資源簡介

第08講 二項分布、超幾何分布及正態分布
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第9題,6分 指定區間的概率 正態分布的實際應用 /
2023年全國甲卷（理）， 第19題,12分 超幾何分布的均值 超幾何分布的分布列 計算幾個數的中位數 獨立性檢驗解決實際問題
2022年新Ⅱ卷，第13題,5分 正態分布指定區間的概率 /
2021年新Ⅱ卷，第6題,5分 正態分布的實際應用 /
知識講解
獨立重復試驗與二項分布
獨立重復試驗 二項分布
定義 在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗 在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率
計算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
獨立重復試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略
(1)在求n次獨立重復試驗中事件恰好發生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率．
(2)在根據獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數n和變量的概率，繼而求得概率．
兩點分布
X 0 1
P 1－p p
這樣的分布列叫做兩點分布列．
如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，而稱p＝P(X＝1)為成功概率．
超幾何分布列
一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發生的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布.
X 0 1 … m
P …
正態分布
正態曲線的特點
(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
(3)曲線在x＝μ處達到峰值；
(4)曲線與x軸之間的面積為1；
(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
正態分布的三個常用數據
(1)P(μ－σ(2)P(μ－2σ(3)P(μ－3σ考點一、二項分布
1．（2024·全國·三模）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則：每一局比賽中，勝者得1分，負者得0分，且比賽中沒有平局.根據以往戰績，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結果互不影響.
(1)經過3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；
(2)若比賽采取3局制，試計算3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.
【答案】(1)分布列見解析，2
(2)
【分析】（1）根據題意可知，進而利用二項分布求出的分布列及數學期望；
（2）由題意可知，甲的累計得分高于乙的累計得分有兩種情況，即甲獲勝2局，甲獲勝3局，從而結合（1）可得結果.
【詳解】（1）由題意得，，X的取值可能為0，1，2，3，
則，，
，.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
因為，所以X的期望.
（2）第3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分有兩種情況：
甲獲勝2局，甲獲勝3局，
所以所求概率為.
2．（2024·安徽·三模）近年來，為了提升青少年的體質，教育部出臺了各類相關文件，各地區學校也采取了相應的措施，適當增加在校學生的體育運動時間；現調查某地區中學生（包含初中生與高中生）對增加體育運動時間的態度，所得數據統計如下表所示：
喜歡增加體育運動時間 不喜歡增加體育運動時間
初中生 160 40
高中生 140 60
(1)在犯錯誤的概率不超過0.01（小概率值）的前提下，能否認為學段與對增加體育運動時間的態度有關聯；
(2)以頻率估計概率，若在該地區所有中學生中隨機抽取4人，記“喜歡增加體育運動時間”的人數為X，求X的分布列以及數學期望.
參考公式：，其中.
參考數據：
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
【答案】(1)不能
(2)分布列見解析，3
【分析】（1）先得出，對照臨界值表可得結論；
（2）依題意，，得出對應概率，可得X的分布列以及數學期望.
【詳解】（1）完善二聯表如下：
喜歡增加體育運動時間 不喜歡增加體育運動時間 總計
初中生 160 40 200
高中生 140 60 200
總計 300 100 400
零假設：不能認為學段與對增加體育運動時間的態度有關聯，
則，
故依據的獨立性檢驗，沒有充足證據推斷不成立，
因此可以認為成立，即不能認為學段與對增加體育運動時間的態度有關聯；
（2）喜歡增加體育運動時間的人數有300人，故喜歡增加體育運動時間的概率為
依題意，，
，
，
，
，
故X的分布列為：
X 0 1 2 3 4
P
則.
3．（2024·山東菏澤·模擬預測）菏澤牡丹栽培始于隋，興于唐，盛于明清，自古享有“曹州牡丹甲天下”的美譽.四月，菏澤大地上牡丹次第綻放，觀賞牡丹擁有9大色系 10大花型 1280余個品種，以最亮眼的姿態恭迎八方游人.某旅行團帶游客來菏澤觀賞牡丹，游客可自由選擇曹州牡丹園和中國牡丹園的一處游覽，若每位游客選擇曹州牡丹園的概率是，選擇中國牡丹園的概率是，游客之間選擇意愿相互獨立.
(1)從游客中隨機選取人，記人中選擇曹州牡丹區的人數為，求的分布列 均值與方差；
(2)現對游客進行問卷調查，若選擇曹州牡丹園記分，選擇中國牡丹園記1分，記已調查過的累計得分為分的概率為，求.
【答案】(1)的分布列見詳解；均值為；方差為
(2)
【分析】（1）隨機變量服從二項分布，即，根據二項分布公式計算分布列、利用,計算均值與方差；
（2）由題意可推出時，，構造為常數數列，進而構造出是以為首項，公比為的等比數列，利用等比數列的通項公式求解即可.
【詳解】（1）隨機變量的可能取值為，且，其中，
所以，，
，.
所以隨機變量的分布列為
所以均值為，
方差為.
（2）由題意可知，，,
所以當時，，
則，
所以為常數數列，且，
所以，
所以是以為首項，公比為的等比數列，
所以，所以，
當時，成立，
故.
4．（2024·湖北·模擬預測）組合投資需要同時考慮風險與收益．為了控制風險需要組合低風險資產，為了擴大收益需要組合高收益資產，現有兩個相互獨立的投資項目A和B，單獨投資100萬元項目A的收益記為隨機變量X，單獨投資100萬元項目B的收益記為隨機變量Y．若將100萬資金按進行組合投資，則投資收益的隨機變量Z滿足，其中．假設在組合投資中，可用隨機變量的期望衡量收益，可用隨機變量的方差衡量風險.
(1)若，，求Z的期望與方差；
(2)已知隨機變量X滿足分布列：
X … …
… …
隨機變量Y滿足分布列：
Y … …
… …
且隨機變量X與Y相互獨立，即，，．求證：；
(3)若投資項目X是高收益資產，其每年的收益滿足：有30%的可能虧損當前資產的一半；有70%的可能增值當前資產的一倍．投資項目是低風險資產，滿足．試問能否滿足投資第1年的收益不低于17萬，風險不高于500？請說明理由．
【答案】(1)期望為3，方差為2.91
(2)證明見解析
(3)滿足，理由見解析
【分析】（1）根據二項式分布的數學期望及方差公式計算，結合，即可求解；
（2）根據所給公式及方差與期望公式證明即可；
（3）根據期望及方差公式求出，再求出當時的，即可得出判斷．
【詳解】（1）由為二項分布可知：
，，
當時，，，
故組合投資的期望為3，方差為2.91．
（2）因為，
所以，
因為
，
所以
，
因為，
由于獨立，所以，
從而
而，
同理，
故，
從而．
（3）由（1）得，，
所以，
，
于是，
，
由于，，
故滿足投資第1年的收益不低于17萬，風險不高于500．
【點睛】關鍵點睛：第（2）問中，利用期望及方差的性質，證明關鍵步驟為將轉化為一個雙重求和，結合，進行證明．
1．（2024·河北邯鄲·模擬預測）某人投擲兩枚骰子，取其中一枚的點數記為點的橫坐標，另一枚的點數記為點的縱坐標，令事件“”，事件“為奇數”.
(1)證明：事件相互獨立；
(2)若連續拋擲這兩枚骰子三次，求點在圓內的次數的分布列與期望.
【答案】(1)證明見解析,
(2)分布列見解析，期望為.
【分析】（1）要證明事件相互獨立的充要條件是，所以先要去求出，，，然后再根據充要條件加以判斷；
（2）先求出拋擲這兩枚骰子一次，滿足點在圓內的概率，然后根據連續拋擲三次，說明，即可用二項分布的概率公式計算分布列和求出期望.
【詳解】（1）證明：由題意可知點的坐標有種，其中事件所包含的基本事件有
，，，，，，共6種，所以，
事件所包含的基本事件有種，所以，
積事件有，，，共3種，所以，
滿足，所以事件A、B相互獨立；
（2）點P在圓內的基本事件有：，，，，，，共6種 ，
所以點P在圓內的概率為，
由題意可知，，
，
，
，
，
所以，X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以.
2．（2024·四川宜賓·模擬預測）某地為調查年齡在歲段人群每周的運動情況，從年齡在歲段人群中隨機抽取了200人的信息，將調查結果整理如下：
女性 男性
每周運動超過2小時 60 80
每周運動不超過2小時 40 20
(1)根據以上信息，能否有把握認為該地年齡在歲段人群每周運動超過2小時與性別有關？
(2)用樣本估計總體，從該地年齡在歲段人群中隨機抽取3人，設抽取的3人中每周運動不超過2小時的人數為，求的分布列和數學期望.
參考公式：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)有把握認為該地歲年齡段人每周運動超過2小時與性別有關.
(2)分布列見解析，
【分析】（1）計算卡方進行獨立性檢驗即可；
（2）由已知得，，再列出分布列求解數學期望即可.
【詳解】（1）由.
知：有把握認為該地歲年齡段人每周運動超過2小時與性別有關.
（2）由已知得，
，
，
所以隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
所以.
3．（2024·河北·三模）某學校的數學興趣小組對學校學生的冰雪運動情況進行調研，發現約有的學生喜歡滑雪運動．從這些被調研的學生中隨機抽取3人進行調查，假設每個學生被選到的可能性相等．
(1)記表示喜歡滑雪運動的人數，求的數學期望．
(2)若該數學興趣小組計劃在全校學生中抽選一名喜歡滑雪運動的學生進行訪談．抽選規則如下：在全校學生中隨機抽選一名學生，如果該學生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學生，結束抽選活動；如果該學生不喜歡滑雪運動，則繼續隨機抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學生為止，結束抽選活動．并且規定抽取的次數不超過次，其中小于當次調查的總人數．設在抽選活動結束時，抽到不喜歡滑雪運動的學生的人數為，求抽到名學生不喜歡滑雪運動的概率．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）由題意服從二項分布，由二項分布期望公式直接可得解；
（2）由題意可知，時，前次取到是不愛好滑雪的人，第次取到愛好滑雪得的人，利用獨立事件的乘法公式求解，當時，取到的所以人都不愛好滑雪，活動結束.
【詳解】（1）由題意，，
，
.
（2）由題意，的可能取值為，
，，
，，
，
，
綜上，.
4．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業績，現將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進行統計，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
(2)以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區間內的天數為，求的分布列及數學期望；
(3)為增加銷售量，公司規定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規則如下：抽獎區有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡 1張銀卡，盒中放有2張金卡 8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.
【答案】(1)，150
(2)分布列見解析，
(3)
【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有的矩形面積之和等于1求得值，根據平均數公式列式計算即得；
（2）理解題意，判斷，分別計算的所有可能指的概率，列出分布列，計算數學期望即得；
（3）根據條件概率的計算公式可求該概率.
【詳解】（1）依題意得
解得.
所求平均數為.
（2）因汽車銷售量在區間內的概率為，
在所有工作日中隨機選擇4天，相當于一個4重伯努利試驗，故，
則，

0 1 2 3 4
故.
（3）設為“小明在首次抽獎抽出銀卡”，則，
設為“小明第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡”，
則，
故.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查頻率分布直方圖，二項分布以及條件概率公式的應用，屬于較難題.
解題關鍵在于根據題設條件，確定伯努利概型并進行計算，設出相應的事件，正確理解題意，利用條件概率公式計算.
考點二、超幾何分布
1．（2023·陜西榆林·模擬預測）某校體育節組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．
(1)志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率；
(2)為了調查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其中有9名首選100米，6名首選4×100米接力．現從這15名同學中再選3名同學做進一步調查．將其中首選4×100米接力的人數記作X，求隨機變量X的分布列和數學期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見詳解，.
【分析】（1）小明選擇60米袋鼠跳服務為事件，小明選擇3000米服務為事件，利用組合知識和古典概型概率公式求出，然后由條件概率公式可得；
（2）根據超幾何分布概率公式計算可得分布列，再由期望公式可得數學期望.
【詳解】（1）記小明選擇60米袋鼠跳服務為事件，小明選擇3000米服務為事件，
則，，
所以，
即小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率為.
（2）由題知，的所有可能取值為，
由超幾何分布概率公式得：
，
.
得隨機變量X的分布列為：
0 1 2 3
所以.
2．（2023·全國·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼養在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.
(1)設表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數，求的分布列和數學期望；
(2)實驗結果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數m，再分別統計兩樣本中小于m與不小于的數據的個數，完成如下列聯表：
對照組
實驗組
（ii）根據（i）中的列聯表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與正常環境中體重的增加量有差異．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)分布列見解析，
(2)（i）；列聯表見解析，（ii）能
【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數學期望；
（2）（i）根據中位數的定義即可求得，從而求得列聯表；
（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.
【詳解】（1）依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故.
（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數是將兩組數據合在一起，從小到大排后第20位與第21位數據的平均數，觀察數據可得第20位為，第21位數據為，
所以，
故列聯表為：
合計
對照組 6 14 20
實驗組 14 6 20
合計 20 20 40
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與正常環境中體重的增加量有差異.
3．（2024·福建泉州·模擬預測）某學校為了研究不同性別的學生對“村BA”賽事的了解情況，進行了一次抽樣調查，分別隨機抽取男生和女生各80名作為樣本，設事件“了解村BA”，“學生為女生”，據統計，.
(1)根據已知條件，補全列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷該校學生對“村BA”的了解情況與性別是否有關？
了解 不了解 總計
男生
女生
總計
(2)現從該校不了解“村BA”的學生中，采用分層隨機抽樣的方法抽取10名學生，再從這10名學生隨機抽取4人，設抽取的4人中男生的人數為，求的分布列和數學期望.
附：，.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列聯表見解析，有關
(2)分布列見解析，．
【分析】（1）先根據條件概率求得人數完善列聯表，再代入公式求出，將該值與臨界值比較即可求解.
（2）先根據分層抽樣確定抽取的男生人數和女生人數，再寫出的所有可能取值并計算相應的概率，列出分布列并根據數學期望公式可得出答案.
【詳解】（1）因為，
所以對“村BA”了解的女生人數為，了解“村BA”的學生人數為，
結合男生和女生各80名，作出列聯表為：
了解 不了解 總計
男生 30 50 80
女生 5 75 80
總計 35 125 160
，
因此，有的把握認為該校學生對“村BA”的了解情況與性別有關；
（2）由(1)知，采用分層隨機抽樣的方法抽取10名學生，
其中男生人數為，女生人數為．
隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4.
，
.
故隨機變量的分布列如下：
0 1 2 3 4
則.
1．（2024·新疆·二模）某人工智能研究實驗室開發出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人棋型的開發主要采用（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為，當出現語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.
(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求的分布列和數學期望；
(2)設輸入的問題出現語法錯誤的概率為，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)
【分析】（1）求出隨機變量的所有取值以及每一個值發生的概率即可得的分布列，再根據數學期望的公式即可計算得解的數學期望.
（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，“回答被采納”為事件，進而由已知以及全概率公式即可求解.
【詳解】（1）由題可知的所有取值為2，3，4，且服從超幾何分布，
，，，
故的分布列為：
2 3 4
則．
（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“回答被采納”為事件，
由已知得，，，，，，
所以由全概率公式得，
解得．
2．（2024·湖北·二模）某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統計了全校所有學生在一年內每周參加體育鍛煉的次數，現隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數據，結果如下表：
一周參加體育鍛煉次數 0 1 2 3 4 5 6 7 合計
男生人數 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人數 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合計 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若將一周參加體育鍛煉次數為3次及3次以上的，稱為“經常鍛煉”，其余的稱為“不經常鍛煉”．請完成以下列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；
性別 鍛煉 合計
不經常 經常
男生
女生
合計
(2)若將一周參加體育鍛煉次數為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數為，求和；
(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數為，求的分布列和數學期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)填表見解析；性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系
(2)，
(3)分布列見解析；期望為
【分析】（1）由60名同學的統計數據可得列聯表，代入公式可得，即可得結論；
（2）求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，由二項分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值為，利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【詳解】（1）根據統計表格數據可得列聯表如下：
性別 鍛煉 合計
不經常 經常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合計 21 39 60
零假設為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學生體育鍛煉的經常性無關；
根據列聯表的數據計算可得
根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1
（2）因學校總學生數遠大于所抽取的學生數，故近似服從二項分布，
易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率
即可得，
故，．
（3）易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值為；
且服從超幾何分布：
故所求分布列為
0 1 2 3
可得
3．（2024·四川成都·模擬預測）為了估計魚塘中魚的數量，常常采用如下方法：先從魚塘中撈出條魚，在魚身上做好某種標記后再放回魚塘．一段時間后，再從魚塘中撈出條魚，并統計身上有標記的魚的數目，就能估計出魚塘中的魚的總數．已知，設第二次撈出的條魚中身上有標記的魚的數目為隨機變量．
(1)若已知，．
①求的均值；
②是否有的把握認為能撈出身上有標記的魚（即能撈出身上有標記的魚的概率不小于）？
(2)若，其中身上有標記的魚有條，估計池塘中魚的總數（將使最大的作為估計值）．
參考數據：，，，．
【答案】(1)①2；②沒有的把握認為能撈出身上有標記的魚
(2)
【分析】（1）①由超幾何分布的均值公式求解；②計算，判斷是否成立；
（2）由，令，利用作差比較，求最大的.
【詳解】（1）①由題意可知服從超幾何分布，
則．
②由于，而，
從而，
因此，，所以沒有的把握認為能撈出身上有標記的魚．
（2）由題意，且．
只需求使得最大的．
由于，，
從而
因此，當時，，當時，．
所以，當時，最大．
綜上所述，的估計值為．
【點睛】關鍵點點睛：
求最大時的估計值，由，只需求使得最大的，利用作差法結合組合數公式求數列的單調性，可得的估計值.
考點三、正態分布
1．（2021·全國·高考真題）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
【答案】D
【分析】由正態分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.
【詳解】對于A，為數據的方差，所以越小，數據在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；
對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；
對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；
對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.
故選：D.
2．（2024·廣東江蘇·高考真題）（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（ ）（若隨機變量Z服從正態分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據正態分布的原則以及正態分布的對稱性即可解出.
【詳解】依題可知，，所以，
故，C正確，D錯誤；
因為，所以，
因為，所以，
而，B正確，A錯誤，
故選：BC．
3．（2024·湖北·模擬預測）某品牌專賣店統計歷史消費數據發現：進店消費的顧客的消費額X（單位：元）服從正態分布．為回饋廣大顧客，專賣店對消費達一定金額的顧客開展了品牌知識有獎答題活動，顧客需要依次回答兩類試題，若顧客答對第一類題，則回答第二類題，若顧客沒有答對第一類題，則不再答第二類題，直接結束有獎答題活動．對于每一類題，答錯得0分，答對得10分，兩類題總分20分，答題結束后可減免與得分相同數額的現金（單位：元）．每類試題均有兩次答題機會，在任意一類試題中，若第一次回答正確，則認為答對該類試題，就不再進行第二次答題．若第一次回答錯誤，則進行第二次答題，若第二次答題正確，則也認為答對該類試題；若第二次回答錯誤，則認為答錯該類試題．
(1)若某天有200位進店消費的顧客，請估計該天消費額在內的人數（結果保留整數）；
附：若，則．
(2)某顧客消費達到指定金額后可參與答題活動，類題中的兩次答題機會答對的概率都是，類題中的兩次答題機會答對的概率都是，且每次答題相互獨立．若答題結束后可減免的現金數額為元，求的分布列和數學期望．
【答案】(1)168
(2)分布列見解析，
【分析】（1）先求出在內的概率，再用總人數乘以該概率即可；
（2）由題可知，的可能取值為，根據題意計算概率即可得到分布列，進而可求數學期望.
【詳解】（1）由題意，
若某天該商場有200位顧客，估計該天消費額在內的人數為：（人）；
（2）設的取值為，
則，
，
所以的分布列為
0 10 20
數學期望
4．（2024·福建福州·三模）已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態分布．其電壓通常有3種狀態：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態下，該機器生產的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機器生產的零件為不合格品時，電壓不超過200V的概率；
(2)從該機器生產的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．
附：若，取，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產的零件為不合格品”為事件D，得到，分別求得，結合條件概率和全概率的公式，即可求解.
（2）設不合格品件數為，得到，求得，結合，求得的范圍，即可求解.
【詳解】（1）解：記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產的零件為不合格品”為事件D，
因為，所以，
，
．
所以
，
則
所以該機器生產的零件為不合格品時，電壓不超過200V的概率為．
（2）解：從該機器生產的零件中隨機抽取n件，設不合格品件數為，則，
所以，
由，解得．
所以當時，；當時，；
所以最大，因此當時最大．
1．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則 ．
【答案】/．
【分析】根據正態分布曲線的性質即可解出．
【詳解】因為，所以，因此．
故答案為：．
2．（2024·新疆喀什·三模）某企業監控汽車零件的生產過程，現從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測得質量差（零件質量與標準質量之差的絕對值）的樣本數據如下表：
質量差（單位：） 54 58 60 63 64
件數（單位：件） 5 25 45 20 5
(1)求樣本質量差的平均數；假設零件的質量差，其中，用作為的近似值，求的值；
(2)已知該企業共有兩條生產汽車零件的生產線，其中第1條生產線和第2條生產線生產的零件件數比是3:1．若第1、2條生產線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產線是否產出廢品是相獨立的．現從該企業生產的汽車零件中隨機抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件為廢品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產線的概率．
參考數據：若隨機變量，則，，
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）先求出，再利用正態分布曲線的對稱性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）利用條件概率公式求解.
【詳解】（1）由題意可知:，
則，
所以
（2）（i）設事件表示“隨機抽取一件該企業生產的該零件為廢品”，
事件表示“隨機抽取一件零件為第1條生產線生產”，
事件表示“隨機抽取一件零件為第2條生產線生產”，
則，，，，
所以；
（ii）因為，
所以，
所以．
3．（2024·河南·模擬預測）某大型公司進行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規則為：前兩關中的每一關最多可參與兩次測試，只要有一次通過，就自動進入下一關的測試，否則過關失敗.若連續通過三關且第三關一次性通過，則成功競聘，已知各關通過與否相互獨立.
(1)若小李在第一關 第二關及第三關通過測試的概率分別為，求小李成功競聘的概率；
(2)統計得10000名競聘者的得分，試估計得分在442分以上的競聘者有多少人.（四舍五人取整）
附：若隨機變量，則
【答案】(1)
(2)228人
【分析】（1）由獨立乘法、互斥加法以及對立事件的概率公式即可求解；
（2）首先根據正態分布曲線的性質求出得分在442分以上的概率，從而乘以10000即可得解.
【詳解】（1）設：第次通過第一關測試，：第次通過第二關測試，：一次性通過第三關測試，因為各關通過與否相互獨立，
所以
，
.
（2）由題意可知，，
則，
，
，
所以得分在442分以上的競聘者約有228人.
4．（2024·山東日照·三模）電信詐騙是指通過電話、網絡和短信等方式，編造虛假信息，設置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.
(1)已知該校參加本次競賽的學生分數近似服從正態分布，若某同學成績滿足，則該同學被評為“反詐標兵”；若，則該同學被評為“反詐達人”.
（i）試判斷分數為88分的同學能否被評為“反詐標兵”；
（ii）若全校共有40名同學被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學生人數（四舍五入后取整）.
(2)已知該學校有男生1000人，女生1200人，經調查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數記為，求的分布列及數學期望.
參考數據：若，則，，
【答案】(1)（i）能；（ii）人
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據題意，得到，，結合，得出結論；
（ii）設全校參與本次競賽的人數為，根據正態分布曲線的對稱性，得到“反詐達人”的概率，列出方程，即可求解；
（2）根據題意，得到男生和女生了解“反詐”知識的概率，以及的所有可能取值，結合獨立重復試驗的概率公式，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解.
【詳解】（1）解：（i）由題意知，該校參加本次競賽的學生分數近似服從正態分布
可得，，因為，則該同學能被評為“反詐標兵”.
（ii）設全校參與本次競賽的人數為，“反詐達人”的概率為：
則，解得，所以參與本次知識競賽的學生人數約為人.
（2）解：由題意知，男生了解“反詐”知識的概率為，女生了解“反詐”知識的概率為，
隨機變量的所有可能取值為，
可得
所以隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4 5
所以，期望為.
1．（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知隨機變量，，則 .
【答案】
【分析】借助二項分布期望公式與方差公式，結合方差的性質計算即可得.
【詳解】由，故，則，
則.
故答案為：.
2．（2024·上海·三模）設隨機變量X服從成功概率為的二項分布，若，，則 ．
【答案】
【分析】根據期望和方差可得關于的方程組，從而可求其值.
【詳解】設,則,
所以，故，
故答案為：.
3．（2024·江西新余·模擬預測）已知連續型隨機變量與離散型隨機變量滿足，，若與的方差相同且，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正態分布和二項分布的性質可得結果.
【詳解】，，，
，由對稱性：，
故.
故選：A.
4．（2024·廣東廣州·模擬預測）（多選）對某地區數學考試成績的數據分析，男生成績服從正態分布，女生成績服從正態分布．則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】借助正態分布的概率的對稱性計算即可得.
【詳解】，，；
，，.
，，；
，，；
對于A，，A選項正確；
對于B，，B選項錯誤；
對于C，，C選項正確；
對于D，，D選項正確.
故選：ACD
5．（2024·江蘇·模擬預測）目前，某校采用 “翻轉課堂” 的教學模式，即學生先自學，然后老師再講學生不會的內容. 某一教育部門為調查在此模式下學生的物理成績與學習物理的學習時間的相關關系，針對本校名考生進行了解，其中每周學習物理的時間不少于小時的有位學生，余下的人中，在物理考試中平均成績不足分的學生占總人數的，統計后得到以下表格:
大于等于 120 分 不足 120 分 合計
學時不少于 12 小時 8 21
學時不足 12 小時
合計 49
(1)請完成上面的列聯表，能否有的把握認為“物理成績與自主物理的學習時間有關”
(2)若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學生中隨機抽取人，求這些人中周自主學習時間不少于小時的人數的期望和方差.
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格見解析，能
(2)，
【分析】（1）根據所給數據完善列聯表，計算出卡方，即可判斷；
（2）設從全校大于等于分的學生中隨機抽取人，這些人中周自主學習時間不少于小時的人數為隨機變量，則，根據二項分布的期望與方差公式計算可得.
【詳解】（1）依題意，周學時不足12小時有人，
則周學時不足12小時且平均成績不足分的有人，
所以周學時不足12小時且平均成績大于等于分的有人，
所以列聯表如下：
大于等于 120 分 不足 120 分 合計
學時不少于 12 小時 13 8 21
學時不足 12 小時 8 20 28
合計 21 28 49
，
所以能有的把握認為“成績與自主學習時間有關”；
（2）由（1）中知大于等于分的學生中周自主學習時間不少于小時的頻率是，
設從全校大于等于分的學生中隨機抽取人，
這些人中周自主學習時間不少于小時的人數為隨機變量，則，
，.
6．（2024·四川成都·一模）為了進一步推動智慧課堂的普及和應用，市現對全市中小學智慧課堂的應用情況進行抽樣調查，統計數據如表：
經常應用 偶爾應用或者不應用 總計
農村
城市
總計
從城市學校中任選一個學校，偶爾應用或者不應用智慧課堂的概率是.
(1)補全列聯表，判斷能否有的把握認為智慧課堂的應用與區域有關，并闡述理由；
(2)在經常應用智慧課堂的學校中，按照農村和城市的比例抽取5個學校進行分析，然后再從這5個學校中隨機抽取2個學校所在的地域進行核實，記其中農村學校有個，求的分布列和數學期望.
附：
.
【答案】(1)列聯表見解析，有的把握認為認為智慧課堂的應用與區域有關，理由見解析
(2)分布列見解析，數學期望為
【分析】（1）先根據題意補全列聯表，然后根據公式計算，根據表格判斷即可；
（2）先確定可能取值為，分別求出概率，然后求期望.
【詳解】（1）補全列聯表如下：
經常應用 偶爾應用或者不應用 總計
農村 40 40 80
城市 60 20 80
總計 100 60 160
.
所以有的把握認為認為智慧課堂的應用與區域有關.
（2）在經常應用智慧課堂的學校中，農村和城市的比例是，所以抽取的5個樣本有2個是農村學校，3個是城市學校，抽取2個，則可能取值為.
所以的分布列為：
0 1 2
的數學期望
7．（2024·陜西西安·三模）每個國家對退休年齡都有不一樣的規定，2018年開始，我國關于延遲退休的話題一直在網上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態度，現從某地市民中隨機選取100人進行調查，調查情況如下表：
年齡段（單位：歲）
被調查的人數 10 15 20 25 5
贊成的人數 6 12 20 12 2
(1)從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在的概率為，求出表格中，的值；
(2)若從年齡在的參與調查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣，從中抽取10人參與某項調查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數為，求的分布列及數學期望．
【答案】(1)，
(2)分布列見解析；期望為
【分析】（1）的值等于總人數減去其余各組人數的和，利用的概率為求出的值；
（2）利用分層抽樣的比例可以求出10人中，贊成的有8人，不贊成的有2人，而表示從10人中抽取的4人中贊成“延遲退休”的人數，所以的可能取值為2，3，4，然后求出其對應的概率，就可完成的分布列.
【詳解】（1）因為總共抽取100人進行調查，所以，
因為從贊成“延遲退休”的人中任選1人，其年齡在的概率為，所以．
（2）從年齡在中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取人，不贊成的抽取2人，再從這10人中隨機抽取4人，則隨機變量的可能取值為2，3，4.
則，
，
．
所以的分布列為
2 3 4
所以.
8．（23-24高三上·江蘇南通·期末）袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現在無放回地每次取一球檢驗．
(1)若直到取到新球為止，求抽取次數X的概率分布及其均值；
(2)若將題設中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數X的均值．
【答案】(1)概率分布見解析，
(2)3
【分析】（1）由分布列及均值定義計算即可得；
（2）由二項分布均值公式計算即可得.
【詳解】（1）X的可能取值為1，2，3，，
故抽取次數X的概率分布為：
X 1 2 3
P
；
（2）每次檢驗取到新球的概率均為，故，所以．
9．（2024·全國·模擬預測）自2023年12月以來，從各地前往哈爾濱賞冰樂雪的游客絡繹不絕，東北冰雪游人氣“爆棚”．某校體育組為了解學生喜歡冰雪運動是否與性別有關，隨機抽取100名學生進行了一次調查，得到下表．
女 男 合計
不喜歡冰雪運動 15
喜歡冰雪運動 75
合計 25
(1)請補全列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析能否認為學生喜歡冰雪運動與性別有關？
(2)以頻率估計概率，以樣本估計總體，若從該市學生中隨機抽取3人進行深度調研，記3人中喜歡冰雪運動的人數為，求的分布列和數學期望．
參考公式及數據：．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)列聯表見解析；能
(2)分布列見解析；
【分析】（1）根據列聯表的數據代入公式對照參考數據即可得出結論；
（2）先求該市學生喜歡冰雪運動的概率和的所有可能取值，該市學生喜歡冰雪運動的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，然后根據二項分布求得概率，列分布列求期望即可.
【詳解】（1）由題將列聯表補全如下：
女 男 合計
不喜歡冰雪運動 10 15 25
喜歡冰雪運動 15 60 75
合計 25 75 100
零假設：學生喜歡冰雪運動與性別沒有關系．
根據列聯表中的數據，可以求得：
，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認為學生喜歡冰雪運動與性別有關，此推斷錯誤的概率不大于0.05．
（2）由題知，該市學生喜歡冰雪運動的概率為，
的所有可能取值為0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以的分布列為
0 1 2 3
所以，
故期望.
10．（2024·江西鷹潭·三模）某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇.為了解該校學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度（態度分為同意和不同意），隨機調查了200名學生，數據如下：
單位：人
男生 女生 合計
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合計 100 100 200
(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關？
(2)現有足球、籃球、跳繩供學生選擇.
①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響.記事件為“甲學生選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生的選擇不同”，判斷事件是否獨立，并說明理由.
②若該校所有學生每分鐘跳繩個數.根據往年經驗，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時個數增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數（結果四舍五入到整數）.
參考公式和數據：，其中.
0.025 0.010 0.005
5.024 6.635 7.879
若，則，，.
【答案】(1)故有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關.
(2)①相互獨立；②159人.
【分析】（1）根據題中數據和公式計算，并與臨界值對比分析.
（2）①根據獨立事件的定義判斷；②利用正態分布對稱性求特殊區間概率，進而估計人數.
【詳解】（1）由題設列聯表，有，
故有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關.
（2）①則故事件獨立.
②訓練后，
故預估經過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數為
答：故預估經過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數約為人.
1．（2024·浙江金華·模擬預測）比較兩組測量尺度差異較大數據的離散程度時，常使用離散系數，其定義為標準差與均值之比.某地區進行調研考試，共10000名學生參考，測試結果（單位：分）近似服從正態分布，且平均分為57.4，離散系數為0.36，則全體學生成績的第84百分位數約為（ ）
附：若隨機變量服從正態分布.
A．82 B．78 C．74 D．70
【答案】B
【分析】先根據題意計算標準差，從而得到正態分布，再利用正態密度曲線的軸對稱性和百分位數的定義進行求解即可.
【詳解】根據題意得標準差為，所以測試結果（單位：分）近似服從正態分布，
又因為，且，所以全體學生成績的第84百分位數約為.
故選：B.
2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某體育器材廠生產一批籃球，單個籃球的質量（單位：克）服從正態分布，從這一批籃球中隨機抽檢300個，則被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
【答案】B
【分析】根據正態分布的對稱性求出的概率，即可得解.
【詳解】由題意得，
，
，
所以被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為293.
故選：B.
3．（2024·貴州遵義·二模）商場對某種商品進行促銷，顧客只要在商場中購買該商品，就可以在商場中參加抽獎活動．規則如下：先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，然后從裝有4個紅球，2個白球，2個黑球的盒中有放回地隨機取球若干次，每次取出一個球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過程中若顧客持有分數變為0分，抽獎結束；若顧客持有分數達到15分，則獲得一等獎，抽獎結束．
(1)求顧客3次取球后持有分數的數學期望；
(2)設顧客在抽獎過程中持有分數為分最終獲得一等獎的概率為；
①證明：是等差數列；
②求顧客獲得一等獎的概率．
【答案】(1)5
(2)證明見解析；
【分析】（1）先求出一次取出紅球的概率，設顧客3次取球取得紅球的次數為隨機變量為，可得其服從二項分布，再設3次取球后累計分數為隨機變量，得出其與的關系，從而得出答案.
（2）①由可證明；②由①中的結論先求出，然后得出，由題意求出即可.
【詳解】（1）記事件：“一次取出紅球”，則，
設顧客3次取球取得紅球的次數為隨機變量為， 3次取球后累計分數為隨機變量.
則，
則，故，
所以；
（2）①由題意當時，，即
所以是等差數列；
②由題意，由上可知：，
所以，
又由題意，所以.
由先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，即，
所以先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，顧客獲得一等獎的概率.
4．（23-24高三下·全國·開學考試）2023年11月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領域取得的巨大成就受邀進行大會發言.為了研究不同性別的學生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進行了一次抽樣調查，分別抽取男 女生各50人作為樣本.設事件“了解人工智能”，“學生為男生”，據統計.
(1)根據已知條件，填寫下列列聯表，是否有把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關？
了解人工智能 不了解人工智能 合計
男生
女生
合計
(2)①現從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機選取3人贈送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的學生中隨機抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數為X，求隨機變量的數學期望和方差.
參考公式：.常用的小概率值和對應的臨界值如下表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列聯表見解析；沒有
(2)①；②，.
【分析】（1）根據兩個條件概率值求出列聯表中的數據，利用卡方公式計算的值，再與對應的小概率值比較即得結論；
（2）①先利用分層抽樣確定所抽取的名女市民中了解和不了解人工智能的人數，再利用古典概率模型概率公式計算即得；
②根據列聯表推理得到從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學生的概率為，每次抽的結果僅有“了解”與“不了解”兩種，隨機抽取20人，相當于完成20次伯努利試驗，故利用二項分布期望與方差公式即可求得.
【詳解】（1）因為，
所以了解人工智能的女生為，了解人工智能的總人數為，
則了解人工智能的男生有人，
結合男生和女生各有人，填寫列聯表為：
了解人工智能 不了解人工智能 合計
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合計 70 30 100
因，
故沒有把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關.
（2）①由題意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，
不了解人工智能的有人，
所以，選取的人中至少有人了解人工智能的概率為；
②由列聯表可知，抽到了解人工智能的學生的頻率為，
將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學生的概率為，
由題意可知，，所以，，.
5．（2024·全國·模擬預測）某游戲設計者設計了一款游戲：玩家在一局游戲內，每點擊一次屏幕可以獲得一張卡片，共有“”和“”兩種卡片，每位玩家的初始分數為0，每獲得一張“”加1分，每獲得一張“”減1分．已知某位玩家在一局游戲內共點擊屏幕次，設該玩家獲得“”的次數為，最終分數為．
(1)若玩家每次點擊屏幕時，獲得“”和“”的概率均為，求的分布列與數學期望，并直接寫出的值；
(2)若該游戲系統通過一個計數器來控制玩家獲得“”和“”的概率．計數器會記錄玩家已經點擊屏幕的次數（初始值為0），若為偶數，則玩家下一次點擊屏幕時，獲得“”和“”的概率均為，若為奇數，則玩家下一次點擊屏幕時，獲得“”的概率為，獲得“”的概率為．求．
附：若隨機變量和的取值是相互獨立的，則．
【答案】(1)分布列見解析；期望為，
(2)答案見解析
【分析】（1）易知，則；的可能取值為0，1，2，3，利用獨立事件的乘法公式求出對應的概率，列出分布列，結合求數學期望公式計算即可求解；
（2）由題意可知奇、偶數次抽獎為兩個獨立的二項分布且，分別求出當為奇、偶數時對應的方差，結合題意給的公式和方差的性質計算即可求解.
【詳解】（1）由題意知，滿足二項分布，
則.
當時，的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
的分布列為
0 1 2 3
．
（2）可以將奇數次抽獎和偶數次抽獎看作兩個獨立的二項分布且．
①當為奇數時，第奇數次抽獎共進行次，第偶數次抽獎共進行次，
，，
而奇數次抽獎和偶數次抽獎相互獨立，
．
②當為偶數時，
．
6．（2023·廣東·二模）多巴胺是一種神經傳導物質，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調動正面的情緒，是一種“積極化的聯想”.小李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式決定衣物顏色，現有一個箱子，里面裝有質地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當天穿紅色，否則穿藍色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
(1)寫出小李同學抽到紅球個數的分布列及期望；
(2)求小李同學當天穿連衣裙的概率.
【答案】(1)分布列見解析，
(2).
【分析】（1）根據超幾何分布求出的概率，列出分布列，求出數學期望即可；
（2）設A表示穿紅色衣物，則表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.求出，結合條件概率和計算即可求解.
【詳解】（1）設抽到紅球的個數為X，則X的取值可能為4，3，2，
，，，
所以X的分布列為：
X 4 3 2
P
故.
（2）設A表示穿紅色衣物，則表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.
因為穿紅色衣物的概率為，
則穿藍色衣物的概率為，
穿紅色連衣裙的概率為，穿藍色連衣裙的概率為，
則當天穿連衣裙的概率為.
所以小李同學當天穿連衣裙的概率為.
7．（2023·全國·模擬預測）2023年中秋國慶雙節期間，我國繼續執行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有1000輛車通過該收費點，為方便統計，時間段記作區間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數進行初步處理，已知，時間段內的車輛數的頻數如下表：
時間段
頻數 100 300 m n
(1)現對數據進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數為，求的分布列與期望；
(2)由大數據分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數（結果四舍五入保留到整數）.
參考數據：若，則①；②；③.
【答案】(1)分布列見解析，期望為
(2)
【分析】（1）根據分層抽樣、超幾何分布等知識求得分布列并求得數學期望.
（2）先求得，然后根據正態分布的對稱性求得正確答案.
【詳解】（1）因為，，所以，.
由分層隨機抽樣可知，抽取的10輛車中，在9：00~9：40通過的車輛數位于時間段，這兩個區間內的車輛數為，
車輛數的可能取值為0，1，2，3，4，
，，，
，，
所以X的分布列為
所以.
（2）這1000輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值，即9：04，
，
所以.
估計在這一時間段內通過的車輛數，也就是通過的車輛數，
工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，
，
所以估計在這一時間段內通過的車輛數為.
8．（23-24高三上·遼寧大連·期末）某農場2021年在3000畝大山里投放一大批雞苗，雞苗成年后又自行繁育，今年為了估計山里成年雞的數量，從山里隨機捕獲400只成年雞，并給這些雞做上標識，然后再放養到大山里，過一段時間后，從大山里捕獲1000只成年雞，表示捕獲的有標識的成年雞的數目.
(1)若，求的數學期望；
(2)已知捕獲的1000只成年雞中有20只有標識，試求的估計值（以使得最大的的值作為的估計值）.
【答案】(1)
(2)19999或20000
【分析】（1）首先分析題意，利用超幾何分布知識進行解答.
（2）根據第一問，進行解析所以當或20000時，最大，所以的值為19999或20000.
【詳解】（1）以服從超幾何分布，且，
故.
（2）當時，；
當時，
令，則
，
當時，；當時，
，
所以當或20000時，最大，所以的值為19999或20000.
9．（2024·山西長治·模擬預測）某汽車公司最新研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試.現對測試數據進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：
(1)估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標準差s的近似值為49.75.根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程X近似地服從正態分布，其中μ近似為樣本平均數，σ近似為樣本標準差S.
（ⅰ）利用該正態分布，求；
（ⅱ）假設某企業從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續航里程位于區間（250.25，399.5）的車輛數，求E（Z）；
參考數據：若隨機變量ξ服從正態分布，則，.
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在x軸上從原點O出發向右運動，已知硬幣出現正、反面的概率都，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，則遙控車向移動一個單位，若擲出反面，則遙控車向右移動兩個單位，直到遙控車移到點（59，0）（勝利大本營）或點（60，0）（失敗大本營）時，游戲結束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優惠券.設遙控車移到點的概率為，試證明數列是等比數列，求出數列的通項公式，并比較和的大小.
【答案】(1)300
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
(3)證明見解析，，
【分析】（1）根據平均數的求法求得正確答案.
（2）（ⅰ）根據正態分布的對稱性求得正確答案.
（ⅱ）根據二項分布的知識求得正確答案.
（3）根據已知條件構造等比數列，然后利用累加法求得，利用差比較法比較和的大小.
【詳解】（1）.
（2）（ⅰ）.
（ⅱ））∵Z服從二項分布，∴.
（3）當時，，
.
∴是以為首項，為公比的等比數列，
.
.
累加得：
.
∴
∵，∴.
注：比較和的另一個過程：.
10．（2024·福建龍巖·三模）某企業對某品牌芯片開發了一條生產線進行試產.其芯片質量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質量指標值：.根據長期檢測結果，得到芯片的質量指標值服從正態分布，并把質量指標值不小于80的產品稱為等品，其它產品稱為等品. 現從該品牌芯片的生產線中隨機抽取100件作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據長期檢測結果，該芯片質量指標值的標準差的近似值為11，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值. 若從生產線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數點后面兩位有效數字)；
(①同一組中的數據用該組區間的中點值代表；②參考數據:若隨機變量服從正態分布，則，. )
(2)（i）從樣本的質量指標值在和[85，95]的芯片中隨機抽取3件，記其中質量指標值在[85，95]的芯片件數為，求的分布列和數學期望；
（ii）該企業為節省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝. 已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(1)的計算結果，試求的值，使得每箱產品的利潤最大.
【答案】(1)
(2)（i）分布列見解析，；（ii）
【分析】（1）根據頻率分布直方圖求得樣本平均數，然后利用正態分布的對稱性求解概率.
（2）（i）先求出的取值，然后求出對應的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ii）先根據二項分布的期望求出，然后構造函數，利用導數求出最大值時的即可.
【詳解】（1）由題意，估計從該品牌芯片的生產線中隨機抽取100件的平均數為：
．
即，，所以，
因為質量指標值近似服從正態分布，
所以，
所以從生產線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為.
（2）（i），所以所取樣本的個數為20件，
質量指標值在的芯片件數為10件，故可能取的值為0，1，2，3，
相應的概率為：
，，
，，
隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
所以的數學期望.
（ii）設每箱產品中A等品有件，則每箱產品中等品有件，
設每箱產品的利潤為元，
由題意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，單調遞增，，，單調遞減，
所以當時，取得最大值.
所以當時，每箱產品利潤最大.
1．（浙江·高考真題）已知隨機變量服從正態分布，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由正態分布的特征得＝，選A.
2．（湖北·高考真題）設，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（ ）
A．
B．
C．對任意正數，
D．對任意正數，
【答案】C
【詳解】由正態密度曲線的性質可知，、的密度曲線分別關于、對稱，因此結合所給圖象可得且的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，所以對任意正數，．
考點：正態分布密度曲線．
3．（安徽·高考真題）設兩個正態分布和的密度函數圖像如圖所示．則有
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【詳解】根據正態分布函數的性質：正態分布曲線是一條關于對稱，在處取得最大值的連續鐘形曲線；越大，曲線的最高點越底且彎曲較平緩；反過來，越小，曲線的最高點越高且彎曲較陡峭，選A．
4．（遼寧·高考真題）設袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據超幾何分布的概率公式即可求解.
【詳解】從袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球共有種取法，
恰好有6個紅球，則有4個白球，故取法有中，
由古典概型的概率公式得概率為.
故選：D
5．（湖北·高考真題）已知隨機變量服從正態分布，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正態分布曲線的對稱性進行求解即可.
【詳解】，，
.
故選：C.
6．（山東·高考真題）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為
（附：若隨機變量ξ服從正態分布 ，則 ，
．）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【詳解】試題分析：由題意
故選B．
考點：正態分布
7．（全國·高考真題）在某項測量中，測量結果服從正態分布.若在(0，1)內取值的概率為0.4，則在(0，2)內取值的概率為 .
【答案】0.8
【分析】利用正態分布的對稱性求解即可
【詳解】因為正態分布的平均數為1，
所以
所以
故答案為： 0.8
8．（湖南·高考真題）某地區為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業能力．每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有，參加過計算機培訓的有．假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響.
(1)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；
(2)任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓的人數，求的分布列和期望.
【答案】(1)0.9
(2)分布列見詳解，
【分析】（1）根據獨立事件概率的乘法公式結合對立事件運算求解；（2）根據題意結合二項分布的概率和期望運算求解.
【詳解】（1）任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件A，“該人參加過計算機培訓”為事件B，
由題意可知：事件A與B事件獨立，，則，
任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓的概率，
故任選1名下崗人員，該人參加過培訓的概率
（2）由題意結合（1）可知：3人中參加過培訓的人數服從二項分布，則，
，，
，，
的分布列：
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
的期望.
9．（全國·高考真題）從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：

（I）求這500件產品質量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）；
（II）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.
（i）利用該正態分布，求；
（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記表示這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數.利用（i）的結果，求.
附：
若則，．
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
【詳解】試題分析：（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數眾數、中位數、均值、方差．若同一組的數據用該組區間的中點值作代表，則眾數為最高矩形中點橫坐標．中位數為面積等分為的點．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權平均值．（II）（i）由已知得，
，故；（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，相當于100次獨立重復試驗，則這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數，故期望．
試題分析：（I）抽取產品的質量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為
，
．
（II）（i）由（I）知，服從正態分布，從而
．
（ii）由（i）可知，一件產品的質量指標值位于區間的概率為，依題意知，所以．
【考點定位】1、頻率分布直方圖；2、正態分布的原則；3、二項分布的期望．
10．（山東·高考真題）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
【答案】（1） （2）見解析
【詳解】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得
(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式
得X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
進一步計算X的數學期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則
(II)由題意知X可取的值為：.則
因此X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
X的數學期望是=
【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機變量的分布列和數學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數學應用意識、基本運算求解能力等.
11．（四川·高考真題）廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家對一批產品發給商家時，商家按規定拾取一定數量的產品做檢驗，以決定是否驗收這批產品：
(1)若廠家庫房中的每件產品合格的概率為0.3，從中任意取出4種進行檢驗，求至少有1件是合格產品的概率；
(2)若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規定該商家從中任取2件，來進行檢驗，只有2件產品合格時才接收這些產品，否則拒收，分別求出該商家檢驗出不合格產品為1件和2件的概率，并求該商家拒收這些產品的概率．
【答案】(1)0.7599；
(2)答案見詳解.
【分析】（1）由對立事件概率公式及產品合格的概率為0.3，即可求出從產品中任意取出件進行檢驗至少有件是合格的概率；
（2）根據超幾何分布求出對應的概率，結合對立事件概率公式，即可求得結果.
【詳解】（1）記“廠家任取件產品檢驗，其中至少有件事合格品”為事件A
用A的對立事件來算，有；
（2）設商家檢驗出不合格產品的件數為，則的可能取值為0,1,2，
，
，
，
所以商家檢驗出不合格產品為1件、2件的概率分別為、；
記“商家任取2件產品檢驗，都合格”為事件，
則商家拒收這批產品的概率
所以商家拒收這批產品的概率為.
12．（全國·高考真題）投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨立評審．
（1）求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；
（2）記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數，求X的分布列及期望．
【答案】（1） 0.4 （2）見解析
【分析】（1）由題意，稿件被錄用或者稿件能通過兩位初審專家的評審，或者稿件恰能通過一位初審專家的評審且能通過復審專家的評審，利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率公式，即得解；
（2）由題意，由二項分布的概率公式和期望公式，即得解
【詳解】（1）記 A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審；
B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；
C表示事件：稿件能通過復審專家的評審；
D表示事件：稿件被錄用.
則 D=A+BC,
= =
=0.25+0.5×0.3=0.40.
（2）由題意，，且
分布列如下：
期望.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第08講 二項分布、超幾何分布及正態分布
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第9題,6分 指定區間的概率 正態分布的實際應用 /
2023年全國甲卷（理）， 第19題,12分 超幾何分布的均值 超幾何分布的分布列 計算幾個數的中位數 獨立性檢驗解決實際問題
2022年新Ⅱ卷，第13題,5分 正態分布指定區間的概率 /
2021年新Ⅱ卷，第6題,5分 正態分布的實際應用 /
知識講解
獨立重復試驗與二項分布
獨立重復試驗 二項分布
定義 在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗 在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率
計算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
獨立重復試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略
(1)在求n次獨立重復試驗中事件恰好發生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率．
(2)在根據獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數n和變量的概率，繼而求得概率．
兩點分布
X 0 1
P 1－p p
這樣的分布列叫做兩點分布列．
如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，而稱p＝P(X＝1)為成功概率．
超幾何分布列
一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發生的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布.
X 0 1 … m
P …
正態分布
正態曲線的特點
(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
(3)曲線在x＝μ處達到峰值；
(4)曲線與x軸之間的面積為1；
(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
正態分布的三個常用數據
(1)P(μ－σ(2)P(μ－2σ(3)P(μ－3σ考點一、二項分布
1．（2024·全國·三模）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則：每一局比賽中，勝者得1分，負者得0分，且比賽中沒有平局.根據以往戰績，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結果互不影響.
(1)經過3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；
(2)若比賽采取3局制，試計算3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.
2．（2024·安徽·三模）近年來，為了提升青少年的體質，教育部出臺了各類相關文件，各地區學校也采取了相應的措施，適當增加在校學生的體育運動時間；現調查某地區中學生（包含初中生與高中生）對增加體育運動時間的態度，所得數據統計如下表所示：
喜歡增加體育運動時間 不喜歡增加體育運動時間
初中生 160 40
高中生 140 60
(1)在犯錯誤的概率不超過0.01（小概率值）的前提下，能否認為學段與對增加體育運動時間的態度有關聯；
(2)以頻率估計概率，若在該地區所有中學生中隨機抽取4人，記“喜歡增加體育運動時間”的人數為X，求X的分布列以及數學期望.
參考公式：，其中.
參考數據：
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
喜歡增加體育運動時間 不喜歡增加體育運動時間 總計
初中生 160 40 200
高中生 140 60 200
總計 300 100 400
3．（2024·山東菏澤·模擬預測）菏澤牡丹栽培始于隋，興于唐，盛于明清，自古享有“曹州牡丹甲天下”的美譽.四月，菏澤大地上牡丹次第綻放，觀賞牡丹擁有9大色系 10大花型 1280余個品種，以最亮眼的姿態恭迎八方游人.某旅行團帶游客來菏澤觀賞牡丹，游客可自由選擇曹州牡丹園和中國牡丹園的一處游覽，若每位游客選擇曹州牡丹園的概率是，選擇中國牡丹園的概率是，游客之間選擇意愿相互獨立.
(1)從游客中隨機選取人，記人中選擇曹州牡丹區的人數為，求的分布列 均值與方差；
(2)現對游客進行問卷調查，若選擇曹州牡丹園記分，選擇中國牡丹園記1分，記已調查過的累計得分為分的概率為，求.
4．（2024·湖北·模擬預測）組合投資需要同時考慮風險與收益．為了控制風險需要組合低風險資產，為了擴大收益需要組合高收益資產，現有兩個相互獨立的投資項目A和B，單獨投資100萬元項目A的收益記為隨機變量X，單獨投資100萬元項目B的收益記為隨機變量Y．若將100萬資金按進行組合投資，則投資收益的隨機變量Z滿足，其中．假設在組合投資中，可用隨機變量的期望衡量收益，可用隨機變量的方差衡量風險.
(1)若，，求Z的期望與方差；
(2)已知隨機變量X滿足分布列：
X … …
… …
隨機變量Y滿足分布列：
Y … …
… …
且隨機變量X與Y相互獨立，即，，．求證：；
(3)若投資項目X是高收益資產，其每年的收益滿足：有30%的可能虧損當前資產的一半；有70%的可能增值當前資產的一倍．投資項目是低風險資產，滿足．試問能否滿足投資第1年的收益不低于17萬，風險不高于500？請說明理由．
1．（2024·河北邯鄲·模擬預測）某人投擲兩枚骰子，取其中一枚的點數記為點的橫坐標，另一枚的點數記為點的縱坐標，令事件“”，事件“為奇數”.
(1)證明：事件相互獨立；
(2)若連續拋擲這兩枚骰子三次，求點在圓內的次數的分布列與期望.
2．（2024·四川宜賓·模擬預測）某地為調查年齡在歲段人群每周的運動情況，從年齡在歲段人群中隨機抽取了200人的信息，將調查結果整理如下：
女性 男性
每周運動超過2小時 60 80
每周運動不超過2小時 40 20
(1)根據以上信息，能否有把握認為該地年齡在歲段人群每周運動超過2小時與性別有關？
(2)用樣本估計總體，從該地年齡在歲段人群中隨機抽取3人，設抽取的3人中每周運動不超過2小時的人數為，求的分布列和數學期望.
參考公式：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
3．（2024·河北·三模）某學校的數學興趣小組對學校學生的冰雪運動情況進行調研，發現約有的學生喜歡滑雪運動．從這些被調研的學生中隨機抽取3人進行調查，假設每個學生被選到的可能性相等．
(1)記表示喜歡滑雪運動的人數，求的數學期望．
(2)若該數學興趣小組計劃在全校學生中抽選一名喜歡滑雪運動的學生進行訪談．抽選規則如下：在全校學生中隨機抽選一名學生，如果該學生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學生，結束抽選活動；如果該學生不喜歡滑雪運動，則繼續隨機抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學生為止，結束抽選活動．并且規定抽取的次數不超過次，其中小于當次調查的總人數．設在抽選活動結束時，抽到不喜歡滑雪運動的學生的人數為，求抽到名學生不喜歡滑雪運動的概率．
4．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業績，現將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進行統計，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
(2)以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區間內的天數為，求的分布列及數學期望；
(3)為增加銷售量，公司規定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規則如下：抽獎區有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡 1張銀卡，盒中放有2張金卡 8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.
考點二、超幾何分布
1．（2023·陜西榆林·模擬預測）某校體育節組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．
(1)志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率；
(2)為了調查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其中有9名首選100米，6名首選4×100米接力．現從這15名同學中再選3名同學做進一步調查．將其中首選4×100米接力的人數記作X，求隨機變量X的分布列和數學期望．
0 1 2 3
2．（2023·全國·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼養在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.
(1)設表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數，求的分布列和數學期望；
(2)實驗結果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數m，再分別統計兩樣本中小于m與不小于的數據的個數，完成如下列聯表：
對照組
實驗組
（ii）根據（i）中的列聯表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與正常環境中體重的增加量有差異．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
3．（2024·福建泉州·模擬預測）某學校為了研究不同性別的學生對“村BA”賽事的了解情況，進行了一次抽樣調查，分別隨機抽取男生和女生各80名作為樣本，設事件“了解村BA”，“學生為女生”，據統計，.
(1)根據已知條件，補全列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷該校學生對“村BA”的了解情況與性別是否有關？
了解 不了解 總計
男生
女生
總計
(2)現從該校不了解“村BA”的學生中，采用分層隨機抽樣的方法抽取10名學生，再從這10名學生隨機抽取4人，設抽取的4人中男生的人數為，求的分布列和數學期望.
附：，.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
1．（2024·新疆·二模）某人工智能研究實驗室開發出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人棋型的開發主要采用（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為，當出現語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.
(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求的分布列和數學期望；
(2)設輸入的問題出現語法錯誤的概率為，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．
2．（2024·湖北·二模）某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統計了全校所有學生在一年內每周參加體育鍛煉的次數，現隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數據，結果如下表：
一周參加體育鍛煉次數 0 1 2 3 4 5 6 7 合計
男生人數 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人數 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合計 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若將一周參加體育鍛煉次數為3次及3次以上的，稱為“經常鍛煉”，其余的稱為“不經常鍛煉”．請完成以下列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；
性別 鍛煉 合計
不經常 經常
男生
女生
合計
(2)若將一周參加體育鍛煉次數為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數為，求和；
(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數為，求的分布列和數學期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
3．（2024·四川成都·模擬預測）為了估計魚塘中魚的數量，常常采用如下方法：先從魚塘中撈出條魚，在魚身上做好某種標記后再放回魚塘．一段時間后，再從魚塘中撈出條魚，并統計身上有標記的魚的數目，就能估計出魚塘中的魚的總數．已知，設第二次撈出的條魚中身上有標記的魚的數目為隨機變量．
(1)若已知，．
①求的均值；
②是否有的把握認為能撈出身上有標記的魚（即能撈出身上有標記的魚的概率不小于）？
(2)若，其中身上有標記的魚有條，估計池塘中魚的總數（將使最大的作為估計值）．
參考數據：，，，．
考點三、正態分布
1．（2021·全國·高考真題）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
2．（2024·廣東江蘇·高考真題）（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（ ）（若隨機變量Z服從正態分布，）
A． B．
C． D．
3．（2024·湖北·模擬預測）某品牌專賣店統計歷史消費數據發現：進店消費的顧客的消費額X（單位：元）服從正態分布．為回饋廣大顧客，專賣店對消費達一定金額的顧客開展了品牌知識有獎答題活動，顧客需要依次回答兩類試題，若顧客答對第一類題，則回答第二類題，若顧客沒有答對第一類題，則不再答第二類題，直接結束有獎答題活動．對于每一類題，答錯得0分，答對得10分，兩類題總分20分，答題結束后可減免與得分相同數額的現金（單位：元）．每類試題均有兩次答題機會，在任意一類試題中，若第一次回答正確，則認為答對該類試題，就不再進行第二次答題．若第一次回答錯誤，則進行第二次答題，若第二次答題正確，則也認為答對該類試題；若第二次回答錯誤，則認為答錯該類試題．
(1)若某天有200位進店消費的顧客，請估計該天消費額在內的人數（結果保留整數）；
附：若，則．
(2)某顧客消費達到指定金額后可參與答題活動，類題中的兩次答題機會答對的概率都是，類題中的兩次答題機會答對的概率都是，且每次答題相互獨立．若答題結束后可減免的現金數額為元，求的分布列和數學期望．
4．（2024·福建福州·三模）已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態分布．其電壓通常有3種狀態：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態下，該機器生產的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機器生產的零件為不合格品時，電壓不超過200V的概率；
(2)從該機器生產的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．
附：若，取，．
1．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則 ．
2．（2024·新疆喀什·三模）某企業監控汽車零件的生產過程，現從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測得質量差（零件質量與標準質量之差的絕對值）的樣本數據如下表：
質量差（單位：） 54 58 60 63 64
件數（單位：件） 5 25 45 20 5
(1)求樣本質量差的平均數；假設零件的質量差，其中，用作為的近似值，求的值；
(2)已知該企業共有兩條生產汽車零件的生產線，其中第1條生產線和第2條生產線生產的零件件數比是3:1．若第1、2條生產線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產線是否產出廢品是相獨立的．現從該企業生產的汽車零件中隨機抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件為廢品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產線的概率．
參考數據：若隨機變量，則，，
3．（2024·河南·模擬預測）某大型公司進行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規則為：前兩關中的每一關最多可參與兩次測試，只要有一次通過，就自動進入下一關的測試，否則過關失敗.若連續通過三關且第三關一次性通過，則成功競聘，已知各關通過與否相互獨立.
(1)若小李在第一關 第二關及第三關通過測試的概率分別為，求小李成功競聘的概率；
(2)統計得10000名競聘者的得分，試估計得分在442分以上的競聘者有多少人.（四舍五人取整）
附：若隨機變量，則
4．（2024·山東日照·三模）電信詐騙是指通過電話、網絡和短信等方式，編造虛假信息，設置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.
(1)已知該校參加本次競賽的學生分數近似服從正態分布，若某同學成績滿足，則該同學被評為“反詐標兵”；若，則該同學被評為“反詐達人”.
（i）試判斷分數為88分的同學能否被評為“反詐標兵”；
（ii）若全校共有40名同學被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學生人數（四舍五入后取整）.
(2)已知該學校有男生1000人，女生1200人，經調查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數記為，求的分布列及數學期望.
參考數據：若，則，，
1．（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知隨機變量，，則 .
2．（2024·上海·三模）設隨機變量X服從成功概率為的二項分布，若，，則 ．
3．（2024·江西新余·模擬預測）已知連續型隨機變量與離散型隨機變量滿足，，若與的方差相同且，則（ ）.
A． B． C． D．
4．（2024·廣東廣州·模擬預測）（多選）對某地區數學考試成績的數據分析，男生成績服從正態分布，女生成績服從正態分布．則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·江蘇·模擬預測）目前，某校采用 “翻轉課堂” 的教學模式，即學生先自學，然后老師再講學生不會的內容. 某一教育部門為調查在此模式下學生的物理成績與學習物理的學習時間的相關關系，針對本校名考生進行了解，其中每周學習物理的時間不少于小時的有位學生，余下的人中，在物理考試中平均成績不足分的學生占總人數的，統計后得到以下表格:
大于等于 120 分 不足 120 分 合計
學時不少于 12 小時 8 21
學時不足 12 小時
合計 49
(1)請完成上面的列聯表，能否有的把握認為“物理成績與自主物理的學習時間有關”
(2)若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學生中隨機抽取人，求這些人中周自主學習時間不少于小時的人數的期望和方差.
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
6．（2024·四川成都·一模）為了進一步推動智慧課堂的普及和應用，市現對全市中小學智慧課堂的應用情況進行抽樣調查，統計數據如表：
經常應用 偶爾應用或者不應用 總計
農村
城市
總計
從城市學校中任選一個學校，偶爾應用或者不應用智慧課堂的概率是.
(1)補全列聯表，判斷能否有的把握認為智慧課堂的應用與區域有關，并闡述理由；
(2)在經常應用智慧課堂的學校中，按照農村和城市的比例抽取5個學校進行分析，然后再從這5個學校中隨機抽取2個學校所在的地域進行核實，記其中農村學校有個，求的分布列和數學期望.
附：
7．（2024·陜西西安·三模）每個國家對退休年齡都有不一樣的規定，2018年開始，我國關于延遲退休的話題一直在網上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態度，現從某地市民中隨機選取100人進行調查，調查情況如下表：
年齡段（單位：歲）
被調查的人數 10 15 20 25 5
贊成的人數 6 12 20 12 2
(1)從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在的概率為，求出表格中，的值；
(2)若從年齡在的參與調查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣，從中抽取10人參與某項調查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數為，求的分布列及數學期望．
8．（23-24高三上·江蘇南通·期末）袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現在無放回地每次取一球檢驗．
(1)若直到取到新球為止，求抽取次數X的概率分布及其均值；
(2)若將題設中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數X的均值．
9．（2024·全國·模擬預測）自2023年12月以來，從各地前往哈爾濱賞冰樂雪的游客絡繹不絕，東北冰雪游人氣“爆棚”．某校體育組為了解學生喜歡冰雪運動是否與性別有關，隨機抽取100名學生進行了一次調查，得到下表．
女 男 合計
不喜歡冰雪運動 15
喜歡冰雪運動 75
合計 25
(1)請補全列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析能否認為學生喜歡冰雪運動與性別有關？
(2)以頻率估計概率，以樣本估計總體，若從該市學生中隨機抽取3人進行深度調研，記3人中喜歡冰雪運動的人數為，求的分布列和數學期望．
參考公式及數據：．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
10．（2024·江西鷹潭·三模）某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇.為了解該校學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度（態度分為同意和不同意），隨機調查了200名學生，數據如下：
單位：人
男生 女生 合計
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合計 100 100 200
(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關？
(2)現有足球、籃球、跳繩供學生選擇.
①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響.記事件為“甲學生選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生的選擇不同”，判斷事件是否獨立，并說明理由.
②若該校所有學生每分鐘跳繩個數.根據往年經驗，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時個數增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數（結果四舍五入到整數）.
參考公式和數據：，其中.
0.025 0.010 0.005
5.024 6.635 7.879
若，則，，.
1．（2024·浙江金華·模擬預測）比較兩組測量尺度差異較大數據的離散程度時，常使用離散系數，其定義為標準差與均值之比.某地區進行調研考試，共10000名學生參考，測試結果（單位：分）近似服從正態分布，且平均分為57.4，離散系數為0.36，則全體學生成績的第84百分位數約為（ ）
附：若隨機變量服從正態分布.
A．82 B．78 C．74 D．70
2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某體育器材廠生產一批籃球，單個籃球的質量（單位：克）服從正態分布，從這一批籃球中隨機抽檢300個，則被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
3．（2024·貴州遵義·二模）商場對某種商品進行促銷，顧客只要在商場中購買該商品，就可以在商場中參加抽獎活動．規則如下：先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，然后從裝有4個紅球，2個白球，2個黑球的盒中有放回地隨機取球若干次，每次取出一個球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過程中若顧客持有分數變為0分，抽獎結束；若顧客持有分數達到15分，則獲得一等獎，抽獎結束．
(1)求顧客3次取球后持有分數的數學期望；
(2)設顧客在抽獎過程中持有分數為分最終獲得一等獎的概率為；
①證明：是等差數列；
②求顧客獲得一等獎的概率．
4．（23-24高三下·全國·開學考試）2023年11月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領域取得的巨大成就受邀進行大會發言.為了研究不同性別的學生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進行了一次抽樣調查，分別抽取男 女生各50人作為樣本.設事件“了解人工智能”，“學生為男生”，據統計.
(1)根據已知條件，填寫下列列聯表，是否有把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關？
了解人工智能 不了解人工智能 合計
男生
女生
合計
(2)①現從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機選取3人贈送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的學生中隨機抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數為X，求隨機變量的數學期望和方差.
參考公式：.常用的小概率值和對應的臨界值如下表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
5．（2024·全國·模擬預測）某游戲設計者設計了一款游戲：玩家在一局游戲內，每點擊一次屏幕可以獲得一張卡片，共有“”和“”兩種卡片，每位玩家的初始分數為0，每獲得一張“”加1分，每獲得一張“”減1分．已知某位玩家在一局游戲內共點擊屏幕次，設該玩家獲得“”的次數為，最終分數為．
(1)若玩家每次點擊屏幕時，獲得“”和“”的概率均為，求的分布列與數學期望，并直接寫出的值；
(2)若該游戲系統通過一個計數器來控制玩家獲得“”和“”的概率．計數器會記錄玩家已經點擊屏幕的次數（初始值為0），若為偶數，則玩家下一次點擊屏幕時，獲得“”和“”的概率均為，若為奇數，則玩家下一次點擊屏幕時，獲得“”的概率為，獲得“”的概率為．求．
附：若隨機變量和的取值是相互獨立的，則．
6．（2023·廣東·二模）多巴胺是一種神經傳導物質，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調動正面的情緒，是一種“積極化的聯想”.小李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式決定衣物顏色，現有一個箱子，里面裝有質地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當天穿紅色，否則穿藍色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
(1)寫出小李同學抽到紅球個數的分布列及期望；
(2)求小李同學當天穿連衣裙的概率.
7．（2023·全國·模擬預測）2023年中秋國慶雙節期間，我國繼續執行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有1000輛車通過該收費點，為方便統計，時間段記作區間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數進行初步處理，已知，時間段內的車輛數的頻數如下表：
時間段
頻數 100 300 m n
(1)現對數據進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數為，求的分布列與期望；
(2)由大數據分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數（結果四舍五入保留到整數）.
參考數據：若，則①；②；③.
8．（23-24高三上·遼寧大連·期末）某農場2021年在3000畝大山里投放一大批雞苗，雞苗成年后又自行繁育，今年為了估計山里成年雞的數量，從山里隨機捕獲400只成年雞，并給這些雞做上標識，然后再放養到大山里，過一段時間后，從大山里捕獲1000只成年雞，表示捕獲的有標識的成年雞的數目.
(1)若，求的數學期望；
(2)已知捕獲的1000只成年雞中有20只有標識，試求的估計值（以使得最大的的值作為的估計值）.
9．（2024·山西長治·模擬預測）某汽車公司最新研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試.現對測試數據進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：
(1)估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標準差s的近似值為49.75.根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程X近似地服從正態分布，其中μ近似為樣本平均數，σ近似為樣本標準差S.
（ⅰ）利用該正態分布，求；
（ⅱ）假設某企業從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續航里程位于區間（250.25，399.5）的車輛數，求E（Z）；
參考數據：若隨機變量ξ服從正態分布，則，.
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在x軸上從原點O出發向右運動，已知硬幣出現正、反面的概率都，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，則遙控車向移動一個單位，若擲出反面，則遙控車向右移動兩個單位，直到遙控車移到點（59，0）（勝利大本營）或點（60，0）（失敗大本營）時，游戲結束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優惠券.設遙控車移到點的概率為，試證明數列是等比數列，求出數列的通項公式，并比較和的大小.
10．（2024·福建龍巖·三模）某企業對某品牌芯片開發了一條生產線進行試產.其芯片質量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質量指標值：.根據長期檢測結果，得到芯片的質量指標值服從正態分布，并把質量指標值不小于80的產品稱為等品，其它產品稱為等品. 現從該品牌芯片的生產線中隨機抽取100件作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據長期檢測結果，該芯片質量指標值的標準差的近似值為11，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值. 若從生產線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數點后面兩位有效數字)；
(①同一組中的數據用該組區間的中點值代表；②參考數據:若隨機變量服從正態分布，則，. )
(2)（i）從樣本的質量指標值在和[85，95]的芯片中隨機抽取3件，記其中質量指標值在[85，95]的芯片件數為，求的分布列和數學期望；
（ii）該企業為節省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝. 已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(1)的計算結果，試求的值，使得每箱產品的利潤最大.
1．（浙江·高考真題）已知隨機變量服從正態分布，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（湖北·高考真題）設，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（ ）
A．
B．
C．對任意正數，
D．對任意正數，
3．（安徽·高考真題）設兩個正態分布和的密度函數圖像如圖所示．則有
A．
B．
C．
D．
4．（遼寧·高考真題）設袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
5．（湖北·高考真題）已知隨機變量服從正態分布，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
6．（山東·高考真題）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為
（附：若隨機變量ξ服從正態分布 ，則 ，
．）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
7．（全國·高考真題）在某項測量中，測量結果服從正態分布.若在(0，1)內取值的概率為0.4，則在(0，2)內取值的概率為 .
8．（湖南·高考真題）某地區為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業能力．每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有，參加過計算機培訓的有．假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響.
(1)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；
(2)任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓的人數，求的分布列和期望.
9．（全國·高考真題）從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：

（I）求這500件產品質量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）；
（II）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.
（i）利用該正態分布，求；
（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記表示這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數.利用（i）的結果，求.
附：
若則，．
10．（山東·高考真題）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
11．（四川·高考真題）廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家對一批產品發給商家時，商家按規定拾取一定數量的產品做檢驗，以決定是否驗收這批產品：
(1)若廠家庫房中的每件產品合格的概率為0.3，從中任意取出4種進行檢驗，求至少有1件是合格產品的概率；
(2)若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規定該商家從中任取2件，來進行檢驗，只有2件產品合格時才接收這些產品，否則拒收，分別求出該商家檢驗出不合格產品為1件和2件的概率，并求該商家拒收這些產品的概率．
12．（全國·高考真題）投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨立評審．
（1）求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；
（2）記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數，求X的分布列及期望．
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