資源簡介

第03講 圓中的切線方程、切點弦方程及圓系方程（高階拓展、競賽適用）
（6類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第10題,6分 圓中切線問題 切線長 根據拋物線方程求焦點或準線 直線與拋物線交點相關問題
2023年新I卷，第6題,5分 圓中切線問題 給值求值型問題 余弦定理解三角形
2022年新I卷，第14題,5分 圓的公切線方程 判斷圓與圓的位置關系
2021年新I卷，第11題,5分 切線長 直線與圓的位置關系求距離的最值
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，設題不定，難度中等，分值為5-6分
【備考策略】1.熟練掌握圓中切線問題的快速求解
2.熟練掌握圓系方程的快速求解
【命題預測】本節內容是新高考卷的拓展內容，需要大家掌握二級結論來快速解題，需強化練習
知識講解
一、圓中切線問題
已知圓方程為:,
若已知切點在圓上,則切線只有一條,其方程是:
已知圓方程為:,
若已知切點在圓上,則該圓過點的切線方程為;
已知圓方程為圓:.
(1)過圓上的點的切線方程為.
(2)過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為.
4. 過圓外一點引圓(標準方程,一般方程)的切線長度
一般方程(標準方程)
二、常見的圓系方程
1、同心圓圓系
(1)以為圓心的同心圓圓系方程:;
(2)與圓同心圓的圓系方程為:;
2、過線圓交點的圓系
過直線與圓交點的圓系方程為:
;
3、過兩圓交點的圓系
過兩圓
交點的圓系方程為,此圓系不含)
(1)特別地,當時,上述方程為一次方程,兩圓相交時,表示公共弦方程;兩圓相切時,表示公切線方程.
(2)為了避免利用上述圓系方程時討論圓過,可等價轉化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:
考點一、過圓上一點的切線問題
1．（23-24高二上·四川成都·階段練習）過點作圓的切線l，求切線l的方程
【答案】
【分析】當直線斜率不存在時，直線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當直線的斜率存在時：設直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求解.
【詳解】當直線斜率不存在時，直線方程為：，
圓心到直線的距離為，不成立；
當直線的斜率存在時：設直線方程為，即，
圓心到直線的距離等于半徑為：，
解得，所以直線方程為：，
即.
故答案為：.
2．（23-24高三下·福建·開學考試）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，點P在圓C上，由切線性質即可得出結果.
【詳解】由點P在圓C上，又由直線的斜率為，
可得直線l的斜率為2，則直線l的方程為．
故選：B．
1．（22-23高二上·上海浦東新·期中）已知圓，則過點的圓的切線方程為 .
【答案】
【分析】根據切線與過切點的半徑垂直即可求解.
【詳解】點在圓上,圓心為，
，所以切線的斜率，
則過點的圓的切線方程為,
即.
故答案為：.
2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圓在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】容易知道點為切點，圓心，設切線斜率為k，從而，由此即可得解.
【詳解】將圓的方程化為標準方程得，
∵點在圓上，∴點P為切點．
從而圓心與點P的連線應與切線垂直．
又∵圓心為，設切線斜率為k，
∴，解得．
∴切線方程為．
故選：D.
考點二、過圓外一點的切線問題
1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）過點且與圓：相切的直線方程為
【答案】或
【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.
【詳解】圓：即，圓心為，半徑，
當切線的斜率不存在時，直線恰好與圓相切；
當切線的斜率存在時，設切線為，即，則，
解得，所求切線方程為，
綜上可得過點與圓相切的直線方程為或.
故答案為：或
2．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）過點作圓的切線，則切線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根據切線斜率是否存在分類討論，利用圓心到切線距離等于半徑可求結果．
【詳解】由圓心為，半徑為2，斜率存在時，設切線為，
則，可得，所以，即；
斜率不存在時，，顯然與圓相切，
綜上，切線方程為或．
故選：D．
3．（2023·全國·模擬預測）已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設出切線方程，然后根據圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，然后根據幾何圖形的性質得答案.
【詳解】由題可得，圓的圓心為，半徑．
易知切線的斜率都存在，
設切線的方程為，即，
圓心到切線的距離，
解得或，
如圖，設點在點下方，
，
（提示：由圓的性質可知）．

另法： 由題可得，圓的圓心為，半徑．
易知直線是圓的一條切線，不妨設切點為，則．
又（提示：圓的切線的性質），．
故選：A．
1．（24-25高三上·山東濰坊·開學考試）已知圓，則過點的圓的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先說明點在圓外，再設點斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出即可.
【詳解】將代入圓方程得，則該點在圓外，
，即，則其圓心為，半徑為1，
當切線斜率不存在時，此時直線方程為，顯然不合題意，故舍去，
則設切線方程為：，即，
則有，解得，此時切線方程為.
故選：C.
2．（22-23高二上·湖南岳陽·期中）經過向圓作切線，切線方程為（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根據切線的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離公式求得正確答案.
【詳解】（1）當切線的斜率不存在時，直線是圓的切線；
（2）當切線斜率存在時，設切線方程為，
由到切線距離為得，
此時切線方程為即.
故選：C
3．（2024高三·全國·專題練習）設過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法1：如圖，由題意確定圓心坐標和半徑，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如圖，由題意確定圓心坐標和半徑，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切線斜率存在，利用點到直線的距離公式和斜率的定義求出，進而求出即可.
【詳解】解法1：如圖，圓，即，
則圓心，半徑，過點作圓的切線，切點為，連接.
因為，則，得，
則，即為鈍角，且為銳角，
所以.
故選：A.
解法2：如圖，圓，即，則圓心，半徑，
過點作圓的切線，切點為，連接.因為，則，
因為，
且，則，
即，解得，
即為鈍角，且為銳角，則.
故選：A.
解法3：圓，即，則圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，則設切線方程為，即，
則圓心到切線的距離，解得，
所以，又為銳角，
由解得.
故選：A.
考點三、切點弦方程
1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為 .
【答案】
【分析】由二級結論：若點在圓外，過點引圓的兩條切線，切點為，則切點弦(兩切點的連線段)所在直線的方程為（圓的方程為），代入即可的直線的方程.
【詳解】由題意，切點弦所在直線的方程為:
，
化簡得：.
故答案為：.
2．（2024·浙江·模擬預測）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則原點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求解四邊形的外接圓的方程，再求解直線的方程，即可求解點到直線的距離.
【詳解】由圖可知，，，
則四點共圓，圓的直徑是，點，，
，的中點坐標為，
所以四邊形的外接圓的方程為，
即，圓，
兩式相減得直線的方程，
則原點到直線的距離.
故選：A
1．（2023·全國·模擬預測）已知圓：，點，若直線分別切圓于兩點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：利用直線，得出，在中，利用幾何關系求出及，進而可求出點到直線MN的距離，再利用點到直線的距離公式即可求出結果；方法二：利用直線為圓和以AC為直徑的圓的公共弦，求出以AC為直徑的圓，即可求出結果.
【詳解】由題意得直線垂直平分線段，又圓：，所以圓心，，
又由，得直線AC的斜率，所以直線MN的斜率，
可設直線的方程為，又，
在中，，，
得到，則點到直線MN的距離，
即，解得或，
當時，直線MN與圓C相離，不符合題意，所以直線MN的方程為．

一題多解 因為分別是圓C的切線，所以，
所以點在以AC為直徑的圓上．因為，
所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為
故以為直徑的圓的方程為，又因為圓C：，
所以直線MN的方程為，化簡得，
故選：B．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為 .
【答案】
【分析】由二級結論：若點在圓外，過點引圓的兩條切線，切點為，則切點弦(兩切點的連線段)所在直線的方程為：（圓的方程為），代入即可的直線的方程
【詳解】由題意，切點弦所在直線的方程為：
，
化簡得：.
故答案為：.
考點四、切線長
1．（2024·四川攀枝花·三模）由直線上的一點向圓引切線，切點為，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根據已知條件，求得，由此可知時，取得最小值，由此即可求解.
【詳解】
由已知有：圓的圓心，半徑為，直線的一般方程為，
設點到圓心的距離為，則有，所以，
所以取最小值時，取得最小值，
因為直線上點到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，
所以，故的最小值為.
故選：B
2．（2024·全國·模擬預測）已知P為直線上一點，過點P作圓的一條切線，切點為A，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據已知條件，結合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.
【詳解】連接，則，
而的最小值為點C到直線l的距離，
所以.
故選：A.
1．（24-25高三上·陜西·開學考試）由直線上的一點向圓引切線，則切線段的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】由圓的方程得圓心坐標和半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質及勾股定理求出切線長的最小值即可.
【詳解】由圓的方程，得圓心，半徑，
如圖，切線長，當最小時，最小，
最小值為圓心到直線的距離，
所以切線長的最小值.
故選：C.

2．（24-25高三上·湖南衡陽·階段練習）已知圓，過直線上的動點作圓C的一條切線，切點為A，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C． D．3
【答案】C
【分析】求出切線長，得出最小時，最小，再由點到直線距離公式求解可得.
【詳解】連接，則，當最小時，最小，
又圓的圓心為，半徑為，
則，故的最小值為.
故選：C.
考點五、圓中的公切線問題（含根軸）
1．（23-24高三下·山東·開學考試）圓和圓的公切線方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】先判斷兩個圓的位置關系，確定公切線的條數，求解出兩圓的公共點，然后根據圓心連線與公切線的關系求解出公切線的方程.
【詳解】解：，圓心，半徑，
，圓心，半徑，
因為，
所以兩圓相內切，公共切線只有一條，
因為圓心連線與切線相互垂直，，
所以切線斜率為，
由方程組解得，
故圓與圓的切點坐標為，
故公切線方程為，即．
故選：A.
2．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）（多選）已知直線與圓：和圓：都相切，則直線的方程可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先明確兩圓位置關系，從而根據兩圓位置關系明確公切線的情況，再根據公切線特征情況分情況直接計算求解即可.
【詳解】由題知，兩圓半徑，
所以，
故圓、外切，則兩圓有三條公切線，如圖，的中點為兩圓外切切點，
當直線過的中點，且與垂直時，
因為，所以直線的方程為，即；
當直線與平行，且到的距離為時，設直線的方程為，
所以，解得或，
所以直線的方程為或．
故選：ABC．
1．（2024·河北張家口·三模）圓與圓的公切線的方程為 ．
【答案】
【分析】先判斷兩圓位置關系，然后將圓化為一般式，兩式相減可得.
【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為6，
因為，所以兩圓內切，只有一條公切線，
將圓化為一般式得：
，，
兩式相減得，即，
所以圓的公切線的方程為.
故答案為：
2．（23-24高三下·江蘇鎮江·開學考試）與圓和圓都相切的直線方程是 ．
【答案】
【分析】根據題意，判斷兩圓的位置關系內切，聯立方程組求得公切線方程.
【詳解】設圓的圓心為，半徑為，則，，
設圓的院系為，半徑為，則，，
所以，所以兩圓內切.
聯立方程，解得，
所以兩圓的公切線方程為.
故答案為：.
考點六、圓系方程
1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓系方程（，m為參數），這些圓的公切線方程為 .
【答案】
【分析】先求圓心的軌跡,再設切線方程計算即可求出公切線.
【詳解】圓心坐標為，所以圓心在直線上，
設圓的切線為，即，
所以兩直線間的距離為圓的半徑，，所以直線方程為.
故答案為: .
2．（24-25高二上·全國·課后作業）若圓與圓相交，我們把經過圓和圓交點的圓稱為圓、圓的圓系方程，其方程可設為．根據以上信息，解決如下問題：已知圓與交于兩點，則以為直徑的圓的一般方程為 ．
【答案】
【分析】由題意可設經過點，的圓的方程，化簡整理可得圓心為，圓和圓方程相減，求出直線的方程，再把圓心代入直線的方程求出的值即可．
【詳解】由題意可設經過點的圓的方程為，
整理得，則圓心為．
圓①，圓②，
由①-②得，，即直線的方程為．
因為為直徑，圓心在直線上，所以，解得，
故以為直徑的圓的方程為．
故答案為：．
1．（2023高三·全國·專題練習）（多選）已知圓和圓相交于兩點，下列說法正確的是（ ）
A．所有過點的圓系的方程可以記為（其中，）
B．直線的方程為
C．線段的長為
D．兩圓有兩條公切線與
【答案】CD
【分析】
根據圓系方程的條件，可判定A錯誤；利用兩圓相減，求得公共弦的方程，可判定B錯誤；利用圓的弦長公式，求得弦長，可判定C正確；根據得到為兩圓的公切線，得到關于兩圓圓心所在直線對稱的直線得到另一條公切線，求得公切線的方程，可判定D正確.
【詳解】
對于A中，圓系方程（其中，）此時不含圓M，所以A錯誤．
對于B選項，聯立方程組，
兩式相減得到直線AB的方程為，所以B錯誤．
對于C中，原點O到直線AB的距離為，
根據勾股定理得，所以C正確．
對于D中，由圓，可得，
可得圓的圓心坐標為，半徑為，
又由圓，可得圓心，半徑為，
可得直線與兩圓相切，即為兩圓的公切線，
則關于兩圓圓心所在直線對稱的直線即為另一條公切線，
由和，可得兩圓心所在直線為，即，
聯立方程組，解得，即交點坐標為，
在直線上任取一點，
設點關于直線對稱點為，可得，
解得，即對稱點的坐標為，
所求的另一條切線過點，，可得其方程為，
故所求切線方程為或，所以D正確.
故選：CD.

一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇連云港·期中）圓在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直線與圓的位置關系計算即可.
【詳解】易知該切線斜率存在，不妨設切線方程，
易知圓心，半徑，所以到的距離為，
解之得，即切線.
故選：A
2．（2023高三·全國·專題練習）過點向圓引兩條切線，切點是、，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根據圓的切線的特點求出的長，然后得出以為圓心，長為半徑的圓的方程，兩圓的交點就是、，再把兩圓的方程作差即可求出直線的方程.
【詳解】把（1）
轉化為，圓心，半徑，
則，，
圓的方程為（2），
（1）（2），得．
故選：B.
二、填空題
3．（23-24高三上·浙江·階段練習）過圓上點的切線方程為 ．
【答案】
【分析】由圓的切線性質求出切線斜率，利用點斜式方程即可得.
【詳解】由題知，，則切線斜率，
所以切線方程為，整理為．
故答案為：
4．（2023·天津武清·模擬預測）已知點，，經過點作圓的切線與軸交于點，則 ．
【答案】
【分析】由直線與圓的位置關系作出切線，求得，即可得解.
【詳解】如圖所示，設圓心為點，則，
，則點在圓上，且，
由與圓相切可得，所以切線方程為，
令，解得，故，
所以
故答案為：.
5．（23-24高三上·湖北·開學考試）已知過點作圓的切線，則切線長為 .
【答案】
【分析】根據題意，利用圓的切線長公式，即可求解.
【詳解】由圓，可得圓心，半徑，
設切點為，因為，可得，
所以切線長為.
故答案為：.
6．（23-24高三上·河北邢臺·期末）已知圓，過作圓的切線，則直線的傾斜角為 ．
【答案】（或寫為）
【分析】分析可知，點在圓上，根據圓的幾何性質可知，求出直線的斜率，即可得出直線的傾斜角.
【詳解】因為，所以，點在圓上，直線的斜率為，
由圓的幾何性質可知，，則直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，則，則，故.
即直線的傾斜角為（或）.
故答案為：（或寫為）.
7．（2023·江西·二模）已知圓，圓.請寫出一條與兩圓都相切的直線方程： .
【答案】或
【分析】由題可知兩圓相交，兩圓有2條公切線，求出切線與兩圓圓心連線的交點，點斜式設切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑，計算即可.
【詳解】圓圓心，半徑，
圓圓心，半徑，
由兩圓相交，所以兩圓有2條公切線，設切線與兩圓圓心連線的交點為，
如圖所示，
則 ，即，所以，
解得，所以，
設公切線l︰，所以圓心到切線l的距離 ，解得 ， 所以公切線方程為，即或.
故答案為：或
8．（2023·河南·模擬預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
【答案】（或或，寫出一個即可）
【分析】根據題意，得到圓與圓相外切，將兩圓的方程相減，求得其中一條公切線的方程，再由圓與圓的半徑相等，得到外公切線與平行，求得，設，結合圓心到直線的距離等于半徑，列出方程，求得的值，即可得到公切線的方程.
【詳解】由題意得，圓，可得圓心，半徑為，
圓，可得圓心，半徑為，
因為，可得，所以圓與圓相外切，
將兩圓的方程相減，可得，此方程為圓與圓的公切線，
又由圓與圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，
因為，所以圓C與圓D的外公切線的方程可設為，
即，則，解得或，
所以兩條外公切線的方程為或，
綜上所述，圓C與圓D公切線的方程為或或.
故答案為：或或.

9．（22-23高二上·河北邢臺·期末）已知圓的方程為，則過點的圓的切線方程為 .
【答案】或
【分析】若直線斜率存在，設出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解, 若直線斜率不存在，直接驗證可得答案.
【詳解】圓的方程為，即.
因為，所以點P在圓外，
若直線斜率存在，設切線的斜率為，
則切線方程為，即
所以，解得.
所以切線方程為，
若直線斜率不存在，直線方程為，滿足題意.
綜上過點的圓的切線方程為或
故答案為：或
三、解答題
10．（2024高三·全國·專題練面上有兩個圓，它們的方程分別是和，求這兩個圓的內公切線方程．
【答案】
【分析】判斷出兩圓外切，兩圓的方程相減可得答案.
【詳解】圓，圓心，半徑，
圓，
其圓心，半徑，
，∴這兩圓外切，
∴，
可得，
∴所求的兩圓內公切線的方程為：．
一、單選題
1．（23-24高三上·廣西百色·階段練習）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由圓與圓位置關系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數；根據兩圓半徑相同可確定兩條公切線過，兩條公切線平行于，假設公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得公切線.
【詳解】
由兩圓方程得：圓心，，半徑，
兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；
兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經過中點，兩條公切線與平行，
經過中點的公切線斜率顯然存在，可設為：，
，解得：或，即公切線方程為：或；
，與平行的公切線方程為，即，
，解得：，即公切線方程為或；
綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.
故選：C.
2．（23-24高二上·江西·階段練習）過點作圓：的切線與軸交于點，過點的直線與，軸及軸圍成一個四邊形，且該四邊形的所有頂點都在圓上，則點到直線的距離為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據圓的切線性質，結合點到直線距離公式、四邊形的性質進行求解即可.
【詳解】化為標準方程為，
所以，圓的半徑為，設：，
由直線與圓相切得，解得，：，
令得，
若，交于點，且，設原點為，
因為，，
所以四邊形對角互補，點，，，都在圓上，
點為線段的中點，，直線的方程為，
到直線的距離為；
若，設與軸交于點，
四邊形是等腰梯形，對角互補，點，，，都在圓上，
此時點既在線段的垂直平分線上，
又在線段的垂直平分線上，所以，
此時直線的方程為，
到直線的距離為，
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用圓的切線性質、四點共圓的性質.
3．（23-24高二上·廣東·期末）在平面直角坐標系中，已知圓，若圓上存在點P，由點P向圓C引一條切線，切點為M，且滿足，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據可求出點P的軌跡方程，根據點P的軌跡與圓D有交點列出不等式求解.
【詳解】設點P的坐標為，如圖所示：
由可知：，而，∴
∴，整理得，即.
∴點P的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，又∵點P在圓D上，∴所以點P為圓D與圓E的交點，即要想滿足題意，
只要讓圓D和圓E有公共點即可，∴兩圓的位置關系為外切，相交或內切，∴，解得.
故選：D
4．（23-24高三上·廣東·階段練習）已知圓M：，P為x軸上的動點，過點P作圓M的切線切，，切點為A，B，則四邊形面積的最小值為（ ）
A．2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】把四邊形面積轉化為和的面積的和，而和均為直角三角形且面積相等，進而面積的最小值轉化為求最小，由此求得答案.
【詳解】圓M的方程可化為，
所以x軸與圓M相離.
又，且和均為直角三角形，
，為圓的半徑，且，
所以面積的最小值轉化為求最小，
當垂直于x軸時，四邊形面積取得最小值，
此時，所以四邊形面積最小值為.
故選：B.

5．（23-24高三上·浙江·開學考試）過圓上一點作圓的兩條切線，切點為，當最大時，直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由題意確定當三點線時，最大，進而得到即可得解.
【詳解】
，當最大時，也即取最大，
因為，在直角三角形中，當最短時，最大，
又，當且僅當三點線時最小，
此時，，
所以直線的斜率為.
故選：.
二、多選題
6．（2023·全國·模擬預測）已知圓C：，P是直線l:上的一個動點，過點P作圓C的切線PA，PB，切點分別是A，B，則下列說法中正確的是（ ）
A．圓C上恰有一個點到直線l的距離為 B．切線長PA的最小值為1
C．的最小值為 D．直線AB恒過定點
【答案】BCD
【分析】用點到直線的距離可判斷A，由圓的切線長可判斷B，用面積法可判斷C，兩圓聯立得直線方程，可判斷D.
【詳解】如圖，由圓C：，可知圓心，半徑．
對于A，圓心到直線l：的距離為，
則圓上任意一點到直線l的距離的取值范圍為．
而，所以圓C上有兩個點到直線l的距離為．故A錯誤．
對于B，由圓的性質可得切線長，
所以當最小時，最小．故B正確．
對于C，四邊形ACBP的面積，
，而，故．故C正確．
對于D，設，因為PA，PB為過點P的圓C的切線，
所以點A，B在以PC為直徑的圓D上．
圓D上任意一點滿足，
則以PC為直徑的圓為，
即，與圓C：聯立，
兩式相減得直線AB的方程為．
由得即直線AB恒過定點．故D正確．
故選：BCD.

7．（2023·廣西·模擬預測）已知圓：，點為直線：上一動點，點在圓上，以下四個命題表述正確的是（ ）
A．直線與圓相離
B．圓上有2個點到直線的距離等于1
C．過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為
D．過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經過點
【答案】ABD
【分析】A、B應用點線距離公式求圓心到直線的距離，結合圓的半徑，判斷直線與圓的位置及點到直線的距離等于1的個數；C由圓切線性質求最小切線長；D設點，寫出以為直徑的圓，結合已知圓求公共弦的方程為，進而求定點即可判斷.
【詳解】A：圓：的圓心，半徑，
圓心到直線的距離，所以直線與圓相離．正確；
B：圓心到直線的距離，
所以，則圓上有2個點到直線的距離等于1，正確；
C：由切線的性質知，為直角三角形，，
當且僅當與直線垂直時等號成立，所以的最小值為，錯誤；
D：設點，，，所以四點，，，共圓，
以為直徑，圓心為，半徑，圓的方程為，
又圓：，兩圓相減得，所以直線的方程為，
因為點在直線上，所以，
所以，整理得，
由，得，所以直線過定點，正確．
故選：ABD

三、填空題
8．（23-24高三上·湖南衡陽·階段練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
【答案】或或（答案不唯一）
【分析】根據兩圓方程可得兩圓相離，且關于原點對稱，兩圓半徑相等，所以有過原點的兩條公切線和與平行的兩條公切線，利用點到直線距離即可求出結果.
【詳解】由題設知，圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
所以，即兩圓外離，故共有4條公切線；
又易知關于原點對稱，且兩圓半徑相等，則有過原點的兩條公切線和與平行的兩條公切線.
設過原點的公切線為，則，即，解得或，
所以公切線為或；
設與平行的公切線為，且M，N與公切線距離都為1，
則，即，
所以公切線為.
故答案為：或或
9．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）過點P向圓作切線，切點為A，過點P向圓作切線，切點為B，若，則動點P的軌跡方程為
【答案】
【分析】求出圓的圓心坐標及半徑，再利用切線的性質結合已知求解即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
設點，因為分別切圓，圓于點，且，
于是，則，
整理得，所以動點P的軌跡方程為.
故答案為：
10．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知圓，過直線上一動點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】首先利用圖形，解決向量的運算，再利用的最小值，即可求解.
【詳解】如圖，連結，，，和交于點，
，
因為，所以,
設，易知其在為增函數，
則的最小值為圓心到直線的距離，
所以的最小值為，那么的最小值為.
故答案為：
1．（2024·全國·高考真題）（多選）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當P，A，B三點共線時，
C．當時，
D．滿足的點有且僅有2個
【答案】ABD
【分析】A選項，拋物線準線為，根據圓心到準線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標，進而得出切線長；C選項，根據先算出的坐標，然后驗證是否成立；D選項，根據拋物線的定義，，于是問題轉化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數即可，亦可直接設點坐標進行求解.
【詳解】A選項，拋物線的準線為，
的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準線和相切，A選項正確；
B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，
由，得到，故，
此時切線長，B選項正確；
C選項，當時，，此時，故或，
當時，，，，
不滿足；
當時，，，，
不滿足；
于是不成立，C選項錯誤；
D選項，方法一：利用拋物線定義轉化
根據拋物線的定義，，這里，
于是時點的存在性問題轉化成時點的存在性問題，
，中點，中垂線的斜率為，
于是的中垂線方程為：，與拋物線聯立可得，
，即的中垂線和拋物線有兩個交點，
即存在兩個點，使得，D選項正確.
方法二：（設點直接求解）
設，由可得，又，又，
根據兩點間的距離公式，，整理得，
，則關于的方程有兩個解，
即存在兩個這樣的點，D選項正確.
故選：ABD
2．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根據切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據切線的性質求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.
【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設切線方程為，即，
則，整理得，且
設兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

3．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
【答案】或或
【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.
【詳解】[方法一]：
顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，
于是，
故①，于是或，
再結合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，
填一條即可
[方法二]：
設圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，
即為過兩圓公共切點的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點為，
設過該點的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
[方法三]：
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當切線為l時，因為，所以，設方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當切線為m時，設直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當切線為n時，易知切線方程為，
故答案為：或或.
4．（2021·天津·高考真題）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則 ．
【答案】
【分析】設直線的方程為，則點，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【詳解】設直線的方程為，則點，
由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，
則，解得或，所以，
因為，故.
故答案為：.
5．（2021·全國·高考真題）（多選）已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
【答案】ACD
【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；
如下圖所示：
當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項正確.
故選：ACD.
【點睛】結論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.
6．（2020·全國·高考真題）已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據圓的知識可知，四點共圓，且，根據 可知，當直線時，最小，求出以 為直徑的圓的方程，根據圓系的知識即可求出直線的方程．
【詳解】圓的方程可化為，點 到直線的距離為，所以直線 與圓相離．
依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而 ，
當直線時，， ，此時最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以為直徑的圓的方程為，即 ，
兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．
故選：D.
【點睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關系的應用，以及圓的幾何性質的應用，意在考查學生的轉化能力和數學運算能力，屬于中檔題．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 圓中的切線方程、切點弦方程及圓系方程（高階拓展、競賽適用）
（6類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第10題,6分 圓中切線問題 切線長 根據拋物線方程求焦點或準線 直線與拋物線交點相關問題
2023年新I卷，第6題,5分 圓中切線問題 給值求值型問題 余弦定理解三角形
2022年新I卷，第14題,5分 圓的公切線方程 判斷圓與圓的位置關系
2021年新I卷，第11題,5分 切線長 直線與圓的位置關系求距離的最值
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，設題不定，難度中等，分值為5-6分
【備考策略】1.熟練掌握圓中切線問題的快速求解
2.熟練掌握圓系方程的快速求解
【命題預測】本節內容是新高考卷的拓展內容，需要大家掌握二級結論來快速解題，需強化練習
知識講解
一、圓中切線問題
已知圓方程為:,
若已知切點在圓上,則切線只有一條,其方程是:
已知圓方程為:,
若已知切點在圓上,則該圓過點的切線方程為;
已知圓方程為圓:.
(1)過圓上的點的切線方程為.
(2)過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為.
4. 過圓外一點引圓(標準方程,一般方程)的切線長度
一般方程(標準方程)
二、常見的圓系方程
1、同心圓圓系
(1)以為圓心的同心圓圓系方程:;
(2)與圓同心圓的圓系方程為:;
2、過線圓交點的圓系
過直線與圓交點的圓系方程為:
;
3、過兩圓交點的圓系
過兩圓
交點的圓系方程為,此圓系不含)
(1)特別地,當時,上述方程為一次方程,兩圓相交時,表示公共弦方程;兩圓相切時,表示公切線方程.
(2)為了避免利用上述圓系方程時討論圓過,可等價轉化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:
考點一、過圓上一點的切線問題
1．（23-24高二上·四川成都·階段練習）過點作圓的切線l，求切線l的方程
2．（23-24高三下·福建·開學考試）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
1．（22-23高二上·上海浦東新·期中）已知圓，則過點的圓的切線方程為 .
2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圓在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
考點二、過圓外一點的切線問題
1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）過點且與圓：相切的直線方程為
2．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）過點作圓的切線，則切線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（2023·全國·模擬預測）已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的正切值為（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·山東濰坊·開學考試）已知圓，則過點的圓的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高二上·湖南岳陽·期中）經過向圓作切線，切線方程為（ ）
A．
B．
C．或
D．或
3．（2024高三·全國·專題練習）設過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
考點三、切點弦方程
1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為 .
2．（2024·浙江·模擬預測）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則原點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·全國·模擬預測）已知圓：，點，若直線分別切圓于兩點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為 .
考點四、切線長
1．（2024·四川攀枝花·三模）由直線上的一點向圓引切線，切點為，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知P為直線上一點，過點P作圓的一條切線，切點為A，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
1．（24-25高三上·陜西·開學考試）由直線上的一點向圓引切線，則切線段的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
2．（24-25高三上·湖南衡陽·階段練習）已知圓，過直線上的動點作圓C的一條切線，切點為A，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C． D．3
考點五、圓中的公切線問題（含根軸）
1．（23-24高三下·山東·開學考試）圓和圓的公切線方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
2．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）（多選）已知直線與圓：和圓：都相切，則直線的方程可能為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北張家口·三模）圓與圓的公切線的方程為 ．
2．（23-24高三下·江蘇鎮江·開學考試）與圓和圓都相切的直線方程是 ．
考點六、圓系方程
1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓系方程（，m為參數），這些圓的公切線方程為 .
2．（24-25高二上·全國·課后作業）若圓與圓相交，我們把經過圓和圓交點的圓稱為圓、圓的圓系方程，其方程可設為．根據以上信息，解決如下問題：已知圓與交于兩點，則以為直徑的圓的一般方程為 ．
1．（2023高三·全國·專題練習）（多選）已知圓和圓相交于兩點，下列說法正確的是（ ）
A．所有過點的圓系的方程可以記為（其中，）
B．直線的方程為
C．線段的長為
D．兩圓有兩條公切線與
一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇連云港·期中）圓在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三·全國·專題練習）過點向圓引兩條切線，切點是、，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
3．（23-24高三上·浙江·階段練習）過圓上點的切線方程為 ．
4．（2023·天津武清·模擬預測）已知點，，經過點作圓的切線與軸交于點，則 ．
5．（23-24高三上·湖北·開學考試）已知過點作圓的切線，則切線長為 .
6．（23-24高三上·河北邢臺·期末）已知圓，過作圓的切線，則直線的傾斜角為 ．
7．（2023·江西·二模）已知圓，圓.請寫出一條與兩圓都相切的直線方程： .
8．（2023·河南·模擬預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
9．（22-23高二上·河北邢臺·期末）已知圓的方程為，則過點的圓的切線方程為 .
三、解答題
10．（2024高三·全國·專題練面上有兩個圓，它們的方程分別是和，求這兩個圓的內公切線方程．
一、單選題
1．（23-24高三上·廣西百色·階段練習）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·江西·階段練習）過點作圓：的切線與軸交于點，過點的直線與，軸及軸圍成一個四邊形，且該四邊形的所有頂點都在圓上，則點到直線的距離為（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（23-24高二上·廣東·期末）在平面直角坐標系中，已知圓，若圓上存在點P，由點P向圓C引一條切線，切點為M，且滿足，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·廣東·階段練習）已知圓M：，P為x軸上的動點，過點P作圓M的切線切，，切點為A，B，則四邊形面積的最小值為（ ）
A．2 B． C．2 D．
5．（23-24高三上·浙江·開學考試）過圓上一點作圓的兩條切線，切點為，當最大時，直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．1
二、多選題
6．（2023·全國·模擬預測）已知圓C：，P是直線l:上的一個動點，過點P作圓C的切線PA，PB，切點分別是A，B，則下列說法中正確的是（ ）
A．圓C上恰有一個點到直線l的距離為 B．切線長PA的最小值為1
C．的最小值為 D．直線AB恒過定點
7．（2023·廣西·模擬預測）已知圓：，點為直線：上一動點，點在圓上，以下四個命題表述正確的是（ ）
A．直線與圓相離
B．圓上有2個點到直線的距離等于1
C．過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為
D．過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經過點
三、填空題
8．（23-24高三上·湖南衡陽·階段練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
9．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）過點P向圓作切線，切點為A，過點P向圓作切線，切點為B，若，則動點P的軌跡方程為
10．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知圓，過直線上一動點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為 ．
1．（2024·全國·高考真題）（多選）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當P，A，B三點共線時，
C．當時，
D．滿足的點有且僅有2個
2．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
4．（2021·天津·高考真題）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則 ．
5．（2021·全國·高考真題）（多選）已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
6．（2020·全國·高考真題）已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
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