資源簡介

專題1.2 常用邏輯用語【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 充分條件與必要條件的判斷】 3
【題型2 根據充分條件、必要條件求參數】 3
【題型3 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】 4
【題型4 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】 4
【題型5 根據命題的真假求參數】 5
【題型6 常用邏輯用語與集合綜合】 5
1、常用邏輯用語
考點要求 真題統計 考情分析
(1)必要條件、充分條件、充要條件
(2)全稱量詞與存在量詞
(3)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 2021年全國甲卷：第7題，5分 2022年天津卷：第2題，5分2023年新高考I卷：第7題，5分 常用邏輯用語是高考數學的重要考點，從近幾年高考情況來看，常用邏輯用語沒有單獨命題考查，偶爾以已知條件的形式出現在其他考點的題目中，難度偏易.重點關注以下兩點：①集合與充分、必要條件相結合的問題的求解；②命題的否定和以全稱量詞命題與存在量詞命題為條件，求參數的范圍問題.
【知識點1 常用邏輯用語】
1．充分條件與必要條件
命題真假 “若p,則q”是真命題 "若p,則q"是假命題
推出關系及符號表示 由p通過推理可得出q，記作：p q 由條件p不能推出結論q，記作：
條件關系 p是q的充分條件
q是p的必要條件 p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．
數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．
2．充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q，又有q p，記作p q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．
如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p q，那么p與q互為充要條件．
3．全稱量詞與全稱量詞命題
全稱量詞 所有的、任意一個、 一切、每一個、任給
符號
全稱量詞命題 含有全稱量詞的命題
形式 “對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
4.存在量詞與存在量詞命題
存在量詞 存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的
符號表示
存在量詞命題 含有存在量詞的命題
形式 “存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
5．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1)全稱量詞命題p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．
(2)存在量詞命題p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
【方法技巧與總結】
1．從集合與集合之間的關系上看充分、必要條件
設.
(1)若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
(2)若，則是的必要條件，是的充分條件；
(3)若，則與互為充要條件.
2．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個x0，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例.
(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個x0使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題.
【題型1 充分條件與必要條件的判斷】
【例1】（2024·天津·二模）已知，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預測）命題“”是“，或”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2023·上海普陀·二模）設為實數，則“”的一個充分非必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023·江蘇南京·模擬預測）設A，B，C，D是四個命題，若A是B的必要不充分條件，A是C的充分不必要條件，D是B的充分必要條件，則D是C的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【題型2 根據充分條件、必要條件求參數】
【例2】（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預測）已知集合，，若是的必要不充分條件，則實數的所有可能取值構成的集合為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（23-24高一上·貴州黔西·期末）關于的方程有兩個不相等的實數根的充要條件是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【變式2-3】（22-23高一下·浙江·期末）已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】
【例3】（23-24高一上·陜西寶雞·期末）下列命題中正確的是（ ）
A．，
B．至少有一個整數，它既不是合數也不是質數
C．是無理數，是無理數
D．存在，使得
【變式3-1】（2010·湖南·高考真題）下列命題中的假命題是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式3-2】（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（ ）
A．所有的素數都是奇數 B．，
C．有一個實數，使 D．有些平行四邊形是菱形
【變式3-3】（23-24高三上·山東·階段練習）給出下列命題
①；②；③；④．
其中真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【題型4 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】
【例4】（2024·四川成都·模擬預測）命題的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）命題“，函數在上單調遞增”的否定為（ ）
A．，函數在上單調遞減
B．，函數在上不單調遞增
C．，函數在上單調遞減
D．，函數在上不單調遞增
【變式4-2】（2024高三·全國·專題練習）已知命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式4-3】（2024·山西·模擬預測）命題“，”的否定是（ ）
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
【題型5 根據命題的真假求參數】
【例5】（2023·黑龍江哈爾濱·二模）命題“，”是真命題的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（23-24高一上·陜西渭南·期末）已知命題：“，”為假命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2023·江蘇南通·模擬預測）命題“，”是真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（23-24高一上·浙江·階段練習）已知命題；命題，若命題均為假命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 常用邏輯用語與集合綜合】
【例6】（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【變式6-1】（22-23高一上·河南平頂山·階段練習）已知集合，，且．
(1)若是真命題，求實數的取值范圍；
(2)若是真命題，求實數的取值范圍．
【變式6-2】（23-24高一上·吉林·階段練習）已知集合 .
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)命題：“，使得”是真命題，求實數的取值范圍.
【變式6-3】（23-24高一上·云南德宏·期末）設集合，集合或．
(1)當時，求，；
(2)設命題，命題，若p是q的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
一、單選題
1．（2023·天津和平·二模）若，則“”的一個充分不必要條件可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·貴州遵義·一模）已知命題，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024·四川綿陽·二模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024·山東·二模）已知，若集合，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（2023·河北·模擬預測）命題：，，命題：，，則（ ）
A．真真 B．假假 C．假真 D．真假
6．（2023·重慶·模擬預測）命題“”是真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川綿陽·一模）若命題“，”是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全國·模擬預測）已知向量，，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
9．（23-24高一下·云南紅河·開學考試）下列說法正確的是（ ）.
A．命題“，”的否定是“，”
B．命題“，”是假命題
C．“”是“”的充分條件
D．“”是“”的充分不必要條件
10．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知兩個命題：（1）若，則；（2）若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．則下列說法正確的是（ ）
A．命題（2）是全稱量詞命題
B．命題（1）的否定為：存在
C．命題（2）的否定是：存在四邊形不是等腰梯形，這個四邊形的對角線不相等
D．命題（1）和（2）被否定后，都是真命題
三、填空題
12．（2023·貴州遵義·模擬預測）命題,則命題的否定為 .
13．（2023·陜西西安·模擬預測）若“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是 ．
14．（2023·四川南充·模擬預測）若命題“，使得成立”為真命題，則實數的取值范圍是 ．
四、解答題
15．（23-24高一上·山西長治·期末）已知命題．
(1)寫出命題的否定；
(2)判斷命題的真假，并說明理由．
16．（2023·重慶酉陽·一模）命題：任意，成立；命題：存在，+成立.
(1)若命題為假命題，求實數的取值范圍；
(2)若命題和有且只有一個為真命題，求實數的取值范圍.
17．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若存在正實數m，使得“”是“”成立的充分不必要條件，求正實數m的取值范圍.
18．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命題：，為假命題．
(1)求實數的取值集合；
(2)設非空集合，若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值集合．
19．（2024·廣東·模擬預測）設X，Y為任意集合，映射．定義：對任意，若，則，此時的為單射．
(1)試在上給出一個非單射的映射；
(2)證明：是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合與映射，若對任意，有，則；
(3)證明：是單射的充分必要條件是：存在映射，使對任意，有．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題1.2 常用邏輯用語【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 充分條件與必要條件的判斷】 3
【題型2 根據充分條件、必要條件求參數】 4
【題型3 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】 6
【題型4 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】 7
【題型5 根據命題的真假求參數】 8
【題型6 常用邏輯用語與集合綜合】 9
1、常用邏輯用語
考點要求 真題統計 考情分析
(1)必要條件、充分條件、充要條件
(2)全稱量詞與存在量詞
(3)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 2021年全國甲卷：第7題，5分 2022年天津卷：第2題，5分2023年新高考I卷：第7題，5分 常用邏輯用語是高考數學的重要考點，從近幾年高考情況來看，常用邏輯用語沒有單獨命題考查，偶爾以已知條件的形式出現在其他考點的題目中，難度偏易.重點關注以下兩點：①集合與充分、必要條件相結合的問題的求解；②命題的否定和以全稱量詞命題與存在量詞命題為條件，求參數的范圍問題.
【知識點1 常用邏輯用語】
1．充分條件與必要條件
命題真假 “若p,則q”是真命題 "若p,則q"是假命題
推出關系及符號表示 由p通過推理可得出q，記作：p q 由條件p不能推出結論q，記作：
條件關系 p是q的充分條件
q是p的必要條件 p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．
數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．
2．充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q，又有q p，記作p q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．
如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p q，那么p與q互為充要條件．
3．全稱量詞與全稱量詞命題
全稱量詞 所有的、任意一個、 一切、每一個、任給
符號
全稱量詞命題 含有全稱量詞的命題
形式 “對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
4.存在量詞與存在量詞命題
存在量詞 存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的
符號表示
存在量詞命題 含有存在量詞的命題
形式 “存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
5．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1)全稱量詞命題p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．
(2)存在量詞命題p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
【方法技巧與總結】
1．從集合與集合之間的關系上看充分、必要條件
設.
(1)若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
(2)若，則是的必要條件，是的充分條件；
(3)若，則與互為充要條件.
2．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個x0，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例.
(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個x0使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題.
【題型1 充分條件與必要條件的判斷】
【例1】（2024·天津·二模）已知，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據題意可直接判斷充分性，舉例說明必要性不成立即可.
【解答過程】若，則，即充分性成立；
若，例如，滿足條件，但不成立，即必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預測）命題“”是“，或”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】通過命題相互是否推出判斷充分不必要條件.
【解答過程】命題“”是“，或”的充分不必要條件.
即：“ ，或”，且“，或 ”.
① “ ，或”.
證明：用反證法.假設“，或”不成立，
則，且.
所以有，這與已知矛盾.
故假設錯誤，即，或成立.
②“，或 ”.
因為當時，滿足條件，或，
此時，不滿足.
故“，或”“”.
故選：A.
【變式1-2】（2023·上海普陀·二模）設為實數，則“”的一個充分非必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由充分非必要條件定義，根據不等式的性質判斷各項與推出關系即可.
【解答過程】由，則，可得，可推出，反向推不出，滿足；
由，則，推不出，反向可推出，不滿足；
由，則或或，推不出，反向可推出，不滿足；
由，則，推不出，反向可推出，不滿足；
故選：A.
【變式1-3】（2023·江蘇南京·模擬預測）設A，B，C，D是四個命題，若A是B的必要不充分條件，A是C的充分不必要條件，D是B的充分必要條件，則D是C的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用充分條件必要條件之間的關系進行推理判斷即可.
【解答過程】因為是的必要不充分條件，所以，推不出，
因為是的充分不必要條件，所以，推不出，
因為是的充要條件，所以，，
所以由，，可得，
由推不出，推不出，可得C推不出D.
故D是C的充分不必要條件.
故選：B.
【題型2 根據充分條件、必要條件求參數】
【例2】（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先化簡條件，利用充分不必要條件列出不等關系，求解即可.
【解答過程】，因為是的充分不必要條件，所以.
故選：C.
【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預測）已知集合，，若是的必要不充分條件，則實數的所有可能取值構成的集合為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意，對集合分等于空集和不等于空集兩種情況討論，分別求出符合題意的的值即可．
【解答過程】由題，， ，
當時，有，符合題意；
當時，有，此時，所以或，所以.
綜上，實數的所有可能的取值組成的集合為.
故選：A.
【變式2-2】（23-24高一上·貴州黔西·期末）關于的方程有兩個不相等的實數根的充要條件是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【解題思路】根據題意，結合一元二次方程的的性質，列出不等式，即可求解.
【解答過程】由方程關于的方程有兩個不相等的實數根，則滿足，
解得或，即方程有兩個不相等的實數根的充要條件是或.
故選：A.
【變式2-3】（22-23高一下·浙江·期末）已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】解不等式得到 或，根據題意得到是的充分不必要條件，從而得到兩不等式的包含關系，求出答案.
【解答過程】由條件，解得或；
因為是的充分不必要條件，所以是的充分不必要條件，
故是或的真子集，
則的取值范圍是，
故選：B．
【題型3 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】
【例3】（23-24高一上·陜西寶雞·期末）下列命題中正確的是（ ）
A．，
B．至少有一個整數，它既不是合數也不是質數
C．是無理數，是無理數
D．存在，使得
【解題思路】利用存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項判斷即得.
【解答過程】對于A，，，如，A正確；
對于B，至少有一個整數，它既不是合數也不是質數，例如數1滿足條件，B正確；
對于C，是無理數，是無理數，如，C正確；
對于D，恒成立，即不存在，使得成立，D錯誤.
故選：ABC.
【變式3-1】（2010·湖南·高考真題）下列命題中的假命題是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】根據題意，對于B選項，舉反例即可得解.
【解答過程】可知：A、C、D選項都是真命題；
當x=1時，（x-1）2=0，顯然選項B中的命題為假命題，
故選B．
【變式3-2】（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（ ）
A．所有的素數都是奇數 B．，
C．有一個實數，使 D．有些平行四邊形是菱形
【解題思路】根據全稱量詞命題的定義即可知選項CD不合題意，再判斷出命題真假即可得出結論.
【解答過程】對于A，“所有的素數都是奇數”是全稱量詞命題，但是假命題，
例如2是素數，但2是偶數，所以A錯誤；
對于B，易知“，”是全稱量詞命題，
且由可得，所以是真命題，即B正確；
對于C，“有一個實數，使”是存在量詞命題，不合題意；
對于D，“有些平行四邊形是菱形”是存在量詞命題，不合題意；
故選：B.
【變式3-3】（23-24高三上·山東·階段練習）給出下列命題
①；②；③；④．
其中真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解題思路】根據全稱命題與存在性命題的真假判定方法，逐個判定，即可求解.
【解答過程】①中，由不等式恒成立，所以命題為真命題；
②中，當時，此時，所以命題為假命題；
③中，當時，此時成立，所以命題為真命題；
④中，由，可得，所以命題為真命題．
故選：C.
【題型4 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】
【例4】（2024·四川成都·模擬預測）命題的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結果.
【解答過程】因為命題，
則其否定為.
故選:B.
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）命題“，函數在上單調遞增”的否定為（ ）
A．，函數在上單調遞減
B．，函數在上不單調遞增
C．，函數在上單調遞減
D．，函數在上不單調遞增
【解題思路】根據題意，結合全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.
【解答過程】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，
所以命題“，函數在上單調遞增”的否定為“，函數在上不單調遞增”．
故選：B．
【變式4-2】（2024高三·全國·專題練習）已知命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】首先分析題意，利用命題的否定知識解答即可.
【解答過程】易知全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，而命題p：，是全稱量詞命題，
所以為“，” ，
故選:B.
【變式4-3】（2024·山西·模擬預測）命題“，”的否定是（ ）
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
【解題思路】
全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.
【解答過程】依題意全稱量詞命題“，”的否定為：
存在量詞命題“，”.
故選：C.
【題型5 根據命題的真假求參數】
【例5】（2023·黑龍江哈爾濱·二模）命題“，”是真命題的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接利用恒成立問題的建立不等式，進一步求出實數a的取值范圍．
【解答過程】命題“，”為真命題，則在上恒成立，
∵，∴，則.
故選：B．
【變式5-1】（23-24高一上·陜西渭南·期末）已知命題：“，”為假命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據命題是假命題列不等式，由此求得的取值范圍.
【解答過程】由于命題：“，”為假命題，
所以，
解得.
故選：D.
【變式5-2】（2023·江蘇南通·模擬預測）命題“，”是真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據“充分不必要條件”的定義推導.
【解答過程】“充分不必要條件”的定義是由結論可以推導出條件，但由條件不能推導出結論，
其中“，”為真命題是結論，可以推出 ， ，
其中 是條件，由 不能推出“，”為真命題，
對于A，B選項，可以推出“，”為真命題，是充分條件；
對于C選項，是既不充分也不必有的條件；
故選：D.
【變式5-3】（23-24高一上·浙江·階段練習）已知命題；命題，若命題均為假命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出為真命題時的范圍，進一步可得答案．
【解答過程】由，得，
，，
則當時，取最小值2，所以，
命題，則，即，
若命題均為假命題，則且，即，
∴實數的取值范圍為．
故選：B.
【題型6 常用邏輯用語與集合綜合】
【例6】（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【解題思路】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的運算求出；
（2）先求出，再求出，再由充分不必要條件構造關于的方程組，解出即可.
【解答過程】（1）因為，又，
所以.
（2） 或，所以，
因為“”是“”的充分不必要條件，
則，又，
所以.
【變式6-1】（22-23高一上·河南平頂山·階段練習）已知集合，，且．
(1)若是真命題，求實數的取值范圍；
(2)若是真命題，求實數的取值范圍．
【解題思路】（1）依題意可得，即可得到不等式組，解得即可；
（2）由求出的取值范圍，依題意可得，求出時參數的取范圍，即可得解.
【解答過程】（1）由于是真命題，所以．
而，所以，解得，故的取值范圍為．
（2）因為，所以，解得．
由為真命題，得，
當時，或，解得．
因為，所以當時，；
所以當時，．故的取值范圍為．
【變式6-2】（23-24高一上·吉林·階段練習）已知集合 .
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)命題：“，使得”是真命題，求實數的取值范圍.
【解題思路】（1）由，根據，分類求參數即可；
（2）命題是真命題即，先求時，的取值范圍或，
進而可得時的取值范圍.
【解答過程】（1）若，滿足，此時，即，
當時，要使，則，即，即，
綜上實數的取值范圍為.
（2）命題：“，使得”是真命題，等價于，
若時，
當，滿足，此時，即，
當時，，
若，則滿足或，
即或，
綜上若，得或，
則當時，即實數的取值范圍是.
【變式6-3】（23-24高一上·云南德宏·期末）設集合，集合或．
(1)當時，求，；
(2)設命題，命題，若p是q的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【解題思路】（1）根據交集、并集的知識求得正確答案.
（2）根據充分不必要條件列不等式，由此求得的取值范圍.
【解答過程】（1）當時，；
所以 ，或．
（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集；
∴或，解得：或，
所以，實數的取值范圍是．
一、單選題
1．（2023·天津和平·二模）若，則“”的一個充分不必要條件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據充分不必要條件的概念，逐項判斷，即可得出結果.
【解答過程】由，推不出，排除AB；
由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要條件，排除C；
，反之不成立，D正確；
故選：D．
2．（2024·貴州遵義·一模）已知命題，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】全稱命題的否定為特稱命題，否定形式為：將改為，再將結論否定.
【解答過程】由命題，可知，
為，，故D正確；ABC錯誤；
故選：D.
3．（2024·四川綿陽·二模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據給定條件，利用充分條件、必要條件的定義分析判斷即得.
【解答過程】，取，此時，而，
反之，若，則，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
4．（2024·山東·二模）已知，若集合，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由，可得或，再由充分不必要條件的定義即可得答案.
【解答過程】因為，
則或，
所以，
由推不出.
故選:A．
5．（2023·河北·模擬預測）命題：，，命題：，，則（ ）
A．真真 B．假假 C．假真 D．真假
【解題思路】對于命題：根據特稱命題結合二次函數分析判斷；對于命題：根據存在命題結合二次函數的判別式分析判斷.
【解答過程】對于命題：令，則開口向上，對稱軸為，
且，則，
所以，，即命題為真命題；
對于命題：因為，
所以方程無解，即命題為假命題；
故選：D.
6．（2023·重慶·模擬預測）命題“”是真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據恒成立問題分析可得命題“”是真命題等價于“”，結合充分、必要條件分析判斷.
【解答過程】若命題“”是真命題，則，
可知當時，取到最大值，解得，
所以命題“”是真命題等價于“”.
因為 ，故“”是“”的必要不充分條件，故A正確；
因為 ，故“”是“”的充要條件，故B錯誤；
因為 ，故“”是“”的充分不必要條件，故C錯誤；
因為與不存在包含關系，故“”是“”的即不充分也不必要條件，故D錯誤；
故選：A.
7．（2023·四川綿陽·一模）若命題“，”是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據命題是真命題，轉換為求函數的最大值，即可求解.
【解答過程】，函數的最大值是，
根據命題是真命題可知，，即.
故選：A.
8．（2024·全國·模擬預測）已知向量，，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由，可得與共線，充分性成立；由，可得或，必要性不成立，可得結論.
【解答過程】由，得，，所以與共線，
所以“”是“是與共線”的充分條件；
由，可得，解得或，
“”是“與共線”成立的不必要條件，
故“”是“與共線”的充分不必要條件．
故選：A．
二、多選題
9．（23-24高一下·云南紅河·開學考試）下列說法正確的是（ ）.
A．命題“，”的否定是“，”
B．命題“，”是假命題
C．“”是“”的充分條件
D．“”是“”的充分不必要條件
【解題思路】
利用量詞命題的否定與真假性判斷AB，利用充分與必要條件的定義判斷CD，從而得解.
【解答過程】對于A，根據存在量詞命題的否定形式可知A正確；
對于B，在中，，所以方程無解，故B正確；
對于C，取，滿足，但，即充分性不成立，故C錯誤；
對于D，因為是的真子集，所以“”是“”的充分必要不條件，故D正確.
故選：ABD.
10．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由成立的充要條件求出對應的參數的范圍，結合充分不必要條件的定義即可得解.
【解答過程】當且僅當是的子集，當且僅當，即，
對比選項可知使得成立的充分不必要條件有，.
故選：CD.
11．（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知兩個命題：（1）若，則；（2）若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．則下列說法正確的是（ ）
A．命題（2）是全稱量詞命題
B．命題（1）的否定為：存在
C．命題（2）的否定是：存在四邊形不是等腰梯形，這個四邊形的對角線不相等
D．命題（1）和（2）被否定后，都是真命題
【解題思路】對于A，由全稱量詞命題的定義即可判斷；對于BC，由命題否定的定義即可判斷；由命題及其否定的真假性的關系即可得解.
【解答過程】對于A，若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．等價于“對于任意一個等腰梯形而言，它的對角線都相等”，故A正確；
對于B，命題（1）的否定為：存在，故B正確；
對于C，命題（2）的否定是：存在四邊形是等腰梯形，這個四邊形的對角線不相等，故C錯誤；
對于D，由于命題（2）：“若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．”是真命題，所以它的否定是假命題，故D錯誤.
故選：AB.
三、填空題
12．（2023·貴州遵義·模擬預測）命題,則命題的否定為 .
【解題思路】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可寫出答案.
【解答過程】因為命題,
所以命題的否定為:.
故答案為:.
13．（2023·陜西西安·模擬預測）若“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是 ．
【解題思路】根據題意轉化為當時，恒成立，結合二次函數的性質，即可求解.
【解答過程】由是的充分不必要條件，可轉化為當時，恒成立，
即當時，恒成立，
又由函數在上為單調遞增函數，且，所以，
經驗證，當時，不等價于，所以的取值范圍是．
故答案為：.
14．（2023·四川南充·模擬預測）若命題“，使得成立”為真命題，則實數的取值范圍是 ．
【解題思路】根據題意得到，再解不等式即可.
【解答過程】因為命題“，使得成立”為真命題，
所以，解得.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一上·山西長治·期末）已知命題．
(1)寫出命題的否定；
(2)判斷命題的真假，并說明理由．
【解題思路】（1）根據全稱量詞命題的否定的知識寫出命題的否定.
（2）根據二次函數的知識進行判斷.
【解答過程】（1）由命題，
可得命題的否定為；
（2）命題為假命題，理由如下：
因為，當時，，
故命題為假命題．
16．（2023·重慶酉陽·一模）命題：任意，成立；命題：存在，+成立.
(1)若命題為假命題，求實數的取值范圍；
(2)若命題和有且只有一個為真命題，求實數的取值范圍.
【解題思路】（1）由q真,由判別式求得m的取值范圍，進而得到q假的條件；
（2）求得p真的條件，由和有且只有一個為真命題，得到真假，或假真，然后分別求的m的取值范圍，再取并集即得.
【解答過程】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一個為真命題，
真假，或假真，
或，
或或.
17．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若存在正實數m，使得“”是“”成立的充分不必要條件，求正實數m的取值范圍.
【解題思路】（1）解指數不等式，一元二次不等式化簡集合，然后由交集定義計算；
（2）根據充分不必要條件的定義得不等式組求解；
【解答過程】（1）
因，則.
當時，，所以.
（2）因“”是“”成立的充分不必要條件，則A是B的真子集.
所以，經檢驗“=”滿足.
所以實數m的取值范圍是.
18．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命題：，為假命題．
(1)求實數的取值集合；
(2)設非空集合，若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值集合．
【解題思路】（1）根據一元二次方程無解的條件即求解即可；
（2）根據題意可得 ，結合得到，解得即可．
【解答過程】（1）因為命題：，為假命題，
所以命題的否定為：，，為真命題，
且，解得．
∴．
（2）由解得，即，
若“”是“”的必要不充分條件，則是的真子集，
又，所以，解得，
所以實數的取值集合為．
19．（2024·廣東·模擬預測）設X，Y為任意集合，映射．定義：對任意，若，則，此時的為單射．
(1)試在上給出一個非單射的映射；
(2)證明：是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合與映射，若對任意，有，則；
(3)證明：是單射的充分必要條件是：存在映射，使對任意，有．
【解題思路】
（1）結合單射的定義舉出符合條件的例子即可；
（2）結合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可；
（3）結合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可.
【解答過程】（1）由題意不妨設，當（非0）互為相反數時，滿足題意；
（2）一方面若是單射，且，則，即（否則若，有，矛盾），
另一方面，若對任意，由可以得到，
我們用反證法證明是單射，
假設不是單射，即存在，有，
又由可以得到，即，這就產生了矛盾，
所以是單射，
綜上所述，命題得證；
（3）一方面若是單射，則由可得，
同理存在單射，使得，，有，
另一方面，若存在映射，使對任意，有，
我們用反證法來證明是單射，
若不是單射，即存在，有，
又若，則由題意，這與產生矛盾，
所以此時是單射，
綜上所述，命題得證.
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