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專題2.1 函數的概念【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 函數的概念】 2
【題型2 同一函數的判斷】 4
【題型3 具體函數的定義域的求解】 6
【題型4 抽象函數的定義域的求解】 7
【題型5 已知函數定義域求參數】 8
【題型6 已知函數類型求解析式】 10
【題型7 已知f(g(x))求解析式】 11
【題型8 函數值域的求解】 12
【題型9 分段函數及其應用】 14
1、函數的概念
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解函數的含義，會求簡單函數的定義域和值域
(2)會根據不同的需要選擇恰當的方法(圖象法、列表法、解析法)表示函數
(3)了解簡單的分段函數，并會應用 2021年浙江卷：第12題，5分 2022年浙江卷：第14題，5分 2023年北京卷：第11題，5分 函數的解析式與定義域、值域問題是高考數學的必考內容.從近幾年的高考情況來看，高考對函數的概念考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大，函數的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現.高考對本節的考查不會有大的變化，仍將以分段函數、定義域、值域及最值為主.
【知識點1 函數的定義域的求法】
1．求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
2．求抽象函數定義域的方法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a,b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知識點2 函數解析式的四種求法】
1．函數解析式的四種求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.
(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法來求解.
(3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關于f(x)與或f(-x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
【知識點3 求函數值域的一般方法】
1．求函數值域的一般方法
(1)分離常數法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)單調性法；
(6)換元法；
(7)數形結合法；
(8)導數法.
【知識點4 分段函數的應用】
1．分段函數的應用
分段函數問題往往需要進行分類討論，根據分段函數在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數問題，分段解決．
【題型1 函數的概念】
【例1】（2023·山東·模擬預測）下列圖象中，能表示函數圖象的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【解題思路】根據函數的定義判斷可得出結論.
【解答過程】解：∵一個只能對應一個，∴①③符合題意，
對于②中，當時，一個對應兩個，不符合函數的定義；
對于④中，當時，一個對應兩個，不符合函數的定義.
故選：D．
【變式1-1】（23-24高一上·廣東佛山·期末）給定數集滿足方程，下列對應關系為函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】ACD選項，可舉出反例；B選項，利用函數的定義作出判斷.
【解答過程】A選項，，當時，，由于，故A選項不合要求；
B選項，，存在唯一確定的，使得，故B正確；
CD選項，對于，不妨設，此時，解得，
故不滿足唯一確定的與其對應，不滿足要求，CD錯誤.
故選：B.
【變式1-2】（2024·江西·一模）設，，函數的定義域為，值域為，則的圖象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據函數的定義，逐項進行判斷，即可得解.
【解答過程】因為定義域為，所以舍去A;
因為值域為，所以舍去D;
因為對于定義域內每一個x有且只有一個y值，所以去掉C；
故選B.
【變式1-3】（2024高三·全國·專題練習）下列對應是從集合A到集合B的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由函數的定義對選項一一判斷即可得出答案.
【解答過程】對于A選項，對集合A中的任意一個數x，集合B中都有唯一的數y與之對應，是函數；
對于B選項，時，，有兩個y與之對應，不是函數；
對于C選項，當時，不存在，不是函數；
對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應元素，不是函數.
故選：A.
【題型2 同一函數的判斷】
【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】分別求得函數的定義域和對應法則，結合同一函數的判定方法，逐項判定，即可求解.
【解答過程】對于A中，函數的定義域為，函數的定義域為，
兩函數的定義域不同，不是同一函數；
對于B中，函數和的定義域不同，不是同一函數；
對于C中，函數與的定義域相同，對應法則也相同，所以是同一函數；
對于D中，函數的定義域為，的定義域為，兩函數的定義域不同，不是同一函數.
故選：C.
【變式2-1】（2024·山東·一模）下列各組函數中，表示同一函數的是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解題思路】根據同一函數的定義對四個選項中的兩個函數進行比較即可.
【解答過程】選項A:函數的定義域是，函數的定義域是全體實數，故這兩個函數不是同一函數；
選項B:函數的定義域是，函數的定義域是全體實數，故兩個函數不是同一函數；
選項C: 函數的定義域是,函數的定義域是全體實數，故兩個函數不是同一函數；
選項D:函數和的定義域都是全體實數，且，對應關系相同，所以是同一函數，故故選D.
【變式2-2】（2024·重慶·二模）下列函數中，與是相同的函數是
A． B．
C． D．
【解題思路】求出各選項函數的定義域，并對解析式進行化簡，要求所選函數的定義域和解析式都與函數的定義域和解析式一致，可得出正確的選項.
【解答過程】對于A選項，函數定義域為，其解析式與函數的解析式不一致，兩個函數不是同一函數；
對于B選項，函數的定義域為，其解析式與函數的解析式一致，兩個函數是同一函數；
對于C選項，函數的定義域為，和函數的定義域不一致，兩個函數不是同一函數；
對于D選項，的定義域為，但其解析式與函數的解析式不一致，兩個函數不是同一函數.
故選B.
【變式2-3】（23-24高二下·福建三明·階段練習）下列各組函數相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】分別求每個選項中兩個函數的定義域和對應關系，即可判斷是否為相同函數，進而可得正確選項.
【解答過程】對于A中，函數的定義域為R，的定義域為，
所以定義域不同，不是相同的函數，故A錯誤；
對于B中，函數的定義域為R，的定義域為，
所以定義域不同，不是相同的函數，故B錯誤；
對于C中，函數的定義域為R，與的定義域為，
所以定義域不同，所以不是相同的函數,故C錯誤；
對于D中，函數與的定義域均為R，
可知兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，所以是相同的函數, 故D正確；
故選：D.
【題型3 具體函數的定義域的求解】
【例3】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由函數形式得到不等式組，解出即可.
【解答過程】由題意得，解得，則定義域為，
故選：C.
【變式3-1】（2024·陜西·模擬預測）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據具體函數定義域的求法求解即可.
【解答過程】因為，
所以，解得且，
故的定義域為.
故選：D.
【變式3-2】（2024吉林·一模）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據對數的真數大于0，分母不為0，偶次方根被開方數是非負數，可列出不等式，進而可求出答案.
【解答過程】由題意，可得，解得.
故選：C.
【變式3-3】（2024·山東泰安·三模）已知函數，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求得函數的定義域，再運用復合函數的定義域求解方法可得選項.
【解答過程】因為，所以解得，所以函數的定義域為，
所以函數需滿足且，解得且，
故選：D.
【題型4 抽象函數的定義域的求解】
【例4】（2023·江蘇鎮江·模擬預測）若函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用抽象函數定義域的求解原則可求出函數的定義域，對于函數，可列出關于的不等式組，由此可得出函數的定義域.
【解答過程】因為函數的定義域為，則，可得，
所以，函數的定義域為，
對于函數，則有，解得，
因此，函數的定義域為.
故選：C.
【變式4-1】（2024·陜西西安·一模）若函數的定義域是[0，4]，則函數的定義域是
A．[ 0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]
【解題思路】根據分式與的定義域求解即可
【解答過程】要使函數有意義，依題意需有 解得，．
故選：D．
【變式4-2】（2023·河北衡水·模擬預測）已知函數的定義域為，則函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用函數有意義并結合復合函數的意義列出不等式組，求解不等式組作答.
【解答過程】因為函數的定義域為，又函數有意義，
則有，解得或，
所以函數的定義域是.
故選：C.
【變式4-3】（2024·湖北荊州·模擬預測）定義域是一個函數的三要素之一，已知函數定義域為，則函數 的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據抽象函數定義域的求法，列出方程組，解得，即可知選項A正確.
【解答過程】由抽象函數的定義域可知，
，解得，
所以所求函數的定義域為.
故選A.
【題型5 已知函數定義域求參數】
【例5】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數的定義域為R，則實數的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解題思路】利用題給條件列出關于的不等式，解之即可求得實數的取值范圍.
【解答過程】由題意得對任意恒成立，
當時，不等式可化為，其解集不是R，不符合題意；
當時，由該不等式恒成立可得
，解之得，
綜上，實數的取值范圍是
故選：A.
【變式5-1】（23-24高一上·遼寧鞍山·期中）已知函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】分、、三種情況，結合二次函數的性質即可求解.
【解答過程】當時，，則，得，即定義域為，不符合題意；
當時，，定義域為R，符合題意；
當時，由題意得關于x的不等式恒成立，
故，解得或.
綜上，實數a的取值范圍是.
故選：D.
【變式5-2】（22-23高二上·寧夏石嘴山·階段練習）若函數的定義域為R，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可知的解集為R，分，兩種情況討論，即可求解.
【解答過程】函數的定義域為R，可知的解集為R，
若，則不等式為恒成立，滿足題意；
若，則，解得．
綜上可知，實數k的取值范圍是．
故選：B．
【變式5-3】（23-24高一上·浙江·階段練習）已知函數的定義域是關于的不等式的解集的子集，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】依題意解不等式即可.
【解答過程】函數定義域非空集，則，解得.
記，
因為，所以的解集為，
依題意有或，所以或，
又，，所以.
故選：A.
【題型6 已知函數類型求解析式】
【例6】（2024·山東濟南·二模）已知函數，則 ．
【解題思路】代入函數解析式計算即可.
【解答過程】解：因為，所以，
.
故答案為：.
【變式6-1】（2024·廣東東莞·二模）已知函數，，則 3 ．
【解題思路】利用直接代入法結合對應系數相等可得的值，將代入可得結果.
【解答過程】由題意，得，
即，解得，，因此，
故答案為3.
【變式6-2】（2023·江西九江·模擬預測）若三角形的面積為S（），底邊長為，底上的高為h（），則h關于S的函數關系式是 ．
【解題思路】根據三角形面積公式得到，從而得到h關于S的函數關系式.
【解答過程】因為，所以 .
故答案為： .
【變式6-3】（2024·山東濟南·一模）已知集合，函數.若函數滿足：對任意，存在，使得，則的解析式可以是 .（寫出一個滿足條件的函數解析式即可）
【解題思路】根據，求得，則滿足的一次函數或二次函數均可.
【解答過程】，，
，，
，，
所以，則的解析式可以為.
經檢驗，滿足題意.
故答案為：（答案不唯一）.
【題型7 已知f(g(x))求解析式】
【例7】（2023·重慶·模擬預測）已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用換元法令，運算求解即可.
【解答過程】令，則，且，則，
可得，
所以.
故選：B.
【變式7-1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用換元法令，代入運算求解即可.
【解答過程】令，則，由于，則，
可得，
所以.
故選：B.
【變式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函數滿足：，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】通過化簡即可得出函數的解析式.
【解答過程】因為，
∴，
故選：A.
【變式7-3】（23-24高一上·湖南衡陽·期中）函數滿足若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】對的式子適當變形，即可直接求出.
【解答過程】因為，
所以，則，
故選：A.
【題型8 函數值域的求解】
【例8】（2024·湖南懷化·三模）已知函數則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知求得函數的定義域，換元后利用配方法求函數的值域．
【解答過程】，
由，解得.
.
令，
函數.
當時，；
當時，，
函數的值域為.
故選：D.
【變式8-1】（2024·湖北·三模）函數的值域為（ ）.
A． B． C． D．
【解題思路】由，解得．可得函數的定義域為：．．利用導數研究函數的單調性即可得出值域．
【解答過程】解：因為
由，解得．
可得函數的定義域為：．
又．
令，則，即在上單調遞增，
令，解得，
即在上單調遞減，在上單調遞增，
所以為極小值點，
又，，．
函數的值域為．
故選：A．
【變式8-2】（2008·江西·高考真題）若函數的值域是，則函數的值域是
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，可得：的值域就是函數的值域，進行求解即可.
【解答過程】設=t,則,
從而的值域就是函數的值域，
由“對勾函數”的圖象可知，，
故選B．
【變式8-3】（2024·浙江寧波·三模）若函數滿足，定義的最小值為的值域跨度，則下列函數中值域跨度不為2的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由余弦函數的性質判斷A；利用配方法求解函數值域判斷B；將函數寫為分段函數的形式，求得值域判斷C；采用分離常數法求得函數值域判斷D.
【解答過程】∵，∴，
即函數的值域為，值域跨度為2；
∵，
∴的值域為，值域跨度為；
∵，
∴函數的值域為，值域跨度為2；
∵，值域跨度為2；
故選：B.
【題型9 分段函數及其應用】
【例9】（2024·吉林長春·三模）已知函數，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解題思路】根據分段函數解析式，代入求值即可.
【解答過程】由函數可得，.
故選：B.
【變式9-1】（2024·廣東佛山·二模）如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線（）左側的圖形的面積為．則函數的大致圖象是（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】結合圖形，分類討論與，求得的解析式，從而得解.
【解答過程】依題意，當時，可得直角三角形的兩條直角邊分別為，
從而可以求得，
當時，陰影部分可以看做大三角形減去一個小三角形，
可求得，
所以，
從而可知選項A的圖象滿足題意.
故選：A.
【變式9-2】（2024·江西南昌·一模）設函數，若是的最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，求得的范圍；再求得的單調性，討論，時函數在的最小值，即可得到所求范圍．
【解答過程】解：函數，
若，可得，
由是的最小值，
由于
可得在單調遞增，在單調遞減，
若，，則在處取得最小值，不符題意；
若，，則在處取得最小值，
且，解得，
綜上可得的范圍是，．
故選：C．
【變式9-3】（2023·安徽合肥·模擬預測）定義在上的函數滿足，且當時，.當時，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
根據已知計算出，畫出圖象，計算，解得，從而求出的最小值.
【解答過程】由題意得，當時，故，
當時，故，
可得在區間上，，
所以當時，，作函數的圖象，如圖所示，

當時，由，則，
所以的最小值為
故選：B.
一、單選題
1．（23-24高一上·上海奉賢·期末）以下圖形中，不是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用函數定義逐一判斷選項中自變量與函數值的對應關系即可得出結論.
【解答過程】根據函數定義，對于每一個自變量都有唯一確定的函數值與之對應，
A選項中存在一個自變量對應兩個函數值，所以A不是函數圖象.
故選：A.
2．（2023·江西九江·模擬預測）下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】根據同一函數的定義，逐項驗證定義域和對應法則是否相同，即得．
【解答過程】對于A中，函數的定義域為，函數的定義域為，定義域相同，對應法則相同，所以是同一個函數；
對于B中，函數和的定義域都是，但對應法則不同，所以不是同一個函數；
對于C中，函數的定義域為，函數的定義域為，定義域不相同，所以不是同一個函數；
對于D中，函數的定義域為，的定義域為，定義域不相同，所以不是同一個函數.
故選：A．
3．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據開偶數次方根號里的數大于等于零即可得解.
【解答過程】由，
得，解得，
所以函數的定義域是.
故選：B.
4．（2024·江蘇南通·二模）已知對于任意，都有，且，則（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
【解題思路】由題意有，得，求值即可.
【解答過程】由，當時，有，
由，則有.
故選：D.
5．（2024·北京懷柔·模擬預測）已知函數，則對任意實數x，函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
根據給定條件，利用不等式的性質求出函數值域得解.
【解答過程】依題意，，
顯然，則，于是，
所以函數的值域是.
故選：C.
6．（2023·江西九江·模擬預測）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題可知解即可得答案.
【解答過程】解：因為函數的定義域為，
所以，，即，解得，
所以，函數的定義域為
故選：C.
7．（2024·吉林·模擬預測）已知若，則實數的值為（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【解題思路】分和，求解，即可得出答案.
【解答過程】當時，，則，解得：（舍去）；
當時，，則，解得：.
故選：B.
8．（2024·山東·二模）如圖所示，動點在邊長為1的正方形的邊上沿運動，表示動點由A點出發所經過的路程，表示的面積，則函數的大致圖像是（ ）．
A． B．
C． D．
【解題思路】分，，求出解析式，然后可知圖象.
【解答過程】當時，，是一條過原點的線段；
當時，，是一段平行于軸的線段；
當時，，圖象為一條線段.
故選：A．
二、多選題
9．（23-24高一上·安徽六安·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．函數的最小值為2
B．若，則
C．函數的值域為
D．函數與函數為同一個函數
【解題思路】根據基本不等式、比較法，結合分式函數的性質、同一函數的定義逐一判斷即可.
【解答過程】A：，
若，顯然該方程無實數解，
故，
所以，
因此最小值不是2，所以本選項不正確；
B：因為，
所以，
即，因此本選項正確；
C：因為，
所以，因此函數的值域為，所以本選項正確；
D：由可知：，所以函數的定義域為，
由函數可知，或，
所以函數的定義域為或，
因為兩個函數的定義域不同，所以兩個函數不是同一函數，因此本選項不正確，
故選：BC.
10．（2024·全國·一模）設a為常數，，則（ ）．
A．
B．成立
C．
D．滿足條件的不止一個
【解題思路】
對已知條件進行多次賦值，結合已知數據，再對每個選項進行逐一判斷即可.
【解答過程】
對A：對原式令，則，即，故A正確；
對B： 對原式令，則，故，
對原式令，則，故非負；
對原式令，則，解得，
又非負，故可得，故B正確；
對C：由B分析可得：，故C正確；
對D：由B分析可得：滿足條件的只有一個，故D錯誤.
故選：ABC.
11．（2024·湖南益陽·模擬預測）下列命題中，正確的是（ ）
A．函數與表示同一函數
B．函數與是同一函數
C．函數的圖象與直線的圖象至多有一個交點
D．函數，則0
【解題思路】根據相等函數的定義判斷A、B，根據函數的定義判斷C，由函數解析式求出函數值，即可判斷D.
【解答過程】對于A：，因為兩函數的定義域不相同，故不是同一函數，故A錯誤；
對于B：函數與定義域相同，解析式一致故是同一函數，故B正確；
對于C：根據函數的定義可知，函數的圖象與直線的圖象至多有一個交點，故C正確；
對于D：因為，所以，
則，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題
12．（2024·四川南充·三模）函數的定義域為 .
【解題思路】根據解析式列出不等式求解.
【解答過程】因為，
所以且，
解得且，
故函數的定義域為.
故答案為：.
13．（2024·陜西·模擬預測）已知，若，則 3或 ．
【解題思路】分和分別代入函數，解出即可.
【解答過程】當時，，解得；
當時，，解得．
故答案為：3或.
14．（2024·湖南益陽·模擬預測）已知函數的定義域為．對任意的恒有，且，．則 ．
【解題思路】依題意可得，利用特殊值推出，，即可得解.
【解答過程】由，
得，
因為，，
令，，得，得；
令，，得，得；
令，，得，得，
在中，
令，得，
令，得，得；
令，得，得，
．
在中，
令，，得；
令，，得，
．
依此類推，可得，，
因此，，
綜上可知．
故答案為：．
四、解答題
15．（2023·江西九江·模擬預測）若的定義域為，求的定義域．
【解題思路】由題意列出不等式組解之即得.
【解答過程】由函數的定義域為，則要使函數有意義，
則，
解得,
∴函數的定義域為.
16．（23-24高一上·云南曲靖·階段練習）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值；
(3)求，的值域.
【解題思路】（1）直接根據解析式代入自變量值計算；
（2）由（1）根據解析式分別代入和計算；
（3）利用二次函數和反比例函數的性質求解．
【解答過程】（1）；
（2），；
（3）因為，所以，所以值域是，
，值域是.
17．（23-24高一下·青海西寧·開學考試）已知函數，且.
(1)求；
(2)若，求實數的值.
【解題思路】（1）根據解析式和求得，進而確定解析式，再從內到外計算；
（2）分，分別求解，注意檢驗即可得解.
【解答過程】（1）因為，，
故，解得，故，
所以，.
（2）因為，
當時，，解得（舍去）；
當時，，解得或（舍去）；
綜上，.
18．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）已知函數
(1)若，求實數m及；
(2)若，求的定義域；
(3)若的定義域為，求實數m的取值范圍.
【解題思路】（1）根據求出m的值，然后即可求出的值；
（2）根據可得出的解析式，讓解析式有意義即可求出的定義域；
（3）根據的定義域可得出的最小值，從而得出m的范圍.
【解答過程】（1），解得，所以，則，
所以；
（2）當時，，要使有意義，則，
解得，所以的定義域為；
（3）因為的定義域為，
所以在上恒成立，
所以的最小值，解得，
所以m的取值范圍為.
19．（23-24高一上·安徽·期中）已知一次函數滿足.
(1)求的解析式；
(2)若，求的值.
【解題思路】（1）直接由待定系數法列出方程組即可求解.
（2）所求式子為對稱結構，通過驗證發現，由此通過分組求和即可求解.
【解答過程】（1）設.
則，
于是有，解得，
.
（2）由（1）知，則，.
，，
.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題2.1 函數的概念【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 函數的概念】 2
【題型2 同一函數的判斷】 3
【題型3 具體函數的定義域的求解】 4
【題型4 抽象函數的定義域的求解】 4
【題型5 已知函數定義域求參數】 5
【題型6 已知函數類型求解析式】 5
【題型7 已知f(g(x))求解析式】 5
【題型8 函數值域的求解】 6
【題型9 分段函數及其應用】 6
1、函數的概念
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解函數的含義，會求簡單函數的定義域和值域
(2)會根據不同的需要選擇恰當的方法(圖象法、列表法、解析法)表示函數
(3)了解簡單的分段函數，并會應用 2021年浙江卷：第12題，5分 2022年浙江卷：第14題，5分 2023年北京卷：第11題，5分 函數的解析式與定義域、值域問題是高考數學的必考內容.從近幾年的高考情況來看，高考對函數的概念考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大，函數的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現.高考對本節的考查不會有大的變化，仍將以分段函數、定義域、值域及最值為主.
【知識點1 函數的定義域的求法】
1．求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
2．求抽象函數定義域的方法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a,b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知識點2 函數解析式的四種求法】
1．函數解析式的四種求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.
(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法來求解.
(3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關于f(x)與或f(-x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
【知識點3 求函數值域的一般方法】
1．求函數值域的一般方法
(1)分離常數法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)單調性法；
(6)換元法；
(7)數形結合法；
(8)導數法.
【知識點4 分段函數的應用】
1．分段函數的應用
分段函數問題往往需要進行分類討論，根據分段函數在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數問題，分段解決．
【題型1 函數的概念】
【例1】（2023·山東·模擬預測）下列圖象中，能表示函數圖象的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【變式1-1】（23-24高一上·廣東佛山·期末）給定數集滿足方程，下列對應關系為函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2024·江西·一模）設，，函數的定義域為，值域為，則的圖象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2024高三·全國·專題練習）下列對應是從集合A到集合B的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 同一函數的判斷】
【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2024·山東·一模）下列各組函數中，表示同一函數的是(　　)
A．
B．
C．
D．
【變式2-2】（2024·重慶·二模）下列函數中，與是相同的函數是
A． B．
C． D．
【變式2-3】（23-24高二下·福建三明·階段練習）下列各組函數相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【題型3 具體函數的定義域的求解】
【例3】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·陜西·模擬預測）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024吉林·一模）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·山東泰安·三模）已知函數，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 抽象函數的定義域的求解】
【例4】（2023·江蘇鎮江·模擬預測）若函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2024·陜西西安·一模）若函數的定義域是[0，4]，則函數的定義域是
A．[ 0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]
【變式4-2】（2023·河北衡水·模擬預測）已知函數的定義域為，則函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·湖北荊州·模擬預測）定義域是一個函數的三要素之一，已知函數定義域為，則函數 的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 已知函數定義域求參數】
【例5】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數的定義域為R，則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（23-24高一上·遼寧鞍山·期中）已知函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（22-23高二上·寧夏石嘴山·階段練習）若函數的定義域為R，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（23-24高一上·浙江·階段練習）已知函數的定義域是關于的不等式的解集的子集，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 已知函數類型求解析式】
【例6】（2024·山東濟南·二模）已知函數，則 ．
【變式6-1】（2024·廣東東莞·二模）已知函數，，則 ．
【變式6-2】（2023·江西九江·模擬預測）若三角形的面積為S（），底邊長為，底上的高為h（），則h關于S的函數關系式是 ．
【變式6-3】（2024·山東濟南·一模）已知集合，函數.若函數滿足：對任意，存在，使得，則的解析式可以是 .（寫出一個滿足條件的函數解析式即可）
【題型7 已知f(g(x))求解析式】
【例7】（2023·重慶·模擬預測）已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函數滿足：，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-3】（23-24高一上·湖南衡陽·期中）函數滿足若，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型8 函數值域的求解】
【例8】（2024·湖南懷化·三模）已知函數則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2024·湖北·三模）函數的值域為（ ）.
A． B． C． D．
【變式8-2】（2008·江西·高考真題）若函數的值域是，則函數的值域是
A． B． C． D．
【變式8-3】（2024·浙江寧波·三模）若函數滿足，定義的最小值為的值域跨度，則下列函數中值域跨度不為2的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型9 分段函數及其應用】
【例9】（2024·吉林長春·三模）已知函數，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【變式9-1】（2024·廣東佛山·二模）如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線（）左側的圖形的面積為．則函數的大致圖象是（ ）

A． B．
C． D．
【變式9-2】（2024·江西南昌·一模）設函數，若是的最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2023·安徽合肥·模擬預測）定義在上的函數滿足，且當時，.當時，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（23-24高一上·上海奉賢·期末）以下圖形中，不是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江西九江·模擬預測）下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江蘇南通·二模）已知對于任意，都有，且，則（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
5．（2024·北京懷柔·模擬預測）已知函數，則對任意實數x，函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江西九江·模擬預測）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·吉林·模擬預測）已知若，則實數的值為（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
8．（2024·山東·二模）如圖所示，動點在邊長為1的正方形的邊上沿運動，表示動點由A點出發所經過的路程，表示的面積，則函數的大致圖像是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（23-24高一上·安徽六安·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．函數的最小值為2
B．若，則
C．函數的值域為
D．函數與函數為同一個函數
10．（2024·全國·一模）設a為常數，，則（ ）．
A．
B．成立
C．
D．滿足條件的不止一個
11．（2024·湖南益陽·模擬預測）下列命題中，正確的是（ ）
A．函數與表示同一函數
B．函數與是同一函數
C．函數的圖象與直線的圖象至多有一個交點
D．函數，則0
三、填空題
12．（2024·四川南充·三模）函數的定義域為 .
13．（2024·陜西·模擬預測）已知，若，則 ．
14．（2024·湖南益陽·模擬預測）已知函數的定義域為．對任意的恒有，且，．則 ．
四、解答題
15．（2023·江西九江·模擬預測）若的定義域為，求的定義域．
16．（23-24高一上·云南曲靖·階段練習）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值；
(3)求，的值域.
17．（23-24高一下·青海西寧·開學考試）已知函數，且.
(1)求；
(2)若，求實數的值.
18．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）已知函數
(1)若，求實數m及；
(2)若，求的定義域；
(3)若的定義域為，求實數m的取值范圍.
19．（23-24高一上·安徽·期中）已知一次函數滿足.
(1)求的解析式；
(2)若，求的值.
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