資源簡介

第02講 等差數列及其前n項和
（10類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第19題,17分 等差數列通項公式的基本量計算 數列新定義
2024年新Ⅱ卷，第12題,5分 等差數列通項公式的基本量計算 求等差數列前n項和 無
2024年全國甲卷，第4題,5分 等差數列通項公式的基本量計算 利用等差數列的性質計算 等差數列前n項和的基本量計算 無
2023年新I卷，第7題,5分 由遞推關系證明數列是等差數列 等差數列前n項和的性質 充分條件與必要條件的判定
2023年新I卷，第20題,12分 等差數列通項公式的基本量計算利用等差數列的性質計算 等差數列前n項和的基本量計算 無
2023年新Ⅱ卷，第18題,12分 利用定義求等差數列通項公式 等差數列通項公式的基本量計算求等差數列前n項和 分組 (并項)-奇偶項求和
2022年新I卷，第17題,10分 利用等差數列通項公式求數列中的項 利用與關系求通項或項 累乘法求數列通項 裂項相消法求和
2022年新Ⅱ卷，第3題,5分 等差數列通項公式的基本量計算 數學新文化 已知斜率求參數
2022年新Ⅱ卷，第17題,10分 等差數列通項公式的基本量計算 等比數列通項公式的基本量計算 數列不等式能成立(有解) 問題
2021年新I卷，第17題,10分 利用定義求等差數列通項公式 求等差數列前n項和 由遞推數列研究數列的有關性質 分組 (并項)-奇偶項求和
2021年新Ⅱ卷，第17題,10分 等差數列通項公式的基本量計算 求等差數列前n項和 解不含參數的一元二次不等式
2020年新I卷，第14題,5分 求等差數列前n項和 無
2020年新Ⅱ卷，第15題,5分 求等差數列前n項和 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分
【備考策略】1.理解等差數列的概念
2掌握等差數列的通項公式與前n項和公式
3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系并能用等差數列的有關知識解決相應的問題
4.理解等差數列與一次函數的關系及等差數列通項公式與前n項和的關系
5.熟練掌握等差數列通項公式與前n項和的性質
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般給出數列為等差數列，或通過構造為等差數列，求通項公式及前n項和。需綜合復習
知識講解
等差數列的定義
從第二項開始，后一項與前一項的差為同一個常數，這個數列是等差數列，這個常數是等差數列的公差，用表示
數學表達式
通項公式
，，，
等差數列通項公式與函數關系
令，，等差數列為一次函數
等差中項
若，，三個數成等差數列，則，其中叫做，的等差中項
等差數列通項公式的性質
（1）若，或
（2）若，為等差數列，則，仍為等差數列
等差數列前n項和
或
等差數列前n項和與函數關系
令，，
等差數列前項和公式是無常數項的二次函數
等差數列前n項和的性質
，，……仍成等差數列
為等差數列
推導過程：（一次函數）為等差數列
證明數列為等差數列的方法
（1）（為常數）為等差數列
（2）通項公式：（一次函數），前項和：（無常數項的二次函數）
（3）若，則，，三個數成等差數列
考點一、等差數列的項、公差及通項公式的求解
1．（2024·安徽池州·模擬預測）在等差數列中，，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】利用等差數列的性質計算即可.
【詳解】設等差數列的公差為d，因為，所以，又，
所以公差．
故選：C
2．（2022·河南南陽·三模）已知數列為等差數列，，，則該數列的公差為 .
【答案】3
【分析】由已知，利用等差數列通項公式列方程求公差即可.
【詳解】設公差為d，則，又，
則，可得.
故答案為：3
3．（2024·江蘇徐州·模擬預測）若等差數列滿足，則（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】設等差數列的公差為，由通項公式寫出和，都代入中，化簡即可求出.
【詳解】設等差數列的公差為，則，，
因為，可得，
所以有，解得，
故選：B.
4．（2024·山東·二模）已知數列．求：
(1)數列的通項公式；
(2)數列的前項和的最大值．
【答案】(1)；
(2)28
【分析】（1）根據題目條件得到是以13為首項，為公差的等差數列，求出通項公式；
（2）求出通項公式，解不等式，得到數列從第5項開始小于0，從而得到數列的前4項和最大，利用求和公式求出答案.
【詳解】（1）由，可知，
所以數列是以13為首項，以為公差的等差數列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即數列從第5項開始小于0，所以數列的前4項和最大，
最大值為．
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數列滿足，且，則首項（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據等差數列通項公式直接求解即可.
【詳解】設等差數列的公差為，因為，且，
所以，所以.
故選：A
2．（2024·四川雅安·三模）在等差數列中，若，則（ ）
A．21 B．24 C．27 D．29
【答案】A
【分析】由等差中項的性質、以及等差數列基本量的計算得公差，進一步即可得解.
【詳解】在等差數列中，若，即
則公差，所以.
故選：A.
3．（2024·陜西安康·模擬預測）在公差為的等差數列中，，則（ ）
A．1或2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用等差數列通項列式求解即得.
【詳解】在等差數列中，
則，整理得，
所以.
故選：D
4．（2024高三·全國·專題練習）已知是遞增的等差數列，，是方程的根.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差數列基本量的計算可得公差，進而即可得解；
（2）直接由等比數列求和公式以及錯位相減法即可運算求解.
【詳解】（1）因為是方程的兩個根，且為遞增等差數列，
所以，公差，
所以.
（2）由(1)知，
所以，①
，②
①-②得
，
所以，.
考點二、等差中項的應用
1．（23-24高二下·北京懷柔·期中）若，，成等差數列，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據條件，利用等差中項，即可求出結果.
【詳解】因為，，成等差數列，所以，解得，
故選：B.
2．（重慶·高考真題）在等差數列中，若=4，=2，則=
A．-1 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【詳解】在等差數列中，若，則，解得，故選B.
1．（23-24高二上·上海寶山·期末）與的等差中項為 ．
【答案】3
【分析】根據等差中項的定義求解．
【詳解】與的等差中項為．
故答案為：3.
2．（24-25高二上·上海·課前預習）等差數列的前三項依次為，，，則x的值為 ．
【答案】
【分析】根據等差中項知識即可求解.
【詳解】等差數列的前三項依次為，，，
，則.
故答案為：.
3．（江西·高考真題）設數列{an}，{bn}都是等差數列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝ ．
【答案】35
【詳解】因為{an}，{bn}都是等差數列,所以也成等差數列，根據等差數列的性質，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5＋b5成等差數列，因而a5＋b5＝.
考點三、等差數列的性質
1．（江西·高考真題）已知等差數列，若，則 .
【答案】
【詳解】根據等差數列的性質和題設條件，求得，結合，即可求解.
【解答】因為等差數列中，滿足，
根據等差數列的性質可得，解得，
又由.
故答案為：.
2．（北京·高考真題）在等差數列中，已知，那么等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】設首項為，公差為，由已知有，所以可得的值．
【詳解】解：為等差數列，設首項為，公差為，
由已知有，，
即．
故選：A．
3．（2024·河南鄭州·一模）已知數列為等差數列，，則（ ）
A．19 B．22 C．25 D．27
【答案】A
【分析】依題意由等差數列性質計算可得，利用等差中項計算可得，可求出.
【詳解】根據等差數列性質，由可得，
所以可得，
又可得，
所以.
故選：A
1．（2024·廣西柳州·模擬預測）在等差數列中，若，則（ ）．
A．7 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【分析】觀察數列下標根據等差數列的性質進行求解．
【詳解】在等差數列中，
若，則，
所以，所以．
故選：B
2．（2023·廣西南寧·模擬預測）在等差數列中，若，則 .
【答案】24
【分析】
由等差中項的性質即可求解.
【詳解】因為在等差數列中，有，所以由，
得，，又，所以.
故答案為：24
3．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且，則 .
【答案】
【分析】由等差數列前項和公式可得，再根據等差數列的性質求解即可.
【詳解】由，得，
則.
故答案為：.
考點四、等差數列前n項和的求解
1．（2024·全國·高考真題）記為等差數列的前n項和，若，，則 .
【答案】95
【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數列的求和公式節即可得到答案.
【詳解】因為數列為等差數列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
2．（2024·全國·高考真題）記為等差數列的前項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由結合等差中項的性質可得，即可計算出公差，即可得的值.
【詳解】由，則，
則等差數列的公差，故.
故選：B.
3．（2023·全國·高考真題）記為等差數列的前項和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列的公差和首項，再根據前項和公式即可解出；
方法二：根據等差數列的性質求出等差數列的公差，再根據前項和公式的性質即可解出．
【詳解】方法一：設等差數列的公差為，首項為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
4．（2023·全國·高考真題）記為等差數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意列式求解，進而可得結果；
（2）先求，討論的符號去絕對值，結合運算求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因為，
令，解得，且，
當時，則，可得；
當時，則，可得
；
綜上所述：.
5．（2021·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．
（1）求數列的通項公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式；
(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數列的性質可得：，則：，
設等差數列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數列的通項公式為：.
(2)由數列的通項公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數，故的最小值為.
【點睛】等差數列基本量的求解是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數列的有關公式并能靈活運用.
1．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在等差數列中，公差，為其前項和，若，則（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根據求出，利用等差數列求和公式和性質得到答案.
【詳解】，.
故選：B.
2．（2024·遼寧·模擬預測）等差數列的前項和記為，若，，則（ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
【答案】B
【分析】結合等差數列的性質先求出公差，然后結合等差數列的求和公式即可求解．
【詳解】等差數列中，，，即，
所以，
則.
故選：B.
3．（23-24高三上·陜西漢中·期末）設等差數列的前項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設出的公差為，利用等差數列通項公式和前項和公式求解即可；
（2）由（1）判斷出前六項為正，后四項為負，進而利用前項和公式求解即可.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
，，，
解得，，
故.
（2）由（1）知，，
，，，
．
4．（2024·吉林·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用等差數列基本量求得和公差，即可寫出通項公式；
（2）根據等差數列的前項和公式求得，再解不等式，即可求得結果.
【詳解】（1）設的公差為，由題可得：，
解得，故.
（2）根據（1）中所求可得，
由，則可得，即
解得（舍去）或，
故的最小值為.
5．（2024·貴州六盤水·三模）已知為等差數列，且，．
(1)求的通項公式；
(2)若恒成立，求實數λ的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意建立方程求出等差數列的首項與公差，從而可求解；
（2）先求出等差數列的前n項和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數列的單調性求出最值，從而得解．
【詳解】（1）設數列 的公差為d，則根據題意可得，
解得，則．
（2）由（1）可知運用等差數列求和公式，得到，
又恒成立，則恒成立，
設，則，
當時，，即；
當時，，則，則；
則，故，
故實數λ的取值范圍為．
考點五、等差數列前n項和的性質
1．（遼寧·高考真題）設等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
【答案】C
【分析】根據等差數列的前項和的性質，列式求解.
【詳解】由等差數列的項和的性質可知，成等差數列，
即，，成等差數列，所以，所以.
即.
故選：C
2．（全國·高考真題）等差數列前項的和為，前項的和為，則它的前項的和為（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
【答案】C
【分析】根據等差數列前項和的性質，結合已知數據，求解即可.
【詳解】利用等差數列的性質：成等差數列，
所以，即，解得.
故選：C.
3．（2024·廣東深圳·模擬預測）設是等差數列的前n項和，若，則 ．
【答案】
【分析】由等差數列前項和公式計算的等量關系，代入所求即可求出結果.
【詳解】設數列的公差為，
，，
則，
故答案為：.
4．（2024·全國·模擬預測）已知等差數列的前項和分別為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據等差數列通項公式及求和公式可得結果.
【詳解】因為為等差數列的前項和，所以可設，（等差數列前項和的二級結論）
同理因為為等差數列的前項和，所以可設．
又，所以，即，
整理得，解得．
不妨設，則，則，故，
故選：D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知數列均為等差數列，其前項和分別為，滿足，則（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根據題意，利用得出數列的性質和得出數列的求和公式，準確計算，即可求解.
【詳解】因為數列均為等差數列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故選：A．
1．（陜西·高考真題）等差數列的前項和為，若則等于
A．12 B．18 C．24 D．42
【答案】C
【分析】數列每2項構成的等差數列的公差為6，計算得到答案.
【詳解】第一個2項和為2，第二個2項和為8，則每2項構成的等差數列的公差為6，
第三個2項和為14，則，
故選：C.
【點睛】本題考查了等差數列和的性質，意在考查學生的計算能力和應用能力.
2．（2024·全國·模擬預測）已知等差數列的前項和為，，，，則的值為（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】利用等差數列的性質，以及前項和公式，即可求解.
【詳解】由，得①，
因為，，
所以，即②，
①②兩式相加，得，即，
所以，所以，解得.
故選：B.
3．（2024·陜西咸陽·二模）已知等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【答案】D
【分析】借助等差數列片斷和的性質計算即可得.
【詳解】由數列為等差數列，
故、、、、亦為等差數列，
由，，則，
故，，，
即有，，.
故選：D.
4．（2024·陜西西安·模擬預測）已知等差數列和的前n項和分別為和，且，則 ．
【答案】
【分析】根據設出的二次形式，由此求得，即可化簡得到結果.
【詳解】因為等差數列和的前n項和分別為和，
故可設，
所以，
所以.
故答案為：.
5．（2024·廣東佛山·模擬預測）設等差數列，的前項和分別為，，若對任意正整數都有，則（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】C
【分析】運用等差數列的等和性及等差數列前項和公式求解即可.
【詳解】由等差數列的等和性可得，
.
故選：C.
考點六、等差數列通項公式與前n項和的關系
1．（全國·高考真題）設等差數列的公差是d，如果它的前n項和，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由與的關系即可求得數列通項，由等差數列的定義可求得公差.
【詳解】當時，，
當時，，
符合的情況，
故，所以，
，故公差.
故選：C
2．（2023·全國·統考高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考二模）已知各項均為正數的數列的前項和為，且為等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若為正整數，記集合的元素個數為，求數列的前50項和.
【答案】(1)
(2)2500
【分析】（1）由為等差數列，得到，且，再利用數列通項與前n項和 的關系求解；
（2）根據題意，由，得到，即，從而求解.
【詳解】（1）解：為等差數列，
，且，
當時，，可得；
當時，，
則，
由，故，
所以是首項為1，公差均為1的等差數列，
故.
（2）由，即，即，
所以，
所以的前50項和為.
1．（2023·四川達州·統考二模）已知是數列前n項和，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記，分別為數列的前n項和與前n項積，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，當時，求出，檢驗當時成立，即可求出通項公式；
（2）由（1）得出，可知為等比數列，根據等比數列前項和公式求出，再將數列每一項相乘，底數相同指數相加，指數為等差數列，根據等差數列前n項和公式，計算出指數，求出，即可求出．
【詳解】（1）∵，
∴，
當時，，
∴，
當時，，
∴的通項公式為；
（2）∵，，
∴，
∴，
，
∴．
2．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知是數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關系，結合累乘法即可求出數列的通項公式；
（2）分和利用等差數列的求和公式求解即可.
【詳解】（1）由，則，
兩式相減得：，
整理得：，
即時，，
所以時，，
又時，，得，也滿足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
記，設數列的前項和．
當時，；
當時，
綜上：
3．（湖南·高考真題）已知數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【答案】（1）;(2)
【詳解】試題分析:(1)題目已知之間的關系,令,利用,即可求的的值,令,利用與前n項和之間的關系即可得到,令檢驗首項即可得到的通項公式.
(2)把(1)得到的通項公式代入可以得到是由等比數列,數列之和,才用分組求和法,首先利用等比數列前n項和公式求的等比數列的前n項和,再利用
對數列進行分組
即可求的數列的前n項和
(1)當時,;
當時,
檢驗首項符合,所以數列的通項公式為.
(2)由(1)可得,記數列的前項和為,
則
故數列的前項和為
考點：數列前項和 等差數列 等比數列 分組求和法
考點七、等差數列通項公式與前n項和的最值
1．（2024·山東泰安·三模）已知為等差數列的前項和，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設的公差為，根據題意列出方程組，求得，得到和，進而求得答案.
【詳解】設的公差為，因為，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以當時，取得最小值.
故選：D.
2．（2024·全國·模擬預測）已知為等差數列的前項和，若，，則當取最小值時，（ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
【答案】B
【分析】根據等差數列的性質求解即可.
【詳解】由等差數列的性質知， 即．
又，故，則，，則，
則當取最小值時，.
故選：B．
3．（2024·海南海口·模擬預測）已知首項為正數的等差數列的前項和為，若，則（ ）
A．
B．
C．當時，取最大值
D．當時，的最小值為27
【答案】ABD
【分析】由等差中項的性質判斷AB；由A和等差數列的前n項和判斷C；由等差數列的前n項和和等差中項判斷D.
【詳解】A：首項為正數的等差數列的前項和為，
所以，
若，則一定大于零，不符合題意，
所以，，故A正確；
B：由A可知，
，故B正確；
C：由A可知，因為，，可知，故，取最大值，故C錯誤；
D：，，故D正確.
故選：ABD.
4．（2024·黑龍江吉林·二模）已知數列是公差為d的等差數列，是其前n項的和，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由題意可得，從而可求出，即可判斷A；再結合等差數列的性質及前項和公式即可判斷BCD.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，
又因為，所以，故A正確；
，故B錯誤；
，故C正確；
因為，
所以當時，，當時，，
所以，所以，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：在等差數列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和最小（大）；
（2）借助二次函數的圖象及性質求解.
5．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數列；
(2)若成等比數列，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據二次函數的性質計算可得．
【詳解】（1）因為，即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數列．
（2）[方法一]：二次函數的性質
由（1）可得，，，
又，，成等比數列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當或時，．
[方法二]：【最優解】鄰項變號法
由（1）可得，，，
又，，成等比數列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當或時，．
【整體點評】（2）法一：根據二次函數的性質求出的最小值，適用于可以求出的表達式；
法二：根據鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優解．
1．（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根據條件，可得數列為遞減數列，且，，可判斷得解.
【詳解】在等差數列中，，由，可得，
，，且數列為遞減數列，
所以使得前n項的和最大的n值為8.
故選：B.
2．（上海·高考真題）設數列為等差數列，是其前n項和，且，則下列結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．與均為的最大值
【答案】C
【分析】由可判斷B；由，分析可判斷A；由可判斷C；由，可判斷D.
【詳解】根據題意，設等差數列的公差為，依次分析選項：
是等差數列，若，則，故B正確；
又由得，則有，故A正確；
而C選項，，即，可得，
又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.
∵，，∴與均為的最大值，故D正確；
故選：C
3．（2024·遼寧·二模）設是等差數列，是其前n項的和.且，，則下面結論正確的是（ ）
A． B．
C．與均為的最大值 D．滿足的n的最小值為14
【答案】BCD
【分析】由可判斷A錯誤；由A可得B正確；由，可得C正確；由等差中項和前項和的性質可得D正確.
【詳解】A：因為，所以，
所以，故A錯誤；
B：由A的解析可得B正確；
C：因為，，所以與均為的最大值，故C正確；
D：因為，由，，
故D正確；
故選：BCD.
4．（2024·福建泉州·模擬預測）等差數列中，，，若，，則（ ）
A．有最小值，無最小值 B．有最小值，無最大值
C．無最小值，有最小值 D．無最大值，有最大值
【答案】AD
【分析】
先利用等差數列的通項公式求得基本量，從而得到，利用它們的表達式進行分析即可得解.
【詳解】設等差數列的公差為，
依題意，得，解得，
，
，
當時，有最小值無最大值，
而，
易得，，且，
當時，，
當時，有最大值，無最小值.
故選：AD.
5．（全國·高考真題）記為等差數列的前項和，已知，．
（1）求的通項公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）；（2），最小值為–16．
【分析】（1）方法一：根據等差數列前n項和公式，求出公差，再代入等差數列通項公式即得結果；
（2）方法二：根據等差數列前n項和公式得，根據二次函數的性質即可求出.
【詳解】（1）[方法一]：【通性通法】【最優解】 公式法
設等差數列的公差為，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函數+待定系數法
設等差數列通項公式為，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：鄰項變號法
由可得．當，即，解得，所以的最小值為，
所以的最小值為．
[方法2]：函數法
由題意知，即，
所以的最小值為，所以的最小值為．
【整體點評】（1）方法一：直接根據基本量的計算，利用等差數列前n項和公式求出公差，即可得到通項公式，是該題的通性通法，也是最優解；
方法二：根據等差數列的通項公式的函數形式特征，以及等差數列前n項和的性質，用待定系數法解方程組求解；
（2）方法一：利用等差數列前n項和公式求，再利用鄰項變號法求最值；
方法二：利用等差數列前n項和公式求，再根據二次函數性質求最值．
考點八、等差數列中的數學文化
1．（2024·遼寧·三模）我國古代數學名著《算法統宗》中說：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數來言；務要分明依次第，孝和休惹外人傳.說的是，有996斤棉花要贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止……，根據這些信息第三個孩子分得（ ）斤棉花？
A．99 B．116 C．133 D．150
【答案】A
【分析】先將問題情境轉化為等差數列模型解決，其中996為其前項的和，為其公差，再由等差數列的通項公式及其前項和公式求解即可.
【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數依次構成等差數列，
設該等差數列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數為，
則由題意得：，
解得：，
所以．
故選：A
2．（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)， 環繞天心石砌塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多塊，向外每環依次也增加塊．已知每層環數相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石) 塊，則上層有扇形石板 塊．
【答案】
【分析】記從中間向外每環扇面形石板數為，則是等差數列，且公差為，，設每層有環，則，，根據等差數列前項和公式求出，再求出即可.
【詳解】記從中間向外每環扇面形石板數為，則是等差數列，且公差，，
設每層有環，則，，
所以，即，
即，解得或（舍去），
所以，則，
即上層有扇形石板塊.
故答案為：．
3．（2024·內蒙古·三模）假設在某種細菌培養過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經過14小時的培養，則可分裂成的細菌的個數為 .
【答案】/131072
【分析】設經過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，，由等比數列的性質求出的通項公式，再證得是與首相和公差均為的等差數列，即可求出的通項公式，進而求出答案.
【詳解】設經過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，
則，.
又，，所以，，
則，所以，
所以是首項和公差均為的等差數列，
所以，
所以，所以.
故答案為：.
1．（2024·陜西安康·模擬預測）“孫子定理”又稱“中國剩余定理”，最早可見于我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》，該定理是中國古代求解一次同余式組的方法，它凝聚著中國古代數學家的智慧，在加密 秘密共享等方面有著重要的應用.已知數列單調遞增，且由被2除余數為1的所有正整數構成，現將的末位數按從小到大排序作為加密編號，則該加密編號為（ ）
A．1157 B．1177 C．1155 D．1122
【答案】A
【分析】由題意可知，求出，即可求解.
【詳解】由題可知數列是首項為1，公差為2的等差數列，
所以，得，，
所以的末位數依次為，故加密編號為1157.
故選：A.
2．（2024·全國·模擬預測）（多選）《算學啟蒙》是元代著名數學家朱世杰的代表作之一．《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，可以利用“堆垛”研究數列以及數列的求和問題．現有143根相同的圓形小木棍，小軍模仿“堆垛”問題，將它們全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數不小于2，且從最下面一層開始，每一層比它上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數可以是（ ）
A．2 B．9 C．11 D．13
【答案】ACD
【分析】設該“等腰梯形垛”最上面一層有根木棍，共有層，由等差數列的前項和可得，分類討論，或，解方程即可得出答案.
【詳解】設該“等腰梯形垛”最上面一層有根木棍，共有層，則，
即．因為，
所以或或，
解得或或.
故選：ACD．
3．（2024·湖北襄陽·模擬預測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關，如圖為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓弧），再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當得到的“蚊香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為 .

【答案】
【分析】根據題意分析可得：每段圓弧的圓心角為，半徑滿足，結合等差數列的通項公式和求和公式分析運算.
【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，
設第段圓弧的半徑為，則可得，
故數列是以首項，公差的等差數列，
則，
則“蚊香”的長度為
.
故答案為：.
考點九、等差數列奇偶項的和
1．（21-22高二上·上海徐匯·期末）設等差數列的項數為奇數，則其奇數項之和與偶數項之和的比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據等差數列前項和公式解決即可.
【詳解】由題知，奇數項有項，偶數項有項，
奇數項之和為，
偶數項之和為，
所以奇數項之和與偶數項之和的比為，
故選：D
2．（23-24高二下·江西·階段練習）已知等差數列共有項，奇數項之和為60，偶數項之和為54，則 ．
【答案】10
【分析】根據等差數列的求和公式，結合等差數列的性質，即可求解.
【詳解】奇數項有項，偶數項有項，所以奇數項和為，偶數項和為，
故，解得.
故答案為：10
3．（2023·重慶·二模）已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據條件列出關于首項和公差的方程，即可求解.
【詳解】設等差數列的公差為，首項為，
則，所以，
因為，即，則，
等差數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，等差數列的前30項中奇數項有15項，所以，得，
所以.
故選：B
4．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）已知數列的前項和為，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．為奇數時，
【答案】ABD
【分析】由題設有，討論的奇偶性，結合等差數列定義、前n項和公式判斷各項正誤.
【詳解】由，則，兩式作差，得，
，當為奇數，是首項為1，公差為3的等差數列，即；
，當為偶數，是首項為2，公差為3的等差數列，即；
所以，A對，
，B對；
，C錯；
為奇數時，
，D對.
故選：ABD
5．（2023·山東威海·一模）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)當為偶數時, ; 當為奇數時, ;
【分析】（1）根據的關系可得，進而根據等差數列的性質即可求解，
(2)數列的前項的和分奇偶求和,先求，
又，，，是首項為2，公差為2的等差數列，再求奇數項和即可.
【詳解】（1）由得時，
兩式相減得,整理得
因為，所以,所以數列是以為公差的等差數列
在中令解得
所以.
（2）當時
，
又，，...，是首項為2，公差為2的等差數列，
所以，
故．所以
當時
，
又，，...，是首項為2，公差為2的等差數列，
所以，
故．所以
當為偶數時, ; 當為奇數時, ;
1．（22-23高一下·四川·階段練習）已知等差數列共有項，其中奇數項之和為290，偶數項之和為261，則的值為（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【分析】由等差數列的求和公式與等差數列的性質求解即可
【詳解】奇數項共有項，其和為，
∴．
偶數項共有n項，其和為，
∴．
故選：B．
2．（2021·山東濟南·二模）已知等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項之和為，所有偶數項之和為，則該數列的中間項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題可設等差數列共有項，然后通過即可得出結果.
【詳解】設等差數列共有項，
則，，中間項為，
故
，
，
故選：B.
3．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，則的前40項和為 .
【答案】
【分析】根據題中遞推式可求得，，即的奇數項為首項為1公差為5的等差數列，偶數項是首項為3公差為5的等差數列，再利用分組并項求和從而可求解.
【詳解】因為，，又，所以，
即，所以數列的奇數項是以1為首項，5為公差的等差數列；
同理，由知，數列的偶數項是以3為首項，5為公差的等差數列．
所以前40項和為．
故答案為：.
4．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習）已知數列滿足，且當時，有.
(1)求證：數列為等差數列；
(2)令，求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）由題可知，從而數列為等差數列；
（2）根據的奇偶性可得，從而可得.
【詳解】（1）證明：由題易知數列的各項都不為0，
當時，，
∴.
∴數列是首項，公差的等差數列.
（2）由（1）得，
∴.
，
，
…
，其中.
∴當為偶數時，；
當為奇數時，為偶數，
∴.
5．（21-22高三上·湖北·期中）已知數列的各項均為正數，其前項和為，且.
(1)求，；
(2)設，求數列的前8項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據題意，將原式化簡得，當時，求得，當時，由和的關系得出，由等差數列的定義可知是首項為1，公差為2的等差數列，最后根據等差數列的通項公式和前項和公式求出，；
（2）根據題意，化簡得，從而得出，代入計算即可得出結果.
【詳解】（1）解：由原式可得：，
當時，；
當時，，
兩式作差可得：，
所以，
又因為，則，所以，
所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，
∴，，
∴，；
（2）解：，
即，
所以
，
即數列的前8項和.
考點十、等差數列的證明
1．（2021·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知，且數列是等差數列，證明：是等差數列.
【答案】證明見解析.
【分析】先根據求出數列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.
【詳解】∵數列是等差數列，設公差為
∴，
∴，
∴當時，
當時，，滿足，
∴的通項公式為，
∴
∴是等差數列.
【點睛】在利用求通項公式時一定要討論的特殊情況.
2．（2021·全國·高考真題）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;
（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數列是等差數列;
（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數列是以為首項，以為公差等差數列;
[方法二]【最優解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數列是以為首項，為公差的等差數列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當時，．
故數列是以為首項，為公差的等差數列．
[方法四]：數學歸納法
由已知，得，，，，猜想數列是以為首項，為公差的等差數列，且．
下面用數學歸納法證明．
當時顯然成立．
假設當時成立，即．
那么當時，．
綜上，猜想對任意的都成立．
即數列是以為首項，為公差的等差數列．
（2）
由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，
,
,
當n=1時，,
當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數列的遞推關系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關系，從而證得結論；
方法二先從的定義，替換相除得到，再結合得到，從而證得結論，為最優解；
方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結論；方法四利用歸納猜想得到數列，然后利用數學歸納法證得結論．
（2）由（1）的結論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關系求得的通項公式；
1．（2024·陜西安康·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)設，求的前n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）利用等差數列的定義即可證明；
（2）根據（1）問，求出數列的通項公式，從而求得數列的通項公式，進而可求得數列的通項公式，最后利用裂項相消求和法求得
【詳解】（1）證明：令，又，則有
，
又，所以
所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
2．（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知數列的前n項和為，且．
(1)證明：數列是等差數列；
(2)數列的每一項均為正數，，數列的前n項和為，當時，求n的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)2024．
【分析】（1）由與等差數列的定義，可證結論成立.
（2）先利用裂項求和法求，再解不等式可得n的最小值.
【詳解】（1）當時，，
當時，，
所以，所以（常數），
故數列是以為首項，2為公差的等差數列．
（2）由（1）知，，得
所以
，
當時，即，所以n的最小值為2024．
一、單選題
1．（2024·山西運城·三模）已知數列是等差數列，，則（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用下標和性質計算可得.
【詳解】因為，則，又，則，
解得，
所以.
故選：C
2．（2024·山東菏澤·模擬預測）在等差數列中，，則（ ）
A．130 B．260 C．320 D．520
【答案】B
【分析】根據等差數列前n項和公式計算即可.
【詳解】根據等差數列求和.
故選：B.
二、多選題
3．（2024·云南·二模）記數列的前項和為為常數.下列選項正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．存在常數A、B，使數列是等比數列 D．對任意常數A、B，數列都是等差數列
【答案】ABC
【分析】根據與的關系求得可判斷A；由可判斷B；取可得是公比為1的等比數列，可判斷C；當時，根據等差數列定義驗證，可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，A正確；
對于B，若，則，B正確；
對于C，由得，
當時，，
所以，當時，數列是公比為1的等比數列，C正確；
對于D，由上知，當時，若，則，
此時，數列不是等差數列，D錯誤.
故選：ABC
三、填空題
4．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）在等差數列中，，則的前19項和 ．
【答案】76
【分析】根據等差數列通項公式，化簡表達式可得，再由等差數列的求和公式求得．
【詳解】設的公差為d，則，即．
故．
故答案為：76.
5．（2024·河南開封·三模）記為等差數列的前n項和，若，，則 ．
【答案】20
【分析】利用等差數列的性質可得，再利用等差數列前n項和公式即可求解.
【詳解】由，
，
故答案為：20
四、解答題
6．（2024·浙江·三模）已知等差數列 的公差不為零， 成等比數列，且 .
(1)求數列 的通項公式;
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列基本量的計算即可求解，
（2）根據等差數列求和公式即可求解.
【詳解】（1）由題意 (1)
由(1)(2)可得
所以
（2），，
，故為等差數列，
.
7．（2024·山西·三模）已知等差數列的公差，前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意得到關于、的方程組，解得、，即可求出通項公式；
（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.
【詳解】（1）因為，，
所以，解得或，
因為，所以，則；
（2）由（1）可得，
所以
.
8．（2024·湖南·模擬預測）已知公差不為0的等差數列滿足，且.
(1)求的通項公式；
(2)記是數列的前項和，證明: .
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設，再用已知條件列出兩個方程并解出其中的參數；
（2）直接求出，再用裂項法即可.
【詳解】（1）設，則由已知有，.
將第一個等式展開化簡可得，故由知.
再代入第二個等式可得，解得，從而.
故的通項公式是.
（2）由于，
故
.
9．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，且也是等差數列．
(1)求數列的公差；
(2)若，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設出公差，根據為等差，得到，求出公差；
（2）得到，裂項相消法求和，得到答案.
【詳解】（1）設數列的公差為d，則．
因為是等差數列，所以為常數．
，
所以，解得
（2）因為，所以．
，
故．
10．（2024·黑龍江·三模）已知等差數列的公差，與的等差中項為5，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設求數列的前20項和.
【答案】(1)數列的通項公式為；
(2)數列的前20項和為.
【分析】（1）根據等差中項求出，再根據求出公差，最后根據等差數列的通項公式，求出的通項公式；
（2）先寫出，對為偶數的情況進行裂項，再用分組求和法求出.
【詳解】（1）因為為等差數列，且與的等差中項為5，
所以，解得，
因為，
所以，解得，
因為，所以，
所以，
故數列的通項公式為；
（2）由題知，
即
所以
，
故數列的前20項和為.
一、單選題
1．（2024·江蘇泰州·模擬預測）等差數列中，其前n項和為，則“”是“為遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】設等差數列的公差為，化簡條件，確定的正負，由此判斷數列的單調性， 判斷充分性，再由數列的單調性推出，由此判斷的大小關系，判斷必要性，由此可得結論.
【詳解】設等差數列的公差為，
由，可得，
所以，即，
所以為遞減數列，
所以“”是“為遞減數列”的充分條件，
若為遞減數列，則，
所以，
所以，
所以“”是“為遞減數列”的必要條件，
所以“”是“為遞減數列”的充分必要條件，
故選：C.
2．（2024·浙江·三模）已知等差數列的前n項和為，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據題意，分和兩種情況討論，結合等差數列的性質及充分條件、必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】當時，，得；
當時，，得，
所以“”是“”的充要條件，
故選：C．
二、多選題
3．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（ ）
A．當最大
B．使得成立的最小自然數
C．
D．中最小項為
【答案】BD
【分析】根據題意，結合條件即可得到，即可判斷AC，結合等差數列的求和公式即可判斷B，再由，或時，；時，即可判斷D,
【詳解】根據題意：，即，
兩式相加，解得：，當時，最大，故A錯誤
由，可得到，所以，
，
所以，故C錯誤；
由以上可得：，
，而，
當時，；當時，；
所以使得成立的最小自然數，故B正確.
當，或時，；當時，；
由，
所以中最小項為，故D正確.
故選：BD.
三、填空題
4．（2024·四川內江·模擬預測）數列滿足，，若數列的前項的和為，則的的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據已知條件得，令，通過裂項相消求得，然后代入即可求解.
【詳解】數列滿足①，
當時，，即，
當時，②，
由②①得，
數列的所有奇數項，，
數列的所有偶數項，，
綜上，數列的通項公式為.
記，
所以數列的前項和為：
，
由得，即，
因為,隨著的增大而增大，
故當時，剛好滿足，
所以,的最小值為.
故答案為：.
5．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數列是等差數列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
【答案】
【分析】根據已知條件得到關于、的二元一次方程組，解方程組，求出、，即可求出數列的通項公式，，由此可得數列的通項公式，分組求和即可求解.
【詳解】設等差數列的公差為．由，得①，
由得②，
聯立①②，，解得，
所以．
則，
所以
．
故答案為：
四、解答題
6．（2024·河北衡水·模擬預測）記各項均為正數的數列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由是與的等差中項,可得，化簡得，可得，作差可得，則可得的通項公式；
（2）由（1）得，，分組求，可得，可得，即可得證.
【詳解】（1）由題意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是與的等差中項，得當時，
，解得，
所以是以1為首項，2為公差的等差數列，
故.
（2）由（1）得，則
，
所以
，
所以，
所以.
7．（2024·福建廈門·三模）設為數列的前項和，已知，且為等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列定義可得，利用與之間關系可證得數列通的項公式；
（2）采用分組求和法，分別對奇數項和偶數項求和，結合等差數列求和公式和裂項相消法可求得結果.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，
所以，即，
所以，即，
當時，，
當時，，滿足上式，所以.
（2）由（1）知
則
所以數列的前項和為.
8．（2024·江蘇宿遷·三模）在數列中，．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足；
①求證：數列是等差數列；
②若，設數列的前n項和為，求證：．
【答案】(1)
(2)①證明見解析 ；②證明見解析
【分析】（1）變形得到，結合，故，從而得到；
（2）①化簡得到，利用得到，同理可得，證明出是等差數列；
②求出，結合，得到公差，得到通項公式，所以，裂項相消法求和證明出結論.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，
所以，
因為，所以n=1時，，
所以數列是各項為0的常數列，即，
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以數列是等差數列．
②當時，由得，所以，
又，故的公差為1，所以，
所以，
即
．
【點睛】方法點睛：常見的裂項相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數型：，等，
根式型：等，
對數型：，且；
9．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知數列滿足，且對任意均有．
(1)設，證明為等差數列；
(2)求數列的通項公式；
(3)已知，求．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）令，變形遞推關系，結合等差數列定義即可得出證明；
（2）由等差數列通項公式得出，再由累加法得出，結合賦值可得，即可得出通項公式；
（3）分組求和得出，再由裂項相消法求出的前n項和.
【詳解】（1）因為，，令，
所以當時，，即，
所以，
所以為等差數列.
（2）由（1）知，，
所以，
即，
所以
，，
所以，，
再由，令，可得，
即，解得，
所以，，
當時，，滿足上式.
所以數列的通項公式為.
（3）因為，
所以，
設，
則，
，
所以，，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于利用等差數列通項公式及累加法求出后，表達式中的求值，首先對所求的式子中賦值得出，.其次要對原式恰當賦值，聯立方程求出，具有很強的技巧性.
10．（2024·廣西來賓·模擬預測）已知數列滿足：，，其中為數列的前n項和．
(1)求數列的通項公式；
(2)設m為正整數，若存在首項為1且公比為正數的等比數列（），對任意正整數k，當時，都有成立，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由題意利用遞推關系式討論可得數列是等差數列，據此即可確定其通項公式；
（2）求出，將原問題進行等價轉化，構造函數，結合導函數研究函數的性質即可求得的最大值．
【詳解】（1）因為，所以，
由，得，則，，
由，得，
當時，由，得，
故
整理得，
所以數列是等差數列，且首項為，公差為，
所以；
（2）由（1）知，,
因為數列為首項為1且公比為正數的等比數列，設公比為q，所以，，
因為，所以，其中，2，3，…，m．
當時，有；
當，3，，m時，有．
設（），則，
令，得，列表如下：
x
單調遞增 極大值 單調遞減
因為，所以．
所以，故，故，
令（），則，
令，則，
當時，，即，
∴在上單調遞減，
即時，，則，
下面求解不等式，
化簡得，
令，則，
由得，，∴在上單調遞減，
又由于，，
∴存在使得，所以，
∴m的最大值為5．
【點睛】方法點睛：等差數列的三種判定方法：
（1）定義法：（常數）數列為等差數列；
（2）等差中項法：數列為等差數列；
（3）通項公式法：（、為常數，）數列為等差數列.
但如果要證明一個數列是等差數列，則必須用定義法或等差中項法.
1．（2024·全國·高考真題）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】可以根據等差數列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數列的性質進行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數列的基本量
由，根據等差數列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數列的性質
根據等差數列的性質，，由，根據等差數列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數列公差，則，則.
故選：D
2．（2023·全國·高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數列中，，
顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故選：B
3．（2023·全國·高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
4．（2023·天津·高考真題）已知是等差數列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
【答案】(1)，；
(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.
【分析】(1)由題意得到關于首項、公差的方程，解方程可得，據此可求得數列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數，結合等差數列前項和公式計算可得.
(2)(Ⅰ)利用題中的結論分別考查不等式兩側的情況，當時，，
取，當時，，取，即可證得題中的不等式；
(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的結論，利用極限思想確定數列的公比，進而可得數列的通項公式，最后由等比數列前項和公式即可計算其前項和.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
則數列的通項公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當時，，
取，則，即，
當時，，
取，此時，
據此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數列的公比滿足，
當時，，所以，
所以，即，
當時，，所以，
所以數列的通項公式為，
其前項和為：.
【點睛】本題的核心在考查數列中基本量的計算和數列中的遞推關系式，求解數列通項公式和前項和的核心是確定數列的基本量，第二問涉及到遞推關系式的靈活應用，先猜后證是數學中常用的方法之一，它對學生探索新知識很有裨益.
5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數時，，
，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數時，，
當時，，因此，
當為奇數時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
6．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
7．（2022·全國·高考真題）記為等差數列的前n項和．若，則公差 ．
【答案】2
【分析】轉化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
8．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】設等差數列的公差為，則，利用等差數列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.
【詳解】設等差數列的公差為，則，記為不超過的最大整數.
若為單調遞增數列，則，
若，則當時，；若，則，
由可得，取，則當時，，
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”；
若存在正整數，當時，，取且，，
假設，令可得，且，
當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數列是遞增數列.
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”.
所以，“是遞增數列”是“存在正整數，當時，”的充分必要條件.
故選：C.
9．（2022·浙江·高考真題）已知等差數列的首項，公差．記的前n項和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實數，使成等比數列，求d的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數列通項公式及前項和公式化簡條件，求出，再求；
(2)由等比數列定義列方程，結合一元二次方程有解的條件求的范圍.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因為，，成等比數列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對于任意的恒成立，
所以對于任意的恒成立，
當時，，
當時，由，可得
當時，，
又
所以
10．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；
（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
11．（2021·北京·高考真題）《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規格有五種.這五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，對應的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
【分析】設等差數列公差為，求得，得到，結合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，設公差為，
因為，，可得，
可得，
又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.
故選：C.
12．（2021·全國·高考真題）已知數列滿足，
（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；
（2）求的前20項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由題意結合遞推關系式確定數列的特征，然后求和其通項公式即可；
(2)方法二：分組求和，結合等差數列前項和公式即可求得數列的前20項和.
【詳解】解：（1）[方法一]【最優解】：
顯然為偶數，則，
所以，即，且，
所以是以2為首項，3為公差的等差數列，
于是．
[方法二]：奇偶分類討論
由題意知，所以．
由（為奇數）及（為偶數）可知，
數列從第一項起，
若為奇數，則其后一項減去該項的差為1，
若為偶數，則其后一項減去該項的差為2．
所以，則．
[方法三]：累加法
由題意知數列滿足．
所以，
，
則．
所以，數列的通項公式．
（2）[方法一]：奇偶分類討論
．
[方法二]：分組求和
由題意知數列滿足，
所以．
所以數列的奇數項是以1為首項，3為公差的等差數列；
同理，由知數列的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列．
從而數列的前20項和為：
．
【整體點評】(1)方法一：由題意討論的性質為最一般的思路和最優的解法；
方法二：利用遞推關系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關系式確定數列的性質；
方法三：寫出數列的通項公式，然后累加求數列的通項公式，是一種更加靈活的思路.
(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規的方法；
方法二：分組求和是常見的數列求和的一種方法，結合等差數列前項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.
13．（2020·全國·高考真題）記為等差數列的前n項和．若，則 ．
【答案】
【分析】因為是等差數列，根據已知條件，求出公差，根據等差數列前項和，即可求得答案.
【詳解】是等差數列，且，
設等差數列的公差
根據等差數列通項公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根據等差數列前項和公式：
可得：
.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了求等差數列的前項和，解題關鍵是掌握等差數列的前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.
14．（2020·山東·高考真題）將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為 ．
【答案】
【分析】首先判斷出數列與項的特征，從而判斷出兩個數列公共項所構成新數列的首項以及公差，利用等差數列的求和公式求得結果.
【詳解】因為數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，
數列是以1首項，以3為公差的等差數列，
所以這兩個數列的公共項所構成的新數列是以1為首項，以6為公差的等差數列，
所以的前項和為，
故答案為：.
【點睛】該題考查的是有關數列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數列的公共項構成新數列的特征，等差數列求和公式，屬于簡單題目.
15．（2020·全國·高考真題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊
【答案】C
【分析】第n環天石心塊數為，第一層共有n環，則是以9為首項，9為公差的等差數列，
設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.
【詳解】設第n環天石心塊數為，第一層共有n環，
則是以9為首項，9為公差的等差數列，，
設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分
別為，因為下層比中層多729塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
【點晴】本題主要考查等差數列前n項和有關的計算問題，考查學生數學運算能力，是一道容易題.
16．（2020·浙江·高考真題）已知等差數列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．
【答案】D
【分析】根據題意可得，，而，即可表示出題中，再結合等差數列的性質即可判斷各等式是否成立．
【詳解】對于A，因為數列為等差數列，所以根據等差數列的下標和性質，由可得，，A正確；
對于B，由題意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根據等差數列的下標和性質，由可得，B正確；
對于C，，
當時，，C正確；
對于D，，，
．
當時，，∴即；
當時，，∴即，所以，D不正確．
故選：D.
【點睛】本題主要考查等差數列的性質應用，屬于基礎題．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 等差數列及其前n項和
（10類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第19題,17分 等差數列通項公式的基本量計算 數列新定義
2024年新Ⅱ卷，第12題,5分 等差數列通項公式的基本量計算 求等差數列前n項和 無
2024年全國甲卷，第4題,5分 等差數列通項公式的基本量計算 利用等差數列的性質計算 等差數列前n項和的基本量計算 無
2023年新I卷，第7題,5分 由遞推關系證明數列是等差數列 等差數列前n項和的性質 充分條件與必要條件的判定
2023年新I卷，第20題,12分 等差數列通項公式的基本量計算利用等差數列的性質計算 等差數列前n項和的基本量計算 無
2023年新Ⅱ卷，第18題,12分 利用定義求等差數列通項公式 等差數列通項公式的基本量計算求等差數列前n項和 分組 (并項)-奇偶項求和
2022年新I卷，第17題,10分 利用等差數列通項公式求數列中的項 利用與關系求通項或項 累乘法求數列通項 裂項相消法求和
2022年新Ⅱ卷，第3題,5分 等差數列通項公式的基本量計算 數學新文化 已知斜率求參數
2022年新Ⅱ卷，第17題,10分 等差數列通項公式的基本量計算 等比數列通項公式的基本量計算 數列不等式能成立(有解) 問題
2021年新I卷，第17題,10分 利用定義求等差數列通項公式 求等差數列前n項和 由遞推數列研究數列的有關性質 分組 (并項)-奇偶項求和
2021年新Ⅱ卷，第17題,10分 等差數列通項公式的基本量計算 求等差數列前n項和 解不含參數的一元二次不等式
2020年新I卷，第14題,5分 求等差數列前n項和 無
2020年新Ⅱ卷，第15題,5分 求等差數列前n項和 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分
【備考策略】1.理解等差數列的概念
2掌握等差數列的通項公式與前n項和公式
3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系并能用等差數列的有關知識解決相應的問題
4.理解等差數列與一次函數的關系及等差數列通項公式與前n項和的關系
5.熟練掌握等差數列通項公式與前n項和的性質
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般給出數列為等差數列，或通過構造為等差數列，求通項公式及前n項和。需綜合復習
知識講解
等差數列的定義
從第二項開始，后一項與前一項的差為同一個常數，這個數列是等差數列，這個常數是等差數列的公差，用表示
數學表達式
通項公式
，，，
等差數列通項公式與函數關系
令，，等差數列為一次函數
等差中項
若，，三個數成等差數列，則，其中叫做，的等差中項
等差數列通項公式的性質
（1）若，或
（2）若，為等差數列，則，仍為等差數列
等差數列前n項和
或
等差數列前n項和與函數關系
令，，
等差數列前項和公式是無常數項的二次函數
等差數列前n項和的性質
，，……仍成等差數列
為等差數列
推導過程：（一次函數）為等差數列
證明數列為等差數列的方法
（1）（為常數）為等差數列
（2）通項公式：（一次函數），前項和：（無常數項的二次函數）
（3）若，則，，三個數成等差數列
考點一、等差數列的項、公差及通項公式的求解
1．（2024·安徽池州·模擬預測）在等差數列中，，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2022·河南南陽·三模）已知數列為等差數列，，，則該數列的公差為 .
3．（2024·江蘇徐州·模擬預測）若等差數列滿足，則（ ）
A．3 B． C．1 D．
4．（2024·山東·二模）已知數列．求：
(1)數列的通項公式；
(2)數列的前項和的最大值．
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數列滿足，且，則首項（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·四川雅安·三模）在等差數列中，若，則（ ）
A．21 B．24 C．27 D．29
3．（2024·陜西安康·模擬預測）在公差為的等差數列中，，則（ ）
A．1或2 B．1 C． D．
4．（2024高三·全國·專題練習）已知是遞增的等差數列，，是方程的根.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
考點二、等差中項的應用
1．（23-24高二下·北京懷柔·期中）若，，成等差數列，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（重慶·高考真題）在等差數列中，若=4，=2，則=
A．-1 B．0 C．1 D．6
1．（23-24高二上·上海寶山·期末）與的等差中項為 ．
2．（24-25高二上·上海·課前預習）等差數列的前三項依次為，，，則x的值為 ．
3．（江西·高考真題）設數列{an}，{bn}都是等差數列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝ ．
考點三、等差數列的性質
1．（江西·高考真題）已知等差數列，若，則 .
2．（北京·高考真題）在等差數列中，已知，那么等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024·河南鄭州·一模）已知數列為等差數列，，則（ ）
A．19 B．22 C．25 D．27
1．（2024·廣西柳州·模擬預測）在等差數列中，若，則（ ）．
A．7 B．12 C．16 D．24
2．（2023·廣西南寧·模擬預測）在等差數列中，若，則 .
3．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且，則 .
考點四、等差數列前項和的求解
1．（2024·全國·高考真題）記為等差數列的前n項和，若，，則 .
2．（2024·全國·高考真題）記為等差數列的前項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）記為等差數列的前項和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023·全國·高考真題）記為等差數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
5．（2021·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．
（1）求數列的通項公式；
（2）求使成立的n的最小值．
1．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在等差數列中，公差，為其前項和，若，則（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2024·遼寧·模擬預測）等差數列的前項和記為，若，，則（ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
3．（23-24高三上·陜西漢中·期末）設等差數列的前項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，求．
4．（2024·吉林·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求的最小值．
5．（2024·貴州六盤水·三模）已知為等差數列，且，．
(1)求的通項公式；
(2)若恒成立，求實數λ的取值范圍．
考點五、等差數列前項和的性質
1．（遼寧·高考真題）設等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
2．（全國·高考真題）等差數列前項的和為，前項的和為，則它的前項的和為（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
3．（2024·廣東深圳·模擬預測）設是等差數列的前n項和，若，則 ．
4．（2024·全國·模擬預測）已知等差數列的前項和分別為，且，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知數列均為等差數列，其前項和分別為，滿足，則（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
1．（陜西·高考真題）等差數列的前項和為，若則等于
A．12 B．18 C．24 D．42
2．（2024·全國·模擬預測）已知等差數列的前項和為，，，，則的值為（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
3．（2024·陜西咸陽·二模）已知等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
4．（2024·陜西西安·模擬預測）已知等差數列和的前n項和分別為和，且，則 ．
5．（2024·廣東佛山·模擬預測）設等差數列，的前項和分別為，，若對任意正整數都有，則（ ）
A． B． C． D． E．均不是
考點六、等差數列通項公式與前項和的關系
1．（全國·高考真題）設等差數列的公差是d，如果它的前n項和，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2023·全國·統考高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考二模）已知各項均為正數的數列的前項和為，且為等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若為正整數，記集合的元素個數為，求數列的前50項和.
1．（2023·四川達州·統考二模）已知是數列前n項和，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記，分別為數列的前n項和與前n項積，求．
2．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知是數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
3．（湖南·高考真題）已知數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
考點七、等差數列通項公式與前項和的最值
1．（2024·山東泰安·三模）已知為等差數列的前項和，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知為等差數列的前項和，若，，則當取最小值時，（ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
3．（2024·海南海口·模擬預測）已知首項為正數的等差數列的前項和為，若，則（ ）
A．
B．
C．當時，取最大值
D．當時，的最小值為27
4．（2024·黑龍江吉林·二模）已知數列是公差為d的等差數列，是其前n項的和，若，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數列；
(2)若成等比數列，求的最小值．
1．（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（上海·高考真題）設數列為等差數列，是其前n項和，且，則下列結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．與均為的最大值
3．（2024·遼寧·二模）設是等差數列，是其前n項的和.且，，則下面結論正確的是（ ）
A． B．
C．與均為的最大值 D．滿足的n的最小值為14
4．（2024·福建泉州·模擬預測）等差數列中，，，若，，則（ ）
A．有最小值，無最小值 B．有最小值，無最大值
C．無最小值，有最小值 D．無最大值，有最大值
5．（全國·高考真題）記為等差數列的前項和，已知，．
（1）求的通項公式；
（2）求，并求的最小值．
16．
考點八、等差數列中的數學文化
1．（2024·遼寧·三模）我國古代數學名著《算法統宗》中說：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數來言；務要分明依次第，孝和休惹外人傳.說的是，有996斤棉花要贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止……，根據這些信息第三個孩子分得（ ）斤棉花？
A．99 B．116 C．133 D．150
2．（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)， 環繞天心石砌塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多塊，向外每環依次也增加塊．已知每層環數相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石) 塊，則上層有扇形石板 塊．
3．（2024·內蒙古·三模）假設在某種細菌培養過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經過14小時的培養，則可分裂成的細菌的個數為 .
1．（2024·陜西安康·模擬預測）“孫子定理”又稱“中國剩余定理”，最早可見于我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》，該定理是中國古代求解一次同余式組的方法，它凝聚著中國古代數學家的智慧，在加密 秘密共享等方面有著重要的應用.已知數列單調遞增，且由被2除余數為1的所有正整數構成，現將的末位數按從小到大排序作為加密編號，則該加密編號為（ ）
A．1157 B．1177 C．1155 D．1122
2．（2024·全國·模擬預測）（多選）《算學啟蒙》是元代著名數學家朱世杰的代表作之一．《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，可以利用“堆垛”研究數列以及數列的求和問題．現有143根相同的圓形小木棍，小軍模仿“堆垛”問題，將它們全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數不小于2，且從最下面一層開始，每一層比它上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數可以是（ ）
A．2 B．9 C．11 D．13
3．（2024·湖北襄陽·模擬預測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關，如圖為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓弧），再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當得到的“蚊香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為 .

考點九、等差數列奇偶項的和
1．（21-22高二上·上海徐匯·期末）設等差數列的項數為奇數，則其奇數項之和與偶數項之和的比為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·江西·階段練習）已知等差數列共有項，奇數項之和為60，偶數項之和為54，則 ．
3．（2023·重慶·二模）已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）已知數列的前項和為，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．為奇數時，
5．（2023·山東威海·一模）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和.
1．（22-23高一下·四川·階段練習）已知等差數列共有項，其中奇數項之和為290，偶數項之和為261，則的值為（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
2．（2021·山東濟南·二模）已知等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項之和為，所有偶數項之和為，則該數列的中間項為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，則的前40項和為 .
4．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習）已知數列滿足，且當時，有.
(1)求證：數列為等差數列；
(2)令，求數列的前項和.
5．（21-22高三上·湖北·期中）已知數列的各項均為正數，其前項和為，且.
(1)求，；
(2)設，求數列的前8項和.
考點十、等差數列的證明
1．（2021·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知，且數列是等差數列，證明：是等差數列.
2．（2021·全國·高考真題）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;
（2）求的通項公式．
1．（2024·陜西安康·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)設，求的前n項和.
2．（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知數列的前n項和為，且．
(1)證明：數列是等差數列；
(2)數列的每一項均為正數，，數列的前n項和為，當時，求n的最小值．
2024．2024．
一、單選題
1．（2024·山西運城·三模）已知數列是等差數列，，則（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2024·山東菏澤·模擬預測）在等差數列中，，則（ ）
A．130 B．260 C．320 D．520
二、多選題
3．（2024·云南·二模）記數列的前項和為為常數.下列選項正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．存在常數A、B，使數列是等比數列 D．對任意常數A、B，數列都是等差數列
三、填空題
4．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）在等差數列中，，則的前19項和 ．
5．（2024·河南開封·三模）記為等差數列的前n項和，若，，則 ．
四、解答題
6．（2024·浙江·三模）已知等差數列 的公差不為零， 成等比數列，且 .
(1)求數列 的通項公式;
(2)求 .
7．（2024·山西·三模）已知等差數列的公差，前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
8．（2024·湖南·模擬預測）已知公差不為0的等差數列滿足，且.
(1)求的通項公式；
(2)記是數列的前項和，證明: .
9．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，且也是等差數列．
(1)求數列的公差；
(2)若，求數列的前n項和．
10．（2024·黑龍江·三模）已知等差數列的公差，與的等差中項為5，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設求數列的前20項和.
一、單選題
1．（2024·江蘇泰州·模擬預測）等差數列中，其前n項和為，則“”是“為遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·浙江·三模）已知等差數列的前n項和為，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（ ）
A．當最大
B．使得成立的最小自然數
C．
D．中最小項為
三、填空題
4．（2024·四川內江·模擬預測）數列滿足，，若數列的前項的和為，則的的最小值為 ．
5．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數列是等差數列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
四、解答題
6．（2024·河北衡水·模擬預測）記各項均為正數的數列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
7．（2024·福建廈門·三模）設為數列的前項和，已知，且為等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前項和.
8．（2024·江蘇宿遷·三模）在數列中，．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足；
①求證：數列是等差數列；
②若，設數列的前n項和為，求證：．
9．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知數列滿足，且對任意均有．
(1)設，證明為等差數列；
(2)求數列的通項公式；
(3)已知，求．
10．（2024·廣西來賓·模擬預測）已知數列滿足：，，其中為數列的前n項和．
(1)求數列的通項公式；
(2)設m為正整數，若存在首項為1且公比為正數的等比數列（），對任意正整數k，當時，都有成立，求m的最大值．
1．（2024·全國·高考真題）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023·全國·高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2023·全國·高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
4．（2023·天津·高考真題）已知是等差數列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
6．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
7．（2022·全國·高考真題）記為等差數列的前n項和．若，則公差 ．
8．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（2022·浙江·高考真題）已知等差數列的首項，公差．記的前n項和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實數，使成等比數列，求d的取值范圍．
10．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
11．（2021·北京·高考真題）《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規格有五種.這五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，對應的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則
A．64 B．96 C．128 D．160
12．（2021·全國·高考真題）已知數列滿足，
（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；
（2）求的前20項和.
2．13．（2020·全國·高考真題）記為等差數列的前n項和．若，則 ．
14．（2020·山東·高考真題）將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為 ．
15．（2020·全國·高考真題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊
16．（2020·浙江·高考真題）已知等差數列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．
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