資源簡介

第02講 排列組合
（16類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第14題,6分 全排列問題 寫出基本事件 分步乘法計數原理
2023年新I卷，第13題,5分 實際問題中的組合計數問題 分類加法計數原理
2023年新Ⅱ卷，第3題,5分 實際問題中的組合計數問題 分步乘法計數原理及簡單應用 抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容量的計算
2023年全國甲卷（理）， 第9題,5分 排列數的計算 分類加法計數原理
2023年全國乙卷（理）， 第7題,5分 排列數的計算 實際問題中的組合計數問題 分步乘法計數原理及簡單應用
2022年新I卷，第5題,5分 實際問題中的組合計數問題 計算古典概型問題的概率
2022年新Ⅱ卷，第5題,5分 元素(位置)有限制的排列問題 相鄰問題的排列問題 無
2022年全國甲卷（理）， 第15題,5分 組合計數問題 計算古典概型問題的概率
2022年全國乙卷（理）， 第13題,5分 實際問題中的組合計數問題 計算古典概型問題的概率
2021年全國甲卷（理）， 第10題,5分 不相鄰排列問題 計算古典概型問題的概率
2021年全國乙卷（理）， 第6題,5分 排列組合綜合 無
2020年新I卷，第3題,5分 排列組合綜合 無
2020年新Ⅱ卷，第6題,5分 分組分配問題 無
2020年全國乙卷（理）， 第14題,5分 相鄰問題的排列問題 分步乘法計數原理及簡單應用
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的?？純热?，設題穩定，難度中等，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握排列與組合的定義
2.掌握排列數與組合數的性質，會計算排列數與組合數
3.熟練掌握排列組合的解題方法
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般會和分類加法原理與分步乘法原理結合在小題中考查，需重點復習
知識講解
1．排列、組合的定義
排列的定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的定義 合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
2．排列數、組合數的定義、公式、性質
排列數 組合數
定義 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性質 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
求解排列應用問題方法匯總
直接法 把符合條件的排列數直接列式計算
優先法 優先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進行排列，然后用總排列數A除以m個順序一定的元素之間的全排列數A，即得到不同排法種＝A.
間接法 正難則反、等價轉化的方法
分組分配 平均分組、部分平均分組 1．對不同元素的分配問題 (1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數． (2)對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數． (3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．
隔板法 將個相同元素放入個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區域，剛好對應那個盒子
環排問題 (1) 把 個不同的元素圍成一個環狀，排法總數為 (2) 個不同的元素圍成一圈， 個元素相鄰，符合條件的排列數為 (3) 個不同的元素圍成一圈， 個元素不相鄰 ，符合條件的排列數為
涂色問題 涂色的規則是“相鄰區域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區域搭配的可能，再進行涂色即可。
考點一、簡單排列之排列數計算
1．（2024·福建漳州·模擬預測）（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
【答案】C
【分析】根據排列數及組合數公式計算可得.
【詳解】.
故選：C
2．已知，則（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】直接根據排列數的性質化簡求解即可.
【詳解】因為，
則，
整理可得，
解得，經檢驗，滿足題意．
故選：C.
1．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習）在中不重復地選取4個數字，共能組成（ ）個不同的四位數.
A．96 B．18 C．120 D．84
【答案】A
【分析】5個數抽4個數全排列再減去首位是0的情況即可.
【詳解】四位數首位不能為零，
故為種不同的四位數，
故選：A.
2．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）下列數中，與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運用排列數和組合數公式計算即可.
【詳解】
對于A，；
對于B,
對于C, ，
對于D，，
故選：B
考點二、簡單組合之組合數計算
1．（23-24高二下·山東濟寧·期中）已知，那么（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根據組合數的性質和計算公式，直接計算即可求解.
【詳解】由，得，即，
整理得，解得或（舍去）.
故選：C
2．（23-24高二下·河北唐山·期中）從4名醫生，3名護士中選出3人組成一個醫療隊，要求醫生和護士都有，則不同的選法種數為（ ）
A．12 B．18 C．30 D．60
【答案】C
【分析】根據題意分“1名醫生，2名護士”和“2名醫生，1名護士”兩種情況，結合組合數運算求解.
【詳解】若選出3人有1名醫生，2名護士，則不同的選法種數為；
若選出3人有2名醫生，1名護士，則不同的選法種數為；
綜上所述：不同的選法種數為.
故選：C.
3．（2022·全國·統考高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，
若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.
4．（海南·統考高考真題）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種 B．90種
C．60種 D．30種
【答案】C
【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數和乘法計數原理求解.
【詳解】首先從名同學中選名去甲場館，方法數有；
然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數有；
最后剩下的名同學去丙場館.
故不同的安排方法共有種.
故選：C
【點睛】本小題主要考查分步計數原理和組合數的計算，屬于基礎題.
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）化簡式子：的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題將復雜的組合問題轉化為“從裝有個白球，個黑球的袋子里，取出個球的所有情況取法總數的和”模型，等價于“從裝有球中取出個球的不同取法數”,即可解決.
【詳解】表示：
從裝有個白球，個黑球的袋子里，取出個球的所有情況取法總數的和.
又從裝有球中取出個球的不同取法數.
所以，
所以
故選：C.
2．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）若，則的值為（ ）
A．83 B．119 C．164 D．219
【答案】D
【分析】根據組合數的性質求出m的值，再利用組合數的性質，即可求得答案.
【詳解】由于，故，
則
，
故選：D
3．（2023·全國·統考高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.
【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
所以這2名學生來自不同年級的概率為.
故選：D.
考點三、先選后排之排列組合綜合
1．（山東·統考高考真題）現從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔任5門不同學科的課代表，則不同安排方法的種數是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【分析】首先選3名男生和2名女生，再全排列，共有種不同安排方法.
【詳解】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，
再分別擔任5門不同學科的課代表，共有種情況.
所以共有種不同安排方法.
故選：C
2．（海南·高考真題）要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種 B．3種 C．6種 D．8種
【答案】C
【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.
【詳解】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法
第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法
所以，不同的安排方法共有種
故選：C
【點睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.
1．（2024·陜西銅川·三模）有5名學生準備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個景點游玩，每名學生必須去一個景點，每個景點至少有一名學生游玩，則不同的游玩方式有 種.
【答案】240
【分析】先從5名學生中選2人組成一組，再將4組學生分配到4個景點.
【詳解】先從5名學生中選2人組成一組，有種方法，
然后將4組學生分配到4個景點，有種方法，
由分步計數原理知共有種不同的游玩方式.
故答案為：240.
2．（23-24高二下·河南·期中）現某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調料師和營養師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（ ）
A．14種 B．18種 C．12種 D．7種
【答案】A
【分析】先求出5人中選出2人分別做調料師和營養師，再求出沒有女廚師被選中的選法，兩個選法數相減可得至少有1名女廚師被選中的方法數.
【詳解】從3名男剅師和2名女廚師中選出兩人，分別做調料師和營養師，共有20（種），沒有女廚師被選中的選法共有（種），
故至少有1名女廚師被選中的不同選法有（種）.
故選：A.
考點四、捆綁法
1．（23-24高二下·江蘇淮安·期中）五名同學排隊，甲、乙兩名同學必須排在一起，排隊方案共有（ ）
A．24種 B．36種 C．48種 D．120種
【答案】C
【分析】運用相鄰元素“捆綁法”易得.
【詳解】運用相鄰元素“捆綁法”，將甲和乙看成一個元素與其他三個同學全排，有種排法，
再對甲乙“松綁”，有種排法，
由分步乘法計數原理可得，排隊方案共有種.
故選：C.
2．（24-25高三上·福建泉州·階段練習）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲 乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（ ）
A．96種 B．120種 C．192種 D．240種
【答案】C
【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.
【詳解】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，
故不同的排法有種.
故選：C.
1．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期中）A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數為（ ）
A．240 B．120 C．96 D．60
【答案】A
【分析】利用捆綁法求得正確答案.
【詳解】將捆綁在一起，然后進行全排列，
故共有種排法.
故選：A
2．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用捆綁法結合分步乘法計數原理求解即可.
【詳解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，對其全排列，共有種不同的站法，
然后我們把他們捆綁為一個整體，
再對這個整體和其他個人全排列，共有種不同的站法，
所以甲、乙、丙站在一起的不同站法種數為，故D正確.
故選：D
3．（24-25高三·上海·課堂例題）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有（ ）個．（用數字作答）
A．128 B．256 C．576 D．684
【答案】C
【分析】利用捆綁法、插空法可得答案.
【詳解】1和2，3與4，5與6，分別捆綁在一起，看作三個元素進行排列，
7與8利用插空法，可得
故選：C.
考點五、插空法
1．（23-24高三上·浙江溫州·期末）6名同學排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（ ）
A．72種 B．144種 C．216種 D．256種
【答案】B
【分析】要使元素不相鄰，則用插空法，要使元素相鄰，則運用捆綁法，分步完成即得.
【詳解】先將丙與丁看成一“個”人，與除甲和乙之外的另外兩個人留下4個空，
在其中選2個給甲和乙，有種方法；
再考慮丙丁這“個”人和另兩個人進行全排，有種排法；
最后將丙丁“松綁”，有種方法，由分步計數原理，可得不同排法數為：種.
故選：B.
2．（22-23高三上·貴州畢節·階段練習）由6位專家組成的團隊前往某地進行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有 種.
【答案】480
【分析】由排列組合采用插空法，再利用分步乘法計數原理即可得結果
【詳解】先除去甲乙，另外4位專家排成一排，站法共有種，
4位專家排成一排后形成5個空，將甲乙插入這五個空中，共有種，
由分步乘法計數原理得種，即不同的站法有480種，
故答案為：480
3．（2024·河北邯鄲·二模）某班聯歡會原定5個節目，已排成節目單，開演前又增加了2個節目，現將這2個新節目插入節目單中，要求新節目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數為（ ）
A．12 B．18 C．20 D．60．
【答案】C
【分析】根據題意，分為當新節目插在中間的四個空隙中的一個和新節目插在中間的四個空隙中的兩個，結合排列數與組合數的計算，即可求解.
【詳解】根據題意，可分為兩類：
①當新節目插在中間的四個空隙中的一個時，有種方法；
②當新節目插在中間的四個空隙中的兩個時，有種方法，
由分類計數原理得，共有種不同的差法.
故選：C.
1．（23-24高三下·山東菏澤·開學考試）一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩均不相鄰的站法種數是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【答案】B
【分析】根據插空法即可求解.
【詳解】將老人位置固定，夫妻兩人在老人左右，此時有種站法，
將三個孩子插入兩兩大人之間的空隙中，有種站法，
故總的站法有.
故選：B
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）將6本相同的數學書和2本相同的語文書隨機排成一排，2本語文書不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先計算6本相同的數學書和2本相同的語文書擺放的種數，再用插空法計算2本語文書不相鄰的擺放種數，用古典概型概率的計算公式計算即可.
【詳解】依題意，將6本相同的數學書和2本相同的語文書隨機排成一排，
即從8個空位中選2個位置放語文書，剩余6個位置放數學書，擺放種數為：種；
利用插空法，6本數學書之間共有7個位置可以放2本語文書，擺放種數為：種，
由古典概型概率的計算公式得：.
故選：A.
3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（ ）種站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【答案】D
【分析】分甲站在每一排的兩端和甲不站在每一排的兩端這兩種情況解答即可.
【詳解】當甲站在每一排的兩端時，有4種站法，此時乙的位置確定，剩下的人隨便排，有種站排方式；

當甲不站在每一排的兩端時，有3種站法，此時乙和甲相鄰有兩個位置可選，丙和甲不相鄰有四個位置可選，剩下的人隨便站，有種站排方式；

故總共有種站排方式.
故選：D．
考點六、特殊元素法
1．（2024·遼寧·三模）第33屆夏季奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，中國隊將派甲、乙、丙、丁4名男子短跑運動員參加男子接力比賽，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，參賽方法共有（ ）種
A．10 B．12 C．14 D．18
【答案】C
【分析】先分兩類，一類是甲跑第四棒，另一類是甲跑第二或第三棒，分類求解即可得到結果.
【詳解】當甲跑第四棒時，參賽方法有：種；
當甲跑第二或第三棒時，參賽方法有：種；
顯然，參賽方法共有種.
故選：C.
2．（2024·全國·模擬預測）某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則分配方案有（ ）
A．36種 B．24種 C．18種 D．12種
【答案】C
【分析】分教師甲與2名學生去北京與教師甲與另一名教師及2名學生去北京兩種情況分類討論可求分配方案的方法數.
【詳解】當教師甲與2名學生去北京時，分配方案共有（種）；
當教師甲與另一名教師及2名學生去北京時，分配方案共有（種），
綜上，分配方案共有（種）.
故選：C.
1．（23-24高二下·重慶渝北·期中）將4個不同的小球放入編號為的三個盒子，每個小球只能放入一個盒子，每個盒子至少放一個小球，若盒子中只放一個小球，則不同的放法數為（ ）
A．18 B．24 C．48 D．72
【答案】B
【分析】此題利用分步計數原理，按照優先特殊的盒，分三步就可以解決此問題.
【詳解】第一步：給盒子中只放一個小球有4種放法；
第二步：給剩下的3個球分成兩組有種方法；
第三步：給分成兩組的球排列到兩個盒子中有種方法；
所以利用分步計數原理可知，滿足題意的不同的放法數為：，
故選：
2．（23-24高二下·江蘇南通·期中）文娛晚會中，學生的節目有5個，教師的節目有2個，如果教師的節目不排在第一個，也不排在最后一個，并且不相鄰，則排法種數為（ ）
A．720 B．1440 C．2400 D．2880
【答案】B
【分析】先將學生的節目全排列，然后對教師節目進行插空即可得解.
【詳解】由題意可知，先將學生的節目全排列有種排法，
然后對教師節目進行插空有種排法，
所以滿足題意的排法種數為種.
故選：B.
考點七、特殊位置法
1．（2024·河北滄州·模擬預測）已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中間，則不同的站法種數為（ ）
A．32 B．36 C．40 D．42
【答案】C
【分析】先安排前排，再安排后排，利用分步乘法計數原理進行求解.
【詳解】先排前排，有種站法，后排3人中身高最高的站中間，則兩邊的人有種站法，
則有種站法．
故選：C
2．（23-24高三上·湖南衡陽·期末）某旅游團計劃去湖南旅游，該旅游團從長沙 衡陽 郴州 株洲 益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個城市按照到達的先后順序分別記為第一站 第二站 第三站 第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團四站的城市安排共有（ ）
A．96種 B．84種 C．72種 D．60種
【答案】A
【分析】根據分步乘法原理先考慮第一站，再考慮余下的三站得解.
【詳解】因為第一站不去株洲，所以第一站可以從長沙 衡陽 郴州 益陽這4個城市中選擇1個，共有4種選擇，
余下的三站可以從剩下的4個城市中選擇3個，所以該旅游團四站的城市安排共有種.
故選：A.
3．（2023·北京·高三統考）某單位安排7位員工在春節期間大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在初一，丁不排在初七，則不同的安排方案共有（ ）
A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種
【答案】C
【分析】根據題意，用間接法分析：先計算甲乙相鄰的排法種數，進而計算其中“甲乙相鄰且丙排在初一”、“甲乙相鄰且丁排在初七”和“甲乙相鄰且丙排在初一同時丁排在初七”的排法種數，據此分析可得答案．
【詳解】根據題意，用間接法分析：
甲乙相鄰，即甲乙排在相鄰的兩天，有＝1440種情況，
其中，甲乙相鄰且丙排在初一的排法有＝240種，甲乙相鄰且丁排在初七排法有＝240種，甲乙相鄰且丙排在初一同時丁排在初七排法有＝48種，
則不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008種，
故選：C．
1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（ ）
A．48種 B．32種 C．24種 D．16種
【答案】B
【分析】由排列組合以及分類分步計數原理即可得解.
【詳解】當老師從左到右排在第二或第四位時，共有種排法，
當老師從左到右排在第三位時，共有種排法，于是共有種排法.
故選：B.
2．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習）武漢外校國慶節放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續值兩天班，則不同的值班方法共有（ ）種
A．114 B．120 C．126 D．132
【答案】A
【分析】依據值班3天的為分類標準，逐類解決即可.
【詳解】因為有三位老師值班7天，且每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續值兩天班，
所以必有一人值班3天，另兩人各值班2天.
第一類：值班3天在、、、、、時，共有種不同的值班方法；
第二類：值班3天在、時，共有種不同的值班方法；
第三類：值班3天在時，共有種不同的值班方法；
第四類：值班3天在時，共有種不同的值班方法；
綜上可知三位老師在國慶節7天假期共有種不同的值班方法.
故選：A
3．（2023·湖南長沙·高三校考階段練習）某小學班級星期一要排5節課,語文、數學、英語、音樂、體育各1節,考慮到學生學習的效果,第一節不排數學,語文和英語相鄰,且音樂和體育不相鄰,則不同的排課方式有( )
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【分析】利用間接法,先求出第一節沒有要求的排列的種數,再排除第一節排數學的種數,即可求得答案.
【詳解】把語文和英語看作一個復合元素和數學全排,形成了三個空,把音樂和體育插入到其中個空中.
有種,
又第節排數學,第節只能排語文和英語,第節只能排音樂和體育,
有種,
第節不排數學,語文和英語相鄰.且音樂和體育不相鄰,
不同的排課方式有種,
故選：C.
【點睛】本題考查組合計數問題的求解.對于限制條件較多的組合計數問題,通常采用間接法來進行求解,易錯點是忽略限制條件的彼此影響,造成求解錯誤,考查了分析能力,屬于中檔題.
考點八、間接法
1．（2024高三下·全國·專題練習）某人計劃去北京、西安、沈陽、喀什、長沙五個城市旅游，若最后一個目的城市不是喀什，則該人旅游完這五個城市的所有可能順序共有（ ）
A．60種 B．72種 C．84種 D．96種
【答案】D
【分析】根據給定條件，不考慮限制條件的排列數，去掉最后目的地是喀什的排列數即可.
【詳解】最后目的地沒有限制條件的情況有種，而最后一個目的城市是喀什的情況有種，
所以最后一個目的城市不是喀什的情況有（種）．
故選：D
2．（2024·四川·模擬預測）某校組織校慶活動，負責人將任務分解為編號為的四個子任務，并將任務分配給甲、乙、丙3人，且每人至少分得一個子任務，則甲沒有分到編號為的子任務的分配方法共有（ ）
A．12種 B．18種 C．24種 D．36種
【答案】C
【分析】可以考慮用間接法先不考慮限制求出共有種方法，進一步由分類原理即可求解.
【詳解】不考慮限制條件則共有種方法，
若甲分到編號子任務，有兩種情況：
甲分到一個子任務（即只有編號子任務），此時共有種方法；
甲分到兩個子任務（即包含編號子任務），此時共有種方法；
則所求的分配方法共有種.
故選：C.
3．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）有4名男生 3名女生和2個不同的道具（記作A和B）參與一個活動，活動要求：所有人（男生和女生）必須站成一排，女生必須站在一起，并且她們之間按照身高從左到右由高到低的順序排列（假設女生的身高各不相同）；兩個道具A和B必須被分配給隊伍中的兩個人（可以是男生，也可以是女生），但這兩人不能站在一起.滿足上述所有條件的排列方式共有（ ）
A．2400種 B．3600種 C．2880種 D．4220種
【答案】B
【分析】先用捆綁法排列（女生不需要內部排列），然后利用間接法再分配2個道具．
【詳解】根據題意4名男生 3名女生的排列方法為，然后在7人中選2人（不相鄰）分配道具：，總方法數為，
故選：B．
1．（2024·江西新余·模擬預測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）種.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙在最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種.
【詳解】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙排最左端的有種，
然后加上甲在中間和乙在最左端的有種，
則共有種排法.
故選：D.
2．（2024·全國·模擬預測）2024年2月17日，第十四屆全國冬季運動會在內蒙古自治區呼倫貝爾市正式開幕．要從4名男志愿者、2名女志愿者中隨機選派4人參加冰球比賽服務，如果要求至少有1名女志愿者，那么不同的選派方案種數為（ ）
A．14 B．12 C．8 D．6
【答案】A
【分析】根據計數原理結合排列組合一是直接分類，即先把所求事件分成若干類，然后計算出每類的方法數，最后求和；二是排除法，即用所有的方法數減去不符合條件的方法數．
【詳解】解法一：當選派1名女志愿者、3名男志愿者時，有種不同的選派方案；
當選派2名女志愿者、2名男志愿者時，有種不同的選派方案．
故至少有1名女志愿者的不同的選派方案種數為．
解法二：從6名志愿者中隨機選派4人的不同的選派方案種數為，
其中沒有女志愿者的不同的選派方案種數為，
故至少有1名女志愿者的不同的選派方案種數為．
故選：A．
3．（2022·河北·高三?？迹┈F有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數為（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
【答案】B
【分析】用間接法分析.先求出“從16張卡片中任取3張的所有取法數”，再分析“取出的3張為同一種顏色”和“取出的3張有2張綠色卡片”的取法數，從而可求出答案.
【詳解】根據題意，不考慮限制，從16張卡片中任取3張，共有種取法，
如果取出的3張為同一種顏色，則有種情況，
如果取出的3張有2張綠色卡片，則有種情況，
故所求的取法共有種.
故選：B.
4．（24-25高三上·重慶涪陵·開學考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數為（ ）
A．44 B．46 C．48 D．54
【答案】B
【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3種情況，分類討論結合組合數分析求解；解法二：利用間接法，根據題意先排甲不排首尾，再排除不符合題意的情況，結合組合數分析求解.
【詳解】解法一：多重限制的排列問題：
甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲為優先元素分類計數，
甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：
①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；
②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；
③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；
綜上，該5名同學可能的名次排情況種數為種.
解法二：間接法：
甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；
但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；
從而該5名同學可能的名次排情況種數為種.
故選：B.
考點九、隔板法
1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為（ ）
A．70 B．99 C．110 D．165
【答案】D
【分析】相同元素的分配問題用“隔板法”即可.
【詳解】當8個相同的藍球只分給其中1人時，有4種分法；
當8個相同的藍球分給其中的2人時，先從4人里面選出2人，再將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出1個空插入1個“隔板”即可，此時有種分法；
當8個相同的藍球分給其中的3人時，先從4人里面選出3人，再將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出2個空插入2個“隔板”即可，此時有種分法；
當8個相同的藍球分給其中的4人時，每人至少一個，此時將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出3個空插入3個“隔板”即可，此時有種分法；
因此把8個相同的藍球分發給甲、乙、丙、丁4人時，不同的分發種數有：
故選：D.
2．（23-24高二下·貴州遵義·期末）方程的非負整數解個數為（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
【答案】A
【分析】將問題轉化為：將排成一列的13個完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.
【詳解】依題意，可知為非負整數，
因為，
所以，
從而將問題轉化為：將排成一列的13個完全相同的小球分成部分，每部分至少一個球，
一共有12個間隔，利用4個隔板插入即可，故共有種.
故選：A
3．（24-25高二上·上?！ぜ倨谧鳂I）有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？
【答案】
【分析】利用擋板法即可由組合數求解.
【詳解】因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應地分給7個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。
1．（23-24高二下·四川內江·期中）學校將個三好學生名額分配給個班，每個班至少一個名額，則分配方案共有 種.
【答案】
【分析】利用隔板法計算可得.
【詳解】將個三好學生名額看做個完全一樣的小球，將小球排成一排，
從個空中插入個隔板，將小球分成組，每組小球的個數對應班級的三好學生名額，
故分配方案共有（種）.
故答案為：
2．（24-25高二上·上?！ぜ倨谧鳂I）求方程的非負整數解的個數.
【答案】66
【分析】轉化為把13個相同小球放在三個不同的盒子里，利用隔板法，即可求得答案.
【詳解】可將問題轉化為把13個相同小球放入三個不同的箱子中，
由于箱子中的球可以為0，可知不滿足隔板法的使用條件，
因此我們可以選擇添加三個球，即給箱子中各添加一個球，
這樣就將問題轉化為把13個相同小球放入三個不同箱子中，且每個箱子中至少有一個球，
即將原問題轉化為求的正整數解的個數，
因此可得方程的非負整數解的個數是.
所以方程的非負整數解的個數為.
3．（23-24高二下·山西臨汾·期中）將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名額，則不同的分配方案種數為（ ）
A．56 B．126 C．210 D．462
【答案】B
【分析】根據題意，結合“隔板法”，即可求解.
【詳解】將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，
每個班至少有1個名額的分法，
類比于用5個隔板插入10個小球中間的空隙中，將球分成6堆，
由于 10 個小球中間共有9個空隙，
因此共有 種不同的分法.
故選：B
考點十、定序倍縮法
1．（2024·重慶·模擬預測）有6位同學排成一排準備拍照，拍照前加入了2位同學，如果要求他們仍站成一排，同時原來6位同學的相對順序保持不變，則有 種不同的站法．（用數字作答）
【答案】56
【分析】利用排列中的定序問題的處理方法求解．
【詳解】因為共8位同學站成一排，原來6位同學的相對順序保持不變，
所以共有種不同站法，
故答案為：56．
2．（24-25高三上·安徽·開學考試）用數字組成沒有重復數字的五位數，在所組成的五位數中任選一個，則這個五位數中數字按從小到大的順序排列的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可得組成沒有重復數字的五位數有，根據定序法可得符合題意的五位數個數，結合古典概型運算求解.
【詳解】由題意可知：組成沒有重復數字的五位數有個；
若這個五位數中數字按從小到大的順序，所以符合題意的五位數有個，
所以所求的概率為.
故選：C.
1．（24-25高二下·全國·課后作業）現有10人排隊，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后順序固定，則共有不同排法 種．
【答案】30240
【分析】根據定序元素的個數進行計算即所有人的全排列除以定序男生人數的全排列.
【詳解】先將10人全排，即為，再將甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即為，
故有種排法．
故答案為：30240.
2．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）某學習小組、、、、、、七名同學站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數為 （用數字作答）
【答案】
【分析】將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，結合倍縮法可得結果.
【詳解】由題意可知，與相鄰，則將與捆綁，
然后要求在的左邊，在的右邊，
由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數為種.
故答案為：.
考點十一、平均分組
1．（2023高三·全國·專題練習）將8本不同的書，分成4堆，每堆兩本，則不同分法的種數是 ．
【答案】105
【分析】根據分配原則，先把書分成有順序的4堆，再根據這四堆書并無實際的順序，進行去序．
【詳解】先把書分成有順序的4堆，第一堆、第二堆、第三堆、第四堆均為兩本，則有（種）情況.
由于這四堆書每堆都為2本，并無實際的順序，因此需要除以來去序．
綜上所述，不同分法的種數為．
故答案為:105.
2．3位男生、3位女生平均分成三組，恰好每組都有一位男生和一位女生的概率是 .
【答案】/0.4
【分析】求出3位男生、3位女生平均分成三組的情況數和恰好每組都有一位男生和一位女生的情況數，得到概率.
【詳解】3位男生、3位女生平均分成三組，共有種情況，
其中恰好每組都有一位男生和一位女生的情況有種，
故恰好每組都有一位男生和一位女生的概率為.
故答案為：
1．（24-25高三上·內蒙古赤峰·階段練習）甲、乙等6位同學去三個社區參加義務勞動，每個社區安排2位同學，每位同學只去一個社區，則甲、乙到同一社區的不同安排方案共有 .
【答案】18
【分析】按照分步計數原理并利用平均分組后再分配的計算方法求解可得.
【詳解】根據題意，安排6位同學到社區參加義務勞動可分成兩步：
第一步，將6位同學分成3組，要求甲、乙一組，其余4位同學平均分組，
則有種分組方法；
第二步，將分好的3組全排列，安排到三個不同的社區，有種情況；
則由分步計數原理可得，
甲、乙到同一社區的不同安排方案共有種不同的安排方法.
故答案為：18.
2．（23-24高三上·廣東廣州·期中）將甲、乙、丙、丁四人安排到籃球與演講比賽現場進行任務工作，每個比賽現場需要兩人，則甲、乙安排在一起的概率為 ．
【答案】
【分析】根先將四人平均分成兩組，再安排服務工作共有種，再根據全排求甲、乙安排一起服務的種數，結合古典概型即可求解.
【詳解】將四人分成兩人兩組共有種，
再安排四人到籃球與演講比賽現場進行服務工作有種，
又甲、乙安排在一起共有種，
所以甲、乙安排在一起的概率為，
故答案為：.
考點十二、部分平均分組
1．（23-24高二下·浙江紹興·階段練習）老師有7本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（ ）
A．248種 B．168種 C．490種 D．360種
【答案】C
【分析】剩余的4本書分給乙和丙，可以安排和兩種情況，利用排列組合求出每種情況下的情況數，相加后得到答案.
【詳解】剩余的4本書分給乙和丙，可以安排和兩種情況，
安排時，共有種，
安排時，共有種，
綜上，甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有種.
故選：C
2．（23-24高二下·河北石家莊·期末）某大學學生會安排5名學生作為“校慶70周年——歡迎校友回家”活動的志愿者，已知該活動的志愿者值班區域分為主樓區、偏樓區和大廳區三個區域，每名志愿者只需去一個區域進行志愿值班服務，且每個區域至少有1名志愿者，則不同的安排方法有（ ）
A．45種 B．90種 C．150種 D．240種
【答案】C
【分析】先將5人按照，或進行分組，然后再將3組進行全排列即可.
【詳解】5名學生分成三組的情況有或，
當為時，則不同的安排方法有種，
當為時，則不同的安排方法有種，
所以，一共有種方法.
故選：C.
1．（22-23高三下·河北·階段練習）6名大學生分配到4所學校實習，每名大學生只分配到一所學校，每所學校至少分配1名大學生，則不同的分配方案共有（ ）
A．65 B．1560 C．2640 D．4560
【答案】B
【分析】先將6名大學生分四組，再將四組對應到四個學校，計算可得最后方案種數.
【詳解】分兩種情況：
把6名大學生分為3，1，1，1四組，有種分法，再將4組對應四個學校，
有種情況，由分步乘法計數原理得，共有種安排方法；
把6名大學生分為2，2，1，1四組，有種分法，再將4組對應四個學校，
有種情況，由分步乘法計數原理得，共有種安排方法；
綜上，不同的分配方案共有種.
故選：B.
2．（2023·河南周口·模擬預測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導工作，每個會議廳至少1人．每人只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有 種．（用數字作答）
【答案】
【分析】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數組合可以是和，先求出5名工作人員分配到3個會議廳的情況數，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數，相減得到答案.
【詳解】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數組合可以是和，
人數組合是時，共有種情況，
其中甲 乙兩人分配到同一個會議廳的情況為種，
從而甲 乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種；
人數組合是時，共有種情況，
其中甲 乙兩人分配到同一個會議廳的情況為種，
從而甲 乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種，
所以甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.
故答案為：.
考點十三、不平均分組
1．小明將個不同時期的生肖紀念幣分成份進行觀賞，每份至少個，且每份數量不同，則不同的分配方法有 種．
【答案】
【分析】滿足條件的分類方式有，分別求出其方法總數，由分類加法計數原理即可得出答案.
【詳解】由題可得，滿足條件的分類方式有．
由分類加法計數原理可得，滿足要求的分配方法有種．
故答案為：.
2．（24-25高三上·江蘇·階段練習）某大學5名師范生到甲、乙、丙三所高中實習，每名同學只能到1所學校，每所學校至多接收2名同學.若同學A確定到甲學校，則不同的安排方法共有 種.
【答案】30
【分析】分只有同學A到甲學校、除同學A外還有一名同學去甲學校兩種情況即可.
【詳解】若只有同學A到甲學校，則有種可能，
若除同學A外還有一名同學去甲學校，則有種可能，
故共有種可能.
故答案為：30.
1．（23-24高二下·河南商丘·期末）某職業技術學校組織6名學生到3家工廠實習，每家工廠至少去1人，至多去3人，且每名學生只能去1家工廠，則不同的分配方法共有 種．（用數字作答）
【答案】
【分析】先將人按要求分成三組，再分配到三個廠去即可.
【詳解】由題意，人分成組有和兩種分法，
當按分組時，則不同的分配方法有種，
當按分組時，則不同的分配方法有種，
綜上，不同的分配方法共有種.
故答案為：.
2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）某公司清明有三天假期，現安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，則不同的值班安排共有（ ）
A．72種 B．114種 C．120種 D．144種
【答案】B
【分析】由題意問題可分為不考慮甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班兩種情況，，兩種情況分別用分組分配方法求解即可.
【詳解】不考慮甲乙是否同一天加班的特殊情況，5位員工安排在3天加班，
可分為與兩種情況，
①：；②：，共有150種情況．
若甲、乙在同一天加班，分他們都在2人組和都在3人組兩種情況，
①都在2人組：；②都在3人組：，
考慮兩人的特殊要求之后，共有（種）不同的值班安排方法．
故選：B
考點十四、多排問題
1．6個人站成前、中、后三排，每排2人，則不同的排法有 種．
【答案】720
【分析】可以分三步：前、中、后三排分別站2人即可得，也只可以相當于6人全排列．
【詳解】6個人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有（種）．
故答案為：720
2．（2023·云南·模擬預測）有7個人排成前后兩排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同學站在前排，乙同學站在后排的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】總事件數看成7人站一排, 考慮符合題意的情況，從余下5人中選2人與甲站在前排,根據古典概型的計算公式求解即可.
【詳解】先計算總事件數，可以看成7人站一排有種.
現在考慮符合題意的情況，從余下5人中選2人與甲站在前排，乙站在后排有種，
概率為.
故選:D.
3．有8名同學排成前后兩排，每排4人，如果甲乙兩同學必須排在前排，丙同學必須排在后排，那么不同的排法有 種(用數字作答).
【答案】
【分析】因為屬于有限制條件的排列問題，所以優先考慮有限制條件的元素，可分成三步去做，第一步，排甲乙，第二步，排丙，第三步，排其他人，把每步的方法數，求出后，再相乘即可．
【詳解】解：可分成3步，
第一步，先排甲乙
∵甲、乙兩同學必須排在前排，有A42＝12種排法
第二步，排丙
∵丙同學必須排在后排，有A41＝4種排法
第三步，排其他同學
沒有限制，有A55＝120種排法
最后，三步的方法數相乘，有12×4×120＝5760中不同的排法．
故答案為5760
【點睛】本題主要考查了有限制的排列問題，做題時應優先考慮有限制的元素．
1．把15人分成前、中、后三排,每排5人,則共有不同的排法種數為(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】多排問題單排考慮，全排列即可．
【詳解】把座位從1到15標上號，問題就轉化為15人坐在15個座位上，共有種．
【點睛】一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究．
2．（22-23高三下·河南商丘·階段練習）六位身高各不相同的同學拍照留念，攝影師要求前后兩排各站三人，則最高的與最矮的在同一排的概率是 ．
【答案】/
【分析】先求出六位同學前后兩排各三人排列的方法數，再求出最高與最矮的同學在同一排的方法數，利用古典概型概率公式求出概率即可．
【詳解】六位身高各不相同的同學前后兩排各三人排列的方法數為，
其中最高的與最矮的在同一排的方法總數為，
則所求概率，
故答案為：．
3．現有9位身高各異的同學拍照留念，分成前后兩排，前排4人，后排5人，要求每排同學的身高從中間到兩邊依次遞減，則不同的排隊方式有 種．
【答案】4536
【分析】第一步先選4人排在前排，其余5人排后排，第二步前排4人中先選2人排在左邊2個位置，其余2人排在右邊2個位置，第三步后排5人中最高的1人排在中間，然后從剩下的4人中選2人排在左邊2個位置，其余2人排在右邊2個位置，由分步乘法原理可得.
【詳解】由題意，可分步完成排除這件事：第一步選4人排在前排，剩下5人在后排，第二步前排4人中選2人排在左邊2個位置，剩下2人在右邊2個位置，第三步后排5人中最高1人站中間，然后選2人排在左邊2個位置，剩下2人在右邊2個位置，
∴不同的排隊方式有（種）．
【點睛】本題考查排列組合的應用，考查分步乘法原理，解題關鍵確定完成排除這個事件的方法，是分類完成還是分步完成.
考點十五、環排問題
1．（2023·高三課時練習）8人圍桌而坐，共有多少種坐法
【答案】7! (種)坐法
【分析】圓桌坐法沒有首位，因此先故定1人為起點，再進行排列.
【詳解】圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，
所以固定1人，并從此位置把圓形展成直線，其余7人共有 (種)坐法，
即(8-1)! =7! (種)坐法．
2．（2023·全國·高三專題練習）7名同學坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，不同的排法種數為 .
【答案】240
【分析】將甲、乙視為一個整體，根據圓排列的方法確定其排列數，再排甲、乙即可.
【詳解】將甲、乙看成一個整體，相當于6名同學坐圓桌吃飯，有種排法，
甲、乙兩人可交換位置，故排法共有（種）.
故答案為：.
1．（2023·全國·高三專題練習）5個學生圍桌而坐，共有多少種排法？
【答案】24
【分析】根據圓桌的特點，沒有首尾之分，因此要固定一人位置， 再排其余4人，求出答案即可．
【詳解】由圍桌坐成圓形，沒有首位之分，
所以固定其中任意一人，并從此位置把圓展開成一條直線，
只要讓其余4人進行全排列，即有種排法．
3 盆紅花 5 盆黃花圍成花環, 有種不同的排法？
解:
故有
考點十六、涂色問題
1．（23-24高三上·廣東東莞·階段練習）如圖所示，相鄰區域不得使用同一顏色，現有種顏色可供選擇，則涂滿所有區域的不同的著色方法共有 種(用數字填寫答案)
【答案】72
【分析】分用3色涂或4色涂兩種情況求解可得結論.
【詳解】若用3色涂，則應先把1，2，3，4，5五塊區域分成三組，每組能用一種顏色涂，
分組方法是35，24，1，此時的涂法有種，
若用4色涂，則應先把1，2，3，4，5五塊區域分成四組，每組能用一種顏色涂，
分組方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此時的涂法有種，
所以總的涂色方法有.
故答案為：.
2．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每個方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若每個的方格中的四個小方格的顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數為 .
【答案】
【分析】根據題意，第一個的方格有種涂法，假設第一個的方格，涂如圖所示四種顏色，分類求得不同的涂色方法，結合分步計數原理，即可求解.
【詳解】設四種顏色分別為，對于第一個的方格，共有種不同的涂法，
假設第一個的方格，涂如圖所示四種顏色，
①若第三列的一個方格涂，第三列的第二方格涂，則第三列的第三方格涂或，
當第三列的第三方格涂時，則第三行的第一、二方格，分別涂；
當第三列的第三方格涂時，則第三行的第一、二方格，分別涂；
②若第三列的一個方格涂，第三列的第二方格涂，則第三列的第三方格涂或，
當第三列的第三方格涂時，則第三行的第一、二方格，分別涂；
當第三列的第三方格涂時，則第三行的第二方格涂，不合題意；
所以，共有類涂法，則共有種不同的涂色方法.
故答案為：.
3．（24-25高三上·廣西南寧·開學考試）在如圖方格中，用4種不同顏色做涂色游戲，要求相鄰區域顏色不同，每個區域只能涂一種顏色.
①若區域涂2種顏色，區域涂另外2種顏色，則有 種不同涂法.
②若區域涂4種顏色（涂的顏色互不相同），區域也涂這4種顏色（涂的顏色互不相同），則有 種不同涂法.
【答案】
【分析】①利用分步計數原理可求不同的涂法；②先涂，再就的涂色情況分類計算即可.
【詳解】①先涂，共有種，再涂鴉，共有種，
故共有種涂法.
②先涂，共有，
若所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；
若所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；
若所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；
同理所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；
所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；
所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；
故共有涂法種，
故答案為：.
1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習）某植物園要在如圖所示的5個區域種植果樹，現有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區域不能種同一種果樹，則共有（ ）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【分析】利用分類計數原理求解，按2與4兩區域種植果樹是否相同進行分類即可.
【詳解】分兩類情況：
第一類：2與4種同一種果樹，
第一步種1區域，有5種方法；
第二步種2與4區域，有4種方法；
第三步種3區域，有3種方法；
最后一步種5區域，有3種方法，
由分步計數原理共有種方法；
第二類：2與4種不同果樹，
第一步在1234四個區域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有種方法；
第二步種5號區域，有2種方法，
由分步計數原理共有種方法.
再由分類計數原理，共有種不同的方法.
故選：C.
2．（23-24高二下·安徽·階段練習）如圖，一個橢圓形花壇分為A，B，C，D，E，F六個區域，現需要在該花壇中栽種多種顏色的花.要求每一個區域種同一顏色的花，相鄰區域所種的花顏色不能相同．現有5種不同顏色(含紅色)的花可供選擇，B區域必須種紅花，則不同的種法種數為（ ）

A．156 B．144 C．96 D．78
【答案】A
【分析】依題意對、、、區域所選顏色分三種情況討論，按照分步乘法計數原理計算可得.
【詳解】除B區域外，其他區域的種法分三類：
第一類，、、、區域選紅色以外的其余4種顏色，A區域選紅色，有種不同的種法;
第二類，、、、區域選紅色以外的其余4種顏色中的3種，
C，F同色或D，E同色，A區域有2種選法，有種不同的種法;
第三類，、、、區域選紅色以外的其余4種顏色中的2種，
C，F同色且D，E同色，A區域有3種選法，有種不同的種法．
綜上可得，共有（種）不同的種法．
故選：A
3．（2023·浙江·模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學 中醫學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【分析】根據不鄰區域是否同色進行分類，確定涂色順序再分步計數即可.
【詳解】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.
五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.
故問題轉化為如圖五個區域，
有種不同的顏色可用，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，即色區域的環狀涂色問題.

分為以下兩類情況：
第一類：三個區域涂三種不同的顏色，
第一步涂區域，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，
第二步涂區域，由于顏色不同，有種方法，
第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數原理，則共有種方法；
第二類：三個區域涂兩種不同的顏色，
由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數相同.
若涂一色，
第一步涂區域，可看成同一區域，且區域不同色，
即涂個區域不同色，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，
第二步涂區域，由于顏色相同，則有種方法，
第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數原理，則共有種方法；
若涂一色，與涂一色的方法數相同，
則共有種方法.
由分類計數原理可知，不同的涂色方法共有種.
故選：D.
1．（2024·江西·模擬預測）將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，則2個1不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排列組合公式結合古典概型的概率公式即可求解．
【詳解】將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，共有種，
其中，2個1不相鄰的情況有種，
故所求概率為．
故選：A.
2．（2024·廣東·二模）8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，每個小組內成員地位等價，則所有可能的分組方案數量是（ ）
A．28 B．2520 C．105 D．128
【答案】C
【分析】直接由排列組合知識求解即可.
【詳解】由題意8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，每個小組內成員地位等價，
則所有可能的分組方案數量是.
故選：C.
3．（2024·河南周口·模擬預測）2024年春節檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《·逆轉時空》異常火爆，甲、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看的方法有（ ）
A．243種 B．162種 C．72種 D．36種
【答案】B
【分析】先安排甲乙有種方法，再安排其他三人，結合分步乘法計數原理即可得答案.
【詳解】先安排甲、乙兩人，有種方法，再安排其余3人，每人有3種安排方法，故共有（種）方法.
故選：B.
4．（2024·新疆喀什·三模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將的前6位數字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼．若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為 ．
【答案】96
【分析】利用捆綁法即可求解.
【詳解】從3，4，5，9中選擇一個數字放入兩個1之間，將其與兩個1看作一個整體，與剩下元素全排列，故不同的密碼個數為，
故答案為：96
5．（2024·河南濮陽·模擬預測）某班派遣五位同學到甲、乙、丙三個街道打掃衛生．每個街道至少有一位同學去，至多有兩位同學去，且兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】A
【分析】先安排，再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，求出答案.
【詳解】由題意得，學生的分配人數分別為2，2，1，
由于兩位同學去同一個街道，故先從3個街道中選擇1個安排，有種，
再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，有
故不同的派遣方法有種.
故選：A.
6．（2024·海南海口·模擬預測）?？谑凶鳛槭着皣H濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨特的生態環境，?？谑心持袑W一研究性學習小組計劃利用5月1日至5月5日共5天假期實地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕地公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個濕地公園，每天考察1個，其中對美舍河濕地公園的考察安排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（ ）
A．24種 B．48種 C．98種 D．120種
【答案】B
【分析】先排特殊，再一般，最后按照計數原理計算即可.
【詳解】先安排美舍河濕地公園的考察時間，方式有種；
再安排剩下四天的行程有，所以一共有種安排方法.
故選：B
7．（2018·廣東深圳·一模）某次文藝匯演，要將這六個不同節目編排成節目單．如果兩個節目要相鄰，且都不排在第3個節目的位置，那么節目單上不同的排序方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【分析】將捆綁，且可從3個位置選擇，再將剩余4人進行全排列，得到答案.
【詳解】將捆綁，且可放入；和三個位置，故有種情況，
將其它4個節目和4個位置進行全排列，有種情況，
故節目單上不同的排序方式有種.
故選：B
8．（2024·四川成都·模擬預測）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（ ）
A．120種 B．24種 C．36種 D．12種
【答案】D
【分析】先排紅色棋子，再將黑色棋子插空，求出答案.
【詳解】先將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子進行全排列，有種選擇，
3個紅色棋子中間有2個空，將2個黑色的“將”“車”棋子進行插空，有種選擇，
則同色棋子不相鄰的排列方式有種.
故選：D
9．（2024·青海海西·模擬預測）現在六個人并排站成一排，則甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由6人的全排列，以及插空法及甲乙丙的順序確定，從而可求甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率.
【詳解】6人的全排列有，利用插空法，將余下的三個人全排列，
則將甲、乙、丙三人插入到四個空中且他們的順序為甲乙丙一種，
又由甲、乙、丙三人的全排列有種，
所以甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的排法有種，
故所求概率為．
故選：B．
10．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個數組成無重復數字的六位數，則在數字1，3相鄰的條件下，數字2，4，6也相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別求出數字1，3相鄰時的六位數個數以及數字1，3相鄰，數字2，4，6也相鄰的六位數的個數，根據條件概率的計算公式，即可求得答案.
【詳解】設“數字1，3相鄰”，設“數字2，4，6相鄰”，
則數字1，3相鄰時的六位數有個，
數字1，3相鄰，數字2，4，6也相鄰的六位數的個數為，
則.
故選：A.
1．（2024·全國·模擬預測）1949年10月1日，開國大典結束后，新成立的中央人民政府在北京飯店舉行了有600余位賓客參加的新中國第一次國慶招待會，史稱“開國第一宴”．該宴的主要菜品有：鮑魚濃汁四寶、東坡肉方、蟹粉獅子頭、雞汁煮干絲、清炒翡翠蝦仁和全家福．若這六道菜要求依次而上，其中“東坡肉方”和“雞汁煮干絲”不能接連相鄰上菜，則不同的上菜順序種數為（ ）
A．240 B．480 C．384 D．1440
【答案】B
【分析】利用插空法求解.
【詳解】鮑魚濃汁四寶、蟹粉獅子頭、清炒翡翠蝦仁和全家福依次而上有種排列方式，
此時形成個空位，選出個空位將東坡肉方和雞汁煮干絲分別插入進去，共有種排列方式，
由乘法原理可知不同的上菜順序種數為，
故選：.
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知6件不同的產品中有2件次品，現對它們一一測試，直至找到所有2件次品為止，若至多測試4次就能找到這2件次品，則共有（ ）種不同的測試方法．
A．114 B．90 C．106 D．128
【答案】A
【分析】利用分類加法計數原理可求得測試方法的種數.
【詳解】解：檢測2次可測出2件次品，不同的測試方法有種；
檢測3次可測出2件次品，不同的測試方法有種；
檢測4次測出2件次品；不同的測試方法有種；
檢測4次測出4件正品，不同的測試方法共有種，
由分類計數原理，滿足條件的不同的測試方法的種數為：
種．
故選：A．
3．（24-25高三上·河北邯鄲·開學考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A，B，C三個比賽場地的現場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數為（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【分析】按照A場地安排人數分類討論，結合分類加法原理，利用排列組合知識求解即可.
【詳解】按照A場地安排人數，可以分以下兩類：
第一類，A場地安排1人，共種安排方法，
第二類，A場地安排2人，共種安排方法，
由分類加法計數原理得，共有（種）不同安排方法.
故選：B
4．（2024·陜西西安·模擬預測）公司的甲部門有3男2女五名職工，乙部門有2男3女五名職工．公司通知每個部門任選2名職工，且所選的4名職工必須是2男2女，公司再將四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項，則不同的分配方案種數為（用數字作答） ．
【答案】
【分析】利用分步計數原理，先求出從甲、乙兩部門各選2名職工的選法和將四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項的分法，即可求出結果.
【詳解】因為從甲、乙兩部門各選2名職工，且所選的4名職工是2男2女，有種選法，
又將四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項，有種分法，
所以不同的分配方案種數為.
故答案為：.
5．（2024·遼寧大連·二模）第二十一屆大連國際徒步大會即將召開，現在要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、安保、禮儀、服務四項不同工作，若小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，若每個工作僅需要一人且每人只能從事一項工作，則不同的選派方案共有 種.
【答案】36
【分析】分小張和小趙兩人只有一人入選和兩人都入選兩種情況討論，利用分類加法計算原理計算可得.
【詳解】①小張和小趙兩人只有一人入選，則有種選派方法；
②小張和小趙兩人都入選，則有種選派方法；
綜上可得一共有種選派方法.
故答案為：36
6．（2024·廣西貴港·模擬預測）2024年4月6號岳陽馬拉松暨全國半程馬拉松錦標賽（第三站）開賽，比賽結束后，其中5男3女共8位運動員相約在賽道旁站成前后兩排合影，每排各4人，若男運動員中恰有2人左右相鄰，則不同的排列方法共有（ ）
A．732種 B．2260種 C．4320種 D．8640種
【答案】D
【分析】依題意只能一排3男1女，另一排2男2女，且相鄰的2位男運動員在“3男1女”這一排中，按照先選人，再排列，相鄰問題用捆綁法，最后按照分步乘法計數原理計算可得．
【詳解】根據題意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相鄰的2位男運動員在“3男1女”這一排中．
先確定“3男1女”這一排，5男選3人，3女選1人，
所選3男選2人相鄰，與余下的1男安排在1女的兩側，
排列方法有種，
再確定“2男2女”這一排，2男先排好有，
2女相鄰并放在2男之間有種，或2女放在2男成排的兩空有種方式，
排列方法有種，
因此，不同的排列方法總數為．
故選：D
7．（23-24高三下·江蘇南京·開學考試）某單位春節共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現從甲、乙、丙、丁、戊、己六人選出四人值班，每名員工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（ ）
A．192種 B．252種 C．268種 D．360種
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理，結合排列、組合計數問題列式計算即得.
【詳解】若甲乙不值班，值班安排有種；
若甲乙只有一人不值班，值班安排有種；
若甲乙都值班，值班安排有種，
所以值班安排共有252種.
故選：B
8．（2024·內蒙古包頭·三模）一個小型聯歡會要安排1個詩詞朗誦類節目，2個獨唱類節目，2個歌舞類節目，則同類節目不相鄰的安排方式共有（ ）
A．44種 B．48種 C．72種 D．80種
【答案】B
【分析】利用間接法，首先將五個節目全排列，減去獨唱類節目相鄰，再減去歌舞類節目相鄰，最后加上獨唱類節目相鄰且歌舞類節目也相鄰的情況即可.
【詳解】依題意五個節目全排列有種排法；
若獨唱類節目相鄰，則有種排法；
若歌舞類節目相鄰，則有種排法；
若獨唱類節目相鄰且歌舞類節目也相鄰，則有種排法；
綜上可得同類節目不相鄰的安排方式共有種.
故選：B
9．（2023·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形 一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
【答案】
【分析】畫圖分析其中四板塊必涂上不同顏色，再根據分類分步計數原理計算剩下的部分即可.
【詳解】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨一色，剩下6個板塊中每2個區域涂同一種顏色.
又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.
①當板塊與板塊同色時，則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；
②當板塊與板塊同色時，則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.
又板塊顏色可排列，故共種.
故答案為：
10．（2024·全國·模擬預測）某中學教師節活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A，B，C，D，E這5個項目.現安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下午的項目E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數為（ ）
A．20 B．40 C．66 D．80
【答案】C
【分析】先求上午的安排方法種數，再求下午的安排方法種數，結合分步乘法計數原理運算求解.
【詳解】因為丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A，所以上午甲、乙、丙參加B，C，D這3個項目，
共有種不同的安排方法.
又因為甲、乙、丙、丁四人下午參加的項目為A，B，C，D，分2類：
①丁參加項目A，共有2種不同的安排方法；
②丁參加B，C，D這3個項目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項目A，剩下兩人參加剩下的2個項目，
共有種不同安排方法；
綜上所述：共有種不同的安排方法.
故選：C.
11．（2024·江西·模擬預測）唐宋八大家，又稱唐宋散文八大家，是中國唐代韓愈、柳宗元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱，其中江西獨占三家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩文發展的陳舊面貌煥然一新.為弘揚中國傳統文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節，連排五節.若在來自江西的三位散文家中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有 種.（用數字作答）
【答案】
【分析】根據題意，分兩種情況討論，第一種情況是來自江西的三位散文家中選出兩人，第二種情況是來自江西的三位散文家中選出三人，然后再結合插空法即可得到結果.
【詳解】由題意可得，若挑選來自江西的三位散文家中選出兩人，則另外五位中挑選三人，
則有種情況，且他們互不相鄰，則有種情況，即；
若挑選來自江西的三位散文家中選出三人，則另外五位中挑選兩人，且他們互不相鄰，
則有種情況；
故不同的排課方法共有種情況.
故答案為：.
12．（2024·江西新余·模擬預測）為了協調城鄉教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學在內的三所學校支教（每所學校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學校，丙教師不去往希望中學，則不同的分配方法有（ ）種.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用分類與分步計數原理，先排丙共有種分法，再分為甲、丙在同一所學校和甲、丙不在同一所學校兩類，每類分別討論，最后相加得到結果.
【詳解】先將丙安排在一所學校，有種分法；
若甲、丙在同一所學校，那么乙就有種選法，
剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學校（記為X校），
分別對應有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、
（1人在X校，另2人分在同一所學校或不在同一所學校），
共種排法；
若甲、丙不在同一所學校，則甲有種選法，
若乙與丙在同一所學校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；
若乙與丙不在同一所學校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，
分別有、、種排法，故共有：
種排法.
故選：B.
1．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解法一：畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分類討論甲乙的位置，結合得到符合條件的情況，然后根據古典概型計算公式進行求解.
【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數顯然是，
根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
2．（2024·上海·高考真題）設集合中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值 ．
【答案】329
【分析】三位數中的偶數分個位是0和個位不是0討論即可.
【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數，其余均是偶數．
首先討論三位數中的偶數，
①當個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數字中選擇兩個進行排列，則這樣的偶數有個；
②當個位不為0時，則個位有個數字可選，百位有個數字可選，十位有個數字可選，
根據分步乘法這樣的偶數共有，
最后再加上單獨的奇數，所以集合中元素個數的最大值為個．
故答案為：329．
3．（2024·天津·高考真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
【答案】
【分析】結合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了活動，他再選擇活動的概率.
【詳解】解法一：列舉法
從五個活動中選三個的情況有：
,共10種情況，
其中甲選到有6種可能性：，
則甲選到得概率為：；
乙選活動有6種可能性：，
其中再選則有3種可能性：，
故乙選了活動，他再選擇活動的概率為.
解法二：
設甲、乙選到為事件，乙選到為事件，
則甲選到的概率為；
乙選了活動，他再選擇活動的概率為
故答案為：；
4．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設連續參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，
同理：連續參加了兩天公益活動，也各有種方法，
所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數有種.
故選：B.
5．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
【答案】64
【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.
【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
6．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.
【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
所以這2名學生來自不同年級的概率為.
故選：D.
7．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【答案】C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據分步乘法公式則共有種，
故選：C.
8．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.
故選：D.
9．（2022·全國·高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，
若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.
10．（2022·全國·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
【答案】.
【分析】根據古典概型的概率公式即可求出．
【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．
故答案為：．
11．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】B
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數原理即可得解
【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，
故選：B
12．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
【答案】/0.3
【分析】根據古典概型計算即可
【詳解】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；
其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.
故答案為：.
解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數為
甲、乙都入選的方法數為，所以甲、乙都入選的概率
故答案為：
13．（2021·全國·高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【答案】C
【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.
【詳解】根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，根據乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，
故選：C.
【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數的分配情況，然后利用先選后排思想求解.
14．（2021·全國·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：
，
共10種排法，
其中2個0不相鄰的排列方法為：
，
共6種方法，
故2個0不相鄰的概率為，
故選：C.
15．（2020·全國·高考真題）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有 種.
【答案】
【分析】根據題意，有且只有2名同學在同一個小區，利用先選后排的思想，結合排列組合和乘法計數原理得解.
【詳解】4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學
先取2名同學看作一組，選法有：
現在可看成是3組同學分配到3個小區，分法有：
根據分步乘法原理，可得不同的安排方法種
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了計數原理的綜合應用，解題關鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 排列組合
（16類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第14題,6分 全排列問題 寫出基本事件 分步乘法計數原理
2023年新I卷，第13題,5分 實際問題中的組合計數問題 分類加法計數原理
2023年新Ⅱ卷，第3題,5分 實際問題中的組合計數問題 分步乘法計數原理及簡單應用 抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容量的計算
2023年全國甲卷（理）， 第9題,5分 排列數的計算 分類加法計數原理
2023年全國乙卷（理）， 第7題,5分 排列數的計算 實際問題中的組合計數問題 分步乘法計數原理及簡單應用
2022年新I卷，第5題,5分 實際問題中的組合計數問題 計算古典概型問題的概率
2022年新Ⅱ卷，第5題,5分 元素(位置)有限制的排列問題 相鄰問題的排列問題 無
2022年全國甲卷（理）， 第15題,5分 組合計數問題 計算古典概型問題的概率
2022年全國乙卷（理）， 第13題,5分 實際問題中的組合計數問題 計算古典概型問題的概率
2021年全國甲卷（理）， 第10題,5分 不相鄰排列問題 計算古典概型問題的概率
2021年全國乙卷（理）， 第6題,5分 排列組合綜合 無
2020年新I卷，第3題,5分 排列組合綜合 無
2020年新Ⅱ卷，第6題,5分 分組分配問題 無
2020年全國乙卷（理）， 第14題,5分 相鄰問題的排列問題 分步乘法計數原理及簡單應用
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握排列與組合的定義
2.掌握排列數與組合數的性質，會計算排列數與組合數
3.熟練掌握排列組合的解題方法
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般會和分類加法原理與分步乘法原理結合在小題中考查，需重點復習
知識講解
1．排列、組合的定義
排列的定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的定義 合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
2．排列數、組合數的定義、公式、性質
排列數 組合數
定義 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數 從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性質 A＝n！，0?。? C＝1，C＝C，C＋C＝C
求解排列應用問題方法匯總
直接法 把符合條件的排列數直接列式計算
優先法 優先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進行排列，然后用總排列數A除以m個順序一定的元素之間的全排列數A，即得到不同排法種＝A.
間接法 正難則反、等價轉化的方法
分組分配 平均分組、部分平均分組 1．對不同元素的分配問題 (1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數． (2)對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數． (3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．
隔板法 將個相同元素放入個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區域，剛好對應那個盒子
環排問題 (1) 把 個不同的元素圍成一個環狀，排法總數為 (2) 個不同的元素圍成一圈， 個元素相鄰，符合條件的排列數為 (3) 個不同的元素圍成一圈， 個元素不相鄰 ，符合條件的排列數為
涂色問題 涂色的規則是“相鄰區域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區域搭配的可能，再進行涂色即可。
考點一、簡單排列之排列數計算
1．（2024·福建漳州·模擬預測）（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
2．已知，則（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
1．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習）在中不重復地選取4個數字，共能組成（ ）個不同的四位數.
A．96 B．18 C．120 D．84
2．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）下列數中，與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
考點二、簡單組合之組合數計算
1．（23-24高二下·山東濟寧·期中）已知，那么（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（23-24高二下·河北唐山·期中）從4名醫生，3名護士中選出3人組成一個醫療隊，要求醫生和護士都有，則不同的選法種數為（ ）
A．12 B．18 C．30 D．60
3．（2022·全國·統考高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（海南·統考高考真題）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種 B．90種
C．60種 D．30種
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）化簡式子：的結果為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）若，則的值為（ ）
A．83 B．119 C．164 D．219
3．（2023·全國·統考高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
考點三、先選后排之排列組合綜合
1．（山東·統考高考真題）現從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔任5門不同學科的課代表，則不同安排方法的種數是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
2．（海南·高考真題）要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種 B．3種 C．6種 D．8種
1．（2024·陜西銅川·三模）有5名學生準備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個景點游玩，每名學生必須去一個景點，每個景點至少有一名學生游玩，則不同的游玩方式有 種.
2．（23-24高二下·河南·期中）現某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調料師和營養師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（ ）
A．14種 B．18種 C．12種 D．7種
考點四、捆綁法
1．（23-24高二下·江蘇淮安·期中）五名同學排隊，甲、乙兩名同學必須排在一起，排隊方案共有（ ）
A．24種 B．36種 C．48種 D．120種
2．（24-25高三上·福建泉州·階段練習）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲 乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（ ）
A．96種 B．120種 C．192種 D．240種
1．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期中）A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數為（ ）
A．240 B．120 C．96 D．60
2．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數為（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三·上?！ふn堂例題）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有（ ）個．（用數字作答）
A．128 B．256 C．576 D．684
考點五、插空法
1．（23-24高三上·浙江溫州·期末）6名同學排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（ ）
A．72種 B．144種 C．216種 D．256種
2．（22-23高三上·貴州畢節·階段練習）由6位專家組成的團隊前往某地進行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有 種.
3．（2024·河北邯鄲·二模）某班聯歡會原定5個節目，已排成節目單，開演前又增加了2個節目，現將這2個新節目插入節目單中，要求新節目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數為（ ）
A．12 B．18 C．20 D．60．
1．（23-24高三下·山東菏澤·開學考試）一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩均不相鄰的站法種數是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）將6本相同的數學書和2本相同的語文書隨機排成一排，2本語文書不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（ ）種站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
考點六、特殊元素法
1．（2024·遼寧·三模）第33屆夏季奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，中國隊將派甲、乙、丙、丁4名男子短跑運動員參加男子接力比賽，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，參賽方法共有（ ）種
A．10 B．12 C．14 D．18
2．（2024·全國·模擬預測）某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則分配方案有（ ）
A．36種 B．24種 C．18種 D．12種
1．（23-24高二下·重慶渝北·期中）將4個不同的小球放入編號為的三個盒子，每個小球只能放入一個盒子，每個盒子至少放一個小球，若盒子中只放一個小球，則不同的放法數為（ ）
A．18 B．24 C．48 D．72
2．（23-24高二下·江蘇南通·期中）文娛晚會中，學生的節目有5個，教師的節目有2個，如果教師的節目不排在第一個，也不排在最后一個，并且不相鄰，則排法種數為（ ）
A．720 B．1440 C．2400 D．2880
考點七、特殊位置法
1．（2024·河北滄州·模擬預測）已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中間，則不同的站法種數為（ ）
A．32 B．36 C．40 D．42
2．（23-24高三上·湖南衡陽·期末）某旅游團計劃去湖南旅游，該旅游團從長沙 衡陽 郴州 株洲 益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個城市按照到達的先后順序分別記為第一站 第二站 第三站 第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團四站的城市安排共有（ ）
A．96種 B．84種 C．72種 D．60種
3．（2023·北京·高三統考）某單位安排7位員工在春節期間大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在初一，丁不排在初七，則不同的安排方案共有（ ）
A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種
1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（ ）
A．48種 B．32種 C．24種 D．16種
2．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習）武漢外校國慶節放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續值兩天班，則不同的值班方法共有（ ）種
A．114 B．120 C．126 D．132
3．（2023·湖南長沙·高三校考階段練習）某小學班級星期一要排5節課,語文、數學、英語、音樂、體育各1節,考慮到學生學習的效果,第一節不排數學,語文和英語相鄰,且音樂和體育不相鄰,則不同的排課方式有( )
A．種 B．種 C．種 D．種
考點八、間接法
1．（2024高三下·全國·專題練習）某人計劃去北京、西安、沈陽、喀什、長沙五個城市旅游，若最后一個目的城市不是喀什，則該人旅游完這五個城市的所有可能順序共有（ ）
A．60種 B．72種 C．84種 D．96種
2．（2024·四川·模擬預測）某校組織校慶活動，負責人將任務分解為編號為的四個子任務，并將任務分配給甲、乙、丙3人，且每人至少分得一個子任務，則甲沒有分到編號為的子任務的分配方法共有（ ）
A．12種 B．18種 C．24種 D．36種
3．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）有4名男生 3名女生和2個不同的道具（記作A和B）參與一個活動，活動要求：所有人（男生和女生）必須站成一排，女生必須站在一起，并且她們之間按照身高從左到右由高到低的順序排列（假設女生的身高各不相同）；兩個道具A和B必須被分配給隊伍中的兩個人（可以是男生，也可以是女生），但這兩人不能站在一起.滿足上述所有條件的排列方式共有（ ）
A．2400種 B．3600種 C．2880種 D．4220種
1．（2024·江西新余·模擬預測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）種.
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）2024年2月17日，第十四屆全國冬季運動會在內蒙古自治區呼倫貝爾市正式開幕．要從4名男志愿者、2名女志愿者中隨機選派4人參加冰球比賽服務，如果要求至少有1名女志愿者，那么不同的選派方案種數為（ ）
A．14 B．12 C．8 D．6
3．（2022·河北·高三?？迹┈F有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數為（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
4．（24-25高三上·重慶涪陵·開學考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數為（ ）
A．44 B．46 C．48 D．54
考點九、隔板法
1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為（ ）
A．70 B．99 C．110 D．165
2．（23-24高二下·貴州遵義·期末）方程的非負整數解個數為（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
3．（24-25高二上·上?！ぜ倨谧鳂I）有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？
1．（23-24高二下·四川內江·期中）學校將個三好學生名額分配給個班，每個班至少一個名額，則分配方案共有 種.
2．（24-25高二上·上?！ぜ倨谧鳂I）求方程的非負整數解的個數.
3．（23-24高二下·山西臨汾·期中）將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名額，則不同的分配方案種數為（ ）
A．56 B．126 C．210 D．462
考點十、定序倍縮法
1．（2024·重慶·模擬預測）有6位同學排成一排準備拍照，拍照前加入了2位同學，如果要求他們仍站成一排，同時原來6位同學的相對順序保持不變，則有 種不同的站法．（用數字作答）
2．（24-25高三上·安徽·開學考試）用數字組成沒有重復數字的五位數，在所組成的五位數中任選一個，則這個五位數中數字按從小到大的順序排列的概率為（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高二下·全國·課后作業）現有10人排隊，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后順序固定，則共有不同排法 種．
2．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）某學習小組、、、、、、七名同學站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數為 （用數字作答）
考點十一、平均分組
1．（2023高三·全國·專題練習）將8本不同的書，分成4堆，每堆兩本，則不同分法的種數是 ．
2．3位男生、3位女生平均分成三組，恰好每組都有一位男生和一位女生的概率是 .
1．（24-25高三上·內蒙古赤峰·階段練習）甲、乙等6位同學去三個社區參加義務勞動，每個社區安排2位同學，每位同學只去一個社區，則甲、乙到同一社區的不同安排方案共有 .
2．（23-24高三上·廣東廣州·期中）將甲、乙、丙、丁四人安排到籃球與演講比賽現場進行任務工作，每個比賽現場需要兩人，則甲、乙安排在一起的概率為 ．
考點十二、部分平均分組
1．（23-24高二下·浙江紹興·階段練習）老師有7本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（ ）
A．248種 B．168種 C．490種 D．360種
2．（23-24高二下·河北石家莊·期末）某大學學生會安排5名學生作為“校慶70周年——歡迎校友回家”活動的志愿者，已知該活動的志愿者值班區域分為主樓區、偏樓區和大廳區三個區域，每名志愿者只需去一個區域進行志愿值班服務，且每個區域至少有1名志愿者，則不同的安排方法有（ ）
A．45種 B．90種 C．150種 D．240種
1．（22-23高三下·河北·階段練習）6名大學生分配到4所學校實習，每名大學生只分配到一所學校，每所學校至少分配1名大學生，則不同的分配方案共有（ ）
A．65 B．1560 C．2640 D．4560
2．（2023·河南周口·模擬預測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導工作，每個會議廳至少1人．每人只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有 種．（用數字作答）
考點十三、不平均分組
1．小明將個不同時期的生肖紀念幣分成份進行觀賞，每份至少個，且每份數量不同，則不同的分配方法有 種．
2．（24-25高三上·江蘇·階段練習）某大學5名師范生到甲、乙、丙三所高中實習，每名同學只能到1所學校，每所學校至多接收2名同學.若同學A確定到甲學校，則不同的安排方法共有 種.
1．（23-24高二下·河南商丘·期末）某職業技術學校組織6名學生到3家工廠實習，每家工廠至少去1人，至多去3人，且每名學生只能去1家工廠，則不同的分配方法共有 種．（用數字作答）
2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）某公司清明有三天假期，現安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，則不同的值班安排共有（ ）
A．72種 B．114種 C．120種 D．144種
考點十四、多排問題
1．6個人站成前、中、后三排，每排2人，則不同的排法有 種．
2．（2023·云南·模擬預測）有7個人排成前后兩排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同學站在前排，乙同學站在后排的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．有8名同學排成前后兩排，每排4人，如果甲乙兩同學必須排在前排，丙同學必須排在后排，那么不同的排法有 種(用數字作答).
1．把15人分成前、中、后三排,每排5人,則共有不同的排法種數為(　　)
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·河南商丘·階段練習）六位身高各不相同的同學拍照留念，攝影師要求前后兩排各站三人，則最高的與最矮的在同一排的概率是 ．
3．現有9位身高各異的同學拍照留念，分成前后兩排，前排4人，后排5人，要求每排同學的身高從中間到兩邊依次遞減，則不同的排隊方式有 種．
考點十五、環排問題
1．（2023·高三課時練習）8人圍桌而坐，共有多少種坐法
2．（2023·全國·高三專題練習）7名同學坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，不同的排法種數為 .
1．（2023·全國·高三專題練習）5個學生圍桌而坐，共有多少種排法？
3 盆紅花 5 盆黃花圍成花環, 有種不同的排法？
考點十六、涂色問題
1．（23-24高三上·廣東東莞·階段練習）如圖所示，相鄰區域不得使用同一顏色，現有種顏色可供選擇，則涂滿所有區域的不同的著色方法共有 種(用數字填寫答案)
2．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每個方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若每個的方格中的四個小方格的顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數為 .
3．（24-25高三上·廣西南寧·開學考試）在如圖方格中，用4種不同顏色做涂色游戲，要求相鄰區域顏色不同，每個區域只能涂一種顏色.
①若區域涂2種顏色，區域涂另外2種顏色，則有 種不同涂法.
②若區域涂4種顏色（涂的顏色互不相同），區域也涂這4種顏色（涂的顏色互不相同），則有 種不同涂法.
1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習）某植物園要在如圖所示的5個區域種植果樹，現有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區域不能種同一種果樹，則共有（ ）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480
2．（23-24高二下·安徽·階段練習）如圖，一個橢圓形花壇分為A，B，C，D，E，F六個區域，現需要在該花壇中栽種多種顏色的花.要求每一個區域種同一顏色的花，相鄰區域所種的花顏色不能相同．現有5種不同顏色(含紅色)的花可供選擇，B區域必須種紅花，則不同的種法種數為（ ）

A．156 B．144 C．96 D．78
3．（2023·浙江·模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學 中醫學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
1．（2024·江西·模擬預測）將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，則2個1不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣東·二模）8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，每個小組內成員地位等價，則所有可能的分組方案數量是（ ）
A．28 B．2520 C．105 D．128
3．（2024·河南周口·模擬預測）2024年春節檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《·逆轉時空》異?；鸨?，甲、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看的方法有（ ）
A．243種 B．162種 C．72種 D．36種
4．（2024·新疆喀什·三模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將的前6位數字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼．若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為 ．
5．（2024·河南濮陽·模擬預測）某班派遣五位同學到甲、乙、丙三個街道打掃衛生．每個街道至少有一位同學去，至多有兩位同學去，且兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
6．（2024·海南?？凇つM預測）?？谑凶鳛槭着皣H濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨特的生態環境，?？谑心持袑W一研究性學習小組計劃利用5月1日至5月5日共5天假期實地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕地公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個濕地公園，每天考察1個，其中對美舍河濕地公園的考察安排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（ ）
A．24種 B．48種 C．98種 D．120種
7．（2018·廣東深圳·一模）某次文藝匯演，要將這六個不同節目編排成節目單．如果兩個節目要相鄰，且都不排在第3個節目的位置，那么節目單上不同的排序方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
8．（2024·四川成都·模擬預測）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（ ）
A．120種 B．24種 C．36種 D．12種
9．（2024·青海海西·模擬預測）現在六個人并排站成一排，則甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率為（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個數組成無重復數字的六位數，則在數字1，3相鄰的條件下，數字2，4，6也相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全國·模擬預測）1949年10月1日，開國大典結束后，新成立的中央人民政府在北京飯店舉行了有600余位賓客參加的新中國第一次國慶招待會，史稱“開國第一宴”．該宴的主要菜品有：鮑魚濃汁四寶、東坡肉方、蟹粉獅子頭、雞汁煮干絲、清炒翡翠蝦仁和全家福．若這六道菜要求依次而上，其中“東坡肉方”和“雞汁煮干絲”不能接連相鄰上菜，則不同的上菜順序種數為（ ）
A．240 B．480 C．384 D．1440
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知6件不同的產品中有2件次品，現對它們一一測試，直至找到所有2件次品為止，若至多測試4次就能找到這2件次品，則共有（ ）種不同的測試方法．
A．114 B．90 C．106 D．128
3．（24-25高三上·河北邯鄲·開學考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A，B，C三個比賽場地的現場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數為（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
4．（2024·陜西西安·模擬預測）公司的甲部門有3男2女五名職工，乙部門有2男3女五名職工．公司通知每個部門任選2名職工，且所選的4名職工必須是2男2女，公司再將四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項，則不同的分配方案種數為（用數字作答） ．
5．（2024·遼寧大連·二模）第二十一屆大連國際徒步大會即將召開，現在要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、安保、禮儀、服務四項不同工作，若小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，若每個工作僅需要一人且每人只能從事一項工作，則不同的選派方案共有 種.
6．（2024·廣西貴港·模擬預測）2024年4月6號岳陽馬拉松暨全國半程馬拉松錦標賽（第三站）開賽，比賽結束后，其中5男3女共8位運動員相約在賽道旁站成前后兩排合影，每排各4人，若男運動員中恰有2人左右相鄰，則不同的排列方法共有（ ）
A．732種 B．2260種 C．4320種 D．8640種
7．（23-24高三下·江蘇南京·開學考試）某單位春節共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現從甲、乙、丙、丁、戊、己六人選出四人值班，每名員工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（ ）
A．192種 B．252種 C．268種 D．360種
8．（2024·內蒙古包頭·三模）一個小型聯歡會要安排1個詩詞朗誦類節目，2個獨唱類節目，2個歌舞類節目，則同類節目不相鄰的安排方式共有（ ）
A．44種 B．48種 C．72種 D．80種
9．（2023·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形 一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
10．（2024·全國·模擬預測）某中學教師節活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A，B，C，D，E這5個項目.現安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下午的項目E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數為（ ）
A．20 B．40 C．66 D．80
11．（2024·江西·模擬預測）唐宋八大家，又稱唐宋散文八大家，是中國唐代韓愈、柳宗元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱，其中江西獨占三家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩文發展的陳舊面貌煥然一新.為弘揚中國傳統文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節，連排五節.若在來自江西的三位散文家中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有 種.（用數字作答）
12．（2024·江西新余·模擬預測）為了協調城鄉教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學在內的三所學校支教（每所學校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學校，丙教師不去往希望中學，則不同的分配方法有（ ）種.
A． B． C． D．
1．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海·高考真題）設集合中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值 ．
3．（2024·天津·高考真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
4．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
5．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
6．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
8．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
9．（2022·全國·高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全國·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
11．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
12．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
13．（2021·全國·高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
14．（2021·全國·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
15．（2020·全國·高考真題）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有 種.
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