資源簡介

第06講 拋物線方程及其性質
（5類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2023年新Ⅱ卷，第10題,6分 根據拋物線方程求焦點或準線 切線長 直線與拋物線交點相關問題
2023年新I卷，第22題,12分 拋物線標準方程 求直線與拋物線相交所得弦的弦長 由導數求函數的最值 (不含參) 基本(均值)不等式的應用 求平面軌跡方程
2023年新Ⅱ卷，第10題,5分 拋物線定義的理解 根據焦點或準線寫出拋物線的標準方程 求直線與拋物線的交點坐標與地物線焦點弦有關的幾何性質 無
2022年新I卷，第11題,5分 根據拋物線方程求焦點或準線 判斷直線與拋物線的位置關系 求直線與拋物線相交所得弦的弦長
2022年新Ⅱ卷，第10題,5分 拋物線定義的理解 求直線與拋物線的交點坐標 數量積的坐標表示 已知兩點求斜率
2021年新I卷，第14題,5分 根據拋物線方程求焦點或準線 根據拋物線上的點求標準方程 無
2021年新Ⅱ卷，第3題,5分 根據拋物線方程求焦點或準線 已知點到直線距離求參教
2020年新I卷，第13題,5分 求拋物線焦點弦長 無
2020年新Ⅱ卷，第14題,5分 求拋物線焦點弦長 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.熟練掌握拋物線的定義及其標準方程，會基本量的求解
2.熟練掌握拋物線的幾何性質，并會相關計算
3.會求拋物線的標準方程，會拋物線方程簡單的實際應用
5.會求拋物線的相關最值
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，常常考查標準方程的求解、基本量的計算及最值的求解，需重點強化訓練
知識講解
拋物線的定義
平面上一動點到定點的距離與到定直線：的點的軌跡叫做拋物線
拋物線的圖形
數學表達式
標準方程的推導
設，由定義可知：，等式兩邊同時平方得：
拋物線的標準方程及其幾何性質
焦點位置 軸正半軸 軸負半軸 軸正半軸 軸負半軸
圖形
標準方程
焦點坐標
準線方程
通徑
通徑長：，半通徑長：
焦半徑（拋物線上的點到焦點的距離）
焦點弦的性質
考點一、拋物線的定義
1．（2024·上海·高考真題）已知拋物線上有一點到準線的距離為9，那么點到軸的距離為 ．
2．（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
1．（2023高三·全國·專題練習）動點P到直線的距離減去它到點的距離等于2，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
2．（2024·陜西西安·一模）平面上動點M到定點的距離比M到軸的距離大3，則動點M滿足的方程為 .
考點二、拋物線的標準方程
1．（2024高三下·江西新余·專題練習）請寫出一個以為焦點且以坐標軸為對稱軸的拋物線方程： .
2．（2024·貴州畢節·三模）已知點在拋物線上，則拋物線C的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點A、B，交其準線于C，與準線垂直且垂足為，若，則此拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·北京·高考真題）拋物線的焦點坐標為 ．
2．（2024·陜西安康·模擬預測）過點，且焦點在軸上的拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·湖北·開學考試）已知拋物線的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點關于其準線的對稱點為，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
考點三、拋物線的幾何性質
1．（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學考試）已知點在拋物線上，則到的準線的距離為 .
2．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）已知拋物線的焦點為，若拋物線上一點滿足，，則（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知點在拋物線上，則C的焦點與點之間的距離為（ ）
A．4 B． C．2 D．
4．（2024·山西晉中·模擬預測）已知拋物線（）的焦點為F，P為拋物線上一點，且滿足，設直線PF的傾斜角為，若，則點P的坐標為 .
1．（2024·江西·一模）已知點是拋物線上一點，且點P到C的焦點距離為2，則 ．
2．（2024·山東聊城·二模）點在拋物線上，若點到點的距離為6，則點到軸的距離為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（23-24高三下·全國·開學考試）拋物線的焦點為上的點到的距離等于到直線的距離，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知M是拋物線上一點，F是拋物線的焦點，O為坐標原點．若，則線段MF的長為 .
考點四、拋物線中的最值問題
1．（2024·陜西·二模）已知拋物線上的點到定點的最小距離為2，則 .
2．（2024·福建莆田·二模）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上．若點在圓上，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2024·江西鷹潭·一模）已知拋物線的焦點為，是上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，則的最小值為 ．
4．（2024高三·全國·專題練習）已知是拋物線上的點，是圓上的點，則的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
5．（2023·河南開封·模擬預測）已知拋物線，P為C上一點，，，當最小時，點P到坐標原點的距離為（ ）
A． B． C． D．8
1．（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線方程為，點，點在拋物線上，則的最小值為 .
2．（2024·全國·二模）已知點P為拋物線上一點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·三模）已知點分別是拋物線和直線上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．4
4．（2023·遼寧撫順·模擬預測）設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（ ）
A． B． C． D．
考點五、拋物線的簡單應用
1．（2024·全國·模擬預測）某社會實踐小組在調研時發現一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為21.6m，拱頂距水面10.9m，路面厚度約1m．若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機取景，使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（ ）

A．3m B．4m C．5m D．6m
2．（2023·河南·模擬預測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（ ）

A． B． C． D．
3．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）假設一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為，渠深為，水面距為，則截面圖中水面寬的長度約為（ ）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m
1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達到的區域的邊界和該區域軸截面的交線也是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中安全拋物線達到的最大高度為30米，碎片距離爆炸中的最遠水平距離為60米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準線的距離為 米．
2．（2023·河北張家口·二模）探照燈 汽車前燈的反光曲面 手電筒的反光鏡面 太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈 汽車前燈 手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晉城·一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設該拋物線的焦點到準線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長度（即圖中點到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點到橋面的距離）為（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
一、單選題
1．（2024·福建廈門·模擬預測）若拋物線的準線經過雙曲線的右焦點，則的值為（ ）
A． B．4 C． D．8
2．（2024·山東濟寧·三模）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于，兩點，若，則（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2024·河南·模擬預測）已知拋物線上的點到原點的距離為，焦點為F，準線l與x軸的交點為M，過C上一點P作PQ⊥l于Q，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川南充·一模）已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則拋物線方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·廣西·階段練習）已知為拋物線上的一點，點到拋物線焦點的距離為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．4
6．（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·重慶·模擬預測）是拋物線上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且的重心恰為F，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）已知點是拋物線上一點，若到拋物線焦點的距離為5，且到軸的距離為4，則（ ）
A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8
二、填空題
9．（2024·山西太原·模擬預測）已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上，且，則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為 ．
10．（24-25高三上·云南·階段練習）動圓經過原點，且與直線相切，記圓心的軌跡為，直線與交于兩點，則 .
一、單選題
1．（2024·山西運城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線E的焦點為F，點P在E上，M為PF的中點，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2024·全國·模擬預測）在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足線段PE的中點在曲線上，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多選題
4．（2024·全國·模擬預測）設F為拋物線的焦點，點在C上，過點的直線交C于M，N兩點，則下列說法中正確的是（ ）
A．拋物線C的方程為 B．拋物線C的焦點為
C．直線與C不相切 D．
5．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點為，為坐標原點，動點在上，若定點滿足，則（ ）
A．的準線方程為 B．周長的最小值為5
C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為
三、填空題
6．（23-24高二下·四川德陽·期中）已知拋物線為上一點，，當最小時，點到坐標原點的距離為 .
7．（2024·福建福州·模擬預測）傾斜角為的直線經過拋物線：的焦點，且與交于，兩點，為線段的中點，為上一點，則的最小值為 ．
8．（2024·湖北黃岡·三模）已知拋物線的焦點為,，是拋物線上關于其對稱軸對稱的兩點，若，為坐標原點，則點的橫坐標為 .
9．（2024·福建泉州·模擬預測）已知為坐標原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為 ．
10．（2024·河北·模擬預測）拋物線上的動點到直線的距離最短時，到的焦點距離為 .
1．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為 ．
2．（2023·全國·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為 .
3．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
4．（2022·全國·高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2021·全國·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
6．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
7．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
8．（2021·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點.若，則點的橫坐標為 ； 的面積為 ．
9．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為 .
10．（2020·全國·高考真題）已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
11．（2020·北京·高考真題）設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（ ）．
A．經過點 B．經過點
C．平行于直線 D．垂直于直線
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第06講 拋物線方程及其性質
（5類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2023年新Ⅱ卷，第10題,6分 根據拋物線方程求焦點或準線 切線長 直線與拋物線交點相關問題
2023年新I卷，第22題,12分 拋物線標準方程 求直線與拋物線相交所得弦的弦長 由導數求函數的最值 (不含參) 基本(均值)不等式的應用 求平面軌跡方程
2023年新Ⅱ卷，第10題,5分 拋物線定義的理解 根據焦點或準線寫出拋物線的標準方程 求直線與拋物線的交點坐標與地物線焦點弦有關的幾何性質 無
2022年新I卷，第11題,5分 根據拋物線方程求焦點或準線 判斷直線與拋物線的位置關系 求直線與拋物線相交所得弦的弦長
2022年新Ⅱ卷，第10題,5分 拋物線定義的理解 求直線與拋物線的交點坐標 數量積的坐標表示 已知兩點求斜率
2021年新I卷，第14題,5分 根據拋物線方程求焦點或準線 根據拋物線上的點求標準方程 無
2021年新Ⅱ卷，第3題,5分 根據拋物線方程求焦點或準線 已知點到直線距離求參教
2020年新I卷，第13題,5分 求拋物線焦點弦長 無
2020年新Ⅱ卷，第14題,5分 求拋物線焦點弦長 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.熟練掌握拋物線的定義及其標準方程，會基本量的求解
2.熟練掌握拋物線的幾何性質，并會相關計算
3.會求拋物線的標準方程，會拋物線方程簡單的實際應用
5.會求拋物線的相關最值
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，常常考查標準方程的求解、基本量的計算及最值的求解，需重點強化訓練
知識講解
拋物線的定義
平面上一動點到定點的距離與到定直線：的點的軌跡叫做拋物線
拋物線的圖形
數學表達式
標準方程的推導
設，由定義可知：，等式兩邊同時平方得：
拋物線的標準方程及其幾何性質
焦點位置 軸正半軸 軸負半軸 軸正半軸 軸負半軸
圖形
標準方程
焦點坐標
準線方程
通徑
通徑長：，半通徑長：
焦半徑（拋物線上的點到焦點的距離）
焦點弦的性質
考點一、拋物線的定義
1．（2024·上海·高考真題）已知拋物線上有一點到準線的距離為9，那么點到軸的距離為 ．
【答案】
【分析】根據拋物線的定義知，將其再代入拋物線方程即可.
【詳解】由知拋物線的準線方程為，設點，由題意得，解得，
代入拋物線方程，得，解得，
則點到軸的距離為．
故答案為：．
2．（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】利用拋物線的定義求解即可.
【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，
所以到準線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
1．（2023高三·全國·專題練習）動點P到直線的距離減去它到點的距離等于2，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】D
【分析】根據題意可知，動點P到直線的距離與到定點的距離相等，由拋物線的定義可知，點P的軌跡為拋物線.
【詳解】如圖所示，由于動點P到直線的距離減去它到點的距離等于2，
于是動點P在直線的右邊，且動點P到直線的距離大于2，
因此動點P到直線的距離等于它到點的距離，
進而根據拋物線的定義，可知點P的軌跡是拋物線．
故選：D
2．（2024·陜西西安·一模）平面上動點M到定點的距離比M到軸的距離大3，則動點M滿足的方程為 .
【答案】或
【分析】考慮和兩種情況，時確定軌跡為拋物線，根據題意得到，得到答案.
【詳解】動點M到定點的距離比M到軸的距離大3，
當時，動點M到定點的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，
設拋物線方程為，則，即，所以；
當時，滿足條件.
綜上所述：動點M的軌跡方程為：時，；時，.
故答案為：或
考點二、拋物線的標準方程
1．（2024高三下·江西新余·專題練習）請寫出一個以為焦點且以坐標軸為對稱軸的拋物線方程： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】舉例，再驗證即可.
【詳解】不妨取頂點為原點，設，則，解得，則.
故可舉例.
故答案為：.
2．（2024·貴州畢節·三模）已知點在拋物線上，則拋物線C的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將點代入拋物線方程求出，再將拋物線方程化為標準方程，即可得出準線方程.
【詳解】因為點在拋物線上，
所以，解得，
所以拋物線的標準方程為，
所以拋物線C的準線方程為.
故選：D.
3．（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點A、B，交其準線于C，與準線垂直且垂足為，若，則此拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】過點作準線的垂線，設，得到，結合拋物線的定義，求得，再由，列出方程求得的值，即可求解.
【詳解】如圖所示，分別過點作準線的垂線，垂足為，
設，則，
由拋物線的定義得 ，
在直角中，可得，所以，
在直角中，因為，可得，
由，所以，解得，
因為，所以，解得，所以拋物線方程為.
故選：C.
.
1．（2024·北京·高考真題）拋物線的焦點坐標為 ．
【答案】
【分析】形如的拋物線的焦點坐標為，由此即可得解.
【詳解】由題意拋物線的標準方程為，所以其焦點坐標為.
故答案為：.
2．（2024·陜西安康·模擬預測）過點，且焦點在軸上的拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系數法，設出拋物線方程，把點代入求解即可.
【詳解】設拋物線的標準方程為，
將點點代入，得，解得，
所以拋物線的標準方程是.
故選：B
3．（23-24高三下·湖北·開學考試）已知拋物線的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點關于其準線的對稱點為，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設拋物線的方程為，設焦點關于準線的對稱點為，求得，得到，進而得拋物線的方程.
【詳解】由題意，設拋物線的方程為，
可得焦點坐標，準線方程為，
設焦點關于準線的對稱點為，可得，解得，
因為點關于其準線的對稱點為，可得，解得，
所以拋物線的方程為.
故選：A.
考點三、拋物線的幾何性質
1．（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學考試）已知點在拋物線上，則到的準線的距離為 .
【答案】
【分析】利用給定條件求出拋物線方程，進而求出準線方程，計算距離即可.
【詳解】因為點在拋物線上，
代入拋物線中得，解得，所以
故拋物線的準線方程為，
所以到的準線的距離為.
故答案為：
2．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）已知拋物線的焦點為，若拋物線上一點滿足，，則（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根據拋物線定義及焦點與準線距離列方程求參數即可.
【詳解】
過分別向軸和準線做垂線,垂足分別為，
根據拋物線定義，有，
所以.
故選：A
3．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知點在拋物線上，則C的焦點與點之間的距離為（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據在拋物線上可求的值，求出焦點坐標后結合距離公式可得正確的選項.
【詳解】因為在拋物線上，故，
整理得到：即，
解得或（舍），故焦點坐標為，
故所求距離為，
故選：D.
4．（2024·山西晉中·模擬預測）已知拋物線（）的焦點為F，P為拋物線上一點，且滿足，設直線PF的傾斜角為，若，則點P的坐標為 .
【答案】
【分析】活用拋物線定義，將轉化成到準線距離，由得出，將傾斜角和結合焦點坐標用幾何圖形表示出來即可找到關系式求解的值，進而得和拋物線的方程，從而得得解.
【詳解】由題可知，準線方程為，
如圖，過P作交于點，則，
過F作交于點，則，，或，
又由以及傾斜角范圍得，
所以有或，
又，故，此時，，
將代入得（舍去）或，故.
故答案為：.
1．（2024·江西·一模）已知點是拋物線上一點，且點P到C的焦點距離為2，則 ．
【答案】2
【分析】求出準線方程，由拋物線定義列方程求解即可.
【詳解】拋物線準線方程為，則點P到C的焦點距離為，所以．
故答案為：2.
2．（2024·山東聊城·二模）點在拋物線上，若點到點的距離為6，則點到軸的距離為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由拋物線的定義知，點到焦點的距離等于點到準線的距離，結合點和準線的位置，求點到軸的距離.
【詳解】拋物線開口向右，準線方程為，
點到焦點的距離為6，則點到準線的距離為6，
點在y軸右邊，所以點到y軸的距離為4．
故選：A．
3．（23-24高三下·全國·開學考試）拋物線的焦點為上的點到的距離等于到直線的距離，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用拋物線的定義建立方程，求解參數即可.
【詳解】因為拋物線上的點到的距離等于到直線的距離，
所以是拋物線的準線，故，解得，故A正確.
故選：A
4．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知M是拋物線上一點，F是拋物線的焦點，O為坐標原點．若，則線段MF的長為 .
【答案】8
【分析】設出線段MF的長度，再由已知條件表達出M的坐標，代入拋物線即可得出結果.
【詳解】如圖所示：
設，易求，作軸于點E，
因為 ，所以 ，
所以在，，
所以 ，
又因為M是拋物線 上一點，所以 ，即 ，
解得 或 舍去
所以線段MF的長為8.
故答案為：8
考點四、拋物線中的最值問題
1．（2024·陜西·二模）已知拋物線上的點到定點的最小距離為2，則 .
【答案】/
【分析】設出點的坐標，利用兩點間距離公式建立關系，再借助二次函數求出最小值即可得解.
【詳解】依題意，設，于是，
則當時，，所以.
故答案為：
2．（2024·福建莆田·二模）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上．若點在圓上，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】畫出圖形結合拋物線定義、三角形三邊關系以及圓上點到定值線距離的最值即可求解.
【詳解】如圖所示：
由題意拋物線的準線為，它與軸的交點為，焦點為，
過點向拋物線的準線引垂線，垂足為點，
設圓的圓心為，已知圓與軸的交點為點，
，
且成立的條件是重合且重合，
綜上所述，的最小值為3.
故選：C.
3．（2024·江西鷹潭·一模）已知拋物線的焦點為，是上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】先分析得的軌跡，再利用拋物線的定義，結合圓的性質數形結合即可得解.
【詳解】如圖所示，易知，直線過定點，
因為，所以Q在以為直徑的圓上，
不妨設其圓心為，顯然半徑，
分別過作準線的垂線，垂足為，
結合拋物線定義有，
當且僅當均在線段上時取得等號.
故答案為：.
4．（2024高三·全國·專題練習）已知是拋物線上的點，是圓上的點，則的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】將問題轉化為求的最小值，根據兩點之間的距離公式，求得的最小值再減去半徑即可.
【詳解】如圖，拋物線上點到圓心的距離為，

因此，當最小時，最小，
而，
當時，，因此的最小值是．
故選：A.
5．（2023·河南開封·模擬預測）已知拋物線，P為C上一點，，，當最小時，點P到坐標原點的距離為（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】設，由拋物線的定義可得，，設化簡可得當時，取得最小值，求出的坐標，即可求解
【詳解】因為拋物線，則焦點為，準線為，
又，，則點為拋物線的焦點，
過作準線的垂線，垂足為，
設，則，故，
由拋物線的定義可得，
，
又，則設故，
則，
當時，取得最小值為，則，，
將代入拋物線可得，所以
故選：A
1．（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線方程為，點，點在拋物線上，則的最小值為 .
【答案】3
【分析】利用拋物線定義將所求距離轉化為，然后利用三點共線求解最小值即可.
【詳解】由題知點為焦點，由拋物線定義知就是點到準線的距離，如圖，
設點在準線的射影為D，則，
此時三點共線，即當點縱坐標為時，的值最小，
最小值為.
故答案為：3
2．（2024·全國·二模）已知點P為拋物線上一點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設點，根據給定條件，結合切線長定理及二倍角的余弦公式將的函數，再求出函數的最小值即得.
【詳解】設點，則，
由切圓于點，得，且，
因此，
而，當且僅當時取等號，
所以當時，取得最小值.
故選：D
3．（2024·四川成都·三模）已知點分別是拋物線和直線上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】按點在直線上及右側、左側分類，借助對稱的思想及兩點間線段最短列式求出并判斷得解.
【詳解】設的坐標為，則，拋物線的焦點，準線方程為，
當點在直線上及右側，即時，，當且僅當是與直線的交點時取等號，
此時，當且僅時取等號，
當點在直線左側，即時，點關于的對稱點是，則，
，
當且僅當是與直線的交點，且時取等號，而，
所以的最小值為.
故選：C
4．（2023·遼寧撫順·模擬預測）設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，，確定，根據向量之間的關系得到，得到，，利用均值不等式計算得到答案.
【詳解】，設，顯然當時，，當時，，
要想求解直線OM的斜率的最大值，此時．

設，，，則，即，
解得．
，故，即，
，故，
當且僅當，即時，等號成立，故直線OM的斜率的最大值為．
故選：B.
考點五、拋物線的簡單應用
1．（2024·全國·模擬預測）某社會實踐小組在調研時發現一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為21.6m，拱頂距水面10.9m，路面厚度約1m．若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機取景，使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（ ）

A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】B
【分析】建立適當的的平面直角坐標系，設出拋物線方程，將點的坐標代入拋物線方程可求得參數，進一步即可得解.
【詳解】以拱形部分的頂點為坐標原點，水平線為x軸，垂直于軸，且方向向上，建立平面直角坐標系．

設拋物線的方程為．
易知拋物線過點，則，得，
所以，所以．
故選：B．
2．（2023·河南·模擬預測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖建立平面直角坐標系，設碗體的拋物線方程為（），將點代入求出，即可得到拋物線方程，設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點為，代入方程計算可得.
【詳解】以碗體的最低點為原點，向上方向為軸，建立直角坐標系，如圖所示．

設碗體的拋物線方程為（），將點代入，得，
解得，則，
設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為，
則兩拋物線在第一象限的交點為，代入到，解得，解得．
故選：C
3．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）假設一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為，渠深為，水面距為，則截面圖中水面寬的長度約為（ ）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m
【答案】D
【分析】建立平面直角坐標系，求得拋物線方程并將水面寬度坐標化即可求得結果.
【詳解】以為原點，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

設拋物線的標準方程為（），
由題意可得，代入得，得，故拋物線的標準方程為，
設（，），則，則，
即可得，
所以截面圖中水面寬的長度約為，
故選：D.
1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達到的區域的邊界和該區域軸截面的交線也是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中安全拋物線達到的最大高度為30米，碎片距離爆炸中的最遠水平距離為60米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準線的距離為 米．
【答案】60
【分析】建立平面直角坐標系，確定拋物線方程形式，確定點的坐標，代入方程求解，即得答案.
【詳解】如圖，以安全拋物線達到的最大高度點為坐標原點，平行于底面的直線為x軸，
和地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系，
則拋物線方程為，由題意可知，
代入可得，
即安全拋物線的焦點到其準線的距離為60米，
故答案為：60
2．（2023·河北張家口·二模）探照燈 汽車前燈的反光曲面 手電筒的反光鏡面 太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈 汽車前燈 手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據已知條件及設出拋物線的標準方程，結合點在拋物線上即可求解.
【詳解】在縱斷面內，以反射鏡的頂點（即拋物線的頂點）為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標系，如圖所示，
由題意可得.
設拋物線的標準方程為，于是，解得.
所以拋物線的焦點到頂點的距離為，即光源到反射鏡頂點的距離為.
故選：B.
3．（2024·山西晉城·一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設該拋物線的焦點到準線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長度（即圖中點到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點到橋面的距離）為（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【分析】建立坐標系，求出點B橫坐標，代入拋物線即可求解.
【詳解】以為坐標原點，拋物線的對稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系（橫坐標與縱坐標的單位均為米），
依題意可得拋物線的方程為．
因為同一邊的懸索連接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為米，則點的橫坐標為，
則，所以點到橋面的距離為米．
故選：A.
一、單選題
1．（2024·福建廈門·模擬預測）若拋物線的準線經過雙曲線的右焦點，則的值為（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】根據題意，分別求得雙曲線的右焦點以及拋物線的準線方程，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為雙曲線的右焦點為，
又拋物線的準線方程為，則，即.
故選：C
2．（2024·山東濟寧·三模）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于，兩點，若，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】設，，，聯立拋物線方程，利用韋達定理和拋物線的定義建立關于的方程，解之即可求解.
【詳解】由題意知，，設，
聯立直線與拋物線得，消去，得，
所以.
由拋物線的定義知.
而，故，解得.
故選：D.
3．（2024·河南·模擬預測）已知拋物線上的點到原點的距離為，焦點為F，準線l與x軸的交點為M，過C上一點P作PQ⊥l于Q，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據點到原點的距離為求出拋物線方程，再設點坐標，利用拋物線的定義和等腰三角形的性質列出方程即可求解.
【詳解】因為點到原點的距離為，
所以，解得，（負值舍），
將點代入拋物線方程，得，所以，
所以.

由于拋物線關于軸對稱，不妨設，
因為，，
所以為等腰三角形，，
所以，
所以，
解得或(舍)，
所以.
故選：D.
4．（2024·四川南充·一模）已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則拋物線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由拋物線的焦半徑公式可得，即可求得，從而求解.
【詳解】由題意，得，即，
所以拋物線方程為.
故選：D.
5．（24-25高三上·廣西·階段練習）已知為拋物線上的一點，點到拋物線焦點的距離為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】A
【分析】根據拋物線的定義求解即可.
【詳解】因為到拋物線焦點的距離為2，
所以由拋物線定義知，，解得.
故選：A.
6．（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，將點坐標代入拋物線方程，求得，求出，即可求得的面積.
【詳解】

將代入C的方程，得，故，
所以，則的面積.
故選：A.
7．（2024·重慶·模擬預測）是拋物線上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且的重心恰為F，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據重心可得，結合對稱性可得，再根據拋物線的定義運算求解.
【詳解】設，
因為的重心恰為F，則，解得，
由可知關于x軸對稱，即，
則，即，
又因為，解得.
故選：D.
8．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）已知點是拋物線上一點，若到拋物線焦點的距離為5，且到軸的距離為4，則（ ）
A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8
【答案】C
【分析】由題意得到，，結合得到方程，求出的值.
【詳解】由題意得，，
其中，故，解得或8，
故選：C
二、填空題
9．（2024·山西太原·模擬預測）已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上，且，則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為 ．
【答案】
【分析】根據題意分析可知且軸，設設，，結合拋物線方程分析求解.
【詳解】由題意可知，且軸，
設，，則，可知，
所以原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為．
故答案為：.
10．（24-25高三上·云南·階段練習）動圓經過原點，且與直線相切，記圓心的軌跡為，直線與交于兩點，則 .
【答案】6
【分析】設點，由題意得到，化簡得圓心的軌跡方程為，將其與直線聯立，寫出韋達定理，利用弦長公式計算即得.
【詳解】
如圖，設動圓的圓心，由題意得，
兩邊取平方，，化簡得，故圓心的軌跡方程為.
聯立方程，消去整理得，
設，則，
故.
故答案為：6.
一、單選題
1．（2024·山西運城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據對稱性可得，即點為的準線與軸的交點，作垂直于的準線于點，結合拋物線的定義可知()，結合圖象可得當直線與相切時，最小，求出切線的斜率即可得答案.
【詳解】依題意，，，設，則，解得，
即，點為的準線與軸的交點，
由拋物線的對稱性，不妨設點M位于第一象限，作垂直于的準線于點，
設，由拋物線的定義得，于是，
當直線與相切時，最大，最小，取得最小值，此時直線的斜率為正，
設切線的方程為，由消去x得，
則，得，直線的斜率為，傾斜角為，
于是，，所以的最小值為.
故選：A
2．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線E的焦點為F，點P在E上，M為PF的中點，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】設拋物線E的方程為，作，垂足為，連接后可得，當與拋物線相切時取得最小值，設出切線方程，利用切線過點，可求得切線的斜率，即可求得最小值.
【詳解】設拋物線E的方程為，則點，準線方程為，
作，垂足為，
設直線與軸的交點為，連接,
當與不重合時，有,
由拋物線的定義知,
易知，當與拋物線相切時，取的最小值，
從而取得最小值，即取得最小值，
設，則拋物線在點的切線方程為，
由切線過點，故，
則，故的最小值為，
故，
當與重合時，易得，
故的最小值為，
故選：B.
3．（2024·全國·模擬預測）在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足線段PE的中點在曲線上，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】設，由題意求出P的軌跡方程，繼而結合拋物線定義將的最小值轉化為M到直線l的距離，即可求得答案.
【詳解】設，則PE的中點坐標為，代入，可得，
故動點P的軌跡是以F為焦點，直線l：為準線的拋物線，
由于，故在拋物線內部，
過點P作，垂足為Q，則，（拋物線的定義），
故當且僅當M，P，Q三點共線時，最小，即最小，
最小值為點M到直線l的距離，所以，
故選：B．
二、多選題
4．（2024·全國·模擬預測）設F為拋物線的焦點，點在C上，過點的直線交C于M，N兩點，則下列說法中正確的是（ ）
A．拋物線C的方程為 B．拋物線C的焦點為
C．直線與C不相切 D．
【答案】BD
【分析】根據拋物線過點代入可求出拋物線C的方程和焦點坐標可判斷A、B；直線與拋物線聯立，利用判別式等于0判斷C；直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理和兩點間的距離公式分別求出，然后利用重要不等式，再比較大小即可
【詳解】因為點在拋物線上，
所以，解得，
所以拋物線C的方程為，焦點坐標為，故A錯誤， B正確．
可求得直線，又直線與對稱軸不平行，
由得，
所以，故C錯誤．
設過點B的直線方程為，與拋物線在第一象限交于兩點，
聯立
消去y并整理可得，
則，
所以，
所以，故D正確．
故選：BD．
5．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點為，為坐標原點，動點在上，若定點滿足，則（ ）
A．的準線方程為 B．周長的最小值為5
C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為
【答案】BD
【分析】首先表示出拋物線的焦點坐標與準線方程，由距離公式得到方程，即可求出，求出拋物線方程，即可判斷A；根據拋物線的定義判斷B，求出點坐標，即可判斷C；設，結合數量積的坐標運算分析求解.
【詳解】對于選項A：因為拋物線的焦點為，準線方程為，
又點滿足，則，
整理得，解得或（舍去），
即拋物線，
所以準線方程為，焦點為，故A錯誤；
對于選項B：過點作準線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可知，
則周長
，
當且僅當、、三點共線時取等號，
所以周長的最小值為，故B正確；
對于選項C：過點作的平行線，交拋物線于點，
即，解得，即，
則，
所以四邊形不是平行四邊形，故C錯誤；
對于選項D：設，則，
可得，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為，故D正確；
故選：BD
三、填空題
6．（23-24高二下·四川德陽·期中）已知拋物線為上一點，，當最小時，點到坐標原點的距離為 .
【答案】
【分析】由點在拋物線上得到符合拋物線的方程即，表示出，把用表示，
當得到，當時利用均值不等式得到的最小值及等號成立條件得到此時點的坐標進而得到此時點到原點的距離.
【詳解】設，則，所以，
當時，；
當時，，當且僅當即時取等號，所以，
由上可知，取最小值時，，所以.
故答案為：.
7．（2024·福建福州·模擬預測）傾斜角為的直線經過拋物線：的焦點，且與交于，兩點，為線段的中點，為上一點，則的最小值為 ．
【答案】8
【分析】由題意，根據給定條件，求出點的橫坐標，再借助拋物線的定義求解作答．
【詳解】易知拋物線的焦點，準線，直線的方程為，
聯立，消去并整理得，
不妨設,，,，
由韋達定理得，
此時線段的中點的橫坐標，
過作準線的垂線，垂足為，過作準線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可得
取得的最小值為8．
故答案為：8．
8．（2024·湖北黃岡·三模）已知拋物線的焦點為,，是拋物線上關于其對稱軸對稱的兩點，若，為坐標原點，則點的橫坐標為 .
【答案】/
【分析】由題可知，，故，寫出對應的坐標計算即可求解點的橫坐標.
【詳解】
因為拋物線的焦點為，則，
又因為，是拋物線上關于其對稱軸對稱的兩點，
設，因為，
則，
所以，
解得（舍）或.即點的橫坐標為，
故答案為：
9．（2024·福建泉州·模擬預測）已知為坐標原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】設，，則，再由，可得，進而可得答案．
【詳解】如圖，
設，，則，
依題意，四邊形為矩形，
則，即，
所以，即，
則，
所以頂點的軌跡方程為，
故答案為:．
10．（2024·河北·模擬預測）拋物線上的動點到直線的距離最短時，到的焦點距離為 .
【答案】2
【分析】設，求出P到直線距離，結合絕對值變形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦點距離即可．
【詳解】設，則點到直線的距離為
,
當，即當時，
拋物線 上一點到直線的距離最短，P到C的焦點距離為.
故答案為：2．
1．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為 ．
【答案】/
【分析】先求出圓心坐標，從而可求焦準距，再聯立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直線的距離.
【詳解】圓的圓心為，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直線即或，
故原點到直線的距離為，
故答案為：
2．（2023·全國·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為 .
【答案】
【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為，最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.
【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準線方程為，點到的準線的距離為.
故答案為：.
3．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據弦長公式求得，根據圓與等腰三角形的知識確定正確答案.
【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.
B選項：設，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項錯誤.
C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，
因為，
即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.
D選項：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.
故選：AC.

4．（2022·全國·高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，
不妨設點在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
5．（2021·全國·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.
【詳解】拋物線的焦點坐標為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
6．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.
【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；
，所以直線的方程為，
聯立，可得，解得，故B正確；
設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，
所以，直線的斜率存在，設其方程為，，
聯立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因為，，
所以，而，故D正確.
故選：BCD
7．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.
【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，
設，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
8．（2021·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點.若，則點的橫坐標為 ； 的面積為 ．
【答案】 5
【分析】根據焦半徑公式可求的橫坐標，求出縱坐標后可求.
【詳解】因為拋物線的方程為，故且.
因為，，解得，故，
所以，
故答案為：5；.
9．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為 .
【答案】
【分析】先用坐標表示，再根據向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結果.
【詳解】拋物線： ()的焦點,
∵P為上一點，與軸垂直，
所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,
不妨設,
因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，
又，
因為，所以,
，
所以的準線方程為
故答案為：.
【點睛】利用向量數量積處理垂直關系是本題關鍵.
10．（2020·全國·高考真題）已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.
【詳解】設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.
故選：C.
【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學生轉化與化歸思想，是一道容易題.
11．（2020·北京·高考真題）設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（ ）．
A．經過點 B．經過點
C．平行于直線 D．垂直于直線
【答案】B
【分析】依據題意不妨作出焦點在軸上的開口向右的拋物線，根據垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經過點，即求解.
【詳解】如圖所示： ．
因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據定義可知，，所以線段的垂直平分線經過點.
故選：B.
【點睛】本題主要考查拋物線的定義的應用，屬于基礎題.
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