資源簡(jiǎn)介

第04講 數(shù)列求和綜合
（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減（萬(wàn)能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期綜合）
（6類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新Ⅱ卷，第12題,5分 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
2024年全國(guó)甲卷，第18題,12分 錯(cuò)位相減法求和 利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)
2023年新Ⅱ卷，第18題,12分 分組 (并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和 利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
2023年全國(guó)甲卷（理科）， 第17題,10分 錯(cuò)位相減法求和 利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
2022年新I卷，第17題,10分 裂項(xiàng)相消法求和 利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng) 累乘法求數(shù)列通項(xiàng) 利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)
2022年新Ⅱ卷，第22題,12分 裂項(xiàng)相消法求和 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題 含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
2021年新I卷，第16題,5分 錯(cuò)位相減法求和 數(shù)與式中的歸納推理
2021年新I卷，第17題,10分 分組 (并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和 由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
2021年全國(guó)乙卷（文科）， 第19題,12分 錯(cuò)位相減法求和 等差中項(xiàng)的應(yīng)用 等比數(shù)列通項(xiàng)公式
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分
【備考策略】1.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和
2.熟練掌握錯(cuò)位相減求和
3.熟練掌握拆項(xiàng)分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法，能綜合解決數(shù)列的求和問(wèn)題
4.熟練掌握數(shù)列中不等式的綜合問(wèn)題
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，?？疾榱秧?xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和、奇偶并項(xiàng)求和，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)
知識(shí)講解
1．公式法
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
①當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；
②當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
2．分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)能求和的數(shù)列，再求解．
3．裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．
常見的裂項(xiàng)技巧：
；
；
指數(shù)型；
對(duì)數(shù)型.
等
4．倒序相加法
把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．
5．錯(cuò)位相減法
主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．
萬(wàn)能公式：
形如的數(shù)列求和為，
其中，，
6．并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
考點(diǎn)一、公式法直接求和
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）因?yàn)?，即①?br/>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.
【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.
3．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組得到首項(xiàng)、公比的值即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解其前n項(xiàng)和即可.
【詳解】(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，
整理可得：，
，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
(2)由于：，故：
.
【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).
4．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
根據(jù)題意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根據(jù)，可得，
整理得，因?yàn)椋裕?br/>【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.
1．（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式：
(2)記為的前n項(xiàng)和，若，求m．
【答案】(1)或．
(2)．
【分析】（1）由條件求出公比，即可求解通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】（1）等比數(shù)列中，，．
，解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
的通項(xiàng)公式為，或．
（2）記為的前n項(xiàng)和．
當(dāng)，時(shí)，，
由，得，，無(wú)解；
當(dāng)，時(shí)，，
由，得，，
解得．
2．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列 的公差不為零， 成等比數(shù)列，且 .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，
（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.
【詳解】（1）由題意 (1)
由(1)(2)可得
所以
（2），，
，故為等差數(shù)列，
.
3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.
(1)求，，并證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求.
【答案】(1)，，證明見解析；
(2)420.
【分析】（1）直接代入可得，再代入，結(jié)合的值求出；再由仿寫出，作差后得到，即可證明結(jié)果.
（2）由（1）知數(shù)列為等差數(shù)列，然后代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由條件得，所以.
當(dāng)時(shí)，由條件得，所以.
因?yàn)?，所以（）?br/>兩式相減得：，即，
所以，
從而數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）由（1）知，
所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，
所以，
所以.
4．（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且.若等差數(shù)列，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根據(jù)題意，由可得，然后由列出方程，即可得到，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
（2）根據(jù)題意，由（1）中的結(jié)論可得，代入計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，，，
由為等差數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)可得，
因?yàn)?，所以且，所以?br/>則，所以，
則.
（2）因?yàn)?，則，由（1）可知，
則，
由可得，解得，且，
所以n的最大值為.
5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）兩邊同時(shí)取到數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可；
（2）放縮法證明不等式即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，，故?br/>所以，整理得．
又，，，
所以為定值，
故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，得.
（2）因?yàn)椋?
所以．
考點(diǎn)二、分組轉(zhuǎn)化求和
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因?yàn)?故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和
.
2．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式求，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）由（1）可得：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，
因?yàn)?，即?br/>且，可得，解得或（舍去）．
又因?yàn)椋獾茫?br/>所以.
（2）由（1）可得：，
所以
，
所以.
1．（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由題意知，求出變量的值，進(jìn)而得到通項(xiàng)；（2）由題意得到，分組求和即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）解：由題意知，
解得，，或，（舍去），
所以.
（2）解：，將這個(gè)數(shù)列分為兩部分，一部分是等差數(shù)列，一部分是等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式得到：
.
2．（2024·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)運(yùn)用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出前項(xiàng)和．
【詳解】（1）由題意，可得，
故，，
數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，
，
，．
（2）由題意及（1），可得，
則
．
35．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）將等式變形為（為非零常數(shù)）的形式，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）首先結(jié)合（1）的結(jié)論求出an的通項(xiàng)公式，再利用分組求和的方式，結(jié)合等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】（1），，
，
．
又，，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，，
．
考點(diǎn)三、裂項(xiàng)相消求和
1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列 的前項(xiàng)和．
【答案】(1) ；(2).
【解析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項(xiàng)公式.
（2）將的通項(xiàng)公式代入,可得數(shù)列的表達(dá)式.利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.
【詳解】（1）數(shù)列滿足
時(shí),
∴
∴
當(dāng)時(shí),,上式也成立
∴
（2）
∴數(shù)列的前n項(xiàng)和
【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)法求和的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
2．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時(shí)，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對(duì)于也成立，
∴的通項(xiàng)公式；
（2）
∴
3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知與的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）與的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng)，推出并由此得出，進(jìn)而得的遞推關(guān)系，從而推得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）得到，并利用裂項(xiàng)相消法求和，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)有，，
所以，解得：， ，
整理得，由此得，
所以，
整理得，由題意知 ，
所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，其中，公差，
所以.
（2）令，
則，
故，
，
所以.
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列（）中，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得解；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，即，解得，
所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化簡(jiǎn)得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
1．（23-24高二下·浙江麗水·期中）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)求和公式求出公差和首項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）由（1）可得，根據(jù)裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得，即可證明.
【詳解】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和關(guān)系作差得，再求出首項(xiàng)結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案；
（2）求出，代入化簡(jiǎn)得，最后利用裂項(xiàng)相消求和法即可.
【詳解】（1）由，得①，
當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)值舍去）.
當(dāng)時(shí)，②，
①②，得，
化為，
因?yàn)?，，解得?br/>所以數(shù)列是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，
所以，即.
（2）由（1）知，所以，
從而，
則，，…，，
以上n個(gè)式子相加，得.
3．（2024·浙江麗水·二模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)得到和，從而得到或，再分別求出通項(xiàng)公式；
（2）依題意可得，求出，則，利用分組求和法及裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【詳解】（1）由，，得，解得，
由，，所以，所以或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)；
綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或；
（2）因?yàn)?，所以，則，
則
，
所以
.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與關(guān)系：求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)寫出，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，
即，
因?yàn)椋裕虼耍?br/>所以當(dāng)時(shí)，，
即，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以.
（2）由（1）可得，，所以，
所以
.
考點(diǎn)四、錯(cuò)位相減求和
1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．
（2）利用錯(cuò)位相減法可求.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，，所以即，
而，故，故，
∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．
（2）因?yàn)椋裕?br/>，
兩式相減得，
，
，即，．
3．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和
，
，
．
設(shè)， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過(guò)等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法
設(shè)，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；
方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；
方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，
方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.
4．（2024·江蘇無(wú)錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運(yùn)用公式，已知求即可；
（2）求出，后運(yùn)用錯(cuò)位相減求出，后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可解．
【詳解】（1）①，且，
當(dāng)時(shí)，代入①得；
當(dāng)時(shí)，.②
①-②得，整理得，
因?yàn)?，所以，所以?shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以.
（2），，③
，④
③-④得，
所以，所以，且，化簡(jiǎn)得，
令，所以，
所以的最大值為，所以.
所以的取值范圍為.
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用題給條件求得數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，再求得其首項(xiàng)的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和．
【詳解】（1），．
， ，，
數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列．
，，．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①②得
，
．
2．（2024·貴州遵義·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且點(diǎn)在直線上．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的關(guān)系消去易得，（），檢驗(yàn)時(shí)滿足，得等比數(shù)列，即可求得其通項(xiàng)；
（2）將（1）結(jié)論代入得，寫出，利用錯(cuò)位相減法，即可求得.
【詳解】（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，，
因 ①，當(dāng)時(shí)， ②，
由①-② 可得，，即，
又因時(shí)，，
故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則.
（2）由（1）可得，則，
于是，， ③
， ④
由③-④：，
，
，
，
則得.
3．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．
【答案】(1)，．
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求出，即可得到，再由分組求和及裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【詳解】（1）等比數(shù)列滿足，，所以單調(diào)遞增，
設(shè)的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意可得，
解得或（舍去），
所以，．
（2）由（1）可得，
所以
所以，
故，
又，，
即，
所以
．
考點(diǎn)五、奇偶并項(xiàng)求和
1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
2．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系由：求解即可；
（2）根據(jù)通項(xiàng)分奇偶分別計(jì)算求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列求和公式即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也符合.
綜上，.
（2）由
則
，
故的前項(xiàng)和.
3．（2024·山東濰坊·三模）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)成等比數(shù)列求得，即可求得的通項(xiàng)公式.
（2）根據(jù)的通項(xiàng)公式求得，分奇偶項(xiàng)分別求出再求和，即可求得的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，即，解得或，
又因?yàn)?，所以，所?
（2），所以，
所以
，
，
所以前項(xiàng)和.
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足 當(dāng)時(shí)，
(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)是等比數(shù)列；
(2)求
【答案】(1)3，7，證明見解析
(2)
【分析】（1）利用遞推公式易求，，利用遞推關(guān)系可證結(jié)論；
（2）由（1）可得為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
可求得，計(jì)算可求結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)?當(dāng)時(shí)，，
所以，.
，，又，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，，
設(shè)，則 為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
；
設(shè)，為奇數(shù)時(shí)，，
.
5．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；
（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.
【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項(xiàng)公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項(xiàng)公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
對(duì)任意的正整數(shù)n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬于中等題.
1．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【答案】(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
(2)數(shù)列的前20項(xiàng)和為.
【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)求出，再根據(jù)求出公差，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式；
（2）先寫出，對(duì)為偶數(shù)的情況進(jìn)行裂項(xiàng)，再用分組求和法求出.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且與的等差中項(xiàng)為5，
所以，解得，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
因?yàn)?，所以?br/>所以，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由題知，
即
所以
，
故數(shù)列的前20項(xiàng)和為.
2．（2024·福建廈門·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可得，利用與之間關(guān)系可證得數(shù)列通的項(xiàng)公式；
（2）采用分組求和法，分別對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.
（2）由（1）知
則
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
3．（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)出公差，借助等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可得；
（2）分奇數(shù)項(xiàng)及偶數(shù)項(xiàng)分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)與裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可得.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意知，即，
即有，因?yàn)?，可得，?br/>所以；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，
則
，
，
所以．
4．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，
（2）根據(jù)等差求和公式以及等比求和公式，結(jié)合分組求解可求解，即可根據(jù)不等式求解.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，
依題意，， 即，解得，
所以的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知，所以，
，
恒成立，
令，
由，由于，所以.
所以
所以的最小值為4.
考點(diǎn)六、數(shù)列求和之不等式綜合
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知可得，進(jìn)而可得，可求的通項(xiàng)公式；
（2）可求得，進(jìn)而可得結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)棰伲寓?，③?br/>由③得：，所以，
②-①得：，整理得：，
又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，
所以是公差的等差數(shù)列，．
（2）由（1），，
所以，
所以．
2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知是與的等差中項(xiàng).
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由是與的等差中項(xiàng),可得，化簡(jiǎn)得，可得，作差可得，則可得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，，分組求，可得，可得，即可得證.
【詳解】（1）由題意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是與的等差中項(xiàng)，得當(dāng)時(shí)，
，解得，
所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故.
（2）由（1）得，則
，
所以
，
所以，
所以.
3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，注意驗(yàn)證的情況；
（2）解法一：由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，即可求和；
解法二：由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，即可求和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)不滿足上式，所以．
（2）解法一：當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，
故
．
解法二：當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
故
．
4．（2024·福建三明·三模）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
(3)記，求證：．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出，時(shí)，用，即可求解；
（2）由得出，由得，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性及的值，即可求出得范圍；
（3）由（1）得，則，根據(jù)放縮法得即可證明．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)成立，
所以．
（2）由得，，顯然時(shí)，單調(diào)遞增，，
由得，，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)?，，且，，?br/>所以當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以．
（3）證明：由（1）得，，
因?yàn)?br/>所以
．
1．（2024·山東煙臺(tái)·三模）在數(shù)列中，已知，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列數(shù)列即可求得通項(xiàng)公式；
（2）代入（1）中的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)，結(jié)合累加求和證明即可.
【詳解】（1）由可得，則，即，
故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
故，則，.
（2）.
易得，故.
又，
故
.
綜上有，即得證.
2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，令，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意可得，解方程求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，由累乘法可求出的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求解即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．
由，得，
解得：，所以．
（2）由（1）知，，
即，，，……，，
利用累乘法可得：
，也符合上式，
所以．
3．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由是公差為2的等差數(shù)列，求得，結(jié)合和的關(guān)系，即可求解；
（2）由（1）知，求得，結(jié)合關(guān)于單調(diào)遞增，以及，即可求解．
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?br/>又因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
又由，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）證明：由（1）知，
所以，
又由，
所以關(guān)于單調(diào)遞增，所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br/>4．（2024·陜西銅川·三模）已知數(shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求正整數(shù)的最大值.
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系先求，然后可得；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，然后解不等式即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
兩式相減，得，
，
顯然也符合上式，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，
，
解得.
正整數(shù)的最大值為15.
5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造新數(shù)列，是等差數(shù)列，通過(guò)的通項(xiàng)公式得到的通項(xiàng)公式.
（2）由，得到，進(jìn)而，裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）由知，若，則，若，則．
又，所以．
由，可得即（常數(shù)），
故是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
當(dāng)時(shí)，，則．
所以
，
所以，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算可得，，即可求解公比得解，
（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可求解.
【詳解】（1）由以及可得，
又，故，
因此公比，
故
（2），
則，
，
兩式相減可得，
，
，
.
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，可先列出等比數(shù)列前三項(xiàng)，結(jié)合等比中項(xiàng)建立方程求解公比即可；
（2）由等比數(shù)列求和公式求得，然后結(jié)合裂項(xiàng)相消計(jì)算求解.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
結(jié)合，得數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，
由題意，得，
所以，
解得或，
因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的，所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
故
，
故數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．（2024·山西呂梁·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1).
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知列方程求出公差，可得數(shù)列通項(xiàng)；
（2）裂項(xiàng)相消法求和得出，由結(jié)果證明不等式.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.
由題可得，，解得，
所以.
（2）證明：由（1）可得為正整數(shù)，
所以.
4．（2024·四川成都·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）由已知易得，進(jìn)而易求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得，進(jìn)而可得，可求.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，（），
兩式相減得，即，
所以數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，
又，
所以.
（2）因?yàn)椋?br/>，
所以.
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，求解即可；
（2）由（1）可得，，可得結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，是等差數(shù)列，則，
得，兩邊平方得，
整理得，兩邊再次平方得，
整理得，解得，
所以.
（2）由，得，則，
所以.
1．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，由等比數(shù)列定義可得是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可得的通項(xiàng)公式，即可得；
（2）由錯(cuò)位相減法求和即可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，又，
所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
所以，即；
（2）由（1）知．
設(shè)前項(xiàng)和為，
則，
，
兩式相減可得
，
所以.
2．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，為的前項(xiàng)和，為等差數(shù)列．
(1)求與的關(guān)系；
(2)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的的最大值．
【答案】(1)或
(2)見解析.
【分析】（1）由為等差數(shù)列可得，即可得到與的關(guān)系；
（2）由裂項(xiàng)相消法得到，再解不等式即可求得的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即
從而得到，化簡(jiǎn)得
所以或
（2）當(dāng)，時(shí)，，，所以，又因?yàn)椋圆淮嬖冢?br/>當(dāng)，時(shí)，，，
所以，解得，又因?yàn)椋?br/>所以的最大值3.
3．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均大于1，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，且，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用計(jì)算整理可得數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）先由（1）求出，然后通過(guò)并項(xiàng)求和以及錯(cuò)位相減求和法可得.
【詳解】（1）①，
②，
①-②得，
整理得，
或，
又，得或（舍去），
若，則，得，舍去，
，即，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得，即，
，
，
令，
則，
兩式相減得
，
，
.
4．（2023·湖南永州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案；
（2）由（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
則數(shù)列為為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
故；
（2）因?yàn)椋?br/>故數(shù)列的前項(xiàng)的和為：
.
5．（23-24高三上·江蘇南通·期末）設(shè)的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)已知，且的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差證明是等差數(shù)列或者利用迭代法也可求解，
（2）根據(jù)基本不等式可得，即可求證，利用裂項(xiàng)求和法，即可求證.
【詳解】（1）解：， 令得；
又當(dāng)時(shí)，，
可得，即①；
（解法1）退位作差證明等差數(shù)列：②，
由①－②得，
即∴ 數(shù)列是等差數(shù)列.
由及可得公差， 可得.
（解法2）變形構(gòu)造： 由，，可知，∴.
當(dāng)時(shí)，；
，
∴， 當(dāng)時(shí)也成立，所以.
（2）證明： ，
因?yàn)椋?所以 ，
即.
又因?yàn)椋?br/>所以
，
因?yàn)椋?
綜上，.
6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．
(1)證明：為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)可推出，即得，即可證明為等比數(shù)列，由此可求得的表達(dá)式，繼而求得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，即可得答案.
【詳解】（1）∵ ∴，
∴，
∴為等比數(shù)列；
∵，故的首項(xiàng)為，公比為2，
∴，則，
當(dāng)時(shí)，，則，也滿足此式，
∴；
（2）由（1）可得，則，
故，
兩式相減得：，
故.
7．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.
(1)證明：是等差數(shù)列，并求；
(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析，
(2).
【分析】（1）借助與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即可得解；
（2）借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，或，
因?yàn)?，所以?br/>，
兩式相減得，
因?yàn)?，所以?br/>故是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，
；
（2）由（1）知，
，
，
則，
，
所以.
8．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求解通項(xiàng)，
（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式以及裂項(xiàng)求和，結(jié)合分組求和即可求解.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，
由且可得：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
解得或（舍去），故，
故
（2），
由于，
則數(shù)列的前項(xiàng)和
9．（23-24高三下·河南濮陽(yáng)·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為整數(shù)，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件求出公比，即可得解；
（2）由（1）得出，設(shè)出，前項(xiàng)和為，利用錯(cuò)位相減法求出，令，可知，進(jìn)而即可判斷得出.
【詳解】（1）由已知可得，
因?yàn)?，所以?br/>即，則，解得或（舍去），
所以，.
（2）由（1）得，
令，設(shè)前項(xiàng)和為，則，
所以，兩式相減得，
所以，
令，則，
設(shè)前項(xiàng)和為，則，
所以.
10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且數(shù)列為等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)定義：表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．設(shè)，求數(shù)列的前114項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)671
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可推得與的關(guān)系式，再利用推得，從而得出等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)；
（2）根據(jù)的規(guī)定，將數(shù)列的項(xiàng)根據(jù)取到的相同的值進(jìn)行分類再依次求和即得.
【詳解】（1）由數(shù)列為等差數(shù)列，且，，可得：數(shù)列的首項(xiàng)為：，公差為：，
故其通項(xiàng)為：，即：①，當(dāng)時(shí)，②，
由①-②可得：，整理得：③，
當(dāng)時(shí)，④，
由③-④可得：，
即：，故數(shù)列為等差數(shù)列，
因，其公差為，則.
（2）由（1）得：，而，易得，
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：，
故得：.
1．（全國(guó)·高考真題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）．
【詳解】試題分析：（1）由已知可得等差數(shù)列的公差為整數(shù)．由可得列出不等式組解得的范圍，從而可確定整數(shù)的值，最后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由已知先寫出，
列出的表達(dá)式，
由于可分裂為，故采用裂項(xiàng)相消法求．
（1）由，為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù)．又，故于是，解得，因此，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2），
于是．
考點(diǎn)：1．等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2．裂項(xiàng)法求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（全國(guó)·高考真題）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出首項(xiàng)與公比，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）由an＝化簡(jiǎn)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由條件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為
3．（廣東·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前 項(xiàng)和為，且滿足，
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切的正整數(shù)都有
【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.
【詳解】試題分析：（1）將代入方程 得到，結(jié)合題中條件（數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)，得到）求出 的值，從而得到的值；（2）由十字相乘法結(jié)合 得到的表達(dá)式，然后在 的情況下，由求出數(shù)列 的表達(dá)式，并驗(yàn)證是否滿足該表達(dá)式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）解法一是利用放縮法得到
，于是得到 ，最后利用裂項(xiàng)求和法證明題中的不等式；解法二是保持不放縮，在 的條件下放縮為
，最后在 和時(shí)利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)法證明相應(yīng)的不等式.
（1）令得： ，即，，
，，即 ；
（2）由，得 ，
， ，從而，，
所以當(dāng)時(shí)，，
又，；
（3）解法一：當(dāng)時(shí)，，
.
證法二：當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，，
則
.
考點(diǎn)：本題以二次方程的形式以及與的關(guān)系考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，以及利用放縮法證明數(shù)列不等式的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中等偏難題.
4．（山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【詳解】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.
試題解析：（1）由題意知當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以．
設(shè)數(shù)列的公差為，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得， ，兩式作差，得所以．
考點(diǎn) 1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.
5．（廣東·高考真題）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列．
(1) 證明：；
(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．
【答案】(1)見解析 (2) (3) 見解析
【詳解】試題分析：（1）令，，即可證明；（2）由得到，解得，再進(jìn)而驗(yàn)證，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于一切正整數(shù)，有，即可證明結(jié)論．
試題解析：（1）令，，∴．
（2），①
時(shí)，，②
①②：，整理得，
，∴，即，解得，
，，又，可得，
綜上：．
（3）．
考點(diǎn)：數(shù)列的綜合應(yīng)用．
6．（山東·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足 ，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由基本量法列方程組解得，得通項(xiàng)公式；
（2）求出通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法求和．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為.
由，得，
解得，
所以；
（2）由可得
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以，，
又，
兩式相減得
所以
7．（浙江·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記 證明：
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】(1)首先求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合三項(xiàng)成等比數(shù)列的充分必要條件整理計(jì)算即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)結(jié)合(1)的結(jié)果對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，然后利用不等式的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和的方法即可證得題中的不等式.
【詳解】(1)由題意可得：，解得：，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
其前n項(xiàng)和.
則成等比數(shù)列，即：
，
據(jù)此有：
，
故.
(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式可得：
，
則.
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，，裂項(xiàng)求和的方法，數(shù)列中用放縮法證明不等式的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
8．（全國(guó)·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且.
（1）求、的通項(xiàng)公式：
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1），；（2）；
【分析】（1）利用等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件可得，進(jìn)而即可求得公差為、公比為，寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）寫出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減求數(shù)列前n項(xiàng)和，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和即可求；
【詳解】（1）令等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為且，
則由，知：
，解之得；
∴，
（2）由（1）知：；
∴；
，
兩式相減得
，
.
【點(diǎn)睛】本題考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及錯(cuò)位相減法求n項(xiàng)和，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.
9．（湖北·高考真題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用的關(guān)系求得，根據(jù)等比數(shù)列的基本量計(jì)算，求得；
（2）根據(jù)（1）中所求，利用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）對(duì)數(shù)列，由，，
當(dāng)時(shí)，，也滿足，
故；
對(duì)數(shù)列，設(shè)其公比為，，
由可得，解得，
故.
（2）因?yàn)椋?br/>故
，
故，
，
.
10．（重慶·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足：，，．
(1)令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）推導(dǎo)出，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用累加法可求得數(shù)列，再利用分組求和法與錯(cuò)位相減法可求得.
【詳解】（1）解：由題意可知，對(duì)任意的，，即，
且，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為.
（2）解：由（1）可知，
當(dāng)時(shí)，
，
也滿足，故對(duì)任意的，，
所以，，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
，
上述兩個(gè)等式作差可得
，
所以，，
所以，
.
因此，.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第04講 數(shù)列求和綜合
（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減（萬(wàn)能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期綜合）
（6類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新Ⅱ卷，第12題,5分 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
2024年全國(guó)甲卷，第18題,12分 錯(cuò)位相減法求和 利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)
2023年新Ⅱ卷，第18題,12分 分組 (并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和 利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
2023年全國(guó)甲卷（理科）， 第17題,10分 錯(cuò)位相減法求和 利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
2022年新I卷，第17題,10分 裂項(xiàng)相消法求和 利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng) 累乘法求數(shù)列通項(xiàng) 利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)
2022年新Ⅱ卷，第22題,12分 裂項(xiàng)相消法求和 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題 含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
2021年新I卷，第16題,5分 錯(cuò)位相減法求和 數(shù)與式中的歸納推理
2021年新I卷，第17題,10分 分組 (并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和 由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
2021年全國(guó)乙卷（文科）， 第19題,12分 錯(cuò)位相減法求和 等差中項(xiàng)的應(yīng)用 等比數(shù)列通項(xiàng)公式
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分
【備考策略】1.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和
2.熟練掌握錯(cuò)位相減求和
3.熟練掌握拆項(xiàng)分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法，能綜合解決數(shù)列的求和問(wèn)題
4.熟練掌握數(shù)列中不等式的綜合問(wèn)題
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常考查裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和、奇偶并項(xiàng)求和，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)
知識(shí)講解
1．公式法
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
①當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；②當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
2．分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)能求和的數(shù)列，再求解．
3．裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．
常見的裂項(xiàng)技巧：
；
；
指數(shù)型；
對(duì)數(shù)型.
等
4．倒序相加法
把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．
5．錯(cuò)位相減法
主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．
萬(wàn)能公式：
形如的數(shù)列求和為，
其中，，
6．并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
考點(diǎn)一、公式法直接求和
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使成立的n的最小值．
3．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求.
4．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．
1．（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式：
(2)記為的前n項(xiàng)和，若，求m．
2．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列 的公差不為零， 成等比數(shù)列，且 .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)求 .
3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.
(1)求，，并證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求.
4．（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且.若等差數(shù)列，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n的最大值.
5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
考點(diǎn)二、分組轉(zhuǎn)化求和
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
2．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
1．（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（2024·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
35．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
考點(diǎn)三、裂項(xiàng)相消求和
1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列 的前項(xiàng)和．
2．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知與的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求的前項(xiàng)和.
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列（）中，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.
1．（23-24高二下·浙江麗水·期中）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．
2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
3．（2024·浙江麗水·二模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
考點(diǎn)四、錯(cuò)位相減求和
1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
3．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．
4．（2024·江蘇無(wú)錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（2024·貴州遵義·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且點(diǎn)在直線上．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
3．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．
考點(diǎn)五、奇偶并項(xiàng)求和
1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
2．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.
3．（2024·山東濰坊·三模）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足 當(dāng)時(shí)，
(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)是等比數(shù)列；
(2)求
5．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；
（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
1．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
2．（2024·福建廈門·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和.
3．（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.
考點(diǎn)六、數(shù)列求和之不等式綜合
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知是與的等差中項(xiàng).
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，證明：．
4．（2024·福建三明·三模）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
(3)記，求證：．
1．（2024·山東煙臺(tái)·三模）在數(shù)列中，已知，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.
2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，令，求證：．
3．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．
4．（2024·陜西銅川·三模）已知數(shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求正整數(shù)的最大值.
5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求證：．
1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
3．（2024·山西呂梁·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
4．（2024·四川成都·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
1．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，為的前項(xiàng)和，為等差數(shù)列．
(1)求與的關(guān)系；
(2)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的的最大值．
3．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均大于1，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，且，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求的前項(xiàng)和.
4．（2023·湖南永州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
5．（23-24高三上·江蘇南通·期末）設(shè)的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)已知，且的前項(xiàng)和為，求證：.
6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．
(1)證明：為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和．
7．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.
(1)證明：是等差數(shù)列，并求；
(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
8．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
9．（23-24高三下·河南濮陽(yáng)·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為整數(shù)，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.
10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且數(shù)列為等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)定義：表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．設(shè)，求數(shù)列的前114項(xiàng)和．
1．（全國(guó)·高考真題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
2．（全國(guó)·高考真題）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．（廣東·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前 項(xiàng)和為，且滿足，
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切的正整數(shù)都有
4．（山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
5．（廣東·高考真題）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列．
(1) 證明：；
(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．
6．（山東·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足 ，求的前項(xiàng)和.
7．（浙江·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記 證明：
8．（全國(guó)·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且.
（1）求、的通項(xiàng)公式：
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
9．（湖北·高考真題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.
10．（重慶·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足：，，．
(1)令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
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