資源簡介

圓錐曲線中的中點弦問題
（高階拓展、競賽適用）
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2023年全國乙卷（文科）， 第12題,5分 由弦中點求弦方程或斜率 已知方程求雙曲線的漸近線 討論雙曲線與直線的位置關系
2022年新Ⅱ卷，第16題,5分 由中點弦求弦方程 根據弦長求參數
2022年新Ⅱ卷，第21題,12分 求雙曲線中的弦長 由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數 根據韋達定理求參數 根據雙曲線的漸近線求標準方程
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的中點弦及其相關計算
2.會用點差法求解相關問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習
知識講解
橢圓中點弦斜率公式
(1) 若 為橢圓 弦 的中點, 有
.
(2) 若 為橢圓 弦 的中點, 有
.
雙曲線的中點弦斜率公式
(1) 若 為雙曲線 弦 ( 不平行 軸) 的中點, 則
(2) 若 為雙曲線 弦 ( 不平行 軸) 的中點, 則
3. 拋物線的中點弦斜率公式
(1) 若 為拋物線 弦 不平行 軸 的中點, 則
(2) 若 為拋物線 弦 ( 不平行 軸) 的中點, 則
4. 中點弦斜率拓展
在橢圓 中, 以 為中點的弦所在直線的斜率 ;
在雙曲線 中, 以 為中點的弦所在直線的斜率 ;
在拋物線 中，以 為中點的弦所在直線的斜率
5. 橢圓其他斜率形式拓展
橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點，則有
橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點，則有
橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有
點差法妙解中點弦問題
若設直線與圓錐曲線的交點 ( 弦的端點 ) 坐標為 ,
將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差, 得到一個與弦 的中點和斜率有關的式子, 可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。
（1） 設點: 若 是橢圓 上不重合的兩點,則
（2） 作差: 兩式相減得 ,
（3）表斜率: 是直線 的斜率 是線段 的中點 ,
化簡可得 , 此種方法為點差法。
考點一、橢圓中的中點弦問題
1．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為 ．
2．（重慶·高考真題）直線與圓相交于兩點，，弦的中點為，則直線的方程為 ．
3．（全國·高考真題）已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
1．（2024高三·全國·專題練習）橢圓上的兩點A，B關于直線對稱，則弦的中點坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓＋＝1內有一點P(2,3)，過點P的一條弦恰好以P為中點，則這條弦所在的直線方程為 ．
3．（2025·甘肅張掖·模擬預測）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為中點，為坐標原點，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·安徽六安·階段練習）已知橢圓：的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（　　）
A． B． C． D．
考點二、雙曲線中的中點弦問題
1．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
2．（全國·高考真題）已知雙曲線的中心為原點， 是的焦點，過F的直線 與相交于A，B兩點，且AB的中點為 ,則的方程式為
A． B． C． D．
3．（全國·高考真題）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是
A． B．
C． D．
1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點，下列點中可為線段的中點的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線交于A，B兩點，線段AB的中點為點，則直線l的斜率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．3
4．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點，且弦的中點為，則直線l的方程為 ．
5．（2023·陜西寶雞·模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標為，則E的方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三下·全國·專題練習）已知雙曲線：的左右頂點分別為、．
(1)求以、為焦點，離心率為的橢圓的標準方程；
(2)直線過點與雙曲線交于兩點，若點恰為弦的中點，求出直線的方程；
7．（22-23高二上·內蒙古包頭·期末）如圖1、2，已知圓方程為，點．M是圓上動點，線段的垂直平分線交直線于點．

(1)求點的軌跡方程；
(2)記點的軌跡為曲線，過點是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點，且是線段中點．
考點三、拋物線中的中點弦問題
1．（四川·高考真題）已知拋物線上存在關于直線對稱的相異兩點、，則等于（　　）
A．3 B．4 C． D．
2．（山東·高考真題）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于 兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為
A． B．
C． D．
3．（北京·高考真題）已知點在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點重合(如圖).
（1）寫出該拋物線的方程和焦點的坐標；
（2）求線段中點的坐標；
（3）求所在直線的方程.
1．（2024·山西臨汾·二模）已知拋物線，過點的直線與相交于A，B兩點，且為弦AB的中點，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肅蘭州·三模）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線交軸于點，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（23-24高二上·湖北·期中）若拋物線上兩點，關于直線對稱，且，則中點坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·安徽·開學考試）已知拋物線的準線為，點在拋物線上，且線段的中點為，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知拋物線，過C的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，線段AB的中點為W，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（23-24高三上·陜西安康·階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，準線為.過拋物線C頂點的直線l與準線交于點M，與拋物線C交于另一點N.若，則點N的橫坐標為（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三上·貴州·階段練習）已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二下·安徽·開學考試）已知點，是雙曲線上的兩點，線段的中點是，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·貴州·開學考試）已知直線與橢圓相交于兩點，橢圓的兩個焦點是，，線段的中點為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．（23-24高二上·寧夏·期中）已知為拋物線上的兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，則直線AB的斜率為 .
7．（2022高三上·全國·專題練習）已知橢圓：的中心為，為左焦點，為橢圓上頂點，直線與橢圓的另一個交點為，線段的中點坐標為，則橢圓的離心率為
三、解答題
8．（2024高三·全國·專題練習）設直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點．求：
(1)線段AB的長；
(2)AB的中點M的坐標．
9．（2024·陜西西安·模擬預測）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，求弦中點坐標.
10．（2021·湖南·模擬預測）已知雙曲線的其中一個焦點為，一條漸近線方程為
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線的方程.
一、單選題
1．（2024·吉林白山·一模）不與坐標軸垂直的直線過點，，橢圓上存在兩點關于對稱，線段的中點的坐標為．若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，以，為鄰邊作平行四邊形，點恰好在上．若線段的中點在直線上，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓，過點作傾斜角為的直線與交于，兩點，當為線段的中點時，直線（為坐標原點）的斜率為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線，直線l與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，若點P在直線l上，且直線OP把分成面積相等的兩部分，則下列能作為點P的坐標的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（23-24高三上·山東德州·期末）若直線過拋物線的焦點且與拋物線交于兩點，的中垂線交軸于點，則 ．
6．（2022高三·全國·專題練習）設是橢圓上不關于坐標軸對稱的兩點，是線段的中點，是坐標原點，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為 .
四、解答題
7．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點為，過焦點作直線交拋物線于兩點，為拋物線上的動點，且的最小值為1.
(1)拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線的準線于點，求線段的中點的坐標.
8．（2023·廣西南寧·模擬預測）已知雙曲線()經過點，其漸近線方程為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？請說明理由．
9．（22-23高二上·貴州貴陽·階段練習）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線
(1)求的方程；
(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．
10．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓，橢圓的右焦點為．
(1)求過點且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長；
(2)判斷點與橢圓的位置關系，并求以為中點的橢圓的弦所在的直線方程．
1．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；
（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．
2．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．
（1）證明：；
（2）設為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數列，并求該數列的公差．
3．（陜西·高考真題）設橢圓C：過點（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．
4．（福建·高考真題）已知橢圓的左焦點為為坐標原點.
(1)求過點，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
(2)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A B兩點，線段的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.
5．（上海·高考真題）已知橢圓C的焦點，且長軸長為6，設直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標
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（高階拓展、競賽適用）
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2023年全國乙卷（文科）， 第12題,5分 由弦中點求弦方程或斜率 已知方程求雙曲線的漸近線 討論雙曲線與直線的位置關系
2022年新Ⅱ卷，第16題,5分 由中點弦求弦方程 根據弦長求參數
2022年新Ⅱ卷，第21題,12分 求雙曲線中的弦長 由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數 根據韋達定理求參數 根據雙曲線的漸近線求標準方程
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的中點弦及其相關計算
2.會用點差法求解相關問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習
知識講解
橢圓中點弦斜率公式
(1) 若 為橢圓 弦 的中點, 有
.
(2) 若 為橢圓 弦 的中點, 有
.
雙曲線的中點弦斜率公式
(1) 若 為雙曲線 弦 ( 不平行 軸) 的中點, 則
(2) 若 為雙曲線 弦 ( 不平行 軸) 的中點, 則
3. 拋物線的中點弦斜率公式
(1) 若 為拋物線 弦 不平行 軸 的中點, 則
(2) 若 為拋物線 弦 ( 不平行 軸) 的中點, 則
4. 中點弦斜率拓展
在橢圓 中, 以 為中點的弦所在直線的斜率 ;
在雙曲線 中, 以 為中點的弦所在直線的斜率 ;
在拋物線 中，以 為中點的弦所在直線的斜率
5. 橢圓其他斜率形式拓展
橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點，則有
橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點，則有
橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有
點差法妙解中點弦問題
若設直線與圓錐曲線的交點 ( 弦的端點 ) 坐標為 ,
將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差, 得到一個與弦 的中點和斜率有關的式子, 可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。
（1） 設點: 若 是橢圓 上不重合的兩點,則
（2） 作差: 兩式相減得 ,
（3）表斜率: 是直線 的斜率 是線段 的中點 ,
化簡可得 , 此種方法為點差法。
考點一、橢圓中的中點弦問題
1．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為 ．
【答案】
【分析】令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；
【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法
令的中點為，設，，利用點差法得到，
設直線，，，求出、的坐標，
再根據求出、，即可得解；
解：令的中點為，因為，所以，
設，，則，，
所以，即
所以，即，設直線，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規方法
解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，
設，，設直線，，，
則，，，因為，所以
聯立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中，
∴AB中點E的橫坐標,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直線，即
2．（重慶·高考真題）直線與圓相交于兩點，，弦的中點為，則直線的方程為 ．
【答案】.
【詳解】設圓心，直線的斜率為，弦AB的中點為，的斜率為，則，所以由點斜式得．
3．（全國·高考真題）已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】D
【詳解】設、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設直線方程為，聯立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.
【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查學生的化歸與轉化能力.
1．（2024高三·全國·專題練習）橢圓上的兩點A，B關于直線對稱，則弦的中點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，，的中點為，可得，運用“點差法”求解可得，代入求得結果.
【詳解】設，，的中點為，則，
由點在橢圓上得，兩式相減得，
整理得，
由，，即，
將代入，解得，，
所以.
故選：D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓＋＝1內有一點P(2,3)，過點P的一條弦恰好以P為中點，則這條弦所在的直線方程為 ．
【答案】
【分析】根據點差法求出弦所在直線的斜率得解.
【詳解】設弦為，，，
則，兩式相減并化簡得，
即，則，
所以弦所在直線的方程為，即.
故答案為：.
3．（2025·甘肅張掖·模擬預測）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為中點，為坐標原點，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設出點，，的坐標，根據坐標求出的關系式，把，兩點坐標代入橢圓方程，利用點差法化簡即可求解．
【詳解】設，，，
則，，，
所以，所以，
將，兩點坐標代入橢圓方程可得：，
兩式作差可得：，
所以，則，
故選：D
4．（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，則，由點差法求解離心率即可.
【詳解】設，則，
則，兩式相減可得，
，即，
即，，故.
故選：B
5．（23-24高三下·安徽六安·階段練習）已知橢圓：的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據橢圓焦點坐標以及的中點坐標，利用點差法即可得，可求出橢圓的方程.
【詳解】不妨設，所以，
兩式相減可得，整理可得，
根據題意可知直線的斜率為，
由的中點坐標為可得；
因此，可得，
又焦點為可得，解得；
所以橢圓的方程為.
故選：A
考點二、雙曲線中的中點弦問題
1．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設，則的中點，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項A： 可得，則，
聯立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；
對于選項C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；
對于選項D：，則，
聯立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；
故選：D.
2．（全國·高考真題）已知雙曲線的中心為原點， 是的焦點，過F的直線 與相交于A，B兩點，且AB的中點為 ,則的方程式為
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】∵kAB==1,
∴直線AB的方程為y=x-3.
由于雙曲線的焦點為F(3,0),
∴c=3,c2=9.
設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),
則-=1.整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴雙曲線E的方程為-=1.故選B.
3．（全國·高考真題）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據點差法得，再根據焦點坐標得，解方程組得，，即得結果.
【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，則的中點為，由且，得 ， ，即，聯立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．
【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.
1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點，下列點中可為線段的中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用點差法結合選項得出方程，再與雙曲線方程聯立一一驗證是否有兩個不同交點即可.
【詳解】設的中點，
所以，
易知，
由點差法可得
，
若，此時，
與雙曲線聯立，
即與雙曲線只有一個交點，故A錯誤；
若，則此時，
與雙曲線聯立
，
即與雙曲線有兩個交點，故B正確；
若，則此時，
與雙曲線聯立，
即與雙曲線有一個交點，故C錯誤；
若，則此時，
與雙曲線聯立，顯然無解，
即與雙曲線沒有交點，故D錯誤；
故選：B
2．（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線交于A，B兩點，線段AB的中點為點，則直線l的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，，代入雙曲線方程，兩式相減可得，由題目條件經整理后可得答案.
【詳解】設，，則直線l的斜率為
代入，得，兩式相減得：.
又線段AB的中點為點，則.
則.經檢驗滿足題意.
故選：D
3．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用點差法可求的關系，從而可求雙曲線的離心率.
【詳解】設，則，且，
所以，整理得到：，
因為是弦的中點，
所以，所以即
所以，
故選：A.
4．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點，且弦的中點為，則直線l的方程為 ．
【答案】
【分析】設出A，B兩點的坐標，代入雙曲線方程，然后利用點差法得到直線l的斜率即可求解直線方程．
【詳解】設，，
則，，
又， ，
兩式相減，得，
即，整理得，
直線l的斜率為，
直線l的方程為，
化簡得，經檢驗滿足題意.
故答案為：.
5．（2023·陜西寶雞·模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標為，則E的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設，由，利用點差法求解.
【詳解】解：設，
則，兩式相減得，
即，化簡得，
又，解得，
所以雙曲線的方程為： .
故選：D.
6．（2024高三下·全國·專題練習）已知雙曲線：的左右頂點分別為、．
(1)求以、為焦點，離心率為的橢圓的標準方程；
(2)直線過點與雙曲線交于兩點，若點恰為弦的中點，求出直線的方程；
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根據題意可求得橢圓焦點，，再結合離心率為，求出得解；
（2）利用點差法求出直線的斜率進而求出直線方程；
【詳解】（1）由題意可得，，，則，
又，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設，點恰為弦的中點，則，，
又因為兩點在雙曲線上，
可得，兩式相減得，
化簡整理得，即，
所以直線的方程為，即，
經檢驗，滿足題意.
7．（22-23高二上·內蒙古包頭·期末）如圖1、2，已知圓方程為，點．M是圓上動點，線段的垂直平分線交直線于點．

(1)求點的軌跡方程；
(2)記點的軌跡為曲線，過點是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點，且是線段中點．
【答案】(1)
(2)不存在這樣的直線
【分析】
（1）根據雙曲線的定義求得點的軌跡方程.
（2）利用點差法求得直線的方程，聯立直線的方程和點的軌跡方程聯立，根據方程組無解求得正確答案.
【詳解】（1）
由中垂線性質知，
所以
所以點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線
設此雙曲線方程為，則
所以點的軌跡方程為．
（2）
設可得
兩式相減得
由題意，所以
直線方程為，
由，得
∵．∴不存在這樣的直線．
考點三、拋物線中的中點弦問題
1．（四川·高考真題）已知拋物線上存在關于直線對稱的相異兩點、，則等于（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【詳解】設直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，∴，由弦長公式可求出．本題考查直線與圓錐曲線的位置關系．自本題起運算量增大．
2．（山東·高考真題）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于 兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】∵y2=2px的焦點坐標為,
∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.
3．（北京·高考真題）已知點在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點重合(如圖).
（1）寫出該拋物線的方程和焦點的坐標；
（2）求線段中點的坐標；
（3）求所在直線的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）將A點坐標代入拋物線方程，由此求得，進而求得拋物線方程和焦點坐標.
（2）根據重心坐標公式列方程，求得，再由中點坐標公式求得的坐標
（3）利用點差法求得直線的斜率，進而求得直線的方程.
【詳解】（1）將代入拋物線方程得，所以拋物線方程為；
（2）設，由于，由重心坐標公式得，
化簡得，
所以中點的坐標為；
（3）設所在直線斜率為，將代入拋物線方程得，兩式相減并化簡得，即，解得，所以直線的方程為，即.
【點睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查拋物線中的中點弦問題，屬于基礎題.
1．（2024·山西臨汾·二模）已知拋物線，過點的直線與相交于A，B兩點，且為弦AB的中點，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直線與相交于A，B兩點，且點為弦AB的中點，利用點差法求解.
【詳解】解：設，
因為直線與相交于A，B兩點，所以，
由題意得，
故選：D
2．（2024·甘肅蘭州·三模）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線交軸于點，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】設直線的方程為，利用設而不求法求弦長的表達式，再求線段的垂直平分線，由條件列方程求可得結論.
【詳解】拋物線的焦點的坐標為，
由題意可知：直線的斜率不為，但可以不存在，且直線與拋物線必相交，
可設直線的方程為，，
聯立方程，消去x可得，
則，
可得，即，
設的中點為，則，，
可知線段的垂直平分線方程為，
因為在線段的垂直平分線上，
則，可得，
聯立方程，解得，
故選：B.
3．（23-24高二上·湖北·期中）若拋物線上兩點，關于直線對稱，且，則中點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據已知條件求得，進而求得中點坐標.
【詳解】因為拋物線上兩點，關于直線對稱，
故和直線垂直，
所以，故，
又，所以，
故中點坐標是，即
故選：B
4．（23-24高三下·安徽·開學考試）已知拋物線的準線為，點在拋物線上，且線段的中點為，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據拋物線的幾何性質，求得拋物線的方程為，再利用點差法，即可求解.
【詳解】由拋物線的準線為，可得，可得，所以，
設，可得，且，
兩式相減，可得，
可得，所以直線的方程為，
即.
故選：A．
5．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知拋物線，過C的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，線段AB的中點為W，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】設，代入拋物線方程兩式相減可得，進而求得，由求得值.
【詳解】設，
則兩式相減，可得，
所以，即，
所以，所以，
代入直線，得，
所以，所以，解得.
故選：B
6．（23-24高三上·陜西安康·階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，準線為.過拋物線C頂點的直線l與準線交于點M，與拋物線C交于另一點N.若，則點N的橫坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據題意，表示出，再由，可得列出方程，代入計算，即可得到結果.
【詳解】
如圖，由題意，得，準線：.
設直線l的方程為（由題意，知k存在且），則點，.
設線段MN的中點為E，則點，所以直線EF的斜率.
由，得，所以，所以，
整理得，解得，
所以，所以點N的橫坐標為.
故選：C.
一、單選題
1．（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先確定點在橢圓內部，設交點為，代入橢圓方程做差，然后整理可得直線斜率，利用點斜式可得直線方程.
【詳解】因為，故點在橢圓內部，過點的直線恒與橢圓有兩個交點，設交點為，則，
又，兩式相減得，
整理得，
所以以點為中點的弦所在的直線方程為，
即.
故選：C.
2．（21-22高三上·貴州·階段練習）已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用點差法即可求解
【詳解】由已知得，又，，可得.
則雙曲線C的方程為.設，，
則兩式相減得，
即.
又因為點P恰好是弦的中點，所以，，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
經檢驗滿足題意
故選：C
3．（21-22高二下·安徽·開學考試）已知點，是雙曲線上的兩點，線段的中點是，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用點差法和兩點坐標求直線斜率公式化簡計算即可.
【詳解】設，，則，
兩式相減得，
即，
∴.
故選D.
4．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，設，結合“點差法”，即可直線的斜率，得到答案.
【詳解】設，代入拋物線，可得，
兩式相減得，
所以直線的斜率為，
又因為的中點為，可得，
所以，即直線的斜率為.
故選：C.
5．（24-25高三上·貴州·開學考試）已知直線與橢圓相交于兩點，橢圓的兩個焦點是，，線段的中點為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據線段的中點為，利用點差法求得，再利用三角形面積公式求解．
【詳解】設，由題可知，，
則，所以，即，解得，
所以，則，
所以，
故選：B．
二、填空題
6．（23-24高二上·寧夏·期中）已知為拋物線上的兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，則直線AB的斜率為 .
【答案】/0.5
【分析】設出點的坐標并代入拋物線的方程，即可求出直線AB的斜率.
【詳解】由題意，
為拋物線上的兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，

設，線段AB中點為，
∴，，
∴即
∴直線AB的斜率為：
故答案為：
7．（2022高三上·全國·專題練習）已知橢圓：的中心為，為左焦點，為橢圓上頂點，直線與橢圓的另一個交點為，線段的中點坐標為，則橢圓的離心率為
【答案】/
【分析】設，，，利用中點坐標公式得到直線斜率為，再利用得到即可求解.
【詳解】由題意設，，，
則，
兩式相減可得：，
因為：，，所以
即直線斜率為，
又直線斜率為，所以，即，
由，得，即，得，得.
故答案為：
三、解答題
8．（2024高三·全國·專題練習）設直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點．求：
(1)線段AB的長；
(2)AB的中點M的坐標．
【答案】(1)8
(2)（3，2）.
【詳解】
解：（1） （解法1：求交點）由
解得或
所以AB＝＝8.
（解法2：設而不求——弦長公式）
設點A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.
由消去x并整理，得y2－4y－4＝0，
所以Δ＝16＋16＝32>0，y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝6，
所以AB的中點M的坐標為（3，2）.
由求根公式得|y1－y2|＝＝4，
所以AB＝＝|y1－y2|＝8.
（解法3）（設而不求——焦半徑公式）
設點A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.
由消去x并整理，得y2－4y－4＝0.
Δ＝32＞0，y1＋y2＝4.
因為直線l經過拋物線的交點F（1，0），
所以AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋p＝y1＋y2＋2＋2＝8.
（2） 由解法1知AB的中點M的坐標為（3，2）.
【考查意圖】
直線被圓錐曲線截得弦長和弦中點問題的處理方法．
9．（2024·陜西西安·模擬預測）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，求弦中點坐標.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據拋物線的焦點求出的值，然后由橢圓的離心率計算，再由平方關系得到，可寫出橢圓的方程；
（2）設的坐標，點差法計算出坐標之間的關系，再根據中點所在直線可求出點的坐標.
【詳解】（1）依題意得：
，即，解得
，解得
橢圓的方程為
（2）如圖所示：

設，中點為，
所以
則
又兩點在橢圓上，可得，
兩式相減可得，整理得
，①.
過點斜率為的直線為.
因為在直線上，故，②
聯立①②，解得
所以中點坐標為.
10．（2021·湖南·模擬預測）已知雙曲線的其中一個焦點為，一條漸近線方程為
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線的方程.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由題意，聯立方程求出，即可得到雙曲線方程；
（2）利用點差法求出中點坐標，點斜式求出直線方程即可.
【詳解】（1）由焦點可知，
又一條漸近線方程為
所以，
由可得 ,解得，，
故雙曲線的標準方程為
（2）設，AB中點的坐標為
則①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直線的方程為，即
一、單選題
1．（2024·吉林白山·一模）不與坐標軸垂直的直線過點，，橢圓上存在兩點關于對稱，線段的中點的坐標為．若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據點差法求出，再結合進行計算得出結果.
【詳解】設為坐標原點，在橢圓中，設，則，
所以，
因為關于對稱，所以，所以，
由線段的中點的坐標為，得出．
所以，
又，
∴，即，
又，∴，所以所求離心率為.
故選：C．
2．（2024·全國·模擬預測）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，以，為鄰邊作平行四邊形，點恰好在上．若線段的中點在直線上，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意，利用點差法得到，根據平行四邊形的性質及點在橢圓上得到，求出k和點M的坐標，結合直線的點斜式方程即可求解.
【詳解】設，，，
則，兩式相減，得，
故，即①．
又四邊形為平行四邊形，為線段的中點，所以為線段的中點，
所以，又P在橢圓上，
所以，即②．
由①②，得，故直線的方程為，
即．
故選：B．
3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓，過點作傾斜角為的直線與交于，兩點，當為線段的中點時，直線（為坐標原點）的斜率為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用點差法可得，由，，可得，可求橢圓的離心率.
【詳解】設，所以，
兩式相減得，即，
又，所以，整理得，
又，，所以，所以，
所以橢圓的離心率.
故選：D.
二、多選題
4．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線，直線l與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，若點P在直線l上，且直線OP把分成面積相等的兩部分，則下列能作為點P的坐標的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用直線與雙曲線的位置關系逐個選項分析即可.
【詳解】
由A，B，P三點共線且直線OP把分成面積相等的兩部分可得點P為線段AB的中點，
選項A：數形結合可知，直線l的方程為時，點為AB的中點，故可以作為點P的坐標，A正確．
已知雙曲線()直線與雙曲線交于，兩點，AB的中點坐標為，則，，兩式相減可得，，得
選項B：由二級結論可得直線l的斜率，
故直線l的方程為，聯立得得，，不能作為點P的坐標，B錯誤．
選項C：可得直線l的斜率，故直線l的方程為，聯立得，得，，可以作為點P的坐標，C正確．
選項D：可得直線l的斜率，故直線l的方程為，聯立得得，，可以作為點P的坐標，D正確．
故選：ACD
【點睛】
本題將中點弦問題和直線與雙曲線的位置關系有機整合，設問角度新穎，重點考查數形結合思想和邏輯推理能力，需要考生將問題轉化為判斷直線與雙曲線是否有兩個交點的問題，逐一驗證選項是否正確，考查考生靈活運用所學知識解決綜合問題的能力，在注重考查基礎知識的同時，對考生的思維能力要求較高，有較好的選拔功能．
三、填空題
5．（23-24高三上·山東德州·期末）若直線過拋物線的焦點且與拋物線交于兩點，的中垂線交軸于點，則 ．
【答案】
【分析】設，其中點為C，將A，B兩點代入拋物線方程，結合斜率公式與，
可得，即可得，后由拋物線定義可得，即可得答案.
【詳解】設，其中點為C，坐標為.
將A，B兩點代入拋物線方程，有，
兩式相減可得：，設，
則，因，
則.
又，則.
又準線方程為，過A，B兩點分別做準線垂線，垂足為，
則由拋物線定義，可得.故.
故答案為：.
6．（2022高三·全國·專題練習）設是橢圓上不關于坐標軸對稱的兩點，是線段的中點，是坐標原點，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】
利用點差法即可得到，最后利用離心率公式即可.
【詳解】設點，則，
把，的坐標代入橢圓方程可得:，
兩式作差可得：，
即，
所以，即，
所以橢圓的離心率為，
故答案為：.
四、解答題
7．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點為，過焦點作直線交拋物線于兩點，為拋物線上的動點，且的最小值為1.
(1)拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線的準線于點，求線段的中點的坐標.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，結合拋物線的定義分析可知，即可得方程；
（2）由題意可得直線過點和，求直線的方程，與拋物線聯立，結合韋達定理求中點坐標.
【詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點，準線為，
設，則，當且僅當時，等號成立，
可得，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由題意可知：直線與拋物線必相交（斜率不為0），
設，線段的中點，
且直線過點和，
則直線的方程，即，
聯立方程，消去x得，
則，可知，
將代入可得，
所以線段的中點的坐標為.
8．（2023·廣西南寧·模擬預測）已知雙曲線()經過點，其漸近線方程為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？請說明理由．
【答案】(1)；
(2)不能，證明見解析；
【分析】
（1）由漸近線方程求得一個關系，再代入點的坐標，可解得得雙曲線方程；
（2）設出交點坐標，若是線段的中點，利用點差法求出直線l方程，再聯直線與雙曲線查看是否有解，即可判斷.
【詳解】（1）由題雙曲線()經過點，其漸近線方程為，
所以，，
解得，
所以雙曲線C的方程為：.
（2）
當直線l垂直x軸時，直線l的方程為，此時直線l與雙曲線只有一個交點，不滿足；
當直線l不垂直x軸時，斜率存在，
設，
所以，
兩式作差得，
即，
若是線段的中點，則，
則，
所以直線l的斜率，
則直線l的方程為，
將直線l與雙曲線聯立，得，
，方程無解，
所以這樣的直線不存在，即點P不能是線段的中點.
9．（22-23高二上·貴州貴陽·階段練習）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線
(1)求的方程；
(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，該直線方程為
【分析】（1）根據圓與圓外切、內切列式得，結合橢圓的定義可求出結果；
（2）根據點差法求出斜率，再根據點斜式可求出結果.
【詳解】（1）設動圓的半徑為，
依題意得，所以為定值，且，
所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，
，，，，
所以，
所以橢圓的方程為.
（2）假設存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，
設，，
則，兩式相減得，
得，即，
由點斜式得直線方程為，即.
所以存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，且該直線方程為.

10．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓，橢圓的右焦點為．
(1)求過點且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長；
(2)判斷點與橢圓的位置關系，并求以為中點的橢圓的弦所在的直線方程．
【答案】(1)
(2)在橢圓內部，．
【分析】（1）解法一：將橢圓方程化為標準式，即可求出點坐標，即可得到直線的方程，聯立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，利用弦長公式計算可得；解法二：將橢圓方程化為標準式，即可求出點坐標，即可得到直線的方程，再由弦長公式直接計算；
（2）將點代入橢圓方程，即可判斷點與橢圓的位置關系，設以為中點橢圓的弦與橢圓交于，利用點差法求出中點弦的斜率，從而求出中點弦方程.
【詳解】（1）解法一：因為橢圓，即，則，
所以橢圓的右焦點為，
則過點且斜率為1的直線方程為，
由，消去整理得，顯然，設直線與橢圓交于，，
∴，，
所以．
解法二：橢圓，即，則，
所以橢圓的右焦點為，
則過點且斜率為1的直線方程為，即，
由，其中
，
所以．
（2）∵，∴點在橢圓內部．
設以為中點的弦與橢圓交于，
∵為中點，∴，
把分別代入橢圓，
得，∴，
∴，∴，
∴以為中點的橢圓的弦所在的直線方程為 ，整理得．
1．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；
（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出拋物線標準方程，從而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韋達定理、中點公式和解方程法分別求得關于的表達式，得到關于的方程，利用基本不等式消去參數，得到關于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韋達定理和中點公式求得的坐標關于的表達式，根據點在橢圓上，得到關于關于的函數表達式，利用基本不等式和二次函數的性質得解，運算簡潔，為最優解；方法三利用點差法得到．根據判別式大于零，得到不等式，通過解方程組求得，代入求解得到的最大值；方法四利用拋物線的參數方程設出點的參數坐標，利用斜率關系求得的坐標關于的表達式．作換元，利用點A在橢圓上，得到，然后利用二次函數的性質求得的最大值
【詳解】（Ⅰ）當時，的方程為，故拋物線的焦點坐標為；
（Ⅱ）[方法一]：韋達定理基本不等式法
設，
由，
，
由在拋物線上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值為，此時.
[方法二]【最優解】：
設直線，.
將直線的方程代入橢圓得：，
所以點的縱坐標為.
將直線的方程代入拋物線得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以當時，取到最大值為.
[方法三] ：點差和判別式法
設，其中．
因為所以．
整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因為存在，所以上述關于的二次方程有解，即判別式． ①
由得．
因此，將此式代入①式解得．
當且僅當點M的坐標為時，p的最大值為．
[方法四]：參數法
設，
由，得．
令，則，點A坐標代入橢圓方程中，得．
所以，此時M坐標為．
2．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．
（1）證明：；
（2）設為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數列，并求該數列的公差．
【答案】（1）；（2）證明見解析，公差為或．
【分析】（1）方法一：設而不求，利用點差法進行證明．
（2）方法一：解出m,進而求出點P的坐標，得到,再由兩點間距離公式表示出，，得到直線的方程，聯立直線與橢圓方程由韋達定理進行求解．
【詳解】（1）［方法一］：【最優解】點差法
設，則.
兩式相減，并由得，
由題設知，于是.①
由題設得，故.
［方法二］：【通性通法】常規設線
設，，當時，顯然不滿足題意；
由得，，所以，，
，即，而，所以，
又，所以，
，即，解得： ．
［方法三］：直線與橢圓系的應用
對原橢圓作關于對稱的橢圓為．
兩橢圓方程相減可得，即為的方程，故．
又點在橢圓C內部可得，解得：．
所以．
［方法四］：直線參數方程的應用
設l的參數方程為（為l傾斜角，t為參數）代入橢圓C中得．設是線段中點A，B對應的參數，是線段中點，知得，即．而點在C內得，解得：，所以．
（2）［方法一］：【通性通法】常規運算＋整體思想
由題意得，設，則
.
由（1）及題設得.
又點P在C上，所以，從而，.
于是.
同理，所以.
故，即，，成等差數列.
設該數列的公差為d，則
.②
將代入①得.
所以l的方程為，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.
所以該數列的公差為或.
［方法二］：硬算
由，知點F為的重心，由三角形重心坐標公式可得，即．
由點P在橢圓上，把坐標代入方程解得，即．
由（1）有，直線l的方程為，將其與橢圓方程聯立消去y得，求得，不妨設，所以，，，同理可得，
，所以，而，故．
即該數列的公差為或.
［方法三］：【最優解】焦半徑公式的應用
因為線段的中點為，得．
由，知點F為的重心，由三角形重心坐標公式可得，
由橢圓方程可知，
由橢圓的焦半徑公式得，．所以．
由方法二硬算可得，或，從而公差為，即該數列的公差為或.
【整體點評】（1）方法一：利用點差法找出斜率與中點坐標的關系，再根據中點在橢圓內得到不等關系，即可解出，對于中點問題，點差法是解決此類問題的常用解法，也是該題的最優解；
方法二：常規設線，通過聯立得出根與系數的關系（韋達定理），再根據即可證出，該法是解決直線與圓錐曲線位置關系的通性通法．
方法三：；類比直線與圓系，采用直線與橢圓系的應用，可快速求出公共弦所在直線方程，從而得出斜率，進而得證，避免聯立過程，適當簡化運算；
方法四：利用直線的參數方程以及參數的幾何意義，聯立求出斜率；
（2）方法一：直接根據題意運算結合整體思想，是通性通法；
方法二：直接硬算，思路直接，計算量較大；
方法三：利用焦半徑公式簡化運算，是該題的最優解．
3．（陜西·高考真題）設橢圓C：過點（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據題意，將（0，4）代入C的方程得b的值，進而由橢圓的離心率為，結合橢圓的性質，可得=；解可得a的值，將a、b的值代入方程，可得橢圓的方程．
（Ⅱ）根據題意，可得直線的方程，設直線與C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線與橢圓的方程，化簡可得方程x2﹣3x﹣8=0，解可得x1與x2的值，由中點坐標公式可得中點的橫坐標，將其代入直線方程，可得中點的縱坐標，即可得答案．
解：（Ⅰ）根據題意，橢圓過點（0，4），
將（0，4）代入C的方程得，即b=4
又得=；
即，∴a=5
∴C的方程為
（Ⅱ）過點（3，0）且斜率為的直線方程為，
設直線與C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線方程代入C的方程，得，
即x2﹣3x﹣8=0，解得，，
∴AB的中點坐標，
，
即中點為．
點評：本題考查橢圓的性質以及橢圓與直線相交的有關性質，涉及直線與橢圓問題，一般要聯立兩者的方程，轉化為一元二次方程，由韋達定理分析解決．
4．（福建·高考真題）已知橢圓的左焦點為為坐標原點.
(1)求過點，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
(2)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A B兩點，線段的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據給定條件，求出橢圓左焦點F的坐標，左準線l的方程，再求出圓的方程作答.
（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點的橫坐標，利用不等式的基本性質可求得點的橫坐標的取值范圍.
【詳解】（1）橢圓的長半軸長，短半軸長，
半焦距，則，
依題意，所求圓的圓心在直線，
設，則半徑，
而，解得，
所以所求圓的方程為.
（2）設直線的方程為，
聯立，整理可得，
因為直線過橢圓的左焦點，
所以方程有兩個不相等的實根．
設點、，設的中點為，
則，，．
直線的垂直平分線的方程為，
令，則.
因為，所以
故點的橫坐標的取值范圍.
5．（上海·高考真題）已知橢圓C的焦點，且長軸長為6，設直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標
【答案】
【分析】先由已知求出橢圓的標準方程，再由直線交橢圓C于A、B兩點，兩方程聯立，由韋達定理求得其中點坐標．
【詳解】由題意，可得橢圓焦點在軸上，其中，則，
所以橢圓的方程為，
聯立方程組，整理得，
設，可得，
則中點，可得，所以，
即的中點坐標為.
故答案為：.
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