資源簡介

第05講 古典概率及概率的基本性質(zhì)
（6類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯(lián)考點
2024年新I卷，第14題,5分 計算古典概型問題的概率 求離散型隨機變量的均值 均值的性質(zhì)
2024年新Ⅱ卷，第18題,17分 利用對立事件的概率公式求概率 獨立事件的乘法公式 求離散型隨機變量的均值
2023年新Ⅱ卷，第12題,5分 利用互斥事件的概率公式求概率 獨立事件的乘法公式 獨立重復試驗的概率問題
2022年新I卷，第5題,5分 計算古典概型問題的概率 實際問題中的組合計數(shù)問題
2022年新Ⅱ卷，第19題,12分 利用對立事件的概率公式求概率 頻率分布直方圖的實際應用 由頻率分布直方圖估計平均數(shù) 計算條件概率
2022年全國甲卷（理）， 第15題,5分 計算古典概型問題的概率 組合計數(shù)問題
2022年全國乙卷（理）， 第10題,5分 利用互斥事件的概率公式求概率 獨立事件的乘法公式
2022年全國乙卷（理）， 第13題,5分 計算古典概型問題的概率 實際問題中的組合計數(shù)問題
2021年全國甲卷（理）， 第10題,5分 計算古典概型問題的概率 不相鄰排列問題
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握古典概型的定義，并會相關計算
2.理解并掌握概率的基本性質(zhì)
3.會計算互斥事件及對立事件的概率
【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查古典概型的概率計算及互斥、對立事件的辨析及計算，需強化訓練
知識講解
1．古典概型特點
(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性．
(2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝＝.
求古典概型概率的步驟
(1)判斷試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；
(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率.
3．概率的幾個基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推廣
當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　
判斷互斥、對立事件的兩種方法
(1)定義法
判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．
考點一、古典概型的概率計算
1．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
考點二、有無放回抽樣的概率
1．（浙江·高考真題）在三張獎券中有一、二等獎各一張，另一張無獎，甲乙兩人各抽取一張（不放回），兩人都中獎的概率為 ．
2．（浙江·高考真題）盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為，則 ； ．
3．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
1．（2024·全國·模擬預測）盒中裝有1，2，3，4四個標號的小球．小明在盒中隨機抽取兩次（不放回），則抽中的兩次小球號碼均為偶數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東日照·三模）從標有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復編號卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東廣州·模擬預測）袋子里有四張卡片，分別標有數(shù)字1，2，3，4，從袋子中有放回地依次隨機抽取四張卡片并記下卡片上數(shù)字，則有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是 .
考點三、判斷互斥事件與對立事件
1．若干人站成一排，其中為互斥事件的是（ ）
A．“甲站排頭”與“乙站排頭” B．“甲站排頭”與“乙站排尾”
C．“甲站排頭”與“乙不站排頭” D．“甲不站排頭”與“乙不站排頭”
2．（2023·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（ ）
A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對立事件
C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對立事件
3．（2023·山東聊城·模擬預測）（多選）某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設M=“該家庭中有男孩、又有女孩”，N=“該家庭中最多有一個女孩”，則下列結論正確的是()
A．若該家庭中有兩個小孩，則M與N互斥
B．若該家庭中有兩個小孩，則M與N不相互獨立
C．若該家庭中有三個小孩，則M與N不互斥
D．若該家庭中有三個小孩，則M與N相互獨立
1．袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球
C．至少有一個白球；紅 黑球各一個 D．恰有一個白球；一個白球一個黑球
2．（2022·全國·模擬預測）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件， “兩枚結果相同”記為事件，那么事件與，與 間的關系是（ ）
A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥
C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立
3．（2024·山東菏澤·模擬預測）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學同時到三個不同的社區(qū)參加公益活動，每個社區(qū)至少分配一名同學.設事件“恰有兩人在同一個社區(qū)”，事件“甲同學和乙同學在同一個社區(qū)”，事件“丙同學和丁同學在同一個社區(qū)”，則下面說法正確的是（ ）
A．事件與相互獨立 B．事件與是互斥事件
C．事件與相互獨立 D．事件與是對立事件
考點四、互斥事件的概率加法公式
1．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預測）在古典概型中，若，為互斥但不對立事件，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?br/>A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（ ）．
A． B． C． D．
1．（2022·江蘇·高三專題練習）已知隨機事件，互斥，且，，則 .
2．（2023·全國·高三專題練習）下列說法錯誤的個數(shù)為（ ）
①對立事件一定是互斥事件；
②若，為兩個事件，則；
③若事件，，兩兩互斥，則．
A． B． C． D．
3．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知事件A與事件B是互斥事件，則（ ）
A． B．
C． D．
考點五、利用互斥事件概率公式求概率
1．（2024高三·全國·專題練習）某單位電話總機室內(nèi)有兩部外線電話和，在同一時間內(nèi)，打入電話的概率是0.3，打入電話的概率是0.4，兩部同時打入電話的概率是0.1，則至少有一部電話打入的概率是 ．
2．（22-23高一下·江西南昌·階段練習）已知事件兩兩互斥，若，，，則（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·云南昆明·模擬預測）甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結果相互獨立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全國·高三專題練習）一個盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
2．（2023春·新疆烏魯木齊·高三校考階段練習）某家庭電話,打進的電話響第一聲時被接的概率為,響第二聲時被接的概率為,響第三聲時被接的概率為,響第四聲時被接的概率為,則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為(　　)
A． B． C． D．
考點六、利用對立事件的概率公式求概率
1．（2024·陜西·二模）從甲、乙、丙、丁4名同學中任選2人，則甲未被選中的概率為 ．
2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）設是隨機事件，且，則 ．
1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·模擬預測）某醫(yī)院需要從4名女醫(yī)生和2名男醫(yī)生中抽調(diào)3人參加社區(qū)的老年義診活動，則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西太原·模擬預測）由于天氣原因，夏季相關部門加大對水果儲運環(huán)節(jié)的抽檢力度，堅決杜絕腐爛變質(zhì)的水果流入市場，下表是對運到倉儲點的某種水果進行抽檢后得到的數(shù)據(jù)．
車輛 甲 乙 丙 丁
抽檢數(shù)量/個 35 60 50 55
合格數(shù)量/個 32 56 47 53
若從運到倉儲點的四車水果中隨機抽出一個，則估計這個水果不能上市的概率為（ ）
A．0.06 B．0.08 C．0.1 D．0.12
1．（已知隨機事件，，中，與互斥，與對立，且，，則（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
2．（2024·山西太原·一模）甲，乙兩名同學要從A、B、C、D四個科目中每人選取三科進行學習，則兩人選取的科目不完全相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽·期中）現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進行檢測，則下列事件中互為對立事件的是（ ）
A．恰好兩件正品與恰好四件正品
B．至少三件正品與全部正品
C．至少一件正品與全部次品
D．至少一件正品與至少一件次品
4．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學考試）若為隨機事件，且，則（ ）
A．若為互斥事件，則
B．若為互斥事件，
C．若為相互獨立事件，
D．若，則
5．（24-25高三上·上海·開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
6．（24-25高三上·上海·開學考試）已知事件與事件是互斥事件，則（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）（多選）一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關系中，說法正確的是（ ）
A．事件“兩次均擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
B．事件“最少一次擊中”與事件“最多一次擊中”為互斥事件
C．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件
D．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
8．（2023·河南·模擬預測）從A，B等5處水樣監(jiān)測點中隨機選3處進行水樣檢測，則A，B不同時入選的概率為 ．
一、單選題
1．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）從甲、乙等7名同學中隨機選2名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙至少一人入選的概率為 .
2．（23-24高二下·新疆·期中）某校開設美術、書法、籃球、足球和象棋興趣班．已知該校的學生小明和小華每人報名參加其中的兩種興趣班，且小明至少參加一種球類的興趣班，則小明和小華至少參加同一個興趣班的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）下列有關事件的說法正確的是（ ）
A．若，則事件A，B為對立事件
B．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大
C．若A，B為互斥事件，則
D．若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則
4．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）某商場舉行抽獎活動，箱子里有10個大小一樣的小球，其中紅色的5個，黃色的3個，藍色的2個，現(xiàn)從中任意取出3個，則其中至少含有兩種不同顏色的小球的概率為 .
5．（24-25高二上·江西宜春·階段練習）有一種珍惜物種，對于其每個個體，每天都會發(fā)生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不變，有的概率分裂成兩個，對所有新產(chǎn)生的生物每天也會發(fā)生上述事件，假設開始只有一個這樣的珍惜生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過，則的最大值為 ．
1．（全國·高考真題）從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是
A． B． C． D．
2．（山東·統(tǒng)考高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、乙兩位同學恰好選取同一處景點的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（遼寧·高考真題）4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為
A． B． C． D．
4．（重慶·高考真題）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同．從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為
A． B． C． D．
5．（廣東·高考真題）在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（全國·高考真題）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為
A． B．
C． D．
7．（全國·高考真題）兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是
A． B． C． D．
8．（重慶·高考真題）從5張100元，3張200元，2張300元的奧運預賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價格相同的概率為（ ）．
A． B． C． D．
9．（遼寧·高考真題）甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的概率是，那么恰好有1人解決這個問題的概率是
A． B．
C． D．
10．（福建·高考真題）在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于
A． B． C． D．
11．（天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?br/>A． B． C． D．
12．（湖北·高考真題）甲：、是互斥事件；乙：、是對立事件，那么
A．甲是乙的充要條件 B．甲是乙的充分但不必要條件
C．甲是乙的必要但不充分條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
13．（安徽·高考真題）袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
14．（陜西·高考真題）從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為
A． B． C． D．
15．（重慶·高考真題）從編號為1，2，…，10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為（ ）
A． B． C． D．
16．（江西·高考真題）將1，2，...，9這9個數(shù)平均分成三組，則每組的三個數(shù)都成等差數(shù)列的概率為（ ）
A． B． C． D．
17．（江蘇·高考真題）如圖中有一個信號源和五個接收器．接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號．若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所得六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（ ）．
A． B． C． D．
18．（湖北·高考真題）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是
A． B． C． D．
19．（江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（各面上分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點向上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
20．（全國·統(tǒng)考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
21．（四川·高考真題）12.在集合中任取一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構成以原點為起點的向量a=（a,b）.從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為，其中面積不超過的平行四邊形的個數(shù)為，則
A． B．（ C． D．
22．（全國·高考真題）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為
A． B． C． D．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第05講 古典概率及概率的基本性質(zhì)
（6類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯(lián)考點
2024年新I卷，第14題,5分 計算古典概型問題的概率 求離散型隨機變量的均值 均值的性質(zhì)
2024年新Ⅱ卷，第18題,17分 利用對立事件的概率公式求概率 獨立事件的乘法公式 求離散型隨機變量的均值
2023年新Ⅱ卷，第12題,5分 利用互斥事件的概率公式求概率 獨立事件的乘法公式 獨立重復試驗的概率問題
2022年新I卷，第5題,5分 計算古典概型問題的概率 實際問題中的組合計數(shù)問題
2022年新Ⅱ卷，第19題,12分 利用對立事件的概率公式求概率 頻率分布直方圖的實際應用 由頻率分布直方圖估計平均數(shù) 計算條件概率
2022年全國甲卷（理）， 第15題,5分 計算古典概型問題的概率 組合計數(shù)問題
2022年全國乙卷（理）， 第10題,5分 利用互斥事件的概率公式求概率 獨立事件的乘法公式
2022年全國乙卷（理）， 第13題,5分 計算古典概型問題的概率 實際問題中的組合計數(shù)問題
2021年全國甲卷（理）， 第10題,5分 計算古典概型問題的概率 不相鄰排列問題
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握古典概型的定義，并會相關計算
2.理解并掌握概率的基本性質(zhì)
3.會計算互斥事件及對立事件的概率
【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查古典概型的概率計算及互斥、對立事件的辨析及計算，需強化訓練
知識講解
1．古典概型特點
(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性．
(2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝＝.
求古典概型概率的步驟
(1)判斷試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；
(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率.
3．概率的幾個基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推廣
當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　
判斷互斥、對立事件的兩種方法
(1)定義法
判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．
考點一、古典概型的概率計算
1．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解法一：畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分類討論甲乙的位置，結合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.
【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數(shù)顯然是，
根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
2．（2023·全國·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結果，并求出抽到不同主題的結果，再利用古典概率求解作答.
【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結果如下表：
乙甲 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共有36個不同結果，它們等可能，
其中甲乙抽到相同結果有，共6個，
因此甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的結果有30個，概率.
故選：A
3．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.
【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
所以這2名學生來自不同年級的概率為.
故選：D.
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
【答案】/0.3
【分析】根據(jù)古典概型計算即可
【詳解】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；
其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.
故答案為：.
解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數(shù)為
甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率
故答案為：
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，
若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，
所以2個0不相鄰的概率為.
故選：C.
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，
若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
【答案】.
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．
【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．
故答案為：．
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無序
從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.
[方法二]：有序
從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，
其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.
故選：C.
【整體點評】方法一：將抽出的卡片看成一個組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；
方法二：將抽出的卡片看成一個排列，再利用古典概型的概率公式解出；
考點二、有無放回抽樣的概率
1．（浙江·高考真題）在三張獎券中有一、二等獎各一張，另一張無獎，甲乙兩人各抽取一張（不放回），兩人都中獎的概率為 ．
【答案】
【詳解】試題分析：設一、二等獎各用表示，另張無獎用表示，甲、乙兩人各抽取張的基本事件有共個，其中兩人都中獎的有共個，故所求的概率． 所以答案應填：．
考點：互斥事件的概率加法公式．
2．（浙江·高考真題）盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為，則 ； ．
【答案】
【分析】先確定對應事件，再求對應概率得結果；第二空，先確定隨機變量，再求對應概率，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求結果.
【詳解】因為對應事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，
所以，
隨機變量，
，
，
所以.
故答案為：.
【點睛】本題考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、數(shù)學期望，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
3．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.
【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當，則，則為：
，
，
故有16種，
當，則，同理有16種，
當，則，同理有10種，
當，則，同理有2種，
共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數(shù)為，
故所求概率為.
故答案為：
1．（2024·全國·模擬預測）盒中裝有1，2，3，4四個標號的小球．小明在盒中隨機抽取兩次（不放回），則抽中的兩次小球號碼均為偶數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概率公式求解．
【詳解】由于抽取兩次是不放回的，且盒子里有2個奇數(shù)球，2個偶數(shù)球，
則抽中的兩次小球號碼均為偶數(shù)的概率為：，
故選：D
2．（2024·山東日照·三模）從標有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復編號卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出5張卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重復的基本事件，利用間接法以及古典概型即可求解.
【詳解】5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，共有 種取法，
三次都不重復的取法有種，
由加法原理和乘法原理，
出現(xiàn)重復編號卡片的概率.
故選：B.
3．（2024·廣東廣州·模擬預測）袋子里有四張卡片，分別標有數(shù)字1，2，3，4，從袋子中有放回地依次隨機抽取四張卡片并記下卡片上數(shù)字，則有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是 .
【答案】
【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，將兩張卡片數(shù)字之和不為5的分為5種情況有：即可根據(jù)組合數(shù)求解,結合對立事件的概率公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可知：有放回地依次隨機抽取四張卡片可得所有情況有種，
任意兩張卡片數(shù)字之和不為5的情況有：
①1111，2222，3333，4444，都各有1種，
②1112，1122，1222，有種，
③1113，1133，1333，有種，
④2224，2244，2444有種，
⑤3334，3344，3444有種，
故總的情況有，
故有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是，
故答案為：
考點三、判斷互斥事件與對立事件
1．若干人站成一排，其中為互斥事件的是（ ）
A．“甲站排頭”與“乙站排頭” B．“甲站排頭”與“乙站排尾”
C．“甲站排頭”與“乙不站排頭” D．“甲不站排頭”與“乙不站排頭”
【答案】A
【分析】利用互斥事件的概念，對各個選項逐一分析判斷，即可得出結果.
【詳解】對于選項A，因為“甲站排頭”與“乙站排頭”不能同時發(fā)生，所以選項A正確，
對于選項B，因為“甲站排頭”與“乙站排尾”可以同時發(fā)生，所以選項B不正確，
對于選項C，因為“甲站排頭”與“乙不站排頭” 可以同時發(fā)生，所以選項C不正確，
對于選項D，因為“甲不站排頭”與“乙不站排頭” 可以同時發(fā)生，所以選項D不正確，
故選：A.
2．（2023·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（ ）
A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對立事件
C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對立事件
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件定義判斷求解.
【詳解】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,
事件3可表示為：,事件4可表示為：,
因為，所以事件1與事件3不互斥，A錯誤；
因為為不可能事件，為必然事件，
所以事件1與事件2互為對立事件，B正確；
因為，所以事件2與事件3不互斥，C錯誤；
因為為不可能事件，不為必然事件，
所以事件3與事件4不互為對立事件，D錯誤；
故選：B.
3．（2023·山東聊城·模擬預測）（多選）某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設M=“該家庭中有男孩、又有女孩”，N=“該家庭中最多有一個女孩”，則下列結論正確的是()
A．若該家庭中有兩個小孩，則M與N互斥
B．若該家庭中有兩個小孩，則M與N不相互獨立
C．若該家庭中有三個小孩，則M與N不互斥
D．若該家庭中有三個小孩，則M與N相互獨立
【答案】BCD
【分析】若該家庭中有兩個小孩，寫出對應的樣本空間即可判斷A和B;若該家庭中有三個小孩，寫出對應的樣本空間，即可判斷C和D.
【詳解】若該家庭中有兩個小孩，樣本空間為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
則M與N不互斥，，，，
于是，所以M與N不相互獨立，則A錯誤、B正確；
若該家庭中有三個小孩，樣本空間為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，則M與N不互斥，
，，，于是，
所以M與N相互獨立，則C和D均正確．
故選：BCD．
1．袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球
C．至少有一個白球；紅 黑球各一個 D．恰有一個白球；一個白球一個黑球
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷作答.
【詳解】對于A，至少有一個白球和都是白球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，A不是；
對于B，至少有一個白球和至少有一個紅球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，B不是；
對于C，至少有一個白球和紅、黑球各一個的兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，C是；
對于D，恰有一個白球和一個白球一個黑球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，D不是.
故選：C
2．（2022·全國·模擬預測）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件， “兩枚結果相同”記為事件，那么事件與，與 間的關系是（ ）
A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥
C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立
【答案】A
【分析】利用互斥事件，獨立事件的定義即得.
【詳解】由題意得，，
所以.
所以與，與均相互獨立，與，與均不互斥.
故選：A.
3．（2024·山東菏澤·模擬預測）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學同時到三個不同的社區(qū)參加公益活動，每個社區(qū)至少分配一名同學.設事件“恰有兩人在同一個社區(qū)”，事件“甲同學和乙同學在同一個社區(qū)”，事件“丙同學和丁同學在同一個社區(qū)”，則下面說法正確的是（ ）
A．事件與相互獨立 B．事件與是互斥事件
C．事件與相互獨立 D．事件與是對立事件
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件、對立事件的意義逐項判斷即得.
【詳解】對于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，
顯然，，因此事件與相互獨立，A正確；
對于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯誤；
對于C，顯然事件事件與不可能同時發(fā)生，即，而，事件與相互不獨立，C錯誤；
對于D，顯然事件與可以同時不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對立事件，D錯誤.
故選：A
考點四、互斥事件的概率加法公式
1．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預測）在古典概型中，若，為互斥但不對立事件，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，即可求解.
【詳解】由題意，事件若，為互斥事件，但不對立事件，
根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，可得，所以A正確.
故選：A.
2．（天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：甲不輸概率為選A.
【考點】概率
【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.運用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法公式.對古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計數(shù)其對立事件.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)事件A，，兩兩互斥，求出，進而利用求出答案.
【詳解】因為事件A，，兩兩互斥，所以，
所以.
故選：B．
1．（2022·江蘇·高三專題練習）已知隨機事件，互斥，且，，則 .
【答案】0.5
【分析】根據(jù)兩個事件是互斥事件，得到兩個事件的和事件的概率等于兩個事件的概率的和，根據(jù)所給的兩個事件的概率，相減即可得到結果.
【詳解】隨機事件，互斥，
,
.
故答案為：0.5.
【點睛】本題主要考查互斥事件的概率加法公式，屬于基礎題型.
2．（2023·全國·高三專題練習）下列說法錯誤的個數(shù)為（ ）
①對立事件一定是互斥事件；
②若，為兩個事件，則；
③若事件，，兩兩互斥，則．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義逐項分析可得答案.
【詳解】互斥不一定對立，但對立必互斥，①正確；
只有A與B是互斥事件時，才有，②錯誤；
若事件A，B，C兩兩互斥，則，但不一定是必然事件，
例如，設樣本點空間是由兩兩互斥的事件A，B，C，D組成且事件D與為對立事件，當時，，③錯誤．
故選：C.
3．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知事件A與事件B是互斥事件，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件、必然事件的概念可得答案.
【詳解】因為事件A與事件B是互斥事件，則不一定是互斥事件，所以不一定為0，故選項A錯誤；
因為事件A與事件B是互斥事件，所以，則，而不一定為0，故選項B錯誤；
因為事件A與事件B是互斥事件，不一定是對立事件，故選項C錯誤；
因為事件A與事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故選項D正確.
故選：D.
考點五、利用互斥事件概率公式求概率
1．（2024高三·全國·專題練習）某單位電話總機室內(nèi)有兩部外線電話和，在同一時間內(nèi)，打入電話的概率是0.3，打入電話的概率是0.4，兩部同時打入電話的概率是0.1，則至少有一部電話打入的概率是 ．
【答案】0.6/
【分析】根據(jù)隨機事件的概率計算可得答案.
【詳解】所求的概率為.
故答案為：.
2．（22-23高一下·江西南昌·階段練習）已知事件兩兩互斥，若，，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件定義、并事件概率公式直接求解即可.
【詳解】兩兩互斥，，
，，
.
故選：B.
3．（2024·云南昆明·模擬預測）甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結果相互獨立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設出基本事件，將所求事件表示出來，利用互斥事件的概率加法公式和獨立事件的積的概率公式求解即得.
【詳解】設甲、乙、丙三人參加考試合格的事件分別為，則,而三人中恰有兩人合格記為：,
因考試的結果相互獨立，且，，兩兩互斥，故得三人中恰有兩人合格的概率為：
.
故選：B．
1．（2022·全國·高三專題練習）一個盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
【答案】D
【分析】由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球為互斥事件，根據(jù)互斥事件的和即可求解.
【詳解】因為從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因為從盒子中摸出1個球為黑球或紅球為互斥事件，
所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.
【點睛】本題主要考查了兩個互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.
2．（2023春·新疆烏魯木齊·高三校考階段練習）某家庭電話,打進的電話響第一聲時被接的概率為,響第二聲時被接的概率為,響第三聲時被接的概率為,響第四聲時被接的概率為,則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設“電話響第一聲被接”為事件A,“電話響第二聲被接”為事件B,“電話響第三聲被接”為事件C,“電話響第四聲被接”為事件D,則A,B,C,D兩兩互斥,從而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故選B.
點睛：本題的難點在于把電話在響前四聲內(nèi)被接這個事件分解為哪幾個互斥事件，根據(jù)題意，它可以分解為四個互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).
考點六、利用對立事件的概率公式求概率
1．（2024·陜西·二模）從甲、乙、丙、丁4名同學中任選2人，則甲未被選中的概率為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求出甲被選中的概率，結合對立事件的概念即可求解.
【詳解】甲被選中，只需從其余3人中，再選1人，即有種方法，
從4人中選2人，共有種方法，
所以甲被選中的概率為，
所以甲未被選中的概率為.
故答案為：
2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意確定出現(xiàn)一次6點向上的概率，可得沒有一次6點向上的概率，利用對立事件的概率關系求解即可.
【詳解】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲一次，出現(xiàn)一次6點向上的概率為，
所以先后拋擲2次，沒有一次6點向上的概率為，
所以至少出現(xiàn)一次6點向上的概率為.
故選：B.
3．（2024·全國·模擬預測）設是隨機事件，且，則 ．
【答案】/0.125
【分析】求出，從而根據(jù)事件的運算關系求出概率.
【詳解】因為，所以，
故．
故答案為：
1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先計算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案.
【詳解】∵，，
∴，
∵事件A，B是互斥事件，
∴．
故選：C
2．（2023·河北·模擬預測）某醫(yī)院需要從4名女醫(yī)生和2名男醫(yī)生中抽調(diào)3人參加社區(qū)的老年義診活動，則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)古典概率模型以及組合數(shù)的運算公式求解.
【詳解】設事件表示：至少有1名男醫(yī)生參加，
則事件表示：沒有1名男醫(yī)生參加，即三名都是女醫(yī)生，
所以,所以,
故選:C.
3．（2024·山西太原·模擬預測）由于天氣原因，夏季相關部門加大對水果儲運環(huán)節(jié)的抽檢力度，堅決杜絕腐爛變質(zhì)的水果流入市場，下表是對運到倉儲點的某種水果進行抽檢后得到的數(shù)據(jù)．
車輛 甲 乙 丙 丁
抽檢數(shù)量/個 35 60 50 55
合格數(shù)量/個 32 56 47 53
若從運到倉儲點的四車水果中隨機抽出一個，則估計這個水果不能上市的概率為（ ）
A．0.06 B．0.08 C．0.1 D．0.12
【答案】A
【分析】根據(jù)古典概型的概率計算方法進行計算，再結合對立事件概率可求問題的答案.
【詳解】由題意可知，該水果合格的概率為，
則隨機抽出一個，估計其不能上市的概率為0.06．
故選：A
1．（已知隨機事件，，中，與互斥，與對立，且，，則（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【分析】由對立事件概率關系得到發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計算公式求P(A + B).
【詳解】因為，事件與對立，所以，又，與互斥，
所以.
故選：C.
2．（2024·山西太原·一模）甲，乙兩名同學要從A、B、C、D四個科目中每人選取三科進行學習，則兩人選取的科目不完全相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】運用分步乘法原理，結合古典概型和對立事件概率公式求解.
【詳解】兩人選取科目的方法共有種，科目完全相同的方法共有種，
科目不完全相同方法共有12種，故所求概率為.
故選：D.
3．（23-24高二下·安徽·期中）現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進行檢測，則下列事件中互為對立事件的是（ ）
A．恰好兩件正品與恰好四件正品
B．至少三件正品與全部正品
C．至少一件正品與全部次品
D．至少一件正品與至少一件次品
【答案】C
【分析】根據(jù)對立事件的定義判斷各選項.
【詳解】根據(jù)題意，選項A中事件為互斥事件，不是對立事件；
選項B、D中事件可能同時發(fā)生，全部正品是至少三件正品的子事件；
選項C中事件為對立事件，全部次品不能存在有正品的事件.
故選：C.
4．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學考試）若為隨機事件，且，則（ ）
A．若為互斥事件，則
B．若為互斥事件，
C．若為相互獨立事件，
D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件、條件概率、全概率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，若為互斥事件，則，A選項錯誤.
B選項，若為互斥事件，，B選項錯誤.
C選項，若為相互獨立事件，
，所以C選項錯誤.
D選項，，
即，解得，所以D選項正確.
故選：D
5．（24-25高三上·上海·開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】寫出事件的全部基本事件，再根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷即可.
【詳解】解：設事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球｝，
則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑) }；
事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，
事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及對立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對立的事件.
故選：B
6．（24-25高三上·上海·開學考試）已知事件與事件是互斥事件，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】舉反例排除ABC，再結合互斥事件定義，事件運算，概率性質(zhì)證明D.
【詳解】若隨機試驗為拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件，，
則事件與事件是互斥事件，
此時，，，
所以，A錯誤；
，，，B錯誤；
，C錯誤；
因為事件與事件是互斥事件，
所以，所以為必然事件，
所以，D正確.
故選：D.
7．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）（多選）一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關系中，說法正確的是（ ）
A．事件“兩次均擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
B．事件“最少一次擊中”與事件“最多一次擊中”為互斥事件
C．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件
D．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
【答案】AC
【分析】寫出事件包含的基本事件，再根據(jù)互斥事件和對立事件的概念作出判斷.
【詳解】對于A，事件“至多一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均未擊中“，
與事件“兩次均擊中”是對立事件，故A正確；
對于B，事件“最少一次擊中”包含“一次擊中”與 “二次擊中”，
事件“最多次擊中”包含“一次擊中”與 “0次擊中”，
故兩事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故B不正確；
對于C，事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”不能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確；
對于D，事件“兩次均未擊中”的對立事件是“至少一次擊中”，故D錯誤.
故選：AC
8．（2023·河南·模擬預測）從A，B等5處水樣監(jiān)測點中隨機選3處進行水樣檢測，則A，B不同時入選的概率為 ．
【答案】/0.7
【分析】對另外3處水樣監(jiān)測點編號，利用列舉法結合古典概率求解作答.
【詳解】設5處水樣監(jiān)測點分別為,,,,，從中隨機選擇3處的結果有：
，共10種情況，
其中,同時入選的有，共3種情況，
所以,不同時入選的概率.
故答案為：
一、單選題
1．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）從甲、乙等7名同學中隨機選2名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙至少一人入選的概率為 .
【答案】
【分析】考慮甲、乙均沒有入選的情況，利用組合數(shù)求解出對應概率即可.
【詳解】設“甲、乙至少一人入選”為事件，則“甲、乙均沒有入選”為事件，
所以，
故答案為：.
2．（23-24高二下·新疆·期中）某校開設美術、書法、籃球、足球和象棋興趣班．已知該校的學生小明和小華每人報名參加其中的兩種興趣班，且小明至少參加一種球類的興趣班，則小明和小華至少參加同一個興趣班的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】運用古典概型，結合組合和對立事件概率知識求解即可.
【詳解】小明和小華參加興趣班的方案有種，
其中小明和小華參加的興趣班都不同的情況有種，
故所求概率．
故選：D.
3．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）下列有關事件的說法正確的是（ ）
A．若，則事件A，B為對立事件
B．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大
C．若A，B為互斥事件，則
D．若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則
【答案】C
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義，條件概率的定義判斷．
【詳解】對于A，若在不同試驗下，雖然有，但事件和不對立．若在同一試驗下，說明事件和對立．所以A錯誤；
對于B，若事件和都為不可能事件，則B錯誤；
對于C，互斥，若對立，則，若不對立，則，C正確；
對于D，若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則，則D錯誤，
故選：C．
4．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）某商場舉行抽獎活動，箱子里有10個大小一樣的小球，其中紅色的5個，黃色的3個，藍色的2個，現(xiàn)從中任意取出3個，則其中至少含有兩種不同顏色的小球的概率為 .
【答案】
【分析】應用組合數(shù)求取出3個為同一種顏色的取法、任取3個球的取法，應用古典概型、對立事件概率求法求至少含有兩種不同顏色的小球的概率.
【詳解】由題意，取出3個為同一種顏色有種取法，
10個大小一樣的小球任取3個球有種取法，
所以至少含有兩種不同顏色的小球的概率為.
故答案為：
5．（24-25高二上·江西宜春·階段練習）有一種珍惜物種，對于其每個個體，每天都會發(fā)生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不變，有的概率分裂成兩個，對所有新產(chǎn)生的生物每天也會發(fā)生上述事件，假設開始只有一個這樣的珍惜生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過，則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】若開始有個珍稀生物、最終滅絕的概率則為，由題知，由于，則，解之可得.
【詳解】設開始有一個珍稀生物、最終滅絕的概率為，
那么若開始有個珍稀生物、最終滅絕的概率則為，
由題意知，
從而可得，即，
因為，所以，所以。
解之可得，故的最大值為.
故答案為：
1．（全國·高考真題）從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解法一：由排列組合知識可知，所求概率；
解法二：任取兩個數(shù)可能出現(xiàn)的情況為（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合條件的情況為（1,3）、（2,4），故.
【考點定位】本題考查古典概型的概率運算，考查學生的基本運算能力.
2．（山東·統(tǒng)考高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、乙兩位同學恰好選取同一處景點的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】應用古典概型的概率求法，求甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率即可.
【詳解】甲、乙兩位同窗選取景點的種數(shù)為，其中甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的種數(shù)為2，
∴甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率為．
故選：D
3．（遼寧·高考真題）4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】: 取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的抽取方法是一奇一偶，C C÷C=
4．（重慶·高考真題）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同．從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為總的滔法而所求事件的取法分為三類，即芝麻餡湯圓、花生餡湯圓．豆沙餡湯圓取得個數(shù)分別按1.1.2；1，2，1；2，1，1三類，故所求概率為
．
5．（廣東·高考真題）在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可.
【詳解】從五個球中任取兩個，
共有種取法，
其中1，2；1，5；2，4，三種取法數(shù)字之和為3或6，
利用古典概型可得取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是，
故選C.
【點睛】在求解有關古典概型概率的問題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.
6．（全國·高考真題）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應用古典概率的計算公式求解．
【詳解】設其中做過測試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過測試的取法有共6種，
所以恰有2只做過測試的概率為，選B．
【點睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．應用列舉法寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復，將兔子標注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出錯．
7．（全國·高考真題）兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解.
【詳解】兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．
【點睛】本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價轉(zhuǎn)化的思想解題．
8．（重慶·高考真題）從5張100元，3張200元，2張300元的奧運預賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價格相同的概率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意知，本題是一個古典概型，滿足條件的事件包含的結果比較多，可以從它的對立事件來考慮，取出三張門票的價格均不相同，共有種取法，試驗發(fā)生的所有事件總的取法有種，用對立事件概率得到結果.
【詳解】由題意知本題是一個古典概型，滿足條件的事件包含的結果比較多，可以從它的對立事件來考慮，取出的三張門票的價格均不相同，共有種取法，試驗發(fā)生的所有事件總的取法有種，三張門票的價格均不相同的概率是，至少有2張價格相同的概率為
故答案選：C
【點睛】本題主要考查古典概型和對立事件，正難則反是解題時要時刻注意的，屬于基礎題.
9．（遼寧·高考真題）甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的概率是，那么恰好有1人解決這個問題的概率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】分析：先分成兩個互斥事件：甲解決問題乙未解決問題和甲解決問題乙未解決問題，再分別求概率，最后用加法計算.
詳解：因為甲解決問題乙未解決問題的概率為p1(1－p2)，甲未解決問題乙解決問題的概率為p2(1－p1)，則恰有一人解決問題的概率為p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故選B.
點睛：本題考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.
10．（福建·高考真題）在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：包含恰摸到兩個黑球，一個白球，或是恰好三個黑球，為互斥事件，所以概率是．
考點：1．互斥事件和的概率；2．古典概型．
11．（天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：甲不輸概率為選A.
【考點】概率
【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.運用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法公式.對古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計數(shù)其對立事件.
12．（湖北·高考真題）甲：、是互斥事件；乙：、是對立事件，那么
A．甲是乙的充要條件 B．甲是乙的充分但不必要條件
C．甲是乙的必要但不充分條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
【答案】C
【詳解】分析:根據(jù)互斥事件和對立事件的概念，根據(jù)充分條件和必要條件的概念分析解答.
詳解：當、是互斥事件時，、不一定是對立事件，所以甲是乙的非充分條件.
當、是對立事件時，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要條件.
所以甲是乙的必要非充分條件.
故選C.
點睛：本題主要考查互斥事件和對立事件的聯(lián)系和區(qū)別，考查充分條件和必要條件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定對立，甲乙對立，則甲乙一定互斥.
13．（安徽·高考真題）袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】試題分析：由題意．
故選B．
14．（陜西·高考真題）從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】試題分析：5點中任選2點的選法有，距離不小于該正方形邊長的選法有
考點：古典概型概率
15．（重慶·高考真題）從編號為1，2，…，10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】所取4個球的最大號碼是6，則編號為6的球必選，再從編號為1，2，3，4，5的球中選3個，從而求出其概率.
【詳解】所取4個球的最大號碼是6，則編號為6的球必選，再從編號為1，2，3，4，5的球中選3個，
則所取4個球的最大號碼是6的概率為，
故選：B．
16．（江西·高考真題）將1，2，...，9這9個數(shù)平均分成三組，則每組的三個數(shù)都成等差數(shù)列的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先把9個數(shù)分成3組，根據(jù)排列組合的性質(zhì)可求得所有的組的數(shù)，然后把三個數(shù)成等差數(shù)列的組，分別枚舉出來，可知共有5組，然后利用概率的性質(zhì)求得答案．
【詳解】解：9個數(shù)分成三組，共有組，其中每組的三個數(shù)均成等差數(shù)列，有
，2，，，5，，，8，；
，2，，，6，，，7，；
，3，，，4，，，8，；
，4，，，5，，，6，；
，5，，，3，，，7，，共5組．
所求概率為．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了等差關系的確定和概率的性質(zhì)．對于數(shù)量比較小的問題中，可以用枚舉的方法解決問題直接，屬于中檔題．
17．（江蘇·高考真題）如圖中有一個信號源和五個接收器．接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號．若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所得六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先將左端的六個接線點隨機地平均分成三組可能出現(xiàn)的所有結果找出來，再根據(jù)五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個串聯(lián)線路中，求出此種情況可能出現(xiàn)的結果，再運用古典概型的概率公式即可得出所求事件概率．
【詳解】解：根據(jù)題意，設右端連線方式如圖，
對于左端的六個接線點，將其隨機地平均分成三組，共有種結果，
五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個串聯(lián)線路中，則1必須和3、4、5、6中其中1個相接，接好后，2只有2種情況可選，剩下的接線點只有1種接法，所以共有種結果，
同理，右端連線方式變化時，左端的接線方法都有15種，其中有8種可以收到信號，
∴這五個接收器能同時接收到信號的概率是，
故選：D．
【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，考查平均分組問題，屬于中檔題．
18．（湖北·高考真題）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率為，故選C．
考點：相互獨立事件概率的計算．
19．（江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（各面上分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點向上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正難則反原則，先求出“拋擲3次都沒有出現(xiàn)6點向上”事件的概率，由對立事件的概率性質(zhì)，計算可得答案.
【詳解】解：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后擲3次，這3次之間是相互獨立，
記事件為“拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上”，
則為“拋擲3次都沒有出現(xiàn)6點向上”，
記事件為“第次中，沒有出現(xiàn)6點向上”，，
則，又，所以，
所以.
故選：D.
【點睛】本題考查對立事件的性質(zhì)和概率計算，利用了正難則反的原則，屬于基礎題.
20．（全國·統(tǒng)考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【答案】D
【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對三者進行比較即可解決
【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，
則此時連勝兩盤的概率為
則
；
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，
則
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.
故選：D
21．（四川·高考真題）12.在集合中任取一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構成以原點為起點的向量a=（a,b）.從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為，其中面積不超過的平行四邊形的個數(shù)為，則
A． B．（ C． D．
【答案】B
【詳解】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發(fā)生包含的事件是從數(shù)字中選出兩個數(shù)字，組成向量，
a的取法有2種，b的取法有3種，故向量 a =（a，b）有6個，
從中任取兩個向量共=15種結果，
滿足條件的事件是平行四邊形的面積不超過4的由列舉法列出共有5個，
根據(jù)等可能事件的概率得到P="5" /15 ="1" /3故選B
22．（全國·高考真題）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】試題分析：由已知，4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動共有種不同的結果，而周六、周日都有同學參加公益活動有兩類不同的情況：（1）一天一人，另一天三人，有種不同的結果；（2）周六、日各2人，有種不同的結果，故周六、周日都有同學參加公益活動有種不同的結果，所以周六、周日都有同學參加公益活動的概率為，選D．
【考點定位】1、排列和組合；2、古典概型的概率計算公式．
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