資源簡介

圓錐曲線中的切線方程與切點弦方程
（高階拓展、競賽適用）
（4類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第10題,6分 過拋物線上的點與圓相切 切線長 根據拋物線方程求焦點 直線與拋物線交點相關問題
2020年新Ⅱ卷，第21題,12分 求橢圓的切線方程 根據橢圓過的點求標準方程 橢圓中三角形 (四邊形)的面積 求橢圓中的最值問題
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線切線的定義
2.理解、掌握圓錐曲線的切線問題及其相關計算
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習
知識講解
1 過圓 上一點 的切線方程:
2. 設 為橢圓 1上的點, 則過該點的切線方程為:
3. 設 為雙曲線 上的點, 則過該點的切線方程為:
4. 設 為拋物 線 上的點, 則過該點的切線方程為
設 為圓 外一點, 則切點弦的方程為:
6. 設 為橢圓 外一點, 過該點作橢圓的兩條切線,切點為 , 則弦 的方程為:
7. 過 為雙曲線 的兩支作兩條切線, 則切點弦方程為
8. 設 為拋物線 開口外一點, 則切點弦的方程為:
考點一、橢圓中的切線方程和切點弦方程
1．（2022高三·全國·專題練習）橢圓上點P(1,1)處的切線方程是 ．
【答案】
【分析】由導數的幾何意義即可求得切線方程.
【詳解】∵橢圓，
∴y>0時，，∴，
∴x＝1時，，即切線斜率，
∴橢圓上點P(1,1)處的切線方程是，
即．
故答案為：．
2．（22-23高三下·河南·階段練習）已知橢圓，離心率為，過的直線分別與相切于，兩點，則直線方程為（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【分析】首先證明橢圓上一點處的切線方程為：，即可得到點是橢圓外一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，則切點弦的方程為，再根據離心率分類討論分別求出橢圓方程，即可得到切點弦方程．
【詳解】首先證明橢圓上一點處的切線方程為：，
①當切線斜率存在時, 設過點的切線方程為，
聯立方程，得，
，即，
，
又，
把代入中，得，
，
化簡得.
②當切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式.
綜上，橢圓上一點的切線方程為：.
再證明若點是橢圓外一點，過點作橢圓的兩條切線，
切點分別為，，則切點弦的方程為．
這是因為在，兩點處，橢圓的切線方程為和．
兩切線都過點，所以得到了和，
由這兩個“同構方程”得到了直線的方程；
因為橢圓，離心率為，
若焦點在軸，則，，所以，
所以，解得，所以橢圓，
所以過作橢圓的兩條切線方程，
切點弦方程為；
若焦點在軸，則，，所以，
所以，解得，所以橢圓，
所以過作橢圓的兩條切線方程，
切點弦方程為，即；
綜上可得直線方程為或.
故選：A
3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知過圓錐曲線上一點的切線方程為.過橢圓上的點作橢圓的切線，則過點且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根據題中所給的結論，求出過的切線方程，進而可以求出切線的斜率，利用互相垂直的直線之間斜率的關系求出過點且與直線垂直的直線的斜率，最后求出直線方程.
【詳解】過橢圓上的點的切線的方程為，即，切線的斜率為.與直線垂直的直線的斜率為，過點且與直線垂直的直線方程為，即.
故選：B
【點睛】本題考查了求過點與已知直線垂直的直線方程，考查了數學閱讀能力，屬于基礎題.
1．（2022·全國·高三專題練習）求過橢圓上一點的切線方程．
【答案】
【分析】令，利用伸縮變換求得橢圓和點M在新坐標系下的方程和坐標，然后由圓的切線方程和伸縮變換公式可得.
【詳解】令，則橢圓在新坐標系下的方程是：，點在新坐標系下的坐標是：，
設過圓上的點的切線方程為（易得斜率必存在），
即代入
整理得
由題意可知，，整理得
即，所以切線方程為，即：
過橢圓上一點的切線的方程是：，即：．
2．（22-23高三全國·課后作業）曲線上點到直線距離的最小值為 ．
【答案】/
【分析】求曲線的切線方程，利用平行線的距離公式求所得直線與已知直線的距離，即可知最小距離.
【詳解】令與相切，聯立整理可得，
所以，可得，
當，此時與的距離，
當，此時與的距離，
所以曲線到直線距離的最小值為.
故答案為：
3．（2022·全國·高三專題練習）已知直線經過橢圓的一個頂點E和一個焦點F．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求過與橢圓相切的直線方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓的性質求解，
（2）由導數的幾何意義求解
【詳解】（1）依題意可知：橢圓焦點在x軸上，
直線與坐標軸的交點為：，，
∴，F（2，0），∴，c＝2，，
∴橢圓的標準方程為．
（2）由（1）可知橢圓，在橢圓上，
求導，整理得：，
由導數的幾何意義可知：橢圓在切線方程的斜率，
則直線的切線方程為：，整理得：，
∴過與橢圓相切的直線方程為．
4．（24-25高三上·湖南·開學考試）已知橢圓過點和.
(1)求的離心率；
(2)若直線與有且僅有一個交點，求的一般式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓過點和，求得，進而求得，即可得到的離心率；
（2）聯立和的方程，得到關于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程.
【詳解】（1）因為橢圓過點和，
所以，解得，
由，得，
所以的離心率.
（2）

由（1）可得的方程為，，
聯立，得，
由，得，
直線的一般式方程為：.
5．（23-24高二下·河南開封·期末）已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是，，且經過點．
(1)求C的標準方程；
(2)已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點，求l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓定義得，，再結合關系即可得到答案；
（2）求出，設直線方程為，聯立橢圓方程，利用即可.
【詳解】（1）由于橢圓的焦點在軸上，
所以設它的標準方程為，
由橢圓的定義知，，
可得，所以，
所以橢圓的標準方程為:.
（2）已知，所以，設直線方程為，
由方程組消去，得，
該方程的判別式，
由，得，
此時與有且只有一個公共點，所以的方程為:.
考點二、雙曲線中的切線方程和切點弦方程
1．（2024高三·全國·專題練習）求雙曲線在點處的切線方程．
【答案】
【分析】根據仿射變換可解.
【詳解】設變換，則，
可將雙曲線變換為圓，
于是點可化為，
顯然在圓上，
易得切線方程為，即，
雙曲線在點處的切線方程為.
2．（2023高二·全國·專題練習）過點作雙曲線： 的兩條切線，切點分別為，求直線的方程 ．
【答案】
【分析】設的斜率為，得到，聯立方程組，根據和雙曲線的方程，求得，得到的方程為，同理的方程為，進而得到，進而求得過的直線方程.
【詳解】設，易得兩條切線的斜率存在，設的斜率為，
則，聯立方程，
消去得，
因為與雙曲線相切，所以，
即，即，
即，
因為，所以，
代入可得，即，所以，
所以，即，
同理可得的方程為，
因為在切線上，所以，
所以滿足方程，
又由兩點確定一條直線，所以滿足直線方程，
所以過的直線方程為.
故答案為：.
3．（2022高三·全國·專題練習）已知雙曲線的一條切線的斜率為2，求這條切線方程．
【答案】.
【分析】設出切線方程，與雙曲線方程聯立后用求出，從而求出切線方程.
【詳解】設出切線方程為，
與聯立得：，
由，
解得：，代入得切線方程為．
1．（2024高三·全國·專題練習）（1）求雙曲線在點處的切線方程；
（2）已知是雙曲線外一點，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點，求直線AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由雙曲線上一點的切線方程，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，分別表示出直線的方程，再將點的坐標代入計算，即可得到結果.
【詳解】
（1）由雙曲線上一點處的切線方程為，
所以雙曲線在點處的切線方程為，
化簡可得.
（2）設切點，則，，
又點在直線上，代入可得，，
所以點均在直線上，
所以直線的方程為，即.
2．（2020高三·江蘇·專題練習）在雙曲線上求一點，使到直線的距離最短．
【答案】
【解析】將雙曲線上一點到直線距離的最值問題轉化找到平行于直線且與雙曲線相切的直線問題,進而求得滿足最值時的點坐標
【詳解】設與直線平行且與雙曲線相切的直線方程為：,
聯立,化簡得,
,
,
則當時,到直線的距離最短,此時切線方程為：,
代入雙曲線方程中,即,解得,則該點為
【點睛】本題考查雙曲線的切線方程,考查已知直線斜率求參問題,考查轉化思想與數形結合思想
考點三、拋物線中的切線方程和切點弦方程
1．（2022高三·全國·專題練習）拋物線過點的切線方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設出切線方程，與拋物線聯立，結合判別式，即得解
【詳解】由于不為的切線，故切線斜率存在；
不妨設切線的斜率為，故切線的方程為
，即
故，解得
故切線方程為：
故選：D
2．（2022高三·全國·專題練習）過點作拋物線：的兩條切線，切點分別為A，B，求直線的方程．
【答案】
【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程，結合切線過以及，分析即得解
【詳解】拋物線可寫成：且
設，則兩條切線的斜率分別為
兩條切線的方程為：
又兩條切線過點，所以
所以直線AB的方程為：，即.
3．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則 .
【答案】5
【分析】設切線的方程為，將其代入，由可得 ，，同理可得，由此可知是方程的兩根，由根與系數的關系代入化簡即可得出答案.
【詳解】由題意知，切線的斜率均存在，且不為0.
設切線的方程為，將其代入，
得，
由，得，
且點的縱坐標為，則點的橫坐標為，故.
設切線的方程為，同理可得.
則是方程的兩根，所以
所以.
故答案為：5.

4．（2024高三·全國·專題練習）已知M是直線上的動點，過點M作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B（與坐標原點O不重合），當時，直線AB的方程為 ．
【答案】
【分析】根據，結合定理1得到AB過定點，再由推論2.1得到頂點M在直線上和點M在上求解.
【詳解】解：由，得．
因為，
所以根據專題12中的定理1可知AB過定點，
根據推論2.1可知頂點M在直線上，
又點M在上，
所以．
再由推論1.2即可求得直線AB的方程為，
化簡得．
故答案為：
1．（2023高三·全國·專題練習）過拋物線上一點的拋物線的切線方程為 .
【答案】
【分析】解法一：設切線方程為，聯立切線方程與拋物線方程，由，得，則切線方程可求.
解法二：利用導數的幾何意義直接可求切線斜率，再由點斜式方程求得答案.
【詳解】解法一：由題意，切線方程一定存在，設切線方程為．
由 ，
由，得，
∴.
故切線方程為，即.
故答案為：.
解法二：由得，∴.
∴.
∴切線方程為，即.
故答案為：.
2．（21-22高二下·河南新鄉·期末）過點作拋物線的切線，則切點的橫坐標為 ．
【答案】3
【分析】設切線方程為，再聯立直線于拋物線的方程，令判別式為0求解即可
【詳解】設切線方程為，與拋物線方程聯立可得，由，解得或代入得．
故答案為：3
3．（2023·山東·模擬預測）已知拋物線：，過直線：上的動點可作的兩條切線，記切點為，則直線（ ）
A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過點 D．恒過點
【答案】D
【分析】設，求導，根據導函數幾何意義得到切線方程，設，將其代入兩切線方程，得到直線的方程為，得到過定點.
【詳解】設，則，，
由于，故過點的切線方程為，
即，即，
同理可得過點的切線方程為，
設，過點的兩切線交于點，
故，整理得，
同理，整理得，
故直線的方程為，
斜率不為定值，AB錯誤，當時，，恒過點，C錯誤，D正確.
故選：D
4．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習）已知拋物線的焦點為，且F與圓上點的距離的最小值為2．
(1)求；
(2)已知點，，是拋物線的兩條切線，，是切點，求．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根據圓外一點到圓上的點的最小距離的求法確定的值.
（2）設過點的切線方程，帶入拋物線方程，由直線與拋物線相切，可求切線斜率和切點坐標，利用兩點間的距離公式求.
【詳解】（1）因為（），則其到圓心距離減去半徑為2，故.
（2）由（1）可知，拋物線的標準方程為：.
如圖：

因為過點的切線一定有斜率，故設切線方程為：，即，
代入得：，整理得：.
因為直線與拋物線相切，所以或.
當時，由，所以切點；
當時，由，所以切點.
所以
考點四、切線方程及切點弦方程的應用
1．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．若，求直線的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值，結合的值可得出的值，進而可得出橢圓的方程；
（2）設點，分析出直線的方程為，求出點的坐標，根據可得出，求出、的值，即可得出直線的方程.
【詳解】（1）易知點、，故，
因為橢圓的離心率為，故，，
因此，橢圓的方程為；
（2）設點為橢圓上一點，
先證明直線的方程為，
聯立，消去并整理得，，
因此，橢圓在點處的切線方程為.
在直線的方程中，令，可得，由題意可知，即點，
直線的斜率為，所以，直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，
因為，則，即，整理可得，
所以，，因為，，故，，
所以，直線的方程為，即.
【點睛】結論點睛：在利用橢圓的切線方程時，一般利用以下方法進行直線：
（1）設切線方程為與橢圓方程聯立，由進行求解；
（2）橢圓在其上一點的切線方程為，再應用此方程時，首先應證明直線與橢圓相切.
2．（2021·全國·高考真題）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據圓的幾何性質可得出關于的等式，即可解出的值；
（2）設點、、，利用導數求出直線、，進一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結合二次函數的基本性質可求得面積的最大值.
【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數性質求最小值
由題意知，，設圓M上的點，則．
所以．
從而有．
因為，所以當時，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最優解】：利用圓的幾何意義求最小值
拋物線的焦點為，，
所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；
（2）[方法一]：切點弦方程+韋達定義判別式求弦長求面積法
拋物線的方程為，即，對該函數求導得，
設點、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點為這兩條直線的公共點，則，
所以，點A、的坐標滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯立，可得，
由韋達定理可得，，
所以，，
點到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.
[方法二]【最優解】：切點弦法+分割轉化求面積+三角換元求最值
同方法一得到．
過P作y軸的平行線交于Q，則．
．
P點在圓M上，則
．
故當時的面積最大，最大值為．
[方法三]：直接設直線AB方程法
設切點A，B的坐標分別為，．
設，聯立和拋物線C的方程得整理得．
判別式，即，且．
拋物線C的方程為，即，有．
則，整理得，同理可得．
聯立方程可得點P的坐標為，即．
將點P的坐標代入圓M的方程，得，整理得．
由弦長公式得．
點P到直線的距離為．
所以，
其中，即．
當時，．
【整體點評】（1）方法一利用兩點間距離公式求得關于圓M上的點的坐標的表達式，進一步轉化為關于的表達式，利用二次函數的性質得到最小值，進而求得的值；方法二，利用圓的性質，與圓上點的距離的最小值，簡潔明快，為最優解；（2）方法一設點、、，利用導數求得兩切線方程，由切點弦方程思想得到直線的坐標滿足方程，然手與拋物線方程聯立，由韋達定理可得，，利用弦長公式求得的長，進而得到面積關于坐標的表達式，利用圓的方程轉化得到關于的二次函數最值問題；方法二，同方法一得到，，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關于坐標的表達式，并利用三角函數換元求得面積最大值，方法靈活，計算簡潔，為最優解；方法三直接設直線，聯立直線和拋物線方程，利用韋達定理判別式得到，且．利用點在圓上，求得的關系，然后利用導數求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標，進而利用弦長公式和點到直線距離公式求得面積關于的函數表達式，然后利用二次函數的性質求得最大值；
1．（2024·四川德陽·三模）已知為拋物線：的焦點，過點且傾斜角為的直線與拋物線相交于不同的兩點，若拋物線在兩點處的切線相交于點，則 .
【答案】4
【分析】設，，設直線，代入拋物線方程，消去得，根據韋達定理可得，，根據導數的幾何意義可得切線方程，求出點的坐標，即可求出的值．
【詳解】設，，拋物線C在A、B兩點處的切線為，

由,且直線的傾斜角為，
因此，設直線：，代入拋物線方程，消去得，，
則，，
，
由拋物線，可得對求導數，得到y′x，
則拋物線在兩點處的切線的斜率為，切線的斜率為，
直線的方程為，即，①
則直線l2的方程為，即，②，
由①②解得，，
點P的坐標為，
根據兩點間距離公式：，
故答案為：4．
【點睛】結論點睛：過拋物線焦點的直線與拋物線相交于不同的兩點，拋物線在兩點處的切線相交于點，則點的軌跡為拋物線的準線.
2．（2024·河南洛陽·模擬預測）（多選）過點向拋物線作兩條切線，切點分別為為拋物線的焦點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】設，利用導數的幾何意義求出兩切線斜率，即可求出兩切線方程，然后根據韋達定理判斷AB，根據焦半徑公式化簡求解判斷CD.
【詳解】設點為點，拋物線的方程為，即，則,
設，則切線PA，PB的斜率分別為，
切線方程分別為，
將的坐標及代入，并整理得，
可得為方程的兩個實數根，
由韋達定理得，故A錯誤，B正確；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：BC
3．（2024高三·全國·專題練習）在直角坐標系中，曲線C：與直線交與M,N兩點，
(1)當時，分別求C在點M和N處的切線方程；
(2) y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有？說明理由.
【答案】(1)和．
(2)有，理由見解析
【分析】（1）先求出M，N的坐標，再利用導數求出M，N.
（2）先作判定，再利用設而不求思想．將代入曲線C的方程整理成關于的一元二次方程，設出M，N的坐標和P點坐標，利用設而不求思想，將直線，的斜率之和用表示出來，利用直線，的斜率為0，即可求出關系，從而找出適合條件的P點坐標.
【詳解】（1）由題設可得，，或，.∵，
故在處的導數值為，C在處的切線方程為
，即.
故在處的導數值為，C在處的切線方程為
，即.
故所求切線方程為或.
（2）存在符合題意的點，證明如下：
設為符合題意的點，，，直線，的斜率分別為.
將代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
當時，有=0，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補，
故，所以符合題意.
4．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的離心率為，橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形的最大面積為1．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點為直線上的任意一點，過點作橢圓的兩條切線（切點分別為），試證明動直線恒過一定點，并求出該定點的坐標．
【答案】(1)
(2)證明見解析，．
【分析】（1）根據條件得到關于的方程組，即可求解；
（2）首先利用點的坐標表示切線方程，并利用兩點確定一條直線，確定直線的方程，再根據含參直線確定定點坐標.
【詳解】（1）∵橢圓的離心率為，
橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形的最大面積為1，
∴，
解得，
∴橢圓的方程為．
（2）證明：設切點為，則切線方程為，
∵兩條切線都過上任意一點，
∴得到，
∴都在直線上，
又，
由，得，
即對任意的，直線始終經過定點．
∴動直線恒過一定點．
5．（2024·全國·模擬預測）設拋物線，直線與交于，兩點，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點為上一點，過點作拋物線的兩條切線，，設切點分別為，，試求直線，斜率之積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）聯立直線與方程可得與橫坐標有關韋達定理，結合弦長公式計算即可得解；
（2）借助導數可得、，從而得到，結合韋達定理可表示出，結合圓的縱坐標的范圍即可得解.
【詳解】（1）設點，
由，可得，
則，，
，解得，
即拋物線；
（2）設點，，，其中，，
由，即，，
則，，
則有，
即，都在直線上，
化簡得，
將直線的方程代入得，
則，，
則
，
又為的一點，則，故．
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
6．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的長軸為雙曲線的實軸，且經過點．
(1)求橢圓的標準方程．
(2)已知橢圓在其上一點處的切線方程為．過橢圓的左焦點作直線與橢圓相交于兩點，過點分別作橢圓的切線，兩切線交于點．求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意得到的值，從而得到橢圓方程；
（2）根據題意設出直線的方程，點的坐標，由題干提示得到橢圓在點處的切線方程，聯立方程得到點的坐標.根據直線的斜率是否存在進行分類討論，進一步證明與垂直.
【詳解】（1）由題意得解得
所以橢圓的標準方程為．
（2）當直線的斜率為0時，分別為橢圓的左、右頂點，此時切線平行無交點，故不符合題意．
當直線的斜率不為0時，由（1）知，
設直線，
則橢圓在點處的切線方程為，在點處的切線方程為．
由，得，
代入①得，所以．
當時，直線的斜率不存在，直線的斜率為0，；
當時，直線的斜率為，直線的斜率為，所以．
綜上，．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的設線技巧：
（1）當題干中直接或者隱含直線過定點時，可設點斜式
局限性：不能表示垂直于x軸的直線，需要單獨討論；
（2）當題干中含有過y軸上一定點時，或者在解題步驟中需要或，需要消掉y保留x時，設會簡化解題步驟和計算量
局限性：不能表示垂直于x軸的直線，需要單獨討論；
（3）當題干含有過x軸上一定點時，或者在解題步驟中需要或，需要消掉x保留y時，設會簡化解題步驟和計算量
局限性：不能表示垂直于y軸的直線，需要單獨討論.
1．（2022高三·全國·專題練習）求過橢圓上一點的切線方程．
【答案】
【分析】令，利用伸縮變換求得橢圓和點M在新坐標系下的方程和坐標，然后由圓的切線方程和伸縮變換公式可得.
【詳解】令，則橢圓在新坐標系下的方程是：，點在新坐標系下的坐標是：，
設過圓上的點的切線方程為（易得斜率必存在），
即代入
整理得
由題意可知，，整理得
即，所以切線方程為，即：
過橢圓上一點的切線的方程是：，即：．
2．（2022高三·全國·專題練習）設雙曲線：上點．求雙曲線在點處的切線的方程．
【答案】.
【分析】將雙曲線在某點的切線方程轉化為曲線在某點的切線方程，利用導數求出在某點的切線斜率，進一步求出切線的方程.
【詳解】由可得，
根據題目條件，可知求曲線在點P處的切線的方程，
∴曲線在點P處的切線斜率為
∴曲線在點P處的切線方程為
化簡得
∴雙曲線C在點P處的切線的方程為．
3．（2021高三·全國·專題練習）求與雙曲線有共同的漸近線，且與直線相切的標準雙曲線方程.
【答案】
【分析】解法一：設所求雙曲線的方程為，根據雙曲線與直線相切，且該直線與其漸近線不平行，聯立，利用判別式求解；解法二：設所求雙曲線的方程為，設其與直線相切的切點為，
得到切線方程為，再根據與直線相切，由求解；解法三：設所求雙曲線方程為，雙曲線上一點的坐標為，得到切線方程為，再根據與直線相切，由兩直線重合求解.
【詳解】解法一：設所求雙曲線的方程為.
此雙曲線與直線相切，且直線與漸近線顯然不平行，
由方程組消去x，得，
其判別式，解得.
故所求雙曲線的標準方程為，即.
解法二：設所求雙曲線的方程為，即，
設其與直線相切的切點為，
則切線方程為，
，
，.
代入雙曲線方程中并化簡得，
又，，
故所求雙曲線的標準方程為.
解法三：設所求雙曲線方程為，雙曲線上一點的坐標為，
以此點為切點的雙曲線的切線方程為，
化簡得.
它和直線重合，
，即，
由等比定理得，
即，，
所以雙曲線方程為.
4．（22-23高三上·廣東佛山·階段練習）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為 ．
【答案】
【分析】設切線方程，分別與圓的方程以及拋物線方程進行聯立，利用各自的，即可求解.
【詳解】設切線方程為：，分別聯立方程得到和，
得和，
得和，
解得和，解得或，
所以，兩曲線的公共切線的其中一條方程可為：
故答案為：
5．（2023·全國·模擬預測）已知拋物線的一條切線方程為，則的準線方程為 ．
【答案】
【分析】由，消去得，由求出，從而求得準線方程．
【詳解】由，消去得，
由題意，解得，
則拋物線方程為：，
所以拋物線的準線方程為：，即．
故答案為：．
6．（24-25高三上·浙江·開學考試）已知拋物線與斜率為的直線恰有一個公共點，則點的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由導數的幾何意義列方程即可求解.
【詳解】題述直線斜率為，所以切點不可能是原點（否則切線斜率不存在，與題意矛盾），
也不可能是斜率為0的直線與拋物線的交點（因為題述直線斜率為，它不等于0），
或，
當時，，
當時，，
綜上所述，若切點的坐標為，則有，解得.
故選：B.
7．（2024高三·全國·專題練習）已知是雙曲線外一點，過P引雙曲線的兩條切線，為切點，求直線的方程．
【答案】
【分析】根據雙曲線的切線方程（或切點弦方程）的結論直接代入即可得直線的方程.
【詳解】如下圖所示：
方法一：
根據題意，設切點坐標為，
根據結論：若點在雙曲線上，則過點的雙曲線的切線方程是．
則可得切線的方程分別為，；
又因為在切線上，可得，；
因此在方程的兩根，
可知直線的方程為，也即.
方法二：
可直接利用結論：若點在雙曲線外，過點作雙曲線的兩條切線，切點為點，則切點弦的直線方程是；
可得直線的方程為，也即
8．（2020·陜西西安·一模）在平面直角坐標系中，動點在橢圓上運動，則點到直線的距離的最大值為 ．
【答案】
【解析】求出與已知直線平行且與橢圓相切的直線方程，根據橢圓的性質可得兩條切線中與已知直線距離較遠的那條直線上的點到直線的最大值．
【詳解】解：設直線與橢圓相切
聯解消去，得
，解得或
與直線平行且與橢圓相切的直線方程為
其中與直線距離較遠的是，且距離為，
到直線的最大距離為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了點到直線的距離公式、橢圓的簡單幾何性質和直線與圓錐曲線的關系等知識，屬于中檔題．
9．（24-25高三上·北京·階段練習）已知拋物線，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【答案】A
【分析】設，利用導數的幾何意義可得直線與直線的方程，進而得到點的坐標，結合點在直線上，得，即,根據數量積的坐標運算化簡后即可得解．
【詳解】設，由求導得，
則直線方程為，即，
同理可得直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得，
由點在直線上，得，即
故選：A．
10．（2023高三·全國·專題練習）已知點P（x，y）是橢圓上任意一點，則點P到直線l：的最大距離為 .
【答案】/
【分析】
求出與直線平行的直線方程，離直線較遠的直線與的距離即為所求．
【詳解】
設直線y＝x＋m與橢圓相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，
∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±，
切線方程為y＝x＋和y＝x－，與l距離較遠的是y＝x－，
∴所求最大距離為d＝＝.
故答案為：
1．（2022高三·全國·專題練習）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為 ．
【答案】/
【分析】依題意，注意到點在橢圓上，由此得到橢圓在點處的切線方程；再結合上述性質得到橢圓與雙曲線在其公共點處的斜率間的關系，進而求出雙曲線在點處的切線的斜率．也可以利用結論6直接得到答案．
【詳解】根據結論6，由題意得橢圓在點處的切線方程為，
即，該直線的斜率為，由結論5得知，該雙曲線在點處的切線的斜率為．
故答案為：.
2．（2024·廣東茂名·模擬預測）已知拋物線：，定點，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，，，是切點，則面積的最小值為 .
【答案】
【分析】根據題意設出過點M的切線方程，得出切線斜率之間的關系，求出直線方程，聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理結合面積公式可得結果.
【詳解】設，的斜率分別為，且
過點M的切線方程為，聯立，
解得，所以，
即，所以，
設切點，由導數幾何意義知，
所以，，所以直線，
即：且，所以：，
直線恒過定點，其到的距離為1，
聯立得，
∴，，即，
∴，
故答案為：.
【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題，往往需聯立直線與圓錐曲線方程，結合韋達定理，利用弦長公式，斜率公式，向量平行于垂直的等價條件轉化求解.
3．（2024高三·全國·專題練習）（多選）已知O為坐標原點，拋物線上有異于原點的，兩點，F為拋物線的焦點，以A，B為切點的拋物線的切線分別記為PA，PB，則（ ）
A．若，則A，F，B三點共線 B．若，則A，F，B三點共線
C．若，則A，F，B三點共線 D．若，則A，F，B三點共線
【答案】BC
【分析】設直線AB的方程，與拋物線的方程聯立，化簡整理為一元二次方程，根據根與系數的關系得到，，進而得到，，根據四個選項中的條件，逐一判斷選項．
【詳解】設直線AB的方程為，代入拋物線方程得，
則，，，
所以，．
選項A：若，則，得，故直線AB不一定經過焦點F，所以A錯誤．
選項B：若，則，得，故直線AB經過焦點F，所以B正確．
選項C：設在點處的切線方程為，即，
與拋物線方程聯立得，
，即，解得，
所以，即，
即切線PA的方程為，同理切線PB的方程為，
由，得，得，由B知直線AB經過焦點F，所以C正確．
選項D：因為，
則，
整理得，則，故直線AB不一定經過焦點F，所以D錯誤．
故選：BC.
4．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）已知是拋物線上任一點，為的中點，記動點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過點作曲線的兩條切線，切點分別為，求點到直線的距離的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，從而得到點的坐標為，再根據點是拋物線上任一點，代入方程，整理可得；
（2）設，，，利用導數的幾何意義表示出切線方程，即可得到，同理可得，從而得到直線的方程為，再由點到直線的距離公式及基本不等式計算可得.
【詳解】（1）設，因為為的中點，所以點的坐標為，
又點是拋物線上任一點，所以，
整理得，即的方程為；
（2）設，，，則，，，
由拋物線的方程為，即，則，
所以的方程為，即，
所以，同理可得，
所以直線的方程為，
則點到直線的距離
，
當且僅當，即時取等號，
所以點到直線的距離的最小值為.
5．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習）已知橢圓的左 右焦點分別為，上頂點為，離心率為，拋物線的焦點為．
(1)記橢圓與拋物線在第一象限的交點為，若，求拋物線的方程；
(2)過點的直線與拋物線相切于第一象限，切點為，證明：直線經過點，且為線段的中點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）聯立拋物線與橢圓方程可得,進而根據拋物線的焦半徑公式可得，即可根據橢圓定義求解，
（2）聯立直線與拋物線方程，根據判別式為0，解得斜率為1，進而根據的斜率得直線經過點，根據向量的坐標相等可證線段相等，即可求證中點關系.
【詳解】（1）因為拋物線的焦點為，所以拋物線．
因為離心率為，所以，即．
聯立得，
解得舍去，
所以．
因為，
所以，解得，
所以拋物線的方程為．
（2）證明：由題意可知直線有斜率，
設直線，
聯立得①．
令，解得（舍去）．
直線的斜率為，與直線的斜率相等，
所以直線與直線重合，直線經過點．
將代入①，解得．
將代入直線的方程可得，所以，
所以，所以為線段的中點．
綜上，直線經過點，且為線段的中點．
6．（23-24高三下·山東濟寧·開學考試）已知雙曲線的左右焦點分別為，漸近線方程為，且經過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點作雙曲線的切線與軸交于點，試判斷與的大小關系，并給予證明．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）由題意可列出方程組，解出方程組即可得解；
（2），首先求出直線的方程，進一步作關于的對稱點為，只需證明，，三點共線即可得證.
【詳解】（1）由已知，解之得，
所以雙曲線的方程為.
（2）
.
證明如下：
令，
由，得，
由得，
所以.
令關于的對稱點為，且與直線的交點為，
則，
解之得，即，
又因為，，所以，，三點共線，
因為為線段的垂直平分線，所以，
所以，.
7．（2024·陜西安康·模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，過與軸垂直的直線交于兩點，且，離心率為.
(1)求的方程；
(2)已知圓上點處的切線方程是，利用類比思想可知雙曲線上點處的切線方程為.過點分別作雙曲線的左 右兩支的切線，切點分別為，連接，并過線段的中點分別再作雙曲線左 右兩支的切線，切點分別為，證明：點在同一條直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知先表示，結合已知及雙曲線性質即可求解；
（2）由已知直線與圓相切可求得直線與雙曲線相切的方程，可求出的直線方程，聯立直線與雙曲線方程，進而可求出直線的方程，可得直線經過點，即可求解.
【詳解】（1）在中，
令，得，
所以，
則，解得.
所以的方程為.
（2）由類比思想可知雙曲線在處的切線方程為，
同理，在處的切線方程為，
又因為兩切線的交點為，
所以滿足，
從而得到直線的方程為.
聯立方程，整理可得，需滿足
所以，
即可得線段的中點，
設，
根據已知可得在兩點處的切線方程分別為
又兩切線交點為，
所以，
可得直線的方程為，
整理得，
即，
直線恒過點，
所以點在同一條直線上.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了直線與雙曲線位置關系的應用，考查了方程思想的應用，屬于中檔題.
解題關鍵是把雙曲線在處的切線方程設出來，結合兩切線的交點,可把直線的方程求出來，聯立雙曲線方程，運用韋達定理可求出中點的坐標.同理把雙曲線在處的切線方程設出來，結合交點可求出直線的方程，根據直線的方程，即可判斷直線恒過點，即點在同一條直線上.
8．（23-24高三下·河南·階段練習）已知橢圓與雙曲線的焦點與的焦點間的距離為.
(1)求與的方程；
(2)過坐標軸上的點可以作兩條與的公切線.
（i）求點的坐標.
（ii）當點在軸上時，是否存在過點的直線，使與均有兩個交點？若存在，請求出的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)（i）或或或；（ii）不存在，理由見解析
【分析】（1）由題意可得，求解即可求與的方程；
（2）（i）顯然公切線的斜率存在且不為0，設公切線，分別與與的方程聯立方程組，利用判別式等于0可求公切線方程，公切線的交點即點的坐標.
（ii）假設存在直線與均有兩個交點，由（i）知，判斷方程組有無解即可.
【詳解】（1）由題意可得，解得.
所以.
（2）（i）顯然公切線的斜率存在且不為0，設公切線，
聯立得，
則，
即①
聯立得，
則，即②
聯立①②得，所以公切線為或.
公切線的交點即點的坐標，
由，解得，由，解得，
由，解得，，解得，
綜上所述：或或或.
（ii）當點在軸上時，，
假設存在直線與均有兩個交點，
由（i）知，不等式組無解，
所以不存在過點的直線與均有兩個交點.
9．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知曲線上的動點滿足，且.
(1)求的方程；
(2)已知直線與交于兩點，過分別作的切線，若兩切線交于點，且點在直線上，證明：經過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據雙曲線的定義即可求解，
（2）聯立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據相切得判別式為0，可得，進而可得坐標，根據兩點坐標可得直線的方程，即可根據交點在直線化簡求解.
【詳解】（1）因為，
所以曲線是以為焦點，以2為實軸長的雙曲線，
所以實半軸長，半焦距，虛半軸長，
所以曲線的方程為.
（2）由題知切線斜率均存在，所以設過點所作的切線分別為，
由題意知且，由得，
因為與相切，
所以，且，整理得.
此時可得，即.
同理.
由得.
直線的斜率為，
所以的方程為，
令，得，
即經過定點.
【點睛】圓錐曲線中定點問題的兩種解法
（1）引進參數法：先引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
技巧：若直線方程為,則直線過定點;
若直線方程為 (為定值),則直線過定點
10．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為坐標原點，在橢圓上僅存在個點，使得為直角三角形，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知點是橢圓上一動點，且點在軸的左側，過點作的兩條切線，切點分別為、.求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，當時，存在兩個點，使得為直角三角形，設點，利用平面向量數量積的坐標運算可得出，再利用面積的最大值可得出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；
（2）證明出拋物線在點處的切線方程為，可得出拋物線在點處的切線方程，聯立兩切線方程，求出點的坐標為，設，其中，利用二次函數的基本性質可求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：當軸時，存在兩個點，使得為直角三角形，
當軸時，存在兩個點，使得為直角三角形，
當時，由題意可知，存在兩個點，使得為直角三角形，
設點，其中，則，可得，
且，，
則，可得，
由題意可知，，則，
當點為橢圓短軸的頂點時，到軸的距離最大，此時，的面積取最大值，
即，則，故，
因此，橢圓的方程為.
（2）解：設點、，先證明出拋物線在點處的切線方程為，
聯立可得，即，解得，
所以，拋物線在點處的切線方程為，
同理可知，拋物線在點處的切線方程為，
聯立可得，
所以，，則，即點，
因為點在軸左側，則，即，
因為點在橢圓上，則，
設，其中，則，，
所以，
，
因為，則，則，
所以，，
因此，的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；
（2）利用已知參數的范圍，求新的參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系；
（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；
（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；
（5）利用求函數值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍.
1．（福建·高考真題）如圖，直線與拋物線相切于點.

（1）求實數的值；
（2）求以點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）聯立直線方程與拋物線方程，根據相切可知聯立化簡后的方程，即可求得的值；
（2）將（1）中所得的值代入聯立后的方程，可求得切點坐標，由與拋物線的準線相切可得圓的半徑，進而可得圓的標準方程.
【詳解】（1）直線與拋物線相切于點.
則，得，（*）
因為直線與拋物線相切，
所以，
解得.
（2）由（1）可知，故方程（*）即為，
解得，代入，得.
故點，
因為圓與拋物線的準線相切，
所以圓的半徑等于圓心到拋物線的準線的距離，
即，
所以圓的方程為.
【點睛】本題考查由直線與拋物線相切求參數，拋物線定義的簡單應用及圓的標準方程求法，屬于基礎題.
2．（安徽·高考真題）設是拋物線的焦點．
（Ⅰ）過點作拋物線的切線，求切線方程；
（Ⅱ）設為拋物線上異于原點的兩點，且滿足，延長分別交拋物線于點，求四邊形面積的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）32.
【分析】（Ⅰ）可設切線方程為，與拋物線方程聯立，利用判別式等于零列方程即可得結果；（Ⅱ）直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理、弦長公式可求得的值，從而可得四邊形面積，利用基本不等式可得結果.
【詳解】（Ⅰ）由題意可設切線方程為,聯立方程得
由可得:
所求切線方程為:或
（Ⅱ）設, 不妨設直線的斜率為,則方程為
由:得∴
∴
又，∴直線的斜率為:，
同理可得：
∴
∴當時，等號成立，四邊形面積的最小值為32
【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法求解.
3．（陜西·高考真題）已知拋物線，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點.
（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；
（Ⅱ）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【答案】（Ⅰ）證明見解析．
（Ⅱ）存在，使．
【詳解】（Ⅰ）如圖，設.
把代入得，由韋達定理得.
∴，∴點的坐標為.
設拋物線在點處得切線的方程為，
將代入上式得，
∵直線與拋物線相切，
∴，∴，即.
（Ⅱ）假設存在實數，使，則.
又∵是的中點，∴.
由（Ⅰ）知.
∵軸，∴.
又
.
∴，解得，即存在，使.
點睛：本題考查的是拋物線的標準方程及直線與拋物線的位置關系，以及運用所學知識去分析問題解決問題的能力．求解第一問時聯立直線與拋物線的方程組，運用斜率相等證明命題的成立；第二問求解的思路是先假設符合題設條件的參數存在，然后再依據題設條件進行分析探求，最終求出滿足題設條件的在，使得問題獲解．
4．（廣東·高考真題）已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據離心率求出的值，最后根據、、三者的關系求出的值，從而確定橢圓的標準方程；（2）分兩種情況進行計算：第一種是在從點所引的兩條切線的斜率都存在的前提下，設兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關系得到，并設從點所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯立得到關于的一元二次方程，利用得到有關的一元二次方程，最后利用以及韋達定理得到點的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標軸垂直的情況下求出點的坐標，并驗證點是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點的軌跡方程.
（1）由題意知，且有，即，解得，
因此橢圓的標準方程為；
（2）①設從點所引的直線的方程為，即，
當從點所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設為、，則，
將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，
，
化簡得，即，
則、是關于的一元二次方程的兩根，則，
化簡得；
②當從點所引的兩條切線均與坐標軸垂直，則的坐標為，此時點也在圓上.
綜上所述，點的軌跡方程為.
考點：本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關系以及動點的軌跡方程，將直線與二次曲線的公共點的個數利用的符號來進行轉化，計算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應用.
5．（廣東·高考真題）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；
(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
【詳解】試題分析：（1）設拋物線的方程為，利用點到直線的距離,求出,得到拋物線方程；（2）對拋物線方程求導,求出切線的斜率,用點斜式寫出切線方程,化成一般式,找出共同點,得到直線的方程；（3）由拋物線定義可知，聯立直線與拋物線方程,消去,得到一個關于的一元二次方程,由韋達定理求得的值,還有,將表示成的二次函數的形式,再求出最值.
試題解析: 解：（1）依題意，設拋物線的方程為，由結合，
解得，所以拋物線的方程為.
（2）拋物線的方程為，即，求導得，
設(其中)則切線的斜率分別為，
所以切線的方程為，即，即，
同理可得切線的方程為，
因為切線均過點，所以 ，，
所以為方程的兩組解，
所以直線的方程為.
（3）由拋物線定義可知，
聯立方程，消去整理得.
由一元二次方程根與系數的關系可得，
所以
又點在直線上，所以，
所以，
所以當時，取得最小值,且取得最小值為.
考點：1.點到直線距離公式；2.拋物線方程；3.利用導數求拋物線上某點切線的斜率；4.二次函數求最值.
【方法點晴】本題利用拋物線為載體,考查了求拋物線方程,利用導數求拋物線上某點切線的斜率等知識點,屬于中檔題.第一問很容易,第二問中,利用導數求拋物線上一點的切線斜率,比用聯立方程,判別式等于的方法要好,步驟少,花的時間也少.從切線的方程,得出直線的方程;第三問先用拋物線定義把的值表示出來,聯立直線與拋物線方程,得到的值, 將表示成的二次函數的形式,再求出最值.
6．（福建·高考真題）如圖，等邊三角形OAB的邊長為，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py（p＞0）上．
（1） 求拋物線E的方程；
（2） 設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相交于點Q．證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點
【答案】（1）（2）見解析
【詳解】(1)依題意，|OB|＝8，∠BOy＝30°．
設B(x，y)，則x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12．
因為點B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2．故拋物線E的方程為x2＝4y．
(2)方法一：由(1)知y＝x2，y′＝x．
設P(x0，y0)，則x0≠0，且l的方程為
y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－．
由，得．
所以Q(，－1)．
設M(0，y1)，令·＝0對滿足y0＝ (x0≠0)的點(x0，y0)恒成立．
由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，
由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，
即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0　(*)．
由于(*)式對滿足y0＝ (x0≠0)的y0恒成立，
所以，解得y1＝1．
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1)．
7．（湖南·高考真題）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.
（1）求的方程；
（2）過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向
（ⅰ）若，求直線的斜率
（ⅱ）設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形
【答案】（1）；（2）（i），（ii）詳見解析.
【詳解】試題分析：（1）根據已知條件可求得的焦點坐標為，再利用公共弦長為即可求解；（2）（i）設直線的斜率為，則的方程為，由得，根據條件可知，從而可以建立關于的方程，即可求解；（ii）根據條件可說明，因此是銳角，從而是鈍角，即可得證
試題解析：（1）由：知其焦點的坐標為，∵也是橢圓的一焦點，
∴ ①，又與的公共弦的長為，與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，∴②，聯立①，②，得，，故的方程為；（2）如圖，，，，，
（i）∵與同向，且，∴，從而，即，于是③，設直線的斜率為，則的方程為，由得，而，是這個方程的兩根，∴，④，由得，而，是這個方程的兩根，∴，⑤，將④⑤帶入③，得，即，
∴，解得，即直線的斜率為.

（ii）由得，∴在點處的切線方程為，即
，令，得，即，∴，而，于是
，因此是銳角，從而是鈍角.，故直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形.
考點：1.橢圓的標準方程及其性質；2.直線與橢圓位置關系.
【名師點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及其性質以及直線與橢圓的位置關系，屬于較難題，解決此
類問題的關鍵：（1）結合橢圓的幾何性質，如焦點坐標，對稱軸，等；（2）當看到題目中出現
直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數關系，找準題設條
件中突顯的或隱含的等量關系，把這種關系“翻譯”出來，有時不一定要把結果及時求出來，可能需要整
體代換到后面的計算中去，從而減少計算量.
8．（浙江·高考真題）如圖，已知拋物線，圓，過點 作不過原點O的直線PA，PB分別與拋物線和圓 相切，A，B為切點.
（1）求點A，B的坐標；
（2）求的面積.
注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點.
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）設定直線的方程，通過聯立方程，判別式為零，得到點的坐標；根據圓的性質，利用點關于直線對稱，得到點的坐標；（2）利用兩點求距離及點到直線的距離公式，得到三角形的底邊長與底邊上的高，由此計算三角形的面積.
試題解析：（1）由題意可知，直線的斜率存在，故可設直線的方程為.
所以消去，整理得：.
因為直線與拋物線相切，所以，解得.
所以，即點.
設圓的圓心為，點的坐標為，由題意知，點，關于直線對稱，故有，
解得.即點.
（2）由（1）知，，
直線的方程為，
所以點到直線的距離為.
所以的面積為.
考點：1.拋物線的幾何性質；2.直線與圓的位置關系；3.直線與拋物線的位置關系.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)圓錐曲線中的切線方程與切點弦方程
（高階拓展、競賽適用）
（4類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第10題,6分 過拋物線上的點與圓相切 切線長 根據拋物線方程求焦點 直線與拋物線交點相關問題
2020年新Ⅱ卷，第21題,12分 求橢圓的切線方程 根據橢圓過的點求標準方程 橢圓中三角形 (四邊形)的面積 求橢圓中的最值問題
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線切線的定義
2.理解、掌握圓錐曲線的切線問題及其相關計算
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習
知識講解
1 過圓 上一點 的切線方程:
2. 設 為橢圓 1上的點, 則過該點的切線方程為:
3. 設 為雙曲線 上的點, 則過該點的切線方程為:
4. 設 為拋物 線 上的點, 則過該點的切線方程為
設 為圓 外一點, 則切點弦的方程為:
6. 設 為橢圓 外一點, 過該點作橢圓的兩條切線,切點為 , 則弦 的方程為:
7. 過 為雙曲線 的兩支作兩條切線, 則切點弦方程為
8. 設 為拋物線 開口外一點, 則切點弦的方程為:
考點一、橢圓中的切線方程和切點弦方程
1．（2022高三·全國·專題練習）橢圓上點P(1,1)處的切線方程是 ．
2．（22-23高三下·河南·階段練習）已知橢圓，離心率為，過的直線分別與相切于，兩點，則直線方程為（ ）
A．或 B．
C． D．或
3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知過圓錐曲線上一點的切線方程為.過橢圓上的點作橢圓的切線，則過點且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
1．（2022·全國·高三專題練習）求過橢圓上一點的切線方程．
2．（22-23高三全國·課后作業）曲線上點到直線距離的最小值為 ．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知直線經過橢圓的一個頂點E和一個焦點F．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求過與橢圓相切的直線方程．
4．（24-25高三上·湖南·開學考試）已知橢圓過點和.
(1)求的離心率；
(2)若直線與有且僅有一個交點，求的一般式方程.
5．（23-24高二下·河南開封·期末）已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是，，且經過點．
(1)求C的標準方程；
(2)已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點，求l的方程．
考點二、雙曲線中的切線方程和切點弦方程
1．（2024高三·全國·專題練習）求雙曲線在點處的切線方程．
2．（2023高二·全國·專題練習）過點作雙曲線： 的兩條切線，切點分別為，求直線的方程 ．
3．（2022高三·全國·專題練習）已知雙曲線的一條切線的斜率為2，求這條切線方程．
1．（2024高三·全國·專題練習）（1）求雙曲線在點處的切線方程；
（2）已知是雙曲線外一點，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點，求直線AB的方程．
2．（2020高三·江蘇·專題練習）在雙曲線上求一點，使到直線的距離最短．
考點三、拋物線中的切線方程和切點弦方程
1．（2022高三·全國·專題練習）拋物線過點的切線方程為（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高三·全國·專題練習）過點作拋物線：的兩條切線，切點分別為A，B，求直線的方程．
3．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則 .
4．（2024高三·全國·專題練習）已知M是直線上的動點，過點M作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B（與坐標原點O不重合），當時，直線AB的方程為 ．
1．（2023高三·全國·專題練習）過拋物線上一點的拋物線的切線方程為 .
2．（21-22高二下·河南新鄉·期末）過點作拋物線的切線，則切點的橫坐標為 ．
3．（2023·山東·模擬預測）已知拋物線：，過直線：上的動點可作的兩條切線，記切點為，則直線（ ）
A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過點 D．恒過點
4．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習）已知拋物線的焦點為，且F與圓上點的距離的最小值為2．
(1)求；
(2)已知點，，是拋物線的兩條切線，，是切點，求．
考點四、切線方程及切點弦方程的應用
1．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．若，求直線的方程．
2．（2021·全國·高考真題）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
1．（2024·四川德陽·三模）已知為拋物線：的焦點，過點且傾斜角為的直線與拋物線相交于不同的兩點，若拋物線在兩點處的切線相交于點，則 .
2．（2024·河南洛陽·模擬預測）（多選）過點向拋物線作兩條切線，切點分別為為拋物線的焦點，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習）在直角坐標系中，曲線C：與直線交與M,N兩點，
(1)當時，分別求C在點M和N處的切線方程；
(2) y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有？說明理由.
4．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的離心率為，橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形的最大面積為1．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點為直線上的任意一點，過點作橢圓的兩條切線（切點分別為），試證明動直線恒過一定點，并求出該定點的坐標．
5．（2024·全國·模擬預測）設拋物線，直線與交于，兩點，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點為上一點，過點作拋物線的兩條切線，，設切點分別為，，試求直線，斜率之積的最小值．
6．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的長軸為雙曲線的實軸，且經過點．
(1)求橢圓的標準方程．
(2)已知橢圓在其上一點處的切線方程為．過橢圓的左焦點作直線與橢圓相交于兩點，過點分別作橢圓的切線，兩切線交于點．求證：．
1．（2022高三·全國·專題練習）求過橢圓上一點的切線方程．
2．（2022高三·全國·專題練習）設雙曲線：上點．求雙曲線在點處的切線的方程．
3．（2021高三·全國·專題練習）求與雙曲線有共同的漸近線，且與直線相切的標準雙曲線方程.
4．（22-23高三上·廣東佛山·階段練習）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為 ．
5．（2023·全國·模擬預測）已知拋物線的一條切線方程為，則的準線方程為 ．
6．（24-25高三上·浙江·開學考試）已知拋物線與斜率為的直線恰有一個公共點，則點的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全國·專題練習）已知是雙曲線外一點，過P引雙曲線的兩條切線，為切點，求直線的方程．
8．（2020·陜西西安·一模）在平面直角坐標系中，動點在橢圓上運動，則點到直線的距離的最大值為 ．
9．（24-25高三上·北京·階段練習）已知拋物線，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
10．（2023高三·全國·專題練習）已知點P（x，y）是橢圓上任意一點，則點P到直線l：的最大距離為 .
1．（2022高三·全國·專題練習）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為 ．
2．（2024·廣東茂名·模擬預測）已知拋物線：，定點，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，，，是切點，則面積的最小值為 .
3．（2024高三·全國·專題練習）（多選）已知O為坐標原點，拋物線上有異于原點的，兩點，F為拋物線的焦點，以A，B為切點的拋物線的切線分別記為PA，PB，則（ ）
A．若，則A，F，B三點共線 B．若，則A，F，B三點共線
C．若，則A，F，B三點共線 D．若，則A，F，B三點共線
4．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）已知是拋物線上任一點，為的中點，記動點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過點作曲線的兩條切線，切點分別為，求點到直線的距離的最小值.
5．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習）已知橢圓的左 右焦點分別為，上頂點為，離心率為，拋物線的焦點為．
(1)記橢圓與拋物線在第一象限的交點為，若，求拋物線的方程；
(2)過點的直線與拋物線相切于第一象限，切點為，證明：直線經過點，且為線段的中點．
6．（23-24高三下·山東濟寧·開學考試）已知雙曲線的左右焦點分別為，漸近線方程為，且經過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點作雙曲線的切線與軸交于點，試判斷與的大小關系，并給予證明．
7．（2024·陜西安康·模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，過與軸垂直的直線交于兩點，且，離心率為.
(1)求的方程；
(2)已知圓上點處的切線方程是，利用類比思想可知雙曲線上點處的切線方程為.過點分別作雙曲線的左 右兩支的切線，切點分別為，連接，并過線段的中點分別再作雙曲線左 右兩支的切線，切點分別為，證明：點在同一條直線上.
8．（23-24高三下·河南·階段練習）已知橢圓與雙曲線的焦點與的焦點間的距離為.
(1)求與的方程；
(2)過坐標軸上的點可以作兩條與的公切線.
（i）求點的坐標.
（ii）當點在軸上時，是否存在過點的直線，使與均有兩個交點？若存在，請求出的方程；若不存在，請說明理由.
9．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知曲線上的動點滿足，且.
(1)求的方程；
(2)已知直線與交于兩點，過分別作的切線，若兩切線交于點，且點在直線上，證明：經過定點.
10．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為坐標原點，在橢圓上僅存在個點，使得為直角三角形，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知點是橢圓上一動點，且點在軸的左側，過點作的兩條切線，切點分別為、.求的取值范圍.
1．（福建·高考真題）如圖，直線與拋物線相切于點.

（1）求實數的值；
（2）求以點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程.
2．（安徽·高考真題）設是拋物線的焦點．
（Ⅰ）過點作拋物線的切線，求切線方程；
（Ⅱ）設為拋物線上異于原點的兩點，且滿足，延長分別交拋物線于點，求四邊形面積的最小值．
3．（陜西·高考真題）已知拋物線，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點.
（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；
（Ⅱ）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
4．（廣東·高考真題）已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.
5．（廣東·高考真題）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；
(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．
6．（福建·高考真題）如圖，等邊三角形OAB的邊長為，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py（p＞0）上．
（1） 求拋物線E的方程；
（2） 設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相交于點Q．證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點
7．（湖南·高考真題）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.
（1）求的方程；
（2）過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向
（ⅰ）若，求直線的斜率
（ⅱ）設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形
8．（浙江·高考真題）如圖，已知拋物線，圓，過點 作不過原點O的直線PA，PB分別與拋物線和圓 相切，A，B為切點.
（1）求點A，B的坐標；
（2）求的面積.
注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點.
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