資源簡(jiǎn)介

第08講 正余弦定理解三角形
（10類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第15題,13分 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 三角形面積公式及其應(yīng)用 正弦的和差公式
2024年新Ⅱ卷，第15題,13分 正弦定理解三角形 正弦定理邊角互化的應(yīng)用 輔助角公式
2023年新I卷，第17題,10分 正弦定理解三角形 三角形面積公式及其應(yīng)用 用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值
2023年新Ⅱ卷，第17題,10分 三角形面積公式及其應(yīng)用 余弦定理解三角形 數(shù)量積的運(yùn)算律
2022年新I卷，第18題,12分 正弦定理邊角互化的應(yīng)用 基本不等式求和的最小值
2022年新Ⅱ卷，第18題,12分 正弦定理解三角形 三角形面積公式及其應(yīng)用 余弦定理解三角形 無(wú)
2021年新I卷，第19題,12分 正弦定理邊角互化的應(yīng)用 幾何圖形中的計(jì)算
2021年新Ⅱ卷，第18題,12分 正弦定理邊角互化的應(yīng)用 三角形面積公式及其應(yīng)用 余弦定理解三角形 無(wú)
2020年新I卷，第17題,10分 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 無(wú)
2020年新Ⅱ卷，第17題,10分 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 無(wú)
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分
【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用
2會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題.
3會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問(wèn)題
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來(lái)命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。
知識(shí)講解
正弦定理
基本公式：
（其中為外接圓的半徑）
變形
三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系
，＝－
，，
余弦定理
邊的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
三角形的面積公式
考點(diǎn)一、正弦定理邊角互化解三角形
1．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.
【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據(jù)此可得，
則.
故選：C.
2．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，則 .
【答案】/
【分析】利用正弦定理結(jié)合和角正弦公式可得，進(jìn)而求得，從而有，故，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，
即，所以，
即，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?
所以.
故答案為：.
3．（2024·四川涼山·二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定等式，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式計(jì)算即得.
【詳解】在中，由及正弦定理得：，
而，
則，
整理得，即，
又，因此，而，所以.
故答案為：
4．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決；
（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長(zhǎng).
【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用極值點(diǎn)求解
設(shè)，則，
顯然時(shí)，，注意到，
，在開(kāi)區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，
即，即，
又，故
方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）
設(shè)，由題意，，
根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，
則，此時(shí)，即同向共線(xiàn)，
根據(jù)向量共線(xiàn)條件，，
又，故
方法五：利用萬(wàn)能公式求解
設(shè)，根據(jù)萬(wàn)能公式，，
整理可得，，
解得，根據(jù)二倍角公式，，
又，故
（2）由題設(shè)條件和正弦定理
，
又，則，進(jìn)而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周長(zhǎng)為
1．（2024·江西九江·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.
【詳解】因?yàn)椋?br/>由正弦定理，
因?yàn)椋?br/>展開(kāi)化簡(jiǎn)，
又.
故選:B.
2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算可得，由同角的平方關(guān)系可得，結(jié)合正弦定理計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以.又，
所以，所以.
因?yàn)椋烧叶ɡ碇?br/>所以，又，所以，.
故答案為：
3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．
(1)求角；
(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；
（2）先確定長(zhǎng)度，再確定，即可判斷三角形形狀，確定面積．
【詳解】（1），由正弦定理可得 ，
，
，
，，
；
（2）設(shè)，，，或4，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)三角形為正三角形，
當(dāng)時(shí)，，，
滿(mǎn)足，此時(shí)三角形為直角三角形，．
考點(diǎn)二、利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)
1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理推出，根據(jù)三角形有兩解，確定角A的范圍，從而結(jié)合的取值范圍求得答案.
【詳解】由正弦定理得，所以,
因?yàn)樵撊切斡袃山猓?
故，即，
故選：B
2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，則能使同時(shí)滿(mǎn)足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形不唯一的條件進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
要使?jié)M足條件的三角形不唯一，則，即.
故選：A.
3．（2023·廣東茂名·三模）（多選）中，角所對(duì)的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（ ）
A．若，則必有兩解
B．若，則一定為等腰三角形
C．若，則一定為直角三角形
D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是
【答案】AC
【分析】根據(jù)正弦定理可判斷選項(xiàng)A；已知條件得出角的關(guān)系，可判斷選項(xiàng)B；化邊為角可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)正弦定理可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，若，則，
又，所以必有兩解，故A正確；
對(duì)于B，若，則或，
即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由正弦定理得：，
即，而，故，
所以一定為直角三角形，故C正確；
對(duì)于D，若，且該三角形有兩解，所以，
即，也即，故D錯(cuò)誤.
綜上所述，只有AC正確，
故選：AC.
1．（23-24高二下·浙江·期中）在中，，且滿(mǎn)足該條件的有兩個(gè)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，由，且，可得的取值范圍.
【詳解】由正弦定理可得：，所以，所以，
因?yàn)闈M(mǎn)足條件的有兩個(gè)，所以，即，所以的取值范圍是
故選：D
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，，若滿(mǎn)足條件的三角形有兩個(gè)，則邊的取值可能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
【答案】BC
【分析】根據(jù)即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得：滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)，可得，
故選:BC
3．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且已知，則（ ）
A．若，且有兩解，則的取值范圍是
B．若，且，則恰有一解.
C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是
D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是
【答案】AD
【分析】根據(jù)正弦定理，判斷三角形的解的個(gè)數(shù)，即可判斷AB，根據(jù)余弦定理和三邊的關(guān)系，即可判斷CD.
【詳解】A選項(xiàng)：由正弦定理，，，
且，則，選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：，所以無(wú)解，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：①為最大邊：，且，此時(shí)；
②為最大邊：，且，此時(shí)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：，且，所以，選項(xiàng)D正確；
故選；AD.
考點(diǎn)三、余弦定理求值
1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以由正弦定理得，即，
則，故，
又，所以.
故選：B.
2．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，，則（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).
【詳解】設(shè)，
結(jié)合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故選：D.
【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類(lèi)型：
(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；
(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；
(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，，的角平分線(xiàn)交BC于D，則 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因?yàn)椋獾茫海?br/>由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫海?br/>由正弦定理可得，，解得：，，
因?yàn)椋裕?br/>又，所以，即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線(xiàn)問(wèn)題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋裕獾茫海?br/>（2）由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
1．（2021·安徽安慶·二模）在中，分別是，，的對(duì)邊.若，且，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.
【詳解】因?yàn)椋遥?br/>所以，
所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
故選：A
2．（2024·安徽合肥·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】給兩邊同時(shí)乘以，結(jié)合余弦定理求解即可.
【詳解】因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)乘以得：
，由余弦定理可得，
則，所以有，
又，所以，又因?yàn)椋?br/>所以.
故選：A
3．（2023·廣東廣州·三模）在中，點(diǎn)D在邊上，，，，，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后在中由余弦定理即可得到結(jié)果.
【詳解】
由題意，作交于，
因?yàn)椋?br/>所以，則，
在中，由余弦定理可得，
.
所以.
故答案為：.
4．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；
(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
考點(diǎn)四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀
1．（22-23高三·吉林白城·階段練習(xí)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】將化簡(jiǎn)并結(jié)合余弦定理可得的值，再對(duì)結(jié)合正、余弦定理化簡(jiǎn)可得邊長(zhǎng)關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.
【詳解】由，得，
整理得，則，
因?yàn)椋裕?br/>又由及正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，
所以為等邊三角形，
故選：B
2．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)得到即可得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，
在中，由余弦定理：，
代入得，，即，
所以.
所以直角三角形.
故選：B
3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△的三邊長(zhǎng)為，，，若，，則△是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】若三角形各邊長(zhǎng)為a、b、c且內(nèi)切圓半徑為r，
法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有、，根據(jù)邊角關(guān)系可得或，注意討論所得關(guān)系驗(yàn)證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系；
法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角形的形狀.
【詳解】設(shè)，△的內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示，

法一：
∴①；②.
①÷②，得：，即．
于是，
，，
從而得或，
∴或．故△為等腰三角形或直角三角形，
（1）當(dāng)時(shí)，內(nèi)心I在等腰三角形的底邊上的高上，
，從而得．
又，代入①式，得，即，
上式兩邊同時(shí)平方，得：，化簡(jiǎn)，即．即△直角三角形，
∴△為等腰直角三角形．
（2）當(dāng)時(shí)，易得．
代入②式，得，此式恒成立，
綜上，△為直角三角形．
法二：
利用，及正弦定理和題設(shè)條件，得①，②.
∴③；④.
由③和④得：，即，，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，
∴或，即或．
（1）若，代入③得：⑤
又，將其代入⑤，得：．
變形得，
即⑥，
由知A為銳角，從而知．
∴由⑥，得：，即，從而，．
因此，△為等腰直角三角形．
（2）若，即，此時(shí)③④恒成立，
綜上，△為直角三角形．
故選：B
1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則的形狀一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理可得邊的關(guān)系，故可得正確的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋剩?br/>整理得到，
故，故或，
即或，故的形狀為等腰或直角三角形，
故選：D.
2．（22-23高三·河南商丘·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，先由降冪公式化簡(jiǎn)，然后由余弦定理可得，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕裕?br/>再由余弦定理可知，所以，即，
所以△ABC是直角三角形.
故選：A
3．（22-23高三·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】先利用余弦定理求出角，再根據(jù)正弦定理化角為邊，再結(jié)合已知求出，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
又，所以，
因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br/>則，
則，
所以為有一個(gè)角為的直角三角形.
故選：B.
4．（2023·四川涼山·二模）在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】利用三角恒等變換公式和正弦定理，把中等式化為，從而，得或，然后結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】根據(jù)正弦定理可得，
所以
所以，
即，
整理得，則或，
因?yàn)椋?br/>則或，即或，所以由不能推出；
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，不一定為，也不一定相等，所以由不能推出，
故p是q的既不充分也不必要條件．
故選：D
考點(diǎn)五、三角形面積的應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；
(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
2．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．
【詳解】（1）由于， ，則．因?yàn)椋?br/>由正弦定理知，則．
（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ恚茫?br/>即，解得，而，，
所以的面積．
3．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.
【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，
可得，
因?yàn)椋裕?br/>從而，
又因?yàn)椋矗?br/>注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以.
4．（2022·北京·高考真題）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).
【詳解】（1）解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周長(zhǎng)為.
1．（2024·北京大興·三模）中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，.
(1)求的大小；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得，結(jié)合正弦定理得 得，計(jì)算得到的大小.
（2）法一：由（1）知，代入求得，結(jié)合余弦定理求得或，最后利用三角形面積公式計(jì)算結(jié)果；法二：求出的大小，再利用三角形面積公式即可.
【詳解】（1）由已知得，由正弦定理得 得
， 得
（2）法一：由（1）知，代入得，
由余弦定理 得
得或
①當(dāng)時(shí)，
②當(dāng)時(shí)，
法二：代入得
∵，∴，或
①時(shí)，
②時(shí)，
2．（2024·福建莆田·三模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)證明：.
(2)若，，求的面積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)或
【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式計(jì)算即可；
（2）利用余弦定理及（1）的結(jié)論，三角形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）根據(jù)正弦定理知，
整理得，
因?yàn)椋?br/>所以，
由正弦定理可得；
（2）因?yàn)椋裕?br/>由余弦定理可得，即，
則，
因?yàn)椋裕裕?br/>則，即，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積.
所以的面積為或.
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角所對(duì)的邊分別為已知.
(1)求的取值范圍；
(2)求最大時(shí)，的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合三角形面積公式可得，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系可列不等式求解的范圍；
（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為，此時(shí)，結(jié)合三角形面積公式即可求解.
【詳解】（1）由于，
所以.
由三角形的三邊關(guān)系知:.
又，所以；
（2）由余弦定理可得，，當(dāng)時(shí)取等，
又，所以的最大值為，此時(shí).
4．（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對(duì)邊分別為．
(1)求的大小；
(2)若，且邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；
（2）取的中點(diǎn)，連接，在和中，分別利用余弦定理表示，結(jié)合化簡(jiǎn)求出，再利用三角形的面積公式即可得解.
【詳解】（1），
由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得．
；
（2）由（1）可得①，
又②，
取的中點(diǎn)，連接，
在中，③，
由②③得④，
由①④得，解得或（舍去），
，
.
考點(diǎn)六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問(wèn)題
1．（2024·貴州六盤(pán)水·三模）在中，，， ，則外接圓的半徑為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理可得的值，再由正弦定理可得外接圓的半徑．
【詳解】因?yàn)椋?，由余弦定理可得：，
設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，則．
故選：B．
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.
(1)求面積的取值范圍；
(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形的性質(zhì)，求的范圍，再根據(jù)余弦定理求的范圍，以及的范圍，最后代入面積公式，即可求解；
（2）由余弦定理和有外接圓的四邊形的性質(zhì)，求和，最后代入外接圓面積公式，即可求解.
【詳解】（1）由三角形的性質(zhì)可知，，即，
且，即，所以，
中，，
所以，則，
，
所以面積的取值范圍是；
（2）中，，
中，，
即
因?yàn)樗倪呅未嬖谕饨訄A，所以，即，
即，得，，
此時(shí)，即，
由，
四邊形外接圓的面積.
3．（2023·湖北·二模）已知在中，其角、、所對(duì)邊分別為、、，且滿(mǎn)足．
(1)若，求的外接圓半徑；
(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定義可求得的外接圓半徑；
（2）由余弦定理和三角形的面積公式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，所以外接圓半徑．
所以.
（2）因?yàn)椋深}可知，所以，
又因?yàn)椋傻茫?br/>因?yàn)椋?br/>由的面積，得．
1．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理先求出，結(jié)合同角平方關(guān)系求出，再由正弦定理求出外接圓半徑為，即可得解．
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
設(shè)的外接圓半徑為，
則，則的外接圓的面積．
故選：A．
2．（2024·遼寧大連·一模）在中,
(1)求點(diǎn)到邊的距離:
(2)設(shè)為邊上一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求外接圓的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，再由面積相等可得結(jié)果；
（2）求出的表達(dá)式并利用二次函數(shù)性質(zhì)求得時(shí)，，由正弦定理求出外接圓的半徑可得結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為，即；
由余弦定理可得，解得；
又的面積；
設(shè)點(diǎn)到邊的距離為，
因此，
解得.
點(diǎn)到邊的距離為.
（2）如下圖所示：

在中，由余弦定理可得；
所以，
又，所以，且；
因此；
易知當(dāng)時(shí)，；
由可得為正三角形，所以；
設(shè)外接圓的半徑為，
在中由正弦定理可得，解得；
所以外接圓的面積為.
3．（2024·山西晉城·一模）在中，，，．
(1)求A的大小；
(2)求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理求出外接圓半徑，由等面積法求出內(nèi)切圓半徑.
【詳解】（1）由余弦定理得，
因?yàn)椋裕?br/>（2）設(shè)外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑分別為，，由正弦定理得，則．
的面積，
由，得．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦的二倍角公式結(jié)合兩角和的余弦公式與三角形內(nèi)角關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)化簡(jiǎn)可得，再設(shè)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求解即可.
【詳解】（1）由題意得，即，，故．
（2）因?yàn)椋瑸閮?nèi)切圓半徑，
所以．
設(shè)，則，
又因?yàn)椋?br/>所以三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍為．
考點(diǎn)七、雙正弦
1．（2024·福建泉州·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，點(diǎn)D是BC上靠近C的三等分點(diǎn)
(1)若的面積為，求AD的最小值；
(2)若，求．
【答案】(1)2
(2)．
【分析】（1）先通過(guò)正弦定理將條件角化邊后化簡(jiǎn)整理可得，再利用面積公式求得，進(jìn)而利用余弦定理及基本不等式求最值；
（2）設(shè)，則，利用正弦定理將代入角和邊整理計(jì)算可得答案.
【詳解】（1）由已知及正弦定理可得：（※），
，所以，
代入（※）可得：，又因?yàn)椋?br/>所以，
由己知得：，所以，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以AD的最小值為2；
（2）設(shè)，則．
在中，由正弦定理得：，即，
在中，由正弦定理得：，即，
將上面兩式相比，得：，
即．
2．（2024·山東日照·二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，且．
(1)求角；
(2)若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，利用余弦定理求得，即可求解；
（2）設(shè)，在和中，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到，結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系式，聯(lián)立方程組，求得的值.
【詳解】（1）解：由分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，
則，可得，
由余弦定理得，
因?yàn)椋?
（2）解：設(shè)（其中為銳角），
在和中，由正弦定理可得且，
于是，
又因?yàn)椋裕?br/>化簡(jiǎn)得，
根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，
因?yàn)椋?lián)立方程組，解得，即.
3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊的中點(diǎn)．
(1)若，，求的長(zhǎng)；
(2)若，，試判斷的形狀．
【答案】(1)2；
(2)非直角的等腰三角形.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理、余弦定理計(jì)算得解.
（2）利用正弦定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦化得，再結(jié)合已知即可推理得解.
【詳解】（1）依題意，，在中，由正弦定理得，
即，解得，則，
在中，由余弦定理得，
即，所以.
（2）由，得，在中，，
在中，，又，兩式作商得：
，即，則，
于是或，而，即，
因此，，
所以為非直角的等腰三角形.
4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，設(shè).
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中由正弦定理解出，再在中由余弦定理解出即可；
（2）在中由正弦定理解出，再在中，由正弦定理解出，由相等關(guān)系得，最后解出即可.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，
即，，因?yàn)椋?br/>所以，解得，則，
在中，由余弦定理得：，
所以.
（2）
如圖：由，則，因?yàn)椋?br/>所以在中，由正弦定理知：，
，
由，
因?yàn)椋裕?br/>，
由，
，
所以在中，由正弦定理知：，
由，
在中，，所以，
所以，又因?yàn)椋?br/>即，
所以，
即，
所以，
，
所以，
故.
1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；
(2)若的角平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，且，，求BD的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合已知變形，再利用正弦定理邊化角及和差角的正弦推理即得.
（2）利用正弦定理結(jié)合已知可得，由此求出，再利用余弦定理建立方程求解即得.
【詳解】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，由正弦定理，得，
即，
由，得，則，
因此，即，則，
所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
則，解得，從而，又，
由余弦定理，得，解得，
所以BD的長(zhǎng)為.
2．（2024·河南·三模）已知是內(nèi)一點(diǎn)，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）在等腰中可得，進(jìn)而得，在中運(yùn)用正弦定理可求得的值.
（2）求出的值，設(shè)，則，在、中，由正弦定理可得、，結(jié)合求解即可.
【詳解】（1）如圖所示，

在中，，所以.
所以.
在中，由正弦定理得，即，解得.
（2）如圖所示，

當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，則.
在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
因?yàn)椋裕矗?br/>整理得，即，解得，即.
3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．
(1)求A；
(2)若，將射線(xiàn)BA和CA分別繞點(diǎn)B，C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點(diǎn)D（如圖所示），且，求AD．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理邊角互化，再根據(jù)三角恒等變形，即可求解；
（2）由條件確定幾何圖形中的角的值，再根據(jù)正弦定理和余弦定理求解.
【詳解】（1）由正弦定理可知,
又因?yàn)椋?br/>所以，且，
則，即，所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以；
（2）由條件可知，，，且，
所以，又，
所以，，
，且
中，，得,
中，，得，
中，，
.
考點(diǎn)八、雙余弦
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，．
(1)求；
(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，得到，從而有，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，在中，利用余弦定理得到，，在中，利用余弦定理得到，聯(lián)立方程，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋郑裕?br/>則，
因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理，得，所以．
（2）由（1）知，，
在中，由余弦定理得①，②，
在中，由余弦定理得③，
由②③得，化簡(jiǎn)得，
把①代入得，即，
解得，于是的面積.
1．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.
(1)若四點(diǎn)共圓，求；
(2)求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）在、中分別利用余弦定理表示出，再由四點(diǎn)共圓得到，即可求出；；
（2）由（1）可得，再由面積公式得到，將兩式平方再相加得到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，因此，
上述兩式相加得：，所以（負(fù)值已舍去）.
（2）由（1）得：，
化簡(jiǎn)得，
則①，
四邊形的面積
，
整理得，
則②
①②相加得：，
即，
由于，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，
此時(shí)四邊形的面積最大，由，解得，
故四邊形面積的最大值為.
2．（2024·河北·二模）已知中，角的對(duì)邊分別為的面積為.
(1)若為等腰三角形，求它的周長(zhǎng)；
(2)若，求.
【答案】(1)20；
(2)答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理，結(jié)合三角形面積公式求解即得.
（2）按為鈍角和不是鈍角分類(lèi)，利用余弦定理和正弦定理求解即得.
【詳解】（1）由為等腰三角形，得，
由余弦定理，則，
于是，則，
所以的周長(zhǎng)為20.
（2）在中，，當(dāng)不為鈍角時(shí)，，
由余弦定理得，，解得，
由正弦定理，得，所以，；
當(dāng)為鈍角時(shí)，，
由余弦定理得，，解得，
由正弦定理，得，所以.
考點(diǎn)九、解三角形中的證明問(wèn)題
1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足．
(1)求證：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可.
（2）利用（1），求出，表示出，并進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),進(jìn)而求得最大值.
【詳解】（1）由題，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)，
或（舍）,
.
（2）由，則由（1）問(wèn)，得：，
所以，
且
又，
令，則，
所以
因?yàn)?
當(dāng)時(shí)，所求的最大值為.
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點(diǎn)，且點(diǎn)D在B，E之間，．
(1)求證：．
(2)若，求證：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）分別在，，中，利用正弦定理即可得證；
（2）設(shè)，則，，在，中，利用正弦定理即可得證.
【詳解】（1）如圖．在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以，
所以．
（2）因?yàn)椋?br/>所，所以．
由可知，均為銳角．
由（1）知，．
設(shè)，則，．
由，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以．
3．（23-24高三上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．
(1)證明：．
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】
（1）利用二倍角公式及正弦的和角公式化簡(jiǎn)變形條件結(jié)合角的范圍證明即可；
（2）利用（1）結(jié)論及正弦定理、三角恒等變換化簡(jiǎn)得，換元利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性求值域即可.
【詳解】（1）證明如下：
由，
則有，所以，
因?yàn)椋裕瑒tB為銳角．
所以，所以或，
則或，
由題意知，所以，
所以．
（2）由（1）知，且，
由正弦定理，有
即
令，記，
．在上單調(diào)遞增．
即．
故的取值范圍為．
1．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D是邊上一點(diǎn)，，，，且．
(1)若，證明：；
(2)在（1）的條件下，且，求的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理得、，根據(jù)已知有，將左側(cè)化簡(jiǎn)整理為，即可證結(jié)論；
（2）由及余弦定理得到，結(jié)合求得，最后應(yīng)用余弦定理求即可.
【詳解】（1）
在中，由正弦定理得，則，
在中，由正弦定理得，則，
因?yàn)椋裕?br/>而．
所以，即．
（2）由，得，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，，
即，整理得，，
在中，由余弦定理得，
∴，故，即，
所以.
2．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線(xiàn).
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，即可得答案；
（2）（i）在和中，分別應(yīng)用正余弦定理，得出線(xiàn)段之間的等量關(guān)系，結(jié)合角平分線(xiàn)以及分式的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（ii）利用（i）的結(jié)論以及基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)橹校?br/>故
，
因?yàn)椋剩?br/>（2）（i）證明：中，由正弦定理得①，

又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分線(xiàn)，則，
則，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
則
，
即；
（ii）因?yàn)椋剩?br/>則由⑤得，則，
由以及（i）知，
即，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，
故，即的最大值為.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的難點(diǎn)在于的證明，證明時(shí)要利用正余弦定理得到涉及到的線(xiàn)段之間的等量關(guān)系，然后利用分式的性質(zhì)進(jìn)行變形，過(guò)程比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，因此要十分注意.
3．（23-24高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，直線(xiàn)AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點(diǎn)D、E、F．

(1)試證明：
(2)若P為重心，，求的面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及角的互補(bǔ)關(guān)系即可證結(jié)論；
（2）由題意為中線(xiàn)，可得，再由、、，求，進(jìn)而求對(duì)應(yīng)正弦值，結(jié)合及三角形面積公式求面積.
【詳解】（1）中，則，
中，則，
又則，
所以，得證.
（2）由是重心，則為中線(xiàn)，又，
所以，
而，則，
所以，可得，且，所以，
同理，，可得，，
所以，，
則.
考點(diǎn)十、解三角形中的實(shí)際應(yīng)用
1．（2021·全國(guó)·高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線(xiàn)上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，稱(chēng)為“表距”，和都稱(chēng)為“表目距”，與的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．
【詳解】如圖所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在高的樓頂處，測(cè)得正西方向地面上兩點(diǎn)與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點(diǎn)之間的距離為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形，利用直角三角形求解即可.
【詳解】由題意，
而，
所以.
故選：D
3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書(shū)中有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某建筑物上面一座信號(hào)塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)A，B，測(cè)得，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C，D的仰角分別為，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，則塔高CD為 m．
【答案】20
【分析】確定每個(gè)角的大小，可得均為等腰三角形，在中，設(shè)，通過(guò)余弦定理計(jì)算即可.
【詳解】在中，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，如圖所示.
由題意可知，，
因?yàn)樾±钔瑢W(xué)根據(jù)課本書(shū)中有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目受此題啟發(fā)，
所以三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.
所以，
所以為等腰三角形，
即.
設(shè)，即，，
在中，由余弦定理得
,
即，，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以.
故答案為：.
1．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)鐘樓的高度為，根據(jù)相似得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】如下圖，設(shè)鐘樓的高度為，
由，可得：，
由，可得：，
故，
故，
故選：D.

2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，在水平地面上，來(lái)雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得，在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30°，在E點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的仰角為60°，則來(lái)雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】現(xiàn)從四棱錐中提取兩個(gè)直角三角形和的邊角關(guān)系，進(jìn)而分別解出兩個(gè)三角形邊的長(zhǎng)，求出來(lái)雁塔AB的高度即可.
【詳解】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
在直角三角形中，因?yàn)椋?br/>所以，
在直角三角形中，因?yàn)椋?br/>所以，
則.
故選：B.
3．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（ ）
A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里
【答案】D
【分析】設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理計(jì)算可得.
【詳解】依題意設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，則，，
，，
在中，
即，解得，
所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），
在中
，
所以，即炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為公里.
故選：D
一、單選題
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，分別為角的對(duì)邊，若，，，則 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得，，利用兩角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，進(jìn)而求出a的值．
【詳解】由，可得，根據(jù)進(jìn)而求出，，
由可得，，
則，
由正弦定理可知，
又因?yàn)椋獾茫?br/>由正弦定理可得．
故選：B．
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求得，進(jìn)而利用三角形的面積公式求得正確答案.
【詳解】由余弦定理得，即，解得，
所以三角形的面積為.
故選：A
二、多選題
3．（2024·重慶·三模）在中，角的對(duì)邊為若，則的面積可以是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)余弦定理和面積公式即可求解.
【詳解】由余弦定理得:，
即或4，故面積或.
故選：AC.
三、填空題
4．（2024·山東威海·二模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則= ．
【答案】
【分析】在中，由余弦定理可得，結(jié)合已知求得，再由正弦定理可求得.
【詳解】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
因?yàn)椋裕?br/>解得，
由，可得，
在中，由正弦定理可得，
所以.
故答案為：.
5．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則 ， .
【答案】 /
【分析】在中，運(yùn)用正弦定理求得，運(yùn)用余弦定理求得即可.
【詳解】由正弦定理，有，所以，
由余弦定理，有，
解得.
故答案為：，.
四、解答題
6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
（2）由余弦定理求出，即可求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
（2）由余弦定理可知，
即，
所以（負(fù)值舍去），所以.
又，
所以.
7．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理，即可求解；
（2）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式，得到角和邊的關(guān)系，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】（1），且，
所以；
（2）根據(jù)正弦定理，，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不成立，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，
的面積.
8．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形中，將已知條件化簡(jiǎn)為，化簡(jiǎn)后再根據(jù)求解；
（2）由（1）結(jié)果結(jié)合已知條件，根據(jù)余弦定理求出，再利用面積公式求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?
因?yàn)椋?
因?yàn)椋裕杂桑?
因?yàn)椋?
（2）由余弦定理知.
因?yàn)椋裕裕?br/>故的面積.
9．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的面積.
(1)求角B；
(2)若的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，，，求的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由三角形面積公式可得，即可由余弦定理求解，
（2）利用等面積法即可求解.
【詳解】（1）在中，，而，
即，所以，
由余弦定理得，所以.
（2）在中，由等面積法得，
即，
即
所以.
10．（2024·陜西西安·一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，，.
(1)求角；
(2)若，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式利用誘導(dǎo)公式和正弦定理化簡(jiǎn)，得，可得角；
（2）已知條件中得到，余弦定理得，可求的周長(zhǎng).
【詳解】（1）由得
由正弦定理得：
又，，則有，即
又，所以.
（2）由且，則有，
由余弦定理得，
即，
由，解得，
所以周長(zhǎng)為.
一、單選題
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由代入化簡(jiǎn)得，由正弦定理得，代入化簡(jiǎn)即可，根據(jù)檢驗(yàn)即可選出正確選項(xiàng).
【詳解】在中，，
所以，
因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>所以，即，所以或，即或，
當(dāng)時(shí)，，而，所以不符合舍去，即.
故選：A
2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長(zhǎng)為，則AC邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.
【詳解】在中，由正弦定理及，
得，即，由余弦定理得，
則，由的面積為，得，解得，
由，得，又，因此，
令A(yù)C邊上的高為，則，所以.
故選：B
二、多選題
3．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為．若，且邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．面積的最大值為 D．周長(zhǎng)的最大值為
【答案】AB
【分析】對(duì)A，將條件利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)求得角；對(duì)B，利用向量，運(yùn)算結(jié)合基本不等式求解；對(duì)C，由B選項(xiàng)結(jié)合三角形面積公式求解；對(duì)D，由題可得，令，由，得，解得，所以三角形周長(zhǎng)，利用導(dǎo)數(shù)求解判斷.
【詳解】對(duì)于A，由，所以,
所以，由正弦定理可得
，因?yàn)椋?
可得，化簡(jiǎn)得，又，
.故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，，，根據(jù)題意，，，
，化簡(jiǎn)得，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，，
，，即，故B正確；
對(duì)于C，由B，可得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由前面選項(xiàng)，可得，且，，
，即，令，由，得，解得，
所以三角形周長(zhǎng)，
則，令，解得，又，所以在
上單調(diào)遞減，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
三、填空題
4．（2024·湖北武漢·二模）在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，．且，則 ．
【答案】/
【分析】由余弦定理得到，并化切為弦，結(jié)合正弦定理和余弦定理求出，從而得到，，從而利用余弦定理求出答案.
【詳解】由得，，
由余弦定理得，
故，
所以，
，
故，
所以，
即，
由正弦定理得，
因?yàn)椋裕?br/>故，即，
由和得，故
故，故
故.
故答案為：
5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題目所給的條件，利用正弦定理化簡(jiǎn)后得到，利用正弦定理“邊化角”化簡(jiǎn)得到，因此最大值即.
【詳解】中，，，
所以，所以，
根據(jù)正弦定理，，
即，
因?yàn)椋裕?br/>由為三角形內(nèi)角可知，，
根據(jù)正弦定理，，
所以
，
其中，，
當(dāng)時(shí)取得最大值，所以的最大值為.
故答案為：
四、解答題
6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知且均為整數(shù)．
(1)證明：；
(2)設(shè)的中點(diǎn)為，求的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）首先得出，即，進(jìn)一步根據(jù)三角恒等變換以及，且均為整數(shù)，可得，由此即可得證；
（2）由題意先得出，，結(jié)合正弦定理有，再結(jié)合余弦定理以及等邊對(duì)等角即可得解.
【詳解】（1）在中，均為整數(shù)，，
，且，
最小．當(dāng)，矛盾，
，則，
且為整數(shù)，
，
．
又，
即．
由均為整數(shù)，且，
由，可得，
又因?yàn)椋?br/>可得，
故．
．
（2）
由（1）知，，
則．
由正弦定理，
可得，
又的中點(diǎn)為．
在中，由余弦定理，得，
，則，
．
7．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在①，②，③
這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答．
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且______．
(1)求角的大小；
(2)已知，是邊的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；若選②，利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換公式求出，即可得解；若選③，利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；
（2）首先求出，由中線(xiàn)的性質(zhì)得到，由面積公式得到，再由余弦定理得到，即可求出、，再由勾股定理計(jì)算可得.
【詳解】（1）方案一：選條件①．因?yàn)?br/>由正弦定理得，即，
由余弦定理得．
又，所以．
方案二：選條件②．因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
所以，
因?yàn)椋裕郑裕郑裕?br/>方案三：選條件③．因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
因?yàn)椋裕裕?br/>在中，，可得，
故，因?yàn)椋瑒t，
所以，故，所以，則．
（2）解法一：因?yàn)镈是邊AB的中點(diǎn)，所以，由（1）知，
因?yàn)椋裕剩剩?br/>由余弦定理得，
故，因?yàn)椋裕?br/>在中，，，
所以，即的長(zhǎng)為．
解法二：由（1）知，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋珼是邊AB的中點(diǎn)，所以
設(shè)，則，在中，①，
在中，由正弦定理，即②，
①②兩式相除可得，即，得，
所以，所以
解法三：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，因?yàn)镈是邊AB的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)椋灾本€(xiàn)的斜率為，則，所以．
又，所以，
所以，故的長(zhǎng)為．
8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知．
(1)求；
(2)若為的中點(diǎn)，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件右邊的形式聯(lián)想到利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由正弦定理實(shí)現(xiàn)邊化角：，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）分析中的邊角關(guān)系，由余弦定理得考慮到為的中點(diǎn)，再次應(yīng)用余弦定理.由正弦定理得，利用同角三角基本關(guān)系式求得結(jié)果.
【詳解】（1）由余弦定理形式和，
因此．
又，即，
由正弦定理得：，
整理得：，
．
，，
，．
（2）由，得，得．
在中，由余弦定理得，
為的中點(diǎn)，
，
即，（其中），
．
由正弦定理得，，
，
即．
，
由，可得；
，．
9．（2023·黑龍江佳木斯·三模）中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.
(1)求∠A；
(2)若，滿(mǎn)足，，四邊形是凸四邊形，求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及題意結(jié)合兩角和的正弦公式得到即可得角A.
（2）法一：設(shè)，邊長(zhǎng)為，在中根據(jù)余弦定理建立與的關(guān)系，進(jìn)而求得面積，再結(jié)合換元法和三角函數(shù)值的有界性即可求解；法二：將設(shè)為變量，用于表示面積得，結(jié)合三角恒等變換公式將面積公式化為一角一函數(shù)，再利用三角函數(shù)的有界性即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理和得：
，
即，
又，故，
所以，即，又，
所以.
（2）法一：若，
則由（1）可知為正三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，
則有，即，
且由正三角形面積公式得，
對(duì)于，設(shè)，則由余弦定理有，
故
，
所以四邊形的面積為，
令（），則，
故，
再令，
則，
又，所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值為：.
法二：若，則由（1）可知為正三角形，
設(shè)，由題意，
由余弦定理，
所以
，
又，所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值為：.
10．（2024·河北·二模）若內(nèi)一點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．
(1)若，且滿(mǎn)足，求的大小．
(2)若為銳角三角形．
（ⅰ）證明：．
（ⅱ）若平分，證明：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）先判斷與相似，進(jìn)而得到，應(yīng)用余弦定理求出的值即可；
（2）（ⅰ）在內(nèi)，三次應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：，針對(duì)分別在、和內(nèi)，三次應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式，且表示出三角形的面積，由余弦定理形式相加，再化簡(jiǎn)整理得：，即可得證；（ⅱ）得出與的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形的面積公式，平分，將代入，化簡(jiǎn)整理即可得證.
【詳解】（1）若，即，得，
點(diǎn)滿(mǎn)足，則，
在和中，，，
所以與相似，且，
所以，即，
由余弦定理得：，且，，
得，且，
所以；
（2）（ⅰ）在內(nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：
，
，
，
三式相加可得：①
在內(nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：
，
在和內(nèi)，同理：，，
三式相等：，
因?yàn)椋傻缺刃再|(zhì)得：②
由①②式可證得：；
（ⅱ）因?yàn)椋?br/>即，
所以，
在中，
分別由余弦定理得：，，，
三式相加整理得，
，
將代入得：
若平分，則，，
所以③
又由余弦定理可得：④
由③-④得：
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)表示出三角形得面積，在中，由余弦定理相加，得出與的等量關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.
1．（2024·上海·高考真題）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿(mǎn)足，則 (精確到0.1度)
【答案】
【分析】設(shè)，在和中分別利用正弦定理得到，，兩式相除即可得到答案.
【詳解】設(shè)，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因?yàn)椋茫?br/>利用計(jì)算器即可得，
故答案為：.
2．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)；
(2)選擇①無(wú)解；選擇②和③△ABC面積均為.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）選擇①，利用正弦定理得，結(jié)合（1）問(wèn)答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；
【詳解】（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，
則，則，則，解得，
因?yàn)闉殁g角，則.
（2）選擇①，則，因?yàn)椋瑒t為銳角，則，
此時(shí)，不合題意，舍棄；
選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，
則代入得，解得，
,
則.
選擇③，則有，解得，
則由正弦定理得，即，解得，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，
則
，
則
3．（2024·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；
（3）法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.
【詳解】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，
即，解得（負(fù)舍）；
則.
（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，
再根據(jù)正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因?yàn)椋瑒t
（3）法一：因?yàn)椋遥裕?br/>由（2）法一知，
因?yàn)椋瑒t，所以，
則，
.
法二：，
則，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，
所以
4．（2022·浙江·高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
【答案】.
【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>故答案為：.
5．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；
（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．
【詳解】（1）因?yàn)椋矗氲茫獾茫海?br/>（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因?yàn)椋裕剩郑?所以，，而，所以，
故．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡(jiǎn)得：
，故原等式成立．
7．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因?yàn)椋?br/>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長(zhǎng)為.
8．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋矗?br/>而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
9．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可計(jì)算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.
【詳解】（I）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
10．（2021·北京·高考真題）在中，，．
（1）求；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)．
條件①：；
條件②：的周長(zhǎng)為；
條件③：的面積為；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；
（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；
若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；
若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.
【詳解】（1），則由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，
與矛盾，故這樣的不存在；
若選擇②：由（1）可得，
設(shè)的外接圓半徑為，
則由正弦定理可得，
，
則周長(zhǎng)，
解得，則，
由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：
；
若選擇③：由（1）可得，即，
則，解得，
則由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：
.
11．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)椋裕矗?br/>又因?yàn)椋裕?br/>（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)椋鐖D，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)椋裕獾没颍?br/>當(dāng)時(shí)，（舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡(jiǎn)得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線(xiàn)利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br/>所以，
整理得．
又因?yàn)椋裕?br/>即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)椋裕?br/>以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)椋裕?br/>由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線(xiàn)為y軸，
長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線(xiàn)作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.
12．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB= .
【答案】
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【詳解】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
13．（2020·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.
【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因?yàn)椋裕?br/>（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得 ，
進(jìn)而，
所以.
【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
14．（2020·北京·高考真題）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面積．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；
選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.
【詳解】選擇條件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
選擇條件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
15．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小；
（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.
【詳解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
結(jié)合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵為銳角三角形，∴，
∴，
所以，
又B為的一個(gè)內(nèi)角，故.
[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角
由，結(jié)合正弦定理可得：
為銳角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因?yàn)椋⒗糜嘞叶ɡ碚淼茫?br/>即.
結(jié)合，得.
由臨界狀態(tài)（不妨取）可知.
而為銳角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化簡(jiǎn)得
故的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)
結(jié)合(1)的結(jié)論有：
.
由可得：，，
則，.
即的取值范圍是.
【整體點(diǎn)評(píng)】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡(jiǎn)，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡(jiǎn)潔明快，確定為最優(yōu)解.
16．（2020·山東·高考真題）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】詳見(jiàn)解析
【分析】方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長(zhǎng)度長(zhǎng)度，由余弦定理得到的長(zhǎng)度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.
【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理
由可得：，不妨設(shè)，
則：，即.
若選擇條件①：
據(jù)此可得：，，此時(shí).
若選擇條件②：
據(jù)此可得：，
則：，此時(shí)：，則：.
若選擇條件③：
可得，，與條件矛盾，則問(wèn)題中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由，得．
由，得，即，
得．由于，得．所以．
若選擇條件①：
由，得，得．
解得．所以，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)．
若選擇條件②：
由，得，解得，則．
由，得，得．
所以，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)．
若選擇條件③：
由于與矛盾，所以，問(wèn)題中的三角形不存在．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得的關(guān)系，再根據(jù)選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；
方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角，可求出角，從而可得，再根據(jù)選擇條件即可解出．
17．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得的值.
【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法
過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法
在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：幾何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：構(gòu)造直角三角形法
如圖，作，垂足為E，作，垂足為點(diǎn)G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，從而．
在中，．
所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點(diǎn)，作出輔助線(xiàn)，利用幾何方法簡(jiǎn)單計(jì)算即得答案，運(yùn)算尤其簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進(jìn)而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線(xiàn)，利用兩角差的正切公式求解，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得的正弦值，進(jìn)而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進(jìn)而求解，也是很優(yōu)美的方法.
18．（2020·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面積；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；
（2）方法一 ：將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.
【詳解】（1）由余弦定理可得，
的面積；
（2）[方法一]：多角換一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化邊
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.其中第二問(wèn)法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過(guò)余弦定理找到三邊的關(guān)系，進(jìn)而求角.
19．（2020·全國(guó)·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，證明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，
再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>即，
解得，又，
所以；
（2）因?yàn)椋裕?br/>即①，
又②， 將②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系的應(yīng)用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題．
20．（2020·全國(guó)·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，
解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為．
[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合
在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，
所以周長(zhǎng)的最大值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)最大值的求解問(wèn)題；
方法一：求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.
方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.
方法三巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問(wèn)題.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第08講 正余弦定理解三角形
（10類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第15題,13分 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 三角形面積公式及其應(yīng)用 正弦的和差公式
2024年新Ⅱ卷，第15題,13分 正弦定理解三角形 正弦定理邊角互化的應(yīng)用 輔助角公式
2023年新I卷，第17題,10分 正弦定理解三角形 三角形面積公式及其應(yīng)用 用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值
2023年新Ⅱ卷，第17題,10分 三角形面積公式及其應(yīng)用 余弦定理解三角形 數(shù)量積的運(yùn)算律
2022年新I卷，第18題,12分 正弦定理邊角互化的應(yīng)用 基本不等式求和的最小值
2022年新Ⅱ卷，第18題,12分 正弦定理解三角形 三角形面積公式及其應(yīng)用 余弦定理解三角形 無(wú)
2021年新I卷，第19題,12分 正弦定理邊角互化的應(yīng)用 幾何圖形中的計(jì)算
2021年新Ⅱ卷，第18題,12分 正弦定理邊角互化的應(yīng)用 三角形面積公式及其應(yīng)用 余弦定理解三角形 無(wú)
2020年新I卷，第17題,10分 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 無(wú)
2020年新Ⅱ卷，第17題,10分 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 無(wú)
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分
【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用
2會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題.
3會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問(wèn)題
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來(lái)命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。
知識(shí)講解
正弦定理
基本公式：
（其中為外接圓的半徑）
變形
三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系
，＝－
，，
余弦定理
邊的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
三角形的面積公式
考點(diǎn)一、正弦定理邊角互化解三角形
1．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，則 .
3．（2024·四川涼山·二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則 ．
4．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長(zhǎng)．
1．（2024·江西九江·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則 .
3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．
(1)求角；
(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．
考點(diǎn)二、利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)
1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，則能使同時(shí)滿(mǎn)足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·廣東茂名·三模）（多選）中，角所對(duì)的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（ ）
A．若，則必有兩解
B．若，則一定為等腰三角形
C．若，則一定為直角三角形
D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是
1．（23-24高二下·浙江·期中）在中，，且滿(mǎn)足該條件的有兩個(gè)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，，若滿(mǎn)足條件的三角形有兩個(gè)，則邊的取值可能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
3．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且已知，則（ ）
A．若，且有兩解，則的取值范圍是
B．若，且，則恰有一解.
C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是
D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是
考點(diǎn)三、余弦定理求值
1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，，則（ ）
A．1 B． C． D．3
3．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，，的角平分線(xiàn)交BC于D，則 ．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
1．（2021·安徽安慶·二模）在中，分別是，，的對(duì)邊.若，且，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2023·廣東廣州·三模）在中，點(diǎn)D在邊上，，，，，則的長(zhǎng)為 ．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
考點(diǎn)四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀
1．（22-23高三·吉林白城·階段練習(xí)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△的三邊長(zhǎng)為，，，若，，則△是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則的形狀一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
2．（22-23高三·河南商丘·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形
3．（22-23高三·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
4．（2023·四川涼山·二模）在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考點(diǎn)五、三角形面積的應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
2．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
3．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
4．（2022·北京·高考真題）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
1．（2024·北京大興·三模）中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，.
(1)求的大小；
(2)若，求的面積.
2．（2024·福建莆田·三模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)證明：.
(2)若，，求的面積.
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角所對(duì)的邊分別為已知.
(1)求的取值范圍；
(2)求最大時(shí)，的面積.
4．（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對(duì)邊分別為．
(1)求的大小；
(2)若，且邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，求的面積．
考點(diǎn)六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問(wèn)題
1．（2024·貴州六盤(pán)水·三模）在中，，， ，則外接圓的半徑為（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.
(1)求面積的取值范圍；
(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.
3．（2023·湖北·二模）已知在中，其角、、所對(duì)邊分別為、、，且滿(mǎn)足．
(1)若，求的外接圓半徑；
(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑
1．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·遼寧大連·一模）在中,
(1)求點(diǎn)到邊的距離:
(2)設(shè)為邊上一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求外接圓的面積.
3．（2024·山西晉城·一模）在中，，，．
(1)求A的大小；
(2)求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．
考點(diǎn)七、雙正弦
1．（2024·福建泉州·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，點(diǎn)D是BC上靠近C的三等分點(diǎn)
(1)若的面積為，求AD的最小值；
(2)若，求．
2．（2024·山東日照·二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，且．
(1)求角；
(2)若，，求．
3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊的中點(diǎn)．
(1)若，，求的長(zhǎng)；
(2)若，，試判斷的形狀．
4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，設(shè).
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)若，求.
1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；
(2)若的角平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，且，，求BD的長(zhǎng)．
2．（2024·河南·三模）已知是內(nèi)一點(diǎn)，.
(1)若，求；
(2)若，求.
3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．
(1)求A；
(2)若，將射線(xiàn)BA和CA分別繞點(diǎn)B，C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點(diǎn)D（如圖所示），且，求AD．
考點(diǎn)八、雙余弦
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，．
(1)求；
(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求的面積．
1．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.
(1)若四點(diǎn)共圓，求；
(2)求四邊形面積的最大值.
2．（2024·河北·二模）已知中，角的對(duì)邊分別為的面積為.
(1)若為等腰三角形，求它的周長(zhǎng)；
(2)若，求.
考點(diǎn)九、解三角形中的證明問(wèn)題
1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足．
(1)求證：；
(2)求的最大值．
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點(diǎn)，且點(diǎn)D在B，E之間，．
(1)求證：．
(2)若，求證：．
3．（23-24高三上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．
(1)證明：．
(2)求的取值范圍．
1．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D是邊上一點(diǎn)，，，，且．
(1)若，證明：；
(2)在（1）的條件下，且，求的值．
2．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線(xiàn).
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
3．（23-24高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，直線(xiàn)AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點(diǎn)D、E、F．

(1)試證明：
(2)若P為重心，，求的面積．
考點(diǎn)十、解三角形中的實(shí)際應(yīng)用
1．（2021·全國(guó)·高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線(xiàn)上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，稱(chēng)為“表距”，和都稱(chēng)為“表目距”，與的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在高的樓頂處，測(cè)得正西方向地面上兩點(diǎn)與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點(diǎn)之間的距離為（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書(shū)中有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某建筑物上面一座信號(hào)塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)A，B，測(cè)得，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C，D的仰角分別為，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，則塔高CD為 m．
1．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，在水平地面上，來(lái)雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得，在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30°，在E點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的仰角為60°，則來(lái)雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A． B． C． D．
3．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（ ）
A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里
一、單選題
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，分別為角的對(duì)邊，若，，，則 （ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·重慶·三模）在中，角的對(duì)邊為若，則的面積可以是（ ）
A． B．3 C． D．
三、填空題
4．（2024·山東威海·二模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則= ．
5．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則 ， .
四、解答題
6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的面積.
7．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面積．
8．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求的面積.
9．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的面積.
(1)求角B；
(2)若的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，，，求的長(zhǎng).
10．（2024·陜西西安·一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，，.
(1)求角；
(2)若，求的周長(zhǎng).
一、單選題
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則角（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長(zhǎng)為，則AC邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為．若，且邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．面積的最大值為 D．周長(zhǎng)的最大值為
三、填空題
4．（2024·湖北武漢·二模）在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，．且，則 ．
5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則的最大值為 .
四、解答題
6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知且均為整數(shù)．
(1)證明：；
(2)設(shè)的中點(diǎn)為，求的余弦值．
7．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在①，②，③
這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答．
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且______．
(1)求角的大小；
(2)已知，是邊的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．
8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知．
(1)求；
(2)若為的中點(diǎn)，且，求．
9．（2023·黑龍江佳木斯·三模）中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.
(1)求∠A；
(2)若，滿(mǎn)足，，四邊形是凸四邊形，求四邊形面積的最大值．
10．（2024·河北·二模）若內(nèi)一點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．
(1)若，且滿(mǎn)足，求的大小．
(2)若為銳角三角形．
（ⅰ）證明：．
（ⅱ）若平分，證明：．
1．（2024·上海·高考真題）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿(mǎn)足，則 (精確到0.1度)
2．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
3．（2024·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
4．（2022·浙江·高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
5．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
6．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
7．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
8．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
9．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
10．（2021·北京·高考真題）在中，，．
（1）求；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)．
條件①：；
條件②：的周長(zhǎng)為；
條件③：的面積為；
11．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
1．1．12．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB= .
13．（2020·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
14．（2020·北京·高考真題）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面積．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
15．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．
16．（2020·山東·高考真題）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
17．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．
18．（2020·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面積；
（2）若sinA+sinC=，求C.
19．（2020·全國(guó)·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，證明：△ABC是直角三角形．
20．（2020·全國(guó)·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.
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