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專題1.4 基本不等式及其應用【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 基本不等式及其應用】 2
【題型2 直接法求最值】 3
【題型3 配湊法求最值】 4
【題型4 常數代換法求最值】 4
【題型5 消元法求最值】 4
【題型6 齊次化求最值】 5
【題型7 多次使用基本不等式求最值】 5
【題型8 利用基本不等式解決實際問題】 5
【題型9 與其他知識交匯的最值問題】 8
1、基本不等式及其應用
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解基本不等式的推導過程
(2)會用基本不等式解決最值問題
(3)理解基本不等式在實際問題中的應用 2020年天津卷：第14題，5分 2021年乙卷：第8題，5分 2022年I卷：第12題，5分 2023年新高考I卷：第22題，12分 基本不等式及其應用是每年高考的必考內容，從近幾年的高考情況來看，對基本不等式的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，應適當關注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內容中的運用.
【知識點1 基本不等式】
1. 兩個不等式
不等式 內容 等號成立條件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 當且僅當“a=b”時取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 當且僅當“a=b”時取“=”
叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
2．基本不等式與最值
已知x，y都是正數，
(1)如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2.
溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．
3．常見的求最值模型
(1)模型一：，當且僅當時等號成立；
(2)模型二：，當且僅當時等號成
立；
(3)模型三：，當且僅當時等號成立；
(4)模型四：，當且僅當時
等號成立.
4．利用基本不等式求最值的幾種方法
(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系，可直接利用基本不等式來求最值．
(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式.
(3)常數代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數),求的最值”的問題，先將轉化為，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【題型1 基本不等式及其應用】
【例1】（2023·安徽蚌埠·模擬預測）已知實數滿足且，則下列不等關系一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2023·湖南長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2024·山東棗莊·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-3】（2023·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A． B．
C． D．
【題型2 直接法求最值】
【例2】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數，則當時，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
【變式2-1】（2023·北京東城·一模）已知，則的最小值為（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．
【變式2-2】（22-23高三下·江西·階段練習）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（23-24高二下·山東濰坊·階段練習）函數（）的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．5
【題型3 配湊法求最值】
【例3】（2023·山西忻州·模擬預測）已知，則的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【變式3-1】（2024·遼寧·一模）已知，則 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·河南信陽·模擬預測）若，則函數有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
【變式3-3】（23-24高三下·河南·開學考試）已知，則的最小值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【題型4 常數代換法求最值】
【例4】（2024·江蘇南通·二模）設，，，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．3
【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實數x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【變式4-2】（2024·廣東湛江·一模）已知，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·廣東廣州·模擬預測）已知正實數x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【題型5 消元法求最值】
【例5】（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為 ．
【變式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知實數a、b滿足，則的最小值為 ．
【變式5-2】（2024·天津河東·一模）若，則的最小值為 ．
【變式5-3】（2024·四川德陽·模擬預測）已知正實數，，滿足，則的最小值是 .
【題型6 齊次化求最值】
【例6】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知，則的最小值為（ ）
A．5 B．3 C． D．或3
【變式6-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）已知x，y為正實數，且，則的最小值為（ ）
A．24 B．25 C． D．
【變式6-2】（23-24高二上·安徽六安·階段練習）設，則的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【變式6-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知x為正實數，y為非負實數，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2023·河南·模擬預測）已知正實數，，滿足，則的最小值為（ ）
A．5 B． C． D．
【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知為非零實數，，均為正實數，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．6 D．
【變式7-3】（23-24高三下·浙江·開學考試）已知a、b、c、d均為正實數，且，則的最小值為（ ）
A．3 B．
C． D．
【題型8 利用基本不等式解決實際問題】
【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環境，計劃修建一個如圖所示的總面積為的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間，，三個矩形區域將種植牡丹、郁金香、月季（其中，區域的形狀、大小完全相同）.設矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.
(1)用含有的代數式表示；
(2)當的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？
【變式8-1】（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎、制冷技術為手段，使冷鏈物品從生產、流通、銷售到消費者的各個環節始終處于規定的溫度環境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動.隨著人民食品安全意識的提高及線上消費需求的增加，冷鏈物流市場規模也在穩步擴大.某冷鏈物流企業準備擴大規模，決定在2024年初及2025年初兩次共投資4百萬元，經預測，每年初投資的百萬元在第（，且）年產生的利潤（單位：百萬元），記這4百萬元投資從2024年開始的第年產生的利潤之和為.
(1)比較與的大小；
(2)求兩次投資在2027年產生的利潤之和的最大值.
【變式8-2】（23-24高一上·河南開封·期末）如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為 32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為 1的空白.記紙張的面積為 S，排版矩形的長和寬分別為x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小 并求最小面積.
【變式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側各有一個社區（忽略社區的大小），社區距離上最近的點的距離是社區距離上最近的點的距離是，且.點是線段上一點，設.
現規劃了如下三項工程：
工程1：在點處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；
工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價為億元；
工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價為1億元.
記這三項工程的總造價為億元.
(1)求實數的取值范圍；
(2)問點在何處時，最小，并求出該最小值.
【題型9 與其他知識交匯的最值問題】
【例9】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）已知內接于單位圓，且，
（1）求角
（2）求面積的最大值．
【變式9-1】（23-24高三上·山東青島·期末）《九章算術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早1000多年,在《九章算術》中,將底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.
(1)求證:四棱錐為陽馬;
(2)若,當鱉膈體積最大時,求銳二面角的余弦值.
【變式9-2】（2024·廣東珠海·一模）已知、、是的內角，、、分別是其對邊長，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面積的最大值.
【變式9-3】（2024·黑龍江大慶·一模）已知橢圓，過點且離心率為，是橢圓上縱坐標不為零的兩點，若且，其中為橢圓的左焦點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段的垂直平分線在軸上的截距的取值范圍．
一、單選題
1．（2023·全國·三模）已知，，且，則下列不等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江嘉興·二模）若正數滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法錯誤的是（ ）
A．若正實數滿足，則有最小值4
B．若正實數滿足，則
C．的最小值為
D．若，則
7．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（ ）
A． B． C． D．的大小無法確定
8．（2024·四川成都·三模）設函數，正實數滿足，若，則實數的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
二、多選題
9．（2023·全國·模擬預測）已知實數，下列結論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則的最小值為4
C．若且，則
D．若，則的最小值為
10．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅，第二次漲幅；
乙：第一次漲幅，第二次漲幅；
丙：第一次漲幅，第二次漲幅.
其中，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結論，其中正確的有（ ）
A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B．采用方案乙工資漲得比方案丙多
C．采用方案乙工資漲得比方案甲多 D．采用方案丙工資漲得比方案甲多
11．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則下列說法正確的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．的最小值為
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值是 ．
13．（2024·上海奉賢·二模）某商品的成本與產量之間滿足關系式，定義平均成本，其中，假設，當產量等于 時，平均成本最少.
14．（2024·全國·模擬預測）記表示這3個數中最大的數．已知都是正實數，，則的最小值為 ．
四、解答題
15．（2023·甘肅張掖·模擬預測）已知正實數x，y滿足等式．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
16．（2023·全國·模擬預測）已知，且．
(1)求證：；
(2)求的最大值．
17．（2023·陜西安康·模擬預測）已知函數．
(1)當時，求不等式的解集；
(2)設，若的最小值為2，求的最小值．
18．（23-24高一上·貴州銅仁·期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產生活造成嚴重影響. 在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產，減輕經濟下降對企業和民眾帶來的損失. 為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(即該廠的年產量) x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足 x= 4 . 已知生產該產品的固定成本為 8萬元，生產成本為16萬元 / 萬件，廠家將產品的銷售價格定為萬元 / 萬件 (產品年平均成本)的1.5倍.
(1)將2022年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；
(2)該廠家2022年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
19．（2023·全國·模擬預測）已知x，y，．
(1)若，證明：；
(2)若，證明．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題1.4 基本不等式及其應用【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 基本不等式及其應用】 2
【題型2 直接法求最值】 4
【題型3 配湊法求最值】 5
【題型4 常數代換法求最值】 7
【題型5 消元法求最值】 8
【題型6 齊次化求最值】 9
【題型7 多次使用基本不等式求最值】 11
【題型8 利用基本不等式解決實際問題】 13
【題型9 與其他知識交匯的最值問題】 16
1、基本不等式及其應用
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解基本不等式的推導過程
(2)會用基本不等式解決最值問題
(3)理解基本不等式在實際問題中的應用 2020年天津卷：第14題，5分 2021年乙卷：第8題，5分 2022年I卷：第12題，5分 2023年新高考I卷：第22題，12分 基本不等式及其應用是每年高考的必考內容，從近幾年的高考情況來看，對基本不等式的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，應適當關注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內容中的運用.
【知識點1 基本不等式】
1. 兩個不等式
不等式 內容 等號成立條件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 當且僅當“a=b”時取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 當且僅當“a=b”時取“=”
叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
2．基本不等式與最值
已知x，y都是正數，
(1)如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2.
溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．
3．常見的求最值模型
(1)模型一：，當且僅當時等號成立；
(2)模型二：，當且僅當時等號成
立；
(3)模型三：，當且僅當時等號成立；
(4)模型四：，當且僅當時
等號成立.
4．利用基本不等式求最值的幾種方法
(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系，可直接利用基本不等式來求最值．
(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式.
(3)常數代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數),求的最值”的問題，先將轉化為，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【題型1 基本不等式及其應用】
【例1】（2023·安徽蚌埠·模擬預測）已知實數滿足且，則下列不等關系一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由不等式的性質判斷A、B，根據基本不等式可判斷C、D.
【解答過程】因為且，所以或，
對A：若，則，若，則，A錯誤；
對B：∵，，∴，B錯誤；
對C：由或，知且，∴，C正確；
對D：當時，有，從而
當，則且，∴，D錯誤.
故選：C.
【變式1-1】（2023·湖南長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關系是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據對數的運算判斷A，根據不等式的性質判斷BCD.
【解答過程】，即，即.
對于 A， 成立.
對于 B， ，成立.
對于 C， ，即.故C錯誤；
對于 D， 成立.
故選：C.
【變式1-2】（2024·山東棗莊·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據基本不等式與不等式的性質，對兩個條件進行正反推理論證，即可得到本題的答案．
【解答過程】若，，，則，充分性成立；
若，可能，，此時，所以必要性不成立．
綜上所述，“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
【變式1-3】（2023·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A． B．
C． D．
【解題思路】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.
【解答過程】解：由圖知：，
在中，，
所以，即，
故選：C.
【題型2 直接法求最值】
【例2】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數，則當時，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
【解題思路】由基本不等式即可求解.
【解答過程】由題意當時，，等號成立當且僅當.
故選：B.
【變式2-1】（2023·北京東城·一模）已知，則的最小值為（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．
【解題思路】由基本不等式求得最小值．
【解答過程】∵，∴，當且僅當即時等號成立．
故選：B．
【變式2-2】（22-23高三下·江西·階段練習）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】依題意可得，再利用基本不等式計算可得.
【解答過程】，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為.
故選：D.
【變式2-3】（23-24高二下·山東濰坊·階段練習）函數（）的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．5
【解題思路】根據均值不等式即可求得函數最大值.
【解答過程】因為 且，
故可得.
當且僅當，即時取得最大值.
故選：A.
【題型3 配湊法求最值】
【例3】（2023·山西忻州·模擬預測）已知，則的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解題思路】利用基本不等式性質求解即可.
【解答過程】因為，所以
所以，
當且僅當，即時，等號成立．
所以的最小值為.
故選：D.
【變式3-1】（2024·遼寧·一模）已知，則 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，，將所求式子變形，利用基本不等式求解.
【解答過程】由，
，，
，
當且僅當，即時等號成立.
故選：A.
【變式3-2】（2023·河南信陽·模擬預測）若，則函數有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
【解題思路】由題意，，，利用基本不等式求解.
【解答過程】因為，所以，
.
當且僅當，即時等號成立，
所以函數有最大值.
故選：D.
【變式3-3】（23-24高三下·河南·開學考試）已知，則的最小值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解題思路】
根據基本不等式即可求解.
【解答過程】
由于，所以，
由,
（當且僅當時取等號），可得的最小值為3，
故選：D．
【題型4 常數代換法求最值】
【例4】（2024·江蘇南通·二模）設，，，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．3
【解題思路】由不等式“1”的代換求解即可.
【解答過程】因為，所以，
因為，，所以
.
當且僅當，即時取等.
故選：C.
【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實數x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解題思路】利用基本不等式計算即可.
【解答過程】易知，則
，
當且僅當，即時取得等號.
故選：B.
【變式4-2】（2024·廣東湛江·一模）已知，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用不等式，將等式左邊轉化為因式表示，求解即可.
【解答過程】因為，得：（當且僅當時成立），
即得：，
則，
得：，
所以的最小值為，
故選：A.
【變式4-3】（2023·廣東廣州·模擬預測）已知正實數x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【解題思路】由已知可得，再利用基本不等式求最值可得答案.
【解答過程】因為正實數x，y滿足，所以，
則，
當且僅當且，即，時取等號.
故選：C.
【題型5 消元法求最值】
【例5】（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為 ．
【解題思路】依題意可得，再由基本不等式計算可得.
【解答過程】因為，且，
所以，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
故的最小值為．
故答案為：．
【變式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知實數a、b滿足，則的最小值為 ．
【解題思路】運用基本不等式進行求解即可.
【解答過程】由且且a、b異號，
由，
所以，
當且僅當時取等號，
即當或時取等號，
故答案為：.
【變式5-2】（2024·天津河東·一模）若，則的最小值為 4 ．
【解題思路】根據基本不等式即可求解.
【解答過程】由，
故
，當且僅當時等號成立，
故最小值為4，
故答案為：4.
【變式5-3】（2024·四川德陽·模擬預測）已知正實數，，滿足，則的最小值是 .
【解題思路】
因式分解得到，變形后得到，利用基本不等式求出最小值.
【解答過程】因為為正實數，
故，
即，
，
當且僅當，即，此時，
所以的最小值為.
故答案為：.
【題型6 齊次化求最值】
【例6】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知，則的最小值為（ ）
A．5 B．3 C． D．或3
【解題思路】由已知可得，利用基本不等式計算可得結果.
【解答過程】由，得，
當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為3．
故選：B.
【變式6-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）已知x，y為正實數，且，則的最小值為（ ）
A．24 B．25 C． D．
【解題思路】把變為，然后利用基本不等式中常數代換技巧求解最值即可.
【解答過程】因為x，y為正實數，且，所以
，
當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為25.
故選：B.
【變式6-2】（23-24高二上·安徽六安·階段練習）設，則的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解題思路】由條件可得利用均值不等式結合符號可得答案.
【解答過程】由，則則且
因為，所以當且僅當時，取得等號.
當時，有
當且僅當，即 時取等號
當時，有
當且僅當，，即 時取等號
綜上可得的最小值為5
故選：C.
【變式6-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知x為正實數，y為非負實數，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
變形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答過程】由x為正實數，y為非負實數，得，由，得，
于是
，當且僅當，即時取等號，
所以當時，取得最小值.
故選：B.
【題型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2023·河南·模擬預測）已知正實數，，滿足，則的最小值為（ ）
A．5 B． C． D．
【解題思路】先根據基本不等式求出.然后即可根據不等式的性質得出，列出兩個等號同時成立的條件，即可得出答案.
【解答過程】由已知可得，，，.
因為 ，
當且僅當，即時等號成立.
所以，，
當且僅當，即時，兩個等號同時成立.
所以，.
故選：D.
【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知為非零實數，，均為正實數，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.
【解答過程】因為為非零實數，，，均為正實數，
則
，
當且僅當且，即時取等號，
則的最大值為．
故選：B．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．6 D．
【解題思路】基本不等式乘1法，構造法解決即可.
【解答過程】，
當且僅當時等號成立，（應用基本不等式時注意等號成立的條件）
所以 ，
當且僅當，即且時，等號成立，
故最小值為，
故選：D.
【變式7-3】（23-24高三下·浙江·開學考試）已知a、b、c、d均為正實數，且，則的最小值為（ ）
A．3 B．
C． D．
【解題思路】由題意，根據基本不等式先求解，從而將的最小值轉化為的最小值，再利用乘“1”法求解不等式最小值.
【解答過程】因為，所以，即，當且僅當時取等號，所以的最小值為的最小值，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為.
故選：D.
【題型8 利用基本不等式解決實際問題】
【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環境，計劃修建一個如圖所示的總面積為的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間，，三個矩形區域將種植牡丹、郁金香、月季（其中，區域的形狀、大小完全相同）.設矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.
(1)用含有的代數式表示；
(2)當的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？
【解題思路】（1）設矩形花園的長為，結合，進而求得關于的關系式；
（2）由（1）知，得到，結合基本不等式，即可求解.
【解答過程】（1）解：設矩形花園的長為，
因為矩形花園的總面積為，所以，可得，
又因為陰影部分是寬度為1m的小路，可得，可得，
即關于的關系式為.
（2）解：由（1）知，，
則
，當且僅當時，即時，等號成立，
所以當時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.
【變式8-1】（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎、制冷技術為手段，使冷鏈物品從生產、流通、銷售到消費者的各個環節始終處于規定的溫度環境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動.隨著人民食品安全意識的提高及線上消費需求的增加，冷鏈物流市場規模也在穩步擴大.某冷鏈物流企業準備擴大規模，決定在2024年初及2025年初兩次共投資4百萬元，經預測，每年初投資的百萬元在第（，且）年產生的利潤（單位：百萬元），記這4百萬元投資從2024年開始的第年產生的利潤之和為.
(1)比較與的大小；
(2)求兩次投資在2027年產生的利潤之和的最大值.
【解題思路】（1）由求出，，再由作差法比較大小即可得出答案.
（2）先求出兩次投資在2027年產生的利潤之和，再由基本不等式或判別式求出的最大值.
【解答過程】（1）表示2024年及2025年各投資2百萬元，
由題意得，
，
，
所以.
（2）兩次投資在2027年產生的利潤之和為百萬元，
設2024年初投資百萬元，則2025年初投資百萬元，
2024年初投資的百萬元在2027年產生的利潤為（百萬元），
2025年初投資的百萬元在2027年產生的利潤為（百萬元），
所以.
解法一：
，設，
則，兩邊平方得，
由得，所以，
當時取等號.
所以，.
所以兩次投資在2027年產生的利潤之和的最大值為百萬元.
解法二：
，
當且僅當，即時取等號，
所以，兩次投資在2027年產生的利潤之和的最大值為百萬元.
【變式8-2】（23-24高一上·河南開封·期末）如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為 32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為 1的空白.記紙張的面積為 S，排版矩形的長和寬分別為x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小 并求最小面積.
【解題思路】（1）由題意知，再代入化簡即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【解答過程】（1）由題意，，
.
（2），
當且僅當，即時等號成立，
所以紙張的長和寬分別為12，6時，紙張的面積最小，最小面積為72.
【變式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側各有一個社區（忽略社區的大小），社區距離上最近的點的距離是社區距離上最近的點的距離是，且.點是線段上一點，設.
現規劃了如下三項工程：
工程1：在點處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；
工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價為億元；
工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價為1億元.
記這三項工程的總造價為億元.
(1)求實數的取值范圍；
(2)問點在何處時，最小，并求出該最小值.
【解題思路】（1）由直角三角形地塊全部修建為面積至少和直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園濕地公園，列不等式求解即可得出答案.
（2）由題意可得，由基本不等式求解即可.
【解答過程】（1）因為直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，
所以，解得：
直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，
所以，解得：,
故實數的取值范圍為.
（2）依題意可得：
，
當且僅當，即時取等.
所以當點滿足時，最小，最小值為億元.
【題型9 與其他知識交匯的最值問題】
【例9】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）已知內接于單位圓，且，
（1）求角
（2）求面積的最大值．
【解題思路】（1）變形已知條件可得，代入可得，可得值；
（2）由正弦定理可得，由余弦定理和基本不等式可得的取值范圍，進而可得面積的最值．
【解答過程】解：（1）
，
，
（2）得外接圓為單位圓，
其半徑
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
代入數據可得
，
，當且僅當時取等號，
得面積，
面積的最大值為：.
【變式9-1】（23-24高三上·山東青島·期末）《九章算術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早1000多年,在《九章算術》中,將底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.
(1)求證:四棱錐為陽馬;
(2)若,當鱉膈體積最大時,求銳二面角的余弦值.
【解題思路】(1)按照題目定義，只要證明面即可，而由，即可證出面；
(2)先根據基本不等式求出當時，鱉膈體積最大，然后建立如圖所示的空間直角坐標系，根據向量法即可求出銳二面角的余弦值．
【解答過程】(1)∵底面，面
∴
又，
∴面，
又四邊形為矩形
∴四棱錐為陽馬．
(2)∵，，∴
又∵底面，
∴
當且僅當時，取最大值
∵，底面
∴以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系
，，
，，
設面的一個法向量
由得
同理得
∴
二面角的余弦值為．
【變式9-2】（2024·廣東珠海·一模）已知、、是的內角，、、分別是其對邊長，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面積的最大值.
【解題思路】（1）由得出，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出的值，結合角的取值范圍可得出角的大小；
（2）利用余弦定理結合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面積公式可得出答案.
【解答過程】（1），，，
，
由正弦定理得，整理得，
，
，；
（2）在中，，，
由余弦定理知，
由基本不等式得，當且僅當時等號成立，，
，因此，面積的最大值為.
【變式9-3】（2024·黑龍江大慶·一模）已知橢圓，過點且離心率為，是橢圓上縱坐標不為零的兩點，若且，其中為橢圓的左焦點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段的垂直平分線在軸上的截距的取值范圍．
【解題思路】（1）由離心率和橢圓過點，得到關于的方程，解出的值，得到答案；
（2）由且得三點共線，設方程為，與橢圓聯立，得到，并得到交點的中點坐標，從而表示出弦的垂直平分線的方程，得到與軸的坐標，由基本不等式，得到其范圍.
【解答過程】（1）由已知，得
，解得
故橢圓的方程為
（2）是橢圓上縱坐標不為零的點，
且
三點共線，且直線的斜率存在且不為0.
又，則設方程為
代入，
整理得
顯然，
設，中點為.
，
直線的垂直平分線方程為.
令，得，
當時，，當且僅當時等號成立，
當時，，當且僅當時，等號成立.
或，
或
所以所求的取值范圍是.
一、單選題
1．（2023·全國·三模）已知，，且，則下列不等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據基本不等式逐項判斷ABD，消元，化簡，結合不等式性質判斷C.
【解答過程】因為，，且，
由基本不等式可得（當且僅當時取等號），A正確；
由基本不等式知，則，
即（當且僅當時取等號），B正確；
由題得，
由已知，故，所以，
故，C正確；
由基本不等式可得，
即（當且僅當時取等號），D錯誤.
故選：D.
2．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用基本不等式即可得解.
【解答過程】由題意知，所以，
所以.
當且僅當，即時，等號成立.
故選：B.
3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】借助不等式的性質與基本不等式逐項判斷即可得.
【解答過程】對A：由，故，即，故A錯誤；
對B：由，，則，且，
當且僅當時，等號成立，故，故B正確；
對C：由，故，即有，
又由B可得，即，故C錯誤；
對D：由，故，即，故D錯誤.
故選：B.
4．（2024·浙江嘉興·二模）若正數滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【解題思路】根據題意可得，利用基本不等式求解.
【解答過程】由可得，
，
當且僅當，即時，等號成立，此時符合題意.
所以的最小值為.
故選：A.
5．（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】觀察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得結果.
【解答過程】因為
，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故選：A.
6．（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法錯誤的是（ ）
A．若正實數滿足，則有最小值4
B．若正實數滿足，則
C．的最小值為
D．若，則
【解題思路】對于A，利用即可證明，再給出取等的情況即可得到A正確；對于B，利用即可證明，得到B正確；對于C，利用換元法與對勾函數單調性判斷；對于D，驗證當，時不等式不成立，得到D錯誤.
【解答過程】對于A，若正實數滿足，則，而當時，有，，從而的最小值是，故A正確；
對于B，若正實數滿足，則，故B正確；
對于C，設，則，由對勾函數單調性得最小值是，故C正確；
對于D，當，時，有，但，故D錯誤.
故選：D.
7．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（ ）
A． B． C． D．的大小無法確定
【解題思路】由題意求出的表達式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.
【解答過程】由題意得，，
因為，故，，
即，
故選：B.
8．（2024·四川成都·三模）設函數，正實數滿足，若，則實數的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
【解題思路】依題意可得，從而得到，再令，最后利用基本不等式計算可得.
【解答過程】因為，所以，，
又，
所以，即，
因為，，所以，所以，所以，
又，即，
所以，所以，
令，則，
所以
，
當且僅當，即時取等號，
所以，所以，
則實數的最大值為.
故選：A.
二、多選題
9．（2023·全國·模擬預測）已知實數，下列結論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則的最小值為4
C．若且，則
D．若，則的最小值為
【解題思路】根據題意，由基本不等式代入計算，即可判斷ABD，舉出反例即可判斷C
【解答過程】
，
當時，
，
當且僅當，時取等號，故選項A正確；
由，，可得，
當且僅當，即，時，
等號成立，故選項B正確；
取，時，不成立，故選項C錯誤；
，設，，
則且，，
則，
當且僅當，即時取等號，故選項D正確，
故選：ABD．
10．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅，第二次漲幅；
乙：第一次漲幅，第二次漲幅；
丙：第一次漲幅，第二次漲幅.
其中，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結論，其中正確的有（ ）
A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B．采用方案乙工資漲得比方案丙多
C．采用方案乙工資漲得比方案甲多 D．采用方案丙工資漲得比方案甲多
【解題思路】不防設原工資為1，分別計算三種方案兩次漲幅后的價格，利用均值不等式比較即可求解.
【解答過程】方案甲：兩次漲幅后的價格為：；
方案乙：兩次漲幅后的價格為：；
方案丙：兩次漲幅后的價格為：；
因為，由均值不等式，當且僅當時等號成立，
故，因為，所以，，
所以方案采用方案乙工資漲得比方案甲多，采用方案甲工資漲得比方案丙多，
故選：.
11．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則下列說法正確的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．的最小值為
【解題思路】利用基本不等式可判斷各選項.
【解答過程】A選項：由，得，當且僅當，即，時取等號，故A選項正確；
B選項：，當且僅當，即，時取等號，故B選項正確；
C選項：由，得，
所以，
當且僅當，即，時取等號，故C選項錯誤；
D選項：由A的分析知且，時取等號，
所以，當且僅當，即，時取等號，故D選項正確；
故選：ABD．
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值是 ．
【解題思路】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【解答過程】由，得，
因為，，
所以，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
所以的最小值是．
故答案為：．
13．（2024·上海奉賢·二模）某商品的成本與產量之間滿足關系式，定義平均成本，其中，假設，當產量等于 時，平均成本最少.
【解題思路】根據條件得到，再利用基本不等式，即可求出結果.
【解答過程】由題知，
當且僅當，即時取等號，
故答案為：.
14．（2024·全國·模擬預測）記表示這3個數中最大的數．已知都是正實數，，則的最小值為 ．
【解題思路】由題意可確定與的不等關系，結合基本不等式即可得最值.
【解答過程】因為，所以，，
又都是正實數，所以，所以，即，
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
故答案為：．
四、解答題
15．（2023·甘肅張掖·模擬預測）已知正實數x，y滿足等式．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
【解題思路】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）根據條件，，再利用基本不等式求解即可.
【解答過程】（1），即，
當且僅當，即，時等號成立，
所以的最小值為3．
（2），
當且僅當，即，時等號成立，
即．
16．（2023·全國·模擬預測）已知，且．
(1)求證：；
(2)求的最大值．
【解題思路】（1）通過，，，三式相加，可得：
.
再根據，，∴，，且，可得結果.
（2）先用公式和把原式轉化為：
，再用和進行消元，轉化為的二次三項式，再用配方法可求最大值.
【解答過程】（1）因為，
所以，
以上三式相加得，
所以，當且僅當時取等號．
因為，且，所以，，所以，
所以．
故.
（2），
，
當且僅當，時取等號，
的最大值為．
17．（2023·陜西安康·模擬預測）已知函數．
(1)當時，求不等式的解集；
(2)設，若的最小值為2，求的最小值．
【解題思路】（1）討論范圍，去掉絕對值符號，解不等式即可；
（2）根據三角不等式得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【解答過程】（1）當時，，
當時，解得，故，
當時，無解，
當時，解得，
綜上不等式的解集為.
（2）由絕對值不等式的性質可知，
因為的最小值為2，且，所以，
所以
，
當且僅當，即，也即時取等號，
所以的最小值為4．
18．（23-24高一上·貴州銅仁·期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產生活造成嚴重影響. 在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產，減輕經濟下降對企業和民眾帶來的損失. 為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(即該廠的年產量) x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足 x= 4 . 已知生產該產品的固定成本為 8萬元，生產成本為16萬元 / 萬件，廠家將產品的銷售價格定為萬元 / 萬件 (產品年平均成本)的1.5倍.
(1)將2022年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；
(2)該廠家2022年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
【解題思路】（1）依據題意列出該產品的利潤y萬元關于年促銷費用m萬元的解析式即可；
（2）依據均值定理即可求得促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大.
【解答過程】（1）由題意知，每萬件產品的銷售價格為（萬元），x= 4
則2022年的利潤．
（2）∵當時，，
∴，（當且僅當時等號成立）
∴，當且僅當萬元時，（萬元）．
故該廠家2022年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元．
19．（2023·全國·模擬預測）已知x，y，．
(1)若，證明：；
(2)若，證明．
【解題思路】（1）運用基本不等式證明即可；
（2）構造，，，采用疊加法即可證明.
【解答過程】（1）因為x，，所以，當且僅當時取等號，
所以，即，則，
同理由可得，
所以，當且僅當時取等號．
（2）因為x，y，，所以，，，
以上三式相加得，
所以，當且僅當時取等號．
因為x，y，，且，所以，，
所以，，所以．
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