資源簡介

第05講 空間向量的概念及其運(yùn)算、
空間向量法求空間角與空間距離
（7類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第17題,15分 面面角的向量求法及應(yīng)用 由二面角大小求線段長度 證明線面平行 證明面面垂直
2024年新Ⅱ卷，第7題,15分 求線面角 錐體體積的有關(guān)計(jì)算 臺體體積的有關(guān)計(jì)算
2024年新Ⅱ卷，第17題,15分 求平面的法向量 面面角的向量求法 證明線面垂直 線面垂直證明線線垂直
2023年新I卷，第18題,12分 空間位置關(guān)系的向量證明 面面角的向量求法 已知面面角求其他量 無
2023年新Ⅱ卷，第20題,12分 證明線面垂直 線面垂直證明線線垂直 面面角的向量求法
2022年新I卷，第9題,5分 求異面直線所成的角 求線面角 無
2022年新I卷，第19題,5分 求點(diǎn)面距離 面面角的向量求法 無
2022年新Ⅱ卷，第20題,12分 面面角的向量求法 證明線面平行
2021年新I卷，第12題,5分 求空間向量的數(shù)量積 空間向量的坐標(biāo)表示 垂直關(guān)系
2021年新I卷，第20題,12分 由二面角大小求線段長度或距離 錐體體積的有關(guān)計(jì)算 線面垂直證明線線垂直 面面垂直證線面垂直
2021年新Ⅱ卷，第19題,12分 面面角的向量求法 證明面面垂直
2020年新I卷，第20題,12分 線面角的向量求法 證明線面垂直
2020年新I卷，第20題,12分 線面角的向量求法 證明線面垂直
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-15分
【備考策略】1.掌握空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，會運(yùn)用空間兩點(diǎn)間的距離公式
2.理解空間向量的概念，理解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示
3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，會求平面法向量
4.熟練掌握空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，會運(yùn)用空間向量證明平行、垂直關(guān)系
5.會運(yùn)用空間向量求空間距離及空間角
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般在解答題中考查線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其性質(zhì)，考查空間距離和空間角的求解，需強(qiáng)化鞏固復(fù)習(xí).
知識講解
1．空間向量及其有關(guān)概念
概念 語言描述
共線向量 (平行向量) 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合
共面向量 平行于同一個平面的向量
共線向量定理 對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b 存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理 若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面 存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb
空間向量基本定理及推論 定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算
(1)兩個空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b a·b＝0(a，b為非零向量)
③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)量積 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夾角公式 cos〈a，b〉＝
3．直線的方向向量與平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．
空間位置關(guān)系的向量表示
設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則
(1)線線平行：l∥m a∥b a＝kb，k∈R；
線面平行：l∥α a⊥u a·u＝0；面面平行：α∥β u∥ν u＝kν，k∈R.
(2)線線垂直：l⊥m a⊥b a·b＝0；
線面垂直：l⊥α a∥u a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β u⊥ν u·ν＝0.
兩條異面直線所成角的求法
設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ的范圍為(0，]，公式為cos θ＝
直線與平面所成角的求法
設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，
則sin θ＝|cos β|＝.
求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．
如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足
|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．
空間兩點(diǎn)間的距離公式
若，，則 =.
點(diǎn)到平面的距離
（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.
考點(diǎn)一、空間向量的基本概念及其運(yùn)算
1．（廣東·高考真題）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝ ．
2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則（ ）
A． B．0 C．3 D．
3．（上海·高考真題）在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
1．（廣東·高考真題）已知向量，則下列向量中與成的是
A． B． C． D．
2．（寧夏·高考真題）已知向量，且，則 ．
3．（23-24高二下·湖北·開學(xué)考試）如圖，為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，，則（ ）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)二、空間向量求異面直線所成角
1．（全國·高考真題）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A． B． C． D．
2．（浙江·高考真題）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是 ．
1．3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）設(shè)與為兩個正四棱錐，正方形ABCD的邊長為且，點(diǎn)M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）直三棱柱中，底面是以A為直角的腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為，為上的點(diǎn)，若直線與直線所成角的余弦值為，則長為（ ）
A．1 B． C． D．
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，，是棱的中點(diǎn)，是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)三、空間向量求線面角
1．（2022·全國·高考真題）在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
3．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）如圖所示，在等腰梯形中，，，，E為CD中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)O，將沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）．
(1)求證：平面平面PBC；
(2)若，試判斷線段PB上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線PC與平面所成角的正弦值為，若存在，求Q在線段PB上的位置；若不存在，說明理由．
4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.
(1)求二面角的正切值；
(2)點(diǎn)F為棱上一點(diǎn)，滿足，在棱上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線與平面所成的角為 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
1．（2024·江蘇·三模）如圖，在三棱錐中，底面為上一點(diǎn)，且平面平面，三棱錐的體積為.
(1)求證：為的中點(diǎn)；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
2．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
3．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖，在三棱臺中，平面平面，，，．

(1)求三棱臺的高；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求．
4．（2024·河北承德·二模）如圖1，在直角中，為中點(diǎn)，，取中點(diǎn)，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時，取中點(diǎn)，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.
考點(diǎn)四、空間向量求二面角
1．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
2．（2024·全國·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
3．（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．
4．（2024·山東日照·三模）在五面體中，，.

(1)求證：；
(2)若，，，點(diǎn)到平面的距離為，求二面角的余弦值.
5．（2024·江蘇·一模）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；
(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長．
1．1．1．1．
1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺中，，，．
(1)記平面與平面的交線為，證明：；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值．
2．（2024·河北保定·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且.E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，平面與PB，PC分別交于M，N兩點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的正弦值.
3．（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面．
(1)求證：；
(2)若，．
（i）求證：平面；
（ii）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值．
4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，為線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn).
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．
5．（2024·山西·二模）如圖，四棱錐中，二面角的大小為，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.
考點(diǎn)五、空間向量求空間距離
1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
2．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．
(1)求四棱錐的表面積
(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；
(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點(diǎn)到平面的距離.
1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn).
(1)證明：；
(2)求直線與平面的距離.
2．（2024·天津·二模）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段上一點(diǎn)，，四邊形為矩形.

(1)若是的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值：
(3)若點(diǎn)到平面的距離為，求的長.
3．（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，圓O的半徑為1，，點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn)．
(1)證明：平面DAF；
(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45°，求點(diǎn)G到平面DEF的距離．
考點(diǎn)六、立體幾何小題綜合
1．（2022·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
選項(xiàng)BCD解法二：
2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知三棱柱滿足，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）（多選）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（ ）
A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面
C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為
5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）（多選）如圖，棱長為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．點(diǎn)到平面距離相等
B．若平面，且與所成角是，則點(diǎn)的軌跡是橢圓
C．三棱錐的外接球的表面積為
D．若線段，則的最小值是
1．（2024·山西·三模）正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則三棱錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線
3．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為
C．在上存在點(diǎn)Q，使得 D．在上存在點(diǎn)P，使得平面
4．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為 B．平面
C．平面 D．二面角的余弦值為
5．（2024·重慶九龍坡·三模）（多選）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線平面
B．直線與平面所成角的正切值為
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球表面積為
考點(diǎn)七、范圍與最值問題
1．（2024·河南·一模）三棱錐中，，，，，點(diǎn)M，N分別在線段，上運(yùn)動.若二面角的大小為，則的最小值為 .
2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動，則線段的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）如圖，在中，，在直角梯形中，，，記二面角的大小為，若，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為 ．
4．（2024·河北滄州·一模）如圖，已知點(diǎn)是圓臺的上底面圓上的動點(diǎn)，在下底面圓上，，則直線與平面所成角的余弦值的最小值為 ．
5．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）（多選）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M，N分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P為四邊形（含邊界）內(nèi)一動點(diǎn)，且，則（ ）
A．平面 B．點(diǎn)P的軌跡長度為
C．存在點(diǎn)P，使得平面 D．點(diǎn)P到平面距離的最大值為
6．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.
(1)若平面平面，求、的值；
(2)若平面，求的最小值.
1．（2024·浙江金華·三模）四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個頂點(diǎn)均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為 ．
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）棱長為2的正方體中，設(shè)點(diǎn)為底面內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離之和的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·廣東深圳·期中）在長方體中，，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足平面，則的最小值為 ，此時點(diǎn)到直線的距離為 .
4．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）正方體的棱長為為該正方體側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），若分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為 .
5．（2024·山東·二模）（多選）如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動點(diǎn)，且，，，則（ ）
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若長度為定值，則時三棱錐體積最大
D．當(dāng)時，直線與所成角的余弦值的最小值為
6．（23-24高三下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.
(1)當(dāng)時，求證平面；
(2)設(shè)為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時的值.
一、單選題
1．（23-24高二下·浙江·期中）空間點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2024·河南開封·三模）在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為3時 ．
5．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則直線與平面所成角的正弦值為 ．
三、解答題
6．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，E為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)F．
(1)證明：F為的中點(diǎn)；
(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在平行六面體中，，．
(1)若空間有一點(diǎn)滿足：，求；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值．
8．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在四棱錐中，．

(1)求證：
(2)當(dāng)點(diǎn)到平面的距離為時，求直線與平面所成的角的正弦值．
9．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，平行六面體的體積為，，，，．
(1)求點(diǎn)A到平面的距離；
(2)求二面角的正弦值．
10．（22-23高二上·海南省直轄縣級單位·期末）四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，，平面平面ABCD．

(1)證明：；
(2)若，且PA與平面ABCD成角為，點(diǎn)E在棱PC上，且，求平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值．
一、單選題
1．（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，則點(diǎn)E到直線的距離為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點(diǎn)為圓弧上的動點(diǎn)．當(dāng)三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，且分別為的中點(diǎn)，是內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且平面，則下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐的外接球的體積為
B．的取值范圍為
C．直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為
D．當(dāng)點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離之比為時，
4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，正四棱錐每一個側(cè)面都是邊長為4的正三角形，若點(diǎn)M在四邊形ABCD內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，N為PD的中點(diǎn)，則（ ）
A．當(dāng)M為AD的中點(diǎn)時，異面直線MN與PC所成角為
B．當(dāng)平面PBC時，點(diǎn)M的軌跡長度為
C．當(dāng)時，點(diǎn)M到AB的距離可能為
D．存在一個體積為的圓柱體可整體放入正四棱錐內(nèi)
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，動點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時，與平面所成角的正弦值是 ．
四、解答題
6．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
(1)證明：平面ABC．
(2)若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．
7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，.
(1)求證：；
(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.
8．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，，.
(1)當(dāng)時，求證：平面；
(2)設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.
9．（2024·浙江紹興·三模）如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．
(1)求證：為三棱錐外接球的球心；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時的值．
10．（2024·山東煙臺·三模）如圖，在直三棱柱中，，M，N分別為，中點(diǎn)，且．
(1)證明：；
(2)若D為棱上的動點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角最大時，求二面角的余弦值.
1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
2．（2021·全國·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
3．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
4．（2020·江蘇·高考真題）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．
（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；
（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．
5．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
6．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．
7．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
8．（2019·天津·高考真題）如圖，平面，，.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.
9．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
10．（2018·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第05講 空間向量的概念及其運(yùn)算、
空間向量法求空間角與空間距離
（7類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第17題,15分 面面角的向量求法及應(yīng)用 由二面角大小求線段長度 證明線面平行 證明面面垂直
2024年新Ⅱ卷，第7題,15分 求線面角 錐體體積的有關(guān)計(jì)算 臺體體積的有關(guān)計(jì)算
2024年新Ⅱ卷，第17題,15分 求平面的法向量 面面角的向量求法 證明線面垂直 線面垂直證明線線垂直
2023年新I卷，第18題,12分 空間位置關(guān)系的向量證明 面面角的向量求法 已知面面角求其他量 無
2023年新Ⅱ卷，第20題,12分 證明線面垂直 線面垂直證明線線垂直 面面角的向量求法
2022年新I卷，第9題,5分 求異面直線所成的角 求線面角 無
2022年新I卷，第19題,5分 求點(diǎn)面距離 面面角的向量求法 無
2022年新Ⅱ卷，第20題,12分 面面角的向量求法 證明線面平行
2021年新I卷，第12題,5分 求空間向量的數(shù)量積 空間向量的坐標(biāo)表示 垂直關(guān)系
2021年新I卷，第20題,12分 由二面角大小求線段長度或距離 錐體體積的有關(guān)計(jì)算 線面垂直證明線線垂直 面面垂直證線面垂直
2021年新Ⅱ卷，第19題,12分 面面角的向量求法 證明面面垂直
2020年新I卷，第20題,12分 線面角的向量求法 證明線面垂直
2020年新I卷，第20題,12分 線面角的向量求法 證明線面垂直
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-15分
【備考策略】1.掌握空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，會運(yùn)用空間兩點(diǎn)間的距離公式
2.理解空間向量的概念，理解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示
3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，會求平面法向量
4.熟練掌握空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，會運(yùn)用空間向量證明平行、垂直關(guān)系
5.會運(yùn)用空間向量求空間距離及空間角
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般在解答題中考查線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其性質(zhì)，考查空間距離和空間角的求解，需強(qiáng)化鞏固復(fù)習(xí).
知識講解
1．空間向量及其有關(guān)概念
概念 語言描述
共線向量 (平行向量) 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合
共面向量 平行于同一個平面的向量
共線向量定理 對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b 存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理 若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面 存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb
空間向量基本定理及推論 定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算
(1)兩個空間向量的數(shù)量積：
①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
②a⊥b a·b＝0(a，b為非零向量)
③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)量積 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夾角公式 cos〈a，b〉＝
3．直線的方向向量與平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．
空間位置關(guān)系的向量表示
設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則
(1)線線平行：l∥m a∥b a＝kb，k∈R；
線面平行：l∥α a⊥u a·u＝0；
面面平行：α∥β u∥ν u＝kν，k∈R.
(2)線線垂直：l⊥m a⊥b a·b＝0；
線面垂直：l⊥α a∥u a＝ku，k∈R；
面面垂直：α⊥β u⊥ν u·ν＝0.
兩條異面直線所成角的求法
設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ的范圍為(0，]，公式為cos θ＝
直線與平面所成角的求法
設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，
則sin θ＝|cos β|＝.
求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．
如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足
|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．
空間兩點(diǎn)間的距離公式
若，，則 =.
點(diǎn)到平面的距離
（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.
考點(diǎn)一、空間向量的基本概念及其運(yùn)算
1．（廣東·高考真題）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝ ．
【答案】
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積表示求解.
【詳解】解：
，解得
故答案為：
2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的垂直和平行，先求出的值，再求所給向量的模.
【詳解】由，
由，.
所以.
故選：D
3．（上海·高考真題）在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空間向量線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，
所以.
故選：A.
1．（廣東·高考真題）已知向量，則下列向量中與成的是
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】試題分析：對于A選項(xiàng)中的向量，，則；
對于B選項(xiàng)中的向量，，則；
對于C選項(xiàng)中的向量，，則；
對于D選項(xiàng)中的向量，此時，兩向量的夾角為.故選B.
【考點(diǎn)定位】本題考查空間向量數(shù)量積與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中等題.
2．（寧夏·高考真題）已知向量，且，則 ．
【答案】3
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
可得，
因?yàn)椋獾茫蚀鸢笧?.
3．（23-24高二下·湖北·開學(xué)考試）如圖，為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，故.
【詳解】為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
故，，
，
因?yàn)椋裕?br/>.
故選：A
考點(diǎn)二、空間向量求異面直線所成角
1．（全國·高考真題）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.
詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,
因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角的余弦值為，選C.
點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.
2．（浙江·高考真題）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是 ．
【答案】
【分析】方法一：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線所成角的向量公式結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出．
【詳解】［方法一］：異面直線所成角的向量公式
設(shè)直線與所成角為，設(shè)是中點(diǎn)，由已知得，如圖，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，作于，翻折過程中，始終與垂直，，則，，因此可設(shè)，則，與平行的單位向量為，
所以＝，所以時，取最大值．
故答案為：．
［方法二］：幾何法
由翻折過程可以看出D'在以H為圓心，DH為半徑的圓上運(yùn)動，設(shè)E是圓H與平面ABC的交點(diǎn)， 易知E在CB上，且CE=1．設(shè)直線AC與BD'所成角為，則，，
設(shè)點(diǎn)在平面上的投影為，，因此．
［方法三］：考慮純幾何運(yùn)算
由折疊過程可知，在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，且垂直圓所在的平面，如圖,作于，則，與所成角即為，且，,要使最大只需最小，
在中，為定值，即只要最短,
，因此．
［方法四］：【最優(yōu)解】利用三余弦定理
前面過程同方法三, 與所成角即為，
是點(diǎn)在平面上的投影，可知：
觀察得當(dāng)與點(diǎn)重合時，和同時達(dá)到最小，
和同時取最大，此時有最大值，
最后我們不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)在翻折過程中，，那么，即當(dāng)與重合時有最大值.
【整體點(diǎn)評】方法一：利用建系求異面直線所成角，是通性通法，易操作，但此題運(yùn)算較復(fù)雜；
方法二：利用幾何性質(zhì)求異面直線所成角，計(jì)算簡單，需要較好的空間想象能力；
方法三：利用幾何法找到異面直線所成角的平面角，計(jì)算簡單，需要較好的空間想象能力；
方法四：利用三余弦定理分析最簡單，但是三余弦定理不是教材要求必需掌握的內(nèi)容．
3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）設(shè)與為兩個正四棱錐，正方形ABCD的邊長為且，點(diǎn)M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立適當(dāng)空間站直角坐標(biāo)系后，借助空間向量表示出的余弦值，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得解.
【詳解】連接交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，所以，
因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，
設(shè)，在直角中，有，故，
所以，
則，
所以，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為，
因此的最小值為.

故選：A.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）直三棱柱中，底面是以A為直角的腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為，為上的點(diǎn)，若直線與直線所成角的余弦值為，則長為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，可得，利用空間向量求異面直線的夾角，列式求解即可.
【詳解】以A為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則．
設(shè)，則，
所以，解得(負(fù)值舍去).
故選：A．
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)空間向量法求線線角即可.
【詳解】以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過作的垂線交于，
以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)橹比庵校?br/>所以，
所以，
設(shè)異面直線與所成角為，
所以.
故選：C.
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面平面，以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可解.
【詳解】記的 中點(diǎn)分別為，因?yàn)椋裕?br/>同理，，記，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，
易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，
以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則
所以，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，，是棱的中點(diǎn)，是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將三棱錐補(bǔ)形成長、寬、高分別為4，2，2的長方體，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可將三棱錐補(bǔ)形成長、寬、高分別為4，2，2的長方體中，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，故，，
所以，
所以異面直線與所成角的大小為．
故選：B．
考點(diǎn)三、空間向量求線面角
1．（2022·全國·高考真題）在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，
因?yàn)椋?br/>所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
又，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以；
（2）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，過點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．
【詳解】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．
∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，則，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
（2）因?yàn)槠矫妫^點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)， ，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為
由，得，取，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴．
3．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）如圖所示，在等腰梯形中，，，，E為CD中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)O，將沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）．
(1)求證：平面平面PBC；
(2)若，試判斷線段PB上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線PC與平面所成角的正弦值為，若存在，求Q在線段PB上的位置；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，Q是PB的中點(diǎn)．
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理可得答案；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面AEQ的法向量，由線面角的向量求法求出可得答案.
【詳解】（1）如圖，在原圖中連接BE，由于，，，
所以四邊形ABED是平行四邊形．
由于，所以四邊形ABED是菱形，所以．
由于，，所以四邊形ABCE是平行四邊形，
所以，所以．
在翻折過程中，，保持不變，
即，保持不變．
由于，OP，平面POB，
所以平面POB，由于平面PBC，
所以平面平面PBC；
（2）由上述分析可知，在原圖中，，
所以，所以．
折疊后，若，則，所以，
由于，，平面ABCE，
所以平面ABCE．所以O(shè)E，OB，PO兩兩相互垂直．
由此以O(shè)為原點(diǎn)，
分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
，，，，
設(shè)，，，
，，
設(shè)平面AEQ的法向量為，
則，令得，
故，
設(shè)直線PC與平面AEQ所成角為θ，則
，
所以，，
，解得，
所以，因?yàn)椋?br/>、的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
即Q是PB的中點(diǎn)．
4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.
(1)求二面角的正切值；
(2)點(diǎn)F為棱上一點(diǎn)，滿足，在棱上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線與平面所成的角為 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，可證得平面，進(jìn)而可知為二面角的平面角，利用三角形計(jì)算即可得出結(jié)果.
（2）連接，由為等邊三角形，H為線段的中點(diǎn)，，又平面，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，假設(shè)棱上存在滿足要求的點(diǎn)，設(shè)，，利用，計(jì)算可求得，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，，.
為二面角的平面角.
∵，，∴為等邊三角形，，
又中，，，，.
又，，，H為線段的中點(diǎn).
，，
中，，，
所以二面角的正切值為.
（2）連接，為等邊三角形，H為線段的中點(diǎn)，，
又平面，則，，兩兩垂直，
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，.
設(shè)平面的法向量為，，
令，可得.
假設(shè)棱上存在滿足要求的點(diǎn)Q，設(shè)，，.
，
因?yàn)橹本€與平面所成的角為，
，
整理得：，解得或（舍去）.
所以，則.
所以當(dāng)時，與平面所成的角為.
1．（2024·江蘇·三模）如圖，在三棱錐中，底面為上一點(diǎn)，且平面平面，三棱錐的體積為.
(1)求證：為的中點(diǎn)；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過作于點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，值域線面垂直的判定定理性質(zhì)定理可得答案；
（2）設(shè)，利用求出，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，利用線面角的向量求法可得答案.
【詳解】（1）過作于點(diǎn)，由平面平面，
平面平面平面，
平面，
又底面平面，
，平面，
所以底面平面，，
又為的中點(diǎn)；
（2）設(shè)，
，
，
如圖建系，，
，
設(shè)平面的一個法向量，
，令，得，
所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
.
2．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；
（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．
【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)椋裕≈悬c(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
又為中點(diǎn)，所以.
由（1）得平面，所以平面的一個法向量
從而直線與平面所成角的正弦值為．
【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，
題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．
3．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖，在三棱臺中，平面平面，，，．

(1)求三棱臺的高；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作于點(diǎn)O，利用面面垂直的性質(zhì)得即為三棱臺的高，再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，在面內(nèi)，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，利用線面角的空間向量求法可得答案．
【詳解】（1）作于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>平面平面，平面，，
所以平面，即為三棱臺的高，
又因?yàn)槠矫妫裕B接，
因?yàn)椋裕?br/>，平面，所以平面，
又平面，所以，，，
所以，，所以三棱臺的高為；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，在面內(nèi)，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，可取，
設(shè)，則，
設(shè)直線與平面所成角為，，
化簡得，解得，或（舍去，因?yàn)椋瑒t，所以），
所以．
4．（2024·河北承德·二模）如圖1，在直角中，為中點(diǎn)，，取中點(diǎn)，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時，取中點(diǎn)，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.
【答案】(1)證明見解析；
(2)或
【分析】（1）依題意可得，利用余弦定理求出，即可得到，從而得證；
（2）以為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理求出，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，設(shè)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可求出，再由坐標(biāo)法求模即可.
【詳解】（1）由題意知為等腰直角三角形，又為的中點(diǎn)，
所以，，，
由，解得，
當(dāng)時，有，即，
而平面，故平面；
（2）以為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
又，
所以
所以，，所以，

于是，
設(shè)平面的法向量為，
則，不妨取，解得，
設(shè)，則，，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面和平面的交線為，平面，
所以，又為上異于的一點(diǎn)，所以，即與共線，
設(shè)為，則，
故，
因此.
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
化簡得，解得或，
當(dāng)時，則，
當(dāng)時，則，
因此或.
考點(diǎn)四、空間向量求二面角
1．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.
【詳解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
由是的中點(diǎn)，得，
所以，
設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設(shè)平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
2．（2024·全國·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；
（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫?br/>平面，所以平面；
（2）如圖所示，作交于，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危裕?br/>結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，
所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危瑸橹悬c(diǎn)，所以，
四邊形為平行四邊形，，
所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，
因?yàn)椋裕曰ハ啻怪保?br/>以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，設(shè)平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，即，令，得，即，
則，即，令，得，
即，，則，
故二面角的正弦值為.
3．（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．
【答案】(1)證明見解析；
(2)1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；
（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
，
化簡可得，，
解得或，
或，
.
4．（2024·山東日照·三模）在五面體中，，.

(1)求證：；
(2)若，，，點(diǎn)到平面的距離為，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由，得到，，由線面平行的判定定理可得，由線面平行的性質(zhì)得到直線.
(2)證明，，.故以分別為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，解得的長，分別找到二面角各點(diǎn)坐標(biāo)，有空間向量求解二面的余弦值.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫?br/>所以.
（2）由于平面，，所以，平面，
故，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
又，，，平面，
所以平面
由于，則，
故，
故為等腰直角三角形，所以，，
如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建系，

則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
平面的法向量為，
因?yàn)椋?br/>所以，即
令，則，
設(shè)成的角為，由圖可知為銳角，
所以二面角的余弦值為
5．（2024·江蘇·一模）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；
(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)1．
【分析】（1）取的中點(diǎn)M，先證明四邊形BMPQ是平行四邊形得到線線平行，再由線面平行性質(zhì)定理可得；
（2）法一：應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用共線條件設(shè) ，利用向量加減法幾何意義表示所需向量的坐標(biāo)，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空間直角坐標(biāo)系后，直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示所需向量坐標(biāo)求解兩平面的法向量及夾角，建立方程求解；法三：一作二證三求，設(shè)，利用面面垂直性質(zhì)定理，作輔助線作角，先證明所作角即為二面角的平面角，再利用已知條件解三角形建立方程求解可得.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接MP，MB．
在四棱臺中，四邊形是梯形，，，
又點(diǎn)M，P分別是棱，的中點(diǎn)，所以，且．
在正方形ABCD中，，，又，所以．
從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．
又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>（2）在平面中，作于O．
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面．
在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．
以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危裕郑裕?br/>易得，，，，，所以，，．

法1：設(shè)，所以．
設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，
另取平面DCQ的一個法向量為．
設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．
又，所以，
解得（舍負(fù)），因此，．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．
法2：設(shè)，所以．
設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，
另取平面DCQ的一個法向量為．
設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．
又，所以，
解得或6（舍），因此．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．

法3：在平面中，作，垂足為H．
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，又平面，所以．
在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．
因?yàn)椋琍H，平面，
所以平面，又平面，所以．
因?yàn)椋允嵌娼堑钠矫娼牵?br/>在四棱臺中，四邊形是梯形，
，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，
所以，．
設(shè)，則，，
在中，，從而．
因?yàn)槎娼堑钠矫娼桥c二面角的平面角互補(bǔ)，
且二面角的正弦值為，所以，從而．
所以在中，，解得或（舍）．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．
1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺中，，，．
(1)記平面與平面的交線為，證明：；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線線平行證明線面平行，再由線面平行即可證線線平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法來求兩平面夾角的余弦值.
【詳解】（1）
因?yàn)?平面，平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面，所以 .
（2）在 中， .
由余弦定理得， ，則 ，得 .
又 ，則 .因?yàn)? 平面 ，
所以，又 ，所以 平面 ，
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，
令 ，得，所以.
又是平面 的一個法向量.
記平面 與平面 的夾角為 ，則 ，
所以平面 與平面 的夾角的余弦值為
2．（2024·河北保定·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且.E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，平面與PB，PC分別交于M，N兩點(diǎn).
(1)證明：；
(2)若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平面的判斷、性質(zhì)推理即得.
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，進(jìn)而求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.
【詳解】（1）由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，得，
在正方形中，，則，
而平面，平面，于是平面，
又平面，平面平面，平面，
因此，所以.
（2）四棱錐的底面為正方形，平面，則兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，，，
設(shè)平面的法向量，則，
取，得，
設(shè)平面的法向量，則，
取，得，
設(shè)平面的法向量，則，
由平面平面，得，取，得，
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
則，，
所以平面與平面所成銳二面角的正弦值為.
3．（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面．
(1)求證：；
(2)若，．
（i）求證：平面；
（ii）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理與中位線的性質(zhì)即可得；
（2）（i）借助線面垂直的判定定理即可得；
（ⅱ）結(jié)合所給條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系后借助空間向量計(jì)算即可得.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
因?yàn)椋裕运狞c(diǎn)共面，
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；
（2）（i）取的中點(diǎn)，連接，
由（1）知，所以，
因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，即，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋耘c全等，
所以，即，
因?yàn)椋?br/>又因?yàn)椋⑵矫妫?br/>所以平面；
（ii）由（i）知平面，而平面，
所以，
因?yàn)椋?br/>建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為, 則
令，則，于是，
因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?
設(shè)二面角為，由圖可得
所以,
所以二面角的余弦值為，
則二面角的正弦值為
4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，為線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn).
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的距離公式即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）中建立的空間直角坐標(biāo)系，首先利用平面與平面ADF的夾角的余弦值為的條件確定F點(diǎn)的位置，再由線面角的空間向量表示求解答案即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭侵比庵星褹B⊥AC，所以兩兩垂直，
則可以以A為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
又，所以，
因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，
，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，所以，
所以點(diǎn)B到平面的距離；
（2）結(jié)合（1），由于D為的中點(diǎn)，所以，
設(shè)，
所以，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
故，
平面的一個法向量可以為，
因?yàn)槠矫媾c平面ADF的夾角的余弦值為，所以，
解得，
所以，平面的一個法向量，
則，
設(shè)直線與平面ADF所成角為，則
5．（2024·山西·二模）如圖，四棱錐中，二面角的大小為，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意可得，平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）過作的垂線交延長線于點(diǎn)H，連接AH，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，設(shè)，在中由余弦定理得，利用勾股定理的逆定理可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量法求解面面角即可.
【詳解】（1）由，得，則，
所以，即.
由二面角的大小為，知平面平面，即平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）過作的垂線，交延長線于點(diǎn)H，連接AH，
由平面平面，平面平面，平面，
，所以平面，則為在底面內(nèi)的射影，
所以為直線與底面所成的角，即.
由，知且為鈍角三角形，
設(shè)，得，，
在中，，在中，，
由余弦定理得，有，
所以，過作，則底面，
所以兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
，
所以，
設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，
則，，
令，則，
所以，則，
故所求二面角的余弦值為.

考點(diǎn)五、空間向量求空間距離
1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；
（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；
（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，
由是的中點(diǎn)，故，且，
由是的中點(diǎn)，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有、、、、、，
則有、、，
設(shè)平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，
即點(diǎn)到平面的距離為.
2．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．
(1)求四棱錐的表面積
(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形以及梯形面積公式即可求解，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量法求解即可.
【詳解】（1）由，,所以,
,
所以,,
故四棱錐的表面積為
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，,4,， ,4,，，其中，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
即令，則平面的法向量，
設(shè)到平面的距離為，，
由于，解得，
故，
點(diǎn)到直線的距離為．
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；
(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，借助等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；
（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，再利用體積公式與空間向量夾角公式，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.
【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑冗吶切危裕?br/>又，所以，且，平面，
平面，所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>又，所以；

（2）在平面中，作，垂足為D，
由（1）知平面，平面，所以，
而，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由為中點(diǎn)，所以，
所以可過點(diǎn)O作Oz軸平行于，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槿庵捏w積為3，
所以，故，
則，，，設(shè)，，
所以
平面ABC的一個法向量為，
所以，解得，
此時，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，解得，，所以，
又，
故點(diǎn)到平面的距離為.
1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn).
(1)證明：；
(2)求直線與平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）首先證明平面，再由線面平行的性質(zhì)證明即可；
（2）連接,，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離公式求解即得.
【詳解】（1）因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，則平面，
又平面，平面平面，所以.
（2）由（1）知，平面，
則點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，
連接,，由均為正三角形，為的中點(diǎn)，得，
又平面平面，平面平面平面，
于是平面，又平面，則，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，又，，
又，可得，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，得，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以與平面的距離為.
2．（2024·天津·二模）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段上一點(diǎn)，，四邊形為矩形.

(1)若是的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值：
(3)若點(diǎn)到平面的距離為，求的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）矩形對角線交點(diǎn)即為線段中點(diǎn)，在內(nèi)應(yīng)用中位線定理，即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，先求直線的方向向量，再求平面的法向量，應(yīng)用線面角的向量求法即可；（3）設(shè)定，應(yīng)用點(diǎn)面距的向量解法求解即可.
【詳解】（1）設(shè)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榫匦危詾橹悬c(diǎn)，
又為中點(diǎn)，則，
又平面，平面，
所以平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正方向分別為軸，
可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則
，
設(shè)平面的法向量為：，
且，令，解得：；
設(shè)直線與平面所成角為，所以.
則直線與平面所成角的正弦值為.
（3），
設(shè)
由平面的法向量為：，
點(diǎn)到平面的距離為：.
解得：，且，
所以.
3．（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，圓O的半徑為1，，點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn)．
(1)證明：平面DAF；
(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45°，求點(diǎn)G到平面DEF的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過證明，得證平面；
（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖所示：
為中點(diǎn)，則，又，得，
由，，得，
所以四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，所以平面.
（2）因?yàn)椋?
因?yàn)槠矫妫抑本€與圓柱底面所成角為，
所以，則有.
如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則有，，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，有，得，
，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
.
故點(diǎn)到平面的距離.
考點(diǎn)六、立體幾何小題綜合
1．（2022·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】解：在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項(xiàng)BCD解法一：
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯誤，
故選：A.
選項(xiàng)BCD解法二：
解：對于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點(diǎn)，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯誤；
對于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯誤；
對于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯誤；
故選：A.
2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)線面關(guān)系可證得平面，，將四棱錐補(bǔ)成長方體，確定球心的位置，再建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算到平面的距離即可.
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，又底面為矩形，則，
因?yàn)槠矫妫云矫妫?br/>則，又，，，所以，則,
如圖，將四棱錐補(bǔ)成長方體，
若四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，則長方體的頂點(diǎn)均在球的球面上，為體對角線中點(diǎn)，
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，故，
設(shè)平面的法向量為，又，
，令，所以，
又，則到平面的距離為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
或者采用補(bǔ)形法，利用規(guī)則圖形的外接球位置確定所求外接球球心的位置.
3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知三棱柱滿足，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，，，表達(dá)出，，求出兩向量數(shù)量積和模長，利用求出答案.
【詳解】設(shè)，，，
則，，
則，由得,即，
又，由得，
因?yàn)椋裕?br/>即，即，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C
4．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）（多選）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（ ）
A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面
C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為
【答案】BD
【分析】A選項(xiàng)，由推出平面，矛盾；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，得到線面垂直，進(jìn)而當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，，此時平面，故B正確；C選項(xiàng)，假設(shè)體積為定值，得到平面，求出平面的法向量，證明出平面不成立，C錯誤；D選項(xiàng)，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.
【詳解】對于A，若，因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，矛盾，故A錯誤．
對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長為2，則，
因?yàn)椋?br/>，
故，，
故，，
因?yàn)椋矫妫?br/>故平面，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，，
此時平面，故B正確．
對于C，Q在線段上運(yùn)動，若三棱錐的體積為定值，則平面，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令得，故，
故，故與不垂直，
故平面不成立，故C錯誤；
對于D，二面角即二面角，連接BP，DP，BD，
由于為等邊三角形，
則，，所以為所求二面角的平面角，
不妨設(shè)正方體的棱長為2，則的棱長為，
故，，
由余弦定理可得，
二面角的余弦值為，故D正確．
故選：BD
5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）（多選）如圖，棱長為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．點(diǎn)到平面距離相等
B．若平面，且與所成角是，則點(diǎn)的軌跡是橢圓
C．三棱錐的外接球的表面積為
D．若線段，則的最小值是
【答案】AC
【分析】分別判斷點(diǎn)和到平面的距離的關(guān)系，即可判斷A；利用坐標(biāo)法，列出關(guān)于異面直線所成角的余弦值的式子，即可判斷B；利用坐標(biāo)法，求三棱錐的外接球的球心坐標(biāo)和半徑，即可判斷C；利用坐標(biāo)法，表示兩點(diǎn)間的距離，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即可求最值.
【詳解】A.平面，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)，到平面的距離相等，
，且是的中點(diǎn)，平面，
所以點(diǎn)到平面的距離相等，

所以點(diǎn)到平面距離相等，故A正確；
B.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，，，,
，

若與所成角是，則，
整理為，為雙曲線方程，
所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故B錯誤；
C. ，，，，
設(shè)三棱錐的外接球的球心坐標(biāo)為，半徑為，
則,方程組中前2個式子和后2個式子相減，得
，得，再回代方程組得，，
所以三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；
D. 由，可設(shè)點(diǎn)，即，，
，
，
，
，
，
上式的意義可以理解為平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和的倍，
顯然，動點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和的最小值是兩定點(diǎn)和間的距離，
距離為，
所以的最小值是，故D錯誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是坐標(biāo)法的使用，不僅可以表示角，距離，還可以求解軌跡方程，球心坐標(biāo)等問題.
1．（2024·山西·三模）正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則三棱錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，利用向量法求解點(diǎn)面距離，即可根據(jù)體積公式求解.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,
,
設(shè)平面法向量為，
則，取，則，
故到平面的距離為，
而,
故,
故，
故選：B
2．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理，逐項(xiàng)判定計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)闉檎襟w，設(shè)正方體邊長為2，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
同理解得平面的法向量，
，故A不正確；
，故B不正確；
，
，所以，
又，所以平面，C正確；
平面的一個法向量為，
，故D不正確；
故選：C
3．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為
C．在上存在點(diǎn)Q，使得 D．在上存在點(diǎn)P，使得平面
【答案】C
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，由空間向量計(jì)算異面直線所成角，二面角和線線垂直可判斷ABC；由四點(diǎn)共面，而平面可判斷D.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，
所以，，
，
對于A，，，
直線MN與所成角的余弦值為，故A錯誤；
對于B，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
平面與平面夾角的余弦值為：
，故B錯誤；
對于C，因?yàn)镼在上，設(shè)，所以，，
則，所以，
所以，，
所以，解得：.
故上存在點(diǎn)，使得，故C正確；
對于D，因?yàn)椋运狞c(diǎn)共面，
而平面，所以上不存在點(diǎn)P，使得平面，故D錯誤.
故選：C.
.
4．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為 B．平面
C．平面 D．二面角的余弦值為
【答案】ABC
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明面，平面，轉(zhuǎn)換后求棱錐的體積，由空間向量法求二面角，從而判斷各選項(xiàng)．
【詳解】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，
，，分別為，，的中點(diǎn)，則，，，
，，
易知，所以共面，
又平面，所以面，C正確；
，A正確；
，，同理，
所以是平面的一個法向量，即平面，B正確；
平面的一個法向量是，
，因此二面角的余弦值為，D錯誤．
故選：ABC．
5．（2024·重慶九龍坡·三模）（多選）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線平面
B．直線與平面所成角的正切值為
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球表面積為
【答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得出各直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)空間關(guān)系的向量證明判斷A，利用線面角的向量公式求解判斷B，利用等體積法求出相應(yīng)三棱錐的體積判斷C，利用補(bǔ)體法求得外接球的半徑，即可求解外接球的表面積判斷D.
【詳解】由題意，在正方體中，棱長為2，分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則
對于A項(xiàng)，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，
又，因?yàn)橹本€平面，
所以直線平面，A正確；
對于B項(xiàng)，
，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，所以，
故，故B正確；
對于C項(xiàng)，
，故C不正確；
對于D項(xiàng)，如圖，

三棱錐恰好在長方體上，且為體對角線，
所以為三棱錐外接球的直徑，由幾何知識，
所以三棱錐的外接球表面積為，故D正確.
故選：ABD.
考點(diǎn)七、范圍與最值問題
1．（2024·河南·一模）三棱錐中，，，，，點(diǎn)M，N分別在線段，上運(yùn)動.若二面角的大小為，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】觀察三棱錐，將其補(bǔ)形成直三棱柱，再推得是正三角形，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線距離的向量法公式即可得解.
【詳解】依題意，將三棱錐補(bǔ)形成直三棱柱，
此時易知，，滿足題意，
又，所以為二面角的平面角，即，
在中，，，則，
在中，，則，
又，所以是正三角形，
要求的最小值，即求異面直線，的距離，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則，
故，
設(shè)同時垂直于，則，
取，則，故，
所以的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，通過分析三棱錐的圖形，將其補(bǔ)形成直三棱柱，從而得解.
2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動，則線段的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建系，分析可知平面，，，結(jié)合垂直關(guān)系可知，結(jié)合范圍分析最值即可.
【詳解】如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
可得，
則，可知，
且，平面，可知：平面，
且平面，可得，
設(shè)，即，則，
因?yàn)椋獾茫矗?br/>同理可得：平面，，
則，，
又因?yàn)椋?br/>則三棱錐為正三棱錐，點(diǎn)為等邊的中心，
在中，結(jié)合等邊三角形可知：，
因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，可知，
當(dāng)時，取到最小值；
當(dāng)時，取到最大值；
綜上所述：線段的取值范圍為.
故選：C.
3．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）如圖，在中，，在直角梯形中，，，記二面角的大小為，若，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意以和過點(diǎn)垂直于平面的直線建立空間直角坐標(biāo)系，可知為二面角的平面角，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由線面角的空間向量法求解最值.
【詳解】如圖，以和過點(diǎn)垂直于平面的直線建立空間直角坐標(biāo)系，
則
由，，可知為二面角的平面角，
又，，
設(shè)，，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
其中，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值,
則的最大值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而由空間向量法表示出線面角的正弦值，利用基本不等式求解最值.
4．（2024·河北滄州·一模）如圖，已知點(diǎn)是圓臺的上底面圓上的動點(diǎn)，在下底面圓上，，則直線與平面所成角的余弦值的最小值為 ．
【答案】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.
【詳解】連接，過作垂直于的延長線于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：
在三角形中，因?yàn)椋?br/>故，則，
則，，故點(diǎn)；
又，設(shè)點(diǎn)，由，則可得；
，
設(shè)平面的法向量，
則，即，取，則，
故平面的法向量，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
則
因?yàn)椋遥柿睿?br/>則
又，故，，也即，
故的最大值為，又，故的最小值為.
即直線與平面所成角的余弦值的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題用向量法處理線面角的求解，結(jié)合問題的關(guān)鍵一是，能夠準(zhǔn)確求得的坐標(biāo)，二是能夠根據(jù)，求得的范圍；屬綜合困難題.
5．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）（多選）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M，N分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P為四邊形（含邊界）內(nèi)一動點(diǎn)，且，則（ ）
A．平面 B．點(diǎn)P的軌跡長度為
C．存在點(diǎn)P，使得平面 D．點(diǎn)P到平面距離的最大值為
【答案】ABD
【分析】利用線線平行的性質(zhì)可判定A，利用空間軌跡結(jié)合弧長公式可判定B，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系及點(diǎn)面距離可判定C、D.
【詳解】對于A，在正方體中易知，
又平面，平面，所以平面，即A正確；
對于B，因?yàn)辄c(diǎn)P為四邊形（含邊界）內(nèi)一動點(diǎn)，且，，
則，所以P點(diǎn)軌跡為以為圓心，為半徑的圓與正方形相交的部分，
所以點(diǎn)P的軌跡長度為，故B正確；
對于C，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
若存在點(diǎn)P，使得面，則，
解之得，顯然不滿足同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，
即不存在點(diǎn)P，使得面，故C錯誤；
對于D，設(shè)平面的一個法向量為，則，
取，即，
則點(diǎn)P到平面的距離，
顯然時取得最大值，故D正確.
故選：ABD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于B，利用定點(diǎn)定距離結(jié)合空間軌跡即可解決，對于C、D因?yàn)閯狱c(diǎn)不方便利用幾何法處理，可以利用空間直角坐標(biāo)系，由空間向量研究空間位置關(guān)系及點(diǎn)面距離計(jì)算即可.
6．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.
(1)若平面平面，求、的值；
(2)若平面，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)8.
【分析】（1）若平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可知，，由為的中點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，即可得出結(jié)果；
（2）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得的法向量為，由平面，則有，即，代入計(jì)算化簡可得結(jié)果.
【詳解】（1）若平面平面，平面平面，平面平面，所以，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，所以.
（2）因?yàn)椋酌妫?br/>如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
故，則，，
設(shè)平面的法向量為，則取，可得.
因?yàn)椋裕?br/>則，
因?yàn)槠矫妫裕矗?br/>所以，即，
所以，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為8.
1．（2024·浙江金華·三模）四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個頂點(diǎn)均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為 ．
【答案】．
【分析】依題意可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求線面角可得結(jié)果.
【詳解】解：依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點(diǎn)，連接，
交點(diǎn)為Q，因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕?br/>又平面，且平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
所以為平面的一個法向量，
如圖建立坐標(biāo)系，并設(shè)直線l上異于B的一點(diǎn)，所求線面角為，
，
則，，，
由可得，
∴，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
綜上，，∴．
故答案為：.

另解：依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點(diǎn)，連接，
交點(diǎn)為Q，因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕?br/>又平面，且平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
即面，
若平面，則與平面所成的角為.
若過B的直線l與平面相交于點(diǎn)R，
在平面中，過B作直線，與平面相交于點(diǎn)為S，
因?yàn)槊妫移矫妫裕?br/>又，，且，平面，
所以平面，
故過且與垂直的直線與平面的交點(diǎn)的軌跡為直線，
又平面，所以，又，且，
所以平面，又平面，所以，
又面，所以為在面內(nèi)的射影，
即為直線l與平面所成的角，且，
又，而，
當(dāng)且僅當(dāng)重合等號成立，故，
綜上，，∴．
故答案為：.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與平面所成角的方法：（1）幾何法：作出直線與平面所成角，在直角三角形中求角；（2）空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，用向量法求線面角.
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）棱長為2的正方體中，設(shè)點(diǎn)為底面內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離之和的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個法向量，然后利用距離的向量公式并換元化簡得，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.
【詳解】在正方體中，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：

則，設(shè)，
所以，，設(shè)平面的法向量為，
則，令，則．于是，
則點(diǎn)到平面距離之和為，
設(shè)，則，，
因?yàn)椋裕裕?br/>函數(shù)開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取到最小值為.
故選：B
3．（23-24高三下·廣東深圳·期中）在長方體中，，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足平面，則的最小值為 ，此時點(diǎn)到直線的距離為 .
【答案】 /
【分析】由題意，根據(jù)線面平行的判定定理和面面平行的判定定理可證得平面平面，由面面平行的性質(zhì)確定點(diǎn)的軌跡為線段，且當(dāng)取最小值時，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解點(diǎn)線距離即可.
【詳解】如圖所示，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t，
因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?br/>同理可證平面，因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面平面，因?yàn)槠矫妫沟闷矫妫?br/>則平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>故點(diǎn)的軌跡為線段，當(dāng)取最小值時，，則為的中點(diǎn)，
則.
以為原點(diǎn)，的方向分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
易知，
取，
則，
所以點(diǎn)到直線的距離為.
故答案為：；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是通過平面平面確定點(diǎn)的軌跡為線段，即當(dāng)時取最小值，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力.
4．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）正方體的棱長為為該正方體側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），若分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用空間向量的數(shù)量積與角度的關(guān)系，列出分別與直線所成角的正切值之和的表達(dá)式，從而得到點(diǎn)的軌跡為在平面中以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，可得點(diǎn)到平面的距離的取值范圍，最后利用棱錐的體積公式計(jì)算得到答案即可.
【詳解】在正方體中，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，
，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
整理可得點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，
所以點(diǎn)的軌跡為在平面中以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，
則點(diǎn)到平面的距離的最大值為1，此時點(diǎn)在中點(diǎn)的正上方；
最小值為時，點(diǎn)在點(diǎn)或者點(diǎn)的正上方，
所以四棱錐的體積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用空間向量解決空間角問題，涉及三角函數(shù)的計(jì)算以及空間點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵是通過計(jì)算得出動點(diǎn)P的軌跡方程，即，
結(jié)合橢圓的性質(zhì)得出距離的取值范圍，再根據(jù)錐體的體積公式即可解決問題.
5．（2024·山東·二模）（多選）如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動點(diǎn)，且，，，則（ ）
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若長度為定值，則時三棱錐體積最大
D．當(dāng)時，直線與所成角的余弦值的最小值為
【答案】BCD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量在空間直線、面位置關(guān)系和空間角、距離上的應(yīng)用方法一一去計(jì)算求解，并結(jié)合一元二次函數(shù)、基本不等式求最值即可.
【詳解】如圖，由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則由題：，
所以，，，，
又，，，
所以，即，
，即，
所以，
對A，由上，故A錯誤；
對B，由題意是平面的一個法向量，
，
故當(dāng)時，此時平面，故B正確；
對C，由上，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
所以，取，則，
設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則由得，
又由題意可知，
故，
因?yàn)殚L度為定值，所以為定值，
故當(dāng)時，三棱錐體積最大，故C正確；
對D，設(shè)直線與所成角為，由上當(dāng)時
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故D對.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遇立體幾何復(fù)雜問題，如求最值，有垂直條件一般考慮建立空間直角坐標(biāo)系用向量法解決.
6．（23-24高三下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.
(1)當(dāng)時，求證平面；
(2)設(shè)為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)最大值為，此時
【分析】（1）根據(jù)已知條件建立空間直角坐坐標(biāo)系，利用向量證明線面垂直即可.
（2）求出直線對應(yīng)的方向向量和平面對應(yīng)的法向量，將線面角用向量坐標(biāo)表示進(jìn)而求最值.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槿庵鶠橹崩庵摇鳛檎切危?br/>所以以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
根據(jù)已知條件得
，
當(dāng)時，，，
，
，
，即，
又，而平面，平面.
（2）由（1）知，，
為△的中心，，
設(shè)平面的法向量，則
，令，則
設(shè)直線與平面所成角為，則
令，則，
此時，
(當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號)，
，
即直線與平面所成角正弦的最大值為，此時的值為
一、單選題
1．（23-24高二下·浙江·期中）空間點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，利用空間向量夾角余弦公式求出，進(jìn)而求出，再利用距離公式即可求出結(jié)果.
【詳解】由題意得，
所以，
所以，
所以點(diǎn)A到直線BC的距離.
故選：D.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根據(jù)，可得異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，再解即可.
法二：利用空間向量的數(shù)量積求出即可.
法三：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】解法一：因?yàn)椋援惷嬷本€與所成的角為或其補(bǔ)角，
設(shè)正方體的棱長為2，連接，則，
在中，，
即異面直線與所成角的余弦值為.
解法二：由題，，
所以，
設(shè)，則，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
解法三：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
則，，
故，
故異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
3．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線與所在直線的方向向量，由空間向量夾角的余弦值的坐標(biāo)公式求解即可.
【詳解】以為原點(diǎn)，在平面中過作的垂線交于，
以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)橹比庵校?br/>設(shè)，
所以，，，，
，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：.
二、填空題
4．（2024·河南開封·三模）在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為3時 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，利用模長公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.
【詳解】分別作，，垂足為，，則．
由，可得，所以．
因?yàn)椋瑒t
，
故，
故答案為：．
5．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則直線與平面所成角的正弦值為 ．
【答案】
【分析】以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量為，直線的一個方向向量，利用向量的夾角公式可求直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則平面，
又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br/>以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，
因?yàn)椋瑒t，
則、、、，
所以，
易知平面的一個法向量為，
，
因此，直線與平面所成角的正弦值為．
故答案為：.
三、解答題
6．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，E為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)F．
(1)證明：F為的中點(diǎn)；
(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷，得出，得出為中位線，從而得證；
（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線AC的方向向量，以及平面的法向量，然后用線面角公式求得正弦值，再利用同角基本關(guān)系式求出余弦值.
【詳解】（1）如圖，連接，F(xiàn)E，，在正四棱柱中，
由AB與平行且相等得是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，又E是中點(diǎn)，所以是的中位線，
所以F是的中點(diǎn)；

（2）分別以DA，DC，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，，，
設(shè)平面的一個法向量是，直線AC與平面所成的角為，
則，取，得，
， ，
所以直線AC與平面所成角的余弦值為.

7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在平行六面體中，，．
(1)若空間有一點(diǎn)滿足：，求；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將兩邊平方，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，求解即可；
（2）設(shè)，先證平面平面，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面的夾角，即可得解．
【詳解】（1）由，可知，，
因?yàn)椋?br/>，
所以．
（2）連接，，，，
設(shè)，
由，，可得，
所以三棱錐為正四面體，
所以頂點(diǎn)在底面上的射影落在直線上，且垂足為的外心，
則，平面，
所以，，
由菱形知，，
因?yàn)椋⑵矫妫?br/>所以平面，
又平面，
所以平面平面，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則
令，得，
設(shè)平面的法向量為，則
令，得，
設(shè)平面與平面所成夾角為，則，
所以平面與平面所成夾角的余弦值為．
8．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在四棱錐中，．

(1)求證：
(2)當(dāng)點(diǎn)到平面的距離為時，求直線與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）為中點(diǎn)，平面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，向量法證明線線垂直；
（2）求平面的法向量，由點(diǎn)到平面的距離，求出，向量法求直線與平面所成的角的正弦值．
【詳解】（1），為中點(diǎn)，連接，則，
，，則，
又，，平面，則有平面，
平面，則平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，
有，，，
所以，即.
（2）時，設(shè)，
則，
，
平面的一個法向量為，則有，
令，則，得，
點(diǎn)到平面的距離為，則有，解得，
所以，，，
，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
9．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，平行六面體的體積為，，，，．
(1)求點(diǎn)A到平面的距離；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理可以確定底面ABCD是菱形，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）由（1）可知OD，0A，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由題意可知底面是平行四邊形，且O為底面的中心，
又因?yàn)椋缘酌鍭BCD是菱形，
連結(jié)，
因?yàn)椋?br/>所以，，
又平面ABCD，
所以底面ABCD，又平面，
所以平面底面ABCD，
因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，
所以，
又根據(jù)底面ABCD是菱形，可知，
平面，
所以平面，故A0為點(diǎn)A到平面的距離．
因?yàn)椋?br/>所以△ACD是邊長為4的正三角形，所以．
即點(diǎn)A到平面的距離為2．
（2）由（1）可知OD，0A，兩兩互相垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
因?yàn)闉槠叫辛骟w的高，又平行六面體的體積為，
所以，解得．
則，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，
取，則，，
所以平面的一個法向量為，
又平面的一個法向量為，
設(shè)二面角的大小為，則，
所以，
故二面角的正弦值為．
10．（22-23高二上·海南省直轄縣級單位·期末）四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，，平面平面ABCD．

(1)證明：；
(2)若，且PA與平面ABCD成角為，點(diǎn)E在棱PC上，且，求平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用菱形對角線互相垂直和面面垂直的條件可得線面垂直，故得線線垂直；
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合題設(shè)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算兩個平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PBD，
因?yàn)槠矫鍼BD，故
（2）

如圖，設(shè)，則O為AC、BD的中點(diǎn)，
由可得，
又因?yàn)槠矫鍼BD，平面PBD，所以，
因?yàn)椋珹C、平面ABCD，
所以平面ABCD，
故可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
且為PA與平面ABCD所成角，
由于四邊形ABCD為邊長為，的菱形，
所以，
則，，，，，
由，∴，
得，且
設(shè)平面的法向量為，
則，,故可取，
又平面BCD的一個法向量為，
所以，
所以平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值為
一、單選題
1．（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，則點(diǎn)E到直線的距離為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量法求點(diǎn)到直線的距離.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得，，，
，，設(shè)向量與的夾角為，
，
所以點(diǎn)到直線的距離為.
故選：A.
2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點(diǎn)為圓弧上的動點(diǎn)．當(dāng)三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意當(dāng)三棱錐的體積最大時,此時點(diǎn)處于半圓弧的正中間位置.此時建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面，平面的法向量，由法向量夾角余弦的坐標(biāo)公式即可求解.
【詳解】三棱錐的體積與到平面的距離成正比，
故當(dāng)三棱錐的體積最大時,此時點(diǎn)處于半圓弧的正中間位置.
點(diǎn)處于半圓弧的正中間位置時，記的中點(diǎn)為，以其為原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
平面顯然有法向量，
，
設(shè)為平面的法向量，
則該向量與和均垂直，
所以，從而.
令，解得，
故符合條件，
顯然二面角為銳角，
因此所求余弦值為.
故選：D.
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，且分別為的中點(diǎn)，是內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且平面，則下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐的外接球的體積為
B．的取值范圍為
C．直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為
D．當(dāng)點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離之比為時，
【答案】BC
【分析】作出點(diǎn)為外接球球心，由勾股定理求出外接球半徑，再由球的體積公式可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)向量坐標(biāo)，求出結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B；設(shè)直線與平面所成的角為，由線面角的向量公式結(jié)合和二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；設(shè)平面的法向量為，求出點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離，求出，再由可判斷D．
【詳解】對于A，設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
易判斷點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心．
設(shè)該外接球的半徑為．易求，
由，得，即，
所以三棱錐的外接球的體積為，故選項(xiàng)A不正確；
對于B,已知，且
分別為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,，
，
設(shè)平面的法向量為，
則即，
取，則平面的一個法向量為，
設(shè)，則．因?yàn)槠矫妫?br/>所以，則，解得．
又是內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），所以在線段上（含端點(diǎn)），
則設(shè)，則，
所以，所以，
所以，
所以，故選項(xiàng)B正確；
對于C，又，設(shè)直線與平面所成的角為，
則，故選項(xiàng)C正確；
對于D，設(shè)平面的法向量為，
則
即，取，
則平面的一個法向量為，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
又，點(diǎn)到平面的距離為，
所以，解得或（舍去），
所以，所以與不垂直，
故選項(xiàng)D不正確，
故選：BC．
4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，正四棱錐每一個側(cè)面都是邊長為4的正三角形，若點(diǎn)M在四邊形ABCD內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，N為PD的中點(diǎn)，則（ ）
A．當(dāng)M為AD的中點(diǎn)時，異面直線MN與PC所成角為
B．當(dāng)平面PBC時，點(diǎn)M的軌跡長度為
C．當(dāng)時，點(diǎn)M到AB的距離可能為
D．存在一個體積為的圓柱體可整體放入正四棱錐內(nèi)
【答案】ACD
【分析】對于AC：建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算求解；對于B：過作面PBC的平行平面，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡；對于D：由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐內(nèi)接最大圓柱的體積，表示出體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.
【詳解】對于A，因?yàn)闉檎叫危B接與，相交于點(diǎn)，連接，
則，，兩兩垂直，
故以為正交基地，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
為的中點(diǎn)，則.
當(dāng)為的中點(diǎn)時， ，，，
設(shè)異面直線與所成角為，
，，故，A正確；
對于B，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，
則平面， 又平面，
平面，又，設(shè)，
故平面平面，平面平面，
平面平面，則，則為的中點(diǎn)，
點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，則，
點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，長度為4，B不正確；
對于C，當(dāng)時，設(shè)，，，
，得，即，
即點(diǎn)的軌跡以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段弧（如下圖），
到的距離為，弧上的點(diǎn)到的距離最小值為，
因?yàn)椋源嬖邳c(diǎn)M到AB的距離為，C正確；
對于D，由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐內(nèi)接最大圓柱的體積，
設(shè)圓柱底面半徑為，高為，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn), ，，
根據(jù)相似，得，即，，
則圓柱體積，
設(shè)，求導(dǎo)得，
令得，或，因?yàn)椋陨崛ィ矗?br/>當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即時有極大值也是最大值，有最大值，
，故
所以存在一個體積為的圓柱體可整體放入正四棱錐內(nèi)，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：
（1）立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點(diǎn)的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動點(diǎn)的軌跡方程；
（2）對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；
（3）對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，動點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時，與平面所成角的正弦值是 ．
【答案】
【分析】設(shè)，結(jié)合等積法，可求出當(dāng)?shù)捏w積最小時，，分別是所在棱的中點(diǎn)；法一，根據(jù)，可求出點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合直線與平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求解.
【詳解】設(shè)，則
．
由等體積法，得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
所以當(dāng)?shù)捏w積最小時，，分別是所在棱的中點(diǎn)．
方法一 易知，，．由余弦定理，得
，所以，
所以．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．根據(jù)，
得，解得．
所以與平面所成角的正弦值為．
方法二 以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，
則即令，得，，
則．設(shè)與平面所成的角為，
則．
故答案為：
四、解答題
6．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
(1)證明：平面ABC．
(2)若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）取O為內(nèi)一點(diǎn)，作，利用面面垂直的性質(zhì)，證得，，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面．
（2）以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：取O為內(nèi)一點(diǎn)，
作OE垂直AB，交AB于點(diǎn)E，作OF垂直BC，交BC于點(diǎn)F，
因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?br/>同理，因?yàn)椋移矫妫云矫妫?br/>（2）解：因?yàn)锽C，BA，兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
令，則，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
故直線與平面所成角的正弦值為．
7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，.
(1)求證：；
(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）設(shè)相交于點(diǎn)，根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理可得平面，從而；
（2）過點(diǎn)作平面的垂線，以所在的直線分別為軸 軸 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求線面角.
【詳解】（1）設(shè)相交于點(diǎn)，因?yàn)椋?br/>所以四邊形是菱形，所以，且為的中點(diǎn)，
連接，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫?
（2）過點(diǎn)作平面的垂線，
以所在的直線分別為軸 軸 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
因?yàn)椋允嵌娼堑钠矫娼牵?br/>所以，且結(jié)合已知有，
因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以由已知及平面幾何的性質(zhì)，得，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，
令，則，所以是平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成的角為，所以，
即直線與平面所成角的正弦值為.
8．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，，.
(1)當(dāng)時，求證：平面；
(2)設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時，求得的坐標(biāo)，求得，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得證；
（2）由（1）求得平面和平面的法向量和，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合，進(jìn)而求得的范圍.
【詳解】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，
當(dāng)時，，所以，
可得，所以，
又因?yàn)椋矫妫矫妫云矫?
（2）解：由（1）可得，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，可得，所以，
因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€法向量為，
所以，
又因?yàn)椋傻茫裕?br/>因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以，
所以的取值范圍.
9．（2024·浙江紹興·三模）如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．
(1)求證：為三棱錐外接球的球心；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)圖形特征得出即得證球心；
（2）根據(jù)線面角定義結(jié)合線面垂直及面面垂直的性質(zhì)定理可得；
（3）空間向量法求出銳二面角的余弦值再結(jié)合最值可得參數(shù).
【詳解】（1）為的中線，且，則為正的中心，
又中，，
，即為三棱錐外接球的球心
（2）是正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．
又平面平面，平面平面，平面，
平面
為直線與平面所成的角
又，，，
即直線與平面所成角的正弦值為
（3）在平面中，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，
設(shè)，則，，．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，則，，，．
設(shè)平面的法向量為，
由，得，令，故，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則．
設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，
，
當(dāng)時，，此時余弦值最大，
即當(dāng)時，平面與平面所成銳二面角的余弦值最大．
10．（2024·山東煙臺·三模）如圖，在直三棱柱中，，M，N分別為，中點(diǎn)，且．
(1)證明：；
(2)若D為棱上的動點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角最大時，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明即可；
（2）當(dāng)與平面所成角最大時，求出此時點(diǎn)的位置，再求出二面角所對應(yīng)的兩個平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式即可運(yùn)算求解.
【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，而平面，平面，
所以，，
因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以兩兩互相垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋琈，N分別為，中點(diǎn)，
所以，，
所以，
所以，
所以，即；
（2）
由（1）得，，
設(shè)，
所以，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以取平面的一個法向量為，
設(shè)與平面所成角為，
所以與平面所成角的正弦值為，
若要與平面所成角最大，則當(dāng)且僅當(dāng)最大，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，最大，此時，
因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫矫妫矫妫?br/>所以平面和平面是同一個平面，
所以平面，
所以可取平面的一個法向量為，
若的坐標(biāo)為，且注意到，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
由，可得，令，解得，
所以取平面的一個法向量為，
由圖可知二面角是銳角，
所以二面角的余弦值為，
綜上所述，二面角的余弦值為.
1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因?yàn)椋剩剩?br/>故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
則
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為
2．（2021·全國·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；
（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法
平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則、、、、，
則，，
，則，解得，故；
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法
如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌妫业酌妫裕?br/>又因?yàn)椋云矫妫?br/>又平面，所以．
從而．
因?yàn)椋裕?br/>所以，于是．
所以．所以．
[方法三]：幾何法+三角形面積法
如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．
由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．
由，得，解得，所以．
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法
設(shè)平面的法向量為，則，，
由，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值為.
[方法二]：構(gòu)造長方體法+等體積法
如圖，構(gòu)造長方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過H作的垂線，垂足記為G．
聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，
故為二面角的平面角．
易證四邊形是邊長為的正方形，聯(lián)結(jié)，．
，
由等積法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值為．
【整體點(diǎn)評】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.
（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.
3．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；
（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解 .
【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法
如下圖所示：
在正方體中，且，且，
且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面；
[方法二]:空間向量坐標(biāo)法
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，
設(shè)平面的法向量為，由，得，
令，則，，則.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：幾何法
延長到，使得，連接，交于，
又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
連接，作,垂足為,連接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直線平面,
又∵直線平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，
根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.
設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,
∴,
∴,
即直線與平面所成角的正弦值為.
[方法二]：向量法
接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
[方法三]：幾何法+體積法
如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長，易證三線交于一點(diǎn)P．
因?yàn)椋?br/>所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．
設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理

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