資源簡介

圓錐曲線中的光學性質
（高階拓展、競賽適用）
（3類核心考點精講精練）
命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線光學性質的形式
2.理解、掌握圓錐曲線的光學性質問題及其相關計算
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習
知識講解
拋物線的光學性質
如圖 1 所示, 從拋物線的焦點 發出的光線, 被拋物線反射后, 得到的是一系列的與拋物線對稱軸平行 (或重合) 的光線;
如圖 2 所示, 設拋物線在 處的切線 l交對稱軸于點 上切線 l交對稱軸于點 , 則焦點 是 的中點.
圖1 圖2
2. 橢圓的光學性質
如圖 3 所示, 從橢圓的一個焦點發出的光線, 被橢圓反射后,必定經過另一個焦點;
如圖 4 所示, 橢圓在點 處的切線為 , 直線 交直線 于點 , 則 平分 , 由角平分線性質定理, .
圖3 圖 4
3. 雙曲線的光學性質
如圖 5 所示, 從雙曲線一個焦點發出的光線, 被雙曲線反射后, 反射光線的反向延長線交于另一個焦點;
如圖 6 所示, 雙曲線在點 處的切線 與直線 相交于點 , 則 平分 , 由角平分線性質定理,
圖5 圖6
考點一、橢圓中的光學性質
1．（2024·內蒙古赤峰·一模）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.根據橢圓的光學性質解決下面的題目：已知曲線C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·安徽六安·階段練習）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內心，記直線OP，PI（O為坐標原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為 ．
3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.已知橢圓：的左 右焦點分別為，，左 右頂點分別為，，一光線從點射出經橢圓上點反射，法線（與橢圓在處的切線垂直的直線）與軸交于點，已知，.求橢圓的方程.
1．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）班級物理社團在做光學實驗時，發現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題：已知橢圓的方程為，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓切于點，且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則（ ）（注：若的角平分線交于點，則）

A． B． C． D．
2．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）橢圓具有光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓E交與點A，B，過點A作橢圓的切線l，點B關于l的對稱點為M，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·模擬預測）費馬原理是幾何光學中的重要原理，可以推導出圓錐曲線的一些光學性質，如：點為橢圓（為焦點）上一點，則點處的切線平分外角.已知橢圓為坐標原點，是點處的切線，過左焦點作的垂線，垂足為，則為（ ）
A． B．2 C．3 D．
考點二、雙曲線中的光學性質
1．（2023·山西·模擬預測）雙曲線的光學性質是：從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，從發出的光線射向上的點后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三上·全國·階段練習）雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過沿傾斜角120°出發的光線，經雙曲線右支反射，若反射光線的傾斜角為30°，則該雙曲線的離心率為 .
3．（2023·湖南邵陽·三模）（多選）已知雙曲線C的左 右焦點分別為，，雙曲線具有如下光學性質：從右焦點發出的光線m交雙曲線右支于點P，經雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結論正確的有（ ）
A．雙曲線C的方程為
B．若，則
C．若射線n所在直線的斜率為k，則
D．當n過點M（8，5）時，光由所經過的路程為10
1．（2024·山東濟寧·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，根據雙曲線的光學性質可知，過雙曲線上任意一點的切線平分.直線過交雙曲線的右支于A，B兩點，設的內心分別為，若與的面積之比為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．.
2．（2023·全國·模擬預測）“雙曲線新聞燈”的研制是利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過另一個焦點.已知一個“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，其方程為，離心率為，為其右焦點.若從右焦點發出的光線經雙曲線右支上的點和反射，，為反射光線，且滿足，則 .
3．（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發出的兩條光線經過的右支上的兩點反射后，分別經過點和，其中共線，則（ ）
A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為
B．當點的坐標為時，光線由經過點到達點所經過的路程為6
C．當時，的面積為12
D．當時，
考點三、拋物線中的光學性質
1．（2022·福建莆田·三模）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點射出，經過拋物線E上的點B反射后，與拋物線E交于點C，若的面積是10，則( )
A． B．1 C． D．2
2．（23-24高二上·廣東廣州·期末）（多選）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經過上的點反射后，再經上另一點反射后，沿直線射出，且經過點，則（ ）
A．當時，延長交直線于點，則、、三點共線
B．當時，若平分，則
C．的大小為定值
D．設該拋物線的準線與軸交于點，則
3．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）（多選）拋物線有如下光學性質：從焦點發出的光線，經拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知拋物線的焦點為，準線為為拋物線上兩個動點，且三點不共線，拋物線在兩點處的切線分別為在上的射影點分別為，則（ ）
A．點關于的對稱點在上 B．點在上
C．點為的外心 D．
1．（2023·江西·模擬預測）用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中，對稱軸與軸重合，頂點與原點重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點射出，經過上的點反射后，再從上的另一點射出，則（ ）

A．6 B．8 C． D．29
2．（2024·浙江·模擬預測）應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡，這種望遠鏡的特點是，鏡銅可以很短而觀察天體運動又很清楚．某天文儀器廠設計制造的一種反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個分支．已知是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，且，的面積為10，，則拋物線方程為 ．

3．（23-24高三上·山東濱州·期末）拋物線的光學性質：由焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經過上的點反射后，再經過上另一個點反射，沿直線射出，經過點，則（ ）
A．
B．
C．延長交直線于點，則，，三點共線
D．若平分，則
一、單選題
1．（23-24高二上·福建福州·期中）班級物理社團同學在做光學實驗時，發現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左 右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·新疆·三模）拋物線具有以下光學性質：從焦點發出的光線經拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸．該性質在實際生產中應用非常廣泛．如圖所示，從拋物線的焦點F發出的兩條光線a，b分別經拋物線上的A，B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸的夾角均為，且兩條反射光線和之間的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高二上·山東青島·期末）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點和．且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·貴州·階段練習）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，拋物線內部平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，一條光線沿射出，經過拋物線上的點（異于點）反射，反射光線經過點，若，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江蘇揚州·模擬預測）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·廣西柳州·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
8．（23-24高二上·湖北武漢·期末）雙曲線具有如下光學性質：從一個焦點出發的光線，經雙曲線反射后，反射光的反向延長線經過另一個焦點．如圖，已知雙曲線為雙曲線的左、右焦點．某光線從出發照射到雙曲線右支的點，經過雙曲線的反射后，反射光線的反向延長線經過．雙曲線在點處的切線與軸交于點，且反射光線所在直線的斜率為．則以下說法正確的是（ ）

A．點到直線和直線的距離相等
B．
C．雙曲線的離心率為2
D．若過點的直線與雙曲線交于兩點，則點不可能是線段的中點．
9．（2023·湖南長沙·模擬預測）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．點關于x軸的對稱點在直線上
C．直線與直線相交于點D，則A，O，D三點共線
D．直線與間的距離最小值為4
10．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線了上另一點反射，沿直線射出，則下列結論中正確的是（ ）

A． B． C． D．與之間的距離為5
11．（2023·河南·模擬預測）用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標系中，對稱軸與x軸重合，頂點與原點重合.若拋物線C：的焦點為F，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點M射入，經過C上的點反射，再經過C上另一點反射后，沿直線射出，則（ ）

A．C的準線方程為
B．
C．若點，則
D．設直線AO與C的準線的交點為N，則點N在直線上
12．（2023·河北保定·一模）橢圓有一條光學性質：從橢圓一個焦點出發的光線，經過橢圓反射后，一定經過另一個焦點．假設光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個焦點出發，到首次回到該焦點所經過的路程可能為（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
13．（2023·湖北·模擬預測）雙曲線具有如下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點，則（ ）
A．的漸近線方程為 B．
C．過點作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為
14．（23-24高二下·湖南·階段練習）雙曲線的光學性質為：，是雙曲線的左 右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過（如圖1）；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分（如圖2）.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）
A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，的面積為
C．當時，若，則雙曲線的離心率為
D．存在點，使雙曲線在點處的切線經過原點
三、填空題
15．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）費馬原理是幾何光學中的重要原理，可以推導出圓錐曲線的一些光學性質．點P為橢圓（，為焦點）上一點，點P處的切線平分外角．已知橢圓，O為坐標原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則線段的長為 ．
16．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.根據橢圓的光學性質解決下題：已知曲線的方程為，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓切于點，且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則
17．（23-24高二上·河北張家口·期末）圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學性質.我們知道，拋物線的光學性質是平行于拋物線對稱軸的光線經拋物線反射后匯聚于其焦點；雙曲線的光學性質是從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.卡式望遠鏡就是應用這些性質設計的.下圖為卡式望遠鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開孔的凹拋物面鏡，副鏡是雙曲線左支的旋轉面型凸雙曲面鏡，主鏡對應拋物線的頂點與副鏡對應雙曲線的中心重合，當平行光線投射到主鏡上時，經過主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點處，但光線尚未匯聚時，又受到以為焦點的凸雙曲面鏡的反射，穿過主鏡中心的開孔后匯聚于另一個焦點處.以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標系.若米，凹拋物面鏡的口徑為米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡的中央孔洞，則孔洞直徑最小為 米.
18．（2023·浙江杭州·二模）費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數學中可以推導出圓錐曲線的一些光學性質．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則 ．
19．（2024·山東淄博·二模）“若點P為橢圓上的一點，為橢圓的兩個焦點，則橢圓在點處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學性質之一．已知橢圓，點P是橢圓上的點，在點處的切線為直線，過左焦點作的垂線，垂足為，設點的軌跡為曲線．若是曲線上一點，已知點，則的最小值為 ．
四、解答題
20．（2023高三·全國·專題練習）已知橢圓C：上、下頂點分別為，且短軸長為，T為橢圓上（除外）任意一點，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點．
(1)求橢圓C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號．在“天眼”的建設中，用到了大量的圓錐曲線的光學性質，請以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點發出的光線射到橢圓上任意一點M后反射，反射光線必經過另一焦點．（提示：光線射到曲線上某點并反射時，法線垂直于該點處的切線）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)圓錐曲線中的光學性質
（高階拓展、競賽適用）
（3類核心考點精講精練）
命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分
【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線光學性質的形式
2.理解、掌握圓錐曲線的光學性質問題及其相關計算
【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習
知識講解
拋物線的光學性質
如圖 1 所示, 從拋物線的焦點 發出的光線, 被拋物線反射后, 得到的是一系列的與拋物線對稱軸平行 (或重合) 的光線;
如圖 2 所示, 設拋物線在 處的切線 l交對稱軸于點 上切線 l交對稱軸于點 , 則焦點 是 的中點.
圖1 圖2
2. 橢圓的光學性質
如圖 3 所示, 從橢圓的一個焦點發出的光線, 被橢圓反射后,必定經過另一個焦點;
如圖 4 所示, 橢圓在點 處的切線為 , 直線 交直線 于點 , 則 平分 , 由角平分線性質定理, .
圖3 圖 4
3. 雙曲線的光學性質
如圖 5 所示, 從雙曲線一個焦點發出的光線, 被雙曲線反射后, 反射光線的反向延長線交于另一個焦點;
如圖 6 所示, 雙曲線在點 處的切線 與直線 相交于點 , 則 平分 , 由角平分線性質定理,
圖5 圖6
考點一、橢圓中的光學性質
1．（2024·內蒙古赤峰·一模）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.根據橢圓的光學性質解決下面的題目：已知曲線C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據橢圓定義和光的反射定理，以及角平分線定理可得
【詳解】由已知得，，
由橢圓定義可得，
根據光的反射定理可得為的角平分線，
由正弦定理，
所以，，又
所以
即.
故選：D.
2．（22-23高三·安徽六安·階段練習）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內心，記直線OP，PI（O為坐標原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【分析】根據橢圓的焦點三角形以及內切圓的性質，結合兩點距離公式化簡得，由等面積法可得，由斜率關系即可代入化簡求值.
【詳解】不妨設點在第二象限，的內切圓與各邊的切點分別為,設,
則
，
故，，
，
由于點在第二象限，，所以
，故，
，因此，
，
當代入得（負值舍去），
故答案為：
3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.已知橢圓：的左 右焦點分別為，，左 右頂點分別為，，一光線從點射出經橢圓上點反射，法線（與橢圓在處的切線垂直的直線）與軸交于點，已知，.求橢圓的方程.
【答案】
【分析】根據題中所給的性質，結合角平分線的性質、橢圓的定義進行求解即可.
【詳解】由橢圓的定義知，則.
由光學性質可知是的角平分線，所以.
因為，所以，得，
從而，
故橢圓的方程為.
1．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）班級物理社團在做光學實驗時，發現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題：已知橢圓的方程為，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓切于點，且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則（ ）（注：若的角平分線交于點，則）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由光反射的性質易得平分，再由橢圓的定義及已知即可求比例.
【詳解】由題設，則平分，故，
而，，則，所以.
故選：A
2．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）橢圓具有光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓E交與點A，B，過點A作橢圓的切線l，點B關于l的對稱點為M，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合題目所給信息及圖形可得，后由橢圓定義及條件可得，.最后由可得答案.
【詳解】如圖，由橢圓的光學性質可得三點共線.
設，則，.
故，解得.又，所以，.
所以.
故選：A.
3．（2023·浙江·模擬預測）費馬原理是幾何光學中的重要原理，可以推導出圓錐曲線的一些光學性質，如：點為橢圓（為焦點）上一點，則點處的切線平分外角.已知橢圓為坐標原點，是點處的切線，過左焦點作的垂線，垂足為，則為（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】先求得直線的方程，然后求得直線的方程，進而求得點坐標，從而求得.
【詳解】依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，
代入得，
整理得，
由于直線和橢圓相切，則，
整理得，
所以直線的方程為，
對于橢圓，，所以，
所以直線的方程為，
由解得，所以.
故選：A

考點二、雙曲線中的光學性質
1．（2023·山西·模擬預測）雙曲線的光學性質是：從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，從發出的光線射向上的點后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出點，進而求出，利用余弦定理即可得出結果.
【詳解】設在第一象限，，
，，
故選：C
【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質和余弦定理的應用，考查了運算求解能力，屬于一般題目.
2．（21-22高三上·全國·階段練習）雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過沿傾斜角120°出發的光線，經雙曲線右支反射，若反射光線的傾斜角為30°，則該雙曲線的離心率為 .
【答案】
【分析】依題意畫出圖形，則，，即可得到，再利用銳角三角函數及雙曲線的定義計算可得；
【詳解】解：設反射點為，則，，所以，
設，因為，所以，所以，
又，所以，即，
所以.
故答案為：.
3．（2023·湖南邵陽·三模）（多選）已知雙曲線C的左 右焦點分別為，，雙曲線具有如下光學性質：從右焦點發出的光線m交雙曲線右支于點P，經雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結論正確的有（ ）
A．雙曲線C的方程為
B．若，則
C．若射線n所在直線的斜率為k，則
D．當n過點M（8，5）時，光由所經過的路程為10
【答案】AC
【分析】利用雙曲線的漸近線方程及勾股定理，結合雙曲線的定義及兩點間的距離公式即可求解.
【詳解】對于A ，由題意可知，因為雙曲線C的一條漸近線的方程為，
所以，即，所以雙曲線的方程為故A正確；
對于B，由，得，解得，
在中，，由勾股定理及雙曲線的定義知，，
即，解得，故B錯誤；
對于C，由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，
由雙曲線的性質可得射線所在直線的斜率范圍為，故C正確；
對于D，由題意可知，，當過點時，
由雙曲線定義可得光由所經過的路程為，故D錯誤.
故選：AC.
1．（2024·山東濟寧·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，根據雙曲線的光學性質可知，過雙曲線上任意一點的切線平分.直線過交雙曲線的右支于A，B兩點，設的內心分別為，若與的面積之比為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．.
【答案】C
【分析】利用切線長定理求得直線的方程，再借助雙曲線的切線方程求出點的橫坐標，結合面積關系求解即得.
【詳解】令圓切分別為點，則，
，令點，而，
因此，解得，又，則點橫坐標為，同理點橫坐標為，
即直線的方程為，設，依題意，直線的方程分別為：
，，聯立消去得：，
整理得，令直線的方程為，
于是，即點的橫坐標為，
因此，所以雙曲線的離心率.
故選：C
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：
①定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；
②齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.
2．（2023·全國·模擬預測）“雙曲線新聞燈”的研制是利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過另一個焦點.已知一個“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，其方程為，離心率為，為其右焦點.若從右焦點發出的光線經雙曲線右支上的點和反射，，為反射光線，且滿足，則 .
【答案】/
【分析】利用雙曲線的幾何性質，結合解三角形的知識，分別求出、和的各邊長，即可求出，進而求出.
【詳解】設雙曲線的左焦點為，則.
因為離心率為，所以，所以.
不妨設，則.
因為，所以，
把代入，解得：（舍去）.
所以.
在直角中，.
所以.
在中，.
設，則.
由余弦定理得：,
即，
把代入解得：.
所以.
在直角中，.
所以.
所以.
故答案為：.
3．（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發出的兩條光線經過的右支上的兩點反射后，分別經過點和，其中共線，則（ ）
A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為
B．當點的坐標為時，光線由經過點到達點所經過的路程為6
C．當時，的面積為12
D．當時，
【答案】ABD
【分析】根據雙曲線的漸近線的斜率，可得判定A正確；根據雙曲線的定義，求得由經過點到達點所經過的路程，可判定B正確；根據向量的數量積的運算，得到，得到，設，列出方程，求得，進而可判定C錯誤；在直角中，結合，可判定D正確．
【詳解】如圖所示，過點分別作的兩條漸近線的平行線，則的斜率分別為和，
對于A中，由圖可知，當點均在的右支時，或，所以A正確；
對于B中，光線由經過點到達點所經過的路程為
，所以B正確；
對于C中，由，得，即，所以，
設，則，
因為，所以，整理得，
解得或（舍去），所以，，
所以的面積，所以C錯誤；
對于D項，在直角中，，
所以，所以D正確．
故選：ABD．
考點三、拋物線中的光學性質
1．（2022·福建莆田·三模）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點射出，經過拋物線E上的點B反射后，與拋物線E交于點C，若的面積是10，則( )
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根據AB∥x軸知B點縱坐標為2p，代入拋物線方程可求B點橫坐標，利用B和F求出直線BC的方程，代入拋物線方程消去y可得根與系數關系，根據拋物線焦點弦長公式可求BC長度，利用點到直線距離公式可求A到直線BC的距離d，根據即可求出p．
【詳解】由題知拋物線焦點為，AB∥x軸，
將y=2p代入得x=2p，則B為(2p，2p)，
由題可知B、F、C三點共線，BC方程為：，即，
代入拋物線方程消去y得，，
設方程兩根為，則，則，
又到BC：的距離為：，
∴由得．
故選：D．
2．（23-24高二上·廣東廣州·期末）（多選）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經過上的點反射后，再經上另一點反射后，沿直線射出，且經過點，則（ ）
A．當時，延長交直線于點，則、、三點共線
B．當時，若平分，則
C．的大小為定值
D．設該拋物線的準線與軸交于點，則
【答案】AD
【分析】對AB，可代入條件求出拋物線方程后計算出相應的點的坐標，A選項驗證三點縱坐標可得，B選項中結合條件得到計算即可得；對CD，設出直線方程，聯立后得出兩點橫縱坐標關系后，結合斜率與傾斜角的關系即可得.
【詳解】設，如圖所示：

對AB選項：直線平行于軸，當，時，拋物線的方程為，
過點，即有，則，即，直線經過焦點，
直線的方程為，即，
由消去x得，由，得，于是，
顯然直線的方程為，直線交直線于點，
顯然直線軸，由光學性質知，軸，因此、、三點共線，A正確；
由光學性質知軸，而軸，則，有，
又平分，即，則，
于是，即，解得，B錯誤；
對CD選項： 設直線的方程為，
由消去得：， 顯然，
則，，，
設，由斜率坐標公式得，，
于是，即，
而不是定值，因此不是定值，C錯誤；
點，直線斜率，直線斜率
，
即，因此，D正確.
故選：AD
【點睛】方法點睛：有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.
3．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）（多選）拋物線有如下光學性質：從焦點發出的光線，經拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知拋物線的焦點為，準線為為拋物線上兩個動點，且三點不共線，拋物線在兩點處的切線分別為在上的射影點分別為，則（ ）
A．點關于的對稱點在上 B．點在上
C．點為的外心 D．
【答案】AC
【分析】根據拋物線的光學性質及定義知，從而的垂直平分線為，的垂直平分線為，即可判斷選項AC，再利用三點共線時，得到點在上和判斷CD.
【詳解】
如圖：由拋物線定義知，，，根據拋物線的光學性質知：
從F發出的光線經拋物線的反射光線AD、BC與y軸平行，
又拋物線在兩點處的切線分別為，
結合平行線性質及對頂角相等得，
即的垂直平分線為，的垂直平分線為，
所以，，所以點為的外心，故選項C正確；
點關于的對稱點在上，故選項A正確；
假設三點共線，設，，直線AB方程為，
因為，即，所以，所以，，
所以的方程分別為，，
即，，
聯立，所以，所以，
則
，所以，
說明三點共線時，點才落在，因為三點不共線，
所以點不在上，所以選項B錯誤；
當三點共線時，，
當時，直線AB方程為，直線FT方程為，此時，
當時，，此時，
故只有三點共線時，才有，因為三點不共線，所以與不垂直，故選項D錯誤.
故選：AC
【點睛】結論點睛：拋物線的切線相關結論：拋物線C：的焦點為F，直線l過焦點F與拋物線相交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，兩切線交于點G，則點G在拋物線的準線上，且GF⊥AB.
1．（2023·江西·模擬預測）用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中，對稱軸與軸重合，頂點與原點重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點射出，經過上的點反射后，再從上的另一點射出，則（ ）

A．6 B．8 C． D．29
【答案】C
【分析】依題意設，代入拋物線方程，求出，即可得到直線的方程，聯立直線與拋物線方程求出點坐標，即可求出.
【詳解】由，可得的縱坐標為，設，則，解得，
由題意反射光線經過拋物線的焦點，
所以直線的方程為，整理可得，
由消去整理得，解得，，
則，所以，所以.
故選：C
2．（2024·浙江·模擬預測）應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡，這種望遠鏡的特點是，鏡銅可以很短而觀察天體運動又很清楚．某天文儀器廠設計制造的一種反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個分支．已知是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，且，的面積為10，，則拋物線方程為 ．

【答案】
【分析】設，由，解出得點坐標，結合得拋物線方程.
【詳解】以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標系，
不妨設．
由，則有，解得，
又，解得，
，則有，
故拋物線方程為．
故答案為：
3．（23-24高三上·山東濱州·期末）拋物線的光學性質：由焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經過上的點反射后，再經過上另一個點反射，沿直線射出，經過點，則（ ）
A．
B．
C．延長交直線于點，則，，三點共線
D．若平分，則
【答案】BCD
【分析】設出直線方程，聯立后得出兩點縱坐標關系后可判斷A；由選項A求出點可得可判斷B；結合題意求得，由的橫坐標相同得三點共線可判斷C；由平分，根據平面幾何的知識可證得，可判斷D.
【詳解】對于A，由題意點，解得，即點，
拋物線焦點，
所以直線的方程為，即，
將其代入可得，
由韋達定理可得到，故A錯誤；
對于B，由知，因為，所以，
代入可得，解得：，所以，
所以，故B正確；
對于C，易得的方程為，聯立，故，
又軸，所以三點的橫坐標都相同，則三點共線，故C正確；
對于D，若平分，所以，
又因為軸，軸，所以，故，
所以，則，故，，
則，故D正確.
故選：BCD.
一、單選題
1．（23-24高二上·福建福州·期中）班級物理社團同學在做光學實驗時，發現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左 右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由入射光線與反射光線的關系，結合角平分線定理可解.
【詳解】由橢圓定義可得，
由光學性質可知，為的角平分線，
所以.
故選：C
2．（2022·新疆·三模）拋物線具有以下光學性質：從焦點發出的光線經拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸．該性質在實際生產中應用非常廣泛．如圖所示，從拋物線的焦點F發出的兩條光線a，b分別經拋物線上的A，B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸的夾角均為，且兩條反射光線和之間的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】依題意設，聯立直線與拋物線方程，消元，即可求出，同理求出，即可得到方程，解得即可；
【詳解】解：可設，與聯立消元得，解得、，∴，
同理，與聯立消元得，解得、，∴，∴，∴
故選：C
3．（23-24高二上·山東青島·期末）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出點的坐標，進而求出直線方程，與拋物線方程聯立求出點的坐標即得.
【詳解】拋物線的焦點為，準線為，由點在拋物線上，則，
直線方程為：，即，
由，消去得，解得或，由，得，
于是，，
而，
所以的周長為.
故選：D

4．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點和．且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，，由雙曲線的定義可得，，在直角三角形中，在中，運用銳角三角函數的定義、勾股定理和余弦定理，化簡整理，結合離心率公式，可得所求值．
【詳解】解：設，，
由雙曲線的定義可得，，
由，可得，
在直角三角形中，，①
，②
在中，可得③
由①②可得，，
代入③可得，
即為，
則，
故選：D．
5．（22-23高二下·貴州·階段練習）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，拋物線內部平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，一條光線沿射出，經過拋物線上的點（異于點）反射，反射光線經過點，若，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設直線AB的方程，聯立其與拋物線方程求出，代入拋物線方程可求出，再運用拋物線焦點弦公式可得，解方程即可.
【詳解】如圖所示，
，設，，直線AB的方程為，
，
則，解得：，
將代入得，
又因為，
即：，即：，
又因為，
所以，即：，
所以拋物線方程為.
故選：B.
6．（2024·江蘇揚州·模擬預測）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】使用題設條件得到的比值，然后引入參數并得到等量關系，最后使用余弦定理即可得到齊次方程并求解.
【詳解】連接，根據題意，三點共線，三點共線.
而，且由知，
故.
所以，
故可設，，.
由于，
故.
從而，，故，.
而，結合余弦定理得.
故，解得，所以.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于在求得線段間比例后引入參數，方便后續的研究.
7．（2023·廣西柳州·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用雙曲線的光學性質及雙曲線定義，用表示，再在兩個直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【詳解】依題意，直線都過點，如圖，有，，
設，則，顯然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，
所以E的離心率為.
故選：B
【點睛】方法點睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得的值，根據離心率的定義求解離心率；
②齊次式法，由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.
二、多選題
8．（23-24高二上·湖北武漢·期末）雙曲線具有如下光學性質：從一個焦點出發的光線，經雙曲線反射后，反射光的反向延長線經過另一個焦點．如圖，已知雙曲線為雙曲線的左、右焦點．某光線從出發照射到雙曲線右支的點，經過雙曲線的反射后，反射光線的反向延長線經過．雙曲線在點處的切線與軸交于點，且反射光線所在直線的斜率為．則以下說法正確的是（ ）

A．點到直線和直線的距離相等
B．
C．雙曲線的離心率為2
D．若過點的直線與雙曲線交于兩點，則點不可能是線段的中點．
【答案】ABD
【分析】對于A，可由雙曲線的光學性質得到為的角平分線；然后由角平分線的性質以及雙曲線定義求出和可判斷B；再由直線的斜率求出,根據余弦定理判斷C；對于D，假設直線存在，利用點差法導出矛盾.
【詳解】對于A：由雙曲線的光學性質可知，為的角平分線，故A正確；
對于B：由角平分線性質可知，
又，解得，，故B正確；
對于C：設，由直線的斜率為可得，
又，解得，
由余弦定理可知，
整理得：解得或(舍去)，故C錯誤；
對于D：假設存在滿足條件的直線，設，
由可知點的坐標為，為中點可知，
，把點的坐標代入雙曲線方程得，，
兩式作差得，等式右邊等于0，
等式要想成立只能左邊也等于0，即，因為，
此時兩點關于軸對稱，即垂直于軸，顯然與雙曲線不相交，
不滿足題意，故D正確；
故選：ABD
9．（2023·湖南長沙·模擬預測）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．點關于x軸的對稱點在直線上
C．直線與直線相交于點D，則A，O，D三點共線
D．直線與間的距離最小值為4
【答案】ACD
【分析】設出直線的方程，與拋物線方程聯立，然后利用韋達定理即可求出和直線與間的距離，從而可確定AD兩項；表示出直線和的斜率即可確定C項；假設B項正確反推條件，從而可確定B項.
【詳解】由拋物線的光學性質可知，直線AB過拋物線的焦點，

設直線AB的方程為，
將直線AB的方程代入中，得，
所以由韋達定理得，，所以，故選項A正確；
若點關于x軸的對稱點在直線上，則，
所以，即，不一定成立，故不合題意，選項B錯誤；
直線與相交于點，所以直線OD的斜率為，
又直線OA的斜率為，所以，所以A，O，D三點共線，故選項C正確；
直線與間的距離，
當時，d取最小值4，故選項D正確；
故選：ACD.
10．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線了上另一點反射，沿直線射出，則下列結論中正確的是（ ）

A． B． C． D．與之間的距離為5
【答案】ABD
【分析】利用拋物線的光學性質可得，即可計算出B正確；聯立直線與拋物線方程可得A正確；由拋物線定義可得C錯誤，根據與兩直線平行可得D正確.
【詳解】由拋物線的光學性質可知，直線過拋物線的焦點，
又是水平的，所以可得，因此，即選項B正確；
易知直線的方程為，
聯立直線和拋物線，消去可得，
由韋達定理可知，故A正確；
由可得，所以點的坐標為，
利用拋物線定義可知，即C錯誤；
因為與兩直線平行，所以與之間的距離為，即D正確.
故選：ABD
11．（2023·河南·模擬預測）用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標系中，對稱軸與x軸重合，頂點與原點重合.若拋物線C：的焦點為F，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點M射入，經過C上的點反射，再經過C上另一點反射后，沿直線射出，則（ ）

A．C的準線方程為
B．
C．若點，則
D．設直線AO與C的準線的交點為N，則點N在直線上
【答案】AD
【分析】根據拋物線的幾何性質，可判定A正確；設直線，聯立方程組，結合韋達定理，可判定B錯誤；根據，求得，可判定C錯誤；由，聯立方程組得到，結合，可判定D正確.
【詳解】由題意，拋物線，可得焦點，準線方程為，所以A正確；
由拋物線的光學性質可知，直線經過焦點F，且斜率不為0，
設直線，聯立方程組，整理得，
可得，所以，所以B錯誤；
若點，則，所以，所以，，
所以，所以C錯誤；
又由直線，聯立方程組，解得，
由，得，所以，所以點N在直線上，所以D正確.
故選：AD.

12．（2023·河北保定·一模）橢圓有一條光學性質：從橢圓一個焦點出發的光線，經過橢圓反射后，一定經過另一個焦點．假設光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個焦點出發，到首次回到該焦點所經過的路程可能為（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】ACD
【分析】根據已知，光線自出發，可以沿方向傳播，也可以沿方向傳播，也可以不沿軸傳播.根據橢圓的光學性質，分別得出光線傳播的路徑，結合橢圓的定義，即可得出答案.
【詳解】設橢圓左焦點為，右焦點為，左頂點為，右頂點為.
由已知可得，，，所以.
①當光線從出發，沿方向傳播，到達后，根據橢圓的光學性質可知，光線沿方向傳播，第一次經過，此時所經過的路程為，故A項正確；
②當光線從出發，沿方向傳播，到達后，根據橢圓的光學性質可知，光線沿方向傳播，過點后，繼續傳播第一次經過，此時所經過的路程為，故C項正確；
③當光線從出發后，不沿軸傳播，如圖2
光線開始沿傳播，到達點后，根據橢圓的光學性質可知，光線沿方向傳播，過點后，繼續傳播到達點后，根據橢圓的光學性質可知，光線沿方向傳播，第一次經過，此時所經過的路程為.
根據橢圓的定義可知，，，
所以，故D項正確.
故選：ACD.
13．（2023·湖北·模擬預測）雙曲線具有如下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點，則（ ）
A．的漸近線方程為 B．
C．過點作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為
【答案】ABD
【分析】對于A選項，求出雙曲線的漸近線，故A正確；對于B選項， 證明為雙曲線的切線，由雙曲線的光學性質可知，AM平分，故B正確；對于C選項，延長，與的延長線交于點，則AH垂直平分，即點為的中點．又是的中點，求出，故C錯誤；對于D選項，利用基本不等式求出四邊形面積的最小值為，故D正確.
【詳解】對于A選項，由已知可得，，∴C的漸近線方程為，故A正確；
對于B選項，由題意得，AM的直線方程為，所以，∴為雙曲線的切線，由雙曲線的光學性質可知，AM平分，故B正確；
對于C選項，延長，與的延長線交于點，則AH垂直平分，即點為的中點．又是的中點，
∴，故C錯誤；
對于D選項，
，
當且僅當，即時，等號成立．∴四邊形面積的最小值為，故D正確.
故選：ABD．
14．（23-24高二下·湖南·階段練習）雙曲線的光學性質為：，是雙曲線的左 右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過（如圖1）；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分（如圖2）.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）
A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，的面積為
C．當時，若，則雙曲線的離心率為
D．存在點，使雙曲線在點處的切線經過原點
【答案】ABC
【分析】利用直線與雙曲線的位置關系判斷A，利用雙曲線的定義求解焦點三角形面積判斷B，構造齊次方程求解離心率判斷C，利用反證法判斷D即可.
【詳解】因為雙曲線的方程為，所以漸近線方程為，
對于A選項，因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，故A正確；
對于B選項，由雙曲線的定義知，，
若，則
因為，
所以，
解得，
所以的面積為，故B正確；
對于C選項，當時，因為，
，，，
所以，求得，故C正確；
對于D選項，假設雙曲線在點處的切線經過原點，因為平分，
由角分線定理知，，所以，
又，所以假設不成立，故D錯誤；
故選：ABC.
三、填空題
15．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）費馬原理是幾何光學中的重要原理，可以推導出圓錐曲線的一些光學性質．點P為橢圓（，為焦點）上一點，點P處的切線平分外角．已知橢圓，O為坐標原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則線段的長為 ．
【答案】
【分析】先求得直線l的方程，然后求得直線的方程，進而求得M點坐標，進而求解.
【詳解】由題意，設直線l的方程為，即，
聯立，整理得，
所以，解得，
所以直線l的方程為，
對于橢圓，，，
則，即，，
所以直線的方程為，
聯立，解得，即，
則.
故答案為：.

16．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.根據橢圓的光學性質解決下題：已知曲線的方程為，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓切于點，且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則
【答案】
【分析】將橢圓方程化為標準方程，求得，運用橢圓的定義和光線反射定律，以及角平分線定理和橢圓的光學性質得到直線平分，可得，即可得到所求值．
【詳解】
曲線C的方程為，即，即有，，
由橢圓的定義可得且，
過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點M，結合光線的反射定律可得為的角平分線，即有．
故答案為：
17．（23-24高二上·河北張家口·期末）圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學性質.我們知道，拋物線的光學性質是平行于拋物線對稱軸的光線經拋物線反射后匯聚于其焦點；雙曲線的光學性質是從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.卡式望遠鏡就是應用這些性質設計的.下圖為卡式望遠鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開孔的凹拋物面鏡，副鏡是雙曲線左支的旋轉面型凸雙曲面鏡，主鏡對應拋物線的頂點與副鏡對應雙曲線的中心重合，當平行光線投射到主鏡上時，經過主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點處，但光線尚未匯聚時，又受到以為焦點的凸雙曲面鏡的反射，穿過主鏡中心的開孔后匯聚于另一個焦點處.以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標系.若米，凹拋物面鏡的口徑為米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡的中央孔洞，則孔洞直徑最小為 米.
【答案】
【分析】根據拋物線C的焦點坐標為，求得其方程；根據，求得的坐標，由，求得的縱坐標，再根據，求得其橫坐標，再利用得到答案.
【詳解】因為曲線C的焦點坐標為，
所以，則拋物線C的方程為，
因為，
所以，則，解得,
，
設，又，所以，
易知，則
則，解得，
根據題意，從點反射，與軸的交點，此時孔洞半徑最小，即.
易知，則,
即，解得,直徑為.
所以要使副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡的中央孔洞，則孔洞直徑最小為.
故答案為：.
18．（2023·浙江杭州·二模）費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數學中可以推導出圓錐曲線的一些光學性質．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則 ．
【答案】2
【分析】延長交延長線于點，結合題意得點為的中點，，從而得到，再結合雙曲線的定義即可求解．
【詳解】如圖，延長交延長線于點，
因為點是的角平分線上的一點，且，
所以點為的中點，所以，
又點為的中點，且，
所以．
故答案為：2．
19．（2024·山東淄博·二模）“若點P為橢圓上的一點，為橢圓的兩個焦點，則橢圓在點處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學性質之一．已知橢圓，點P是橢圓上的點，在點處的切線為直線，過左焦點作的垂線，垂足為，設點的軌跡為曲線．若是曲線上一點，已知點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】先由已知橢圓的性質結合橢圓定義可得軌跡，再利用圓的性質在軸上找一定點，滿足，從而將轉化為最值問題求解可得.
【詳解】由橢圓方程，知.
如圖，延長、交于點，由題意可知，
又因為，則為的中點，且，
所以，，
又因為為的中點，則.
故點的軌跡為以為原點，為半徑的圓，圓的方程為.
設在軸上存在定點，使得圓上任意一點，滿足，
由，則，
化簡得，
又∵，代入得，
要使等式恒成立，則，即.
∴存在定點，使圓上任意一點滿足，
則，當三點共線（位于兩側）時，等號成立.
由，則，
所以，當三點共線（位于兩側）時等號成立.
如圖，連接，線段與圓的交點即為取最值時的點，此時取到最小值.
故答案為：5.
【點睛】方法點睛：借助阿氏圓探究最值問題：若為兩定點，動點滿足，則時，動點的軌跡為直線；當且時，動點的軌跡為圓，此圓稱之為阿波羅尼斯圓，也稱阿氏圓.借助阿波羅尼斯圓，可以轉化動點到定點的距離，化系數為，從而轉化為到另一定點的距離進而由幾何性質等求解最值.
四、解答題
20．（2023高三·全國·專題練習）已知橢圓C：上、下頂點分別為，且短軸長為，T為橢圓上（除外）任意一點，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點．
(1)求橢圓C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號．在“天眼”的建設中，用到了大量的圓錐曲線的光學性質，請以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點發出的光線射到橢圓上任意一點M后反射，反射光線必經過另一焦點．（提示：光線射到曲線上某點并反射時，法線垂直于該點處的切線）
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設出T點，利用斜率之積為列出方程化簡即可；（2）當M為橢圓頂點時結論顯然成立，當M不是橢圓頂點時，要證明結論成立，只需證明法線平分．
【詳解】（1）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設，直線的斜率分別為，，由題意知，，由得，整理得，故橢圓C的方程為．
（2）
當M為橢圓頂點時結論顯然成立，當M不是橢圓頂點時，要證明結論成立，
只需證明法線平分．
設M點坐標為，則．
設與橢圓切于M點的切線方程為，
與橢圓方程聯立得消去y得：，，
得．
所以切線斜率為，所以法線斜率為，法線方程為，
令，可得法線與x軸交點N的橫坐標為，
易知，，所以，，，
所以，，
所以，
則或（舍去），
所以法線MN平分，所以原結論成立．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑