資源簡介

第05講 雙曲線方程及其性質
（6類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第12題,5分 求雙曲線的離心率 無
2024年新Ⅱ卷，第19題,17分 求直線與雙曲線的交點坐標 由遞推關系證明等比數列 向量夾角的坐標表示
2023年新I卷，第16題,5分 利用定義解決雙曲線中集點三角形問題 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 無
2023年新Ⅱ卷，第21題,12分 根據a、b、c求雙曲線的標準方程 直線的點斜式方程及辨析 雙曲線中的定直線問題
2022年新I卷，第21題,12分 求雙曲線標準方程 求雙曲線中三角形(四邊形)的面積問題 根據韋達定理求參數
2022年新Ⅱ卷，第21題,12分 根據雙曲線的漸近線求標準方程 求雙曲線中的弦長 由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數 根據韋達定理求參數
2021年新I卷，第21題,12分 求雙曲線的標準方程 雙曲線中的軌跡方程 雙曲線中的定值問題
2021年新Ⅱ卷，第13題,5分 根據a,b,c齊次式關系求漸近線方程 由雙曲線的離心率求參數的取值范圍
2020年新I卷，第9題,5分 判斷方程是否表示雙曲線 二元二次方程表示的曲線與圓的關系 判斷方程是否表示橢圓
2020年新Ⅱ卷，第10題,5分 判斷方程是否表示雙曲線 二元二次方程表示的曲線與圓的關系 判斷方程是否表示橢圓
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.熟練掌握雙曲線的定義及其標準方程，會基本量的求解
2.熟練掌握雙曲線的幾何性質，并會相關計算
3.能熟練計算雙曲線的離心率
4.會求雙曲線的標準方程，會雙曲線方程簡單的實際應用
5.會求雙曲線中的相關最值
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，常常考查標準方程的求解、基本量的計算及離心率的求解，需重點強化訓練
知識講解
雙曲線的定義
數學表達式：
雙曲線的標準方程
焦點在軸上的標準方程 焦點在軸上的標準方程
標準方程為： 標準方程為：
雙曲線中，，的基本關系
雙曲線的幾何性質
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
范圍
頂點坐標 ， ， ， ，
實軸 實軸長，實半軸長
虛軸 虛軸長，虛半軸長
焦點 ， ，
焦距 焦距，半焦距
對稱性 對稱軸為坐標軸，對稱中心為
漸近線方程
離心率
離心率對雙曲線的影響 越大，雙曲線開口越闊 越小，雙曲線開口越窄
離心率與漸近線夾角的關系
通徑：
（同橢圓）
通徑長：，
半通徑長：
雙曲線的焦點到漸近線的距離為
考點一、雙曲線的定義及其應用
1．（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：上一點，，分別為C的左、右焦點，則“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．充分不必要條件
【答案】D
【分析】首先求得焦半徑的最小值，然后結合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.
【詳解】，
當點在左支時，的最小值為，
當點在右支時，的最小值為，
因為，則點在雙曲線的左支上，
由雙曲線的定義，解得；
當，點在左支時，；在右支時，；推不出；
故為充分不必要條件，
故選：D.
2．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點，且，若雙曲線的實軸長為8，那么的周長是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【答案】D
【分析】根據雙曲線的定義分析求解.
【詳解】由題意可知：，即，
所以的周長.
故選：D.
3．（2024高三·全國·專題練習）若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據雙曲線定義得到點P的軌跡方程是以與為焦點的雙曲線，得到答案.
【詳解】由題意得點到點與點的距離之差的絕對值為3，且，
故動點P的軌跡方程是以與為焦點的雙曲線，
故，
所以，
所以雙曲線的方程為.
故選：A.
1．（2024·陜西榆林·模擬預測）設，是雙曲線的左，右焦點，過的直線與軸和的右支分別交于點，，若是正三角形，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根據雙曲線的定義及等邊三角形的性質計算可得.
【詳解】對于雙曲線，則，
根據雙曲線定義有，
又，，故．
故選：B

2．（23-24高三下·山東青島·階段練習）雙曲線的兩個焦點分別是與，焦距為是雙曲線上的一點，且，則 ．
【答案】9
【分析】根據焦距及雙曲線的關系，結合雙曲線定義，即可求得答案.
【詳解】由題意得：焦距，在雙曲線中有，
因為，解得，
由雙曲線的定義：，
解得或，
由圖可知，可知被舍去，
所以.
故答案為：.
3．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據雙曲線的定義可判斷動點的軌跡形狀，利用待定系數法即可求得軌跡方程.
【詳解】因為，，所以，動點滿足，
由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，
設雙曲線方程為，則有，，，
所以動點的軌跡方程為.
故選：D.
考點二、雙曲線的標準方程
1．（2024高三下·全國·專題練習）雙曲線方程為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根據雙曲線的標準方程，列出不等式，結合不等式的解法，分類討論，即可求解.
【詳解】由方程表示雙曲線，可得，
當時，可得，解得或；
當時，可得，解得，
綜上可得，實數的取值范圍為.
故選：D.
2．（2023高三上·湖北孝感·專題練習）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出橢圓的焦點可得雙曲線的焦點，結合雙曲線經過點，可求得雙曲線方程.
【詳解】由，得，所以焦點在y軸上，且．
設雙曲線的方程為，所以解得，，
所以雙曲線的方程為．
故選：D．
3．（22-23高二下·甘肅武威·開學考試）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，經過點；
(2)焦點軸上，且過點，.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】(1)根據雙曲線焦點在x軸和y軸上進行討論即可求解；
(2)可設雙曲線方程為，代入兩個點的坐標即可求解．
【詳解】（1）當雙曲線焦點在x軸上時，設雙曲線方程為，
將代入，得．
又點在雙曲線上，
有，由此得，不合題意，舍去．
當雙曲線焦點在y軸上時，設雙曲線方程為0)，
∵a=4，故，
把點坐標代入，得，解得．
故所求雙曲線方程為．
（2）設雙曲線方程為，將已知點坐標代入，
得，解得．
∴所求方程為．
1．（23-24高三上·河北張家口·開學考試）“”是“表示雙曲線”的（ ）．
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據方程表示雙曲線以及充分、必要條件等知識確定正確答案.
【詳解】當，即或時，表示雙曲線，
所以“”是“表示雙曲線”的充分不必要條件．
故選：B
2．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：的焦點為，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據雙曲線的標準方程計算即可.
【詳解】因為雙曲線C的焦點為在縱軸上，所以，
且雙曲線C方程滿足，
故，則C的方程為．
故選：D．
3．（2022高三·全國·專題練習）已知某雙曲線的對稱軸為坐標軸,且經過點,求該雙曲線的標準方程．
【答案】
【分析】不知道焦點的位置,可設雙曲線的一般式方程,這樣可避開討論,使問題輕松獲解．
【詳解】設所求雙曲線的方程為
由所求雙曲線經過點,得解得
故所求雙曲線的為
考點三、雙曲線的幾何性質
1．（2024·福建福州·模擬預測）以為漸近線的雙曲線可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用漸近線的求法，直接求出各個選項的漸近線方程，即可求解.
【詳解】對于選項A，由得漸近線方程為，所以選項A錯誤，
對于選項B，由得漸近線方程為，所以選項B正確，
對于選項C，由得漸近線方程為，所以選項C錯誤，
對于選項D，由得漸近線方程為，所以選項D錯誤，
故選：B.
2．（2024·廣西柳州·模擬預測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】求出頂點坐標和漸近線方程，然后利用點到直線的距離公式求解．
【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點，，
漸近線方程為，
由對稱性，不妨求到直線的距離，．
故選：C．
3．（2024·河南新鄉·三模）雙曲線的實軸長為4，則 .
【答案】1
【分析】根據給定條件，確定雙曲線的焦點位置，再列式計算即得.
【詳解】顯然恒成立，則雙曲線的焦點在x軸上，
于是，所以.
故答案為：1
4．（2024·湖南益陽·模擬預測）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】首先得到橢圓的焦點坐標，依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】橢圓的焦點為，
依題意可得，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
故的最小值為.
故選：D
5．（2022·福建三明·模擬預測）已知雙曲線與共焦點，則的漸近線方程為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的性質計算即可.
【詳解】易知，其焦點坐標為，
對于雙曲線，可得，其焦點坐標為，
故，
此時，則其漸近線方程為.
故選：D
6．（2024·貴州·模擬預測）我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為 ．
【答案】
【分析】根據條件及離心率的定義，得到，即可求解.
【詳解】因為，即，解得，所以的虛軸長為，
故答案為：.
1．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）過點的等軸雙曲線的方程為 .
【答案】
【分析】根據題意設出雙曲線方程，代入點的坐標，利用待定系數法求解即可.
【詳解】因為雙曲線為等軸雙曲線，
所以設雙曲線方程為，，
將點代入得，解得，
所以雙曲線方程為，
故答案為：
2．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據雙曲線方程以及焦距可得，可得漸近線方程.
【詳解】由焦距為4可得，即，又，
所以，可得，即；
則的漸近線方程為.
故選：B
3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為 .
【答案】
【分析】求出漸近線方程，對照得到方程，求出，從而求出焦距.
【詳解】由題意得的漸近線方程為，
故，解得，
故，焦距為.
故答案為：
4．（24-25高三上·山東泰安·開學考試）若雙曲線的一個焦點，一條漸近線方程為，則 ．
【答案】
【分析】由條件列出關于的方程，解方程可得的值，由此可得結論.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
又為雙曲線的一條漸近線，
所以，
設雙曲線的半焦距為，因為為其一個焦點，
所以，又，
所以，
所以.
故答案為：.
5．（2024·河南新鄉·模擬預測）（多選）已知，則雙曲線與有相同的（ ）
A．焦點 B．焦距 C．離心率 D．漸近線
【答案】CD
【分析】由雙曲線的幾何性質逐一判斷即可；
【詳解】對于選項A、B：設，易知的左、右焦點坐標分別為和，
而的標準方程為，故其左、右焦點坐標分別為和，
顯然和的焦點和焦距均不相同，故A，B錯誤；
對于選項C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．
故選：CD.
考點四、雙曲線的離心率
1．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.
【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，
由雙曲線的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線的方程為.
故答案為：
2．（2024·上海·高考真題）三角形三邊長為，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為 .
【答案】3
【分析】利用雙曲線的定義求解即可.
【詳解】由雙曲線的定義，
則.
故答案為：3
3．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦點坐標可得焦距，結合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.
【詳解】由題意，設、、，
則，，，
則，則.
故選：C.
4．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】
【分析】聯立直線和漸近線方程，可求出點，再根據可求得點，最后根據點在雙曲線上，即可解出離心率．
【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，
聯立，得，由，得
而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.
故答案為：．
5．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
6．（2024·廣東江蘇·高考真題）設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
【答案】
【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.
【詳解】由題可知三點橫坐標相等，設在第一象限，將代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案為：
1．（2024·河南周口·模擬預測）已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，由已知可得，進而可求離心率.
【詳解】由題意可知，，則，設，則，
所以，故的離心率為.
故選：C.
2．（2024·四川成都·模擬預測）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據漸近線方程解得，再由離心率公式求解即可.
【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線為( )，
即,
所以漸近線的斜率為，
即，
解得，
所以雙曲線的離心率.
故選：A.
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先由一條漸近線的傾斜角求出其斜率，從而可得的值，再結合可求出離心率的值.
【詳解】因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，
所以一條漸近線的斜率為，所以，
所以，得，
所以，得，得，
所以離心率，
故選：C
4．（2024·山東·模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，且，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，則，根據雙曲線的定義，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得關于，的關系，可得雙曲線的離心率.
【詳解】如圖：設，則，
根據雙曲線的定義，可得，，
因為，所以，
所以
由，
代入可得.
故選：B
【點睛】方法點睛：選擇填空題中，出現圓錐曲線的問題，首先要考慮圓錐曲線定義的應用，不能用定義，再考慮其他方法.
5．（2024·福建泉州·一模）O為坐標原點，雙曲線的左焦點為，點P在E上，直線與直線相交于點M，若，則E的離心率為 ．
【答案】
【分析】作出輔助線，得到，根據雙曲線定義得到，，設，列出方程，解得，這里取，則，由列出方程，求出，得到離心率.
【詳解】由題意得為雙曲線的一條漸近線，
設雙曲線的右焦點為，連接，
因為，所以，
故，，
由雙曲線定義得，即，故，
設，則，解得，
這里取，則，
，則，又，
故，
化簡得，故.
故答案為：
考點五、雙曲線中的最值問題
1．（22-23高三上·湖北黃岡·階段練習）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【分析】畫出圖形，將轉化為，進而化簡，結合圖形得到答案.
【詳解】如圖，圓C的圓心C為（2,0），半徑r=2，
，則當點P位于雙曲線左支的頂點時，最小，即最小.
此時的最小值為：.
故選：C.
2．（22-23高三下·江蘇淮安·期中）已知分別為雙曲線的左 右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【答案】B
【分析】設且，應用兩點距離公式及P在雙曲線上，結合基本不等式求的范圍，注意等號成立條件，進而可求目標式的最小值.
【詳解】令且，則，而，
所以，令，
則，當且僅當，即時等號成立，
所以，即最小值為23.
故選：B
3．（22-23高二上·浙江湖州·期末）雙曲線的離心率是2，左右焦點分別為為雙曲線左支上一點，則的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】結合焦半徑公式討論分式函數的最大值.
【詳解】由焦半徑公式得，，則當時，.
故選：C.
1．（22-23高三下·福建泉州·階段練習）雙曲線C：的左、右頂點分別為A，B，P為C上一點，直線PA，PB與分別交于M，N兩點，則的最小值為 .
【答案】
【分析】設，，，，寫出直線方程求得點縱坐標后，求出，然后利用導數求得最小值．
【詳解】由題意，，設，，，，
直線方程為，令，得，
直線方程為，令，得，
，
設，則，
得，
時，，時，，
∴在上遞減，在上遞增，
時，，
所以．
故答案為：．
2．（2022高三·全國·專題練習）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用A、B兩點的坐標表示出和，(F為雙曲線右焦點）解出A、B兩點的坐標，利用，求得m的最小值.
【詳解】
由雙曲線可知，a＝3，b＝4，c＝5，設AB中點M的橫坐標為m，，
則，，
，當且僅當F、A、B共線且不垂直軸時，m取得最小值，此時．
檢驗: 如圖，當F、A、B共線且軸時，為雙曲線的通徑，則根據通徑公式得,所以軸不滿足題意.
綜上，當F、A、B共線且不垂直軸時，m取得最小值，此時．
故選：B．
3．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上的一動點，直線，直線與分別交于兩點，記，的外接圓面積分別為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意，結合斜率公式得到，設出直線和的方程，求出兩點的坐標，得到的表達式，設，的外接圓的半徑分別為，結合正弦定理以及基本不等式再進行求解即可．
【詳解】易知，由雙曲線的對稱性，
不妨設在第一象限，此時，，
所以，
不妨設直線的方程為，，令，解得，
不妨設直線的方程為，令，解得，
所以，，
不妨設，的外接圓的半徑分別為，
由正弦定理得，，
所以，當且僅當，時，等號成立，
所以．
故選：D．
考點六、雙曲線的簡單應用
1．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數學家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質.其中也包括圓錐曲線的光學性質，光線從雙曲線的一個焦點發出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發出的光線經過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，，利用雙曲線的定義、勾股定理可得方程，解得，進而得出結論．
【詳解】設，，，由題意知，，，
所以，，，所以，
又，所以，解得，
所以.
故選：B.
2．（22-23高二上·山東德州·期末）3D打印是快速成型技術的一種，通過逐層打印的方式來構造物體.如圖所示的筆筒為3D打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm，下底直徑為8cm，高為8cm（數據均以外壁即筆筒外側表面計算），則筆筒最細處的直徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出筆筒的軸截面，建立平面直角坐標系，設出雙曲線的方程，根據題意寫出點的坐標，把點的坐標代入雙曲線方程即可求解.
【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以為筆筒對應雙曲線的實軸端點，
以所在直線為軸，過點且與垂直的直線為軸，
建立平面直角坐標系，設與分別為上，下底面對應點.
由題意可知，設，則，
設雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，
所以，所以方程可化簡為，
將和的坐標代入式可得，解得，
則筆筒最細處的直徑為.
故選：C.
3．（2023·浙江杭州·二模）費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數學中可以推導出圓錐曲線的一些光學性質．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則 ．
【答案】2
【分析】延長交延長線于點，結合題意得點為的中點，，從而得到，再結合雙曲線的定義即可求解．
【詳解】如圖，延長交延長線于點，
因為點是的角平分線上的一點，且，
所以點為的中點，所以，
又點為的中點，且，
所以．
故答案為：2．
1．（2024·全國·模擬預測）在天文望遠鏡的設計中，人們利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點射出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上．如圖，已知雙曲線的離心率為2，則當入射光線和反射光線互相垂直時（其中為入射點），的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得，，不妨設雙曲線的標準方程為，，結合雙曲線的定義和勾股定理求出m，即可求解.
【詳解】因為，所以，得，
不妨設雙曲線的標準方程為，設，則．
所以，解得或（舍去）．
所以．
故選：D．
2．（2024·吉林延邊·一模）祖暅是我國南北朝時期偉大的科學家，他于5世紀末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面（如圖）．現有某火電廠的冷卻塔設計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為 ．

【答案】
【分析】由直線，其中，分別聯立方程組和，求得的坐標，進而求得圓環的面積，再結合題意得到該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同，利用圓柱的體積公式，即可求解
【詳解】如圖所示，雙曲線，其中一條漸近線方程為，
由直線，其中，

聯立方程組，解得，
聯立方程組，解得，
所以截面圓環的面積為，即旋轉面的面積為，
根據“冪勢既同，則積不容異”，
可得該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同，
所以該幾何體的體積為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：根據題意分析可知旋轉面的面積為，可得該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同,
3．（2023·廣東茂名·三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左 右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為13
D．若點坐標為，直線與相切，則
【答案】ABD
【分析】A選項，根據直線與雙曲線的交點位置可判斷.
B選項，利用雙曲線定義和勾股定理化簡可得.
C選項，由雙曲線定義可判斷.
D選項，利用角平分線性質，結合雙曲線的定義可得.
【詳解】解：因為雙曲線的方程為，所以，漸近線方程為，
選項A，因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，即A正確；
選項B，由雙曲線的定義知，，
若，則，
因為，
所以，
解得，即B正確；
選項C：，即C錯誤；
選項D，因為平分，由角分線定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正確.
故選：ABD.
一、單選題
1．（23-24高三下·重慶·期中）已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】結合焦距定義與漸近線方程定義計算即可得.
【詳解】由題意可得，解得（負值舍去），
則該雙曲線的漸近線方程為.
故選：C.
2．（2024·湖南邵陽·模擬預測）若點在雙曲線的一條漸近線上，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，求出雙曲線的漸近線方程，進而求出即可求出離心率.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
由點在雙曲線的一條漸近線上，得，解得，
所以的離心率.
故選：C
3．（2024·全國·模擬預測）設雙曲線的一個頂點坐標為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意求出的值，即可求得答案.
【詳解】雙曲線中，半焦距為，即，
又雙曲線一個頂點坐標為，即，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為．
故選：D．
4．（2024高三上·全國·專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別是是雙曲線上的一點，且，則雙曲線的離心率是（　　）
A．7 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，由余弦定理可得，再由雙曲線的離心率公式，即可得到結果．
【詳解】設雙曲線的半焦距為.
由題意，點在雙曲線的右支上，.
由余弦定理得，
解得，即，得，
根據雙曲線定義得，解得，
故雙曲線的離心率.
故選：B.
5．（2024·全國·模擬預測）若雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】求出雙曲線的漸近線，根據右焦點到漸近線的距離，結合雙曲線的關系即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】根據雙曲線的幾何性質可知，右焦點，
其到漸近線的距離為，
因為，所以.
故選：D．
6．（2024·四川·模擬預測）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，根據雙曲線的定義得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理計算可得.
【詳解】如圖，由于，，且，，
設，則，故，
所以，即，則，，，，
在中由余弦定理.
故選：B
7．（2024·全國·模擬預測）設橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據橢圓與雙曲線的性質得到離心率的表達式，再根據得到的范圍 ，代入中即可求解.
【詳解】由題意可得．
因為，所以，
所以，所以，
所以的取值范圍是.
故選：B．
二、填空題
8．（2024·湖南岳陽·三模）已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則的離心率為 ．
【答案】/
【分析】分焦點在軸或軸上兩種情況，設出雙曲線方程，依題意，得到方程組，解之即得離心率.
【詳解】當雙曲線的焦點在軸上時，其方程為，依題有，方程組無解；
當雙曲線的焦點在軸上時，其方程為，依題有，解得，
則.
故答案為：.
9．（2024高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為，則的方程為 .
【答案】
【分析】先由雙曲線定義得的軌跡和的值，再求出即可求出的方程.
【詳解】因為，
所以軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，
設軌跡的方程為，
則，，可得，，
所以軌跡的方程為.
故答案為：.
三、解答題
10．（2024高三·全國·專題練習）求適合下列條件的曲線的標準方程：
(1)過點和點的橢圓；
(2)焦點在x軸上，離心率為，且過點的雙曲線．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）設出橢圓方程，利用待定系數法求解即得.
（2）根據給定條件，結合離心率設出雙曲線方程，求出待定系數即得.
【詳解】（1）依題意，設橢圓方程為，
則，解得，
所以所求橢圓的方程為.
（2）令雙曲線實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為，依題意，，即，
而，則，設雙曲線方程為，于是，解得，
所以所求雙曲線方程為.
一、單選題
1．（2024·江西·模擬預測）已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，過的直線交雙曲線左支于A，B兩點，，，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，可設，，，由雙曲線的定義得到的等量關系求解即可.
【詳解】因為，，
所以可設，，．
因為，所以．
在中，，，，
所以，則，又，
所以，故雙曲線C的漸近線方程為．
故選：D.
2．（2024·山西太原·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點A坐標為，若動點P位于y軸右側，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據雙曲線的定義，判斷點軌跡為雙曲線的右支，并求出方程；再根據和把的周長轉化為的范圍問題，利用三角形兩邊之和大于第三邊求解.
【詳解】由動點P到兩定點，的距離之差為定值4，
結合雙曲線定義可知，動點P的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，
易得，，由得，則動點P的軌跡方程為，
如圖：
又，則，且
故的周長為:，
當且僅當P，A，三點共線且點位于、之間時等號成立，故周長的最小值為．
故選：D
3．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內的交點為.若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據條件，先求出右焦點為的坐標，將點代入直線方程，即可求出的值.
【詳解】由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，.
設點坐標為，右焦點.
由得，解得：，
因為是雙曲線得一條漸近性，所以，則，
將代入雙曲線方程，得.
因為，點在第一象限內，所以，
點在直線上，所以，解得：.
故選：C
4．（2024·湖南長沙·二模）已知分別為雙曲線 的左、右頂點，過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于兩點(點 異于)，則直線的斜率之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將所求的斜率之比用坐標表示，再設出直線的方程，聯立直線的方程和雙曲線的方程，結合根與系數之間的關系進行坐標運算即可求解.
【詳解】如圖所示，設 ，由題意得，
所以 ，所以 ，
當直線斜率存在時，設直線方程為 ，
所以聯立雙曲線方程得: ，
消元得 ，
所以 ①，
因為 ，
所以
將①代入得 ，
因為過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于兩點，
所以 比值為負數，所以，
當直線 斜率不存在時，容易驗證
故選：C.
5．（2024·河北·三模）已知是坐標原點，是雙曲線右支上任意一點，過點作雙曲線的切線，與其漸近線交于A，兩點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【詳解】不妨設是雙曲線在第一象限的一點，
不妨設，得，得，所以，
則在的切線斜率，
所以在點處的切線方程為，
又由，可得切線方程為，所以與x軸交點坐標為
不妨設是切線與漸近線在第一象限的交點，
是切線與漸近線在第四象限的交點，雙曲線的漸近線方程是，
聯立，解得，
聯立，解得，
所以，
解得，所以，所以,
故選：C.
6．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點.若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用雙曲線定義，結合余弦定理列式計算即得.
【詳解】設，則，，由雙曲線定義得，
在中，由余弦定理得，
解得，因此，令雙曲線的半焦距為c，
在中，由余弦定理得，解得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：A
7．（2024·寧夏銀川·二模）已知雙曲線，點的坐標為，若上存在點使得成立，則的離心率取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設，根據和點P在雙曲線上，消去x得，由判別式大于0求解可得.
【詳解】設，則，
由雙曲線方程可得，則，
化簡整理得關于的一元二次不等式：有解，
所以，即，
所以，解得（舍去）或.
故選：D
二、填空題
8．（2024·浙江·模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線漸近線上的點，且，若，則該雙曲線的離心率 .
【答案】/
【分析】根據，得到，利用直角三角形斜邊中線性質以及，表示出和的各邊，再依據，在兩個三角形中分別用余弦定理，進而列出等量關系式并求解.
【詳解】不妨取M為漸近線上一點，
因為，所以，
又為的中點，所以，
因為，設，則，
因為，所以，
在和中分別用余弦定理，
則，，
所以，所以，，
則為銳角，，即，
則，，，.
故答案為：.
9．（2024·遼寧·模擬預測）設O為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，點P在C上，，則
【答案】
【分析】利用雙曲線的定義以及余弦定理求出，再結合中線的向量公式以及數量積即可求出；
【詳解】因為①，
則由余弦定理得，
即②，聯立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故答案為：．
10．（2024·廣西來賓·模擬預測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，若雙曲線的左支上一點滿足，以為圓心的圓與的延長線相切于點，且，則雙曲線的離心率為 .
【答案】/
【分析】先由結合正弦定理和雙曲線定義求出和，接著由求出和，再結合勾股定理、和離心率公式即可計算得解.
【詳解】因為，所以由正弦定理得即，
又，所以即，
故，由得，，
由題可得且，
所以，
所以即.
故答案為：
1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉化出三邊比例，設，由面積公式求出，由勾股定理得出，結合第一定義再求出.
【詳解】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設，
，由，求得，
因為，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
則由得，
由得，
則，
由雙曲線第一定義可得：，，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的漸近線為，
當漸近線為時，圓心到該漸近線的距離，不合題意；
當漸近線為時，則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
3．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設，則的中點，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項A： 可得，則，
聯立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；
對于選項C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；
對于選項D：，則，
聯立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；
故選：D.
4．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由點到直線的距離公式求出，設，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.
【詳解】如圖，

因為，不妨設漸近線方程為，即，
所以，
所以.
設,則，所以，所以.
因為,所以，所以，所以，
所以，
因為，
所以，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為
故選：D
5．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.
【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，
由雙曲線的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線的方程為.
故答案為：
6．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點在定直線上.
【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據此可得點在定直線上運動.
【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.
7．（2022·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的準線l經過，且l與雙曲線的一條漸近線交于點A，若，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標，分析可得，由此可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.
【詳解】拋物線的準線方程為，則，則、，
不妨設點為第二象限內的點，聯立，可得，即點，
因為且，則為等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.
故選：D.
8．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則 ．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到雙曲線的標準方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；
【詳解】解：對于雙曲線，所以，即雙曲線的標準方程為，
則，，又雙曲線的漸近線方程為，
所以，即，解得；
故答案為：
9．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
【答案】
【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
10．（2022·全國·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值 ．
【答案】2（滿足皆可）
【分析】根據題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.
【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,
結合漸近線的特點，只需，即，
可滿足條件“直線與C無公共點”
所以，
又因為，所以，
故答案為：2（滿足皆可）
11．（2021·全國·高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為 ．
【答案】
【分析】先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解.
【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，
所以右焦點到直線的距離為.
故答案為：
12．（2021·全國·高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程 .
【答案】
【分析】根據離心率得出，結合得出關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.
【詳解】解：由題可知，離心率，即，
又，即，則，
故此雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
13．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標準方程.
【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，
將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，
因此，雙曲線的方程為.
故選：B
14．（2021·全國·高考真題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為 ．
【答案】4
【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關系，再結合雙曲線中對應關系，聯立求解，再由關系式求得，即可求解.
【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案為：4.
【點睛】本題為基礎題，考查由漸近線求解雙曲線中參數，焦距，正確計算并聯立關系式求解是關鍵.
15．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
(2)方法一：設出點的坐標和直線方程，聯立直線方程與曲線C的方程，結合韋達定理求得直線的斜率，最后化簡計算可得的值.
【詳解】(1) 因為，
所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，
設軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優解】：直線方程與雙曲線方程聯立
如圖所示，設,
設直線的方程為．

聯立,
化簡得，，
則．
故．
則．
設的方程為，同理．
因為，所以，
化簡得，
所以，即．
因為，所以．
[方法二] ：參數方程法
設．設直線的傾斜角為，
則其參數方程為，
聯立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設，
由根與系數的關系得．
設直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因為，所以．
由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點共圓．
設,直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點共圓，則xy項的系數為0，即.
【整體點評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯立，結合韋達定理處理圓錐曲線問題是最經典的方法，它體現了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優解；
方法二：參數方程的使用充分利用了參數的幾何意義，要求解題過程中對參數有深刻的理解，并能夠靈活的應用到題目中.
方法三：圓冪定理的應用更多的提現了幾何的思想，二次曲線系的應用使得計算更為簡單.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第05講 雙曲線方程及其性質
（6類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第12題,5分 求雙曲線的離心率 無
2024年新Ⅱ卷，第19題,17分 求直線與雙曲線的交點坐標 由遞推關系證明等比數列 向量夾角的坐標表示
2023年新I卷，第16題,5分 利用定義解決雙曲線中集點三角形問題 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 無
2023年新Ⅱ卷，第21題,12分 根據a、b、c求雙曲線的標準方程 直線的點斜式方程及辨析 雙曲線中的定直線問題
2022年新I卷，第21題,12分 求雙曲線標準方程 求雙曲線中三角形(四邊形)的面積問題 根據韋達定理求參數
2022年新Ⅱ卷，第21題,12分 根據雙曲線的漸近線求標準方程 求雙曲線中的弦長 由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數 根據韋達定理求參數
2021年新I卷，第21題,12分 求雙曲線的標準方程 雙曲線中的軌跡方程 雙曲線中的定值問題
2021年新Ⅱ卷，第13題,5分 根據a,b,c齊次式關系求漸近線方程 由雙曲線的離心率求參數的取值范圍
2020年新I卷，第9題,5分 判斷方程是否表示雙曲線 二元二次方程表示的曲線與圓的關系 判斷方程是否表示橢圓
2020年新Ⅱ卷，第10題,5分 判斷方程是否表示雙曲線 二元二次方程表示的曲線與圓的關系 判斷方程是否表示橢圓
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.熟練掌握雙曲線的定義及其標準方程，會基本量的求解
2.熟練掌握雙曲線的幾何性質，并會相關計算
3.能熟練計算雙曲線的離心率
4.會求雙曲線的標準方程，會雙曲線方程簡單的實際應用
5.會求雙曲線中的相關最值
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，常常考查標準方程的求解、基本量的計算及離心率的求解，需重點強化訓練
知識講解
雙曲線的定義
數學表達式：
雙曲線的標準方程
焦點在軸上的標準方程 焦點在軸上的標準方程
標準方程為： 標準方程為：
雙曲線中，，的基本關系
雙曲線的幾何性質
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
范圍
頂點坐標 ， ， ， ，
實軸 實軸長，實半軸長
虛軸 虛軸長，虛半軸長
焦點 ， ，
焦距 焦距，半焦距
對稱性 對稱軸為坐標軸，對稱中心為
漸近線方程
離心率
離心率對雙曲線的影響 越大，雙曲線開口越闊 越小，雙曲線開口越窄
離心率與漸近線夾角的關系
通徑：
（同橢圓）
通徑長：，
半通徑長：
雙曲線的焦點到漸近線的距離為
考點一、雙曲線的定義及其應用
1．（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：上一點，，分別為C的左、右焦點，則“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．充分不必要條件
2．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點，且，若雙曲線的實軸長為8，那么的周長是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
3．（2024高三·全國·專題練習）若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·陜西榆林·模擬預測）設，是雙曲線的左，右焦點，過的直線與軸和的右支分別交于點，，若是正三角形，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（23-24高三下·山東青島·階段練習）雙曲線的兩個焦點分別是與，焦距為是雙曲線上的一點，且，則 ．
3．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
考點二、雙曲線的標準方程
1．（2024高三下·全國·專題練習）雙曲線方程為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2023高三上·湖北孝感·專題練習）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高二下·甘肅武威·開學考試）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，經過點；
(2)焦點軸上，且過點，.
1．（23-24高三上·河北張家口·開學考試）“”是“表示雙曲線”的（ ）．
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：的焦點為，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三·全國·專題練習）已知某雙曲線的對稱軸為坐標軸,且經過點,求該雙曲線的標準方程．
考點三、雙曲線的幾何性質
1．（2024·福建福州·模擬預測）以為漸近線的雙曲線可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·廣西柳州·模擬預測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（ ）．
A． B．4 C． D．
3．（2024·河南新鄉·三模）雙曲線的實軸長為4，則 .
4．（2024·湖南益陽·模擬預測）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2022·福建三明·模擬預測）已知雙曲線與共焦點，則的漸近線方程為（ ）.
A． B． C． D．
6．（2024·貴州·模擬預測）我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為 ．
1．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）過點的等軸雙曲線的方程為 .
2．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為 .
4．（24-25高三上·山東泰安·開學考試）若雙曲線的一個焦點，一條漸近線方程為，則 ．
5．（2024·河南新鄉·模擬預測）（多選）已知，則雙曲線與有相同的（ ）
A．焦點 B．焦距 C．離心率 D．漸近線
考點四、雙曲線的離心率
1．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
2．（2024·上海·高考真題）三角形三邊長為，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為 .
3．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
4．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是 ．
5．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·廣東江蘇·高考真題）設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
1．（2024·河南周口·模擬預測）已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·模擬預測）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2024·山東·模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，且，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·一模）O為坐標原點，雙曲線的左焦點為，點P在E上，直線與直線相交于點M，若，則E的離心率為 ．
考點五、雙曲線中的最值問題
1．（22-23高三上·湖北黃岡·階段練習）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
2．（22-23高三下·江蘇淮安·期中）已知分別為雙曲線的左 右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
3．（22-23高二上·浙江湖州·期末）雙曲線的離心率是2，左右焦點分別為為雙曲線左支上一點，則的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
1．（22-23高三下·福建泉州·階段練習）雙曲線C：的左、右頂點分別為A，B，P為C上一點，直線PA，PB與分別交于M，N兩點，則的最小值為 .
2．（2022高三·全國·專題練習）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上的一動點，直線，直線與分別交于兩點，記，的外接圓面積分別為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
考點六、雙曲線的簡單應用
1．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數學家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質.其中也包括圓錐曲線的光學性質，光線從雙曲線的一個焦點發出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發出的光線經過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二上·山東德州·期末）3D打印是快速成型技術的一種，通過逐層打印的方式來構造物體.如圖所示的筆筒為3D打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm，下底直徑為8cm，高為8cm（數據均以外壁即筆筒外側表面計算），則筆筒最細處的直徑為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江杭州·二模）費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數學中可以推導出圓錐曲線的一些光學性質．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則 ．
1．（2024·全國·模擬預測）在天文望遠鏡的設計中，人們利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點射出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上．如圖，已知雙曲線的離心率為2，則當入射光線和反射光線互相垂直時（其中為入射點），的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林延邊·一模）祖暅是我國南北朝時期偉大的科學家，他于5世紀末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面（如圖）．現有某火電廠的冷卻塔設計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為 ．

3．（2023·廣東茂名·三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左 右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為13
D．若點坐標為，直線與相切，則
一、單選題
1．（23-24高三下·重慶·期中）已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南邵陽·模擬預測）若點在雙曲線的一條漸近線上，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）設雙曲線的一個頂點坐標為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·全國·專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別是是雙曲線上的一點，且，則雙曲線的離心率是（　　）
A．7 B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）若雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·四川·模擬預測）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全國·模擬預測）設橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
8．（2024·湖南岳陽·三模）已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則的離心率為 ．
9．（2024高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為，則的方程為 .
三、解答題
10．（2024高三·全國·專題練習）求適合下列條件的曲線的標準方程：
(1)過點和點的橢圓；
(2)焦點在x軸上，離心率為，且過點的雙曲線．
一、單選題
1．（2024·江西·模擬預測）已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，過的直線交雙曲線左支于A，B兩點，，，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西太原·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點A坐標為，若動點P位于y軸右側，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內的交點為.若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南長沙·二模）已知分別為雙曲線 的左、右頂點，過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于兩點(點 異于)，則直線的斜率之比（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北·三模）已知是坐標原點，是雙曲線右支上任意一點，過點作雙曲線的切線，與其漸近線交于A，兩點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點.若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．3
7．（2024·寧夏銀川·二模）已知雙曲線，點的坐標為，若上存在點使得成立，則的離心率取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
8．（2024·浙江·模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線漸近線上的點，且，若，則該雙曲線的離心率 .
9．（2024·遼寧·模擬預測）設O為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，點P在C上，，則
10．（2024·廣西來賓·模擬預測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，若雙曲線的左支上一點滿足，以為圓心的圓與的延長線相切于點，且，則雙曲線的離心率為 .
1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
6．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
7．（2022·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的準線l經過，且l與雙曲線的一條漸近線交于點A，若，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則 ．
9．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
10．（2022·全國·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值 ．
11．（2021·全國·高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為 ．
12．（2021·全國·高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程 .
13．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全國·高考真題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為 ．
15．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
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