資源簡介

第07講 離散型隨機變量的分布列與數字特征
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第14題,5分 求離散型隨機變量的均值 均值的性質 計算古典概型問題的概率
2024年新Ⅱ卷，第18題,17分 求離散型隨機變量的均值 利用對立事件的概率公式求概率 獨立事件的乘法公式
2023年新I卷，第21題,12分 求離散型隨機變量的均值 利用全概率公式求概率
2022年全國甲卷（理）， 第19題,12分 寫出簡單離散型隨機變量分布列 求離散型隨機查量的均值 /
2021年新I卷，第18題,12分 寫出簡單離散型隨機變量分布列 求離散型隨機查量的均值 /
2021年新Ⅱ卷，第21題,12分 求離散型隨機查量的均值 均值的實際應用 利用導數研究方程的根
2020年新I卷，第12題,5分 利用隨機變量分布列的性質解題 對數的運算
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等或偏難，分值為5-12分
【備考策略】1.理解、掌握離散型隨機變量的定義
2.會表示離散型隨機變量的分布列
3.會計算離散型隨機變量的均值和方差
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般結合離散型隨機變量的分布列及均值方差在大題中考查，需重點強化復習
知識講解
1．離散型隨機變量定義
隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量的分布列及性質
(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
稱為離散型隨機變量X的概率分布列．
(2)離散型隨機變量的分布列的性質：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．離散型隨機變量均值
(1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服從兩點分布，則E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.
4．離散型隨機變量方差
(1)設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機變量X的方差，并稱其算術平方根為隨機變量X的標準差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．
考點一、離散型隨機變量分布列
1．（23-24高三·階段練習）在一個密閉不透明的箱子中有五個淺色球，其中一個球的標號為1，另一個密閉不透明的箱子中有五個深色球，其中兩個球的標號為2，3.
(1)若在兩個箱子中各抽取兩個球，求抽取的四個球中，標號為1，2，3的三個球中至少有兩個的概率;
(2)若在兩個箱子中共隨機抽取四個球，記其中淺色球的個數為X，求X的分布列.
2．（2024高三·全國·專題練習）某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數學、英語教師各2人．
(1)求選出的數學教師人數多于語文教師人數的概率；
(2)設X表示選出的3人中數學教師的人數，求X的分布列．
1．（23-24高二上·上海·課后作業）某學生參加一次考試，已知在備選的10道試題中，能答對其中的6道題.規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，求該生答對試題數X的分布列.
2．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）在全國碩士研究生統一招生考試中，甲，乙，丙三名應屆本科畢業生都以優秀的成績通過了某重點大學的初試，即將參加該重點大學組織的復試．已知甲，乙，丙三名同學通過復試的概率分別為，，p，復試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為．
(1)求p的值；
(2)設甲，乙，丙三名同學中通過復試的人數為X，求隨機變量X的分布列．
考點二、離散型隨機變量的均值
1．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
2．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
3．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.
現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.
（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的
分布列與數學期望E(X).
(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)
4．（2021·全國·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
1．（24-25高三上·福建福州·階段練習）已知籃球比賽中，得分規則如下：3分線外側投入可得3分，踩線及3分線內側投入可得2分，不進得0分；經過多次試驗，某生投籃100次，有20個是3分線外側投入，20個是踩線及3分線內側投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨立事件．
(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率；
(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數學期望．
2．（24-25高三上·內蒙古赤峰·階段練習）良好的用眼習慣能夠從多方面保護眼睛的健康，降低近視發生的可能性，對于保護青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學生能夠掌握良好的用眼習慣，開展了“愛眼護眼”有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規定每名學生從兩組題目中各隨機抽取2道題作答．已知該班學生甲答對組題的概率均為，答對組題的概率均為．假設學生甲每道題是否答對相互獨立．
(1)求學生甲恰好答對3道題的概率；
(2)設學生甲共答對了道題，求的分布列及數學期望．
3．（2024·安徽·一模）高三聯考數學試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項的得0分.設一套數學試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為.在一次模擬考試中：
(1)小明可以確認一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數學期望為3，求p；
(2)小明可以確認另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇哪個方案？
4．（2024·湖南邵陽·三模）為創造良好的城市消防安全環境，某社區舉行“消防安全”答題活動，答題人根據所獲得的分數獲得相應的獎品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規定每位答題人共需回答3道題目．現有兩種方案供答題人任意選擇：
甲方案：只答A類題目；
乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規則答題，每次答對時，則下一次答A類題目，每次答錯時，則下一次答B類題目．
已知A類題目每次答對得40分，答錯得0分，B類題目每次答對得30分，答錯得0分．若小李每道A類題目能答對的概率均為，每道B類題目能答對的概率均為，且每道題能否答對與回答順序無關．
(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；
(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應該選擇哪種答題方案？
考點三、離散型隨機變量的方差
1．（浙江·高考真題）設，則隨機變量的分布列是：
則當在內增大時
A．增大 B．減小
C．先增大后減小 D．先減小后增大
2．（浙江·高考真題）設，隨機變量的分布列如圖，則當在內增大時，
A．減小 B．增大
C．先減小后增大 D．先增大后減小
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發放節日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取m個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額．
(1)若，，當袋中的球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元時，在員工所獲得的紅包數額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；
(2)若，，當袋中的球中有1個所標面值為元，2個為元，1個為元，1個為元時，求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差．
4．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應的獎勵基金.假設甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應的獎勵基金如下表：
歌曲
猜對的概率 0.8 0.5 0.5
獲得的獎勵基金金額/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；
(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.
1．（2024·福建泉州·二模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3，4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉．主持人知道獎品在哪個箱子里．游戲規則是：主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得．現有抽獎人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子．按游戲規則，主持人將隨機打開甲選擇之外的一個空箱子，記為X號箱．
(1)求的概率；
(2)求X的方差；
(3)若，現在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選3號或4號箱？
2．（2024·湖南長沙·三模）開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措 是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程. 某校為 確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支 持情況，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如表:
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支 持相互獨立.
(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望;
(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差與的大小.
3．（2024·浙江·模擬預測）某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規則如下：
①顧客在商場內消費每滿100元，可獲得1張抽獎券；
②顧客進行一次抽獎需消耗1張抽獎券，抽獎規則為：從放有5個白球，1個紅球的盒子中，隨機摸取1個球（每個球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒有中獎，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎機會（額外抽獎機會不消耗抽獎券，抽獎規則不變）；
③每位顧客獲得的禮品數不超過3份，若獲得的禮品數滿3份，則不可繼續抽獎；
(1)顧客甲通過在商場內消費獲得了2張抽獎券，求他通過抽獎至少獲得1份禮品的概率；
(2)顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿3份，則他在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品的概率是多少？
(3)設顧客在消耗張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿3份，要獲得張抽獎券，至少要在商場中消費滿元，求的值.
（重復進行某個伯努利試驗，且每次試驗的成功概率均為.隨機變量表示當恰好出現次失敗時已經成功的試驗次數.則服從參數為和的負二項分布.記作.它的均值，方差）
1．（2024·青海海西·模擬預測）一個袋中裝有6個同樣大小的小球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現從袋中隨機取出3個小球，用X表示取出的3個小球中最大編號和最小編號的差．
(1)求；
(2)求隨機變量X的分布列和數學期望．
2．（21-22高二下·廣東廣州·期中）甲 乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.
(1)求第三次由乙投籃的概率；
(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數為，求的分布列；
(3)求的期望及標準差.
3．（2024·廣東·二模）某廠有3組生產用設備，由于設備使用時間過長，每組設備在一個月內均有的故障率．現該廠制定設備翻新計劃，每個月月初有的概率在剩余未改造設備中隨機抽取一組并在月底翻新，但月內若有設備發生故障，則無論本月有無翻新計劃及是否抽到該設備，故障的設備都將立即翻新，且該月內不再因為故障翻新其它設備（但若發生故障的不是已經在送修計劃內的設備，則計劃翻新仍將正常進行），若再有設備發生故障則將會維修（但暫不翻新）后重新投入生產．
(1)求第一個月恰好翻新一組設備的概率；
(2)設第一個月結束后，已翻新的設備數量為隨機變量X，求X的均值．
4．（2024·全國·模擬預測）某中學為積極貫徹并落實教育部提出的“五育并舉”措施，在軍訓期間成立了自動步槍社團來促進同學們德智體美勞全面發展，在某次軍訓課上該自動步槍社團的某同學進行射擊訓練，已知該同學每次射擊成功的概率均為.
(1)求該同學進行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；
(2)若該同學進行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記為三次射擊總得分，求的分布列及數學期望.
5．（23-24高三上·廣東湛江·期末）已知某公司生產的風干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質量（單位：g）服從正態分布，且.
(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質量不小于的概率；
(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取（為正整數）包，記質量在內的包數為，且，求的最小值.
6．（2024·黑龍江牡丹江·一模）某高中舉辦詩詞知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規則如下：第一輪，參賽選手從類道題中任選道進行答題，答完后正確數超過兩道否則終止比賽才能進行第二輪答題；第二輪答題從類道題中任選道進行答題，直到答完為止．類題每答對一道得10分，類題每答對一道得分，答錯不扣分，以兩輪總分和決定優勝．總分分或分為三等獎，分為二等獎，分為一等獎．某班小張同學類題中有5道會做，類5題中，每題答對的概率均為，且各題答對與否互不影響．
(1)求小張同學被終止比賽的概率；
(2)現已知小張同學第一輪中回答的類題全部正確，求小張同學第二輪答完題后總得分的分布列及期望；
(3)求小張同學獲得三等獎的概率．
7．（2024·全國·模擬預測）某廠為提高工作效率，將全廠分為甲、乙2個車間，每個車間分別設有A，B，C，D，E5組．下表為該廠某日生產訂單情況統計表，請據表解答下列問題：
A B C D E
甲車間 100 120 150 180 200
乙車間 50 120 200 150 180
(1)求甲、乙2個車間該日生產訂單的平均數與方差，并根據方差判斷哪一個車間工作效率比較穩定？
(2)設甲車間合格率為0.54，乙車間合格率為0.57，求甲、乙2個車間都不合格的概率；
(3)你認為哪個車間工作效率更高？請從平均數、方差、合格率的角度分析．
8．（2024·新疆烏魯木齊·三模）某學科測試題有多項選擇題，在每小題給出的A，B，C，D四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，若正確答案為兩項，每對一項得3分；若正確答案為三項，每對一項得2分；…．學生在作答某題時，對四個選項能正確地判斷，判斷不了（不選）和錯誤的判斷的概率如下表：
選項 作出正確的判斷 判斷不了（不選） 作出錯誤的判斷
A 0.4 0.2 0.4
B 0.2 0.3 0.5
C 0.6 0.3 0.1
D 0.5 0.3 0.2
已知此題的正確選項為AD．
(1)求學生答此題得6分的概率；
(2)求學生此題得分的分布列及數學期望．
9．（2024·湖南益陽·一模）某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗感，他們更新了部分設施，調整了部分旅游線路.為了解游客對新措施是否滿意，隨機抽取了100名游客進行調查，男游客與女游客的人數之比為2:3，其中男游客有35名滿意，女游客有15名不滿意.
滿意 不滿意 總計
男游客 35
女游客 15
合計 100
(1)完成列聯表，依據表中數據，以及小概率值的獨立性檢驗，能否認為游客對公園新措施滿意與否與性別有關
(2)從被調查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機從這5名游客中抽取3名游客征求他們對公園進一步提高服務質量的建議，其中抽取男游客的人數為.求出的分布列及數學期望.
參考公式：，其中.
參考數據：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
10．（2023·陜西西安·一模）某公司計劃在2023年年初將200萬元用于投資，現有兩個項目供選擇.項目一：新能源汽車.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發生的概率分別為和；項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為.
(1)針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由；
(2)若市場預期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項目長期投資（每一年的利潤和本金繼續用作投資），問大約在哪一年的年底總資產（利潤+本金）可以翻兩番？（參考數據）
1．（2024·甘肅張掖·三模）春節期間電影院上映5部影片：賀歲片有《第20條》，《飛馳人生》和《熱辣滾燙》，往期電影《滿江紅》，《流浪地球2》.媽媽有4張電影票給了姐姐和弟弟每人2張，讓他們自己選擇看哪2部電影.
(1)求姐姐恰好看了2部賀歲片的概率；
(2)求姐弟兩人觀看賀歲片的部數的分布列和數學期望.
2．（2024·四川·一模）甲、乙兩名同學進行定點投籃訓練，據以往訓練數據，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響、現甲、乙兩人開展多輪次的定點投籃活動，每輪次各投個球，每投進一個球記分，未投進記分.
(1)求甲在一輪投籃結束后的得分不大于的概率；
(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為.
①求的分布列和數學期望；
②若，則稱該輪次為一個“成功輪次”.在連續輪次的投籃活動中，記“成功輪次”為，當為何值時，恒成立？
3．（2024·廣西來賓·模擬預測）中國共產黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會提出，中國式現代化是物質文明和精神文明相協調的現代化.必須增強文化自信，發展社會主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優秀傳統文化，加快適應信息技術迅猛發展新形勢，培育形成規模宏大的優秀文化人才隊伍，激發全民族文化創新創造活力.為此，某學校舉辦了“傳承中華優秀傳統文化”宣傳活動，學校從全體學生中抽取了100人對該宣傳活動的了解情況進行問卷調查，統計結果如下：
男 女 合計
了解 20
不了解 20 40
合計
(1)將列聯表補充完整；
(2)根據的獨立性檢驗，能否認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關聯？
(3)若把上表中的頻率視作概率，現從了解該活動的學生中隨機抽取3人參加傳統文化知識競賽.記抽取的3人中女生人數為，求隨機變量的分布列和數學期望.
附：，其中
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
4．（2024·廣東廣州·模擬預測）在某地區進行高中學生每周戶外運動調查，隨機調查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數據的頻率分布直方圖.
(1)求的值，估計該地區高中學生每周戶外運動的平均時間；（同一組數據用該區間的中點值作代表）
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內的人數為，求的分布列和期望；
(3)以頻率估計概率，從該地區的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內的概率，當最大時，求的值.
5．（2024·北京門頭溝·一模）2024年1月11日，記者從門頭溝區兩會上獲悉，目前國道109新線高速公路（簡稱新高速)全線35坐橋梁主體結構已全部完成，項目整體進度已達到，預計今年上半年開始通車，通車后從西六環到門頭溝區清水鎮車程將縮短到40分鐘。新高速全線設頎主線收費站兩處（分別位于安家莊和西臺子)和匝道收費站四處 (分別位于雁翅、火村、清水和齋堂)。新高速的建成為市民出行帶來了很大便利，為此有關部門特意從門頭溝某居民小區中隨機抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對其出行的原因和下高速的出口進行了問卷調查（問卷中每位居民只填寫一種出行原因和對應的一個下高速的出口)，具體情況如下：
（假設該小區所有打算利用新高速出行的居民的出行相對獨立，且均選擇上表中的一個高速出口下高速）。
項目 齋堂出口 清水出口 安家莊出口 雁翅出口 火村出口 西臺子出口
上班 40 8 2 5 3 2
旅游 30 20 10 10 12 8
探親 16 10 10 5 5 4
(1)從被調查的居民中隨機選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表樣本的頻率估計概率，從該小區所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取2人，從出行旅游的人中隨機抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數記為，求的分布列和數學期望；
(3)用上表樣本的頻率估計概率，從該小區所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取 1 人，用 “”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速：從該小區所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機抽取1人，用 “”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速，寫出方差 的大小關系． (結論不要求證明）．
6．（2024·江西南昌·模擬預測）南昌二中一直有個優秀的傳統“畢業學習經驗分享會”：每屆高考結束后，各班推薦優秀學生代表與下一屆學生進行學習經驗分享.2024屆高三年級班號依次為0，1，2，…，27，高三0班推薦2名男生和2名女生，其余各班均推薦1名男生和1名女生參加分享會；第一場分享會的4名學生嘉賓是從高三0班的優秀學生代表中選出的2名和高三1班的2名優秀學生代表共同形成，第二場分享會的4名學生嘉賓是從上一場4名嘉賓中選出的2名和高三2班的2名優秀學生代表共同形成，…，按照這樣的方式，依次進行到第二十七場分享會.
(1)求在第一場分享會學生嘉賓中有2名男生的概率；
(2)求在第二場分享會學生嘉賓中有2名男生的概率；
(3)記在第二十七場分享會學生嘉賓中男生人數為，求的分布列和期望.
7．（2024·遼寧·模擬預測）某自然保護區經過幾十年的發展，某種瀕臨滅絕動物數量有大幅度的增加.已知這種動物擁有兩個亞種（分別記為種和種）.為了調查該區域中這兩個亞種的數目，某動物研究小組計劃在該區域中捕捉100個動物，統計其中種的數目后，將捕獲的動物全部放回，作為一次試驗結果.重復進行這個試驗共20次，記第次試驗中種的數目為隨機變量.設該區域中種的數目為，種的數目為（，均大于100），每一次試驗均相互獨立.
(1)求的分布列；
(2)記隨機變量.已知，
（i）證明：，；
（ii）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為.數據的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計值.
（已知隨機變量服從超幾何分布記為：（其中為總數，為某類元素的個數，為抽取的個數），則）
8．（2024·浙江溫州·模擬預測）在坐標平面內 的區域，隨機生成一個橫縱坐標均為整數的一個整點，記該點到坐標原點的距離是隨機變量X
相關公式:
(1)當 時，寫出X的分布列和期望.
(2)記隨機變量 與分別表示 的橫縱坐標.
①求出 的期望
②現在實際上選取了四個點嘗試運用樣本的平均值去估計數學期望，以此來得到估計值 (四舍五入取整).
(3)記方差 ，試證明 .
9．（2024·安徽·三模）現有甲 乙兩個不透明盒子，都裝有1個紅球和1個白球，這些球的大小 形狀 質地完全相同.
(1)若從甲 乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個數為.求的分布列與數學期望；
(2)現從甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次數不超過次的情況下，抽取到2次紅球，則停止抽取，一直抽取不到2次紅球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止時，抽取的次數為，求的數學期望，并證明：.
10．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）有一個摸球游戲，在一個口袋中裝有個紅球和個白球，這些球除顏色外完全相同，每次從中摸一個球，記錄摸出球的顏色，然后再將球放回口袋中．
(1)若、，重復上述摸球試驗5次，用X表示5次中摸出紅球的次數，求X的分布列及方差；
(2)若，．
①當甲在游戲的過程中，又來了乙和丙，他們一起玩摸球游戲，第一次由甲摸球，若甲摸到紅球，則下一次甲繼續摸球，否則隨機在另外兩人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到紅球，則下一次還是他自己繼續摸球，否則也隨機在另外兩人中等可能地指定一人摸球，如此進行下去，記為第n次是甲摸球的概率，求；
②第二天，甲獨自一人繼續摸球游戲，每次從袋中摸一個球，記錄摸出球的顏色，然后將球放回口袋中，當第2次摸到紅球時停止游戲，否則游戲一直繼續進行下去，以隨機變量Y表示所需摸球的次數，這里Y服從的分布稱作帕斯卡分布或負二項分布．帕斯卡分布的定義如下：在重復、獨立的伯努利試驗中，若每次試驗成功的概率為，失敗的概率為，若將試驗進行到恰好出現r（r為常數）次成功時結束試驗，以隨機變量Y表示所需試驗的次數，則Y是一個離散型隨機變量，稱Y服從以r、p為參數的帕斯卡分布或負二項分布，記作．帕斯卡分布是統計學上一種離散概率分布，常用于描述生物群聚性，醫學上也用來描述傳染性或非獨立性疾病的分布和致病生物的分布．根據定義，我們能夠得到這里的，，．求．
1．（浙江高考真題） 袋子和中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸一個紅球的概率是，從中摸出一個紅球的概率為p.
（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球則停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②記5次之內（含5次）摸到紅球的次數為，求隨機變量的分布列及數學期望.
（2）若A、B兩個袋子中的球數之比為1：2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值.
2．（山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：
（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數學期望EX．
3．（安徽·高考真題）本小題滿分13分）
工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人．現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率．若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？
（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數目的分布列和均值（數字期望）；
（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小．
4．（四川·高考真題）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有人獨立來該租車點則車騎游.各租一車一次.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望
5．（陜西·高考真題）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：
時間（分鐘）
的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．
（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數學期望．
6．（全國·高考真題）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n．如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．
假設這批產品的優質品率為50%，即取出的產品是優質品的概率都為50%，且各件產品是否為優質品相互獨立
（1）求這批產品通過檢驗的概率；
（2）已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．
7．（福建·高考真題）某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品．
（Ⅰ）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為,求的概率；
（Ⅱ）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？
8．（江西·高考真題）某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.5， 0.6， 0.4．經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次燒制后恰有一件產品合格的概率；
(2)經過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數為ξ，求隨機變量ξ的期望．
9．（山東·高考真題）先在甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得分，沒有命中得分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中一次得分，沒有命中得分.該射手每次射擊的結果相互獨立.假設該射手完成以上三次射擊.
（Ⅰ）求該射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求該射手的總得分的分布列及數學期望.
10．（江西·高考真題）因冰雪災害，某柑桔基地果林嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實施．若實施方案一，預計第一年可以使柑桔產量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產量為第一年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實施方案二，預計第一年可以使柑桔產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產量為第一年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實施每種方案第一年與第二年相互獨立，令表示方案i實施兩年后柑桔產量達到災前產量的倍數．
(1)寫出的分布列；
(2)實施哪種方案，兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大？
(3)不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產量達不到、恰好達到、超過災前產量，預計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元．問實施哪種方案的平均利潤更大？
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第07講 離散型隨機變量的分布列與數字特征
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第14題,5分 求離散型隨機變量的均值 均值的性質 計算古典概型問題的概率
2024年新Ⅱ卷，第18題,17分 求離散型隨機變量的均值 利用對立事件的概率公式求概率 獨立事件的乘法公式
2023年新I卷，第21題,12分 求離散型隨機變量的均值 利用全概率公式求概率
2022年全國甲卷（理）， 第19題,12分 寫出簡單離散型隨機變量分布列 求離散型隨機查量的均值 /
2021年新I卷，第18題,12分 寫出簡單離散型隨機變量分布列 求離散型隨機查量的均值 /
2021年新Ⅱ卷，第21題,12分 求離散型隨機查量的均值 均值的實際應用 利用導數研究方程的根
2020年新I卷，第12題,5分 利用隨機變量分布列的性質解題 對數的運算
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等或偏難，分值為5-12分
【備考策略】1.理解、掌握離散型隨機變量的定義
2.會表示離散型隨機變量的分布列
3.會計算離散型隨機變量的均值和方差
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般結合離散型隨機變量的分布列及均值方差在大題中考查，需重點強化復習
知識講解
1．離散型隨機變量定義
隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量的分布列及性質
(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
稱為離散型隨機變量X的概率分布列．
(2)離散型隨機變量的分布列的性質：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．離散型隨機變量均值
(1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服從兩點分布，則E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.
4．離散型隨機變量方差
(1)設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機變量X的方差，并稱其算術平方根為隨機變量X的標準差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．
考點一、離散型隨機變量分布列
1．（23-24高三·階段練習）在一個密閉不透明的箱子中有五個淺色球，其中一個球的標號為1，另一個密閉不透明的箱子中有五個深色球，其中兩個球的標號為2，3.
(1)若在兩個箱子中各抽取兩個球，求抽取的四個球中，標號為1，2，3的三個球中至少有兩個的概率;
(2)若在兩個箱子中共隨機抽取四個球，記其中淺色球的個數為X，求X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列見解析
【分析】（1）先利用分步乘法計數原理計算總抽取方法，再求出抽到至少兩個有標號的球的方法計算概率即可；
（2）利用離散型隨機變量的分布列公式計算即可.
【詳解】（1）由題意可得共有（種）不同的抽法，
抽取的四個球中，標號為1，2，或1，3的種數有，
標號為2，3的種數有，抽到1,2,3的種數有，
合計（種）不同的抽法，
所以抽取的四個球中，標號為1，2，3的三個球中至少有兩個的概率為.
（2）由題意知，的可能取值為0，1，2，3，4.
，
，
，
，
所以的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
2．（2024高三·全國·專題練習）某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數學、英語教師各2人．
(1)求選出的數學教師人數多于語文教師人數的概率；
(2)設X表示選出的3人中數學教師的人數，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列見解析
【分析】（1）首先計算出所有基本事件數，再求出“選出的數學老師人數多于語文老師的人數”的基本事件數，利用古典概型計算公式可求得結果.
（2）根據題意，列出的所有可能的取值，求出對應的概率，即可列出分布列.
【詳解】（1）從6名老師中選3人的方法種數有：.
數學老師多于語文老師的選法有：
①1名數學，2名英語的選法：種；
②2名數學的選法有：種.
所以數學老師多于語文老師的選法有：種.
故數學老師多于語文老師的概率為：.
（2）由題意，的可能取值為：0，1，2.
，，.
所以的分布列為：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
1．（23-24高二上·上海·課后作業）某學生參加一次考試，已知在備選的10道試題中，能答對其中的6道題.規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，求該生答對試題數X的分布列.
【答案】答案見解析
【分析】根據分布列的解題步驟計算即可.
【詳解】答對試題數X的可能取值為：，
則，
.
所以該生答對試題數X的分布列如下：
0 1 2 3
2．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）在全國碩士研究生統一招生考試中，甲，乙，丙三名應屆本科畢業生都以優秀的成績通過了某重點大學的初試，即將參加該重點大學組織的復試．已知甲，乙，丙三名同學通過復試的概率分別為，，p，復試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為．
(1)求p的值；
(2)設甲，乙，丙三名同學中通過復試的人數為X，求隨機變量X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據相互獨立事件的乘法公式結合對立事件的概率，列式計算，可得答案.
（2）確定隨機變量X的取值，求得每個值對應的概率，即可得分布列.
【詳解】（1）因為甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為，
所以，則．
（2）由題意知，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．
，
，
，
．
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
考點二、離散型隨機變量的均值
1．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；
（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．
【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為
．
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
2．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由頻率估計概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可計算出X的數學期望.
(3) 計算出各自獲得最高成績的概率，再根據其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.
【詳解】（1）由頻率估計概率可得
甲獲得優秀的概率為0.4，乙獲得優秀的概率為0.5，丙獲得優秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設甲獲得優秀為事件A1,乙獲得優秀為事件A2，丙獲得優秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙奪冠概率估計值最大.
因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數越多，對丙越有利.
3．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.
現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.
（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的
分布列與數學期望E(X).
(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)
【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．
【分析】（1）①由題設條件還原情境，即可得解；
②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出，即可得解.
【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；
所以總檢測次數為20次；
②由題意，可以取20，30，
，，
則的分布列:
所以；
（2）由題意，可以取25，30，
兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，
則.
4．（2021·全國·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）類．
【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數學期望，比較兩個期望的大小即可．
【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以的分布列為
（2）由（1）知，．
若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以．
因為，所以小明應選擇先回答類問題．
1．（24-25高三上·福建福州·階段練習）已知籃球比賽中，得分規則如下：3分線外側投入可得3分，踩線及3分線內側投入可得2分，不進得0分；經過多次試驗，某生投籃100次，有20個是3分線外側投入，20個是踩線及3分線內側投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨立事件．
(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率；
(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）由已知得該生投投籃3分線外側投入的概率，踩線及3分線內側投入的概率，不能入籃的概率，由此能求出該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率．
（2）由已知得的可能取值為0，2，3，4，5，6，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列及數學期望．
【詳解】（1）“3分線外側投入”，“踩線及3分線內側投入”，“不能入籃”分別記為事件，，，
由題意知，，，
因為每次投籃為相互獨立事件，故4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率為.
（2）兩次投籃后得分的可能取值為0，2，3，4，5，6,
由于該生兩次投籃互不影響，是相互獨立事件，
表示兩次投籃都不能入籃，即得分都為0，
則；
表示一次是踩線及3分線內側投入，另一次不能入籃，
則；
表示一次是3分線外側投入，另一次不能入籃，
則；
表示兩次都是踩線及3分線內側投入，
則；
表示一次是3分線外側投入，另一次是踩線及3分線內側投入，
則；
表示兩次都是3分線外側投入，則，
故的分布列為
0 2 3 4 5 6
所以.
2．（24-25高三上·內蒙古赤峰·階段練習）良好的用眼習慣能夠從多方面保護眼睛的健康，降低近視發生的可能性，對于保護青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學生能夠掌握良好的用眼習慣，開展了“愛眼護眼”有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規定每名學生從兩組題目中各隨機抽取2道題作答．已知該班學生甲答對組題的概率均為，答對組題的概率均為．假設學生甲每道題是否答對相互獨立．
(1)求學生甲恰好答對3道題的概率；
(2)設學生甲共答對了道題，求的分布列及數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析；
【分析】（1）轉化為“答對組的2道題和組的1道題”與“答對組的l道題和組的2道題”兩個互斥事件的和事件的概率求解，再分別應用相互獨立事件同時發生的乘法公式即可得；
（2）按照求離散型隨機變量分布列的一般步驟求解即可.
【詳解】（1）學生甲恰好答對3道題有以下兩種情況：
第一種情況是學生甲答對組的2道題和組的1道題，
其概率；
第二種情況是學生甲答對組的l道題和組的2道題，
其概率．
故學生甲恰好答對3道題的概率．
（2）由題意可知的所有可能取值為．
，
，
，
，
由（1）可知，
則的分布列為
0 1 2 3 4
故．
3．（2024·安徽·一模）高三聯考數學試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項的得0分.設一套數學試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為.在一次模擬考試中：
(1)小明可以確認一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數學期望為3，求p；
(2)小明可以確認另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇哪個方案？
【答案】(1)
(2)②
【分析】（1）根據離散型隨機變量的分布列及期望公式計算即可，
（2）分別求解三種情況下的期望，即可比較期望大小求解.
【詳解】（1）根據題意可知，，
若該題有2個選項正確，則，
若該題有3個選項正確，則，
則分布列如下：
X 0 4 6
P
所以，
解之得；
（2）不妨記一道多選題“有2個選項正確”為事件，
“有3個選項正確”為事件，
若小明選擇方案①，
記小明該題得分為，則的可能取值為2，3，對應概率為：
，
故；
若小明選擇方案②，
記小明該題得分為，則的可能取值為，對應概率為：
，
，
故，
若小明選擇方案③，
記小明該題得分為Z，則Z的可能取值為，對應概率為：
，
.
故，
，
故以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇方案②.
4．（2024·湖南邵陽·三模）為創造良好的城市消防安全環境，某社區舉行“消防安全”答題活動，答題人根據所獲得的分數獲得相應的獎品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規定每位答題人共需回答3道題目．現有兩種方案供答題人任意選擇：
甲方案：只答A類題目；
乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規則答題，每次答對時，則下一次答A類題目，每次答錯時，則下一次答B類題目．
已知A類題目每次答對得40分，答錯得0分，B類題目每次答對得30分，答錯得0分．若小李每道A類題目能答對的概率均為，每道B類題目能答對的概率均為，且每道題能否答對與回答順序無關．
(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；
(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應該選擇哪種答題方案？
【答案】(1)
(2)乙方案
【分析】（1）由獨立事件的乘法公式求解即可；
（2）由二項分布求出小李采用甲方案答題的期望，若小李采用乙方案答題，則設他的得分為，求出的可能取值及其對應的概率，由數學期望公式求出，由即可得出答案.
【詳解】（1）若“小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分”記為事件，
則小李至少答對道A類題目，
所以.
（2）若小李采用甲方案答題，設他的得分為，則他答對的題數為，
且，所以，
則，
若小李采用乙方案答題，則設他的得分為，的可能取值為，
，，
，，
，，
所以，
因為，
所以小李想要答題得分的期望值更大，應該選擇乙方案答題.
考點三、離散型隨機變量的方差
1．（浙江·高考真題）設，則隨機變量的分布列是：
則當在內增大時
A．增大 B．減小
C．先增大后減小 D．先減小后增大
【答案】D
【分析】研究方差隨變化的增大或減小規律，常用方法就是將方差用參數表示，應用函數知識求解.本題根據方差與期望的關系，將方差表示為的二次函數，二次函數的圖象和性質解題.題目有一定綜合性，注重重要知識、基礎知識、運算求解能力的考查.
【詳解】方法1：由分布列得，則
，則當在內增大時，先減小后增大.
方法2：則
故選D.
【點睛】易出現的錯誤有，一是數學期望、方差以及二者之間的關系掌握不熟，無從著手；二是計算能力差，不能正確得到二次函數表達式.
2．（浙江·高考真題）設，隨機變量的分布列如圖，則當在內增大時，
A．減小 B．增大
C．先減小后增大 D．先增大后減小
【答案】D
【分析】先求數學期望，再求方差，最后根據方差函數確定單調性.
【詳解】，
，
，∴先增后減，因此選D.
【點睛】
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發放節日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取m個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額．
(1)若，，當袋中的球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元時，在員工所獲得的紅包數額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；
(2)若，，當袋中的球中有1個所標面值為元，2個為元，1個為元，1個為元時，求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差．
【答案】(1)
(2)期望為；方差為
【分析】（1）記事件：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，根據條件先求，再利用條件概率公式，即可求解；
（2）由題知可能取值為，再求出對應的概率，利用期望和方差的計算公式，即可求解.
【詳解】（1）記事件：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，
因為球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元，且
，，，所以，
又，所以．
（2）設X為員工取得的紅包數額，則可能取值為，
所以，，
，，
所以，
．
4．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應的獎勵基金.假設甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應的獎勵基金如下表：
歌曲
猜對的概率 0.8 0.5 0.5
獲得的獎勵基金金額/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；
(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.
【答案】(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的順序猜歌名，理由見解析.
【分析】（1）根據互斥事件和獨立重復試驗的概率公式即可求解.
（2）先根據題意寫出甲決定按“”的順序猜歌名獲得獎金數的所有可能取值，根據獨立重復試驗的概率公式求得每一個取值對應的概率，由數學期望的計算方法得出；再同理得出甲決定按“”順序猜歌名的數學期望；最后可通過計算、比較方差得出答案或者分析獲得0元的概率得出答案.
【詳解】（1）由題意可知甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名分兩種情況：猜對；猜對，這兩種情況不會同時發生.
設“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E，
由甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立可得
.
（2）甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎金數記為，
則的所有可能取值為，
所以；
甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎金數記為，
則的所有可能取值為，
所以.
參考答案一：由于，
由于，所以應該按照“”的順序猜歌名.
參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時獲得0元的概率0.2，所以應該按照“A，B，C”的順序猜歌名.
其他合理答案均給分
1．（2024·福建泉州·二模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3，4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉．主持人知道獎品在哪個箱子里．游戲規則是：主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得．現有抽獎人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子．按游戲規則，主持人將隨機打開甲選擇之外的一個空箱子，記為X號箱．
(1)求的概率；
(2)求X的方差；
(3)若，現在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選3號或4號箱？
【答案】(1)
(2)
(3)甲應該改選4號或3號箱．
【分析】（1）利用全概率公式計算；
（2）由X可能的取值，求出相應的概率，得分布列，公式法求方差；
（3）計算各箱里有獎品的概率，由結果進行選擇.
【詳解】（1）設分別表示1，2，3，4號箱子里有獎品，
設分別表示主持人打開1，2，3，4號箱子，
則，且兩兩互斥．
由題意可知，事件的概率都是，，．
由全概率公式，得．
（2）依題意可得
，同理可得，
故X的分布列為：
X 1 3 4
P
（3）在主持人打開1號箱的條件下，4號箱、2號箱、3號箱里有獎品的概率分別為
，
，
，
通過概率大小比較，甲應該改選4號或3號箱．
2．（2024·湖南長沙·三模）開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措 是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程. 某校為 確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支 持情況，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如表:
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支 持相互獨立.
(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望;
(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差與的大小.
【答案】(1)分布列見解析，
(2).
【分析】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，根據已知條件求出，的可能取值為0，1，2，求出相應的概率，從而可求得的分布列與數學期望;
（2）根據方差的性質判斷即可.
【詳解】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件 .
則 ，
則的可能取值為 .
所以，
，
，
所以 的分布列為:
0 1 2
所以 .
（2）依題意可得，
所以,
即 .
3．（2024·浙江·模擬預測）某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規則如下：
①顧客在商場內消費每滿100元，可獲得1張抽獎券；
②顧客進行一次抽獎需消耗1張抽獎券，抽獎規則為：從放有5個白球，1個紅球的盒子中，隨機摸取1個球（每個球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒有中獎，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎機會（額外抽獎機會不消耗抽獎券，抽獎規則不變）；
③每位顧客獲得的禮品數不超過3份，若獲得的禮品數滿3份，則不可繼續抽獎；
(1)顧客甲通過在商場內消費獲得了2張抽獎券，求他通過抽獎至少獲得1份禮品的概率；
(2)顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿3份，則他在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品的概率是多少？
(3)設顧客在消耗張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿3份，要獲得張抽獎券，至少要在商場中消費滿元，求的值.
（重復進行某個伯努利試驗，且每次試驗的成功概率均為.隨機變量表示當恰好出現次失敗時已經成功的試驗次數.則服從參數為和的負二項分布.記作.它的均值，方差）
【答案】(1)；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）確定一次摸獎摸到白球的概率，根據對立事件的概率計算，即 可得答案；
（2）分別求出顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿3份，以及顧客乙在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品的概率，根據條件概率的計算公式，即可求得答案；
（3）由題意確定，結合負二項分布的均值和方差公式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意可知一次摸獎摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為，
故甲至少獲得1份禮品的概率；
（2）設“顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿3份”，“顧客乙在消耗第2
張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品”
，
，
；
（3）由題意可知
則，
.
1．（2024·青海海西·模擬預測）一個袋中裝有6個同樣大小的小球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現從袋中隨機取出3個小球，用X表示取出的3個小球中最大編號和最小編號的差．
(1)求；
(2)求隨機變量X的分布列和數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，．
【分析】（1）根據題意，由概率公式代入計算，即可求解；
（2）有題意可得，X的取值分別為2，3，4，5，分別求得其對應概率，再由期望的公式代入計算，即可得到結果；
【詳解】（1）當時，這3個球的編號分別有兩個為1和6，另一個為2或3或4或5，
可得；
（2）隨機變量X的取值分別為2，3，4，5，
有，
，
，
隨機變量X的分布列為：
X 2 3 4 5
P
則．
2．（21-22高二下·廣東廣州·期中）甲 乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.
(1)求第三次由乙投籃的概率；
(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數為，求的分布列；
(3)求的期望及標準差.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)，
【分析】（1）第三次由乙投籃包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，進而結合概率的乘法公式即可求出結果；
（2）求出ξ的可能取值以及對應的概率，進而列出分布列，根據期望與標準差的概念即可求出結果；
（3）由期望公式、標準差公式可求解.
【詳解】（1）因為第三次由乙投籃包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，
所以;
（2）由題意，可取0，1，2.
P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.
故ξ的分布列為：
ξ 0 1 2
P
（3）由（2）有E(ξ)＝，
D(ξ)＝，所以.
3．（2024·廣東·二模）某廠有3組生產用設備，由于設備使用時間過長，每組設備在一個月內均有的故障率．現該廠制定設備翻新計劃，每個月月初有的概率在剩余未改造設備中隨機抽取一組并在月底翻新，但月內若有設備發生故障，則無論本月有無翻新計劃及是否抽到該設備，故障的設備都將立即翻新，且該月內不再因為故障翻新其它設備（但若發生故障的不是已經在送修計劃內的設備，則計劃翻新仍將正常進行），若再有設備發生故障則將會維修（但暫不翻新）后重新投入生產．
(1)求第一個月恰好翻新一組設備的概率；
(2)設第一個月結束后，已翻新的設備數量為隨機變量X，求X的均值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題列舉所求事件包含的事件情況，結合分類分步計數原理求得概率；
（2）先列出隨機變量的所有可能取值，結合概率公式求得每個值所對應的概率，最后利用均值的公式計算的答案；
【詳解】（1）由題，“翻新一組設備”包含“計劃翻新一組且沒有發生故障”，“沒有計劃翻新但出現故障”及“有計劃翻新且出現了故障，但故障設備恰好為計劃翻新的設備”三種事件．
設“翻新一組設備”為事件A，“計劃翻新”為事件B，“出現故障”為事件C，“抽到故障設備”為事件D
則，，，
，
因此第一個月恰好翻新一組設備的概率為．
（2）的可能取值為0，1，2，
當且僅當沒有出現故障且沒有計劃改造，
故，
由（1），，
，
故．
4．（2024·全國·模擬預測）某中學為積極貫徹并落實教育部提出的“五育并舉”措施，在軍訓期間成立了自動步槍社團來促進同學們德智體美勞全面發展，在某次軍訓課上該自動步槍社團的某同學進行射擊訓練，已知該同學每次射擊成功的概率均為.
(1)求該同學進行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；
(2)若該同學進行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記為三次射擊總得分，求的分布列及數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數學期望4
【分析】（1）由互斥加法、獨立乘法公式即可求解；
（2），求出對應的概率即可得分布列，進一步即可求得數學期望.
【詳解】（1）記“該同學進行三次射擊恰好有兩次射擊成功為事件”，
則.
（2）設事件分別表示第一次射擊成功，第二次射擊成功，第三次射擊成功，
根據題意可知.
故；
；
；
；
.
所以的分布列為：
0 2 4 6 8
故的數學期望.
5．（23-24高三上·廣東湛江·期末）已知某公司生產的風干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質量（單位：g）服從正態分布，且.
(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質量不小于的概率；
(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取（為正整數）包，記質量在內的包數為，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2001
【分析】（1）根據正態分布的性質求出的值，再結合二項分布的概率計算，即可得答案；
（2）根據正態分布的對稱性求出的值，確定，結合正態分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知每包牛肉干的質量（單位：g）服從正態分布，且，
所以，
則這3包中恰有2包質量不小于248g的概率為.
（2）因為，所以，
依題意可得，所以，
因為，所以，
又為正整數，所以的最小值為2001.
6．（2024·黑龍江牡丹江·一模）某高中舉辦詩詞知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規則如下：第一輪，參賽選手從類道題中任選道進行答題，答完后正確數超過兩道否則終止比賽才能進行第二輪答題；第二輪答題從類道題中任選道進行答題，直到答完為止．類題每答對一道得10分，類題每答對一道得分，答錯不扣分，以兩輪總分和決定優勝．總分分或分為三等獎，分為二等獎，分為一等獎．某班小張同學類題中有5道會做，類5題中，每題答對的概率均為，且各題答對與否互不影響．
(1)求小張同學被終止比賽的概率；
(2)現已知小張同學第一輪中回答的類題全部正確，求小張同學第二輪答完題后總得分的分布列及期望；
(3)求小張同學獲得三等獎的概率．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
(3)
【分析】．
（1）根據題意，第一輪中小張只答對2道則被終止比賽，計算概率即可；
（2）分析得的所有可能取值，分別求出概率，即可得出分布列，進而得出數學期望；
（3）分析出小張同學獲得三等獎的所有情況，再計算概率即可．
【詳解】（1）從類道題中任選道，其中2道會做，2道不會做，則被終止比賽，
所以小張同學被終止比賽的概率為．
（2）由題意可知，的所有可能取值為40,60,80,100，
則，
，
，
，
所以的分布列為：
所以．
（3）小張獲得三等獎，共有兩種情況，
①第一輪得30分（答對3道），則第二輪得40分（對2道），
概率為；
②第一輪得40分（答對4道），則第二輪得40分（對2道），
概率為，
所以小張同學獲得三等獎的概率為．
7．（2024·全國·模擬預測）某廠為提高工作效率，將全廠分為甲、乙2個車間，每個車間分別設有A，B，C，D，E5組．下表為該廠某日生產訂單情況統計表，請據表解答下列問題：
A B C D E
甲車間 100 120 150 180 200
乙車間 50 120 200 150 180
(1)求甲、乙2個車間該日生產訂單的平均數與方差，并根據方差判斷哪一個車間工作效率比較穩定？
(2)設甲車間合格率為0.54，乙車間合格率為0.57，求甲、乙2個車間都不合格的概率；
(3)你認為哪個車間工作效率更高？請從平均數、方差、合格率的角度分析．
【答案】(1)甲車間的平均數150，乙車間的平均數140，甲車間的方差1360，乙車間的方差2760，甲車間工作效率比較穩定
(2)0.1978
(3)答案見解析
【分析】（1）計算甲車間該日生產訂單的平均數，乙車間該日生產訂單的平均數，甲車間該日生產訂單的方差，乙車間該日生產訂單的方差；
（2）計算甲、乙2個車間都不合格的概率；
（3）比較2個車間的平均數、方差和合格率.
【詳解】（1）甲車間該日生產訂單的平均數為，
乙車間該日生產訂單的平均數為，
甲車間該日生產訂單的方差為，
乙車間該日生產訂單的方差為，
因為甲車間該日生產訂單的方差小于乙車間該日生產訂單的方差，
所以甲車間工作效率比較穩定；
（2）甲、乙2個車間都不合格的概率為；
（3）平均數上甲車間的該日生產訂單更大，方差更小，乙車間合格率更大，但是差別并不大，所以甲車間工作效率更高.
8．（2024·新疆烏魯木齊·三模）某學科測試題有多項選擇題，在每小題給出的A，B，C，D四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，若正確答案為兩項，每對一項得3分；若正確答案為三項，每對一項得2分；…．學生在作答某題時，對四個選項能正確地判斷，判斷不了（不選）和錯誤的判斷的概率如下表：
選項 作出正確的判斷 判斷不了（不選） 作出錯誤的判斷
A 0.4 0.2 0.4
B 0.2 0.3 0.5
C 0.6 0.3 0.1
D 0.5 0.3 0.2
已知此題的正確選項為AD．
(1)求學生答此題得6分的概率；
(2)求學生此題得分的分布列及數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望
【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式求解；
（2）設學生此題得分為，則的所有可能取值為，，，根據獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，進而得到的分布列，再結合期望公式求解．
【詳解】（1）設事件表示“學生答此題得6分”，選項A、D作出正確判斷，且選項B、C作出正確判斷或判斷不了，
所以；
（2）設學生此題得分為，則的所有可能取值為，，，
所以，
，則，
所以的分布列為：
0 3 6
0.685 0.225 0.09
所以．
9．（2024·湖南益陽·一模）某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗感，他們更新了部分設施，調整了部分旅游線路.為了解游客對新措施是否滿意，隨機抽取了100名游客進行調查，男游客與女游客的人數之比為2:3，其中男游客有35名滿意，女游客有15名不滿意.
滿意 不滿意 總計
男游客 35
女游客 15
合計 100
(1)完成列聯表，依據表中數據，以及小概率值的獨立性檢驗，能否認為游客對公園新措施滿意與否與性別有關
(2)從被調查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機從這5名游客中抽取3名游客征求他們對公園進一步提高服務質量的建議，其中抽取男游客的人數為.求出的分布列及數學期望.
參考公式：，其中.
參考數據：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)聯表見詳解，不能.
(2)分布列見詳解，
【分析】（1）根據男游客與女游客的人數的比值,結合卡方計算公式進行計算求解即可；
（2）根據超幾何分布的性質，結合數學期望公式進行求解即可.
【詳解】（1）因為調查的男游客人數為：，所以，調查的女游客人數為，于是可完成列聯表如下：
滿意 不滿意 總計
男游客 35 5 40
女游客 45 15 60
合計 80 20 100
零假設為：游客對公園新措施滿意與否與性別無關.根據列聯表中的數據，可得：
，
根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即游客對公園新措施滿意與否與性別無關；
（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依題意可知的可能取值為0，1，2，并且服從超幾何分布，即，，.
所以的分布列為：
0 1 2
.
10．（2023·陜西西安·一模）某公司計劃在2023年年初將200萬元用于投資，現有兩個項目供選擇.項目一：新能源汽車.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發生的概率分別為和；項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為.
(1)針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由；
(2)若市場預期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項目長期投資（每一年的利潤和本金繼續用作投資），問大約在哪一年的年底總資產（利潤+本金）可以翻兩番？（參考數據）
【答案】(1)建議該投資公司選擇項目一進行投資，理由見解析
(2)大約在2030年年底總資產可以翻兩番
【分析】（1）分別計算出兩個項目的期望和方差，比較后得到結論；
（2）設年后總資產可以翻兩番，根據題意列出方程，求出答案.
【詳解】（1）若投資項目一，設獲利為萬元，則的分布列為
60 -30
若投資項目二，設獲利為萬元，則的分布列為
100 0 -60
，
，
，
，
，
這說明雖然項目一 項目二獲利的均值相等，但項目一更穩妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一進行投資.
（2）假設年后總資產可以翻兩番，依題意，，即，
兩邊取對數，得，
，，
大約在2030年年底總資產可以翻兩番.
1．（2024·甘肅張掖·三模）春節期間電影院上映5部影片：賀歲片有《第20條》，《飛馳人生》和《熱辣滾燙》，往期電影《滿江紅》，《流浪地球2》.媽媽有4張電影票給了姐姐和弟弟每人2張，讓他們自己選擇看哪2部電影.
(1)求姐姐恰好看了2部賀歲片的概率；
(2)求姐弟兩人觀看賀歲片的部數的分布列和數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望為2.4.
【分析】（1）根據超幾何分布模型計算概率即可；
（2）利用超幾何分布得到，再根據獨立事件的乘法公式寫出對應概率，最后計算期望即可.
【詳解】（1）設事件:姐姐恰好看了2部賀歲片.
則，
所以姐姐恰好看了2部賀歲片的概率為.
（2）設表示姐姐看了部賀歲片.
表示弟弟看了部賀歲片.
則知.
知.
，
.
隨機變量表示姐弟二人觀看賀歲片的總數的取值有0，1，2，3，4.
，
，
，
，
.
從而隨機變量的分布列為：
0 1 2 3 4
所以的數學期望.
即姐弟2人觀看賀歲片的部數的數學期望為2.4.
2．（2024·四川·一模）甲、乙兩名同學進行定點投籃訓練，據以往訓練數據，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響、現甲、乙兩人開展多輪次的定點投籃活動，每輪次各投個球，每投進一個球記分，未投進記分.
(1)求甲在一輪投籃結束后的得分不大于的概率；
(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為.
①求的分布列和數學期望；
②若，則稱該輪次為一個“成功輪次”.在連續輪次的投籃活動中，記“成功輪次”為，當為何值時，恒成立？
【答案】(1)
(2)①分布列見解析，；②或或
【分析】（1）將問題轉化成甲在一輪投籃中至多命中一次，再利用對立事件和相互獨立事件同時發生的概率公式，即可求解；
（2）①由題知可能取值為，根據條件，求出相應的概率，即可求出分布列，再利用期望公式，即可求解；②根據條件，得到，再由，即可求解.
【詳解】（1）甲在一輪投籃結束后的得分不大于，即甲在一輪投籃中至多命中一次，
所以甲在一輪投籃結束后的得分不大于的概率為.
（2）①由題知可能取值為，
，，
，
，，
所以的分布列為
數學期望.
②由①知，由題知，所以，
由，
得到且，
整理得到，即，
得到，所以，
由題有，所以，得到，又，所以或或.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在第（2）中的②問，根據條件得到，從而得到，再將問題轉化成求解不等式，即可求解.
3．（2024·廣西來賓·模擬預測）中國共產黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會提出，中國式現代化是物質文明和精神文明相協調的現代化.必須增強文化自信，發展社會主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優秀傳統文化，加快適應信息技術迅猛發展新形勢，培育形成規模宏大的優秀文化人才隊伍，激發全民族文化創新創造活力.為此，某學校舉辦了“傳承中華優秀傳統文化”宣傳活動，學校從全體學生中抽取了100人對該宣傳活動的了解情況進行問卷調查，統計結果如下：
男 女 合計
了解 20
不了解 20 40
合計
(1)將列聯表補充完整；
(2)根據的獨立性檢驗，能否認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關聯？
(3)若把上表中的頻率視作概率，現從了解該活動的學生中隨機抽取3人參加傳統文化知識競賽.記抽取的3人中女生人數為，求隨機變量的分布列和數學期望.
附：，其中
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)表格見解析；
(2)根據的獨立性檢驗，不能認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關聯；
(3)分布列見解析；.
【分析】（1）由題意以及表格數據即可填寫.
（2）零假設該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別無關，根據列聯表中的數據計算，再根據小概率值作出判斷即可.
（3）先求隨機變量，接著依次求各隨機變量取值相應的概率即可得分布列，再由二項分布的數學期望公式去計算即可得.
【詳解】（1）由題得列聯表如下：
男 女 合計
了解 40 20 60
不了解 20 20 40
合計 60 40 100
（2）零假設該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別無關，
由（1）可得，
則根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，
即可以認為成立，故不能認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關聯.
（3）由（1）可知抽取的100名學生中了解該活動的學生男生和女生分別為40人和20人，
所以從了解該活動的學生中隨機抽取1人參加傳統文化知識競賽，抽取的是女生的概率為，
則由題意可知，且，
所以，，
，，
所以隨機變量的分布列為
0 1 2 3
所以隨機變量的數學期望為.
4．（2024·廣東廣州·模擬預測）在某地區進行高中學生每周戶外運動調查，隨機調查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數據的頻率分布直方圖.
(1)求的值，估計該地區高中學生每周戶外運動的平均時間；（同一組數據用該區間的中點值作代表）
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內的人數為，求的分布列和期望；
(3)以頻率估計概率，從該地區的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內的概率，當最大時，求的值.
【答案】(1)，平均時間為小時
(2)分布列見解析，期望
(3)
【分析】（1）根據頻率和為，可得，再根據平均數公式直接計算平均數即可；
（2）分別計算時間在，的頻數，結合分層抽樣可得兩組分別抽取人，根據超幾何分布的概率公式分別計算概率，可得分布列與期望；
（3）根據頻率分布直方圖可知運動時間在內的頻率，根據二項分布的概率公式可得，根據最值可列不等式，解不等式即可.
【詳解】（1）由已知，解得，
所以平均數為
.
（2）這名高中學生戶外運動的時間分配，
在，兩組內的學生分別有人，和人；
所以根據分層抽樣可知人中在的人數為人，在內的人數為人，
所以隨機變量的可能取值有，，
所以，，
則分布列為
期望；
（3）由頻率分布直方圖可知運動時間在內的頻率為，
則，
若為最大值，則，
即，
即，解得，
又，且，則.
5．（2024·北京門頭溝·一模）2024年1月11日，記者從門頭溝區兩會上獲悉，目前國道109新線高速公路（簡稱新高速)全線35坐橋梁主體結構已全部完成，項目整體進度已達到，預計今年上半年開始通車，通車后從西六環到門頭溝區清水鎮車程將縮短到40分鐘。新高速全線設頎主線收費站兩處（分別位于安家莊和西臺子)和匝道收費站四處 (分別位于雁翅、火村、清水和齋堂)。新高速的建成為市民出行帶來了很大便利，為此有關部門特意從門頭溝某居民小區中隨機抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對其出行的原因和下高速的出口進行了問卷調查（問卷中每位居民只填寫一種出行原因和對應的一個下高速的出口)，具體情況如下：
（假設該小區所有打算利用新高速出行的居民的出行相對獨立，且均選擇上表中的一個高速出口下高速）。
項目 齋堂出口 清水出口 安家莊出口 雁翅出口 火村出口 西臺子出口
上班 40 8 2 5 3 2
旅游 30 20 10 10 12 8
探親 16 10 10 5 5 4
(1)從被調查的居民中隨機選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表樣本的頻率估計概率，從該小區所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取2人，從出行旅游的人中隨機抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數記為，求的分布列和數學期望；
(3)用上表樣本的頻率估計概率，從該小區所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取 1 人，用 “”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速：從該小區所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機抽取1人，用 “”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速，寫出方差 的大小關系． (結論不要求證明）．
【答案】(1)
(2)見詳解
(3)
【分析】（1）根據古典概型在清水出口下高速的人數比總樣本數即可得到概論。
（2）由題意，隨機變量的所有可能為0，1，2，3，分別求出概率，即可求出分布列，利用期望公式求出期望。
（3）通過對，方差的估算，即可得出。
【詳解】（1）解：樣本中被調查的居民人數為200，
其中利用新高速出行探親且在清水出口下高速的人數為10，
所以該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率為：，
（2）解：從樣本中所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為；
從樣本中所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為，
由題設，的所有可能取值為0，1，2，3.
,
，
，
，
所以隨機變量X的分布列為：
0 1 2 3
所以X的數學期望.
（3）解：
6．（2024·江西南昌·模擬預測）南昌二中一直有個優秀的傳統“畢業學習經驗分享會”：每屆高考結束后，各班推薦優秀學生代表與下一屆學生進行學習經驗分享.2024屆高三年級班號依次為0，1，2，…，27，高三0班推薦2名男生和2名女生，其余各班均推薦1名男生和1名女生參加分享會；第一場分享會的4名學生嘉賓是從高三0班的優秀學生代表中選出的2名和高三1班的2名優秀學生代表共同形成，第二場分享會的4名學生嘉賓是從上一場4名嘉賓中選出的2名和高三2班的2名優秀學生代表共同形成，…，按照這樣的方式，依次進行到第二十七場分享會.
(1)求在第一場分享會學生嘉賓中有2名男生的概率；
(2)求在第二場分享會學生嘉賓中有2名男生的概率；
(3)記在第二十七場分享會學生嘉賓中男生人數為，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列見解析，期望為
【分析】（1）借助組合數結合概率定義計算即可得；
（2）借助全概率公式計算即可得；
（3）借助全概率公式與概率之和為，可得出與有關等式，結合等比數列的性質計算即可得，再利用對稱性求出、后，即可由分布列與期望定義得到相應分布列與期望.
【詳解】（1）設第場分享會學生嘉賓中有1名男生為事件，有2名男生為事件，有3名男生為事件，則；
（2）；
（3）當時，
，
，
，
由，
故
，
即有，又，則，
即數列是以為首項，為公比的等比數列，
即，即，
結合對稱性可知，每次分享會學生嘉賓中有1名男生的概率與3名男生的概率相同，
故，又，
故有，
第二十七場分享會學生嘉賓中男生人數的可能取值為、、，
，
，
，
則其分布列為：
則.
【點睛】關鍵點點睛：本題最后一問關鍵點在于借助，得到，從而可由等比數列的性質解題.
7．（2024·遼寧·模擬預測）某自然保護區經過幾十年的發展，某種瀕臨滅絕動物數量有大幅度的增加.已知這種動物擁有兩個亞種（分別記為種和種）.為了調查該區域中這兩個亞種的數目，某動物研究小組計劃在該區域中捕捉100個動物，統計其中種的數目后，將捕獲的動物全部放回，作為一次試驗結果.重復進行這個試驗共20次，記第次試驗中種的數目為隨機變量.設該區域中種的數目為，種的數目為（，均大于100），每一次試驗均相互獨立.
(1)求的分布列；
(2)記隨機變量.已知，
（i）證明：，；
（ii）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為.數據的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計值.
（已知隨機變量服從超幾何分布記為：（其中為總數，為某類元素的個數，為抽取的個數），則）
【答案】(1)見解析
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ），
【分析】（1）利用超幾何分布求解即可；
（2）（ⅰ）利用均值和方差的性質求解即可；
（ⅱ）利用題目給的方差公式結合第（ⅰ）中的結論，求出，，然后列方程求解即可.
【詳解】（1）依題意，均服從完全相同的超幾何分布，
且，均大于100，
故的分布列為.
0 1 99 100
（2）（i）均服從完全相同的超幾何分布，故
，
，
故，
（ii）由（ⅰ）可知的均值
利用公式計算的方差，
所以
依題意有
解得，．
所以可以估計，．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于靈活運用期望和方差的性質，以及超幾何分布的方差公式.
8．（2024·浙江溫州·模擬預測）在坐標平面內 的區域，隨機生成一個橫縱坐標均為整數的一個整點，記該點到坐標原點的距離是隨機變量X
相關公式:
(1)當 時，寫出X的分布列和期望.
(2)記隨機變量 與分別表示 的橫縱坐標.
①求出 的期望
②現在實際上選取了四個點嘗試運用樣本的平均值去估計數學期望，以此來得到估計值 (四舍五入取整).
(3)記方差 ，試證明 .
【答案】(1)分布列見解析，期望
(2)①，②8
(3)證明見解析
【分析】（1）根據題意寫出的分布列并計算期望.
（2）①根據期望的性質求解；②根據已知條件求平均數，然后求解數據；
（3）根據方差的計算公式，進行證明求解.
【詳解】（1）整點有，
故的取值為，則分布列：
X 0 1 2
P
期望
（2）①，
所以
②，所以平均數是 7.75.
所以取， 四舍五入取
（3）先求 ,
則方差成立
9．（2024·安徽·三模）現有甲 乙兩個不透明盒子，都裝有1個紅球和1個白球，這些球的大小 形狀 質地完全相同.
(1)若從甲 乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個數為.求的分布列與數學期望；
(2)現從甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次數不超過次的情況下，抽取到2次紅球，則停止抽取，一直抽取不到2次紅球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止時，抽取的次數為，求的數學期望，并證明：.
【答案】(1)分布列見解析，
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可知的所有可能取值為，易求得，可得分布列，計算可求數學期望.
（2）當時，，
當時，，利用錯位相減法可求，進而利用單調性可證明結論.
【詳解】（1）由題意可知的所有可能取值為，
且，
的概率分布表如下：
0 1 2
.
（2）當時，，
當時，，
記，
則，
兩式相減得，
.
所以，
記，
則，
當時，，所以，且，
所以成立.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是利用錯位相減法求出，代入得到，再計算得到其單調性即可.
10．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）有一個摸球游戲，在一個口袋中裝有個紅球和個白球，這些球除顏色外完全相同，每次從中摸一個球，記錄摸出球的顏色，然后再將球放回口袋中．
(1)若、，重復上述摸球試驗5次，用X表示5次中摸出紅球的次數，求X的分布列及方差；
(2)若，．
①當甲在游戲的過程中，又來了乙和丙，他們一起玩摸球游戲，第一次由甲摸球，若甲摸到紅球，則下一次甲繼續摸球，否則隨機在另外兩人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到紅球，則下一次還是他自己繼續摸球，否則也隨機在另外兩人中等可能地指定一人摸球，如此進行下去，記為第n次是甲摸球的概率，求；
②第二天，甲獨自一人繼續摸球游戲，每次從袋中摸一個球，記錄摸出球的顏色，然后將球放回口袋中，當第2次摸到紅球時停止游戲，否則游戲一直繼續進行下去，以隨機變量Y表示所需摸球的次數，這里Y服從的分布稱作帕斯卡分布或負二項分布．帕斯卡分布的定義如下：在重復、獨立的伯努利試驗中，若每次試驗成功的概率為，失敗的概率為，若將試驗進行到恰好出現r（r為常數）次成功時結束試驗，以隨機變量Y表示所需試驗的次數，則Y是一個離散型隨機變量，稱Y服從以r、p為參數的帕斯卡分布或負二項分布，記作．帕斯卡分布是統計學上一種離散概率分布，常用于描述生物群聚性，醫學上也用來描述傳染性或非獨立性疾病的分布和致病生物的分布．根據定義，我們能夠得到這里的，，．求．
【答案】(1)分布列見解析，方差
(2)①；②4
【分析】（1）由題可得，再由二項分布的概率計算公式求出各個概率，從而得到分布列，再由方差公式計算可得方差；
（2）①由題意得到，構造等比數列即可求得；
②求出Y的分布列，再由方程公式和極限與組合數的運算計算即可求得.
【詳解】（1）由題意，，且的可能取值為
，，
，，
，
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3 4 5
P
所以方差
（2）①在題中，為第n次是甲摸球的概率，又設為第n次是乙摸球的概率，設為第n次是乙摸球的概率，則有，且，，，
根據題意，我們還能得到：
化簡得：，
∴，又，
∴數列是以為首項，以為公比的等比數列，
∴，即∴
②∵，∴的可能取值為
Y的分布列為：
Y 2 3 4 5 n
，
又因為時，，，．
根據分布列的性質有，代入上式得：
．
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問第一小問的關鍵是構造出這樣的等比數列，從而求出.
1．（浙江高考真題） 袋子和中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸一個紅球的概率是，從中摸出一個紅球的概率為p.
（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球則停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②記5次之內（含5次）摸到紅球的次數為，求隨機變量的分布列及數學期望.
（2）若A、B兩個袋子中的球數之比為1：2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值.
【答案】（1）① ；②分布列見解析；數學期望.
（2）.
【分析】（1）①利用相互獨立事件的概率公式即可求解；
②利用獨立重復試驗的概率公式分別計算概率，寫出分布列，求出數學期望；
（2）設袋子A中有個球，則袋子B中有個球，利用古典概型的概率公式求得p.
【詳解】（1）①從A中有放回地摸球，屬于獨立重復實驗，所以概率
②由題意可得：隨機變量的取值為0，1，2，3.
..
..
的分布列是：
0 1 2 3
（2）設袋子A中有個球，則袋子B中有個球.
由，得 .
2．（山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：
（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數學期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，
【詳解】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得到的分布列，根據期望公式求解.
試題解析：
（Ⅰ）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，
記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，
記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”.
由題意，
由事件的獨立性與互斥性，
,
所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.
（Ⅱ）由題意，隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.
由事件的獨立性與互斥性，得
,
,
,
,
,
.
可得隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4 6
P
所以數學期望.
【考點】獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和數學期望
【名師點睛】本題主要考查獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分布列和數學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數，利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生的數學應用意識、基本運算求解能力等.
3．（安徽·高考真題）本小題滿分13分）
工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人．現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率．若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？
（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數目的分布列和均值（數字期望）；
（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小．
【答案】（1） 不變化；（2）；（3）先派甲,再派乙,最后派丙時, 均值（數字期望）達到最小
【詳解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的順序派人,任務能被完成的概率為．
若甲在先,丙次之,乙最后的順序派人,任務能被完成的概率為，
發現任務能完成的概率是一樣.
同理可以驗證，不論如何改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率不發生變化.
（2）由題意得可能取值為
∴，
∴其分布列為:
．
（3）,
∴要使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小,
則只能先派甲、乙中的一人.
∴若先派甲,再派乙,最后派丙,則；
若先派乙,再派甲,最后派丙, 則，
，
∴先派甲,再派乙,最后派丙時, 均值（數字期望）達到最小．
4．（四川·高考真題）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有人獨立來該租車點則車騎游.各租一車一次.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【詳解】（1）由題意得，甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付得租車費用相同為事件，則
．所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為．
（2）的可能取值為0，2，4，6，8，
，
，，
分布列如下表：
0 2 4 6 8
數學期望Eξ=×2+×4+×6+×8=
考點：離散型隨機變量的分布列及概率．
5．（陜西·高考真題）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：
時間（分鐘）
的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．
（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數學期望．
【答案】（Ⅰ）甲應選擇乙應選擇
（Ⅱ）見解析
【詳解】（1）會用頻率估計概率，然后把問題轉化為互斥事件的概率；（2）首先確定X的取值，然后確定有關概率，注意運用對立事件、相互獨立事件的概率公式進行計算，列出分布列后即可計算數學期望．
（1）表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內趕到火車站”，表示事件“甲選擇路徑時，50分鐘內趕到火車站”，，．
用頻率估計相應的概率，則有：
，；
∵，∴甲應選擇路徑；
，；
∵，∴乙應選擇路徑．
（2）用A，B分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由（1）知，，又事件A，B相互獨立，的取值是0，1，2，
∴，
，
∴X的分布列為
0 1 2
P 0.04 0.42 0.54
∴．
6．（全國·高考真題）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n．如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．
假設這批產品的優質品率為50%，即取出的產品是優質品的概率都為50%，且各件產品是否為優質品相互獨立
（1）求這批產品通過檢驗的概率；
（2）已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．
【答案】（1）記該批產品通過檢驗為事件A；則；
（2）X的可能取值為400、500、800；
，，，則X的分布列為
X 400 500 800
P
【詳解】(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件A，
第一次取出的4件產品中全為優質品為事件B，
第二次取出的4件產品都是優質品為事件C，
第二次取出的1件產品是優質品為事件D，
這批產品通過檢驗為事件E，
∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝.
(2)X的可能取值為400，500，800，并且
P(X＝400)＝1－， P(X＝500)＝ ，P(X＝800)＝＝ ，
∴X的分布列為
X 400 500 800
P
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.
7．（福建·高考真題）某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品．
（Ⅰ）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為,求的概率；
（Ⅱ）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）他們都在選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望最大
【詳解】(Ⅰ)由已知得:小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,兩人中獎與否互不影響,
記“這2人的累計得分”的事件為A,則A事件的對立事件為“”,
,
這兩人的累計得分的概率為.
(Ⅱ)設小明.小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數為,都選擇方案乙抽獎中獎的次數為,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數學期望為,選擇方案乙抽獎累計得分的數學期望為
由已知:,
,
,
他們都在選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數學期望最大.
8．（江西·高考真題）某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.5， 0.6， 0.4．經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次燒制后恰有一件產品合格的概率；
(2)經過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數為ξ，求隨機變量ξ的期望．
【答案】(1)第一次燒制后恰有一件產品合格的概率；
(2)
【分析】（1）根據獨立事件概率乘法公式分別求出只有甲，只有乙，只有丙合格的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求出恰有一件合格的概率；
（2）由已知確定隨機變量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望.
【詳解】（1）分別記甲、乙、丙經第一次燒制后合格為事件，，，則，，，設表示第一次燒制后恰好有一件合格， ，
所以
．
（2）設甲、乙、丙經第二次燒制后合格為事件，，，分別記甲、乙、丙經過兩次燒制后合格為事件，，，則，，，，，，
，，
所以，
，
，
．
于是，
9．（山東·高考真題）先在甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得分，沒有命中得分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中一次得分，沒有命中得分.該射手每次射擊的結果相互獨立.假設該射手完成以上三次射擊.
（Ⅰ）求該射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求該射手的總得分的分布列及數學期望.
【答案】： （Ⅰ） （Ⅱ）分布列見解析；
【詳解】試題分析：（I）三次射中一次，射中的一次可能是甲靶也可能是乙靶，而三次射擊都是獨立的，利用乘法公式求出三種情況下的概率并求和；（II）選手射擊所的最低分為分，最高分為分，求出所有得分所對應的概率，并列表求期望.
試題解析：（Ⅰ）記“該射手恰好命中一次”為事件；“該射手射擊甲靶命中”為事件；“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件；“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件
由題意知，，，
由于，根據事件的獨立性與互斥性得
（Ⅱ）根據題意，的所以可能取值為．
根據事件的獨立性和互斥性得
，
，
，
故的分布列為
所以．
考點：獨立性事件的概率，數學期望.
10．（江西·高考真題）因冰雪災害，某柑桔基地果林嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實施．若實施方案一，預計第一年可以使柑桔產量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產量為第一年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實施方案二，預計第一年可以使柑桔產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產量為第一年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實施每種方案第一年與第二年相互獨立，令表示方案i實施兩年后柑桔產量達到災前產量的倍數．
(1)寫出的分布列；
(2)實施哪種方案，兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大？
(3)不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產量達不到、恰好達到、超過災前產量，預計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元．問實施哪種方案的平均利潤更大？
【答案】(1)見解析
(2)實施方案二，兩年后柑桔產量超過災前的概率更大；
(3)實施方案一的平均利潤最大.
【分析】（1）根據所給數據分別求出、的可能值，并算出對應的概率即可得分布列；
（2）利用（1）中、的分布列，分別計算出，的概率即可得解；
（3）利用（1）中、的分布列，求出兩種方案利潤的值及對應概率，再經計算即可作答.
【詳解】（1）依題意，的所有可能值：0.8，0.9，1.0，1.125，1.25，
，，
，，
，
于是得的分布列為：
0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
的所有可能值：0.8，0.96，1.0，1.2，1.44，
，，
，，
，
于是得的分布列為：
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44
P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
（2）由（1）知，實施方案一，兩年后柑桔產量超過災前的概率為：
，
實施方案二，兩年后柑桔產量超過災前的概率為：
，
因為
所以實施方案二，兩年后柑桔產量超過災前的概率更大；
（3）令表示第i種方案的利潤，它們的所有可能值均為：10萬元、15萬元、20萬元，
由（1）得：，
則(萬元)，
，
則(萬元)，
而，
所以實施方案一的平均利潤最大.
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