資源簡介

圓錐曲線的弦長問題萬能公式（硬解定理）（高階拓展、競賽適用）
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第16題,15分 求弦長 求橢圓的離心率 根據橢圓過的點求標準方程 橢圓中三角形(四邊形)的面積 根據韋達走理求參數
2023年新I卷，第22題,12分 求直線與拋物線相交所得弦的弦長 拋物線標準方程 由導數求函數的最值 (不含參) 基本(均值)不等式的應用 求平面軌跡方程
2022年新I卷，第11題,5分 求直線與拋物線相交所得弦的弦長 根據拋物線方程求焦點或準線 判斷直線與拋物線的位置關系
2021年新Ⅱ卷，第20題,12分 求橢圓中的弦長 根據離心率求橢圓的標準方程 根據弦長求參數 橢圓中的直線過定點問題
2020年新I卷，第13題,5分 求拋物線焦點弦長 無
2020年新Ⅱ卷，第14題,5分 求拋物線焦點弦長 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的?？純热?，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的弦長公式及其相關計算
2.理解、掌握圓錐曲線的弦長萬能公式（硬解定理）及其相關計算
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習
知識講解
弦長公式
若直線與圓雉曲線相交于兩點，則弦長
圓錐曲線弦長萬能公式（硬解定理）
設直線方程為: (特殊情況要對 進行討論),
圓錐曲線的方程為: , 把直線方程代入曲線方程,
可化為 ,
設直線和曲線的兩交點為 , 求根公式為
(1) 若消去 y, 得
則弦長公式為:
(2) 若消去
則弦長公式為:
考點一、橢圓中的弦長問題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知A，B是橢圓與直線的交點，求線段AB的長度.
2．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）已知點為橢圓上不同兩點，點為橢圓的一個焦點.
(1)求橢圓的標準方程和離心率；
(2)若的面積，求直線的方程.
3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知橢圓的左、右頂點分別是，點在上，且的面積．
(1)求的標準方程；
(2)過點作直線與交于另一點，求直線的斜率．
4．（2021·全國·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F三點共線的充要條件是．
1．（2023·全國·模擬預測）直線與橢圓交于兩點，長軸的右頂點為點，則的面積為 .
2．（24-25高三上·浙江·開學考試）已知橢圓的上頂點，點在橢圓上，斜率為的直線過點交橢圓于另一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)當的面積是時，求.
3．（2024·河南·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，且的面積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若傾斜角為的直線l與C相交于兩個不同的點，求的最大值．
4．（2024·河北衡水·一模）已知橢圓過和兩點.分別為橢圓的左 右焦點，為橢圓上的點（不在軸上），過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求的范圍.
考點二、雙曲線中的弦長問題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知是雙曲線與直線的交點，求線段的長度.
2．（2024·山東·二模）已知雙曲線的中心為坐標原點，點在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若過點的直線與雙曲線交于，兩點，的面積為，求直線的方程.
3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）過雙曲線右焦點的直線與的左 右支分別交于點，與圓：交于（異于）兩點.
(1)求直線斜率的取值范圍；
(2)求的取值范圍.
1．（22-23高二上·四川涼山·期末）已知雙曲線的實軸長為2，右焦點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，求.
2．（2024·海南·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.
3．（2023·河南·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，且當l垂直于x軸時，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4.
(1)求C的方程；
(2)證明：，求.
考點三、物線中的弦長問題
1．（2022·全國·高考真題）（多選）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求；
(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．
3．（2023·全國·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
1．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知直線l：與拋物線C：交于P、Q兩點，O為坐標原點，則三角形OPQ的面積等于 ．
2．（2024·廣東江門·二模）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為2的直線與交于A，B兩點，且．
(1)求的方程；
(2)過點作軸的平行線是動點，且異于點，過點作AP的平行線交于，兩點，證明：．
3．（2024·內蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點的縱坐標為4，點到焦點的距離為5，過點做兩條互相垂直的弦、．
(1)求拋物線的方程．
(2)求的最小值．
一、單選題
1．（23-24高二上·天津河西·期末）過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三·全國·專題練習）設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則（ ）
A． B．8 C．12 D．
二、填空題
3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直線與橢圓交于兩點，則 .
4．（23-24高二下·上海·期中）已知點、分別橢圓的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為 .
5．（24-25高三上·云南·階段練習）動圓經過原點，且與直線相切，記圓心的軌跡為，直線與交于兩點，則 .
三、解答題
6．（23-24高二上·四川成都·階段練習）已知橢圓左焦點的、右頂點，過且斜率為的直線l與橢圓交于兩點，求的面積.
7．（21-22高二上·河北保定·期中）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)若直線和曲線C相交于E，F兩點，求.
8．（2023·新疆喀什·模擬預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.
(1)求C的標準方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.
9．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知橢圓C：的焦距為，離心率為.
(1)求C的標準方程；
(2)若，直線l：交橢圓C于E，F兩點，且的面積為，求t的值.
10．（2023·四川綿陽·模擬預測）設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)平面上點B滿足，過與平行的直線交于兩點，若，求橢圓的方程.
一、單選題
1．（2024·北京·模擬預測）已知雙曲線的兩個焦點分別為，過的直線與雙曲線的同一支交于，兩點，且，則線段的長度為（ ）
A． B．9 C． D．6
2．（24-25高三上·河南·開學考試）已知是雙曲線的左焦點，過點的直線與交于兩點（點在的同一支上），且，則（ ）
A．6 B．8 C． D．
3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，圓.若過的直線分別交的左、右兩支于A，B兩點，且圓與相切，的離心率為到的漸近線的距離為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·安徽·開學考試）已知為坐標原點，拋物線的焦點為F，，過點M的直線l與C交于A，B兩點，且，直線BN與C的另一個交點為P，若直線AN與PM的斜率滿足，則 （ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線的焦點為為上的兩點．若直線的斜率為，且，延長分別交于兩點，則四邊形的面積為 ．
三、解答題
6．（23-24高二下·湖南·期末）已知橢圓過點，且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線過點，且與交于兩點，當最大時，求直線的方程.
7．（2024高三·全國·專題練習）已知直線：交橢圓：于A，B兩點，為橢圓上一點．
(1)證明；
(2)求的最大值．
8．（24-25高三上·河北張家口·開學考試）已知和為橢圓上的兩點.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設直線與橢圓交于兩點，求的取值范圍.
9．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）分別過橢圓的左、右焦點作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點．
(1)當P為C的上頂點時，求直線PQ的斜率；
(2)求四邊形的面積的最大值．
10．（24-25高三上·浙江·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且直線與的斜率之積為．
(1)求C的方程；
(2)直線與C交于M，N兩點，與y軸交于點A，與x軸交于點B．
（?。┤鬉，B恰為弦MN的兩個三等分點，求直線l的方程；
（ⅱ）若點B與點重合，線段MN的垂直平分線與x軸交于點Q，求的值．
1．（2022·北京·高考真題）已知橢圓的一個頂點為，焦距為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．
2．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：
①M在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
3．（2021·全國·高考真題）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)圓錐曲線的弦長問題萬能公式（硬解定理）（高階拓展、競賽適用）
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第16題,15分 求弦長 求橢圓的離心率 根據橢圓過的點求標準方程 橢圓中三角形(四邊形)的面積 根據韋達走理求參數
2023年新I卷，第22題,12分 求直線與拋物線相交所得弦的弦長 拋物線標準方程 由導數求函數的最值 (不含參) 基本(均值)不等式的應用 求平面軌跡方程
2022年新I卷，第11題,5分 求直線與拋物線相交所得弦的弦長 根據拋物線方程求焦點或準線 判斷直線與拋物線的位置關系
2021年新Ⅱ卷，第20題,12分 求橢圓中的弦長 根據離心率求橢圓的標準方程 根據弦長求參數 橢圓中的直線過定點問題
2020年新I卷，第13題,5分 求拋物線焦點弦長 無
2020年新Ⅱ卷，第14題,5分 求拋物線焦點弦長 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的弦長公式及其相關計算
2.理解、掌握圓錐曲線的弦長萬能公式（硬解定理）及其相關計算
【命題預測】本節內容是新高考卷的?？純热荩☆}和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習
知識講解
弦長公式
若直線與圓雉曲線相交于兩點，則弦長
圓錐曲線弦長萬能公式（硬解定理）
設直線方程為: (特殊情況要對 進行討論),
圓錐曲線的方程為: , 把直線方程代入曲線方程,
可化為 ,
設直線和曲線的兩交點為 , 求根公式為
(1) 若消去 y, 得
則弦長公式為:
(2) 若消去
則弦長公式為:
考點一、橢圓中的弦長問題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知A，B是橢圓與直線的交點，求線段AB的長度.
【答案】
【分析】
先設出兩點坐標，再聯立方程，根據韋達定理及弦長公式計算結果即可.
【詳解】
解：設點A的坐標為，點B的坐標為，
聯立，可得，
由題知是上式方程的根，由韋達定理可得，
所以
，
所以.
2．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）已知點為橢圓上不同兩點，點為橢圓的一個焦點.
(1)求橢圓的標準方程和離心率；
(2)若的面積，求直線的方程.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根據橢圓上點坐標以及焦點坐標解方程可得橢圓的標準方程，由離心率定義計算可得離心率；
（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，聯立直線以及橢圓方程并求得弦長,再由面積即可得出直線的方程.
【詳解】（1）由在橢圓上可得，
解得，
又可得，因此，即
所以橢圓的標準方程為,
其離心率為.
（2）根據題意可知，若直線的斜率不存在，則，如下圖所示：
此時，的面積為，滿足題意；
可得此時直線的方程為；
若直線的斜率存在，設直線的方程為，如下圖所示：
聯立，消去并整理可得，
解得或，又，所以
此時，
點到直線的距離為，
所以的面積為，
解得，
所以直線的方程為；
綜上可知，直線的方程為或
3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知橢圓的左、右頂點分別是，點在上，且的面積．
(1)求的標準方程；
(2)過點作直線與交于另一點，求直線的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的面積結合可先列方程求出，進一步將點坐標代入橢圓方程可得的值，由此即可得解.
（2）設，聯立橢圓方程，結合韋達定理、弦長公式以及即可列方程求出，由此即可得解.
【詳解】（1）依題意可得．
．
將點的坐標代入的方程，得，解得．
所以的標準方程為．
（2）
依題意得直線存在斜率，設．
代入的方程得，即，
所以，且，
解得，
，
解得，即．
4．（2021·全國·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F三點共線的充要條件是．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由離心率公式可得，進而可得，即可得解；
（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯立直線與橢圓方程可證；
充分性：設直線，由直線與圓相切得，聯立直線與橢圓方程結合弦長公式可得，進而可得，即可得解.
【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；
（2）由（1）得，曲線為，
當直線的斜率不存在時，直線，不合題意；
當直線的斜率存在時，設，
必要性：
若M，N，F三點共線，可設直線即，
由直線與曲線相切可得，解得，
聯立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：設直線即，
由直線與曲線相切可得，所以，
聯立可得，
所以，
所以
，
化簡得，所以，
所以或，所以直線或，
所以直線過點，M，N，F三點共線，充分性成立；
所以M，N，F三點共線的充要條件是．
【點睛】關鍵點點睛：
解決本題的關鍵是直線方程與橢圓方程聯立及韋達定理的應用，注意運算的準確性是解題的重中之重.
1．（2023·全國·模擬預測）直線與橢圓交于兩點，長軸的右頂點為點，則的面積為 .
【答案】
【分析】根據弦長公式以及點到直線的距離即可結合三角形面積公式進行求解.
【詳解】直線與橢圓聯立得.
設點，則.所以.
由橢圓知點，故點到直線的距離：，
所以的面積為.
故答案為:.
2．（24-25高三上·浙江·開學考試）已知橢圓的上頂點，點在橢圓上，斜率為的直線過點交橢圓于另一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)當的面積是時，求.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據橢圓上頂點的坐標得到的值，由在橢圓上，代入橢圓方程求出的值；
（2）聯立直線和橢圓的方程得到點的橫坐標，由弦長公式得到，由點到直線的距離公式得到點到的距離，從而用表示出的面積，由面積為，解出的值.
【詳解】（1）因為橢圓的上頂點為，所以，
則橢圓方程為，
因為在橢圓上，所以，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）
設直線的方程為，，
聯立消去并整理得，
由，得，
則，
到直線的距離，
則，
解得或.
3．（2024·河南·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，且的面積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若傾斜角為的直線l與C相交于兩個不同的點，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助橢圓上的點的坐標，的面積與計算即可得；
（2）設出直線方程，聯立曲線，借助韋達定理與弦長公式計算即可得.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故橢圓的標準方程為；
（2），故可設，，，
聯立，消去可得，
，即，
，，
則
，
則當時，有最大值，且其最大值為.
4．（2024·河北衡水·一模）已知橢圓過和兩點.分別為橢圓的左 右焦點，為橢圓上的點（不在軸上），過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求的范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將點代入橢圓方程，即可求出橢圓C的標準方程；
（2）分類討論直線斜率是否為0，從而假設直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理與弦長公式得到關于的關系式，再分析即可得解；
【詳解】（1）由題意可知，將點代入橢圓方程，
得，解得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由（1）知，，
當直線l的斜率為0時，，
當直線l的斜率不為0時，設直線的方程為，，，
聯立，消去，得，
易得，則，
所以
，
因為，所以，所以，所以，
綜上，，即的范圍是.
考點二、雙曲線中的弦長問題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知是雙曲線與直線的交點，求線段的長度.
【答案】30
【分析】
聯立直線方程和雙曲線方程后利用弦長公式可求線段的長度.
【詳解】
設點的坐標為，點的坐標為．
因為是雙曲線與直線的交點，
所以點的坐標滿足，所以，
此時，由韋達定理可得
因為
，
所以，
2．（2024·山東·二模）已知雙曲線的中心為坐標原點，點在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若過點的直線與雙曲線交于，兩點，的面積為，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）設所求雙曲線方程為，，把點代入，即可得出答案．
（2）根據題意設直線的方程為，聯立直線與雙曲線的方程，分別用點到直線的距離公式，弦長公式，三角形面積公式，建立方程，即可得出答案．
【詳解】（1）因為雙曲線的兩條漸近線互相垂直，
所以雙曲線為等軸雙曲線，
所以設所求雙曲線方程為，，
又雙曲線經過點，
所以，即，
所以雙曲線的方程為，即．
（2）根據題意可知直線的斜率存在，又直線過點，
所以直線的方程為，
所以原點到直線的距離，
聯立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面積為，
所以，解得，所以，
所以直線的方程為或．
3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）過雙曲線右焦點的直線與的左 右支分別交于點，與圓：交于（異于）兩點.
(1)求直線斜率的取值范圍；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，直線的方程為，與橢圓聯立消x得，利用韋達定理結合已知列不等式，根據直線與圓的位置關系列不等式求解m范圍，即可得解.
（2）利用弦長公式求解，利用垂徑定理求得，從而求得的表達式，然后設，利用二次函數性質求解范圍即可.
【詳解】（1）設，由題意可得直線的斜率存在且不為零，
設直線的方程為，
與聯立得，
所以，
又兩點在軸同一側，所以.此時，即.
圓的方程為，點到直線的距離，
由得，由得，所以或
因為直線的斜率，所以直線斜率的取值范圍是.
（2）由（1）可得
.
，
所以
設，則，
所以的取值范圍是.

1．（22-23高二上·四川涼山·期末）已知雙曲線的實軸長為2，右焦點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據實軸長可求，根據焦點坐標可求，然后可得方程；
（2）聯立直線與雙曲線的方程，利用韋達定理和弦長公式可求答案.
【詳解】（1）由已知，，
又，則，
所以雙曲線方程為.
（2）由，得，
則，
設，，則，，
所以.
2．（2024·海南·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將點代入雙曲線方程即可求解；
（2）寫出直線方程，與雙曲線方程聯立，由弦長公式可得結果.
【詳解】（1）因為雙曲線的實軸長為，所以，解得：；
又因為點在雙曲線上，所以，解得：，
所以雙曲線的標準方程為：
（2）設，
由題可得過點且斜率為的直線方程為：，即，
聯立，消去可得：，
所以，，
所以
3．（2023·河南·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，且當l垂直于x軸時，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4.
(1)求C的方程；
(2)證明：，求.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）根據題意，表示出兩交點的坐標，然后結合三角形的面積公式，代入計算，即可得到結果；
（2）當直線的斜率存在時，設l的方程為，聯立直線與雙曲線的方程，結合韋達定理，再由弦長公式，即可得到結果；
【詳解】（1）根據題意有，C的漸近線方程為，
將代入兩個漸近線方程得到交點坐標為，，
l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為，
所以，C的方程為.
（2）
設，，其中，，
由（1）可知，，
當軸時，顯然MN與不垂直.
當l不垂直于x軸時，設l的方程為時，代入C的方程有：
，故，，
，，
當時有：①，
由得到，代入，
整理有②，
由①，②可得.
所以.
考點三、物線中的弦長問題
1．（2022·全國·高考真題）（多選）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.
【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；
，所以直線的方程為，
聯立，可得，解得，故B正確；
設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，
所以，直線的斜率存在，設其方程為，，
聯立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因為，，
所以，而，故D正確.
故選：BCD
2．（2023·全國·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求；
(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關系，聯立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；
（2）設直線：，利用，找到的關系，以及的面積表達式，再結合函數的性質即可求出其最小值．
【詳解】（1）設，
由可得，，所以，
所以，
即，因為，解得：．
（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，
設直線：，，
由可得，，所以，，
，
因為，所以，
即，
亦即，
將代入得，
，，
所以，且，解得或．
設點到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
而或，所以，
當時，的面積．
【點睛】本題解題關鍵是根據向量的數量積為零找到的關系，一是為了減元，二是通過相互的制約關系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.
3．（2023·全國·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）設，根據題意列出方程，化簡即可；
（2）法一：設矩形的三個頂點，且，分別令，，且，利用放縮法得，設函數，利用導數求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.
法二：設直線的方程為，將其與拋物線方程聯立，再利用弦長公式和放縮法得，利用換元法和求導即可求出周長最值，再排除邊界值即可.
法三：利用平移坐標系法，再設點，利用三角換元再對角度分類討論，結合基本不等式即可證明.
【詳解】（1）設,則，兩邊同平方化簡得，
故.
（2）法一：設矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，
同理令，且，則，
設矩形周長為,由對稱性不妨設，，
則，易知
則令,
令，解得，
當時，，此時單調遞減，
當，，此時單調遞增，
則，
故,即.
當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,
得證.
法二：不妨設在上，且，

依題意可設，易知直線，的斜率均存在且不為0，
則設,的斜率分別為和，由對稱性，不妨設，
直線的方程為，
則聯立得，
，則
則，
同理，
令，則，設，
則，令，解得，
當時，，此時單調遞減，
當，，此時單調遞增，
則，
，
但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.
法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動個單位得拋物線,
矩形變換為矩形,則問題等價于矩形的周長大于.
設 , 根據對稱性不妨設 .
則 , 由于 , 則 .
由于 , 且 介于 之間,
則 . 令 ,
,則,從而
故
①當時,
②當 時,由于,從而,
從而又,
故,由此
，
當且僅當時等號成立，故，故矩形周長大于.
.
【點睛】關鍵點睛：本題的第二個的關鍵是通過放縮得，同時為了簡便運算，對右邊的式子平方后再設新函數求導，最后再排除邊界值即可.
1．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知直線l：與拋物線C：交于P、Q兩點，O為坐標原點，則三角形OPQ的面積等于 ．
【答案】
【分析】利用方程思想，結合韋達定理，來求出弦長，再利用點到直線的距離公式計算，從而即可求面積.
【詳解】

由直線與拋物線，聯立方程組消元得：
即，設交點
則有，
由弦長公式可得：，
再由點到直線的距離公式得：，
所以三角形面積為：，
故答案為：12.
2．（2024·廣東江門·二模）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為2的直線與交于A，B兩點，且．
(1)求的方程；
(2)過點作軸的平行線是動點，且異于點，過點作AP的平行線交于，兩點，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據條件，得到直線方程為，設，聯立拋物線方程，根據拋物線的弦長求得，即得答案；
（2）設直線MN的方程為，聯立拋物線方程，根據拋物線的弦長求得，由，所以，由（1）可知，計算即可證得結論.
【詳解】（1）設．
因為點的坐標為，所以，
由得，
則，
從而
得，所以的方程為．
（2）證明：因為點的坐標為，直線MN的斜率不為0，所以設直線MN的方程為．
設，由可得，
則
所以．
由（1）可知，
因為點A，P的縱坐標分別為，且，所以
可得，即．
3．（2024·內蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點的縱坐標為4，點到焦點的距離為5，過點做兩條互相垂直的弦、．
(1)求拋物線的方程．
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）首先得到拋物線的焦點坐標與準線方程，依題意根據拋物線的定義得到，解得即可；
（2）設直線方程為，且，，聯立直線與拋物線方程，表示出弦長，同理得到，再由基本不等式計算可得.
【詳解】（1）拋物線的焦點為，準線方程為，
由題可知，
解得或（舍），
所以，拋物線的方程為．
（2）依題意直線的斜率存在且不為，
設直線方程為，且，，
聯立，可得，顯然，
所以，，
則
．
同理，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最小值為16．
一、單選題
1．（23-24高二上·天津河西·期末）過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】確定直線的方程，代入雙曲線方程，求出，的坐標，即可求線段的長．
【詳解】由雙曲線的方程得，，直線的方程為①
將其代入雙曲線方程消去得，，解之得，．
將，代入①，得，，
故．
故選：C．
2．（2022高三·全國·專題練習）設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則（ ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【分析】由題意得出焦點坐標，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯立，由拋物線過焦點的弦長公式可得出答案.
【詳解】依題意可知拋物線焦點為，直線AB的方程為，
代入拋物線方程得，可得，
根據拋物線的定義可知直線AB的長為．
故選：B．
二、填空題
3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直線與橢圓交于兩點，則 .
【答案】/
【分析】聯立直線和橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式求出答案.
【詳解】聯立與，得，
設，
則，
故.
故答案為：
4．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎c、分別橢圓的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為 .
【答案】/
【分析】首先得到右焦點坐標，即可得到直線的方程，聯立直線與橢圓方程，求出交點坐標，再由兩點間的距離公式計算可得.
【詳解】橢圓的右焦點，
因為直線的傾斜角為且過點，
所以直線，設，，
聯立，消去得，
所以，，
所以，，
所以，，
所以.
故答案為：
5．（24-25高三上·云南·階段練習）動圓經過原點，且與直線相切，記圓心的軌跡為，直線與交于兩點，則 .
【答案】6
【分析】設點，由題意得到，化簡得圓心的軌跡方程為，將其與直線聯立，寫出韋達定理，利用弦長公式計算即得.
【詳解】
如圖，設動圓的圓心，由題意得，
兩邊取平方，，化簡得，故圓心的軌跡方程為.
聯立方程，消去整理得，
設，則，
故.
故答案為：6.
三、解答題
6．（23-24高二上·四川成都·階段練習）已知橢圓左焦點的、右頂點，過且斜率為的直線l與橢圓交于兩點，求的面積.
【答案】
【分析】畫出圖形并根據標準方程寫出，聯立直線和橢圓方程并利用弦長公式和點到直線距離公式即可求出的面積為.
【詳解】如下圖所示：
易知，直線的方程為，
設，
聯立直線與橢圓方程，消去可得，
由勾股定理可得，
可得，
點到直線的距離為，
所以的面積為.
即的面積為.
7．（21-22高二上·河北保定·期中）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)若直線和曲線C相交于E，F兩點，求.
【答案】(1)，曲線是一個雙曲線，除去左右頂點
(2)
【分析】（1）設，則的斜率分別為，，根據題意列出方程，化簡后即得C的方程，根據方程可以判定曲線類型，注意特殊點的去除；
（2）聯立方程，利用韋達定理和弦長公式計算可得.
【詳解】（1）解：設，則的斜率分別為，，
由已知得，
化簡得，
即曲線C的方程為，
曲線是一個雙曲線，除去左右頂點.
（2）解：聯立消去整理得，
設，，則，
.
8．（2023·新疆喀什·模擬預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.
(1)求C的標準方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.
【答案】(1)=1
(2)3
【分析】（1）根據雙曲線的準線方程公式，結合雙曲線的離心率公式進行求解即可.
（2）根據題意設出直線l的方程與雙曲線方程聯立，利用一元二次方程根與系數關系、雙曲線弦長公式進行求解即可.
【詳解】（1）因為直線l經過C的右焦點，
所以該雙曲線的焦點在橫軸上，
因為雙曲線C兩條準線之間的距離為1，
所以有，
又因為離心率為2，
所以有代入中，可得，
∴C的標準方程為：；
（2）
由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，
所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關于y軸對稱，
所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.
又因為直線斜率的絕對值小于漸近線斜率的絕對值，
所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設直線l的斜率為，
方程為與雙曲線方程聯立為：
，
設，則有，
9．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知橢圓C：的焦距為，離心率為.
(1)求C的標準方程；
(2)若，直線l：交橢圓C于E，F兩點，且的面積為，求t的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意得到，，即可得到答案.
（2）首先設，，根據直線與橢圓聯立，結合根系關系得到，設直線l與x軸的交點為，再根據求解即可.
【詳解】（1）由題意得，，，
又，則，
則，
所以C的標準方程為.
（2）由題意設，，如圖所示：
聯立，
整理得， ，
則，，
故.
設直線l與x軸的交點為，
又，則，
故，
結合，解得.
10．（2023·四川綿陽·模擬預測）設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)平面上點B滿足，過與平行的直線交于兩點，若，求橢圓的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出點坐標，即可求出的方程，利用點到直線的距離公式得到，整理即可求出離心率；
（2）由（1）問可設橢圓方程為，即可得到點坐標，從而得到的斜率，即可得到直線的方程，聯立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，利用弦長公式求出，即可求出、，即可得到方程.
【詳解】（1）由題設及，不妨設，
所以，，解得或（舍去），從而，
直線的方程為，整理得，
原點到直線的距離為，將代入整理得，
即，
所以離心率.
（2）由（1）問可設橢圓方程為，則，
因為，所以為平行四邊形，
所以直線過點，則斜率為，
則設直線方程為，
聯立橢圓方程得，顯然，則，
則，解得（負值舍去），
所以，所以橢圓方程為.

一、單選題
1．（2024·北京·模擬預測）已知雙曲線的兩個焦點分別為，過的直線與雙曲線的同一支交于，兩點，且，則線段的長度為（ ）
A． B．9 C． D．6
【答案】C
【分析】根據對稱性不妨設過的直線為，與雙曲線的方程聯立，運用韋達定理和向量共線的坐標表示，結合弦長公式，計算可得．
【詳解】雙曲線中，，，則，
根據對稱性不妨設過的直線為，
聯立，可得，
則
設，，則，，①
由，可得，
即有，②
由①②可得，，所以，
解得（負值已舍去），，
所以．
故選：C．
2．（24-25高三上·河南·開學考試）已知是雙曲線的左焦點，過點的直線與交于兩點（點在的同一支上），且，則（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】首先由雙曲線方程求出點的坐標，并設出過點的直線方程，然后借助直線與雙曲線聯立，得到和與積的關系，再由，得到的等量關系，從而解出的值，最后根據弦長公式求出得長.
【詳解】
由可得.根據對稱性，不妨設過點的直線為，
聯立可得.
設，則.①
由，則，又所以.②
由①②可得，所以，
解得或（舍），，
所以.
故選：D.
3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，圓.若過的直線分別交的左、右兩支于A，B兩點，且圓與相切，的離心率為到的漸近線的距離為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得，可得，進而可求直線的方程，聯立方程組可求弦長.
【詳解】由，得.
雙曲線的漸近線方程為，，
因為到的漸近線的距離為，所以，解得，所以，
過的直線與圓相切于，則可得，
所以，
過且與圓相切的直線方程為，
聯立方程組，消去得.設，
則，所以.
故選：D.
4．（24-25高三上·安徽·開學考試）已知為坐標原點，拋物線的焦點為F，，過點M的直線l與C交于A，B兩點，且，直線BN與C的另一個交點為P，若直線AN與PM的斜率滿足，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得，則可設直線，直線，分別與拋物線方程聯立，設，由韋達定理可得，，結合，可解得的值，從而可得的值，再利用弦長公式即可求解.
【詳解】由題意得，
，
，
設直線，直線，
聯立，得，
設，則，
聯立，得，則，
則，則，故，
由，得，解得，
則，故.
故選：.
二、填空題
5．（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線的焦點為為上的兩點．若直線的斜率為，且，延長分別交于兩點，則四邊形的面積為 ．
【答案】50
【分析】通過拋物線的焦點坐標，直線的斜率和直線的垂直關系，求出對角線；再利用兩對角線垂直的四邊形面積公式，即可求得.
【詳解】由題可知，拋物線的焦點坐標為．
因為直線的斜率為，所以直線的方程為，
與拋物線的方程聯立，得，所以．
設，則，，
故．
因為，所以，
所以直線的斜率為，直線的方程為，
與拋物線的方程聯立，得．所以．
設，則，，
故．
所以四邊形的面積為．
故答案為：50.
三、解答題
6．（23-24高二下·湖南·期末）已知橢圓過點，且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線過點，且與交于兩點，當最大時，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意求出即可得解；
（2）分直線斜率是否存在兩種情況討論，當直線的斜率存在時，設方程為，聯立方程，利用韋達定理求出，再根據弦長公式即可得解.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以橢圓的標準方程為；
（2）當直線的斜率不存在時，方程為，
此時，
當直線的斜率存在時，設方程為，
聯立，消得，
恒成立，故，
則，
所以
，
令，則，
所以
，
當，即時，取得最大值，此時，
綜上所述，當最大時，求直線的方程為.
7．（2024高三·全國·專題練習）已知直線：交橢圓：于A，B兩點，為橢圓上一點．
(1)證明；
(2)求的最大值．
【答案】(1)證明見解析 ；
(2)32．
【分析】（1）先聯立直線與橢圓方程求解A，B坐標關系式，由，得，將垂直關系轉化為對應向量的數量積等于0證明結論；
（2）第一步：求解及點到距離, 第二步：由等面積法得,設，由二次函數的性質即可求解最大值.
【詳解】（1）
聯立直線與橢圓方程，，得，
設，，∴，，
∵
，
∴
（2）設為點到直線的距離，則，
由弦長公式得
．
由三角形面積得，
設，則，
由于，
∴，當，即時，等號成立，
∴的最大值為32．
8．（24-25高三上·河北張家口·開學考試）已知和為橢圓上的兩點.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設直線與橢圓交于兩點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將點坐標代入橢圓方程即可聯立求解方程，進而由離心率公式求解.
（2）由點到直線距離以及弦長公式，結合面積公式先表示出的面積，即可結合換元法以及二次函數的性質得出的范圍．
【詳解】（1）將和代入橢圓方程可得且，
解得，故所求橢圓方程為：
故離心率為，
（2）設,，,，
將，代入橢圓的方程，
整理得，
，
所以點到直線的距離為，
，
，
設，則，
，
當時上式取等號．的最大值為
故

9．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）分別過橢圓的左、右焦點作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點．
(1)當P為C的上頂點時，求直線PQ的斜率；
(2)求四邊形的面積的最大值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）結合圖形，易得，求得的斜率，由直線與橢圓的方程聯立，求得點，即得直線PQ的斜率；
（2）結合圖形，由對稱性可知，四邊形是平行四邊形，四邊形的面積是面積的一半，設直線的方程，并與橢圓方程聯立，寫出韋達定理，求出和點到直線的距離，得到四邊形的面積函數式，利用換元和對勾函數的單調性即可求得面積的最大值.
【詳解】（1）由可知,橢圓上頂點為，即,
直線的斜率為，則直線的方程為：，
將其代入整理得，，解得，或，
因點在x軸上方,故得點，于是直線PQ的斜率為：；
（2）
如圖，設過點的兩條平行線分別交橢圓于點和，
利用對稱性可知，四邊形是平行四邊形，且四邊形的面積是面積的一半.
顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構成構成四邊形），可設直線的方程為
代入，整理得：，顯然，
設，則，
于是，
，
點到直線的距離為，
則四邊形的面積為，
令，則，且，代入得，，
因函數在上單調遞增，故，當時，取得最小值為4，此時.
10．（24-25高三上·浙江·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且直線與的斜率之積為．
(1)求C的方程；
(2)直線與C交于M，N兩點，與y軸交于點A，與x軸交于點B．
（?。┤鬉，B恰為弦MN的兩個三等分點，求直線l的方程；
（ⅱ）若點B與點重合，線段MN的垂直平分線與x軸交于點Q，求的值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根據點在橢圓上及斜率積列方程組計算即可得出橢圓方程；
（2）（i）設結合，向量關系列方程求出點的坐標，即可求出直線方程；（ⅱ）設方程聯立方程組，韋達定理結合弦長公式計算求解.
【詳解】（1）將點代入C的方程得：①，
設C的焦距為，則，
故，解得②，
又③，由①②③解得或，
所以C的方程為．
（2）（?。┯深}，，設，O為坐標原點，
因為A，B恰為弦MN的兩個三等分點，所以,
則，即，解得，所以，
又，即，解得，所以
將點M，N的坐標代入C的方程得，解得，
因為，所以，
所以直線l的方程為．
（ⅱ）由題直線l過點，所以，
與橢圓方程聯立，得，
，
設，則，
所以
，
又，
所以MN中點為，
所以MN的垂直平分線方程為，
令得，故，
所以，
所以．
【點睛】關鍵點點睛：（2）（i）解題的關鍵點是應用向量關系列方程求出點的坐標即可求出直線方程；
1．（2022·北京·高考真題）已知橢圓的一個頂點為，焦距為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；
（2）首先表示出直線方程，設、，聯立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由直線、的方程，表示出、，根據得到方程，解得即可；
【詳解】（1）解：依題意可得，，又，
所以，所以橢圓方程為；
（2）解：依題意過點的直線為，設、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直線的方程為，令，解得，
直線的方程為，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
2．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：
①M在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用焦點坐標求得的值，利用漸近線方程求得的關系，進而利用的平方關系求得的值，得到雙曲線的方程；
（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設直線AB的斜率為k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價轉化為，由①在直線上等價于，然后選擇兩個作為已知條件一個作為結論，進行證明即可.
【詳解】（1）右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點,此時由對稱性可知、關于軸對稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.
設直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價于；
兩漸近線的方程合并為,
聯立消去y并化簡整理得：
設,線段中點為,則,
設,
則條件③等價于,
移項并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：,
解得的橫坐標：,
同理：，
∴
∴,
∴條件②等價于，
綜上所述：
條件①在上，等價于；
條件②等價于；
條件③等價于；
選①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
3．（2021·全國·高考真題）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據圓的幾何性質可得出關于的等式，即可解出的值；
（2）設點、、，利用導數求出直線、，進一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結合二次函數的基本性質可求得面積的最大值.
【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數性質求最小值
由題意知，，設圓M上的點，則．
所以．
從而有．
因為，所以當時，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最優解】：利用圓的幾何意義求最小值
拋物線的焦點為，，
所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；
（2）[方法一]：切點弦方程+韋達定義判別式求弦長求面積法
拋物線的方程為，即，對該函數求導得，
設點、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點為這兩條直線的公共點，則，
所以，點A、的坐標滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯立，可得，
由韋達定理可得，，
所以，，
點到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.
[方法二]【最優解】：切點弦法+分割轉化求面積+三角換元求最值
同方法一得到．
過P作y軸的平行線交于Q，則．
．
P點在圓M上，則
．
故當時的面積最大，最大值為．
[方法三]：直接設直線AB方程法
設切點A，B的坐標分別為，．
設，聯立和拋物線C的方程得整理得．
判別式，即，且．
拋物線C的方程為，即，有．
則，整理得，同理可得．
聯立方程可得點P的坐標為，即．
將點P的坐標代入圓M的方程，得，整理得．
由弦長公式得．
點P到直線的距離為．
所以，
其中，即．
當時，．
【整體點評】（1）方法一利用兩點間距離公式求得關于圓M上的點的坐標的表達式，進一步轉化為關于的表達式，利用二次函數的性質得到最小值，進而求得的值；方法二，利用圓的性質，與圓上點的距離的最小值，簡潔明快，為最優解；（2）方法一設點、、，利用導數求得兩切線方程，由切點弦方程思想得到直線的坐標滿足方程，然手與拋物線方程聯立，由韋達定理可得，，利用弦長公式求得的長，進而得到面積關于坐標的表達式，利用圓的方程轉化得到關于的二次函數最值問題；方法二，同方法一得到，，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關于坐標的表達式，并利用三角函數換元求得面積最大值，方法靈活，計算簡潔，為最優解；方法三直接設直線，聯立直線和拋物線方程，利用韋達定理判別式得到，且．利用點在圓上，求得的關系，然后利用導數求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標，進而利用弦長公式和點到直線距離公式求得面積關于的函數表達式，然后利用二次函數的性質求得最大值；
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑