資源簡介

第09講 圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形與焦點(diǎn)弦三角形
（9類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第12題,5分 雙曲線中集點(diǎn)三角形問題 求雙曲線的離心率
2023年新I卷，第16題,5分 利用定義解決雙曲線中集點(diǎn)三角形問題 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 無
2022年全國甲卷（理科）， 第12題,5分 橢圓定義及辨析 橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題 無
2022年全國甲卷（文科）， 第7題,5分 橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題 無
2022年新I卷，第16題,5分 橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形及其相關(guān)計算
2.理解、掌握圓錐曲線的焦點(diǎn)弦三角形及其相關(guān)計算
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)
知識講解
橢圓焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論
在 中,記 ,
橢圓定義可知:
(1). .
(2) . 焦點(diǎn)三角形的周長為 .
(3) .
(4). 焦點(diǎn)三角形的而積為: .
雙曲線焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論
如圖, 是雙曲線的焦點(diǎn), 設(shè) P為雙曲線上任意一點(diǎn),
記 , 則 的面積
橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形離心率
記
則橢圓的離心率為:
.
雙曲線的離心率為:
橢圓焦點(diǎn)弦三角形周長
為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，則 的周長為 .
(2) 為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，則 的周長為 .
雙曲線焦點(diǎn)弦三角形周長
如圖1， 為雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線交雙曲線同支于 兩點(diǎn)，且 ，則 的周長為 .
橢圓焦點(diǎn)弦三角形面積公式
為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過 傾斜角為 的直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積:
，其中，
（2） 為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過 的直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，且 ，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積:
雙曲線焦點(diǎn)弦三角形面積公式
（1）設(shè)直線 過焦點(diǎn) 且交雙曲線 于 兩點(diǎn)，直線 傾斜角為 ，雙曲線的半通徑為 ，則雙曲線同支焦點(diǎn)弦三角形的面積
（2） 為雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線 與雙曲線 右支交于 兩點(diǎn)，且 ，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積:
（3） 為雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線 與雙曲線 右支、左支分別交于 兩點(diǎn)，且 ，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積:
拋物線焦點(diǎn)弦三角形面積公式
設(shè)直線 過焦點(diǎn) 且與拋物線 交于 兩點(diǎn)，直線 傾斜角為 ，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積為
考點(diǎn)一、橢圓的焦點(diǎn)三角形周長問題
1．（23-24高三·階段練習(xí)）已知，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，若點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，則的周長是（ ）
A． B． C．8 D．10
2．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知橢圓（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).若的周長為8，則（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．（2022·河北秦皇島·二模）橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陜西西安·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，M為C上一點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且的周長為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
1．（22-23高三下·河南·階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左 右焦點(diǎn) 若的周長為6，且橢圓上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的最小距離為1，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海·三模）已知橢圓C的焦點(diǎn)、都在x軸上，P為橢圓C上一點(diǎn)，的周長為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
考點(diǎn)二、橢圓的焦點(diǎn)三角形面積問題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．（23-24高二上·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·廣東梅州·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，若，則的面積為（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上點(diǎn)滿足，則的面積為 .
2．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為1時，（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）設(shè)，是橢圓C：的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A．3 B． C．9 D．
考點(diǎn)三、雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積問題
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積為 .
2．（22-23高二下·四川德陽·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的左右焦點(diǎn)別為和，其右支上存在一點(diǎn)P滿足，且的面積為3，則該雙曲線的離心率為 .
3．（2023·四川涼山·一模）已知點(diǎn)在橢圓上，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為2，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．（22-23高二上·北京朝陽·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·期中）設(shè)雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上，且，則的面積為（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·四川成都·三模）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時，面積為（ ）．
A． B． C． D．
考點(diǎn)四、橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形離心率問題
1．（全國·高考真題）已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為
A． B． C． D．
2．（安徽·高考真題）已知為橢圓的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，垂直于x軸，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．（全國·高考真題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，M F1與軸垂直，sin ,則E的離心率為
A． B．
C． D．2
2．（福建·高考真題）設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，則曲線r的離心率等于
A． B．或2 C．2 D．
3．（福建·高考真題）設(shè)圓錐曲線的兩個焦點(diǎn)分別為，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則曲線的離心率等于
A．或 B．或 C．或 D．或
4．（湖北·高考真題）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．2
考點(diǎn)五、橢圓的焦點(diǎn)弦三角形周長問題
1．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長為 ．
2．（2024·河北·二模）過橢圓的中心作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是的一個焦點(diǎn)，則周長的最小值為（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
3．（22-23高二上·山東德州·期中）已知橢圓C：，橢圓C的一頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為，，的面積為，焦距為2，過，且垂直于的直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，則的周長是（ ）
A． B．8 C． D．16
1．（2024·河北衡水·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且為AB中點(diǎn)，則的周長為 ．
2．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，則的周長是 .
考點(diǎn)六、橢圓的焦點(diǎn)弦三角形面積問題
1．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．在中，，且滿足，則橢圓的離心率為 ．
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)P為橢圓C：上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且△PF1F2的重心為點(diǎn)G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為（ ）
A．24 B．12 C．8 D．6
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過垂直于軸的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則（ ）
A．橢圓的離心率 B．的周長為12
C．的面積為 D．為等邊三角形
考點(diǎn)七、雙曲線的焦點(diǎn)弦三角形周長問題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)作一條直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，若，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的周長是 .
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點(diǎn)，且，若雙曲線的實(shí)軸長為8，那么的周長是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
3．（2023·新疆烏魯木齊·三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，若的周長為20，則線段AB的長為 ．
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上過點(diǎn)的弦，且，則的周長是
3．（2024·江西南昌·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過作直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若的周長為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)八、雙曲線的焦點(diǎn)弦三角形面積問題
1．（2023·安徽六安·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
2．（2024·寧夏銀川·一模）已知雙曲線，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與C交于A，B兩點(diǎn)，若為正三角形，則C的離心率為 ，的面積為
2．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，，且的面積為，則的離心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
考點(diǎn)九、拋物線的焦點(diǎn)弦三角形面積問題
1．（全國·高考真題）設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為
A． B． C． D．
2．（2022·山西·高三校聯(lián)考期末）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·黑龍江校考期末）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）
A． B． C． D．4
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為4，則下列說法正確的是（ ）
A．弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為
B．直線的傾斜角為30°或150°
C．
D．
一、單選題
1．（2024·山東泰安·二模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過拋物線上點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直y軸于點(diǎn)N，若，則的面積為（ ）
A．8 B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）設(shè)分別是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建三明·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，第一象限的兩點(diǎn)A，B在拋物線上，且滿足.若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則p的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個點(diǎn)P，M，Q，N，若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F，且，則（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，曲線上存在一點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·新疆·二模）設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最大值為( )
A． B． C． D．6
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的周長為，若的面積是的面積的2倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，直線交橢圓于點(diǎn)，，若的周長的最大值為16，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)和上頂點(diǎn)A的直線交于另外一點(diǎn)，若，且的面積為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．3 B． C．3或7 D．或7
14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為3，過的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．當(dāng)時，的值為（ ）
A． B． C． D．8
15．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為C上兩個動點(diǎn)，且，面積的最大值為，過O作直線MN的垂線，垂足為H，則（ ）
A． B． C．1 D．
二、多選題
16．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn).若，.則（ ）
A．的周長為 B．
C．的斜率為 D．橢圓的離心率為
17．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，且與在第四象限交于點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)分別為，則（ ）
A．離心率為 B．的周長為
C．以為直徑的圓過點(diǎn) D．
18．（23-24高三上·河南·期中）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為B，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．橢圓的長軸長是短軸長的倍 B．線段的長度為
C．橢圓的離心率為 D．的周長為
19．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．為定值 B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上
C．為定值 D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）
20．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限），則下列說法中正確的是（ ）
A．雙曲線C的虛軸長為 B．
C．的周長的最小值為16 D．當(dāng)時，的內(nèi)切圓面積為
21．（2024·黑龍江·二模）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若過且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（ ）
A．的離心率為 B．
C．點(diǎn)到直線的距離為 D．的周長為8
22．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為
三、填空題
23．（2024·上海長寧·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ．
24．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的負(fù)半軸交于C點(diǎn)，已知，則 ．
25．（24-25高三上·河北·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，，則 ．
26．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線C: 的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且，則面積為 .
27．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，如果，則的面積為 ．
28．（2024·廣東珠海·一模）已知點(diǎn)P在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若的面積為45，則 ．
29．（2024·河南·二模）拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為 ， .
30．（2024·山西晉城·二模）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，若的面積為，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為 ．
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（上海·高考真題）已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則= .
4．（全國·高考真題）設(shè)，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，則的面積為（ ）
A． B．2 C． D．1
5．（全國·高考真題）已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則
A．2 B．4 C．6 D．8
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第09講 圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形與焦點(diǎn)弦三角形
（9類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
5年考情
考題示例 考點(diǎn)分析 關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第12題,5分 雙曲線中集點(diǎn)三角形問題 求雙曲線的離心率
2023年新I卷，第16題,5分 利用定義解決雙曲線中集點(diǎn)三角形問題 求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 無
2022年全國甲卷（理科）， 第12題,5分 橢圓定義及辨析 橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題 無
2022年全國甲卷（文科）， 第7題,5分 橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題 無
2022年新I卷，第16題,5分 橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長問題 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形及其相關(guān)計算
2.理解、掌握圓錐曲線的焦點(diǎn)弦三角形及其相關(guān)計算
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)
知識講解
橢圓焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論
在 中,記 ,
橢圓定義可知:
(1). .
(2) . 焦點(diǎn)三角形的周長為 .
(3) .
(4). 焦點(diǎn)三角形的而積為: .
雙曲線焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論
如圖, 是雙曲線的焦點(diǎn), 設(shè) P為雙曲線上任意一點(diǎn),
記 , 則 的面積
橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形離心率
記
則橢圓的離心率為:
.
雙曲線的離心率為:
橢圓焦點(diǎn)弦三角形周長
為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，則 的周長為 .
(2) 為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，則 的周長為 .
雙曲線焦點(diǎn)弦三角形周長
如圖1， 為雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線交雙曲線同支于 兩點(diǎn)，且 ，則 的周長為 .
橢圓焦點(diǎn)弦三角形面積公式
為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過 傾斜角為 的直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積:
，其中，
（2） 為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過 的直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，且 ，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積:
雙曲線焦點(diǎn)弦三角形面積公式
（1）設(shè)直線 過焦點(diǎn) 且交雙曲線 于 兩點(diǎn)，直線 傾斜角為 ，雙曲線的半通徑為 ，則雙曲線同支焦點(diǎn)弦三角形的面積
（2） 為雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線 與雙曲線 右支交于 兩點(diǎn)，且 ，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積:
（3） 為雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 的直線 與雙曲線 右支、左支分別交于 兩點(diǎn)，且 ，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積:
拋物線焦點(diǎn)弦三角形面積公式
設(shè)直線 過焦點(diǎn) 且與拋物線 交于 兩點(diǎn)，直線 傾斜角為 ，則焦點(diǎn)弦三角形 的面積為
考點(diǎn)一、橢圓的焦點(diǎn)三角形周長問題
1．（23-24高三·階段練習(xí)）已知，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，若點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，則的周長是（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【解析】根據(jù)橢圓的定義可求.
【詳解】由橢圓：知，
，，，
所以，
由橢圓的定義知，，
則的周長為：.
故選：A.
2．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知橢圓（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).若的周長為8，則（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由橢圓的定義得即得解.
【詳解】根據(jù)橢圓的定義，的周長為
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.
3．（2022·河北秦皇島·二模）橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓方程可得，再結(jié)合三角形周長，得，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】因為，所以.
因為的周長為，所以，所以，
所以橢圓的離心率為，
故選：B.
4．（2023·陜西西安·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，M為C上一點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且的周長為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)的周長可得，由的中點(diǎn)坐標(biāo)求得M坐標(biāo)，代入橢圓方程可得關(guān)系式，解方程可得的值，即可求得答案
【詳解】因為的周長為，所以，則，
又,的中點(diǎn)為 ，所以M的坐標(biāo)為，
故，則，
結(jié)合，，解得，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：A
1．（22-23高三下·河南·階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】根據(jù)離心率求解，即可由焦點(diǎn)三角形求解周長.
【詳解】因為的離心率為，且，所以，解得，則，所以的周長為.
故選：C

2．（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左 右焦點(diǎn) 若的周長為6，且橢圓上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的最小距離為1，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列式求，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】由題意可知：，解得，
所以橢圓的離心率.
故選：A.
3．（2024·上海·三模）已知橢圓C的焦點(diǎn)、都在x軸上，P為橢圓C上一點(diǎn)，的周長為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差中項的意義及橢圓的定義列式求出即可得解.
【詳解】令橢圓長半軸長為，半焦距為，依題意，，
即，解得，則橢圓短半軸長，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
考點(diǎn)二、橢圓的焦點(diǎn)三角形面積問題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；
方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．
【詳解】方法一：因為，所以，
從而，所以．
故選：B.
方法二：
因為，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
2．（23-24高二上·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用點(diǎn)在橢圓上得出定義表達(dá)式，運(yùn)用余弦定理，聯(lián)立求得的值，再運(yùn)用三角形面積公式即得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)，由點(diǎn)在橢圓上可得：①，
由余弦定理可得：，化簡得：②，
由①式兩邊平方再減去②式，得：，
于是的面積為.
故選：D.
3．（2023·廣東梅州·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，若，則的面積為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.
【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，

因此為等腰三角形，底邊上的高，
所以的面積為.
故選：D
4．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．
【詳解】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．
1．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上點(diǎn)滿足，則的面積為 .
【答案】
【分析】結(jié)合橢圓定理、勾股定理的逆定理與三角形面積公式計算即可得.
【詳解】由橢圓定義可得，
則有，即，，
又，
由，故，
故.
故答案為：.
2．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為1時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結(jié)合橢圓的定義根據(jù)余弦定理得，代入三角形面積公式并化簡得，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解角即可.
【詳解】由已知，所以，
由余弦定理可得：，
所以，整理得，即，
又的面積為1，所以，
所以，所以，即，
所以，又，所以，所以.
故選：D.
3．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）設(shè)，是橢圓C：的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用余弦定理、橢圓定義求得，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.
【詳解】由題設(shè)，，可得，
，
由，，則，即，
所以的面積.
故選：B
考點(diǎn)三、雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積問題
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積為 .
【答案】3
【分析】設(shè)，利用雙曲線定義，可得又由勾股定理得，聯(lián)立求得，即得三角形的面積.
【詳解】
如圖，由可知，
設(shè)，由定義
，
的面積為.
故答案為：3
2．（22-23高二下·四川德陽·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的左右焦點(diǎn)別為和，其右支上存在一點(diǎn)P滿足，且的面積為3，則該雙曲線的離心率為 .
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式即可求出，即可求出離心率.
【詳解】解：由雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積，
所以，，
則，
故答案為：.
3．（2023·四川涼山·一模）已知點(diǎn)在橢圓上，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為2，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】畫出圖形，結(jié)合解三角形知識、數(shù)量積的定義、橢圓的定義以及平方關(guān)系即可求解.
【詳解】
如圖所示：
設(shè)，由題意，，
兩式相比得，
又，且，
所以，
而由余弦定理有，即，
且由橢圓定義有，
所以，解得.
故選：C.
1．（22-23高二上·北京朝陽·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為點(diǎn)在上，是雙曲線的兩個焦點(diǎn),
由雙曲線的對稱性不妨設(shè)，
則①，，
因為，所以，
由勾股定理得②，
①②聯(lián)立可得，，
所以，
故選：B
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·期中）設(shè)雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上，且，則的面積為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由雙曲線定義和余弦定理求出，利用三角形面積公式求出答案.
【詳解】由題意得，
由雙曲線定義可得，，，
由余弦定理得，
即，解得，
又，解得，
故.

故選：C
3．（2022·四川成都·三模）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時，面積為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用雙曲線的定義可得，又，進(jìn)而即得.
【詳解】∵雙曲線，
∴，又點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面積為.
故選：B.
考點(diǎn)四、橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形離心率問題
1．（全國·高考真題）已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】分析：設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.
詳解：在中，
設(shè)，則，
又由橢圓定義可知
則離心率，
故選D.
點(diǎn)睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點(diǎn)三角形”是橢圓問題中的常考知識點(diǎn)，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.
2．（安徽·高考真題）已知為橢圓的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，垂直于x軸，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在直角中，由得到的等量關(guān)系，結(jié)合計算即可得到離心率.
【詳解】由已知，得，則,
又在橢圓中通徑的長度為，，
故,
即,
解得
故選：C
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.
【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因為,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.
1．（全國·高考真題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，M F1與軸垂直，sin ,則E的離心率為
A． B．
C． D．2
【答案】A
【詳解】試題分析：由已知可得，故選A.
考點(diǎn)：1、雙曲線及其方程；2、雙曲線的離心率.
【方法點(diǎn)晴】本題考查雙曲線及其方程、雙曲線的離心率.，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型. 由已知可得，利用雙曲線的定義和雙曲線的通徑公式，可以降低計算量，提高解題速度.
2．（福建·高考真題）設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，則曲線r的離心率等于
A． B．或2 C．2 D．
【答案】A
【詳解】試題分析：根據(jù)題意可設(shè)出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲線為橢圓和雙曲線兩種情況，分別利用定義表示出a和c，則離心率可得．
解：依題意設(shè)|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，
若曲線為橢圓則2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t
則e==，
若曲線為雙曲線則，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t
∴e==
故選A
點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．關(guān)鍵是利用圓錐曲線的定義來解決．
3．（福建·高考真題）設(shè)圓錐曲線的兩個焦點(diǎn)分別為，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則曲線的離心率等于
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】設(shè)，討論兩種情況，分別利用橢圓與雙曲線的定義求出的值，再利用離心率公式可得結(jié)果.
【詳解】因為，
所以可設(shè)，
若曲線為橢圓則，則；
若曲線為雙曲線則，，∴，故選.
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率以及雙曲線的定義及離心率，屬于中檔題. 離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．
4．（湖北·高考真題）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【詳解】試題分析：設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設(shè)，橢圓和雙曲線的離心率分別為
由余弦定理可得，①
在橢圓中，①化簡為即即
在雙曲線中，①化簡為即即③
聯(lián)立②③得，
由柯西不等式得即（
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選A
考點(diǎn)：橢圓，雙曲線的簡單性質(zhì)，余弦定理
考點(diǎn)五、橢圓的焦點(diǎn)弦三角形周長問題
1．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長為 ．
【答案】
【分析】首先得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷直線過左焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓的定義計算可得；
【詳解】解：橢圓，所以，即、，
直線過左焦點(diǎn)，所以，，，
所以；
故答案為：
2．（2024·河北·二模）過橢圓的中心作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是的一個焦點(diǎn)，則周長的最小值為（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】B
【分析】利用橢圓的定義和對稱性，轉(zhuǎn)化的周長，即可求解.
【詳解】設(shè)的另一個焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的對稱性知，
所以的周長為，
當(dāng)線段為橢圓短軸時，有最小值6，所以的周長的最小值為14.
故選：B
3．（22-23高二上·山東德州·期中）已知橢圓C：，橢圓C的一頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為，，的面積為，焦距為2，過，且垂直于的直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，則的周長是（ ）
A． B．8 C． D．16
【答案】B
【分析】先根據(jù)的面積為，焦距為2，求得橢圓方程為，然后根據(jù)已知條件及等邊三角形的性質(zhì)，再利用等腰三角形的三線合一定理及橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長公式即可求解.
【詳解】因為的面積為，焦距為2，所以，
所以，故橢圓方程為，
假設(shè)為橢圓C的上頂點(diǎn)，因為兩個焦點(diǎn)為，，
所以，，故,
所以為等邊三角形，又因為過，且垂直于的直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，
所以，,
由橢圓的定義可知：，
，
所以的周長為
，
故選：.
1．（2024·河北衡水·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且為AB中點(diǎn)，則的周長為 ．
【答案】
【分析】設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，即可求得a的值，再結(jié)合的周長為4a，即得答案.
【詳解】由題意知，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
兩式相減得，
由題意為AB中點(diǎn)，
則，代入整理得．
即由題意知，
因此，所以，由焦距為6，解得．
由橢圓定義知的周長為．
故答案為：
2．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，則的周長是 .
【答案】4
【分析】
由離心率可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式可得，據(jù)此求出，再由橢圓定義即可得出三角形周長.
【詳解】
如圖，
橢圓的離心率為，
不妨可設(shè)橢圓，，
的上頂點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)為，，
為等邊三角形，
過且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，
，
由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，
設(shè)直線方程為，，，，，
將其與橢圓聯(lián)立化簡可得，，
由韋達(dá)定理可得，，，
，
解得，
的周長等價于.
故答案為：4
考點(diǎn)六、橢圓的焦點(diǎn)弦三角形面積問題
1．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【分析】四邊形是矩形，設(shè)，，由橢圓的定義及勾股定理可求得，則的面積是，又的面積與的面積相等，即可得出答案.
【詳解】據(jù)題意，四邊形是矩形，設(shè)，，
則有，，由此可得，
所以的面積是，
又的面積與的面積相等，所以的面積等于9.
故選：C．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．在中，，且滿足，則橢圓的離心率為 ．
【答案】
【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)對稱性可知四邊形為平行四邊形，即可得到，再由余弦定理及橢圓的定義求出，即可求出，最后由得到關(guān)于的方程，解得即可.
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)對稱性可知四邊形為平行四邊形，
又，所以，
又，
又，，
即，
，
所以，
所以，
即，
所以，解得或．
又因為，所以．
故答案為：
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)P為橢圓C：上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且△PF1F2的重心為點(diǎn)G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為（ ）
A．24 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)條件計算出，可以判斷△PF1F2是直角三角形，即可計算出△PF1F2的面積，由△PF1F2的重心為點(diǎn)G可知△PF1F2的面積是△GPF1的面積的3倍，即可求解.
【詳解】∵P為橢圓C：上一點(diǎn)，，，
，
又，
∴易知△PF1F2是直角三角形，，
∵△PF1F2的重心為點(diǎn)G，∴，
∴△GPF1的面積為8.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形的面積問題，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過垂直于軸的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則（ ）
A．橢圓的離心率 B．的周長為12
C．的面積為 D．為等邊三角形
【答案】ABD
【分析】根據(jù)橢圓方程，求得a，b，c，再逐項求解判斷.
【詳解】因為橢圓：，
所以，
則，故A正確；
的周長為，故B正確；
的面積為，故C錯誤；
，所以為等邊三角形，故D正確；
故選ABD
考點(diǎn)七、雙曲線的焦點(diǎn)弦三角形周長問題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)作一條直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，若，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的周長是 .
【答案】24
【分析】利用雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形的周長即可.
【詳解】由雙曲線定義知：，
所以，，而，
故，故的周長為.
故答案為：24
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點(diǎn)，且，若雙曲線的實(shí)軸長為8，那么的周長是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義分析求解.
【詳解】由題意可知：，即，
所以的周長.
故選：D.
3．（2023·新疆烏魯木齊·三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，若的周長為20，則線段AB的長為 ．
【答案】6
【分析】利用雙曲線的定義，即可求解.
【詳解】,，,
易得雙曲線的實(shí)軸長焦距.
因為都在右支上，則，
的周長,
.
故答案為：6
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周長.
【詳解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴ |AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴ |AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴ △ABF2的周長為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
故選：A.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上過點(diǎn)的弦，且，則的周長是
【答案】28
【分析】本題涉及到雙曲線上的點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，可用定義處理，由定義知①，②，兩式相加再結(jié)合已知即可求解.
【詳解】解：由題意知：，故.
由雙曲線的定義知①，②，
①＋②得：，所以，
所以的周長是.
故答案為：28.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，涉及到雙曲線上的點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，一般用定義處理.
3．（2024·江西南昌·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過作直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若的周長為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由雙曲線的定義可得的周長為，求得，再由過焦點(diǎn)的弦長的最小值，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由雙曲線的定義可得，
兩式相加可得，
則的周長為，即，
再由，可得，解得，
由.
故選：A
考點(diǎn)八、雙曲線的焦點(diǎn)弦三角形面積問題
1．（2023·安徽六安·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【分析】由已知可得四邊形為矩形，從而可得，，由雙曲線的性質(zhì)可求得，從而可得，利用勾股定理及雙曲線的定義可求得，由三角形面積公式即可得解．
【詳解】直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，
則四邊形為矩形，所以，，

由雙曲線可得，，則，
所以，所以，
又，
所以，解得，
所以．
故選：C．
2．（2024·寧夏銀川·一模）已知雙曲線，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，由題意可得，設(shè)，，根據(jù)對稱性可得，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，，整理可得關(guān)于，的齊次方程，再由離心率公式即可求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，
因為以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，
所以，圓心為，半徑為，
根據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形是矩形，設(shè)，，
可知：，，
則，由可得，
所以，所以，所以.
故選：C.
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與C交于A，B兩點(diǎn)，若為正三角形，則C的離心率為 ，的面積為
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義及條件可得，，進(jìn)而即得.
【詳解】∵為正三角形，
設(shè)，則，，又雙曲線，
∴，，離心率，
∴，
故的面積為.
故答案為：；.
2．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，，且的面積為，則的離心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】由題意，結(jié)合圖形的對稱性可得四邊形為矩形，再根據(jù)雙曲線的定義利用勾股定理求解即可.
【詳解】如圖，若在第一象限，因為，所以，
由圖形的對稱性知四邊形為矩形，因為的面積為，所以，
又因為，所以，，
在中，，解得．

故選：B
考點(diǎn)九、拋物線的焦點(diǎn)弦三角形面積問題
1．（全國·高考真題）設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可知：直線AB的方程為，代入拋物線的方程可得： ，設(shè)A、B ，則所求三角形的面積為= ，故選D.
考點(diǎn)：本小題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識，考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力.
2．（2022·山西·高三校聯(lián)考期末）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及由得到的，求出直線的斜率，即可求解三角形的面積.
【詳解】由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題意可知直線的斜率存在且不為0，
因此設(shè)直線的方程為，，
與拋物線的方程聯(lián)立，化簡得，
設(shè)，則
因為，故，
則，解得，
因此.
故選：D.
1．（2023·黑龍江校考期末）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】先求得過F的直線方程為：，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求得，的值，代入面積公式，即可求得答案.
【詳解】因為拋物線C：y2＝4x，所以焦點(diǎn)，所以過F的直線方程為：，
設(shè)，聯(lián)立方程得：，
所以，
所以，
故選：C
【點(diǎn)睛】在處理拋物線問題時，常設(shè)直線的形式，與拋物線聯(lián)立時，可大大簡化計算，提高正確率，屬基礎(chǔ)題.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為4，則下列說法正確的是（ ）
A．弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為
B．直線的傾斜角為30°或150°
C．
D．
【答案】BCD
【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷A；利用面積公式以及斜率與傾斜角的關(guān)系判斷B；利用焦半徑公式判斷C；轉(zhuǎn)化為求解
【詳解】斜率為零時不合題意，所以可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，
消去并整理得，則，，
又，
所以，解得，
所以直線的傾斜角為30°或150°，正確；
，C正確
弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，A錯誤；
，D正確
故選:BCD
一、單選題
1．（2024·山東泰安·二模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過拋物線上點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得，結(jié)合正切定義以及可得，進(jìn)一步即可求解.
【詳解】如圖所示：
設(shè) 為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，
因為，且，所以，
因為，所以，
而在中，，
所以.
故選：A.
2．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直y軸于點(diǎn)N，若，則的面積為（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】確定拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，根據(jù)得到，計算面積得到答案.
【詳解】
因為拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
所以，故，
不妨設(shè)在第一象限，故，
所以.
故選：C.
3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）設(shè)分別是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義結(jié)合余弦定理代入計算，即可得到，從而得到結(jié)果.
【詳解】因為，所以．設(shè)，則．
在中，．
在中，，
所以，整理得，．
于是．
故選：D．
4．（2024·福建三明·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，第一象限的兩點(diǎn)A，B在拋物線上，且滿足.若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則p的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】設(shè)，由可得，結(jié)合弦長以及已知求出，利用，即可求得答案.
【詳解】設(shè)，由得，
即得；
又，解得，
由于A，B在第一象限內(nèi)，故，
則，
而線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則，
故，
故選：B
5．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得拋物線方程.設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得的最小值.
【詳解】由點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，即到準(zhǔn)線的距離為，
故，，拋物線，
設(shè)，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立 化為，
則 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立．
故選：B
6．（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個點(diǎn)P，M，Q，N，若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F，且，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，應(yīng)用拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)，，，，結(jié)合三角的恒等變換的化簡可得，即可求解.
【詳解】由拋物線得，則，，
不妨設(shè)PQ的傾斜角為，
則由，得，，
所以，，
得，，
所以.
故選：B.
7．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，曲線上存在一點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構(gòu)造方程求解即可.
【詳解】如圖所示，為等腰直角三角形，且，
運(yùn)用勾股定理，知道根據(jù)．由雙曲線定義，知道，
即，解得，故離心率為：.
故選：C.
8．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，可得，，根據(jù)直角三角形三角比可得，再利用勾股定理列式求解.
【詳解】設(shè)，則，，
因為，則，
即，整理可得，則，
又因為，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
9．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓的定義及三角形中位線的性質(zhì)求出、，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面積公式計算可得.
【詳解】由題意可得．
如圖，因為分別是和的中點(diǎn)，所以，
根據(jù)橢圓定義，可得，又因為，
所以，
所以，
故的面積為．
故選：A．
10．（2024·新疆·二模）設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最大值為( )
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓定義可知周長為定值4a，從而可得當(dāng)最小時，最大，再根據(jù)橢圓焦點(diǎn)弦最小為通徑即可求解．
【詳解】由橢圓的定義知
∴的周長為，
∴當(dāng)最小時，最大．
當(dāng)軸，即AB為通徑時，最小，此時，
∴的最大值為．
故選：B．
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的周長為，若的面積是的面積的2倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)四邊形的周長結(jié)合橢圓的定義求出，聯(lián)立方程，根據(jù)直線與橢圓相交求出的范圍，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式分別求出點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)即可得解.
【詳解】因為四邊形的周長為，所以，所以，
聯(lián)立消去整理得，，解得，
又，所以，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，
易知，，
則，，
所以，解得或（舍）.
故選：C．
12．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，直線交橢圓于點(diǎn)，，若的周長的最大值為16，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用橢圓的定義求出的周長的最大值可得的值，根據(jù)橢圓方程即可求離心率.
【詳解】依題意，的周長等于
，而，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，
則，
因此當(dāng)直線過點(diǎn)時，的周長取得最大值，即，解得，
所以的離心率，
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率的方法：①直接利用公式；②利用變形公式；
③根據(jù)條件列出關(guān)于 的齊次式，兩邊同時除以，化為關(guān)于離心率的方程即可求解.
13．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)和上頂點(diǎn)A的直線交于另外一點(diǎn)，若，且的面積為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．3 B． C．3或7 D．或7
【答案】D
【分析】設(shè)，利用余弦定理分析可得，再結(jié)合面積關(guān)系可得或，分別代入分析即可.
【詳解】由題意可知：，
因為，則，，，
設(shè)，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
又因為，則，
解得，可得或，
若，則，解得，符合題意；
若，則，解得，符合題意；
綜上所述：實(shí)數(shù)的值為或7.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．
14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為3，過的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．當(dāng)時，的值為（ ）
A． B． C． D．8
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合已知條件，求得拋物線方程；再設(shè)出直線斜率和方程，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合三角形面積，從而求得直線方程，進(jìn)而由韋達(dá)定理求得結(jié)果.
【詳解】因為拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為3，
所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由拋物線的方程可知，焦點(diǎn)，根據(jù)題意可知直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線，，．
由消去整理得，，
所以，．又，
所以，解得，
則，，
則．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)三角形面積，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線斜率，同時要注意熟練掌握拋物線焦半徑公式，屬綜合中檔題.
15．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為C上兩個動點(diǎn)，且，面積的最大值為，過O作直線MN的垂線，垂足為H，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】依題意當(dāng)在橢圓短軸的頂點(diǎn)時面積取得最大值，即可求出橢圓方程，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由，可得，及，從而得到，從而得到，在根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算可得.
【詳解】依題意當(dāng)在橢圓短軸的頂點(diǎn)時面積取得最大值，又，
所以，解得，所以，則橢圓方程為，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，，，
由，消去整理得，
在的條件下，可知，，
又，所以，即，
即，即，
所以，
所以，所以，
當(dāng)直線的斜率不存在時，則為與軸的交點(diǎn)，
又，根據(jù)對稱性可知，
設(shè)，則（或），
所以，則，所以，
又，，所以，，
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
二、多選題
16．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn).若，.則（ ）
A．的周長為 B．
C．的斜率為 D．橢圓的離心率為
【答案】ABD
【分析】利用橢圓的定義可得的周長，可判斷A選項；設(shè)，由得，而可得，設(shè)，得，進(jìn)而由橢圓的定義可得, ，從而可判斷B選項；在中用正弦定理可得，進(jìn)而求可得直線的斜率，可判斷C選項；計算離心率可判斷D選項.
【詳解】對于A：過的直線與交于，兩點(diǎn)且，，
連接，的平分線交于點(diǎn)，如圖所示：
則的周長等于
故A正確；
對于B：設(shè)，，
則，
而.
設(shè)，則，
于是，即.
由，得,
又，得，
所以，故B正確；
對于C：在，由余弦定理可得：，
則，即.
在中，，又是中點(diǎn)，
所以，則，
于是，
所以的斜率為點(diǎn)在軸上方時，在軸下方時，故C錯誤；
對于D：，故D正確.
故選：ABD.
17．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，且與在第四象限交于點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)分別為，則（ ）
A．離心率為 B．的周長為
C．以為直徑的圓過點(diǎn) D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)題設(shè)可求基本量，從而可判斷A的正誤，結(jié)合橢圓的定義可判斷B的正誤，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的特征可判斷C的正誤，求出的坐標(biāo)后利用弦長公式可求判斷D的正誤.
【詳解】不妨設(shè)為上頂點(diǎn)，如圖，
對于A，直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以，
則，所以離心率為，故A錯誤；
對于B，由橢圓的定義知可知，的周長為，B正確；
對于C，由A中分析可得，所以，
所以，則以為直徑的圓過點(diǎn)，C正確；
對于D，由A中分析可知的方程為，
由解得或，則，
所以，D錯誤．
故選：BC.
18．（23-24高三上·河南·期中）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為B，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．橢圓的長軸長是短軸長的倍 B．線段的長度為
C．橢圓的離心率為 D．的周長為
【答案】BC
【分析】由向量共線定理求得B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得a，b的關(guān)系，可判斷A；由的坐標(biāo)可判斷B；由橢圓的離心率公式可判斷C；由橢圓的定義可判斷D．
【詳解】
由，可設(shè)，又，
可得，解得，即，
將的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得，
化為，即，故A錯誤；
，故B正確;
橢圓的離心率，故C正確;
的周長為，故D錯誤.
故選：BC.
19．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．為定值 B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上
C．為定值 D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）
【答案】BC
【分析】分析可知，，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷A選項；求出線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可判斷B選項；利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可判斷C選項；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D選項.
【詳解】若，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，
不合乎題意，則，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，
對于A選項，不一定是定值，A錯；
對于B選項，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
為定值，故線段的中點(diǎn)在定直線上，B對；
對于C選項，為定值，C對；
對于D選項，不一定為定值，D錯.
故選：BC.
20．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限），則下列說法中正確的是（ ）
A．雙曲線C的虛軸長為 B．
C．的周長的最小值為16 D．當(dāng)時，的內(nèi)切圓面積為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)雙曲線的虛軸定義及b判斷A,根據(jù)漸近線斜率及傾斜角判斷進(jìn)而判斷B,聯(lián)立方程組得出弦長最小值為通徑，結(jié)合定義得出周長最小值判斷C, 根據(jù)的周長及面積計算的內(nèi)切圓半徑為r判斷D.
【詳解】
對于A:因為，所以虛軸長為，A錯誤；
對于B:因為雙曲線漸近線方程為，傾斜角為，
過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn),得出B正確；
對于C: 的周長為,
結(jié)合雙曲線的定義，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，
當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，則
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為
聯(lián)立，消去，得，
又，故或,
而
，
所以當(dāng)直線與x軸垂直時，的長最小，即最小值為，的周長最小值為，故C正確；
對于D: 當(dāng)時, 設(shè)直線的方程為
聯(lián)立，消去，得，
，當(dāng)時,A點(diǎn)坐標(biāo) ，
，
的周長，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得，
因此的內(nèi)切圓面積為，D正確.
故選：BCD.
21．（2024·黑龍江·二模）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若過且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（ ）
A．的離心率為 B．
C．點(diǎn)到直線的距離為 D．的周長為8
【答案】ABD
【分析】對A：由橢圓方程判斷；對B：由為等邊三角形計算；對C：利用點(diǎn)到直線的距離判斷；對D：利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱求解.
【詳解】對A： 由題知，，所以離心率，A正確；
對B：，所以為等邊三角形，，B正確；
對C：因為直線的方程為，
所以點(diǎn)到直線的距離，錯誤；
對D：由題知直線為的角平分線，則點(diǎn)關(guān)于直線對稱，
所以的周長8，即的周長為正確.
故選：ABD
22．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)已知求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，利用向量數(shù)量積公式可判定B，三角形面積公式可判定C，根據(jù)等面積法可判定D.
【詳解】法1：由題意得，，則，．
由對稱性可設(shè)（，），，，，
由，解得，又，，
所以，，
所以．
由橢圓的定義得，
在中，由余弦定理，得，
即，
解得，故A正確；
，故B錯誤；
的面積為，故C正確；
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，
即，解得，故D正確．
故選：ACD．
法2：設(shè)，，．易知，，
由極化恒等式，得，故B錯誤；
由中線長定理得，由橢圓定義得，
所以，所以，
所以，故A正確；
由，得，所以，故C正確；
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，
即，解得，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題
23．（2024·上海長寧·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由拋物線定義以及三角函數(shù)可用含的橫坐標(biāo)的式子表示，注意到，由此即可列方程求解.
【詳解】如圖所示：
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
顯然拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
由拋物線定義有，結(jié)合得，
而，
所以.
故答案為：.
24．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的負(fù)半軸交于C點(diǎn)，已知，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)面積之比求得，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而求得，再根據(jù)焦半徑公式即可求得結(jié)果.
【詳解】由，可得，所以①，且，
又可設(shè)直線AB的方程為：，與拋物線聯(lián)立得：，，，，
故，從而②，
結(jié)合①②可得，從而．
故答案為：.
25．（24-25高三上·河北·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，，則 ．
【答案】/
【分析】設(shè)，，根據(jù)拋物的定義表示出，，再根據(jù)三角形相似得到，即可求出.
【詳解】設(shè)，，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
因為，，根據(jù)拋物線的定義可得，，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，所以，
所以，即，解得．
故答案為：．
26．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線C: 的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且，則面積為 .
【答案】3
【分析】利用雙曲線定理結(jié)合勾股定理求出的長，再利用三角形面積公式即可.
【詳解】由題意得雙曲線中，，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)，
根據(jù)雙曲線對稱性，不妨假設(shè)點(diǎn)在第一象限，
設(shè)，其中，
因為，則，
根據(jù)勾股定理知，
即，解得（負(fù)舍），
則，則面積為.
故答案為：3.
27．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，如果，則的面積為 ．
【答案】16
【分析】根據(jù)題意求出a,b,c,由及雙曲線的定義求出，再利用三角形面積公式求解即可.
【詳解】由題意得,所以,
不妨設(shè),
根據(jù)雙曲線定義可得①，
又,
所以②，
聯(lián)立①②解得,
所以的面積.
故答案為：16.
28．（2024·廣東珠海·一模）已知點(diǎn)P在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若的面積為45，則 ．
【答案】25
【分析】設(shè)P在雙曲線右支上，由雙曲線定義得到，由余弦定理和面積公式，得到，進(jìn)而得到，從而求出，求出答案.
【詳解】設(shè)P在雙曲線右支上，則，
由余弦定理得
，
所以，
又
所以，解得，結(jié)合，
則，
，
又，
故，
故.
故答案為：25
29．（2024·河南·二模）拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為 ， .
【答案】
【分析】設(shè)，可得,．設(shè),，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得，利用，解得，即可得出結(jié)論．
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，則，，
當(dāng)位于第一象限時，,．
是等邊三角形，，
設(shè),，
則，
，
化簡得，解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
此時,而為軸正半軸上一點(diǎn)，無法使得為等邊三角形，故舍去，
當(dāng)位于第四象限時，,．
是等邊三角形，，
設(shè),，
則，
，
化簡得，解得，
當(dāng)時，，
此時,而為軸正半軸上一點(diǎn)，無法使得為等邊三角形，故舍去，
，
當(dāng)時，，，
綜上可得，直線的斜率為，或
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法
涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．
30．（2024·山西晉城·二模）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，若的面積為，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)橢圓定義利用面積公式和余弦定理解得，進(jìn)而可知為等邊三角形，結(jié)合橢圓性質(zhì)分析求解.
【詳解】設(shè)，，，則，
在中，可知，
即，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
則，解得或，
又因為，則，可得，可知，
又因為，可知為等邊三角形，
即，結(jié)合對稱性可知軸，
則，，所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題意可知，利用解三角形知識分析可得，結(jié)合橢圓的定義和性質(zhì)分析求解.
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；
方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．
【詳解】方法一：因為，所以，
從而，所以．
故選：B.
方法二：
因為，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．
【詳解】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．
3．（上海·高考真題）已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則= .
【答案】3
【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則.由橢圓定義知，
由題意知，，則，
則，
即，所以.
4．（全國·高考真題）設(shè)，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，則的面積為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，即得.
【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，，，，，的面積為.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.
5．（全國·高考真題）已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【詳解】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應(yīng)用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．
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