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專題1.3 不等關系與不等式性質【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 不等式性質的應用】 2
【題型2 比較數（式）的大小】 3
【題型3 證明不等式】 5
【題型4 利用不等式的性質求目標式的取值范圍】 7
【題型5 不等式的綜合問題】 9
【題型6 糖水不等式】 12
1、不等關系與不等式性質
考點要求 真題統計 考情分析
(1)等式性質
(2)比較兩個數的大小
(3)理解不等式的性質，并能簡單應用 2022年Ⅱ卷：第12題，5分 高考對不等式的性質的考查比較穩定，一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解；單獨考查的題目雖然不多，但不等式的相關知識往往可以滲透到高考的各個知識領域，作為解題工具與函數、向量、解析幾何、數列等知識相結合，在知識的交匯處命題，是進行不等式變形、證明以及解不等式的依據，是高考考查的一個重點內容.
【知識點1 等式性質與不等式性質】
1．等式的基本性質
性質1　如果a＝b，那么b＝a；
性質2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性質3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性質
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．比較大小的基本方法
關系 方法
作差法 與0比較 作商法 與1比較
或
或
【方法技巧與總結】
1．應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，特別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.
2．比較數（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調性，需要靈活運用方法求解.
【題型1 不等式性質的應用】
【例1】（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質推理判斷C.
【解答過程】對于ABD，取，滿足，
顯然，，，ABD錯誤；
對于C，，則，C正確.
故選：C.
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由不等式的性質結合充分不必要的條件即可得解.
【解答過程】若，則，所以或者，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A．
【變式1-2】（2023·上海楊浦·一模）已知實數，滿足，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據函數的性質判斷即可.
【解答過程】因為,是定義在上的偶函數，
所以當實數滿足時，,不一定成立，故不符合題意；
因為是定義在上單調遞增的奇函數，
所以當實數滿足時，則，故符合題意；
因為在上單調遞減，
所以當實數滿足時，不一定成立，不符合題意.
故選：.
【變式1-3】（2023·貴州遵義·模擬預測）已知均為實數，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【解題思路】結合特殊值與不等式的性質可求.
【解答過程】A，當時，，A錯誤；
B，當時， 沒意義，B錯誤；
C，由，知，所以，C正確；
D，當時，不成立，D錯誤.
故選：C.
【題型2 比較數（式）的大小】
【例2】（2023·湖南·模擬預測）已知正實數x，y滿足，設，，（其中為自然對數：），則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用作差比較法，結合指數函數的單調性可得答案.
【解答過程】因為，，，所以
又，，所以，所以；
又，
又，，所以．
綜上，．
故選：A．
【變式2-1】（2023·江西·模擬預測）已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由可得，然后對選項一一分析即可得出答案.
【解答過程】由可知，所以，所以錯誤；
因為，但無法判定與1的大小，所以B錯誤；
當時，，故D錯誤；
因為，所以，故C正確.
故選：C.
【變式2-2】（2023·北京東城·一模）已知，那么在下列不等式中，不成立的是
A． B． C． D．
【解題思路】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.
【解答過程】，則，，
又、，，.
可得：ABC成立，D不成立.
故選：D.
【變式2-3】（2024·福建泉州·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用不等式的基本性質，并對選項化簡，轉化，判斷對錯即可.
【解答過程】解：選項A中，由于，所以成立；故A正確；
選項B中，，，與大小不能確定，故B錯誤；
選項C中，由于，故C錯誤；
選項D中，令，則，故D錯誤.
故選：A.
【題型3 證明不等式】
【例3】（2024高三·全國·專題練習）已知為正實數．求證：.
【解題思路】根據題意，化簡得到，結合不等式的性質，即可得證.
【解答過程】證明：因為，
又因為，所以，當且僅當時等號成立，
所以.
【變式3-1】（22-23高一上·全國·課后作業）證明下列不等式：
(1)已知，求證
(2)已知，求證：．
【解題思路】（1）（2）利用不等式的基本性質即可證明．
【解答過程】（1）證明：，，
，，
又因為，即，
所以.
（2）證明：，，；
又，，；
.
【變式3-2】（2023高三·全國·專題練習）證明命題：“若在中分別為角所對的邊長，則”
【解題思路】由作差法證明，再由證明.
【解答過程】證明：取，
因為，所以，即.
所以
又因為，故，
所以.
【變式3-3】（22-23高二下·湖北省直轄縣級單位·期末）若，,
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一個代數式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.
【解題思路】（1）根據的符號去絕對值可證不等式成立；
（2）根據同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質可證明不等式成立；
（3）在的兩邊同時乘以，得，在的兩邊同時乘以，得，所以.
【解答過程】（1）因為，且，所以，所以.
（2）因為，所以．又因為 ，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得．所以．
所以，
因為，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得．
所以，
所以由兩邊都是正數的同向不等式的相乘可得.
（3）因為，，
所以，
因為，，
所以，
所以.
所以在（2）中的不等式中，能找到一個代數式滿足題意.
【題型4 利用不等式的性質求目標式的取值范圍】
【例4】（2023·江蘇南通·模擬預測）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用方程組以及不等式的性質計算求解.
【解答過程】設，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D錯誤.
故選：B.
【變式4-1】（23-24高一上·山東菏澤·階段練習）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
設，利用待定系數法求得，利用不等式的性質即可求的取值范圍．
【解答過程】設，
所以，解得，即可得，
因為，，
所以 ，
故選：A．
【變式4-2】（23-24高三上·湖北·階段練習）已知且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題目條件得到，由和得到，由得到，從而得到答案.
【解答過程】因為，，所以，
由得到，則，解得，
由得，整理得，解得，
由得，
綜上，.
故選：B.
【變式4-3】（2023·廣西南寧·模擬預測）已知函數，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先利用一元二次方程根的分布求得關于實數的不等式組，再利用不等式的性質即可求得的取值范圍
【解答過程】由函數中，，，
可知一元二次方程有二相異根，分別位于區間和內
則，即，即
由，可得，
則，即
由，可得
則，則
綜上，的取值范圍為
故選：B.
【題型5 不等式的綜合問題】
【例5】（23-24高一上·上海浦東新·階段練習）解決下列問題：
(1)已知，設，.比較與的大小；
(2)已知，，，求證：.
【解題思路】（1）利用作差法進行求解即可；
（2）利用作差法，結合不等式的性質進行證明即可
【解答過程】（1） ；
（2），
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以.
【變式5-1】（2023高一·上海·專題練習）給定無理數．若正整數滿足．
(1)試比較三數，，的大小；
(2)若，證明下面三個不等式中至少有一個不成立
①；②；③．
【解題思路】（1）作差法比較大小；
（2）利用反證法，因，又，故可分，與證明.
【解答過程】（1）由題意可知，，所以bc＞ad，
所以，所以，
，所以，
所以；
（2）證明：由（1） ，又
若
假設①；②；③都成立，
①③之和可得：④，
②③之和可得：⑤，
④化簡得，⑤化簡得，
由④⑤之和可得：，
即，則，
又為正整數，所以是有理數，故矛盾；假設不成立
若且，同理可證下列三個不等式中至少有一個不成立；
①；②；③
所以三個不等式中至少有一個不成立．
【變式5-2】（23-24高一上·河北保定·階段練習）（1）當p，q都為正數且時，試比較代數式與的大小.
（2）已知，求的取值范圍.
【解題思路】（1）利用作差比較法比較大小即可；
（2）先利用表示出，結合的范圍可得答案.
【解答過程】（1）.
因為，所以，，
所以.
因為，都為正數，所以，
因此，當且僅當時等號成立.
（2）由題意可設，
則，解得，，
因為，
所以，，
則.
【變式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）設是不小于1的實數.若對任意，總存在，使得，則稱這樣的滿足“性質1”
(1)分別判斷和時是否滿足“性質1”;
(2)先證明:若，且，則; 并由此證明當時，對任意，總存在，使得.
(3)求出所有滿足“性質1”的實數t
【解題思路】（1）分別舉反例證明和時性質1不成立；
（2）先分別就，討論證明若，且，則，再利用這個結論可得證；
（3）結合（2）的結論可得解.
【解答過程】（1）記，，
假如，則當時，對任意，均有，不滿足要求；
假如，則當，時，對任意，均有，，
若，同正或同負，則，其余情況下總有，不滿足要求.
（2）先來證明：若，且，則，同時該結論記為引理.
當時，，
當時，不妨設，則，又，所以.
所以若，且，則.
下面證當時，對任意，總存在，使得，
若，則取，此時，
其中，，且，
由引理可得，
若，則取，此時，
其中，，且，故由引理可得，
綜上，當時，對任意，總存在，使得.
（3）當時，當時，可取，使得，理由如下：
當時，取，則；
當時，取，則，則，故，
同理，可取，使得，此時，
所以當時，對任意，總存在，使得.
結合（2）的結論可得，對任意，總存在，使得.
綜上，所有滿足性質1的實數.
【題型6 糖水不等式】
【例6】（22-23高一上·貴州六盤水·期末）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.如糖水在日常生活中經常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據加糖前后糖水濃度的變化即可得答案.
【解答過程】解：由題意可知，加入克糖（）后糖水變甜了，
即糖水的濃度增加了，
加糖之前，糖水的濃度為：；加糖之后，糖水的濃度為：；
所以.
故選：A.
【變式6-1】（23-24高一上·廣東揭陽·階段練習）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）．根據這個事實，下列不等式中一定不成立的有（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意得，進而根據依次討論各選項即可得答案.
【解答過程】對于A選項，由題意可知，故正確；
對于B選項，因為，所以，故正確；
對于C選項，由可得，進而得，故錯誤；
對于D選項，，故正確.
故選：C.
【變式6-2】（22-23高一上·廣東東莞·階段練習）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立．
（2）東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：種糖每千克元，種糖每千克元（兩種糖價格不相等）.東東買了相同質量的兩種糖，華華買了相同價錢的兩種糖.請問兩人買到糖的平均價格分別是多少？誰買的糖的平均價格比較高？請證明你的結論.（物品的平均價格物品的總價錢物品的總質量）
【解題思路】（1）根據糖在糖水中所占的比例的變化可得出不等式，再利用作差法可證得結論成立；
（2）求出兩人買到的糖的平均價格，利用作差法可得出結論.
【解答過程】解：（1）克糖水中含有克糖，則糖在糖水中所占的比例為，
再添加克糖（假設全部溶解），則糖在糖水中所占的比例，
糖水變甜了，說明加糖后，糖在糖水中所占的比例變大了，即有，證明如下：
，則；
（2）對于東東而言，他買到的糖的平均價格為（元/千克），
對于華華而言，設華華買兩種糖的費用均為元，則他買到的糖的總質量為千克，
故華華買到的糖的平均價格為（元/千克），
，即東東買到的糖的平均價格較高.
【變式6-3】（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假設全部溶解）糖水更甜了.
(1)請將這個事實表示為一個不等式，并證明這個不等式.
(2)利用（1）的結論證明命題：“若在中a、b、c分別為角A、B、C所對的邊長，則”
【解題思路】（1）根據題意直接寫出答案，利用作差法證明該不等式；
（2）利用三角形的三邊關系和放縮法即可證明.
【解答過程】（1）由題可得，；
證明：因為，，，
所以，，，從而，即
（2）由三角形三邊關系，可得，而函數 ，為單調遞增函數，
，
，，
故，
所以，.
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用不等式的性質可判斷A項正確，D項錯誤，通過舉反例可說明B,C兩項錯誤.
【解答過程】 ，即，故選項A正確；
當時，滿足，但，此時，，故選項B，C錯誤；
當時，由可得，故選項D錯誤.
故選:A．
2．（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】舉反例即可求解ABC，根據不等式的性質即可求解D.
【解答過程】由于，取，，，無法得到，，故AB錯誤，
取,則，無法得到，C錯誤，
由于，則，所以，
故選：D.
3．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由不等式的性質即可得解.
【解答過程】因為，所以，，
所以.
故選：D.
4．（2024·江西·模擬預測）已知，，，則下列選項中是“”的一個充分不必要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據充分不必要條件的定義，結合不等式的性質判斷即可.
【解答過程】由，可得，因為，的符號不確定，推不出，故不滿足題意；
由，可得，反之當，時不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故滿足題意；
因為，，所以，不滿足題意.
故選：.
5．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知為實數，則下列命題成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【解題思路】根據不等式性質對選項逐一判斷即可得出結論.
【解答過程】對于A，若，當時，不滿足，即A錯誤；
對于B，若，則，所以B錯誤；
對于C，若，可知，不等式兩邊同時除以，即，可得，即C正確；
對于D，若，不妨取，則，可得D錯誤；
故選：C.
6．（2023·全國·模擬預測）已知實數．設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
【解題思路】根據不等式的性質由命題甲可得到，作差法可判斷命題乙正確，得出甲是乙的充分條件；將命題乙變形后分類討論得出甲是乙的不必要條件，即可得出答案.
【解答過程】由可知.
所以，即.
因為
所以，即.
所以甲是乙的充分條件．
若，即，
則或.
當，則或，顯然不一定成立；
當，則，顯然不成立．
所以甲是乙的不必要條件．
綜上可知，甲是乙的充分不必要條件．
故選：A．
7．（2023·廣東·二模）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用作差法比較大小即可得出正確選項.
【解答過程】因為，所以.，
因為，
且，所以，所以，所以.故.
故選： A.
8．（2023·陜西·模擬預測）已知，則以下錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由不等式的性質結合特殊值排除法逐項分析即可.
【解答過程】因為，所以，
對于A，，,,
綜上可得，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，當時，，故D錯誤；
故選：D.
二、多選題
9．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【解題思路】對A和C利用不等式性質即可判斷，對B和D舉反例即可反駁.
【解答過程】對A，因為，則兩邊同乘得，兩邊同乘得，
則，故A正確；
對B，當時，，故B錯誤；
對C，因為，則，又因為，所以，故C正確；
對D，舉例，則，而，
此時兩者相等，故D錯誤.
故選：AC.
10．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據不等式的性質，變形求解.
【解答過程】，兩式相乘得，所以，A正確；
由題得，又，兩式相乘得，所以，B錯誤；
因為，所以兩式相乘得，C正確；
因為，所以兩式相乘得，D錯誤．
故選：AC.
11．（2024·廣西·二模）已知實數a，b，c滿足，且，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據不等式的基本性質和已知條件可逐項分析得到答案.
【解答過程】且，則，，
則，A正確；
因為，，所以，B錯誤；
因為，，，
當時，，則；當時，，則，當時，，則，故C錯誤；
因為，
當且僅當時，等號成立，此時由可得，不符合，
所以不成立，故，即，D正確.
故選：AD.
三、填空題
12．（2023·北京房山·一模）能夠說明“設是任意實數，若，則”是假命題的一組整數的值依次為 （答案不唯一） .
【解題思路】根據不等式的性質，討論的正負和三種情況，得出結論．
【解答過程】若，當時，；
當時，；
當時，；
“設是任意實數，若，則”是假命題的一組整數的值依次為，
故答案為：（答案不唯一）.
13．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是 .
【解題思路】先得到，并根據得到，從而求出.
【解答過程】因為，故，
由得，解得，
故.
故答案為：.
14．（2024·河南·模擬預測）以表示數集中最大的數．設，已知或，則的最小值為 ．
【解題思路】利用換元法可得，進而根據不等式的性質，分情況討論求解.
【解答過程】令其中，
所以，
若，則，故，
令，
因此,故,則，
若，則，即，
，
則,故,則，
當且僅當且時等號成立，
如取時可滿足等號成立，
綜上可知的最小值為，
故答案為：.
四、解答題
15．（2024高一·全國·專題練習）已知-3【解題思路】利用不等式性質直接求解范圍即可
【解答過程】∵-3∴-6+（-12）<2a+3b<4+（-9），∴-18<2a+3b<-5.
又∵-4∴0故2a+3b的取值范圍為-18<2a+3b<-5，a-b的取值范圍為016．（23-24高一·全國·專題練習）試比較下列組式子的大小：
(1)與，其中；
(2)與，其中，；
(3)與，．
【解題思路】(1)通過比較與的大小來確定與的大小；
(2)通過作差法來比較的大小；
(3) 通過作差法或作商法比較與的大小.
【解答過程】（1）解：，，
因為，
所以，
即；
（2）解：
．
因為，，所以，，
所以，
即；
（3）方法一（作差法）
．
因為，所以，，，．
所以，
所以．
方法二（作商法） 因為，所以，，，
所以，
所以．
17．（2024·全國·模擬預測）已知a，b，c為三角形的三邊．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
【解題思路】（1）由，，結合三角形兩邊之和大于第三邊的性質可得答案.
（2）利用作差法求證，則，同理，結合不等式的性質可得答案.
【解答過程】（1）因為a，b，c為三角形的三邊，所以a，b，，且，（關鍵：根據三角形的三邊關系得到a，b，c滿足的條件）
所以，
，
所以．
（2）因為，
所以，
所以，
同理可得，
所以．
18．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了.
(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；
(2)在銳角中，根據（1）中的結論，證明：.
【解題思路】（1）用作差比較法即可；
（2）結合（1）的結論即可證明.
【解答過程】（1）若，則.
證明：.
因為，所以，又，故，
因此.
（2）在銳角三角形中，由（1）得，
同理，
.
以上式子相加得.
19．（2023·吉林長春·模擬預測）港珠澳大橋通車后，經常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.某次出行，劉先生全程需要加兩次油，由于燃油的價格有升也有降，現劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油時燃油的價格為5元/升，第二次加油時燃油的價格為4元/升，請計算出每種加油方案的平均價格（平均價格總價格總升數）；
(2)分別用m，n（）表示劉先生先后兩次加油時燃油的價格，請計算出每種加油方案的平均價格，選擇哪種加油方案比較經濟劃算？并給出證明.
【解題思路】（1）根據題意，由平均價格的計算公式，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，由平均價格的計算公式，代入計算，然后作差，即可得到結果.
【解答過程】（1）第一種方案，兩次加油共花費元，兩次共加了升燃油，
所以平均價格為元升；
第二種方案，兩次加油共花費元，兩次共加了升燃油，所以平均價格為元升；
（2）由題意可得，第一種方案，兩次加油共花費元，兩次共加了升燃油，所以平均價格為元升；
第二種方案，兩次加油共花費元，兩次共加了升燃油，所以平均價格為元升；
且，所以選擇第二種加油方案比較經濟劃算.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題1.3 不等關系與不等式性質【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 不等式性質的應用】 2
【題型2 比較數（式）的大小】 3
【題型3 證明不等式】 3
【題型4 利用不等式的性質求目標式的取值范圍】 4
【題型5 不等式的綜合問題】 5
【題型6 糖水不等式】 6
1、不等關系與不等式性質
考點要求 真題統計 考情分析
(1)等式性質
(2)比較兩個數的大小
(3)理解不等式的性質，并能簡單應用 2022年Ⅱ卷：第12題，5分 高考對不等式的性質的考查比較穩定，一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解；單獨考查的題目雖然不多，但不等式的相關知識往往可以滲透到高考的各個知識領域，作為解題工具與函數、向量、解析幾何、數列等知識相結合，在知識的交匯處命題，是進行不等式變形、證明以及解不等式的依據，是高考考查的一個重點內容.
【知識點1 等式性質與不等式性質】
1．等式的基本性質
性質1　如果a＝b，那么b＝a；
性質2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性質3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性質
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．比較大小的基本方法
關系 方法
作差法 與0比較 作商法 與1比較
或
或
【方法技巧與總結】
1．應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，特別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.
2．比較數（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調性，需要靈活運用方法求解.
【題型1 不等式性質的應用】
【例1】（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2023·上海楊浦·一模）已知實數，滿足，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·貴州遵義·模擬預測）已知均為實數，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【題型2 比較數（式）的大小】
【例2】（2023·湖南·模擬預測）已知正實數x，y滿足，設，，（其中為自然對數：），則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·江西·模擬預測）已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2023·北京東城·一模）已知，那么在下列不等式中，不成立的是
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·福建泉州·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 證明不等式】
【例3】（2024高三·全國·專題練習）已知為正實數．求證：.
【變式3-1】（22-23高一上·全國·課后作業）證明下列不等式：
(1)已知，求證
(2)已知，求證：．
【變式3-2】（2023高三·全國·專題練習）證明命題：“若在中分別為角所對的邊長，則”
【變式3-3】（22-23高二下·湖北省直轄縣級單位·期末）若，,
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一個代數式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.
【題型4 利用不等式的性質求目標式的取值范圍】
【例4】（2023·江蘇南通·模擬預測）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（23-24高一上·山東菏澤·階段練習）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（23-24高三上·湖北·階段練習）已知且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·廣西南寧·模擬預測）已知函數，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 不等式的綜合問題】
【例5】（23-24高一上·上海浦東新·階段練習）解決下列問題：
(1)已知，設，.比較與的大小；
(2)已知，，，求證：.
【變式5-1】（2023高一·上海·專題練習）給定無理數．若正整數滿足．
(1)試比較三數，，的大小；
(2)若，證明下面三個不等式中至少有一個不成立
①；②；③．
【變式5-2】（23-24高一上·河北保定·階段練習）（1）當p，q都為正數且時，試比較代數式與的大小.
（2）已知，求的取值范圍.
【變式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）設是不小于1的實數.若對任意，總存在，使得，則稱這樣的滿足“性質1”
(1)分別判斷和時是否滿足“性質1”;
(2)先證明:若，且，則; 并由此證明當時，對任意，總存在，使得.
(3)求出所有滿足“性質1”的實數t
【題型6 糖水不等式】
【例6】（22-23高一上·貴州六盤水·期末）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.如糖水在日常生活中經常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（23-24高一上·廣東揭陽·階段練習）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）．根據這個事實，下列不等式中一定不成立的有（　　）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（22-23高一上·廣東東莞·階段練習）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立．
（2）東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：種糖每千克元，種糖每千克元（兩種糖價格不相等）.東東買了相同質量的兩種糖，華華買了相同價錢的兩種糖.請問兩人買到糖的平均價格分別是多少？誰買的糖的平均價格比較高？請證明你的結論.（物品的平均價格物品的總價錢物品的總質量）
【變式6-3】（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假設全部溶解）糖水更甜了.
(1)請將這個事實表示為一個不等式，并證明這個不等式.
(2)利用（1）的結論證明命題：“若在中a、b、c分別為角A、B、C所對的邊長，則”
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西·模擬預測）已知，，，則下列選項中是“”的一個充分不必要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知為實數，則下列命題成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
6．（2023·全國·模擬預測）已知實數．設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
7．（2023·廣東·二模）若，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·陜西·模擬預測）已知，則以下錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
10．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·廣西·二模）已知實數a，b，c滿足，且，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（2023·北京房山·一模）能夠說明“設是任意實數，若，則”是假命題的一組整數的值依次為 .
13．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是 .
14．（2024·河南·模擬預測）以表示數集中最大的數．設，已知或，則的最小值為 ．
四、解答題
15．（2024高一·全國·專題練習）已知-316．（23-24高一·全國·專題練習）試比較下列組式子的大小：
(1)與，其中；
(2)與，其中，；
(3)與，．
17．（2024·全國·模擬預測）已知a，b，c為三角形的三邊．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
18．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了.
(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；
(2)在銳角中，根據（1）中的結論，證明：.
19．（2023·吉林長春·模擬預測）港珠澳大橋通車后，經常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.某次出行，劉先生全程需要加兩次油，由于燃油的價格有升也有降，現劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油時燃油的價格為5元/升，第二次加油時燃油的價格為4元/升，請計算出每種加油方案的平均價格（平均價格總價格總升數）；
(2)分別用m，n（）表示劉先生先后兩次加油時燃油的價格，請計算出每種加油方案的平均價格，選擇哪種加油方案比較經濟劃算？并給出證明.
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