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專題2.7 函數(shù)與方程【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷】 2
【題型2 求函數(shù)的零點或零點個數(shù)】 3
【題型3 根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)】 3
【題型4 根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)】 4
【題型5 由函數(shù)零點分布求值（范圍）】 4
【題型6 復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)判定】 4
【題型7 根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點求參數(shù)】 5
【題型8 函數(shù)零點的大小與范圍問題】 5
1、函數(shù)與方程
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系
(2)理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用 (3)了解用二分法求方程的近似解 2022年天津卷：第15題，5分 2023年新課標(biāo)I卷：第15題，5分 2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分 函數(shù)的零點問題是高考常考的熱點內(nèi)容，從近幾年的高考形勢來看，一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用也是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的零點或方程的根的分布、個數(shù)等，題目難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置.
【知識點1 確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法】
1．確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法
(1)利用函數(shù)零點存在性定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.
(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的圖象，其交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點.
【知識點2 函數(shù)的零點個數(shù)和求參問題】
1．函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法
函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法：
(1)直接法：直接求零點，令f(x)=0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點.
(2)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點.
(3)圖象法：畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.
(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù).
2．已知函數(shù)零點求參數(shù)的方法
(1)已知函數(shù)的零點求參數(shù)的一般方法
①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；
②數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危押瘮?shù)的零點或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；
③分離參數(shù)法：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來求解.
(2)已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍的方法
已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.
【知識點3 嵌套函數(shù)的零點問題】
1．嵌套函數(shù)的零點問題的解題策略
函數(shù)的零點是命題的熱點，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”,設(shè)中間函數(shù)為t，通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.
【題型1 函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷】
【例1】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有一個零點，則屬于下列哪個區(qū)間（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·海南·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·吉林長春·一模）方程的根所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）也有零點
B．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）沒有零點
C．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）有零點
D．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）也沒有零點
【題型2 求函數(shù)的零點或零點個數(shù)】
【例2】（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式2-1】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
【變式2-2】（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知奇函數(shù)的定義域為R，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【變式2-3】（2024·四川自貢·一模）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)在上所有零點的和為（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【題型3 根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)】
【例3】（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有5個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)】
【例4】（2024·四川成都·三模）若函數(shù)大于的零點有且只有一個，則實數(shù)的值為 ．
【變式4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)只有3個零點，， ，則的取值范圍是 ．
【變式4-2】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上沒有零點，則的一個取值為 ．
【變式4-3】（2024·天津·二模）設(shè)，函數(shù). 若在區(qū)間內(nèi)恰有2個零點，則的取值范圍是 .
【題型5 由函數(shù)零點分布求值（范圍）】
【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·上海松江·二模）已知某個三角形的三邊長為、及，其中.若，是函數(shù)的兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2023·云南·二模）設(shè)是關(guān)于x的方程的根．若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有且僅有3個零點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型6 復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)判定】
【例6】（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式6-1】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【變式6-2】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·全國·二模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【題型7 根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點求參數(shù)】
【例7】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【變式7-2】（2024·天津濱海新·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為2，則a的范圍為 .
【變式7-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù) ，，若關(guān)于的方程有6個解，則的取值范圍為 ．
【題型8 函數(shù)零點的大小與范圍問題】
【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)設(shè)的兩個零點分別為，證明：；
(3)證明：.
【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．
(2)設(shè)函數(shù)，若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【變式8-2】（2024·河北邯鄲·三模）已知函數(shù)，．
(1)求曲線在點處的切線方程．
(2)已知關(guān)于的方程恰有4個不同的實數(shù)根，其中，．
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：．
【變式8-3】（2024·浙江·二模）已知函數(shù)，．
(1)求證：；
(2)若函數(shù)有三個不同的零點，，．
（ⅰ）求a的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
一、單選題
1．（2024·山東青島·二模）函數(shù)的零點為（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）函數(shù)的所有零點之和為（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
4．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為奇數(shù)個，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù)，，則（ ）
A．當(dāng)有2個零點時，只有1個零點
B．當(dāng)有3個零點時，有2個零點
C．當(dāng)有2個零點時，有2個零點
D．當(dāng)有2個零點時，有4個零點
7．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù) 方程有兩個不同的根，分別是則 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
8．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（ ）
A．若有2個不同的零點，則
B．當(dāng)時，有5個不同的零點
C．若有4個不同的零點，則的取值范圍是
D．若有4個不同的零點，則的取值范圍是
三、填空題
12．（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計函數(shù)零點所在的一個區(qū)間 .
13．（2024·天津北辰·三模）若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍為
.
14．（2024·河北秦皇島·三模）已知奇函數(shù)的定義域為，，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為 .
四、解答題
15．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（），
(1)討論函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)若恒成立，求函數(shù)的零點的取值范圍．
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．
(1)求實數(shù)，的值；
(2)證明：函數(shù)有兩個零點．
17．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，討論函數(shù)的零點的個數(shù).
18．（2024·湖北黃石·三模）已知函數(shù)有兩個零點，.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)如果，求此時的取值范圍.
19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且有兩個相異零點．
(1)求實數(shù)a的取值范圍．
(2)證明：．
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【新高考專用】
【題型1 函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷】 2
【題型2 求函數(shù)的零點或零點個數(shù)】 4
【題型3 根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)】 6
【題型4 根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)】 9
【題型5 由函數(shù)零點分布求值（范圍）】 12
【題型6 復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)判定】 14
【題型7 根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點求參數(shù)】 18
【題型8 函數(shù)零點的大小與范圍問題】 21
1、函數(shù)與方程
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系
(2)理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用 (3)了解用二分法求方程的近似解 2022年天津卷：第15題，5分 2023年新課標(biāo)I卷：第15題，5分 2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分 函數(shù)的零點問題是高考常考的熱點內(nèi)容，從近幾年的高考形勢來看，一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用也是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的零點或方程的根的分布、個數(shù)等，題目難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置.
【知識點1 確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法】
1．確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法
(1)利用函數(shù)零點存在性定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.
(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的圖象，其交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點.
【知識點2 函數(shù)的零點個數(shù)和求參問題】
1．函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法
函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法：
(1)直接法：直接求零點，令f(x)=0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點.
(2)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點.
(3)圖象法：畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.
(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù).
2．已知函數(shù)零點求參數(shù)的方法
(1)已知函數(shù)的零點求參數(shù)的一般方法
①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；
②數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危押瘮?shù)的零點或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；
③分離參數(shù)法：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來求解.
(2)已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍的方法
已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.
【知識點3 嵌套函數(shù)的零點問題】
1．嵌套函數(shù)的零點問題的解題策略
函數(shù)的零點是命題的熱點，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”,設(shè)中間函數(shù)為t，通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.
【題型1 函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷】
【例1】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有一個零點，則屬于下列哪個區(qū)間（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用零點存在性定理計算即可.
【解答過程】由題知在上單調(diào)遞增，
∵，，，
又，∴，即在上存在使得.
故選：B.
【變式1-1】（2024·海南·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用零點存在定理計算出滿足條件的區(qū)間即可.
【解答過程】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，
由函數(shù)的零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是．
故選：C.
【變式1-2】（2024·吉林長春·一模）方程的根所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為零點所在區(qū)間的求解問題，利用零點存在定理求解即可.
【解答過程】設(shè)，則方程根所在區(qū)間即為零點所在區(qū)間，
與在上均為增函數(shù)，在上單調(diào)遞增；
對于A，，當(dāng)時，，A錯誤；
對于B，，，即，
，使得，B正確；
對于CD，當(dāng)時，，在區(qū)間和上無零點，C錯誤，D錯誤.
故選：B.
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）也有零點
B．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）沒有零點
C．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）有零點
D．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）也沒有零點
【解題思路】函數(shù)分段去絕對值，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理判斷零點所在區(qū)間.
【解答過程】去絕對值可得.
時，，因此函數(shù)在單調(diào)遞增；
時，.
（i）時，，因此在單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，，因此在區(qū)間有零點，且在區(qū)間和都沒有零點；
當(dāng)時，，故在區(qū)間和都沒有零點，故C選項和D選項均錯誤.
（ii）時，令得，因此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
當(dāng)時，.
（1）時，在區(qū)間存在唯一零點，而在區(qū)間沒有零點.
（2）時，在區(qū)間沒有零點.
當(dāng)時，.
①時，，因此在區(qū)間和都有零點，此時，故在區(qū)間也有零點.
②時，在區(qū)間沒有零點.
綜上所述，本題正確答案是A.
故選：A.
【題型2 求函數(shù)的零點或零點個數(shù)】
【例2】（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【解答過程】令，得，則；
故，，
所以在共有4個零點，
故選： C.
【變式2-1】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
【解題思路】由題意令可得關(guān)于的方程，進(jìn)而求解.
【解答過程】由題意令，因為，所以，即.
故選：A.
【變式2-2】（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知奇函數(shù)的定義域為R，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【解題思路】由已知可得的圖象關(guān)于點對稱，周期為3，據(jù)此計算可得在上的零點個數(shù)的最小值為9.
【解答過程】由，可得的圖象關(guān)于點對稱，
又是奇函數(shù)，所以，則的周期為3，
所以，
則.故在上的零點個數(shù)的最小值為9.
取，顯然滿足題意，且恰好在上有9個零點.
故選：B.
【變式2-3】（2024·四川自貢·一模）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)在上所有零點的和為（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【解題思路】
先判斷的對稱性、周期性，然后由進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖象以及對稱性求得正確答案.
【解答過程】依題意，是定義在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
由于，所以的圖象關(guān)于對稱，
，
所以是周期為的周期函數(shù).
令，得，
函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，的圖象也關(guān)于點對稱，
畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示，
由圖可知，兩個函數(shù)圖象有個交點，且交點關(guān)于對稱，
所以所有零點和為.
故選：A.
【題型3 根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)】
【例3】（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將函數(shù)有兩個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象有兩個不同交點問題；由此設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.
【解答過程】由題意知函數(shù)有兩個零點，即有兩個不等實數(shù)根，
即函數(shù)的圖象有兩個不同交點；
設(shè)，則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
作出的圖象如圖：
當(dāng)直線與圖象相切時，設(shè)切點為，
此時，則，
故此時，
結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)的圖象有兩個不同交點，
需滿足，
故，
故選：D.
【變式3-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用降冪公式降冪，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象特征，可得關(guān)于的不等式，即可求得實數(shù)得取值范圍.
【解答過程】函數(shù)，
由，得，
要使函數(shù)在上有且僅有兩個零點，
則，得，
即的取值范圍是.
故選：C.
【變式3-2】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有5個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直線與函數(shù)的圖象有5個交點，可得是奇函數(shù)，可得只需直線與曲線有2個交點即可，即方程有2個實數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.
【解答過程】由題意得，則直線與函數(shù)的圖象有5個交點.
顯然，直線與的圖象交于點.
又當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，所以是奇函數(shù)，
則必須且只需直線與曲線有2個交點即可，
所以方程有2個實數(shù)根.令，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以.
又當(dāng)趨近于0時，,所以；
當(dāng)趨近于時，，
所以必須且只需.
故選：A.
【變式3-3】（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意可知：函數(shù)的零點個數(shù)即為與的交點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求過原點的切線，結(jié)合圖象分析求解.
【解答過程】作出的圖象，如圖所示
令，可得，
由題意可知：函數(shù)的零點個數(shù)即為與的交點個數(shù)，
若，則，可得，
設(shè)切點坐標(biāo)為，切線斜率為，
則切線方程為，
代入點，可得，解得，
此時切線斜率為；
若，則，可得，
設(shè)切點坐標(biāo)為，切線斜率為，
則切線方程為，
代入點，可得，解得，
此時切線斜率為；
結(jié)合圖象可知的取值范圍為.
故選：D.
【題型4 根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)】
【例4】（2024·四川成都·三模）若函數(shù)大于的零點有且只有一個，則實數(shù)的值為 ．
【解題思路】首先判斷，令，，參變分離可得，依題意可得與在上有且只有一個交點，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出的值.
【解答過程】若時恒成立，所以沒有零點，
所以，
令，，即，所以，
依題意與在上有且只有一個交點，
令，，則，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值是，
而當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.
故答案為：.
【變式4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)只有3個零點，， ，則的取值范圍是 ．
【解題思路】由題意對函數(shù)求導(dǎo)，為判斷導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，對導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)求其最值，利用分類討論思想，結(jié)合零點存在性定理，建立不等式組，可得答案.
【解答過程】函數(shù)的定義域為，則．
設(shè)，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以．
當(dāng)，即時，，單調(diào)遞增，且，此時只有1個零點，不滿足題意；
當(dāng)，即時，由，
存在，，使得，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，易知，，
由，
，
則在，上各有1個零點，此時滿足題意.
所以，且．由，得，得．
所以的取值范圍是．
故答案為：.
【變式4-2】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上沒有零點，則的一個取值為 （答案不唯一） ．
【解題思路】
根據(jù)可得，根據(jù)在區(qū)間上沒有零點可得范圍，即可求出的取值有幾個.
【解答過程】
由題意，在中，，
∴ ,所以，
兩式相減得，
所以，即，，
因為，所以 ，
令， ，
由題意知在上無零點，
故，，
所以，即，
兩式相加得，所以，
又，
所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以的取值有5個，取其中一個填寫即可.
故答案為：（答案不唯一）.
【變式4-3】（2024·天津·二模）設(shè)，函數(shù). 若在區(qū)間內(nèi)恰有2個零點，則的取值范圍是 .
【解題思路】對不同情況下的分類，然后分別討論相應(yīng)的零點分布，即可得到的取值范圍.
【解答過程】本解析中，“至多可能有1個零點”的含義是“零點個數(shù)不超過1”，
即不可能有2個不同的零點，并不意味著零點一定在某些時候存在1個.
當(dāng)時，只要，就有，
故在上至多可能有1個零點，從而在上至多可能有1個零點，不滿足條件；
當(dāng)時，有，
所以在上沒有零點.
而若，則只可能，所以在上至多可能有1個零點.
故在上至多可能有1個零點，從而在上至多可能有1個零點，不滿足條件；
當(dāng)時，解可得到，且由知，
從而確為在上的一個零點.
再解方程，即，
可得兩個不同的實數(shù)根.
而，.
故確為在上的一個零點，
而當(dāng)且僅當(dāng)時，另一根是在上的一個零點.
條件為在區(qū)間內(nèi)恰有2個零點，從而此時恰有兩種可能：或.
解得；
當(dāng)時，驗證知恰有兩個零點和，滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
【題型5 由函數(shù)零點分布求值（范圍）】
【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】法一：轉(zhuǎn)化成一元二次方程在上有兩個不同的解的問題；法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖像在上有兩個交點的問題.
【解答過程】法一：因為，且有兩個零點，
所以方程在上有兩個不同的解，
所以解得．
法二：由得，
因為有兩個零點，所以直線與函數(shù)的圖像有兩個交點．
函數(shù)的圖像如圖，由圖可知．
故選：D．
【變式5-1】（2024·上海松江·二模）已知某個三角形的三邊長為、及，其中.若，是函數(shù)的兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由a，b為函數(shù)的兩個零點可得，即可得、，由兩邊之和大于第三邊，結(jié)合題意可得.
【解答過程】由為函數(shù)的兩個零點，故有，
即恒成立，
故，，則，，
由a，b，c為某三角形的三邊長，且，
故，且，則， 因為必然成立，
所以，即，解得，
所以，
故的取值范圍是：.
故選：B.
【變式5-2】（2023·云南·二模）設(shè)是關(guān)于x的方程的根．若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】函數(shù)圖像開口向上，利用根的分布，即可求解實數(shù)a的取值范圍.
【解答過程】由題意知，函數(shù)開口方向向上，
若，則函數(shù)須同時滿足三個條件：
當(dāng)時，，代入解得，恒成立；
當(dāng)時，，代入解得；
當(dāng)時，，代入解得，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
故選：A.
【變式5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有且僅有3個零點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】當(dāng)時，解出一根，由得，當(dāng)時，還有兩根，則此時方程為二次方程，根據(jù)題意建立不等式解出的取值范圍，再根據(jù)其他條件即可得結(jié)論.
【解答過程】當(dāng)時，令，解得，即；
當(dāng)時，方程有兩個不等負(fù)實根，，
所以，解得，
當(dāng)時，，又，則．
所以．
故選：C.
【題型6 復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)判定】
【例6】（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，令，則，且，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，由3個解，從而得到答案.
【解答過程】，
當(dāng)時，，則，
此時在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
畫出函數(shù)和的圖象如下：
令得，
故，
令，則，且，
當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，
當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，
當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，由3個解，
綜上，方程的實數(shù)根的個數(shù)為5.
故選：D.
【變式6-1】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【解題思路】令，求出方程的根，再結(jié)合圖象求出的解的個數(shù)即可.
【解答過程】依題意，函數(shù)零點的個數(shù)，即為方程解的個數(shù)，
令，則，當(dāng)時，，令，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，則存在，使得；
當(dāng)時，，解得或，
作函數(shù)的大致圖象，如圖：

又，則，
當(dāng)時，，由的圖象知，方程有兩個解；
當(dāng)時，，由的圖象知，方程有兩個解；
當(dāng) ，時，，由的圖象知，方程有一個解，
綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為5.
故選：B.
【變式6-2】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖像，利用換元法令，可知；結(jié)合函數(shù)圖像及解析式可求得的值，再結(jié)合圖像即可確定方程解的個數(shù)，即為函數(shù)零點的個數(shù).
【解答過程】函數(shù)，
對，令，令，
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且趨向負(fù)無窮時，，時，，
故結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖象，可畫出函數(shù)圖像如下圖所示：
函數(shù)的零點，即，令，代入可得，
由圖像可知，即，
結(jié)合函數(shù)圖像可知，有1個解，
綜合可知，函數(shù)的零點有1個，
故選：A.
【變式6-3】（2024·全國·二模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解題思路】作出函數(shù)的圖象，可設(shè)，可得，判斷與交點個數(shù)，進(jìn)而將的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.
【解答過程】設(shè)，令可得：,
對于，，故在處切線的斜率值為，
設(shè)與相切于點，
切線斜率，則切線方程為：，
即，解得：；
由于，故作出與圖象如下圖所示，
與有四個不同交點，
即與有四個不同交點，
設(shè)三個交點為，由圖象可知：，
作出函數(shù)的圖象如圖，
由此可知與無交點，與有三個不同交點，與各有兩個不同交點，
的零點個數(shù)為7個，
故選：C.
【題型7 根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點求參數(shù)】
【例7】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【解題思路】把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點問題，數(shù)形結(jié)合列不等式組求解即可.
【解答過程】函數(shù)有三個零點，則方程即有三個根，
所以函數(shù)與函數(shù)有三個交點，
由作出函數(shù)的圖象如圖：
若函數(shù)與過原點直線有三個交點，如圖：
則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【解題思路】先作出函數(shù)圖象，解一元二次方程，結(jié)合函數(shù)圖象含參討論即可.
【解答過程】作出函數(shù)的圖象，如圖所示．
由，得，
解得或．
由圖象易知，直線與的圖象有3個交點，
所以方程有3個不同的實數(shù)根，
因為方程有7個不同的實數(shù)根，
所以直線與的圖象有4個交點，
故，解得，故實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：.
【變式7-2】（2024·天津濱海新·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為2，則a的范圍為 或 .
【解題思路】把函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象公共點的個數(shù)，作出圖象，列出限制條件可得答案.
【解答過程】令，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，
；
當(dāng)時，，，
；
當(dāng)時，，，
；
……
作出函數(shù)的部分圖象如下，
因為的零點個數(shù)為2，所以的圖象與的圖象的公共點個數(shù)為2，
由圖可知，或.
故答案為：或.
【變式7-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù) ，，若關(guān)于的方程有6個解，則的取值范圍為 ．
【解題思路】令，根據(jù)的圖象可知，等于常數(shù)的解最多只有3個，根據(jù)圖象性質(zhì)可知，等于常數(shù)的解最多只有2個，若有6個解，需要有3個解，有2個解，根據(jù)圖象先求出，再得出和中最小解之間的等式關(guān)系，而后結(jié)合的值域即可建立關(guān)于的不等式，最后構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性即可解不等式，進(jìn)而得出結(jié)果.
【解答過程】令，由函數(shù)的圖象可知，方程(為常數(shù))最多有3個解，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以處取得極大值，即極大值為，如下圖：
故結(jié)合圖象可得，且方程的三個解中最小的解為.
又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以最小值為，即當(dāng)時，有2個零點，
所以使關(guān)于的方程有6個解，則，
，即，令，
易知在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
【題型8 函數(shù)零點的大小與范圍問題】
【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)設(shè)的兩個零點分別為，證明：；
(3)證明：.
【解題思路】（1）方法一：分類討論大于等于小于零的情況，再求導(dǎo)討論單調(diào)性，分析零點情況；方法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問題，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論單調(diào)性，求最值；
（2）考查極值點偏移問題.方法一：第一步：根據(jù)函數(shù)零點的含義得出；第二步：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到的范圍；第三步：根據(jù)所證不等式構(gòu)造函數(shù)并研究函數(shù)的單調(diào)性，得到；第四步：利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.方法二：第一步：根據(jù)函數(shù)零點的含義，得到；第二步：將要證的不等式轉(zhuǎn)化為；第三步：利用換元法及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.
（3）利用（2）的結(jié)論進(jìn)行不等式放縮，得到，再用累加法證明即可.
【解答過程】（1）解法一
由題，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以至多有一個零點.
當(dāng)時，由得，
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以.
要使函數(shù)有兩個零點，必須滿足，得.
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上有且僅有1個零點.
，
記，則，記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
因為，所以，
所以函數(shù)在上有1個零點
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.所以實數(shù)a的取值范圍為.
解法二
因為有兩個零點，所以關(guān)于x的方程，即有兩個根，
所以直線與曲線有兩個不同的交點
令，
則，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.
又，當(dāng)時，，所以，故實數(shù)a的取值范圍為.
（2）解法一
因為，所以.
設(shè)，則，
令，解得.
當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：
x 1
＋ 0 －
單調(diào)遞增 單調(diào)遞減
由（1）知，不妨設(shè)，則根據(jù)，得.
令，
則
因為，所以，所以，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時，，則，
又，所以.
因為，所以，
因為在上單調(diào)遞增，，所以，所以.
解法二
由（1）知，因為，所以，
所以，所以.
要證，只需證，即證；，
不妨設(shè)，要證上式，只需證，即證.
令，即證.
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以成立，所以.
（3）由（2）中解法二可知，，
令，得.
所以，
即.
【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．
(2)設(shè)函數(shù)，若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）先將的值代入函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，求出切線斜率，再求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.
（2）由有兩個零點，得出有兩個不相等的實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為與直線的圖象有兩個不同的交點，進(jìn)而得出的取值范圍.
【解答過程】（1）當(dāng)時，，且，
所以，
則，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）函數(shù)，
因為有兩個零點，
所以，即有兩個不相等的實數(shù)根，
設(shè)函數(shù)，則，
因為，所以恒成立，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，且；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，
因為函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，
所以，即．所以實數(shù)的取值范圍為．
【變式8-2】（2024·河北邯鄲·三模）已知函數(shù)，．
(1)求曲線在點處的切線方程．
(2)已知關(guān)于的方程恰有4個不同的實數(shù)根，其中，．
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：．
【解題思路】
（1）求出導(dǎo)數(shù)，繼而可得切線斜率為在的導(dǎo)數(shù)值，由，結(jié)合直線的點斜式，可求出切線方程；
（2）（i）將問題轉(zhuǎn)化為與有三個不同交點的問題，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，從而得到的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍；
（ii）設(shè)，根據(jù)：，，采用取對數(shù)、兩式作差整理的方式可得，通過分析法可知只需證即可，令，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，由此可證得結(jié)論.
【解答過程】（1），
所以，
又，所以曲線在點處的切線方程為．
（2）（i）由，得，該方程有一根為，且，
所以即有3個不同的實數(shù)根，且這3個實數(shù)根均不為．
令，則，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，且當(dāng)無限趨近于時，且趨近于0，
當(dāng)從0的左側(cè)無限趨近于0時，趨近于，當(dāng)從0的右側(cè)無限趨近于0時，趨近于，
當(dāng)無限趨近于時，的增速遠(yuǎn)大于的增速，所以趨近于．
故的大致圖象如圖所示：
又，所以當(dāng)時，直線與曲線有3個不同的交點，且這3個交點的橫坐標(biāo)均不為，所以的取值范圍為．
（ii）由（i）知，，所以，，
所以，則，
要證，只需證，
不妨設(shè)，所以，所以，則只需證．
令，則，令，
則當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以當(dāng)時，恒成立，所以原不等式得證.
【變式8-3】（2024·浙江·二模）已知函數(shù)，．
(1)求證：；
(2)若函數(shù)有三個不同的零點，，．
（ⅰ）求a的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
【解題思路】（1）代入計算即可求解，
（2）（ⅰ）分類討論的取值范圍即可求解，
（ⅱ）結(jié)合函數(shù)有三個不同的零點，可得，，進(jìn)而結(jié)合，，可將問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，即可利用導(dǎo)數(shù)求解.
【解答過程】（1）由得，
所以，故，
（2）（ⅰ）由于，且當(dāng)時，，故，
又，所以，所以，
當(dāng)時，令，所以，
當(dāng)時，,當(dāng)時，,所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，
又,,
所以存在，使得，
因此在,上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又當(dāng)當(dāng)，
所以此時有3個零點，符合題意，故，
當(dāng)時，
令，則，
故當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，故，此時恒成立，在單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不符合題意，
綜上可知：，
（ⅱ）由（ⅰ）以及可知，，又，，故也是的根，故，
設(shè)
所以在單調(diào)遞增，故,
即,()
又因為，
所以，
所以.
一、單選題
1．（2024·山東青島·二模）函數(shù)的零點為（ ）
A．0 B．1 C． D．
【解題思路】令，解出即可.
【解答過程】因為，
令，解得，
即函數(shù)的零點為1.
故選：B.
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由零點存在性定理可得答案.
【解答過程】因為函數(shù)的定義域為，又，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以在內(nèi)存在一個零點，使.
故選：C.
3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）函數(shù)的所有零點之和為（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
【解題思路】令，即，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，可知兩個函數(shù)圖象相交于兩點，設(shè)為，得，進(jìn)而得到，即
【解答過程】由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程的實數(shù)根，令，
則，顯然，所以，
構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，
可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點，
所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)有兩個零點，
設(shè)為，所以，，
即，
另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，
所以也是函數(shù)的零點，說明，即.
故選:A.
4．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為奇數(shù)個，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【解題思路】由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱得零點關(guān)于對稱，但的零點個數(shù)為奇數(shù)個可得答案.
【解答過程】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以的圖象關(guān)于對稱，
令，則，
可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
則函數(shù)的零點關(guān)于對稱，但的零點個數(shù)為奇數(shù)個，
則所以.
故選：C.
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得，解得即可.
【解答過程】因為，所以當(dāng)或時，
即在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，
根據(jù)題意可得，即，解得.
故選：A.
6．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù)，，則（ ）
A．當(dāng)有2個零點時，只有1個零點
B．當(dāng)有3個零點時，有2個零點
C．當(dāng)有2個零點時，有2個零點
D．當(dāng)有2個零點時，有4個零點
【解題思路】作出函數(shù)，圖象，兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象與的圖象的公共點的個數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.
【解答過程】兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點的個數(shù)，
作出，的大致圖象，如圖所示.
由圖可知，當(dāng)有2個零點時，無零點或只有1個零點；
當(dāng)有3個零點時，只有1個零點；
當(dāng)有2個零點時，有4個零點.
故選：D.
7．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù) 方程有兩個不同的根，分別是則 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
【解題思路】方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合計算即可得出結(jié)果.
【解答過程】由題意得：為R上的增函數(shù)，且
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，
作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知與圖象關(guān)于對稱，
則兩點關(guān)于對稱，中點在圖象上，
由，解得：.
所以.
故選：B.
8．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)，可確定當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時的圖象情況，分類討論，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.
【解答過程】設(shè)，當(dāng)時，，此時，
由得，即，解得或，
所以在上有2個零點；
時，若，對稱軸為，函數(shù)的大致圖象如圖：
此時，即，則，
所以無解，則無零點，無零點，
綜上，此時只有兩個零點，不符合題意，
若，此時的大致圖象如下：
令，解得（舍去），
顯然在上存在唯一負(fù)解，
所以要使恰有5個零點，
需，即，解得，
所以．
故選：D.
二、多選題
9．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和零點個數(shù)，可確定的取值范圍，從而確定正確的選項.
【解答過程】由， ，.
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以 ，
又因為，，所以，，
因為，所以，
因為在區(qū)間上有且僅有一個零點，
所以在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)根，
所以，解得，
綜上，，故BC正確，AD錯誤.
故選：BC.
10．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】對于A，由題意得，進(jìn)而得即可求解判斷；對于B，先明確零點取值范圍，由取值范圍再結(jié)合即即可求解判斷；對于C，由即以及零點的取值范圍即可求解判斷；對于D，結(jié)合AB以及將轉(zhuǎn)化成即可判斷.
【解答過程】對于A，由題，，
所以即，
所以，故，故A正確；
對于B，由得，
故函數(shù)與圖象交點橫坐標(biāo)和與圖象交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)和的零點，
如圖，由圖象性質(zhì)可知，
又由A得，故，
所以，故B錯；
對于C，由上即，以及得：
，故C對；
對于D，由AB得，，，
所以，故D對.
故選：ACD.
11．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（ ）
A．若有2個不同的零點，則
B．當(dāng)時，有5個不同的零點
C．若有4個不同的零點，則的取值范圍是
D．若有4個不同的零點，則的取值范圍是
【解題思路】作出的圖象，由有2個不同的零點，結(jié)合圖象，可判定A錯誤；由，令，得到，求得，結(jié)合圖象，可判定B正確；由對數(shù)的運算性質(zhì)，求得，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得到，進(jìn)而判定C正確；由，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確．
【解答過程】由函數(shù)，可得，
作出的圖象，如圖所示．
對于A中，由，可得，若有2個不同的零點，
結(jié)合圖象知或，所以A錯誤；
對于B中，當(dāng)時，由，可得，
令，則有，可得，
結(jié)合圖像知，有3個不等實根，有2個不等實根，沒有實根，
所以有5個不同的零點，所以B正確；
對于C中，若有4個不同的零點，
則，且，則，
由二次函數(shù)的對稱性得，則，
結(jié)合B知，所以，所以的取值范圍為，所以C正確；
對于D中，由，其中，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，
所以的取值范圍為，所以D正確．
故選：BCD．
三、填空題
12．（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計函數(shù)零點所在的一個區(qū)間 .
【解題思路】根據(jù)零點存在性定理求解即可.
【解答過程】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，
函數(shù)為上的減函數(shù),
函數(shù)的圖像在上為一條連續(xù)不斷的曲線,
又,,
所以函數(shù)零點所在的一個區(qū)間為.
故答案為:.
13．（2024·天津北辰·三模）若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍為
.
【解題思路】分析可知關(guān)于直線對稱，由對稱性可知當(dāng)時，有2個零點，令，化簡整理可得：與在內(nèi)只有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象分析求解.
【解答過程】由題意可知：的定義域為，
且，
可知關(guān)于直線對稱，
原題意等價于：當(dāng)時，有2個零點，且，即，
若，則，
顯然，
若時，令，可得，
令，可知與在內(nèi)只有一個交點，
則，令，解得或；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
且，又，
可得的圖象如圖所示，
由圖象可知：或或，解得或或，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
14．（2024·河北秦皇島·三模）已知奇函數(shù)的定義域為，，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為 9 .
【解題思路】由結(jié)合是奇函數(shù)可求出的周期為3，即可求出，再由的對稱性和周期性可得.
【解答過程】由，可得的圖象關(guān)于點對稱，
又是奇函數(shù)，所以，
則的周期為3，所以，
，
而，則.
故在上的零點個數(shù)的最小值為9.
故答案為：9.
四、解答題
15．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（），
(1)討論函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)若恒成立，求函數(shù)的零點的取值范圍．
【解題思路】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，進(jìn)而求出零點個數(shù).
（2）由（1）的結(jié)論，按分段討論給定不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性建立不等式求解即得.
【解答過程】（1）函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，而，
由得，由得，因此函數(shù)在上遞減，在遞增，
又當(dāng)時，恒成立，，因此函數(shù)在存在唯一零點，
所以函數(shù)的零點個數(shù)是1.
（2）由（1）知函數(shù)存在唯一零點 ，且，
①當(dāng)時，，由得：，即，
設(shè)，求導(dǎo)得，
在上單減，則，解得；
②當(dāng)時，由得：，即，
設(shè)，求導(dǎo)得，而，
則，在上單增，則，解得，
綜上得的取值范圍是.
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．
(1)求實數(shù)，的值；
(2)證明：函數(shù)有兩個零點．
【解題思路】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可求解；
（2）利用轉(zhuǎn)化的思想將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個零點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的存在性定理即可證明.
【解答過程】（1）由題意可得，由切線方程可知其斜率為，
所以，解得；
（2）由可得，所以．
函數(shù)有兩個零點即函數(shù)有兩個零點．
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
又，，0，
所以，．
由零點存在定理可得使得，使得，
所以函數(shù)有兩個零點．
17．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，討論函數(shù)的零點的個數(shù).
【解題思路】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按的取值分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）按分類討論，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在性定理求解即得.
【解答過程】（1）函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，
若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，由，得或，
①當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點，
當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，，
取且，則，
因此函數(shù)有兩個零點；
當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞增，且，，
而時，恒有，因此函數(shù)只有一個零點，
當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，
且，
而時，恒有，因此函數(shù)只有一個零點，
所以，函數(shù)有一個零點，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.
18．（2024·湖北黃石·三模）已知函數(shù)有兩個零點，.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)如果，求此時的取值范圍.
【解題思路】（1）令，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍；
（2）依題意可得，利用換元法表示，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)證得，結(jié)合（1）求得的取值范圍.
【解答過程】（1）令，即，
令，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，且時，當(dāng)時，
又與有兩個交點，所以.
（2）由（1）可得，，
又，
所以，即，
令，，則，
所以，，
記，，則，
令，，則，
所以在上，即單調(diào)遞減，
由于，
所以當(dāng)時，，所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，即，
而，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故且，
即．
19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且有兩個相異零點．
(1)求實數(shù)a的取值范圍．
(2)證明：．
【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，再分段討論并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理推理即得.
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)零點的意義可得有兩個相異的解，再構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性確定的取值區(qū)間，再結(jié)合分析法推理證明即得.
【解答過程】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則．
當(dāng)時，恒成立，至多有一個零點，不符合題意，
當(dāng)時，，，即，使，
，令，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞增，，
于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
因此，使，
所以實數(shù)a的取值范圍為．
（2）由（1）知，有兩個相異的解，即方程有兩個相異的解，
令函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，顯然，，
要證，即證，即證．
又，則即證，令函數(shù)，，
則 ，
而，則，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，則，
所以．
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