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專題1.5 二次函數與一元二次方程、不等式【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 不含參一元二次不等式的解法】 3
【題型2 含參一元二次不等式的解法】 4
【題型3 由一元二次不等式的解確定參數】 6
【題型4 其他不等式的解法】 7
【題型5 一元二次不等式根的分布問題】 10
【題型6 二次函數的單調性、最值問題】 11
【題型7 一元二次不等式恒成立問題】 13
【題型8 一元二次不等式有解問題】 15
1、二次函數與一元二次方程、不等式
考點要求 真題統計 考情分析
(1)會從實際情景中抽象出一元二次不等式
(2)掌握三個“二次”的關系，會解一元二次不等式
(3)了解分式、高次、絕對值不等式的解法 2020年I卷：第1題，5分 2023年新高考I卷：第1題，5分 一元二次不等式是高考數學的重要內容.從近幾年高考情況來看，三個“二次”
的關系是必考內容，單獨考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現在其他考點的題目中；此外，“含參不等式恒成立與能成立問題”也是常考的熱點內容，這類問題把不等式、函數、三角、幾何等知識有機地結合起來，其以覆蓋知識點多、綜合性強、解法靈活等特點備受高考命題者的青睞.
【知識點1 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含參數的一元二次不等式的一般步驟：
①通過對不等式變形，使二次項系數大于零；
②計算對應方程的判別式；
③求出相應的一元二次方程的根，或根據判別式說明方程沒有實根；
④根據函數圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．
(2)解含參數的一元二次不等式的一般步驟：
①若二次項系數含有參數，則需對二次項系數大于0、等于0與小于0進行討論；
②若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；
③若求出的根中含有參數，則應對兩根的大小進行討論．
2．分式、高次、絕對值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步驟：
①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．
②對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步驟：
高次不等式的解法：如果將分式不等式轉化為正式不等式后，未知數的次數大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標準化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.
(3)解絕對值不等式的一般步驟：
對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數軸來求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性問題
不等式對任意實數x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為 的條件為
【方法技巧與總結】
1．已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；
2．已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
3．已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；
4．已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．
【題型1 不含參一元二次不等式的解法】
【例1】（2023·廣東珠海·模擬預測）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【解答過程】由得，解得，
故原不等式的解集為.
故選：D.
【變式1-1】（2024·天津·一模）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】解出不等式后，結合充分條件與必要條件的定義即可得.
【解答過程】由，解得或，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式1-2】（2023·湖南岳陽·模擬預測）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【解題思路】將不等式化簡成一元二次不等式的標準形式，即可求得結果.
【解答過程】由不等式可得，
即，可得，
因此不等式的解集是.
故選：C.
【變式1-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知命題p：集合，命題q：集合，則p是q的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【解題思路】解出集合、，利用集合的包含關系判斷可得出結論.
【解答過程】或，或，
是的真子集，
因此，是的必要不充分條件.
故選：B.
【題型2 含參一元二次不等式的解法】
【例2】（23-24高一上·海南海口·期中）若，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據得到，從而寫出的解集.
【解答過程】因為，所以，
所以的解集為.
故選：D.
【變式2-1】（23-24高一上·山東·階段練習）不等式的解集為（ ）.
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】由一元二次不等式的解法求解.
【解答過程】原不等式可化為即，而，故，
圖象開口向下，故原不等式的解集為.
故選：A.
【變式2-2】（23-24高一上·河南開封·期中）關于x的不等式的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．或
【解題思路】將原不等式化為，再分類討論的取值情況進行求解.
【解答過程】由題意，原不等式可化為
當時，原不等式為，解得，原不等式的解集為；
當時，，原不等式的解集為；
當時，，原不等式的解集為；
當時，，原不等式的解集為；
當時，，原不等式的解集為或；
綜上，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為或；
故不可能的解集為或.
故選：D.
【變式2-3】（23-24高一上·浙江臺州·期中）不等式的解集為，則下列選項正確的為（ ）
A．
B．
C．不等式的解集為
D．不等式的解集為或
【解題思路】賦值法可解AB，消去參數可解CD.
【解答過程】記，因為
所以，故A錯誤；
因為
所以，故B錯誤；
由題知和2是方程的兩個實根，
所以，且
解得
故或，C錯誤；
或，D正確；
故選：D.
【題型3 由一元二次不等式的解確定參數】
【例3】（23-24高一下·云南·階段練習）若關于的不等式的解集中恰有三個整數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分類討論的兩根大小，結合已知條件，通過求一元二次不等式即可求解.
【解答過程】原不等式可化為，
當時，得，此時解集中的整數為2，3，4，則；
當時，得，此時解集中的整數為，，，則，
綜上所述，的取值范圍是.
故選：A.
【變式3-1】（2024·廣東·一模）已知且，則“的解集為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】
根據一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.
【解答過程】由題意，二次不等式的解集為，
則等價于，即，即，
當時，不能推出，
所以“的解集為”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
【變式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據一元二次不等式的解集與對應一元二次方程的根之間的關系求出的值，再解不等式.
【解答過程】根據題意，方程的兩根為2和3，
則，
則為，其解集為.
故選：D.
【變式3-3】（23-24高一上·黑龍江大慶·期末）關于的不等式的解集是，且，則實數的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出，，再根據，即可求出．
【解答過程】關于的不等式的解集是，
∴是方程的兩個根，
∴即，
∴或，
∴，，
∵，
∴，
即，
即，
解得，
綜上所述，或，
故選：D.
【題型4 其他不等式的解法】
【例4】（23-24高一上·湖南長沙·期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【解題思路】（1）將分式不等式化為且，求出解集；
（2）將絕對值不等式化為分段函數，零點分段法求解絕對值不等式.
【解答過程】（1）不等式，移項得，通分得，
可轉化為且，
解得，不等式解集為.
（2）令
當時，，解得，即；
當時，，解得，即；
當時，，解得，即；
綜上所述：不等式解集為.
【變式4-1】（23-24高一上·江蘇揚州·期中）求下列不等式的解集
(1)；
(2)
(3)
【解題思路】（1）將原不等式等價轉換為，解一元二次不等式即可.
（2）將原不等式等價轉換為，解一元二次不等式即可.
（3）將原不等式等價轉換為，解一元二次不等式即可.
【解答過程】（1）由題意，
解不等式得或，
從而不等式的解集為.
（2）由題意，
解不等式得，
從而不等式的解集為.
（3）由題意，
解不等式得，
從而不等式的解集為.
【變式4-2】（22-23高一上·上海徐匯·階段練習）解下列不等式：
(1)；
(2).
【解題思路】對不等式因式分解，由數軸標根法或分類討論求解即可.
【解答過程】（1），由數軸標根法得，解集為；
（2）或，
易得解集為.
【變式4-3】（2023高一·上海·專題練習）解下列關于的不等式．
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）由題意不等式等價于，由零點標根法畫圖即可求解.
（2）由題意不等式等價于，由零點標根法畫圖即可求解.
【解答過程】（1）原不等式等價于，
所以，
如圖所示：
解得或且，
所以原不等式解集為或或.
（2）由得，，
原不等式等價于，即，
如圖所示：
解得 或 或，
所以原不等式的解集為 或 或．
【題型5 一元二次不等式根的分布問題】
【例5】（2024高三·全國·專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數根，且，那么的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】說明時，不合題意，從而將化為，令，結合其與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，可列不等式即可求得答案.
【解答過程】當時，即為，不符合題意；
故，即為，
令，
由于關于的方程有兩個不相等的實數根，且，
則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，
故時，，即，解得，故，
故選：D.
【變式5-1】（23-24高三上·四川·階段練習）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
令，依題意可得，解得即可.
【解答過程】
令，因為方程在區間上有兩個不相等的實數解，
所以，即，解得，
所以的取值范圍是．
故選：A．
【變式5-2】（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實數，關于的不等式的解集為，則實數a、b、、從小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【解題思路】由題可知，再利用中間量，根據與之間的關系求出的取值范圍，即可判斷a、b、、之間的關系.
【解答過程】由題可得：，.由，，設，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故選：A.
【變式5-3】（23-24高三·全國·階段練習）方程的一根在區間內，另一根在區間內，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】令，由二次函數根的分布性質有，，，求得的取值范圍.
【解答過程】令，由二次函數根的分布性質，若一根在區間內，
另一根在區間（3，4）內，
只需，即，
解不等式組可得，即的取值范圍為，
故選：C.
【題型6 二次函數的單調性、最值問題】
【例6】（23-24高一上·江蘇南京·期末）若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用二次函數的對稱軸及函數的單調性列出不等式求解.
【解答過程】因為函數在區間上單調遞減，
所以，解得.
故選：D.
【變式6-1】（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知函數在[-2，1]上具有單調性，則實數k的取值范圍是（）
A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4
【解題思路】根據二次函數的單調性和對稱軸之間的關系，建立條件求解即可.
【解答過程】函數對稱軸為，
要使在區間[-2，1]上具有單調性，則
或，∴或
綜上所述的范圍是：k≤-8或k≥4.
故選：C.
【變式6-2】（23-24高一上·江蘇鎮江·階段練習）若函數的定義域為，值域為則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用分類討論與，求解范圍.
【解答過程】由的定義域為，
對稱軸為,
當時，在單調遞減，則，，
而函數的值域為，則，解得，故，
當時，在單調遞減，在單調遞增，
則，，
，故，解得，
故，
綜上所述，的取值范圍為，
故選：A.
【變式6-3】（2024高三·全國·專題練習）已知函數的最小值為0，若關于的不等式的解集為，則實數的值為（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【解題思路】先由的最小值為0，得到，再由的解集為，得到的根為，從而利用韋達定理即可求解.
【解答過程】因為開口向上，最小值為，
，
則，
的解集為，所以是的兩個不等實根，
即是的兩個不等實根，
所以，則，
.
故選：D.
【題型7 一元二次不等式恒成立問題】
【例7】（2023·福建廈門·二模）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
分和兩種情況討論求出的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即可得解.
【解答過程】當時，，得，與題意矛盾，
當時，則，解得，
綜上所述，，
所以不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是A選項.
故選：A.
【變式7-1】（2023·江西九江·模擬預測）無論取何值時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題知，再解不等式即可得答案.
【解答過程】解：因為無論取何值時，不等式恒成立，
所以，，解得，
所以，的取值范圍是
故選：D.
【變式7-2】（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】變形給定不等式，分離參數，利用均值不等式求出最小值作答.
【解答過程】，而當時，，當且僅當，即時取等號，
則，所以m的取值范圍是.
故選：C.
【變式7-3】（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
對二項式系數進行分類，結合二次函數定義的性質，列出關系式求解.
【解答過程】當時，不等式恒成立，
當時，滿足不等式恒成立；
當時，令，則在上恒成立，
函數的圖像拋物線對稱軸為，
時，在上單調遞減，在上單調遞增，
則有，解得；
時，在上單調遞增，在上單調遞減，
則有，解得.
綜上可知，的取值范圍是.
故選：D.
【題型8 一元二次不等式有解問題】
【例8】（2023·福建寧德·模擬預測）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據能成立問題求a的取值范圍，結合充分不必要條件理解判斷.
【解答過程】∵，則，即，
∴a的取值范圍
由題意可得：選項中的取值范圍對應的集合應為的真子集，
結合選項可知B對應的集合為為的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故選：B.
【變式8-1】（2023高三·全國·專題練習）若關于x的不等式在區間上有解，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
利用二次函數的圖象及根的分布計算即可.
【解答過程】易知恒成立，即有兩個不等實數根，
又，即二次函數有兩個異號零點，
所以要滿足不等式在區間上有解，
所以只需，
解得，所以實數m的取值范圍是．
故選A．
【變式8-2】（2023·河南·模擬預測）已知命題“，”為真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題知時，，再根據二次函數求最值即可得答案.
【解答過程】解：因為命題“，”為真命題，
所以，命題“，”為真命題，
所以，時，，
因為，，
所以，當時，，當且僅當時取得等號.
所以，時，，即實數的取值范圍是
故選：C.
【變式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一個，使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
化簡不等式，根據二次函數的圖象、含有絕對值函數的圖象進行分析，從而求得的取值范圍.
【解答過程】依題意，至少存在一個，使得關于的不等式成立，
即至少存在一個，使得關于的不等式成立，
畫出以及的圖象如下圖所示，其中.
當與相切時，
由消去并化簡得，
.
當與相切時，
由消去并化簡得①，
由解得，代入①得，
解得，不符合題意.
當過時，.
結合圖象可知的取值范圍是.
故選：A.
一、單選題
1．（2023·山東泰安·模擬預測）“”是“成立”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】化簡“成立”，再結合充分條件和必要條件的定義判斷.
【解答過程】由可得，
化簡可得，
所以“成立”等價于“”，
“”可推出“成立”，
“成立”不能推出“”
所以“”是“成立”的充分不必要條件，
故選：A.
2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）不等式的解集為（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【解題思路】解一元二次不等式即可得解.
【解答過程】因為，所以或，
故不等式的解集為或.
故選：B.
3．（2024·浙江·模擬預測）若不等式的解為全體實數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】分類討論與兩種情況，結合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.
【解答過程】當時，不等式可化為，顯然不合題意；
當時，因為的解為全體實數，
所以，解得；
綜上：.
故選：C.
4．（2024·甘肅張掖·模擬預測）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】按照正負分類討論取絕對值，運算得解.
【解答過程】當，即或時，
不等式等價于，即，
解得，所以；
當，即時，不等式等價于不等式，即，
解得或，所以.
綜上，不等式的解集是.
故選：C.
5．（2023·山東·模擬預測）若不等式的解集是，函數的對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由一元二次不等式的解法與二次函數的性質求解．
【解答過程】解：∵不等式的解集是，
∴和是方程的兩個根，
∴，∴，
∴函數的對稱軸是．
故選：A．
6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意得出a、b、c的關系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【解答過程】一元二次不等式的解為，
所以的解為，且，
由韋達定理得，代入得
，
故選：D.
7．（2023·遼寧鞍山·二模）已知當時，不等式：恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由得，由基本不等式得，故.
【解答過程】當時，由得，
因，故，當且僅當即時等號成立，
因當時，恒成立，得，
故選：C.
8．（2023·河南·模擬預測）某同學解關于的不等式時，因弄錯了常數的符號，解得其解集為 ，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用根與系數關系、一元二次不等式的解求得的關系式，進而求得不等式的解集.
【解答過程】由題意可知，且，所以，
所以化為 ，
，解得.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是
D．若關于x的不等式的解集是，則的值為
【解題思路】
對于AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于C，對分類討論即可判斷；對于D，由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系，先求得，然后即可判斷.
【解答過程】對于A，或，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
若不等式恒成立，
當時，是不可能成立的，
所以只能，而該不等式組無解，綜上，故C正確；
對于D，由題意得是一元二次方程的兩根，
從而，解得，
而當時，一元二次不等式滿足題意，
所以的值為，故D正確.
故選：CD.
10．（2023·江蘇連云港·模擬預測）若對于任意實數x，不等式恒成立，則實數a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
【解題思路】首先當，不等式為恒成立，故滿足題意；其次，問題變為了一元二次不等式恒成立問題，則當且僅當，解不等式組即可.
【解答過程】當時，不等式為恒成立，故滿足題意；
當時，要滿足，
而，
所以解得；
綜上，實數a的取值范圍是；
所以對比選項得，實數a可能是，0，1.
故選：ABD.
11．（23-24高二上·山東威海·期末）已知關于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集為
【解題思路】根據給定的解集，用表示出，再逐項判斷作答.
【解答過程】不等式的解集為，則是方程的根，且，
則，即，A錯誤；
不等式化為，解得，即不等式的解集是，B正確；
，C錯誤；
不等式化為，即，解得或，
所以不等式的解集為，D正確.
故選：BD.
三、填空題
12．（2023·江西鷹潭·模擬預測）若命題：“，”是假命題，則的取值范圍是 .
【解題思路】本題首先可根據題意得出命題“”是真命題，然后分為三種情況進行討論，結合二次函數性質即可得出結果.
【解答過程】因為命題：“，”是假命題，
所以命題“”是真命題，
若，即或，
當時，不等式為，恒成立，滿足題意；
當時，不等式為，不恒成立，不滿足題意；
當時，則需要滿足，
即，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
13．（2023·河南·模擬預測）已知函數與曲線有三個交點，則k的取值范圍是 .
【解題思路】將兩曲線表達式聯立，得出一元二次方程，利用判別式即可求出k的取值范圍.
【解答過程】由題意，
函數與曲線有三個交點，
，則，
若直線與曲線有三個交點，
只需滿足方程有兩個不等于1和0的解.
因為該方程的兩個解之積，故只需滿足，
所以或，即k的取值范圍是.
故答案為：.
14．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習）若關于的不等式的解集為，則的取值范圍是 ．
【解題思路】先根據一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據端點得到兩個等式和一個不等式，求出的取值范圍，最后都表示成的形式即可.
【解答過程】因為不等式的解集為，
所以二次函數的對稱軸為直線，
且需滿足，即，解得，
所以，所以，
所以.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一下·四川成都·開學考試）已知函數．
(1)若關于x的不等式的解集為R，求實數a的取值范圍；
(2)解關于x的不等式．
【解題思路】（1）由題意可知，進而求出實數的取值范圍；
（2）根據和兩種情況討論，結合二次函數的性質求解即可．
【解答過程】（1）若不等式的解集為R，
則，
解得，
即實數的取值范圍,；
（2）不等式，
①當時，即時，不等式的解集為，
②當時，即或時，
由，解得或，
所以不等式的解集為，
綜上所述，當時，不等式的解集為；
當或時，不等式的解集為．
16．（2024·山東·二模）已知是二次函數，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函數的最小值和最大值．
【解題思路】（1）設二次函數為，根據題意，列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）根據二次函數的性質，求得函數的單調區間，進而求得其最值.
【解答過程】（1）解：設二次函數為，
因為，可得，解得，
所以函數的解析式．
（2）解：函數，開口向下，對稱軸方程為，
即函數在單調遞增，在單調遞減，
所以，．
17．（23-24高二上·江蘇南通·期中）設m∈R，關于x的不等式的解集為.
（1）求m的取值范圍；
（2）求關于x的不等式的解集.
【解題思路】（1）由一元二次不等式恒成立的性質運算即可得解；
（2）轉化條件為，按照、、討論，運算即可得解.
【解答過程】（1）因為關于x的不等式的解集為，
所以關于x的不等式恒成立，
所以，解得，
所以m的取值范圍為；
（2）不等式等價于，
當時，不等式可化為，解集為；
當時，，此時不等式的解集為或；
當時，，此時不等式的解集為.
18．（2024·全國·模擬預測）設函數 ．
(1)求的解集；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍．
【解題思路】（1）分區間討論去掉絕對值號求解即可；
（2）求出的最小值，解不等式即可得解.
【解答過程】（1）當時，，恒成立，則；
當時，，，即，
解得；
當時，不成立，則．
綜上，不等式的解集為．
（2）令，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
即的值域為．
所以不等式恒成立，可轉化為恒成立，
即，解得，
即實數的取值范圍為．
19．（23-24高一上·江蘇·階段練習）設函數.
（1）若關于的不等式有實數解，求實數的取值范圍；
（2）若不等式對于實數時恒成立，求實數的取值范圍；
（3）解關于的不等式：.
【解題思路】(1)將給定的不等式等價轉化成，按與并結合二次函數的性質討論存在實數使不等式成立即可；
(2)將給定的不等式等價轉化成，根據給定條件借助一次函數的性質即可作答；
(3)將不等式化為，分類討論并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【解答過程】(1)依題意，有實數解，即不等式有實數解，
當時，有實數解，則，
當時，取，則成立，即有實數解，于是得，
當時，二次函數的圖象開口向下，要有解，當且僅當，從而得，
綜上，，
所以實數的取值范圍是；
(2)不等式對于實數時恒成立，即，
顯然，函數在上遞增，從而得，即，解得，
所以實數的取值范圍是；
(3) 不等式，
當時，，
當時，不等式可化為，而，解得，
當時，不等式可化為，
當，即時，，
當，即時，或，
當，即時，或，
所以，當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題1.5 二次函數與一元二次方程、不等式【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 不含參一元二次不等式的解法】 3
【題型2 含參一元二次不等式的解法】 3
【題型3 由一元二次不等式的解確定參數】 4
【題型4 其他不等式的解法】 4
【題型5 一元二次不等式根的分布問題】 5
【題型6 二次函數的單調性、最值問題】 6
【題型7 一元二次不等式恒成立問題】 6
【題型8 一元二次不等式有解問題】 7
1、二次函數與一元二次方程、不等式
考點要求 真題統計 考情分析
(1)會從實際情景中抽象出一元二次不等式
(2)掌握三個“二次”的關系，會解一元二次不等式
(3)了解分式、高次、絕對值不等式的解法 2020年I卷：第1題，5分 2023年新高考I卷：第1題，5分 一元二次不等式是高考數學的重要內容.從近幾年高考情況來看，三個“二次”
的關系是必考內容，單獨考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現在其他考點的題目中；此外，“含參不等式恒成立與能成立問題”也是常考的熱點內容，這類問題把不等式、函數、三角、幾何等知識有機地結合起來，其以覆蓋知識點多、綜合性強、解法靈活等特點備受高考命題者的青睞.
【知識點1 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含參數的一元二次不等式的一般步驟：
①通過對不等式變形，使二次項系數大于零；
②計算對應方程的判別式；
③求出相應的一元二次方程的根，或根據判別式說明方程沒有實根；
④根據函數圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．
(2)解含參數的一元二次不等式的一般步驟：
①若二次項系數含有參數，則需對二次項系數大于0、等于0與小于0進行討論；
②若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；
③若求出的根中含有參數，則應對兩根的大小進行討論．
2．分式、高次、絕對值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步驟：
①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．
②對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步驟：
高次不等式的解法：如果將分式不等式轉化為正式不等式后，未知數的次數大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標準化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.
(3)解絕對值不等式的一般步驟：
對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數軸來求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性問題
不等式對任意實數x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為 的條件為
【方法技巧與總結】
1．已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；
2．已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
3．已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；
4．已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．
【題型1 不含參一元二次不等式的解法】
【例1】（2023·廣東珠海·模擬預測）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·天津·一模）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2023·湖南岳陽·模擬預測）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【變式1-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知命題p：集合，命題q：集合，則p是q的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【題型2 含參一元二次不等式的解法】
【例2】（23-24高一上·海南海口·期中）若，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（23-24高一上·山東·階段練習）不等式的解集為（ ）.
A． B．
C．或 D．或
【變式2-2】（23-24高一上·河南開封·期中）關于x的不等式的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．或
【變式2-3】（23-24高一上·浙江臺州·期中）不等式的解集為，則下列選項正確的為（ ）
A．
B．
C．不等式的解集為
D．不等式的解集為或
【題型3 由一元二次不等式的解確定參數】
【例3】（23-24高一下·云南·階段練習）若關于的不等式的解集中恰有三個整數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·廣東·一模）已知且，則“的解集為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（23-24高一上·黑龍江大慶·期末）關于的不等式的解集是，且，則實數的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 其他不等式的解法】
【例4】（23-24高一上·湖南長沙·期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【變式4-1】（23-24高一上·江蘇揚州·期中）求下列不等式的解集
(1)；
(2)
(3)
【變式4-2】（22-23高一上·上海徐匯·階段練習）解下列不等式：
(1)；
(2).
【變式4-3】（2023高一·上海·專題練習）解下列關于的不等式．
(1)；
(2)．
【題型5 一元二次不等式根的分布問題】
【例5】（2024高三·全國·專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數根，且，那么的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（23-24高三上·四川·階段練習）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實數，關于的不等式的解集為，則實數a、b、、從小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【變式5-3】（23-24高三·全國·階段練習）方程的一根在區間內，另一根在區間內，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型6 二次函數的單調性、最值問題】
【例6】（23-24高一上·江蘇南京·期末）若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知函數在[-2，1]上具有單調性，則實數k的取值范圍是（）
A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4
【變式6-2】（23-24高一上·江蘇鎮江·階段練習）若函數的定義域為，值域為則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2024高三·全國·專題練習）已知函數的最小值為0，若關于的不等式的解集為，則實數的值為（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【題型7 一元二次不等式恒成立問題】
【例7】（2023·福建廈門·二模）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023·江西九江·模擬預測）無論取何值時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型8 一元二次不等式有解問題】
【例8】（2023·福建寧德·模擬預測）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-1】（2023高三·全國·專題練習）若關于x的不等式在區間上有解，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·河南·模擬預測）已知命題“，”為真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一個，使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2023·山東泰安·模擬預測）“”是“成立”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）不等式的解集為（ ）
A．或 B．或
C． D．或
3．（2024·浙江·模擬預測）若不等式的解為全體實數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·甘肅張掖·模擬預測）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山東·模擬預測）若不等式的解集是，函數的對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·遼寧鞍山·二模）已知當時，不等式：恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南·模擬預測）某同學解關于的不等式時，因弄錯了常數的符號，解得其解集為 ，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是
D．若關于x的不等式的解集是，則的值為
10．（2023·江蘇連云港·模擬預測）若對于任意實數x，不等式恒成立，則實數a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
11．（23-24高二上·山東威海·期末）已知關于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集為
三、填空題
12．（2023·江西鷹潭·模擬預測）若命題：“，”是假命題，則的取值范圍是 .
13．（2023·河南·模擬預測）已知函數與曲線有三個交點，則k的取值范圍是 .
14．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習）若關于的不等式的解集為，則的取值范圍是 ．
四、解答題
15．（23-24高一下·四川成都·開學考試）已知函數．
(1)若關于x的不等式的解集為R，求實數a的取值范圍；
(2)解關于x的不等式．
16．（2024·山東·二模）已知是二次函數，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函數的最小值和最大值．
17．（23-24高二上·江蘇南通·期中）設m∈R，關于x的不等式的解集為.
（1）求m的取值范圍；
（2）求關于x的不等式的解集.
18．（2024·全國·模擬預測）設函數 ．
(1)求的解集；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍．
19．（23-24高一上·江蘇·階段練習）設函數.
（1）若關于的不等式有實數解，求實數的取值范圍；
（2）若不等式對于實數時恒成立，求實數的取值范圍；
（3）解關于的不等式：.
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