù)題意，由分離參數(shù)可得，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得最值即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因為，則，
由可得，解得.
（2）函數(shù)的定義域為，
且，
當(dāng)時，令，可得或，
①當(dāng)，即時，
對任意的，，的單調(diào)遞增區(qū)間為．
②當(dāng)，即時，
，得或，，得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
③當(dāng)，即時
，得或；，得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
綜上所述，時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；
時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.
（3）由，可得，即，其中，
令，，
若存在，不等式成立，則，，
，令，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以函數(shù)在端點或處取得最小值．
因為，，所以，
所以，所以，
因此，實數(shù)的取值范圍是．
6．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，
（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．
【答案】(1)答案見解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的最值與零點存在性定理證明即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
且，
當(dāng)時，恒成立，所以在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，即，解得，，
因為，所以，則，
所以當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，此時，
所以時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上可得：當(dāng)時在單調(diào)遞減；
當(dāng)時在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）（ⅰ）由（1）可知．
（ⅱ）由（1）在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，
又，所以，則，
又，
又，
所以在上沒有零點，
又，則，則，，
則，
所以，所以在上存在一個零點，
綜上可得函數(shù)有且只有一個零點．
7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為恒成立問題，令，然后求導(dǎo)研究的單調(diào)性，求出其最小值，根據(jù)最小值大于等于，求得實數(shù)的值；
（2）由（1）中的分析可得到，然后構(gòu)造函數(shù)證得，再進(jìn)行放縮，利用裂項相消法證明即可.
【詳解】（1）由題意，得，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，
令，則，
當(dāng)時，因為，所以恒成立，
則在上單調(diào)遞增，又，所以恒大于等于0不成立.
當(dāng)時，由得，
所以當(dāng)，當(dāng)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
若恒成立，則，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以當(dāng)時，.
綜上，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.
（2）由（1）得，當(dāng)時，恒成立，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
令，則，
所以
令，則恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，，即，
所以，
所以 ，
故得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：在第二問的證明中，關(guān)鍵需要利用（1）中的結(jié)論，得出，
再巧妙賦值，得出，
其次，還需要聯(lián)想的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)得出，
即可得出，再累加即可得證.
8．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論即可得解；
（2）結(jié)合（1）分，和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，再結(jié)合零點的存在性定理即可得解.
【詳解】（1）定義域為，由題意得，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），
由（1）知當(dāng)時，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，，
所以由零點存在性定理知，函數(shù)在上有1個零點；
當(dāng)時，若，則，若，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得，
當(dāng)時，，此時在上有1個零點，
當(dāng)時，，
因為當(dāng)時，，，
所以此時在上有2個零點，
當(dāng)時，，此時在上無零點，
綜上，當(dāng)或時，在上有1個零點；
當(dāng)時在上有2個零點；
當(dāng)時在上無零點.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
9．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若只有一個解，則當(dāng)時，求使成立的最大整數(shù)k.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)2
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的正負(fù)性，即可求解；
（2）由條件可得0是的解，可得無非零解，然后構(gòu)造函數(shù)，即可得到，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值即可.
【詳解】（1）函數(shù)，定義域為，則，
因為，設(shè)，，
則令得，，，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，
單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，
綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）若即只有一個解，
因為使方程成立，所以只有0是的解，
當(dāng)時，無非零解，
設(shè)，則，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以最小值為，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故定有零點，又因為無非零解，有零點應(yīng)還是0，
所以，所以，則，
，得，，，
所以，得，
設(shè)，則，
令，則，
因為時，，所以，則在單調(diào)遞增，
又，
所以使得，所以，且，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以最小值，且，
得，
又因為，所以，因為，
所以，故整數(shù)的最大值為2.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于利用條件求得，然后結(jié)合隱零點問題解決即可.
10．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，討論函數(shù)的零點的個數(shù).
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按的取值分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）按分類討論，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在性定理求解即得.
【詳解】（1）函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，
若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，由，得或，
①當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點，
當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，，
取且，則，
因此函數(shù)有兩個零點；
當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞增，且，，
而時，恒有，因此函數(shù)只有一個零點，
當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，
且，
而時，恒有，因此函數(shù)只有一個零點，
所以，函數(shù)有一個零點，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.
【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
1．（2024·全國·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點 B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，
【答案】ACD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.
【詳解】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，
易知當(dāng)時，，當(dāng)或時，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；
對B，當(dāng)時，，所以，
而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；
對C，當(dāng)時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，正確；
對D，當(dāng)時，，
所以，正確；
故選：ACD.
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；
（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
據(jù)此可得，
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
滿足題意時在區(qū)間上恒成立.
令，則，
令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，
則，
當(dāng)時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，不合題意;
令，則，
當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.
當(dāng)時，由可得，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，
注意到，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
由于，故當(dāng)時，，不合題意.
綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.
【點睛】方法點睛：
（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.
（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．
②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．
3．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（ⅰ）若，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）（ⅰ）由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ） ，，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.
【詳解】（1），
當(dāng)，；當(dāng)，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
（2）（ⅰ）因為過有三條不同的切線，設(shè)切點為，
故，
故方程有3個不同的根，
該方程可整理為，
設(shè)，
則
，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：且，
此時，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故.
（ⅱ）當(dāng)時，同（ⅰ）中討論可得：
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：，
因為，故，
又，
設(shè)，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個不同的根，
設(shè)，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設(shè)，則，所以，
，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點方程的解的個數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.
4．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增.
(3)證明見解析
【分析】（1）先求出切點坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；
（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；
（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.
【詳解】（1）解：因為，所以，
即切點坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）解：因為，
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
（3）解：原不等式等價于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因為，
∴，所以命題得證.
5．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
又，
因為，故，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）因為且的圖與軸沒有公共點，
所以的圖象在軸的上方，
由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，
故即.
【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.
6．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.
【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，,
令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
,設(shè)函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；
在上,單調(diào)遞減；
,
又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是.
[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)
由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．
當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；
當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
由于，
當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．
構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．
所以，實數(shù)a的取值范圍為．
[方法三]分離法：一曲一直
曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．
因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．
①當(dāng)時，與只有一個交點，不符合題意．
②當(dāng)時，取上一點在點的切線方程為，即．
當(dāng)與為同一直線時有得
直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．
記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所以當(dāng)且時有．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．
[方法四]：直接法
．
因為，由得．
當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；
當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．
令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．
故實數(shù)a的范圍為．]
【整體點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，
方法一：將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.
方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．
方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.
7．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．
【答案】(1)答案見解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；
(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標(biāo).
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
導(dǎo)函數(shù)的判別式，
當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，的解為：，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在，上
單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由題意可得：，，
則切線方程為：，
切線過坐標(biāo)原點，則：,
整理可得：，即：，
解得：，則，
切線方程為：,
與聯(lián)立得，
化簡得,由于切點的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為
解得,
，
綜上，曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)為和.
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進(jìn)行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標(biāo)時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.
8．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）若有兩個零點，即有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個解，令，求導(dǎo)研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
令，解得，令，解得，
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）若有兩個零點，即有兩個解，
從方程可知，不成立，即有兩個解，
令，則有，
令，解得，令，解得或，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，，
而時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)有兩個解時，有，
所以滿足條件的的取值范圍是：.
【點睛】本題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為曲線和直線有兩個交點，利用過點的曲線的切線斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果.
9．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.
（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；
（2）證明：；
（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.
（2）證明見解析；
（3）證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點確定其在各個區(qū)間上的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)[方法一]由題意將所給的式子進(jìn)行變形，利用四元基本不等式即可證得題中的不等式；
(3)[方法一]將所給的式子進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出(2)的形式，利用(2)的結(jié)論即可證得題中的不等式.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：
，
在上的根為：，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
(2)[方法一]【最優(yōu)解】：基本不等式法
由四元均值不等式可得
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即或時等號成立．
所以．
[方法二]：構(gòu)造新函數(shù)+齊次化方法
因為，令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值．
求導(dǎo)得，令，得．
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)的最大值為，故．
[方法三]：結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行證明
注意到，
故函數(shù)是周期為的函數(shù)，
結(jié)合(1)的結(jié)論，計算可得：，
，，
據(jù)此可得：，，
即.
(3)利用(2)的結(jié)論
由于，
所以．
【整體點評】(2)方法一：基本不等式是證明不等式的重要工具，利用基本不等式解題時一定要注意等號成立的條件；
方法二：齊次化之后切化弦是一種常用的方法，它將原問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問題，然后構(gòu)造函數(shù)即可證得題中的不等式；
方法三：周期性是三角函數(shù)的重要特征，結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)的最值證明不等式充分體現(xiàn)了三角函數(shù)有界限的應(yīng)用.
(3)方法一：利用(2)的結(jié)論體現(xiàn)了解答題的出題思路，逐問遞進(jìn)是解答題常見的設(shè)問方式；
10．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：只有一個零點．
【答案】（1）增區(qū)間是，，減區(qū)間是；
（2）證明見解析.
【分析】（1）將代入，求導(dǎo)得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；
（2）令，即，則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點問題，研究函數(shù)單調(diào)性可得.
【詳解】（1）當(dāng)a=3時，，．
令解得x=或x=．
由解得：；
由解得：．
故函數(shù)的增區(qū)間是，，減區(qū)間是．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】【通性通法】等價轉(zhuǎn)化＋零點存在性定理
由于，所以等價于．
設(shè),則,僅當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增.故至多有一個零點,從而至多有一個零點.又,故有一個零點.綜上,只有一個零點.
［方法二］：函數(shù)零點與圖象交點個數(shù)的關(guān)系
因為，所以等價于，令，則．因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以直線與的圖像只有一個交點，即只有一個零點．
［方法三］：【通性通法】含參分類討論＋零點存在性定理
．
①當(dāng)時，單調(diào)遞增，只有一個零點．
②當(dāng)與時，，再令或，則有．當(dāng)與時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減．
因為，
，
所以．
極大值與極小值同正同負(fù)，故只有一個零點．
［方法四］： 等價轉(zhuǎn)化＋零點存在性定理
由于，所以，等價于．
設(shè)，則，僅當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故至多有一個零點，從而至多有一個零點．
結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，根據(jù)零點存在性定理，取，則有，取，則有，所以在內(nèi)有一個零點，故有一個零點．
綜上，只有一個零點．
【整體點評】（2）方法一：通過分離參數(shù)將原函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為易求單調(diào)性的函數(shù)零點問題，該法既是該類型題的通性通法，也是該題的最優(yōu)解；
方法二：將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，是常見的解題思路，對于證明題，這種方式顯得不是特別嚴(yán)謹(jǐn)；
方法三：直接對參數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，也是該類型問題的通性通法，但對于該題，顯得有些復(fù)雜；
方法四：該法同方法一，只是在零點存在性定理的運用過程中取點不一樣．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
（5類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關(guān)聯(lián)考點
2024年新I卷，第10題,6分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求已知函數(shù)的極值點
2024年新I卷，第18題,17分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性 證明函數(shù)的對稱性 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 利用不等式求取值范圍
2024年新Ⅱ卷，第11題,6分 利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)對稱性的應(yīng)用 極值與最值的綜合應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點 判斷零點所在的區(qū)間
2024年新Ⅱ卷，第16題,15分 利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性 求在曲線上一點處的切線方程 根據(jù)極值求參數(shù)
2023年新I卷，第19題,12分 含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題
2023年新Ⅱ卷，第22題,12分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (不含參) 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點 根據(jù)極值點求參數(shù)
2022年新I卷，第7題,5分 用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性 比較指數(shù)寡的大小 比較對數(shù)式的大小
2022年新Ⅱ卷，第22題,12分 含參分類討論求函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 裂項相消法求和
2021年新I卷，第22題,12分 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (不含參) 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
2021年新Ⅱ卷，第22題,12分 含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分
【備考策略】1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間
3.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，且近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。
知識講解
導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系
條件 恒有 結(jié)論
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo) ＞0 f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增
＜0 f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減
＝0 f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
第1步，確定函數(shù)的定義域；
第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.
[常用結(jié)論]
1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，恒成立.
2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，＜0有解.
考點一、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系
1．（浙江·高考真題）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（全國·高考真題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖，那么的圖像可能是（ ）
A．B．C．D．
1．（浙江·高考真題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．（浙江·高考真題）是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項中的（ ）

A． B． C． D．
3．（江西·高考真題）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
考點二、利用導(dǎo)數(shù)求不含參函數(shù)的單調(diào)性
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
2．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
2．2．
1．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)有且僅有三個零點，求的取值范圍．
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，，求的取值范圍.
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，判斷的零點個數(shù).
考點三、利用導(dǎo)數(shù)求可分離型含參函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
1．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，證明：．
3．（2024·新疆·三模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.
4．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，數(shù)列滿足，且
①比較，，1的大小
②證明：.
5．（2024·廣西桂林·三模）已知．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若且有2個極值點，，求證：．
考點四、利用導(dǎo)數(shù)求不可分離型含參函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在唯一的極值點，證明：．
2．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，定義域為.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求當(dāng)函數(shù)有且只有一個零點時，的取值范圍.
1．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
2．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
考點五、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
3．（2023·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使在上單調(diào)遞增的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、解答題
3．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，證明：.
4．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
5．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求的最大值.
6．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知，.
(1)討論的單調(diào)性.
(2)若使得，求參數(shù)的取值范圍.
7．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，且在處的切線方程是．
(1)求實數(shù)，的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．
8．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若曲線在點處的切線與二次曲線只有一個公共點，求實數(shù)a的值．
9．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.
10．（23-24高三上·湖北·期中）已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
一、單選題
1．（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．-1
二、解答題
3．（2024·四川涼山·三模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍，
4．（23-24高二下·湖北武漢·期中）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值集合.
5．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)，，其中．
(1)若，求實數(shù)a的值
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若存在使得不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍．
6．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，
（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．
7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；
(2)求證：．
8．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).
9．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若只有一個解，則當(dāng)時，求使成立的最大整數(shù)k.
10．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，討論函數(shù)的零點的個數(shù).
1．（2024·全國·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點 B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
3．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（ⅰ）若，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
4．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對任意的，有．
5．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.
6．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
7．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．
8．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
9．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.
（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；
（2）證明：；
（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
10．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：只有一個零點．
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