資源簡介

第07講 圓錐曲線中的離心率問題
（高階拓展、競賽適用）
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第12題,5分 求雙曲線的離心率 無
2024年新I卷，第16題,15分 求橢圓的離心率 根據橢圓過的點求標準方程 橢圓中三角形(四邊形)的面積 根據韋達走理求參數
2023年新I卷，第5題,5分 求橢圓的離心率或離心率的取值范圍 由橢圓的離心率求參數的取值范圍 無
2023年新I卷，第16題,5分 利用定義解決雙曲線中集點三角形問題 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 無
2022年全國甲卷（文科）， 第11題,5分 根據離心率求橢圓的標準方程 根據a、b、c求橢圓標準方程
2022年全國甲卷（理科）， 第10題,5分 求橢圓的離心率或離心率的取值范圍 已知兩點求斜率
2022年全國乙卷（理科）， 第11題,5分 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 用和、差角的正弦公式化簡、求值 正弦定理解三角形
2022年新I卷，第16題,5分 根據離心率求楠圓的標準方程 橢圓中焦點三角形的周長問題
2021年全國乙卷（理科）， 第11題,5分 求橢圓的離心率或離心率的取值范圍 根據二次函數的最值或值域求參數
2021年全國甲卷（理科）， 第5題,5分 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等或偏難，分值為5分
【備考策略】1.理解離心率的定義及對曲線的影響
2.能用定義法求離心率
3.能用文中其他方法快速求解離心率
4.能求解離心率的相關最值問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習
知識講解
橢圓離心率求解的5種常用方法
公式1:
公式2: 變形
證明:
公式3:已知棚圓方程為,兩焦點分別為,
設焦點三角形,,則橢圓的離心率
證明:,
由正弦定理得:
由等比定理得:,即
.
公式 4: 以橢圓 兩焦點 及橢圓上任一點 (除長軸兩端點外) 為頂點 , 則
證明: 由正弦定理有.
公式5:點是橢圓的焦點,過的弦與橢圓焦點所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則
當曲線焦點在軸上時,
注:或者而不是或
雙曲線離心率求解的5種常用方法
公式1:
公式
證明:
公式3:已知雙曲線方程為兩焦點分別為,設焦點三角形,則
證明:,
由正弦定理得:
由等比定理得:
即。
公式4:以雙曲線的兩個焦點及雙曲線上任意一點除實軸上兩個端點外)為頂點的,則離心率
證明:由正弦定理,有
即
又
公式5:點是雙曲線焦點,過弦與雙曲線焦點所在軸夾角為為直線斜率,,則,當曲線焦點在軸上時,
注:或者而不是或
考點一、橢圓、雙曲線中的定義法或公式法求離心率
1．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦點坐標可得焦距，結合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.
【詳解】由題意，設、、，
則，，，
則，則.
故選：C.
2．（2023·全國·高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
3．（全國·高考真題）雙曲線C:的 一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【答案】D
【分析】由雙曲線漸近線定義可得，再利用求雙曲線的離心率．
【詳解】由已知可得，
，故選D．
【點睛】對于雙曲線：，有；對于橢圓，有，防止記混．
4．（2024·新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點.
(1)求C的離心率;
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以.
5．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
【詳解】（1）由題意，從而，
所以橢圓方程為，離心率為；
1．（2024·遼寧·模擬預測）已知焦點在軸上的橢圓的短軸長為2，則其離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據橢圓的定義和性質即可求解.
【詳解】由橢圓的短軸長為2，知，，即，，
因此，
又橢圓的離心率，
故選：A.
2．（2024·安徽·模擬預測）雙曲線的一條漸近線過點，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一條漸近線過點得，代入即可求解．
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
將點代入中，得，
故離心率，
故選：A．
3．（2024·河南周口·模擬預測）已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，由已知可得，進而可求離心率.
【詳解】由題意可知，，則，設，則，
所以，故的離心率為.
故選：C.
4．（2024·四川樂山·三模）設雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得橢圓的離心率，進而可求得雙曲線的離心率，可求的值.
【詳解】由橢圓，可得，
所以，所以橢圓的離心率，
又，所以雙曲線的離心率為，
又雙曲線，所以，
所以，解得.
故選：B.
5．（2024·山東·二模）如圖所示，已知雙曲線的焦點分別是是等邊三角形，若的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率等于 ．
【答案】/.
【分析】由等邊三角形性質可得，然后由雙曲線的定義可得的關系，即可求得離心率.
【詳解】因為是等邊三角形，點是的中點，則，
又，所以，
因為點在雙曲線上，所以，
所以．
故答案為：
6．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的離心率為，焦點為,，一個短軸頂點為，則（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】由題可得，可得，即可求解.
【詳解】設橢圓的中心為，長軸長、短軸長、焦距分別為，，，則在等腰三角形中，，，．
因為橢圓的離心率為，所以在直角三角形中，，故，．
故選：D
考點二、利用“公式3”求焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率
已知是橢圓的兩個焦點,是上的一點,若,且,則的離心率為)
A. B. C. D.
2．（全國·高考真題）設橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，
∠=，則C的離心率為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，
故離心率e＝選D.
點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.
5．（全國·高考真題）設是等腰三角形，，則以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題設條件可知，由正弦定理可得，再由雙曲線的定義可得，最后由離心率公式進行計算即可得解.
【詳解】雙曲線的焦點為，，則，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
雙曲線過點，由雙曲線的定義可得，
解得離心率，
故選：B.
【點睛】本題主要考查雙曲線的定義、離心率以及解三角形問題，屬于中檔題.求雙曲線離心率，一般可由下面兩個方面著手：
（1）根據已知條件確定，，的等量關系，然后把用，代換，求的值；
（2）已知條件構造出，，的等式或不等式，結合化出關于，的式子，再利用，化成關于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.
1．（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意求得、，再由正弦定理以及橢圓的定義，可算得與的關系，進而求出橢圓的離心率.
【詳解】
由題意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以橢圓的離心率.
故選：B.
2．（2023·北京·校考模擬預測）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由題意結合雙曲線的定義和直角三角形的幾何性質，列式運算可得其離心率的值.
【詳解】設雙曲線的半焦距為，則，
由題意可得：，
因為，整理得.
故選：D.
4．（2024·山東菏澤·高三統考）設，是橢圓的兩個焦點.若在上存在一點，使，且，則的離心率為 .
【答案】.
【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，則根據橢圓定義可得三角形三邊長度，利用勾股定理即可求解.
【詳解】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，
由橢圓的定義可得，，又，
在△中，由勾股定理可得：，即，
，
故答案為：.
【點睛】該題考查了橢圓定義以及直角三角形中的勾股定理問題，屬于基礎題目.
考點三、利用“公式5”求橢圓、雙曲線離心率
1．（全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過A，B分別作右準線的垂直AM，AN，垂足分別為M,N,再過B作BH垂直AM垂足為H，設|BF|=x,則|AF|=4x,根據雙曲線的第二定義可知
|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直線l的傾斜角為,所以
，所以 .
2．（全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】因為，所以，從而，則橢圓方程為．依題意可得直線方程為，聯立可得
設坐標分別為，則
因為，所以，從而有 ①
再由可得，根據橢圓第二定義可得，即 ②
由①②可得，所以，則，解得．因為，所以，故選B
3．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數積的幾何意義得到關于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因為，所以，則，
又，所以，則，
又點在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股定理與余弦定理得到關于的齊次方程，從而得解.
1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，設出，根據橢圓的定義可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可.
【詳解】因為，不妨令，

由過的直線交橢圓于，兩點，由橢圓的定義可得，，，
則，，
又因為，所以，則和都是直角三角形，
由勾股定理可得，，
即，解得，
所以，，
又，，
所以，解得，
所以橢圓的離心率為.
故選：B.
2．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】
【分析】聯立直線和漸近線方程，可求出點，再根據可求得點，最后根據點在雙曲線上，即可解出離心率．
【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，
聯立，得，由，得
而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.
故答案為：．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意知，，設，由解得點坐標，代入橢圓方程，化簡即可求得離心率.
【詳解】設橢圓的焦點在軸上，方程為，，，
設，由，且，
故，，
由點在橢圓上，故，整理得，
故離心率，
故選：B.
考點四、斜率乘積求離心率
1．（2024·四川達州·二模）雙曲線的左、右頂點分別為為上一點，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】設，由直線的斜率公式，結合的坐標滿足雙曲線方程，可得的關系，由離心率公式即可求解.
【詳解】由題意得，
設，可得，
即，
又直線與直線斜率之積為2，
得，
則離心率.
故選：.
2．（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，則，由點差法求解離心率即可.
【詳解】設，則，
則，兩式相減可得，
，即，
即，，故.
故選：B
1．（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設出各點坐標，利用點差法得到斜率的表達式，化簡即可得到離心率的值.
【詳解】直線經過原點，設，，.
.
又，，兩式相減，得.
，.離心率為.
故選：B.
2．（2024·湖北·模擬預測）橢圓的右頂點為，直線與橢圓交于A，B兩點，直線PA，PB的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題可得，設，，由，可得，進而可求離心率.
【詳解】由題可得，設，，則，
又，則，，
則，．
故選：B
考點五、余弦定理求離心率
1．（2021·全國·高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.
【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因為,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故選：A
【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關系是求解的關鍵.
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，，，根據橢圓的定義及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出與的關系，即可求出離心率.
【詳解】不妨設，，，則，．
又，所以，化簡得，
顯然，所以，解得，，所以，，
故，解得，故的離心率為．
故選：D
3．（2024·廣西桂林·模擬預測）已知是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據點到直線得距離公式求出，在和中，求出，利用余弦相反構造的齊次式，即可得解.
【詳解】，點到漸近線的距離為，即，
因為，所以，，
在中，由余弦定理得：.
在中，由余弦定理得：.
因為，所以，
所以，又，所以，
所以.
故選：D
4．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與橢圓的一個交點為，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】由直線的斜率得和，由得和，中，由余弦定理列方程求橢圓的離心率.
【詳解】由題知在軸上方，直線的斜率為，則，．
由，，得，
所以由橢圓的定義有．
在中，由余弦定理得，
整理得，得，即，
解得或，
故橢圓的離心率為或．
故選：C.
1．（2024·湖南長沙·二模）已知，分別為橢圓的左 右焦點，為橢圓的上頂點，過作的垂線，并與橢圓交于點，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用橢圓的定義，結合余弦定理可得離心率.
【詳解】
如圖所示，
設關于原點對稱的點為，則為平行四邊形，
由可知，，，三點共線，且，
設，則，在中，，解得，
注意到，
在中結合余弦定理可得，，
解得，則，所以，
故選：C.
2．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點，上兩點滿足：，，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據焦點三角形的邊長關系，利用余弦定理即可求解.
【詳解】由可知，設，則，,,
則由余弦定理可得
化簡可得，故，（舍去），
又,
所以，化簡可得，故，
故選：D
3．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，傾斜角為且過原點的直線交橢圓于兩點.若，設橢圓的離心率為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，得到四邊形為矩形，由直線過原點且傾斜角為，在和中，利用余弦定理計算得，結合橢圓的定義,求得離心率，進而計算出.
【詳解】如圖所示，

因為，且分別為和的中點，，所以四邊形為矩形，
又直線過原點且傾斜角為，即，，且為等腰三角形，
所以，在中，根據余弦定理可得，即，
同時，在中，根據余弦定理可得，即，
所以，可得，
.
故選：B.
4．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接，．若O為坐標原點，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形面積關系得出，再由勾股定理及橢圓定義求出，利用余弦定理及求解即可.
【詳解】設，由
可得，由于與等高，
所以，

又，，∴，
又，∴，
在中，，
∵，
在中，，
化簡可得，解得，
故選：A．
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點之一根據三角形面積關系得出，其次需要根據建立關系.
考點六、構造齊次方程求離心率
1．（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點，交軸于兩點，線段與交于點.若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題中條件三角形面積計算出點的坐標，代入橢圓的方程得到的等式，化簡得出離心率的值；.
【詳解】如圖所示，，所以圓的方程為，
令，則，由圖可知，
令，則或，所以.
設點，因為的面積為，
所以，解得，
又因為直線的方程為，因為點在直線上，
所以令，得，所以，
因為點在橢圓上，所以，即，
所以，化簡得，
所以，所以，因為，所以，
所以.
故選：C.
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）設橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結合，求得，進而得到，代入橢圓的方程，得到，轉化為，即可求解.
【詳解】由橢圓，可得，
不妨設點在第一象限，由橢圓的定義知，
因為，可得，即，
可得，所以，
所以的面積為，可得，解得，
又因為，可得，即，
將點代入橢圓的方程，可得，整理得，
因為，可得，即，
解得和（舍去），即橢圓的離心率為.
故選：D.
1．（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓：，點，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，結合圓的性質及數量積的運算律列式，化簡可得，進而求出離心率.
【詳解】由以為直徑的圓過橢圓的右焦點，得，即，
而，則，又，
由，得，
則，即，因此，
整理得，解得，所以橢圓的離心率為.
故選：C
2．（2023·山東·煙臺二中校聯考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過點且與橢圓的長軸垂直，直線過橢圓的上頂點與右頂點且與交于點，若（為坐標原點），且，則橢圓的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出直線，直線的方程，即可求出交點的坐標，從而得到點坐標，依題意可得點在橢圓上，將的坐標代入橢圓方程，即可得解.
【詳解】設橢圓的焦距為，
則直線，直線，
聯立，解得，即，
因為，故．
因為，所以點在橢圓上，
將代入橢圓的方程得，即，
即，解得或（舍去）.
故選：A
4．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意利用向量可求得點的坐標，結合橢圓方程運算求解.
【詳解】設橢圓的半焦距為，
由題意可得：，則，
因為，則，解得，
即，且點在橢圓上，
則，整理得，解得，即.
考點七、離心率的范圍及最值問題
1．（2021·全國·高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，由，根據兩點間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可．
【詳解】設，由，因為 ，，所以
，
因為，當，即 時，，即 ，符合題意，由可得，即 ；
當，即時， ，即，化簡得， ，顯然該不等式不成立．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數求指定區間上的最值，要根據定義域討論函數的單調性從而確定最值．
2．（北京·高考真題）橢圓的焦點為，兩條準線與x軸的交點分別為M，N．若，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據準線方程公式，由橢圓的方程可得，表示出的長，又，所以把和的長度分別代入，化簡即可求出離心率的取值范圍，再根據橢圓的離心率小于1，取交集即可.
【詳解】因為橢圓的準線方程為，所以，又因為，
則由，得到，所以，又因為，所以，
故，
故選：D.
3．（湖南·高考真題）設分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先設出點的坐標，再由題目條件得到，利用兩點間的距離公式列出式子，借助化簡式子，得到關于離心率的式子，結合離心率的范圍解出不等式即可.
【詳解】設點，
因為線段的中垂線過點，所以，即，
化簡得，
因為，所以，即，
所以，
又因為，所以，解得.
故選：D.
4．（2024·遼寧·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且，其離心率分別為，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【分析】根據橢圓以及雙曲線定義利用余弦定理和基本不等式計算可得當時，取得最小值為3.
【詳解】設，由余弦定理得，即；
在橢圓中，等于橢圓的長軸長，因此，
在雙曲線中，等于雙曲線的實軸長，因此，
則．
所以，
當且僅當時等號成立
故選：A
5．（2024·遼寧·模擬預測）已知是橢圓上的動點，若動點到定點的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，整理可得，根據題意結合二次函數分析可得，進而可求離心率.
【詳解】由題意可設：，
則
，
令，則，
注意到，則，
可知的圖象開口向上，對稱軸為，
當，即時，可知在內的最小值為，
則，
整理得，解得，不合題意；
當，即時，可知在內的最小值為，符合題意；
綜上所述：.
可得橢圓的離心率，
所以橢圓的離心率的取值范圍是.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：設，整理得，換元，分類討論對稱軸的取值范圍，結合二次函數最值求的取值范圍.
1．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知是橢圓的左、右焦點，若上存在不同的兩點，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量關系結合橢圓的對稱性，
找到當分別位于的左、右頂點時，有最大值，求出離心率的取值范圍.
【詳解】如圖，延長交橢圓于，根據橢圓的對稱性，得，，
當分別位于的左、右頂點時，有最大值，
又因為不重合，所以，即，
解得，
所以的離心率的取值范圍為．
故選：C．
2．（2024·河南濮陽·模擬預測）點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，圓與軸相交于兩點，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據軸可設，代入橢圓方程可求得圓的半徑，根據為銳角三角形，可構造關于的齊次不等式，進而配湊出離心率，解不等式即可求得結果.
【詳解】圓與軸相切于焦點，軸，可設，
在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；
作軸，垂足為，
，，
為銳角三角形，，，
，即，解得：，
即橢圓離心率的取值范圍為.
故選：D.
3．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，點為兩曲線的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么最小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分別在橢圓和雙曲線中，利用焦點三角形中的余弦定理建立等量關系，再構造，利用基本不等式，即可求解.
【詳解】設兩曲線的半焦距為，由余弦定理得．
在橢圓中，，
得．
在雙曲線中，，
得．從而，得，
則，即，
即．
所以，
當且僅當時等號成立.
故選：B
4．（2024·四川德陽·模擬預測）已知雙曲線l 的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與E 的漸近線交于M、N 兩點，若 則 E 的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．[ ，2]
【答案】A
【分析】首先求出，再結合題干中的條件可知，通過解不等式可得的取值范圍，結合雙曲線的離心率公式可得答案.
【詳解】由題意得，漸近線,
將代入得坐標為,所以,
因為軸，所以,
由已知可得,
兩邊同時除以得,
所以，即，
解得,所以，
而雙曲線的離心率，
故選：A.
1．（2024·全國·模擬預測）設橢圓的離心率是橢圓的離心率的倍，則的長軸長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據離心率公式求得橢圓和橢圓離心率，列式求解求得，進而可得解.
【詳解】因為橢圓，
所以橢圓離心率為，
橢圓的離心率，
則由題意可知，解得.
所以的長軸長為.
故選：D.
2．（2024·河南商丘·模擬預測）若動直線始終與橢圓（且）有公共點，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直線方程得出直線過定點，再由直線與橢圓有公共點列出不等式，結合橢圓離心率公式計算即可．
【詳解】由直線得，直線過定點，
由題意得，點在橢圓上或橢圓內部，
所以，則，所以橢圓焦點在軸上，
所以，
故選：C．
3．（2024·江蘇南京·二模）設分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點為坐標原點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據直線與圓相切，利用勾股定理可以求出的長度，進而通過，可以得到的長度，再次應用勾股定理，求出的長度，最后根據為橢圓上一點，運用橢圓的定義，結合橢圓離心率公式進行求解即可.
【詳解】由題意，，，
因為直線與以為圓心、為半徑的圓切，
所以，
因此由勾股定理可知，
又，所以，因此，
由勾股定理可得，
根據橢圓定義，， .
故選：B
4．（2024·全國·模擬預測）設橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據橢圓與雙曲線的性質得到離心率的表達式，再根據得到的范圍 ，代入中即可求解.
【詳解】由題意可得．
因為，所以，
所以，所以，
所以的取值范圍是.
故選：B．
5．（2024·全國·模擬預測）已知是雙曲線的左、右頂點，點在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據題意可得，過點作軸，求得，代入雙曲線方程求解.
【詳解】如圖所示：
因為為等腰三角形，且頂角為，
所以，過點作軸，垂足為，
在中，則，故，
代入雙曲線方程得，解得，即，
所以，解得.
故選：D
6．（2024·四川成都·模擬預測）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據漸近線方程解得，再由離心率公式求解即可.
【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線為( )，
即,
所以漸近線的斜率為，
即，
解得，
所以雙曲線的離心率.
故選：A.
7．（2024·全國·模擬預測）橢圓的左頂點為，點均在上，且點關于點軸對稱，若直線均存在斜率，且斜率之積為，記的離心率為，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得到的坐標，進而利用兩點距離公式與點在橢圓上得到關于的齊次方程，從而得解.
【詳解】由題可得，設.
則，
又，
則.
則.
故選：C
二、多選題
8．（2024·甘肅酒泉·三模）已知橢圓上存在點，使得，其中分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根據橢圓的定義得到，，再由即可求出離心率的取值范圍，即可判斷.
【詳解】因為，又，所以，，
又，即，
所以，則，又，所以，故符合題意的有BCD.
故選：BCD
9．（2024·河南新鄉·模擬預測）已知，則雙曲線與有相同的（ ）
A．焦點 B．焦距 C．離心率 D．漸近線
【答案】CD
【分析】由雙曲線的幾何性質逐一判斷即可；
【詳解】對于選項A、B：設，易知的左、右焦點坐標分別為和，
而的標準方程為，故其左、右焦點坐標分別為和，
顯然和的焦點和焦距均不相同，故A，B錯誤；
對于選項C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．
故選：CD.
三、填空題
10．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則C的離心率為 .
【答案】
【分析】借助斜率與垂直的關系可得，即可得離心率.
【詳解】由直線的斜率為，故有，
即，則.
故答案為：.
一、單選題
1．（2024·黑龍江大慶·三模）已知橢圓的左 右焦點分別為，若經過的弦滿足，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，根據橢圓的定義可得，由，根據余弦定理可得，再由離心率公式求解即可.
【詳解】

由題可知，
所以，解得，
由
得，
整理得，
所以.
故選：A.
2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，此時，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】根據題意，聯立直線方程可得點坐標，再由可得，在中可得，從而得到，再由離心率公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】
因為雙曲線，則其漸近線方程為，
且，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，
則直線方程為，聯立直線方程，解得，
所以，過點作軸的垂線，交軸于點，
因為，則，
則，且，
即，化簡可得，則.
故選：C
3．（2024·福建泉州·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上第一象限內的一點，且與軸相交于點，離心率，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由離心率得，，由得在圓上，解方程組求得點坐標，利用的橫坐標即可求得．
【詳解】，，則，所以，，
橢圓方程化為，
，因此在圓上，
由，解得，在第一象限，則，
，則，
故選：D．
4．（2024·山東菏澤·二模）已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據橢圓與雙曲線的幾何性質，求出，令，結合，即可求解.
【詳解】由橢圓的離心率，
雙曲線的離心率，可得，
令，因為雙曲線的漸近線的斜率不超過，即，
則此時，即，
則的最大值是.
故選：B.
5．（2024·陜西安康·模擬預測）已知雙曲線:的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設雙曲線的右焦點為，連接，過作與，易得，，設，結合雙曲線的定義分別求出對應邊，在和中，由勾股定理得和之間的關系，即可求解.
【詳解】
設雙曲線的右焦點為，連接，過作與，則，
因為，，
所以，
因為，所以，即為線段的中點，
因為為的中點，所以，
所以，，
設，
則，，
，
所以，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，
所以，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，所以.
故選：.
【點睛】方法點睛：求解離心率的常用方法：
（1）直接法：直接求出，，求解；
（2）變用公式，整體求出；
（3）利用題目中所給的幾何關系或者條件得出，，的關系；
（4）構造，的齊次式，解出.
6．（2024·天津·二模）設雙曲線：的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，，，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由雙曲線的對稱性可得，且四邊形為平行四邊形，由數量積的定義，結合余弦定理代入計算，即可得離心率.
【詳解】
由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，
則
，
即，，所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：
一：求出，代入公式計算；
二：只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）.
7．（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，過作直線與C交于A，B兩點，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，首先證明，結合題意算得解得，即可得三角形為等邊三角形，進一步結合橢圓定義可得，，，即是的中點，結合勾股定理、離心率公式即可求解.
【詳解】
我們首先來證明一個引理：若，則，
證明如下：設，則由余弦定理有
，即，
所以，
所以，從而引理得證；
根據題意可得， ，解得，
因為，所以，解得，
由，，可得三角形為等邊三角形，
所以，所以，
所以，所以是的中點，
所以，所以，即，
所以.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于得出三角形為等邊三角形，進一步得出的齊次式關系即可求解.
二、填空題
8．（2024·陜西西安·三模）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的左支于A，B兩點，，，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【分析】設，，在中，利用余弦定理求出，再根據雙曲線的定義即可求出，再在中，利用余弦定理即可得解.
【詳解】由題可設，，
由余弦定理可得，
即，解得，
因為，所以，即，
在中，，，，
所以，
即，解得，
則所求雙曲線的離心率為．
故答案為：．
9．（2024高三下·全國·專題練習）已知P、Q為橢圓上關于原點對稱的兩點，點P在第一象限，、是橢圓C的左、右焦點，，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為 .
【答案】
【分析】結合題目條件可得四邊形是矩形，設，由可得，又，化簡計算即可得解.
【詳解】如圖，，
顯然四邊形是矩形，所以，
由題意，，所以，
設，則，所以，
又點P在第一象限，所以，
故，即，所以，
橢圓C的離心率
，
由可得，
又，
所以，
故.
故答案為：.
10．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知雙曲線的左頂點是，右焦點是，點是雙曲線右支上異于頂點的動點，的平分線與直線交于點，過作軸，垂足是，若恒成立，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【分析】過點作，根據題意，得到，設，由為的角平分線，求得，化簡得到，結合任意的都成立，列出方程組，求得，即可求解.
【詳解】如圖所示，過點作交于點，可得，
因為，所以，
設，則，
由為的角平分線，可得，
所以，
由，可得，
所以，
整理得，
若對于任意的都成立，則必有，解得，
所以雙曲線的離心率為.
故答案為：.

1．（2024·廣東江蘇·高考真題）設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
【答案】
【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.
【詳解】由題可知三點橫坐標相等，設在第一象限，將代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案為：
2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.
(2).
【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.
（2）先設直線的方程，與橢圓方程聯立，消去，再由韋達定理可得，從而得到點和點坐標.由得，即可得到關于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.
【詳解】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，
所以橢圓的方程為，離心率為.
（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，
設直線的方程為，
聯立方程組，消去整理得：，
由韋達定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直線的方程為.
3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點為F，右頂點A和上頂點為B滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于點N（N異于M）．記O為原點，若，且的面積為，求橢圓的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件可得出關于、的等量關系，由此可求得該橢圓的離心率的值；
（2）由（1）可知橢圓的方程為，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯立，由可得出，求出點的坐標，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.
【詳解】（1）解：，
離心率為.
（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，
易知直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
聯立①②③可得，，，故橢圓的標準方程為．
4．（2022·全國·高考真題）（多選）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
5．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】設公共焦點為，進而可得準線為，代入雙曲線及漸近線方程，結合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.
【詳解】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，
則拋物線的準線為，
令，則，解得，所以,
又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，
所以，即，所以，
所以雙曲線的離心率.
故選：A.
6．（2021·浙江·高考真題）已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是 ，橢圓的離心率是 .
【答案】
【分析】不妨假設，根據圖形可知，，再根據同角三角函數基本關系即可求出；再根據橢圓的定義求出，即可求得離心率．
【詳解】
如圖所示：不妨假設，設切點為，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案為：；．
7．（全國·高考真題）雙曲線C:的 一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【答案】D
【分析】由雙曲線漸近線定義可得，再利用求雙曲線的離心率．
【詳解】由已知可得，
，故選D．
【點睛】對于雙曲線：，有；對于橢圓，有，防止記混．
8．（全國·高考真題）已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.
【詳解】因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率為得，，
由正弦定理得,
所以，
故選：D.
9．（重慶·高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】試題分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，則由已知得：，
即：a|PF1|=|cPF2|
設點（x0，y0）由焦點半徑公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,則a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0=，由橢圓的幾何性質知：x0＞-a則>-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），
故橢圓的離心率：e∈(-1，1)，故答案為(-1，1)．
考點：本題主要考查了橢圓的定義，性質及焦點三角形的應用，特別是離心率應是橢圓考查的一個亮點，多數是用a，b，c轉化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍．
點評：解決該試題的關鍵是能通過橢圓的定義以及焦點三角形的性質得到a,b,c的關系式的轉換，進而得到離心率的范圍．
10．（天津·高考真題）已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】只需把用表示出來，即可根據雙曲線離心率的定義求得離心率．
【詳解】拋物線的準線的方程為，
雙曲線的漸近線方程為，
則有
∴，，，
∴．
故選D．
【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質以及離心率的求解，解題關鍵是求出AB的長度．
11．（全國·高考真題）設是等腰三角形，，則以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題設條件可知，由正弦定理可得，再由雙曲線的定義可得，最后由離心率公式進行計算即可得解.
【詳解】雙曲線的焦點為，，則，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
雙曲線過點，由雙曲線的定義可得，
解得離心率，
故選：B.
【點睛】本題主要考查雙曲線的定義、離心率以及解三角形問題，屬于中檔題.求雙曲線離心率，一般可由下面兩個方面著手：
（1）根據已知條件確定，，的等量關系，然后把用，代換，求的值；
（2）已知條件構造出，，的等式或不等式，結合化出關于，的式子，再利用，化成關于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.
12．（福建·高考真題）已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意有可得坐標，進而求得的中點坐標，代入雙曲線方程得到參數的齊次方程，即可求離心率.
【詳解】依題意知，若雙曲線焦點為，，
∴，則△的高為，即，
∴，代入雙曲線方程：，整理得：，
∵，
∴，整理得，得，
∵，
∴．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線、等邊三角形、中點的性質求點坐標，由點在雙曲線上可得雙曲線參數的齊次方程.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第07講 圓錐曲線中的離心率問題
（高階拓展、競賽適用）
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第12題,5分 求雙曲線的離心率 無
2024年新I卷，第16題,15分 求橢圓的離心率 根據橢圓過的點求標準方程 橢圓中三角形(四邊形)的面積 根據韋達走理求參數
2023年新I卷，第5題,5分 求橢圓的離心率或離心率的取值范圍 由橢圓的離心率求參數的取值范圍 無
2023年新I卷，第16題,5分 利用定義解決雙曲線中集點三角形問題 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 無
2022年全國甲卷（文科）， 第11題,5分 根據離心率求橢圓的標準方程 根據a、b、c求橢圓標準方程
2022年全國甲卷（理科）， 第10題,5分 求橢圓的離心率或離心率的取值范圍 已知兩點求斜率
2022年全國乙卷（理科）， 第11題,5分 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 用和、差角的正弦公式化簡、求值 正弦定理解三角形
2022年新I卷，第16題,5分 根據離心率求楠圓的標準方程 橢圓中焦點三角形的周長問題
2021年全國乙卷（理科）， 第11題,5分 求橢圓的離心率或離心率的取值范圍 根據二次函數的最值或值域求參數
2021年全國甲卷（理科）， 第5題,5分 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等或偏難，分值為5分
【備考策略】1.理解離心率的定義及對曲線的影響
2.能用定義法求離心率
3.能用文中其他方法快速求解離心率
4.能求解離心率的相關最值問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習
知識講解
橢圓離心率求解的5種常用方法
公式1:
公式2: 變形
證明:
公式3:已知棚圓方程為,兩焦點分別為,
設焦點三角形,,則橢圓的離心率
證明:,
由正弦定理得:
由等比定理得:,即
.
公式 4: 以橢圓 兩焦點 及橢圓上任一點 (除長軸兩端點外) 為頂點 , 則
證明: 由正弦定理有.
公式5:點是橢圓的焦點,過的弦與橢圓焦點所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則
當曲線焦點在軸上時,
注:或者而不是或
雙曲線離心率求解的5種常用方法
公式1:
公式
證明:
公式3:已知雙曲線方程為兩焦點分別為,設焦點三角形,則
證明:,
由正弦定理得:
由等比定理得:
即。
公式4:以雙曲線的兩個焦點及雙曲線上任意一點除實軸上兩個端點外)為頂點的,則離心率
證明:由正弦定理,有
即
又
公式5:點是雙曲線焦點,過弦與雙曲線焦點所在軸夾角為為直線斜率,,則,當曲線焦點在軸上時,
注:或者而不是或
考點一、橢圓、雙曲線中的定義法或公式法求離心率
1．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2023·全國·高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（全國·高考真題）雙曲線C:的 一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
4．（2024·新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點.
(1)求C的離心率;
5．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
1．（2024·遼寧·模擬預測）已知焦點在軸上的橢圓的短軸長為2，則其離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模擬預測）雙曲線的一條漸近線過點，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南周口·模擬預測）已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川樂山·三模）設雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山東·二模）如圖所示，已知雙曲線的焦點分別是是等邊三角形，若的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率等于 ．
6．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的離心率為，焦點為,，一個短軸頂點為，則（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
考點二、利用“公式3”求焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率
已知是橢圓的兩個焦點,是上的一點,若,且,則的離心率為)
A. B. C. D.
2．（全國·高考真題）設橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，
∠=，則C的離心率為
A． B． C． D．
5．（全國·高考真題）設是等腰三角形，，則以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·校考模擬預測）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2024·山東菏澤·高三統考）設，是橢圓的兩個焦點.若在上存在一點，使，且，則的離心率為 .
考點三、利用“公式5”求橢圓、雙曲線離心率
1．（全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為
A． B． C． D．
2．（全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則
A．1 B． C． D．2
3．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是 ．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
考點四、斜率乘積求離心率
1．（2024·四川達州·二模）雙曲線的左、右頂點分別為為上一點，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·模擬預測）橢圓的右頂點為，直線與橢圓交于A，B兩點，直線PA，PB的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
考點五、余弦定理求離心率
1．（2021·全國·高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣西桂林·模擬預測）已知是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與橢圓的一個交點為，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．或 C．或 D．或
1．（2024·湖南長沙·二模）已知，分別為橢圓的左 右焦點，為橢圓的上頂點，過作的垂線，并與橢圓交于點，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點，上兩點滿足：，，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，傾斜角為且過原點的直線交橢圓于兩點.若，設橢圓的離心率為，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接，．若O為坐標原點，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
考點六、構造齊次方程求離心率
1．（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點，交軸于兩點，線段與交于點.若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）設橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓：，點，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山東·煙臺二中校聯考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過點且與橢圓的長軸垂直，直線過橢圓的上頂點與右頂點且與交于點，若（為坐標原點），且，則橢圓的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（ ）

A． B． C． D．
考點七、離心率的范圍及最值問題
1．（2021·全國·高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（北京·高考真題）橢圓的焦點為，兩條準線與x軸的交點分別為M，N．若，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（湖南·高考真題）設分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·遼寧·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且，其離心率分別為，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
5．（2024·遼寧·模擬預測）已知是橢圓上的動點，若動點到定點的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知是橢圓的左、右焦點，若上存在不同的兩點，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南濮陽·模擬預測）點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，圓與軸相交于兩點，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，點為兩曲線的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么最小為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川德陽·模擬預測）已知雙曲線l 的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與E 的漸近線交于M、N 兩點，若 則 E 的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．[ ，2]
1．（2024·全國·模擬預測）設橢圓的離心率是橢圓的離心率的倍，則的長軸長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2024·河南商丘·模擬預測）若動直線始終與橢圓（且）有公共點，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇南京·二模）設分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點為坐標原點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）設橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）已知是雙曲線的左、右頂點，點在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2024·四川成都·模擬預測）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·全國·模擬預測）橢圓的左頂點為，點均在上，且點關于點軸對稱，若直線均存在斜率，且斜率之積為，記的離心率為，則（ ）.
A． B． C． D．
二、多選題
8．（2024·甘肅酒泉·三模）已知橢圓上存在點，使得，其中分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河南新鄉·模擬預測）已知，則雙曲線與有相同的（ ）
A．焦點 B．焦距 C．離心率 D．漸近線
三、填空題
10．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則C的離心率為 .
一、單選題
1．（2024·黑龍江大慶·三模）已知橢圓的左 右焦點分別為，若經過的弦滿足，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，此時，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2024·福建泉州·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上第一象限內的一點，且與軸相交于點，離心率，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山東菏澤·二模）已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·陜西安康·模擬預測）已知雙曲線:的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·天津·二模）設雙曲線：的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，，，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
7．（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，過作直線與C交于A，B兩點，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
8．（2024·陜西西安·三模）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的左支于A，B兩點，，，則雙曲線的離心率為 ．
9．（2024高三下·全國·專題練習）已知P、Q為橢圓上關于原點對稱的兩點，點P在第一象限，、是橢圓C的左、右焦點，，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為 .
10．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知雙曲線的左頂點是，右焦點是，點是雙曲線右支上異于頂點的動點，的平分線與直線交于點，過作軸，垂足是，若恒成立，則雙曲線的離心率為 ．
1．（2024·廣東江蘇·高考真題）設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點為F，右頂點A和上頂點為B滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于點N（N異于M）．記O為原點，若，且的面積為，求橢圓的方程．
4．（2022·全國·高考真題）（多選）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
6．（2021·浙江·高考真題）已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是 ，橢圓的離心率是 .
7．（全國·高考真題）雙曲線C:的 一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
8．（全國·高考真題）已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為
A． B． C． D．
9．（重慶·高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ．
10．（天津·高考真題）已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為
A． B． C．2 D．
11．（全國·高考真題）設是等腰三角形，，則以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
12．（福建·高考真題）已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
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