資源簡(jiǎn)介

第08講 圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦、焦半徑及定比分點(diǎn)問(wèn)題
（高階拓展、競(jìng)賽適用）
（5類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2023年新Ⅱ卷，第10題,5分 拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì) 拋物線定義的理解 根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)
2020年新I卷，第13題,5分 求拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 無(wú)
2020年新Ⅱ卷，第14題,5分 求拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 無(wú)
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的焦點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算
2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的焦半徑及其相關(guān)計(jì)算
3.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的定比分點(diǎn)及其相關(guān)計(jì)算
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)
知識(shí)講解
橢圓的斜率式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)(或)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
(2)為橢圓的下、上焦點(diǎn)，過(guò)(或斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
雙曲線的斜率式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則
(1)在同支弦，
(2)在異支弦，
綜合(1)(2)可統(tǒng)一為:
(2)為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過(guò)斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則
(1)在同支弦，
(2)在異支弦，
綜合(1)(2)可統(tǒng)一為:
橢圓的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
其中，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為
(2)為橢圓的上、下焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
其中，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為
特殊情形，對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的橢圓，當(dāng)傾斜角為時(shí)，即為橢圓的通徑，通徑長(zhǎng).
雙曲線的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則
其中，焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為
(2)為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則
其中，焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為
特殊情形，對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)傾斜角為時(shí)，即為橢圓的通徑，通徑長(zhǎng).
拋物線的的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1) 焦點(diǎn)在 軸上,
(2) 焦點(diǎn)在 軸上,
橢圓的角度式焦半徑公式
設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，為它的一個(gè)焦點(diǎn)，，則
注:上述公式定義為圓錐曲線上的點(diǎn),為焦點(diǎn)
雙曲線的角度式焦半徑公式
設(shè) 是雙曲線 上任意一點(diǎn)， 為它的一個(gè)焦點(diǎn)， ，則
式中“ 的記憶規(guī)律: 同正異負(fù).即當(dāng) 與 位于 軸的同側(cè)時(shí)取正，否則取負(fù).
取 ，無(wú)需討論焦點(diǎn)位置
拋物線的角度式焦半徑公式
已知 是拋物線 上任意一點(diǎn)， 為它的一個(gè)焦點(diǎn)， ，則
定比分點(diǎn)的定義
若 , 則稱(chēng)點(diǎn) 為線段 的定比分點(diǎn), 為點(diǎn) 分 的比.
一般地, 設(shè)點(diǎn) , 且 , 則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .
考點(diǎn)一、橢圓、雙曲線、拋物線的通徑問(wèn)題
1．（23-24高三·階段練習(xí)）橢圓的通徑長(zhǎng)為 ．
【答案】3
【解析】根據(jù)橢圓方程，求得a，b，c，令與橢圓聯(lián)立求解.
【詳解】因?yàn)闄E圓，
所以，
令與橢圓聯(lián)立解得，
所以通徑長(zhǎng)，
故答案為：3
2．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，則線段 ．
【答案】/
【分析】由已知可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闄E圓，則，所以，，
因?yàn)?
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入求得縱坐標(biāo)為，即．
故答案為：
3．（2024·貴州黔東南·一模）過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長(zhǎng)稱(chēng)為雙曲線的通徑，其長(zhǎng)等于(、分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)).已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)是雙曲線上位于第四象限的任意一點(diǎn)，直線是雙曲線的經(jīng)過(guò)第二、四象限的漸近線，于點(diǎn)，且的最小值為3，則雙曲線的通徑為 .
【答案】
【分析】根據(jù)共線可判斷取最小值時(shí)的點(diǎn)位置，進(jìn)而求得，由通徑公式即可求解.
【詳解】
如圖所示，連接，由雙曲線的定義知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)，由到直線的距離，，由定義知通徑等于，
故答案為：.
1．（23-24高三·階段練習(xí)）拋物線的通徑長(zhǎng)為
【答案】/
【分析】根據(jù)拋物線的通徑的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，所以該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
把代入中，得，
所以拋物線的通徑長(zhǎng)為，
故答案為：
2．（23-24高三·階段練習(xí)）已知橢圓：的一條通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦）與拋物線：的通徑重合，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】由題意，知,又∵，∴.∵，可以化齊次式，進(jìn)而得到離心率.
【詳解】由題意，知.又∵，∴.∵，
∴，即，∴.
又∵，∴.
故答案為.
【點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范圍).
3．（24-25高三·階段練習(xí)）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線不垂直y軸，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立求出直線被橢圓所截弦長(zhǎng)即可推理作答.
【詳解】顯然過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線l不垂直y軸，設(shè)l的方程為：x=my+c，
由消去x并整理得：，
設(shè)直線l與橢圓交于點(diǎn)，則有，
則有
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
于是，當(dāng)，即直線l垂直于x軸時(shí)，，
所以過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的最短弦是與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦，最短弦長(zhǎng)是.
故選：A
考點(diǎn)二、橢圓中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問(wèn)題
1．（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）橢圓的焦半徑公式
若橢圓的方程為，半焦距為，其左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則 ， .
【答案】
2．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，若過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是，求．
【答案】
【分析】利用橢圓焦半徑公式求得焦點(diǎn)弦長(zhǎng).
【詳解】由已知得，， ，
所以離心率，
.
3．（22-23高三上·浙江·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為第一象限內(nèi)上一點(diǎn)．若，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合已知條件求出，設(shè)點(diǎn)，其中，，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的斜率.
【詳解】在橢圓中，，，則，所以，點(diǎn)、，
因?yàn)椋傻茫?br/>設(shè)點(diǎn)，其中，且，
，
解得，則，可得，即點(diǎn)，
因此，直線的斜率為.
故選：C.
4．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)，且，則= ．
【答案】或
【分析】本題先是利用直線的斜率求出，再由以及橢圓定義求出的長(zhǎng)，最后利用余弦定理即可求得結(jié)果．
【詳解】直線的斜率為，
，
；
又，設(shè)，
，又，
；
在中，由余弦定理得，
整理得，解得或．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故答案為：或．
1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，若過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求．
【答案】，e是橢圓的離心率
【分析】由焦半徑公式即可得焦點(diǎn)弦公式
【詳解】設(shè)，由焦半徑公式得：，e是橢圓的離心率，兩式相加得．
【點(diǎn)睛】（1）只需要兩根和，即可求得弦長(zhǎng)．
（2）橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：
（過(guò)左焦點(diǎn)）；（過(guò)右焦點(diǎn)），其中e是橢圓的離心率．
橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：
（過(guò)上焦點(diǎn)）；（過(guò)下焦點(diǎn)），其中e是橢圓的離心率．
2．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，過(guò)點(diǎn)可作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，使，則曲線可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)為四個(gè)曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓、雙曲線和拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意，根據(jù)選項(xiàng)可得，點(diǎn)恰為四個(gè)曲線的焦點(diǎn)，
A中，拋物線焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)最小值為，故不存在弦長(zhǎng)，所以A不正確；
B中，橢圓中，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)取值范圍為，
即，而，所以B正確；
C中，若同在右支上，則焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)取值范圍為，即，
因?yàn)椋訡正確；
D中，若在異支上，則焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)取值范圍為，即，
因?yàn)椋訢正確.
故選：BCD.
3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用焦半徑公式把比值表示為的式子，然后由得出范圍．
【詳解】設(shè)，，且得：.
故答案為：.
4．（21-22高二上·上海青浦·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，且，若第一象限的點(diǎn)、在上，，，，則直線的斜率為 .
【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)、，求得橢圓的離心率，利用橢圓的焦半徑公式可求得的值，再利用弦長(zhǎng)公式可求得直線的斜率.
【詳解】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，且，
所以，，
由橢圓的幾何性質(zhì)可知，，橢圓的離心率為，
設(shè)點(diǎn)、，則，，
則
，
同理可得，
所以，，解得，
設(shè)直線的斜率為，由弦長(zhǎng)公式可得，
解得，
因?yàn)辄c(diǎn)、都在第一象限，則，故.
故答案為：.
考點(diǎn)三、雙曲線中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問(wèn)題
1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交雙曲線于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．
【答案】8
【分析】利用雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，根據(jù)已知條件直接得出弦長(zhǎng)．
【詳解】由雙曲線得，又
所以．
2．（20-21高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線的斜率為 .
【答案】或
【分析】利用雙曲線的第二定義求出焦半徑的表達(dá)式，再根據(jù)，得，再由列等式求解.
【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，
連接，過(guò)點(diǎn)作右準(zhǔn)線的垂線，記，
則由雙曲線的第二定義知，，其中.
即，整理得，.
由雙曲線，得，
所以，，離心率，
由題設(shè)直線的傾斜角為，由，知，
，
所以，或，‘
解得或，
把代入，可求得或.
故直線的斜率為或.
故答案為：或.
3．（21-22高二上·山西運(yùn)城·期中）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為 .
【答案】3
【分析】寫(xiě)出P點(diǎn)所在的直線方程，設(shè)出P點(diǎn)，然后根據(jù)幾何關(guān)系，過(guò)P點(diǎn)作軸與點(diǎn)，根據(jù)為等腰三角形得出以及是有一個(gè)角為角的直角三角形得出，整理求出與的關(guān)系即可求出離心率.
【詳解】解：由題意得：如圖：過(guò)P點(diǎn)作軸與點(diǎn)

點(diǎn)P所在的直線方程為，故設(shè)
，根據(jù)幾何關(guān)系可知
，整理得
又為等腰三角形
，故，整理的
故雙曲線的離心率為
故答案為：3
1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．
【答案】8
【分析】利用雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，根據(jù)已知條件直接得出弦長(zhǎng)．
【詳解】由雙曲線得，又
所以．
2．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上過(guò)點(diǎn)的弦，且，的周長(zhǎng)是20，則m= ．
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線定義得到，最后加上，即得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】由題意得，
根據(jù)雙曲線定義得，
上述兩式相加得，
即，即，
，
周長(zhǎng)，解得.
故答案為：9.
3．（22-23高二下·四川涼山·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作一條傾斜角為30°的直線與雙曲線C在第一象限交于點(diǎn)M，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由雙曲線的焦半徑公式結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)計(jì)算即可
【詳解】

如圖所示，設(shè)雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，則，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因?yàn)椋^(guò)M作MD⊥軸于D，，
由條件故，
即，故，
解之得（負(fù)值舍去）.
故選：A
考點(diǎn)四、拋物線中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問(wèn)題
1．（全國(guó)·高考真題）已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若,則k=
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】將y=k(x+2)代入y2=8x,得
k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,
則xA+xB=-4,①
xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,
|FA|=2|FB|,
∴2xB+4=xA+2.
∴xA=2xB+2.②
∴將②代入①得xB=-2,
xA=-4+2=-2.
故xA·xB==4.
解之得k2=.
而k>0,∴k=,滿(mǎn)足Δ>0.故選D.
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)：直線過(guò)點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，
所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.
B選項(xiàng)：設(shè)，
由消去并化簡(jiǎn)得，
解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，
因?yàn)椋?br/>即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.

3．（山東·統(tǒng)考高考真題）斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則= ．
【答案】
【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來(lái)可以利用弦長(zhǎng)公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.
【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，
又∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：
代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得，
解法一：解得
所以
解法二：
設(shè)，則,
過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長(zhǎng)公式，屬基礎(chǔ)題.
4．（重慶·高考真題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則= ．
【答案】
【詳解】設(shè)，則 ,
又所以,
則
【考點(diǎn)定位】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系，當(dāng)遇到拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，常根據(jù)焦點(diǎn)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把韋達(dá)定理和拋物線定義相結(jié)合解決問(wèn)題，屬于難題
1．（安徽·高考真題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，若，則=______
【答案】
【詳解】
設(shè)∠AFx＝θ，則由拋物線的定義知xA＋1＝2＋3cosθ＝3，得cosθ＝.
又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－|BF|，∴|BF|＝.
2．（全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則 ．
【答案】2
【分析】方法一：利用點(diǎn)差法得到AB的斜率，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)果.
【詳解】［方法一］：點(diǎn)差法
設(shè)，則，所以
所以，
取AB中點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為
因?yàn)?，
因?yàn)闉锳B中點(diǎn)，所以平行于x軸，
因?yàn)镸(-1,1)，所以，則即．
故答案為：2.
［方法二］：【最優(yōu)解】焦點(diǎn)弦的性質(zhì)
記拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)椋瑒t以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知，所以．
［方法三］： 焦點(diǎn)弦性質(zhì)+韋達(dá)定理
記拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)椋瑒t以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，記中點(diǎn)為N，則，設(shè)，代入中，得，所以，得，所以．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由題知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，代入中得，設(shè)，則，同理有，由，即．又，所以，得．
［方法五］：距離公式+直角三角形的性質(zhì)
設(shè)直線為，與聯(lián)立得，則從而，可得的中點(diǎn)，所以．
又由弦長(zhǎng)公式知．
由得，解得，所以．
［方法六］：焦點(diǎn)弦的性質(zhì)應(yīng)用
由題可知，線段為拋物線的焦點(diǎn)弦，，由于以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，又點(diǎn)M恰為拋物線準(zhǔn)線上的點(diǎn)，因此，以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M．
過(guò)點(diǎn)M作平行于軸的直線交于點(diǎn)N，則N為圓心．
設(shè)，則．
又因?yàn)椋月?lián)立解得．將的值代入中求得．
因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)點(diǎn)差法找出直線的斜率與兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)拋物線定義求出中點(diǎn)坐標(biāo)，從而解出；
方法二：直接根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)解出，是該題的最優(yōu)解；
方法三：根據(jù)焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知，直線過(guò)點(diǎn)，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線的斜率；
方法四：直接設(shè)出直線方程，聯(lián)立運(yùn)算，屬于解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的通性通法，思路直接，運(yùn)算復(fù)雜；
方法五：反設(shè)直線，再通過(guò)聯(lián)立，利用直角三角形的性質(zhì)求解，運(yùn)算較復(fù)雜；
方法六：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)直接求出其中一點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式求出．
3．（江西·高考真題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則 ．
【答案】
【詳解】
故答案為：.
考點(diǎn)五、定比分點(diǎn)問(wèn)題
1 已知過(guò)定點(diǎn) 的直線與橢圓 交于兩個(gè)不同的點(diǎn) , 且滿(mǎn)足 , 求 的取值范圍.
解: 設(shè)點(diǎn) , 則由 知點(diǎn) ,
又已知點(diǎn) , 所以 (1).
由點(diǎn) 在脒圓上得 ,
兩式作差得 .
于是, 將(1) 代入 (2) 化簡(jiǎn)得 .
由 可得 ,
解得 .
1．（浙江·高考真題）已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓 (m>1)上兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足，則當(dāng)m= 時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．
【答案】5
【分析】方法一：先根據(jù)條件得到A,B坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標(biāo)，即得B的橫坐標(biāo)關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值即可解出.
【詳解】［方法一］：點(diǎn)差法＋二次函數(shù)性質(zhì)
設(shè)，由得
因?yàn)锳,B在橢圓上,所以 ，即，與相減得：，所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最等號(hào)，即時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.
故答案為：5．
［方法二］：【通性通法】設(shè)線＋韋達(dá)定理
由條件知直線的斜率存在，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立得，根據(jù)韋達(dá)定理得，由知，代入上式解得，所以．此時(shí)，又，解得．
［方法三］：直線的參數(shù)方程+基本不等式
設(shè)直線的參數(shù)方程為其中t為參數(shù)，為直線的傾斜角，將其代入橢圓方程中化簡(jiǎn)得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則．由韋達(dá)定理知，解得，所以，此時(shí)，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函數(shù)性質(zhì)
設(shè)，因?yàn)椋裕?br/>即 ①， ②，
又因?yàn)椋裕?br/>不妨設(shè)，因此，代入②式可得．化簡(jiǎn)整理得．
由此可知，當(dāng)時(shí)，上式有最大值16，即點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值有最大值2．
所以．
［方法五］：【最優(yōu)解】仿射變換
如圖1，作如下仿射變換，則為一個(gè)圓．
根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，等價(jià)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，則
．
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)易得，此時(shí)．
［方法六］：中點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用
設(shè)，由可知，則中點(diǎn)．因?yàn)椋裕淼茫捎冢瑒t時(shí)，，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：由題意中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，以及點(diǎn)差法可求出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，從而可以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解出；
方法二：常規(guī)設(shè)線，通過(guò)聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理以及題目條件求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用基本不等式求出最值，由取等條件得解，是該題的通性通法；
方法三：利用直線的參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用基本不等式求出最值，由取等條件得解；
方法四：利用題目條件硬算求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解出；
方法五：根據(jù)仿射變換，利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合平面幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，從而解出，計(jì)算難度小，是該題的最優(yōu)解；
方法六：利用中點(diǎn)弦的性質(zhì)找出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)關(guān)系式自身特征求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值，從而解出，計(jì)算量小，也是不錯(cuò)的方法．
一、單選題
1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與雙曲線的實(shí)軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線的通徑長(zhǎng)公式計(jì)算．
【詳解】由已知，雙曲線的通徑長(zhǎng)，
故選：B.
2．（23-24高三上·四川內(nèi)江·期末）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上且軸，則到直線的距離為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】先求出、的坐標(biāo)，再由軸，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面積法可求得結(jié)果.
【詳解】由，得，
所以，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，解得，
因?yàn)檩S，所以，
所以，
設(shè)到直線的距離為，
因?yàn)椋裕?br/>解得，
故選：A
3．（23-24高二上·廣東茂名·期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合定義法求解拋物線焦點(diǎn)弦即可.
【詳解】由題意，所以.
故選：C.
4．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】寫(xiě)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及焦半徑公式計(jì)算求解即可.
【詳解】由已知得，則過(guò)且斜率為1的直線為，設(shè)，
聯(lián)立，消去得，
則，，
，
解得.
故選：A.
5．（20-21高二上·陜西西安·期中）如圖，把橢圓，的長(zhǎng)軸分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)，作x軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，，，，七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】D
【解析】設(shè)P點(diǎn)是橢圓上的任意點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義求出，根據(jù)題意可知點(diǎn)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)且與分別關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)出各點(diǎn)，代入即可求解.
【詳解】不妨設(shè)P點(diǎn)是橢圓上的任意點(diǎn)則由橢圓的第二定義可得：，
又a=4,b=,，故， ①
∵把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8等份,過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，
∴點(diǎn)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)且與分別關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴不妨設(shè)且，
∴，由①可得：
，
.
故選：D.
6．（24-25高三上·四川·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與拋物線交于點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)，若且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，，可得，可求，進(jìn)而可得，求解即可．
【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，，
則．根據(jù)拋物線定義知，，
又若，且，
因?yàn)椋O(shè)，
則，，又，解得，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，，解得．
故選:C
二、多選題
7．（22-23高二上·遼寧·階段練習(xí)）已知橢圓為的左焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（ ）
A． B．當(dāng)時(shí)，的面積為
C． D．的周長(zhǎng)的最大值為
【答案】AC
【分析】對(duì)A：由方程求，進(jìn)而求；對(duì)B：根據(jù)方程結(jié)合題意運(yùn)算求解；對(duì)C：設(shè)直線，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解；對(duì)D：根據(jù)橢圓定義分析求解.
【詳解】由橢圓方程，得，所以，所以，故A項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離為2，所以的面積為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以直線的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為，點(diǎn)，
∵，則直線，
聯(lián)立方程，得到
∴，
∵在橢圓上，則，即
∴
同理，
于是
，
故C項(xiàng)正確；
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為，
如果不經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，則連接，，
可知的周長(zhǎng)小于，
所以的周長(zhǎng)的最大值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題
8．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，則 ．
【答案】
【分析】寫(xiě)出直線方程并與拋物線聯(lián)立，再由焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線斜率為，
所以直線方程為，
不妨設(shè)，聯(lián)立消去整理可得；
所以可得，
由焦點(diǎn)弦公式可得.
故答案為：
9．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過(guò)點(diǎn)作直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為 .
【答案】
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程可求得，再利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線為，
則直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且由題意可知直線的斜率不為0，
不妨設(shè)直線為，，，
聯(lián)立，消去，得，
易知，則，故，
因?yàn)椋裕矗剩?br/>所以直線的方程為，則直線的傾斜角為.
故答案為：.
10．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，軸，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)所給條件，可得，再令得，帶入面積公式，計(jì)算即可得解.
【詳解】由，令得，
所以，
所以，.
故答案為：
11．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線與雙曲線相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為，則 .
【答案】
【詳解】求出，利用雙曲線的定義可求得.
【分析】在雙曲線中，，，則，
不妨設(shè)點(diǎn)為該雙曲線的左焦點(diǎn)，將代入雙曲線的方程可得，解得，
所以，，由雙曲線的定義可得.
故答案為：.
12．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如果橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)此焦點(diǎn)且垂直于軸的弦的長(zhǎng)等于，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可.
【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題知：，
所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
13．（23-24高二上·江西新余·階段練習(xí)）已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，則此直線的斜率= .
【答案】.
【分析】根據(jù)題意，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組得到，求得，結(jié)合拋物線的定義，得到方程，進(jìn)而求得直線的斜率.
【詳解】由拋物線，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可設(shè)方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
可得，則，
由拋物線的定義可得，
解得，所以直線的斜率為.
故答案為：.
14．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓的焦距為，過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，作垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則 ．
【答案】/
【分析】由題意可知，得，然后可求出，從而可求出橢圓方程，再將代入橢圓方程中求出，從而可求得.
【詳解】由題意可知，得，所以，
所以橢圓方程為，
橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，得，
所以.
故答案為：
15．（2019高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若，軸，則橢圓E的方程為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)軸，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，又，得，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得，即可得答案.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)檩S，
所以，代入橢圓方程得，設(shè)，
因?yàn)椋茫?br/>所以，
解得，即，
又B在橢圓上，將代入橢圓方程得：，
又，解得，
所以橢圓方程為：
故答案為： .
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，將，轉(zhuǎn)化為，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算，考查分析理解，求值計(jì)算的能力，屬基礎(chǔ)題.
一、單選題
1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知橢圓C：的焦點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)，線段AF交C于點(diǎn)B，若，則等于（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用給定條件求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合平面向量模長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】設(shè)，，又，
所以，，
由，即，所以
又點(diǎn)B在橢圓C上，所以，解得，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，故C正確.
故選：C
2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，用弦長(zhǎng)公式表示出，用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上的條件表示出，代入題干條件即可求解.
【詳解】設(shè)，則，由，
消去，得，
注意到，則.于是，
同理，. 因此.
的傾斜角為，∴直線的斜率，
根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可得.
由，可得，故.
．
故選：A
3．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）拋物線：的焦點(diǎn)為，直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．弦的中點(diǎn)到軸的距離為
C． D．點(diǎn)的坐標(biāo)為
【答案】D
【分析】對(duì)于A，由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值；對(duì)于D，由向量關(guān)系和拋物線定義可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線的方程可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而判斷D；求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求出兩根之和，對(duì)于B，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求中點(diǎn)到軸的距離；對(duì)于C，再由拋物線的性質(zhì)可得焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度，從而判斷C．
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)為，
由題意，所以，即，故A正確；
對(duì)于D，如圖：過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，代入可得，故D錯(cuò)誤；
不妨設(shè)點(diǎn)在軸下方，
則，所以直線的方程為：，即，
由得，
所以，
對(duì)于B，弦的中點(diǎn)到軸的距離為，故B正確；
對(duì)于C，，故C正確.
故選：D
4．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，則錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．雙曲線的離心率
C．雙曲線的漸近線方程為 D．原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義求出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與實(shí)半軸長(zhǎng)的關(guān)系，然后計(jì)算離心率，求漸近線方程，同時(shí)在假設(shè)D正確的情況下，出現(xiàn)矛盾的結(jié)論，最終得出正確選項(xiàng)．
【詳解】如圖，設(shè)，則，所以，
，，所以，
∴，A正確；
，，
在中，，
在中，，
即，，所以，B正確；
由得，，漸近線方程為，C正確；
若原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則，，
與B矛盾，不成立，D錯(cuò)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用雙曲線的定義把焦點(diǎn)弦焦半徑用表示．從而尋找到的選題關(guān)系可求得離心率和漸近線方程．
5．（2024·河北秦皇島·二模）已知A，B為橢圓：上兩個(gè)不同的點(diǎn)（直線與y軸不平行），F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，且，若線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)，，求出和，由條件得，依次求得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和其中垂線斜率，寫(xiě)出中垂線方程，令，求得點(diǎn)橫坐標(biāo)即得.
【詳解】
如圖，由題意知，設(shè)，，
根據(jù)點(diǎn)A，B在C上，則，，
所以，
同理可得，所以，
所以，
因線段的中點(diǎn)為，，
則的垂直平分線的斜率為，
又由，，作差化簡(jiǎn)得：，
則線段垂直平分線的方程為，
令，得：，
解得，所以.
故選：A.
二、多選題
6．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·期中）設(shè)橢圓C：的焦點(diǎn)為，，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．離心率 B．的最大值為3
C．面積的最大值為 D．的最小值為2
【答案】AD
【分析】求出離心率可判斷A；設(shè)進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合可判斷B；計(jì)算面積的最大值可判斷C；應(yīng)用可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：由橢圓可知，，，，
所以左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：設(shè)，，
則，
的最大值為,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，當(dāng)P點(diǎn)與橢圓的上下頂點(diǎn)重合時(shí)，面積的最大，
所以面積的最大值為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D： 的最小值為, 的最小值為2，故選項(xiàng)D正確；
故選：AD．
7．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)作直線，若與交于兩點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．或
D．線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
【答案】ABD
【分析】由直線，可知焦點(diǎn)，得的值和拋物線方程，可判斷A選項(xiàng)；直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)和的值，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式判斷選項(xiàng)BCD.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸上，
過(guò)作直線，可知，則，得，A選項(xiàng)正確；
拋物線方程為，直線的方程代入拋物線方程，得.
設(shè)，，由韋達(dá)定理有，，
，得，解得或，
，則或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
則，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，D選項(xiàng)正確；
，，B選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
8．（22-23高二上·廣東深圳·期末）已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 B．雙曲線的離心率為
C．的最小值為 D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)雙曲線的定義求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用雙曲線的離心率公式可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的焦半徑公式可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由雙曲線的定義可得，可得，
所以，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，所以，雙曲線的離心率為，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋庶c(diǎn)在雙曲線的右支上，
易知，則雙曲線的方程為，
設(shè)點(diǎn)，則，易知點(diǎn)，且，可得，
所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，即，
所以，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，D對(duì).
故選：BCD.
9．（2024·河南·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，，過(guò)的直線與的右支交于點(diǎn)，若，則（ ）
A．的漸近線方程為 B．
C．直線的斜率為 D．的坐標(biāo)為或
【答案】ABD
【分析】利用雙曲線的焦距求出的值，結(jié)合雙曲線的漸近線方程，可判斷A選項(xiàng)；利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義求出、的值，可判斷B選項(xiàng)；利用直線斜率的定義可判斷C選項(xiàng)；利用雙曲線焦半徑公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，且，解得，
又因?yàn)椋孰p曲線的漸近線方程為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在右支上，則，①
又因?yàn)椋瑒t，②
聯(lián)立①②可得，，所以，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若點(diǎn)在第一象限，則直線的斜率為，
若點(diǎn)在第四象限，由對(duì)稱(chēng)性可知，直線的斜率為.
綜上所述，直線的斜率為，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，且，可得，
所以，，
解得，則，可得，即點(diǎn)，D對(duì).
故選：ABD.
三、填空題
10．（2024·四川南充·二模）已知直線l過(guò)圓的圓心，且與圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 .
【答案】32
【分析】求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的運(yùn)算推出，再由橢圓性質(zhì)即可得解．
【詳解】由題意，圓，
所以設(shè)圓心，半徑為2，
因?yàn)橹本€過(guò)圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，
所以，
故，
又為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，易知為橢圓的左焦點(diǎn)，
故當(dāng)點(diǎn)位于橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，最大，
此時(shí)，
則的最大值為．
故答案為：32．
11．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，若點(diǎn)在橢圓上，則滿(mǎn)足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】4
【分析】設(shè)點(diǎn)，由焦半徑公式表示出、，即可得到，再由得到方程，解得即可判斷.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則．由焦半徑公式得，
故．
∵，∴，即．
又∵，解得，∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有4個(gè)．
故答案為：
12．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則的最小值是 .
【答案】6
【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知，設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)拋物線的定義即可求出結(jié)果．
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè),，,．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入，得，
所以，，，，
所以，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
代入，得，則，，
由拋物線的定義知，，，
于是，
綜上可得
故答案為：6
13．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知雙曲線：焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上且軸，的面積為，點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是
【答案】
【分析】先計(jì)算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由焦半徑公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，
代入雙曲線方程有，
又的面積為，即，
所以雙曲線方程為：，
設(shè)，
則，
同理，
因?yàn)椋瑒t，
故答案為：.
14．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與Γ交于P、Q兩點(diǎn)．若，且，則Γ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用數(shù)形結(jié)合，設(shè)，根據(jù)橢圓性質(zhì)，表示出直角三角形三邊，利用勾股定理建立等式，再利用基本不等式求最值．
【詳解】設(shè)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，則，
，則，，
即，，
整理得：，
當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，取等號(hào)，
為最小值，
故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值，
故答案為：．
15．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為．設(shè)l為過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且l的傾斜角為．則 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，然后由，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】

因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，
所以橢圓方程可化為，即，
所以直線方程為，
聯(lián)立，消去可得，
則，
所以，
令，則，化簡(jiǎn)可得，
解得，所以，或.
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于將轉(zhuǎn)化為.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第08講 圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦、焦半徑及定比分點(diǎn)問(wèn)題
（高階拓展、競(jìng)賽適用）
（5類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2023年新Ⅱ卷，第10題,5分 拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì) 拋物線定義的理解 根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)
2020年新I卷，第13題,5分 求拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 無(wú)
2020年新Ⅱ卷，第14題,5分 求拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 無(wú)
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的焦點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算
2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的焦半徑及其相關(guān)計(jì)算
3.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的定比分點(diǎn)及其相關(guān)計(jì)算
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)
知識(shí)講解
橢圓的斜率式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)(或)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
(2)為橢圓的下、上焦點(diǎn)，過(guò)(或斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
雙曲線的斜率式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則
(1)在同支弦，
(2)在異支弦，
綜合(1)(2)可統(tǒng)一為:
(2)為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過(guò)斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則
(1)在同支弦，
(2)在異支弦，
綜合(1)(2)可統(tǒng)一為:
橢圓的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
其中，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為
(2)為橢圓的上、下焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
其中，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為
特殊情形，對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的橢圓，當(dāng)傾斜角為時(shí)，即為橢圓的通徑，通徑長(zhǎng).
雙曲線的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則
其中，焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為
(2)為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則
其中，焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為
特殊情形，對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)傾斜角為時(shí)，即為橢圓的通徑，通徑長(zhǎng).
拋物線的的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
(1) 焦點(diǎn)在 軸上,
(2) 焦點(diǎn)在 軸上,
橢圓的角度式焦半徑公式
設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，為它的一個(gè)焦點(diǎn)，，則
注:上述公式定義為圓錐曲線上的點(diǎn),為焦點(diǎn)
雙曲線的角度式焦半徑公式
設(shè) 是雙曲線 上任意一點(diǎn)， 為它的一個(gè)焦點(diǎn)， ，則
式中“ 的記憶規(guī)律: 同正異負(fù).即當(dāng) 與 位于 軸的同側(cè)時(shí)取正，否則取負(fù).
取 ，無(wú)需討論焦點(diǎn)位置
拋物線的角度式焦半徑公式
已知 是拋物線 上任意一點(diǎn)， 為它的一個(gè)焦點(diǎn)， ，則
定比分點(diǎn)的定義
若 , 則稱(chēng)點(diǎn) 為線段 的定比分點(diǎn), 為點(diǎn) 分 的比.
一般地, 設(shè)點(diǎn) , 且 , 則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .
考點(diǎn)一、橢圓、雙曲線、拋物線的通徑問(wèn)題
1．（23-24高三·階段練習(xí)）橢圓的通徑長(zhǎng)為 ．
2．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，則線段 ．
3．（2024·貴州黔東南·一模）過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長(zhǎng)稱(chēng)為雙曲線的通徑，其長(zhǎng)等于(、分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)).已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)是雙曲線上位于第四象限的任意一點(diǎn)，直線是雙曲線的經(jīng)過(guò)第二、四象限的漸近線，于點(diǎn)，且的最小值為3，則雙曲線的通徑為 .
1．（23-24高三·階段練習(xí)）拋物線的通徑長(zhǎng)為
2．（23-24高三·階段練習(xí)）已知橢圓：的一條通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦）與拋物線：的通徑重合，則橢圓的離心率為 .
3．（24-25高三·階段練習(xí)）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)二、橢圓中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問(wèn)題
1．（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）橢圓的焦半徑公式
若橢圓的方程為，半焦距為，其左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則 ， .
2．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，若過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是，求．
3．（22-23高三上·浙江·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為第一象限內(nèi)上一點(diǎn)．若，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)，且，則= ．
1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，若過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求．
2．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，過(guò)點(diǎn)可作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，使，則曲線可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為 .
4．（21-22高二上·上海青浦·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，且，若第一象限的點(diǎn)、在上，，，，則直線的斜率為 .
考點(diǎn)三、雙曲線中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問(wèn)題
1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交雙曲線于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．
2．（20-21高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線的斜率為 .
3．（21-22高二上·山西運(yùn)城·期中）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為 .
1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．
2．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上過(guò)點(diǎn)的弦，且，的周長(zhǎng)是20，則m= ．
3．（22-23高二下·四川涼山·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作一條傾斜角為30°的直線與雙曲線C在第一象限交于點(diǎn)M，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)四、拋物線中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問(wèn)題
1．（全國(guó)·高考真題）已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若,則k=
A． B． C． D．
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
3．（山東·統(tǒng)考高考真題）斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則= ．
4．（重慶·高考真題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則= ．
1．（安徽·高考真題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，若，則=______
2．（全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則 ．
3．（江西·高考真題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則 ．
考點(diǎn)五、定比分點(diǎn)問(wèn)題
1 已知過(guò)定點(diǎn) 的直線與橢圓 交于兩個(gè)不同的點(diǎn) , 且滿(mǎn)足 , 求 的取值范圍.
解: 設(shè)點(diǎn) , 則由 知點(diǎn) ,
又已知點(diǎn) , 所以 (1).
由點(diǎn) 在脒圓上得 ,
兩式作差得 .
于是, 將(1) 代入 (2) 化簡(jiǎn)得 .
由 可得 ,
解得 .
1．（浙江·高考真題）已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓 (m>1)上兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足，則當(dāng)m= 時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．
一、單選題
1．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與雙曲線的實(shí)軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川內(nèi)江·期末）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上且軸，則到直線的距離為（ ）
A． B．3 C． D．
3．（23-24高二上·廣東茂名·期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（20-21高二上·陜西西安·期中）如圖，把橢圓，的長(zhǎng)軸分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)，作x軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，，，，七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
6．（24-25高三上·四川·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與拋物線交于點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)，若且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
7．（22-23高二上·遼寧·階段練習(xí)）已知橢圓為的左焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（ ）
A． B．當(dāng)時(shí)，的面積為
C． D．的周長(zhǎng)的最大值為
三、填空題
8．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，則 ．
9．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過(guò)點(diǎn)作直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為 .
10．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，軸，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，則 .
11．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線與雙曲線相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為，則 .
12．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如果橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)此焦點(diǎn)且垂直于軸的弦的長(zhǎng)等于，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
13．（23-24高二上·江西新余·階段練習(xí)）已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，則此直線的斜率= .
14．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓的焦距為，過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，作垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則 ．
15．（2019高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若，軸，則橢圓E的方程為 ．
一、單選題
1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知橢圓C：的焦點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)，線段AF交C于點(diǎn)B，若，則等于（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）拋物線：的焦點(diǎn)為，直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．弦的中點(diǎn)到軸的距離為
C． D．點(diǎn)的坐標(biāo)為
4．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，則錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．雙曲線的離心率
C．雙曲線的漸近線方程為 D．原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上
5．（2024·河北秦皇島·二模）已知A，B為橢圓：上兩個(gè)不同的點(diǎn)（直線與y軸不平行），F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，且，若線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
6．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·期中）設(shè)橢圓C：的焦點(diǎn)為，，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．離心率 B．的最大值為3
C．面積的最大值為 D．的最小值為2
7．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)作直線，若與交于兩點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．或
D．線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
8．（22-23高二上·廣東深圳·期末）已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 B．雙曲線的離心率為
C．的最小值為 D．
9．（2024·河南·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，，過(guò)的直線與的右支交于點(diǎn)，若，則（ ）
A．的漸近線方程為 B．
C．直線的斜率為 D．的坐標(biāo)為或
三、填空題
10．（2024·四川南充·二模）已知直線l過(guò)圓的圓心，且與圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 .
11．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，若點(diǎn)在橢圓上，則滿(mǎn)足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ．
12．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則的最小值是 .
13．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知雙曲線：焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上且軸，的面積為，點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是
14．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與Γ交于P、Q兩點(diǎn)．若，且，則Γ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為 ．
15．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為．設(shè)l為過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且l的傾斜角為．則 ．
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