資源簡介

專題2.8 函數模型及其應用【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程】 2
【題型2 已知函數模型解決實際問題】 4
【題型3 構造二次函數模型】 5
【題型4 構造指數、對數函數模型】 7
【題型5 構造分段函數模型】 8
【題型6 函數模型的選擇問題】 10
1、函數模型及其應用
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異
(2)理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義 (3)會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用 2020年新高考全國I卷：第6題，5分 2020年全國IⅡ卷：第4題，5分 函數模型是高考數學的重要內容之一，從近幾年的高考形勢來看，高考對函數模型的考查相對穩定，一般以選擇題與填空題的形式出現，難度不大；學生在復習中要加強對建模能力和應用能力的培養.
【知識點1 幾種常見的函數模型】
1．一次函數模型
一次函數模型：f(x)=kx+b(k,b為常數，k≠0).
一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.
2．二次函數模型
二次函數模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數，a≠0).
二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最省等最值
問題常用到二次函數模型.
3．冪函數模型
冪函數模型應用的求解策略
(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.
(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.
4．指數函數模型
指數函數模型：(a,b,c為常數，a>0，且a≠1，b≠0).
4．對數函數模型
對數函數模型：(a,b,c為常數，a>0，且a≠1，b≠0).
6．分段函數模型
由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應用.
7．“對勾”函數模型
對勾函數模型是?？嫉哪Ｐ停斡洿祟惡瘮档男再|，尤其是單調性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.
【知識點2 判斷函數圖象與實際問題變化過程的解題策略】
1．判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法
(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.
(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.
【知識點3 實際問題中函數建模的基本步驟】
1．構造函數模型解決實際問題的基本步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.
(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.
(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果
要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.
【題型1 利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程】
【例1】（2024·海南·模擬預測）下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為（ ）
①我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業本再上學；
②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；
③我出發后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.
其中y表示離開家的距離，t表示所用時間.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）某公司在30天內商品的銷售價格（元）與時間（天）的關系滿足下方圖象所示的函數，商品的銷售量（萬件）與時間的關系是，則下列說法正確的是（ ）
①第15天日銷售額最大 ②第20天日銷售額最大
③最大日銷售額為120萬元 ④最大日銷售額為125萬元
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【變式1-2】（2023·北京門頭溝·一模）在聲學中，音量被定義為：，其中是音量（單位為dB），是基準聲壓為，P是實際聲音壓強.人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限閾值.經過研究表明，人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如下圖所示，其中240對應的聽覺下限閾值為20，1000對應的聽覺下限閾值為0，則下列結論正確的是（ ）
A．音量同為20的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽到.
B．聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.
C．240的聽覺下限閾值的實際聲壓為0.002.
D．240的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍.
【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象，假設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（ ）
A．野生水葫蘆的面積每月增長量相等
B．野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月
C．設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有
D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度
【題型2 已知函數模型解決實際問題】
【例2】（2024·廣東茂名·一模）Gompertz曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為：（其中，為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發現.若表示該新產品今年的年產量，估計明年的產量將是今年的倍，那么的值為（為自然數對數的底數）（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（23-24高三上·北京通州·階段練習）被譽為信息論之父的香農提出了一個著名的公式：，其中C為最大數據傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農公式在5G技術中發揮著舉足輕重的作用.當，時，最大數據傳輸速率記為；當，時，最大數據傳輸速率記為，則為（ ）
A． B． C． D．3
【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預測）若一段河流的蓄水量為立方米，每天水流量為立方米，每天往這段河流排水立方米的污水，則天后河水的污染指數 為初始值，．現有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當前的污染指數為初始值，若從現在開始停止排污水，要使河水的污染指數下降到初始值的，需要的天數大約是（參考數據：）（ ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【變式2-3】（2024·四川·模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為，其中為基準聲強級，為常數，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：
聲源 與聲源的距離（單位：） 聲強級范圍
內燃列車 20
電力列車 20
高速列車 20
設在離內燃列車 電力列車 高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 構造二次函數模型】
【例3】（2023·江西九江·模擬預測）隨著新冠病毒的暴發，感染人數越來越多，醫療資料受到極大的挑戰，某地政府開始建立方艙醫院，建筑公司為某方艙醫院一病區預備的建筑材料總長為158米，計劃建立24間病房，分為兩排，過道的寬為1米，病房的長為x米，如圖所示，如何設計病房的長、寬才能使單間病房面積最大？
【變式3-1】（2024·上海青浦·一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內.已知汽車以公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數，不同型號汽車值不同，且滿足.
(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使這種型號的汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍；
(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
【變式3-2】（2022·上海虹口·一模）某地政府決定向當地納稅額在4萬元至8萬元（包括4萬元和8萬元）的小微企業發放補助款，發放方案規定：補助款隨企業納稅額的增加而增加，且補助款不低于納稅額的50%.設企業納稅額為（單位：萬元），補助款為（單位：萬元），其中為常數.
(1)分別判斷，時，是否符合發放方案規定，并說明理由；
(2)若函數符合發放方案規定，求的取值范圍.
【變式3-3】（2023·上海嘉定·二模）某村共有100戶農民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為2萬元．為了調整產業結構，該鎮政府決定動員部分農民從事蔬菜加工．據估計，若能動員戶農民從事蔬菜加工，則剩下的繼續從事蔬菜種植的農民平均每戶的年收入比上一年提高，而從事蔬菜加工的農民平均每戶的年收入為萬元．
（1）在動員戶農民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農民的總年收入不低于動員前100戶農民的總年收入，求的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這100戶農民中從事蔬菜加工的農民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農民的總年收入，求的最大值．
【題型4 構造指數、對數函數模型】
【例4】（2024·陜西西安·模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新聞發布會的第28場發布會.會上提出蒙古國 中國，包括東北亞的日本 韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙 植樹造林符合本地區各國和人民當前及長遠利益.根據對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發現持續時間大于的沙塵暴次數滿足，目前經測驗地情況氣象局發現，時，次數時，次數，據此計算時對應的持續時間約為（ ）
（參考數據：）
A．389 B．358 C．423 D．431
【變式4-1】（2024·寧夏銀川·一模）鋰電池在存放過程中會發生自放電現象，其電容量損失量隨時間的變化規律為，其中Q（單位）為電池容量損失量，p是時間t的指數項，反映了時間趨勢由反應級數決定，k是方程剩余項未知參數的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態M等自放電影響因素有關．以某種品牌鋰電池為研究對象，經實驗采集數據進行擬合后獲得，相關統計學參數，且預測值與實際值誤差很?。谘芯縈對Q的影響時，其他參量可通過控制視為常數，電池自放電容量損失量隨時間的變化規律為，經實驗采集數據進行擬合后獲得，相關統計學參數，且預測值與實際值誤差很小．若該品牌電池初始荷電狀態為，存放16天后，電容量損失量約為（ ）
（參考數據為：）
A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56
【變式4-2】（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯 里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（ ）（參考數據：）
A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級
【變式4-3】（2023·陜西咸陽·模擬預測）陜西榆林神木石峁遺址發現于1976，經過數十年的發掘研究，已證實是中國已發現的龍山晚期到夏早期規模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼等遺跡，2019年科技人員對遺跡中發現的某具人婁骨骼化石進行碳14測定年代，公式為：（其中為樣本距今年代，為現代活體中碳14放射性豐度，為測定樣本中碳14放射性豐度），已知現代活體中碳14放射性豐度，該人類骨骼碳14放射性豐度，則該骨骼化石距今的年份大約為（ ）（附：，，）
A．3353 B．3997 C．4125 D．4387
【題型5 構造分段函數模型】
【例5】（2023·上海普陀·模擬預測）某公司按銷售額給銷售員提成作獎金，每月的基本銷售額為20萬元，超額中的第一個5萬元（含5萬元以下），按超額部分的提成作獎金；超額中的第二個5萬元，按超額部分的 提成作獎金；……后每增加5萬元，其提成比例也增加一個．如銷售員某月銷售額為27萬元，則按照合約，他可得獎金為元．試求：
(1)銷售員某月獲得獎金7200元，則他該月的銷售額為多少？
(2)若某銷售員、月份的總銷售額為60萬元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個月的總獎金的最大、最小值分別是多少？
【變式5-1】（2023·上海浦東新·三模）某晚報曾刊登過一則生活趣事，某市民唐某乘坐出租車時，在半途中罵罵咧咧要求司機臨時?？?，打表計價結賬，然后重新計價，繼續前行，該市民解釋說，根據經驗，這樣分開支付車費比一次性付費便宜一些，他的這一說法有道理嗎？確實，由于出租車運價上調，有些人出行時會估計一下可能的價格，再決定是否乘坐出租車.據了解，2018年上海出租車在5時到23時之間起租價為14元/3千米，超起租里程單價為2.50元/千米，總里程超過15千米（不含15千米）部分按超起租里程單價加50%.此外，相關部門還規定了低速等候費和其他時段的計價辦法，以及適合其他車型的計價辦法.你乘坐過出租車嗎？你會仿效那位市民唐某的做法嗎？為什么？
(1)根據上述情境你能提出什么數學問題？為了解決你的問題，你能否作出一些合理假設？
(2)你能否根據你的假設建立數學模型，并回答你所提出的問題.
【變式5-2】（2024·江蘇南通·二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環境消毒，已知在一定范圍內，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時間（單位：小時）變化的關系如下：當時，；當時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．
(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？
(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數據：取1.4）
【變式5-3】（2024·上海寶山·模擬預測）自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進“人水相依，延續風貌，豐富設施，精彩活動”的整治目標．某科學研究所針對河道整治問題研發了一種生物復合劑．這種生物復合劑入水后每1個單位的活性隨時間（單位：小時）變化的函數為，已知當時，的值為28，且只有在活性不低于3.5時才能產生有效作用．
(1)試計算每1個單位生物復合劑入水后產生有效作用的時間；（結果精確到小時）
(2)由于環境影響，每1個單位生物復合劑入水后會產生損耗，設損耗剩余量關于時間的函數為，記為每1個單位生物復合劑的實際活性，求出的最大值．（結果精確到0.1）
【題型6 函數模型的選擇問題】
【例6】（2024·上海崇明·二模）環保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇．某型號的電動汽車在國道上進行測試，國道限速80km/h．經多次測試得到該汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的數據如下表所示：
v 0 10 40 60
M 0 1325 4400 7200
為了描述國道上該汽車每小時耗電量M與速度v的關系，現有以下三種函數模型供選擇：
①；②；③．
(1)當時，請選出你認為最符合表格中所列數據的函數模型（需說明理由），并求出相應的函數解析式；
(2)現有一輛同型號電動汽車從A地行駛到B地，其中高速上行駛200km，國道上行駛30km，若高速路上該汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關系滿足 ，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？
【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）某養殖場隨著技術的進步和規模的擴張，肉雞產量在不斷增加．我們收集到2020年前10個月該養殖場上市的肉雞產量如下：
月份（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
產量（W） 1.0207 2.0000 2.5782 2.9974 3.3139 3.5789 3.8041 4.0000 4.1736 4.3294
產量W（萬只）和月份m之間可能存在以下四種函數關系：①；②；③；④．（各式中均有，）．
（Ⅰ）請你從這四個函數模型中去掉一個與表格數據不吻合的函數模型，并說明理由；
（Ⅱ）請你從表格數據中選擇2月份和8月份，再從第一問剩下的三種模型中任選兩個函數模型進行建模，求出這兩種函數表達式再分別求出兩種模型下4月份的產量，并說明哪個函數模型更好．
【變式6-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）隨著電動汽車研發技術的日益成熟，電動汽車的普及率越來越高．某型號電動汽車在封閉路段進行測試，限速（不含）．經多次測試得到，該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數據如下表所示．
0 10 30 70
0 1325 3375 9275
為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現有以下三種函數模型供選擇：
，，．
(1)當時，請選出你認為最符合表格所列數據實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；
(2)在本次測試報告中，該電動汽車的最長續航里程為．若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：）最??？并計算出該最小值．
【變式6-3】（23-24高一上·上海·期末）浦東某購物中心開業便吸引了市民紛紛來打卡（觀光或消費），某校數學建模社團根據調查發現：該購物中心開業一個月內（以天計），每天打卡人數與第天近似地滿足函數（萬人），為正常數，且第天的打卡人數為萬人．
(1)經調查，打卡市民（含觀光）的人均消費（元）與第天近似地滿足下表：
（天） 10 14 18 22 26 30
（元） 131 135 139 143 139 135
現給出以下三種函數模型：①，②，③．請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述打卡市民（含觀光）的人均消費（元）與第天的關系，并求出該函數的解析式；
(2)確定的值，并在問題（1）的基礎上，求出該購物中心日營業收入（，為正整數）的最小值（單位：萬元）．
（注：日營業收入日打卡人數人均消費）．
一、單選題
1．（2024·青海海西·模擬預測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉移軌道，發射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質量、火箭（除燃料外）的質量的函數關系是．按照這個規律，當m時，火箭的最大速度為；當m時，火箭的最大速度為．則（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數據：
0 40 60 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·內蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數關系如圖，那么點P所走的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大方便某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資萬元，根據行業規定，每座城市至少要投資萬元由前期市場調研可知：甲城市收益單位：萬元與投入單位：萬元滿足，乙城市收益單位：萬元與投入單位：萬元滿足，則投資這兩座城市收益的最大值為 （ ）
A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元
5．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：月）的關系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結論正確的個數為（ ）
①浮萍每個月增長的面積都相等；
②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；
③浮萍面積每個月的增長率均為50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是，，，則．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024·北京懷柔·模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經提出18年，我國城鄉深化河道生態環境治理，科學治污.現有某鄉村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為k立方米，已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t（單位：天）河水污染質量指數（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的50倍.若從現在開始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是（參考數據：，）（ ）
A．1個月 B．3個月 C．半年 D．1年
7．（2023·北京·模擬預測）血藥濃度（Plasma Concentration）是指藥物吸收后在血漿內的總濃度.藥物在人體內發揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內血藥濃度及相關信息如圖所示：
根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中：
①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用；
②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒；
③每向隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續發揮治療作用；
④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發生藥物中毒.
其中正確說法的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·江西南昌·二模）為了預防某種病毒，某學校需要通過噴灑藥物對教室進行全面消毒．出于對學生身體健康的考慮，相關部門規定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，學生方可進入教室．已知從噴灑藥物開始，教室內部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間t（分鐘）之間的函數關系為，函數的圖像如圖所示．如果早上7：30就有學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
二、多選題
9．（2024·河南·模擬預測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：（和均為大于0的常數），為反應速率常數（與反應速率成正比），為熱力學溫度（），在同一個化學反應過程中為大于0的定值.已知對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為和時，反應速率常數分別為和（此過程中，與的值保持不變），則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
10．（2023·全國·模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間（單位：天）之間的函數關系．則下列說法中正確的是（ ）
A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低
B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多
C．天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%
D．天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%
11．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時間（單位：分鐘）之間滿足函數關系（為常數，是自然對數的底數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．排氣12分鐘后濃度為
D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫
三、填空題
12．（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于秒，原子核內部作用過程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經過 天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內走過的距離.（參考數據：光速為米/秒，）
13．（2024·上海長寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關數據如下表：
甲 乙 丙
接單量t（單） 7831 8225 8338
油費s（元） 107150 110264 110376
平均每單里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油費a（元） 0.7 0.7 0.7
出租車空駛率；依據以上數據，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則 .（精確到0.01）
14．（2024·北京·模擬預測）農業技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產量統計如下：

根據上表所提供信息，第 號區域的總產量最大．
四、解答題
15．（2024·貴州六盤水·模擬預測）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.水城春茶因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內外.經驗表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是，室溫是，則經過時間t（單位：分鐘）后物體的溫度（單位：）滿足，其中k為正常數.該研究小組在的室溫下，通過多次測量取平均值的方法，測得200mL初始溫度為的水的溫度降至相應溫度所需時間如下表所示：
從降至所需時間 3.4分鐘
從降至所需時間 5.0分鐘
(1)從上表中選取一組數據求出k的值（精確到0.01），并根據上述冷卻模型寫出冷卻時間t關于冷卻后水溫的函數解析式；
(2)在（1）的條件下，現用200mL水在的室溫下泡制水城春茶，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多少分鐘？（精確到0.1分鐘）
（參考數據：，，，）
16．（2023·上海楊浦·一模）企業經營一款節能環保產品，其成本由研發成本與生產成本兩部分構成．生產成本固定為每臺130元．根據市場調研，若該產品產量為x萬臺時，每萬臺產品的銷售收入為I（x）萬元．兩者滿足關系：
(1)甲企業獨家經營，其研發成本為60萬元．求甲企業能獲得利潤的最大值；
(2)乙企業見有利可圖，也經營該產品，其研發成本為40萬元．問：乙企業產量多少萬臺時獲得的利潤最大；（假定甲企業按照原先最大利潤生產，并未因乙的加入而改變）
(3)由于乙企業參與，甲企業將不能得到預期的最大收益、因此會作相應調整，之后乙企業也會隨之作出調整，最終雙方達到動態平衡（在對方當前產量不變的情況下，已方達到利潤最大）求動態平衡時，兩企業各自的產量和利潤分別是多少．
17．（2024·浙江金華·模擬預測）太陽能板供電是節約能源的體現，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件，太陽能板通過電池板將太陽能轉換為電能，再將電能儲存于蓄電池中．已知在一定條件下，入射光功率密度（E為入射光能量且為入射光入射有效面積），電池板轉換效率與入射光功率密度成反比，且比例系數為k．
(1)若平方米，求蓄電池電能儲存量Q與E的關系式；
(2)現有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量，鋰離子蓄電池的放電量．設，給定不同的Q，請分析并討論為了使得太陽能板供電效果更好，應該選擇哪種蓄電池？
注：①蓄電池電能儲存量；
②當S，k，Q一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好．
18．（2023·上海嘉定·一模）李先生屬于一年工作天的上班族，計劃購置一輛新車用以通勤.大致推斷每天早八點從家出發，晚上六點回家，往返總距離為公里.考慮從兩款車型中選擇其一， 款車是燃油車，款車是電動車，售價均為萬元.現提供關于兩種車型的相關信息：
款車的油耗為升/百公里，油價為每升至元.車險費用元/年.購置稅為售價的.購車后，車價每年折舊率為.保養費用平均元/萬公里；
款車的電耗為度/百公里，電費為每度至元.車險費用元/年.國務院年出臺文件，宣布保持免除購置稅政策.電池使用壽命為年，更換費用為萬元.購車后，車價每年折舊率為.保養費用平均元/萬公里.
(1)除了上述了解到的情況，還有哪些因素可能需要考慮 寫出這些因素（至少個，不超過個）；
(2)為了簡化問題，請對相關因素做出合情假設，由此為李先生作出買車的決策，并說明理由.
19．（2024·北京·二模）為響應國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業為抓住新能源汽車發展帶來的歷史性機遇，決定開發生產一款新能源電池設備.生產這款設備的年固定成本為200萬元，每生產臺需要另投入成本（萬元），當年產量不足45臺時，萬元，當年產量不少于45臺時，萬元.若每臺設備的售價與銷售量的關系式為萬元，經過市場分析，該企業生產新能源電池設備能全部售完.
(1)求年利潤（萬元）關于年產量（臺）的函數關系式；
(2)年產量為多少臺時，該企業在這一款新能源電池設備的生產中獲利最大？最大利潤是多少萬元？
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題2.8 函數模型及其應用【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程】 2
【題型2 已知函數模型解決實際問題】 6
【題型3 構造二次函數模型】 8
【題型4 構造指數、對數函數模型】 11
【題型5 構造分段函數模型】 13
【題型6 函數模型的選擇問題】 18
1、函數模型及其應用
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異
(2)理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義 (3)會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用 2020年新高考全國I卷：第6題，5分 2020年全國IⅡ卷：第4題，5分 函數模型是高考數學的重要內容之一，從近幾年的高考形勢來看，高考對函數模型的考查相對穩定，一般以選擇題與填空題的形式出現，難度不大；學生在復習中要加強對建模能力和應用能力的培養.
【知識點1 幾種常見的函數模型】
1．一次函數模型
一次函數模型：f(x)=kx+b(k,b為常數，k≠0).
一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.
2．二次函數模型
二次函數模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數，a≠0).
二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最省等最值
問題常用到二次函數模型.
3．冪函數模型
冪函數模型應用的求解策略
(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.
(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.
4．指數函數模型
指數函數模型：(a,b,c為常數，a>0，且a≠1，b≠0).
4．對數函數模型
對數函數模型：(a,b,c為常數，a>0，且a≠1，b≠0).
6．分段函數模型
由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應用.
7．“對勾”函數模型
對勾函數模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.
【知識點2 判斷函數圖象與實際問題變化過程的解題策略】
1．判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法
(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.
(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.
【知識點3 實際問題中函數建模的基本步驟】
1．構造函數模型解決實際問題的基本步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.
(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.
(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果
要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.
【題型1 利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程】
【例1】（2024·海南·模擬預測）下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為（ ）
①我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業本再上學；
②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；
③我出發后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.
其中y表示離開家的距離，t表示所用時間.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
【解題思路】根據三個事件的特征，分析離家距離的變化情況，選出符合事件的圖像.
【解答過程】對于事件①，中途返回家，離家距離為0，故圖像④符合；
對于事件②，堵車中途耽擱了一些時間，中間有段時間離家距離不變，故圖像①符合；
對于事件③，前面速度慢，后面趕時間加快速度，故圖像②符合；
故選：A.
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）某公司在30天內商品的銷售價格（元）與時間（天）的關系滿足下方圖象所示的函數，商品的銷售量（萬件）與時間的關系是，則下列說法正確的是（ ）
①第15天日銷售額最大 ②第20天日銷售額最大
③最大日銷售額為120萬元 ④最大日銷售額為125萬元
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解題思路】先由函數圖象利用待定系數法求得銷售價格P（元）關于時間t（天）的函數解析式，再求銷售額關于t的函數解析式，從而結合二次函數性質求其最大值，由此得解.
【解答過程】由圖象可得當時，可設，根據圖象知過點，
所以，解得，所以，
當，可設，根據圖象知過點，
所以，解得，所以，
綜上可得，，
又 ，設第天的銷售額為，
則，
化簡可得，
當時，，所以，當且僅當時，等號成立；
當時，，所以，當且僅當時，等號成立；’
綜上可得，第15日的銷售額最大，最大值為125萬元，故①④正確.
故選：B.
【變式1-2】（2023·北京門頭溝·一模）在聲學中，音量被定義為：，其中是音量（單位為dB），是基準聲壓為，P是實際聲音壓強.人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限閾值.經過研究表明，人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如下圖所示，其中240對應的聽覺下限閾值為20，1000對應的聽覺下限閾值為0，則下列結論正確的是（ ）
A．音量同為20的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽到.
B．聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.
C．240的聽覺下限閾值的實際聲壓為0.002.
D．240的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍.
【解題思路】對于選項A、B，可以直接觀察圖像得出聽覺下限閾值與聲音頻率的關系進行判斷；對于C、D，通過所給函數關系代入聽覺下限閾值計算即可判斷.
【解答過程】對于A， 30~100的低頻對應圖像的聽覺下限閾值高于20，1000~10000的高頻對應的聽覺下限閾值低于20，所以對比高頻更容易被聽到，故A錯誤；
對于B，從圖像上看，聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大有減小也有增大，故B錯誤；
對于C，240對應的聽覺下限閾值為20，，
令，此時 ，故C錯誤；
對于D，1000的聽覺下限閾值為0，
令，此時，所以240的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍，故D正確.
故選：D.
【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象，假設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（ ）
A．野生水葫蘆的面積每月增長量相等
B．野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月
C．設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有
D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度
【解題思路】根據圖中數據可計算得出A、B、D選項；根據圖像得到指數函數解析式，表示出，，，根據對數計算即可判斷C選項.
【解答過程】由圖可知野生水葫蘆第一個月增長面積為，第二個月增長面積為，A錯誤；
由圖可知野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月，B正確；
野生水葫蘆的面積與時間的函數關系為，，，
，，所以，C正確；
野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度為
野生水葫蘆在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度為，D錯誤.
故選：BC.
【題型2 已知函數模型解決實際問題】
【例2】（2024·廣東茂名·一模）Gompertz曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為：（其中，為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發現.若表示該新產品今年的年產量，估計明年的產量將是今年的倍，那么的值為（為自然數對數的底數）（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，得到，分別代入、，得到和的值，進而得到，求解即可.
【解答過程】由，得到，
當時，；
當時，.
依題意，明年的產量將是今年的倍，得：，
，即，解得.
，.
故選：A.
【變式2-1】（23-24高三上·北京通州·階段練習）被譽為信息論之父的香農提出了一個著名的公式：，其中C為最大數據傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農公式在5G技術中發揮著舉足輕重的作用.當，時，最大數據傳輸速率記為；當，時，最大數據傳輸速率記為，則為（ ）
A． B． C． D．3
【解題思路】
由題意可知，分別將數據代入利用對數運算法則計算出，，即可求得.
【解答過程】根據題意，將，代入可得；
將，代入可得 ；
所以可知.
故選：D.
【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預測）若一段河流的蓄水量為立方米，每天水流量為立方米，每天往這段河流排水立方米的污水，則天后河水的污染指數 為初始值，．現有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當前的污染指數為初始值，若從現在開始停止排污水，要使河水的污染指數下降到初始值的，需要的天數大約是（參考數據：）（ ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【解題思路】由已知化簡函數式得，再利用約天后，河水的污染指數下降到初始值的，可得方程，然后兩邊取對數得，最后利用已知的對數值可計算得到結果.
【解答過程】由題意可知：，，所以
設約天后，河水的污染指數下降到初始值的，即，
所以，
故選：C.
【變式2-3】（2024·四川·模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為，其中為基準聲強級，為常數，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：
聲源 與聲源的距離（單位：） 聲強級范圍
內燃列車 20
電力列車 20
高速列車 20
設在離內燃列車 電力列車 高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據聲強、聲強級之間的關系確定基準聲強級，即可判斷A；計算可得大小關系，即可判斷B，D；計算可得大小關系，即可判斷.
【解答過程】對于：因為聲強時，聲強級，
所以，解得，故錯誤；
對于B：因為，
所以，即，故B正確；
對于C：，
所以，即，故C不正確；
對于D，，
所以，即，故D不正確．
故選：B．
【題型3 構造二次函數模型】
【例3】（2023·江西九江·模擬預測）隨著新冠病毒的暴發，感染人數越來越多，醫療資料受到極大的挑戰，某地政府開始建立方艙醫院，建筑公司為某方艙醫院一病區預備的建筑材料總長為158米，計劃建立24間病房，分為兩排，過道的寬為1米，病房的長為x米，如圖所示，如何設計病房的長、寬才能使單間病房面積最大？
【解題思路】由題可得病房的寬為米，進而可得單間病房面積，然后利用二次函數的性質即得.
【解答過程】由題可得病房的寬為米，
所以單間病房面積為，
所以當米時，單間病房面積最大，此時病房的寬為米，
即病房的長為3米、寬為米，才能使單間病房面積最大.
【變式3-1】（2024·上海青浦·一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內.已知汽車以公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數，不同型號汽車值不同，且滿足.
(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使這種型號的汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍；
(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
【解題思路】（1）根據題意，可知當時，求出的值，結合條件得出，再結合，即可得出車速的取值范圍；
（2）設該汽車行駛100千米的油耗為升，得出關于與的函數關系式，通過換元令，則，得出與的二次函數，再根據二次函數的圖象和性質求出的最小值，即可得出不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
【解答過程】（1）解：由題意可知，當時，，解得：，
由，即，解得：，
因為要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內，
即，所以，
故汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍.
（2）解：設該汽車行駛100千米的油耗為升，
則，
令，則，
所以，，
可得對稱軸為，由，可得，
當時，即時，
則當時，；
當，即時，
則當時，；
綜上所述，當時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升；
當時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升.
【變式3-2】（2022·上海虹口·一模）某地政府決定向當地納稅額在4萬元至8萬元（包括4萬元和8萬元）的小微企業發放補助款，發放方案規定：補助款隨企業納稅額的增加而增加，且補助款不低于納稅額的50%.設企業納稅額為（單位：萬元），補助款為（單位：萬元），其中為常數.
(1)分別判斷，時，是否符合發放方案規定，并說明理由；
(2)若函數符合發放方案規定，求的取值范圍.
【解題思路】（1）根據題意，需要判斷函數在上是否單調遞增，在上是否恒大于等于零，進而得到答案；
（2）根據題意，在上單調遞增，且在上恒大于等于零，進而求出b的取值范圍.
【解答過程】（1）若，則，函數在上單調遞增，令，顯然在上恒大于0，滿足題意.
若，則，函數在上單調遞增，令，易知，不合題意.
所以時，符合發放方案規定，時，不符合發放方案規定.
（2）①由題意，在上單調遞增，則.
②令，由題意，在上恒成立，
若，在上單調遞增，則，于是；
若，在上單調遞減，則，舍去；
若，則，舍去.
所以.
綜合①②得：.
【變式3-3】（2023·上海嘉定·二模）某村共有100戶農民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為2萬元．為了調整產業結構，該鎮政府決定動員部分農民從事蔬菜加工．據估計，若能動員戶農民從事蔬菜加工，則剩下的繼續從事蔬菜種植的農民平均每戶的年收入比上一年提高，而從事蔬菜加工的農民平均每戶的年收入為萬元．
（1）在動員戶農民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農民的總年收入不低于動員前100戶農民的總年收入，求的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這100戶農民中從事蔬菜加工的農民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農民的總年收入，求的最大值．
【解題思路】（1）根據題意，表示出動員戶農民從事蔬菜加工后農民的總年收入，動員前農民的總年收入，再解不等式.
（2）轉化成恒成立問題，再分離變量，轉化成函數的最值問題.
【解答過程】解：（1）動員戶農民從事蔬菜加工后，農民的總年收入為，
由題得 ．
（2）由題恒成立，其中，
即恒成立，又因為，
當且僅當時等號成立，所以．
【題型4 構造指數、對數函數模型】
【例4】（2024·陜西西安·模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新聞發布會的第28場發布會.會上提出蒙古國 中國，包括東北亞的日本 韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙 植樹造林符合本地區各國和人民當前及長遠利益.根據對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發現持續時間大于的沙塵暴次數滿足，目前經測驗地情況氣象局發現，時，次數時，次數，據此計算時對應的持續時間約為（ ）
（參考數據：）
A．389 B．358 C．423 D．431
【解題思路】由題意可得，利用指數和對數的運算解出，再代入，利用對數的運算化簡求出時間即可.
【解答過程】兩式相比，得，
又兩邊取對數可得，
所以，
令，即，
取對數并化簡可得，
因為，
所以
所以.
故選：D.
【變式4-1】（2024·寧夏銀川·一模）鋰電池在存放過程中會發生自放電現象，其電容量損失量隨時間的變化規律為，其中Q（單位）為電池容量損失量，p是時間t的指數項，反映了時間趨勢由反應級數決定，k是方程剩余項未知參數的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態M等自放電影響因素有關．以某種品牌鋰電池為研究對象，經實驗采集數據進行擬合后獲得，相關統計學參數，且預測值與實際值誤差很小．在研究M對Q的影響時，其他參量可通過控制視為常數，電池自放電容量損失量隨時間的變化規律為，經實驗采集數據進行擬合后獲得，相關統計學參數，且預測值與實際值誤差很小．若該品牌電池初始荷電狀態為，存放16天后，電容量損失量約為（ ）
（參考數據為：）
A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56
【解題思路】根據題意，得到，將，，結合題中所給數據加以計算，即可得到存放16天后電容量損失量近似值.
【解答過程】根據題意，可得，
代入，可得，
因為該品牌電池初始荷電狀態，
所以存放16天后，電容量損失量.
故選：C.
【變式4-2】（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯 里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（ ）（參考數據：）
A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級
【解題思路】根據題意，得到，結合對數的運算法則，即可求解.
【解答過程】由題意，某地地震波的最大振幅為，且這次地震的標準地震振幅為，
可得.
故選：B.
【變式4-3】（2023·陜西咸陽·模擬預測）陜西榆林神木石峁遺址發現于1976，經過數十年的發掘研究，已證實是中國已發現的龍山晚期到夏早期規模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼等遺跡，2019年科技人員對遺跡中發現的某具人婁骨骼化石進行碳14測定年代，公式為：（其中為樣本距今年代，為現代活體中碳14放射性豐度，為測定樣本中碳14放射性豐度），已知現代活體中碳14放射性豐度，該人類骨骼碳14放射性豐度，則該骨骼化石距今的年份大約為（ ）（附：，，）
A．3353 B．3997 C．4125 D．4387
【解題思路】首先求出再代入公式，利用參考數據計算可得.
【解答過程】由題知，，
∴.
故選：B.
【題型5 構造分段函數模型】
【例5】（2023·上海普陀·模擬預測）某公司按銷售額給銷售員提成作獎金，每月的基本銷售額為20萬元，超額中的第一個5萬元（含5萬元以下），按超額部分的提成作獎金；超額中的第二個5萬元，按超額部分的 提成作獎金；……后每增加5萬元，其提成比例也增加一個．如銷售員某月銷售額為27萬元，則按照合約，他可得獎金為元．試求：
(1)銷售員某月獲得獎金7200元，則他該月的銷售額為多少？
(2)若某銷售員、月份的總銷售額為60萬元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個月的總獎金的最大、最小值分別是多少？
【解題思路】（1）由題分析出銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，設超額部分比15萬多元，列出方程，求解即可；
（2）設兩個月的總獎金為，某銷售員月份的銷售額為萬元，則銷售員月份的銷售額為萬元，分類討論的范圍，得出關于的分段函數，畫出圖像即可得解．
【解答過程】（1）超額第一個5萬元可得獎金1000元，超額第二個5萬元可得獎金2000元，超額第三個5元可得獎金3000元，超額第四個5萬元可得獎金4000元，
所以當銷售員的銷售額超額部分為15萬元時，可得獎金3000元，當銷售員的銷售額超額部分為20萬元時，可得獎金7000元，
因為銷售員某月獲得獎金7200元，
所以銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，
設超額部分比15萬多元，提成比例為，
則，可得，
故他該月的銷售額為萬元．
（2）設兩個月的總獎金為，某銷售員月份的銷售額為萬元，則銷售員月份的銷售額為萬元，
則，
①當時，則，
，
②當時，則，
，
③當時， 則
，
④當時， 則
，
綜上所述，，作出圖像，

由圖可知，當，即7月份銷售額為30萬元，獎金最低為0.6萬元；
當或時，即7月份銷售額為20或40萬元，獎金最高為1萬元．
【變式5-1】（2023·上海浦東新·三模）某晚報曾刊登過一則生活趣事，某市民唐某乘坐出租車時，在半途中罵罵咧咧要求司機臨時停靠，打表計價結賬，然后重新計價，繼續前行，該市民解釋說，根據經驗，這樣分開支付車費比一次性付費便宜一些，他的這一說法有道理嗎？確實，由于出租車運價上調，有些人出行時會估計一下可能的價格，再決定是否乘坐出租車.據了解，2018年上海出租車在5時到23時之間起租價為14元/3千米，超起租里程單價為2.50元/千米，總里程超過15千米（不含15千米）部分按超起租里程單價加50%.此外，相關部門還規定了低速等候費和其他時段的計價辦法，以及適合其他車型的計價辦法.你乘坐過出租車嗎？你會仿效那位市民唐某的做法嗎？為什么？
(1)根據上述情境你能提出什么數學問題？為了解決你的問題，你能否作出一些合理假設？
(2)你能否根據你的假設建立數學模型，并回答你所提出的問題.
【解題思路】（1）根據題意可分析出出租車費用為分段函數的模型，故可以提出求解里程計價費用與里程的函數關系問題，并假設只能在路程的中點處停靠一次，再求解此時的函數關式；
（2）分別求解不?？颗c停靠中點時的費用，再作圖分析判斷即可.
【解答過程】（1）由題意，出租車費用為分段函數的模型，故可提出問題：
①上海出租車在5時到23時之間起租價為14元/3千米，超起租里程單價為2.50元/千米，總里程超過15千米（不含15千米）部分按超起租里程單價加50%，求里程計價費用與里程的函數關系式子；
②若只能在路程的中點處?？恳淮?，分析不停靠與停靠兩種計費方式哪種更劃算.
（2）由（1）中所建立的函數模型：
①由題意，當時；當時；當時.
故.
②若只能在路程的中點處?？恳淮?，則路費函數，即，分別作出函數圖象.

由圖象可得，與有交點，聯立有，解得.
故若只能在路程的中點處停靠一次，則當路程不足公里時不停靠更劃算，當路程不足公里時?？扛鼊澦?
【變式5-2】（2024·江蘇南通·二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環境消毒，已知在一定范圍內，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時間（單位：小時）變化的關系如下：當時，；當時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．
(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？
(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數據：取1.4）
【解題思路】（1）由可求出結果；
（2）根據題意求出從第一次噴灑起，經小時后，其濃度關于的函數解析式，再根據基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得結果.
【解答過程】（1）因為一次噴灑4個單位的消毒劑，
所以其濃度為
當時，，解得，此時，
當時，，解得，此時，
所以若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達8小時．
（2）設從第一次噴灑起，經小時后，
其濃度，
因為，，
所以，
當且僅當，即 時，等號成立；
所以其最小值為，由，解得，
所以a的最小值為．
【變式5-3】（2024·上海寶山·模擬預測）自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進“人水相依，延續風貌，豐富設施，精彩活動”的整治目標．某科學研究所針對河道整治問題研發了一種生物復合劑．這種生物復合劑入水后每1個單位的活性隨時間（單位：小時）變化的函數為，已知當時，的值為28，且只有在活性不低于3.5時才能產生有效作用．
(1)試計算每1個單位生物復合劑入水后產生有效作用的時間；（結果精確到小時）
(2)由于環境影響，每1個單位生物復合劑入水后會產生損耗，設損耗剩余量關于時間的函數為，記為每1個單位生物復合劑的實際活性，求出的最大值．（結果精確到0.1）
【解題思路】（1）由求出，分、，解不等式可得答案；
（2）當時，令，，再令，面積由基本不等式求得最值； 當時，，利用單調性可得的最大值，再比較可得答案．
【解答過程】（1）由于，則，
當時，，
解得，
當時，，
即產生有效作用的時間段為，
故產生有效作用的時間為小時．
（2）當時，令，則，
同時，
再令，則，
面積，
由基本不等式，，
當且僅當時等號成立，
則在上的最大值為，
當時，，
則此時在是單調遞減的，
則最大值在時取到，，
綜上所述，在上的最大值為6.5．
【題型6 函數模型的選擇問題】
【例6】（2024·上海崇明·二模）環保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇．某型號的電動汽車在國道上進行測試，國道限速80km/h．經多次測試得到該汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的數據如下表所示：
v 0 10 40 60
M 0 1325 4400 7200
為了描述國道上該汽車每小時耗電量M與速度v的關系，現有以下三種函數模型供選擇：
①；②；③．
(1)當時，請選出你認為最符合表格中所列數據的函數模型（需說明理由），并求出相應的函數解析式；
(2)現有一輛同型號電動汽車從A地行駛到B地，其中高速上行駛200km，國道上行駛30km，若高速路上該汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關系滿足 ，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？
【解題思路】（1）根據函數的單調性排除②，根據定義域排除③即可；
（2）根據題意可得高速路上的耗電量，再分析的單調性求得告訴上的耗電量，再根據（1）中求得的，可得國道上的耗電量，根據二次函數的最值分析最小值即可
【解答過程】（1）因為函數是定義域上的減函數，又無意義，所以函數
與不可能是符合表格中所列數據的函數模型，
故是可能符合表格中所列數據的函數模型.
由，得：，所以
（2）由題意，高速路上的耗電量
任取，當時，
所以函數在區間上是增函數，所以Wh
國道上的耗電量
所以Wh
所以當高速路上速度為80km/h，國道上速度為40km/h時，總耗電量最少，為33500Wh.
【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）某養殖場隨著技術的進步和規模的擴張，肉雞產量在不斷增加．我們收集到2020年前10個月該養殖場上市的肉雞產量如下：
月份（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
產量（W） 1.0207 2.0000 2.5782 2.9974 3.3139 3.5789 3.8041 4.0000 4.1736 4.3294
產量W（萬只）和月份m之間可能存在以下四種函數關系：①；②；③；④．（各式中均有，）．
（Ⅰ）請你從這四個函數模型中去掉一個與表格數據不吻合的函數模型，并說明理由；
（Ⅱ）請你從表格數據中選擇2月份和8月份，再從第一問剩下的三種模型中任選兩個函數模型進行建模，求出這兩種函數表達式再分別求出兩種模型下4月份的產量，并說明哪個函數模型更好．
【解題思路】（1）根據數據判斷出函數為增函數，但模型④是減函數，所以判斷出該函數模型不符合題意；（2）分別列方程組代入求解即可，然后分別計算，再與實際比較選擇相差最小的.
【解答過程】（1）去掉④，函數模型④是減函數，根據所給數據可推斷函數為增函數，所以模型④不符合題意；
（2）由題意，點坐標，①，得，所以，所以，
②，得
所以，所以，
③，得，所以，，
因為與實際作差比較發現，選①與實際差距最大，選③與實際差距最小，所以如果選①③或者②③時，③模型更好；如果選①②時，②模型更好.
【變式6-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）隨著電動汽車研發技術的日益成熟，電動汽車的普及率越來越高．某型號電動汽車在封閉路段進行測試，限速（不含）．經多次測試得到，該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數據如下表所示．
0 10 30 70
0 1325 3375 9275
為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現有以下三種函數模型供選擇：
，，．
(1)當時，請選出你認為最符合表格所列數據實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；
(2)在本次測試報告中，該電動汽車的最長續航里程為．若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：）最??？并計算出該最小值．
【解題思路】（1）根據題意，得到，結合提供的數據，列出方程組，取得，即可求解；
（2）設車速為 ，得到，結合二次函數的性質，即可求解.
【解答過程】（1）解：對于，當時，它無意義，所以不符合題意；
對于，它顯然是個減函數，所以不符合題意，
故選．
根據提供的數據，則有，解得，
當時，．
（2）解：設車速為 ，所用時間為，
所耗電量，
要使得續航里程最長，則耗電量達到最小，即．
所以當測試員控制的車速為，
該電動汽車的電池所需的最小容量為．
【變式6-3】（23-24高一上·上?！て谀┢謻|某購物中心開業便吸引了市民紛紛來打卡（觀光或消費），某校數學建模社團根據調查發現：該購物中心開業一個月內（以天計），每天打卡人數與第天近似地滿足函數（萬人），為正常數，且第天的打卡人數為萬人．
(1)經調查，打卡市民（含觀光）的人均消費（元）與第天近似地滿足下表：
（天） 10 14 18 22 26 30
（元） 131 135 139 143 139 135
現給出以下三種函數模型：①，②，③．請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述打卡市民（含觀光）的人均消費（元）與第天的關系，并求出該函數的解析式；
(2)確定的值，并在問題（1）的基礎上，求出該購物中心日營業收入（，為正整數）的最小值（單位：萬元）．
（注：日營業收入日打卡人數人均消費）．
【解題思路】（1）根據表格可知的值先增大，后減小，從而可得到函數模型②滿足要求；然后根據表格中的數據代入函數的關系式即可求出答案；
（2）直接根據即可求出的值，分且為正整數和且為正整數兩種情況分段討論去掉絕對值符號，從而可求函數的最小值.
【解答過程】（1）解：由表格，可知的值先增大，后減小，所以顯然，函數模型②滿足要求，
又由表格可知，
代入，得，解得，
所以.
（2）解：因為第天的打卡人數為萬人，所有，解得.
易知，
當且為正整數時，，
因為為減函數，所以；
當且為正整數時，，
所以，當且僅當時等號成立.
綜上知，該商場在第天時日營業收入最小，最小為萬元.
一、單選題
1．（2024·青海海西·模擬預測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉移軌道，發射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質量、火箭（除燃料外）的質量的函數關系是．按照這個規律，當m時，火箭的最大速度為；當m時，火箭的最大速度為．則（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，利用給定的函數關系式，分別求得，結合對數的運算性質，求得的值，即可求解.
【解答過程】由火箭的最大速度和燃料的質量、火箭的質量的函數關系是，當時，有，所以；
當時，有，所以，
可得 ．
故選：A．
2．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數據：
0 40 60 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】作出散點圖，根據單調性和定義域即可得解.
【解答過程】作出散點圖，由圖可知函數模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調遞增且單位增長率變快；第三，函數圖象過原點.
A選項：函數在定義域內單調遞減，故A錯誤；
B選項：函數的單位增長率恒定不變，故B錯誤；
C選項：滿足上述三點，故C正確；
D選項：函數在處無意義，D錯誤.
故選：C.
3．（2024·內蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數關系如圖，那么點P所走的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
由點在第二條邊上運動時，的單調性可排除A，由圖象的對稱性可排除，由一開始與是線性的可排除C，對于D，當圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.
【解答過程】對于A，點在第一條邊上時，，
但點在第二條邊上運動時，是隨的增大先減?。p到最小時即為三角形的第二條邊上的高的長度），然后再增大，
對比圖象可知，A錯誤；
對于B，y與x的函數圖形一定不是對稱的，B錯誤；
對于C，一開始與的關系不是線性的，C錯誤；
對于D，因為函數圖象對稱，所以D選項應為正方形，不妨設邊長為，
點在第一條邊上時（即時），，
點在第二條邊上運動時（即時），，依然單調遞增，
點在第三條邊上運動時（即時），，單調遞減，
點在第四條邊上運動時（即時），，單調遞減，
且已知與的圖象關于（其中）對稱，D正確.
故選：D.
4．（2024·全國·模擬預測）近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大方便某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資萬元，根據行業規定，每座城市至少要投資萬元由前期市場調研可知：甲城市收益單位：萬元與投入單位：萬元滿足，乙城市收益單位：萬元與投入單位：萬元滿足，則投資這兩座城市收益的最大值為 （ ）
A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元
【解題思路】根據題意列出收益的表達式，結合換元法、二次函數的性質進行求解即可.
【解答過程】由題意可知：，
設投資這兩座城市收益為，
則有，
令，則有，
該二次函數的對稱軸為，且開口向下，
所以，
故選：B.
5．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：月）的關系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結論正確的個數為（ ）
①浮萍每個月增長的面積都相等；
②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；
③浮萍面積每個月的增長率均為50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是，，，則．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】由已知可得出，計算出萍蔓延1月至2月份增長的面積和2月至3月份增長的面積，可判斷①的正誤；計算出浮萍蔓延4個月后的面積，可判斷②的正誤；計算出浮萍蔓延每個月增長率，可判斷③的正誤；利用指數運算可判斷④的正誤.
【解答過程】由已知可得，則.
對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為（平方米），
浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為（平方米），①錯；
對于②，浮萍蔓延4個月后的面積為（平方米），②對；
對于③，浮萍蔓延第至個月的增長率為，所以，浮萍蔓延每個月增長率相同，都是，③錯；
對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是，，，
則，，，所以，④錯.
故選：B.
6．（2024·北京懷柔·模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經提出18年，我國城鄉深化河道生態環境治理，科學治污.現有某鄉村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為k立方米，已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t（單位：天）河水污染質量指數（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的50倍.若從現在開始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是（參考數據：，）（ ）
A．1個月 B．3個月 C．半年 D．1年
【解題思路】由題意可知，，利用指數與對數的運算性質進行化簡求解，即可得到答案．
【解答過程】由題意可知，，故，
則，即，
所以，則要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是90天，即三個月．
故選：B．
7．（2023·北京·模擬預測）血藥濃度（Plasma Concentration）是指藥物吸收后在血漿內的總濃度.藥物在人體內發揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內血藥濃度及相關信息如圖所示：
根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中：
①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用；
②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒；
③每向隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續發揮治療作用；
④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發生藥物中毒.
其中正確說法的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據圖象，結合題意，逐個判斷即可．
【解答過程】①根據圖象可知，首次服用該藥物1單位約10分鐘后，血液濃度達到最低有效濃度，藥物發揮治療作用，故正確；
②根據圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時后血液濃度達到最大值，由圖象可知兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒，故正確；
③根據圖象可知，每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使血藥濃度大于最低有效濃度，藥物持續發揮治療作用，故正確；
④根據圖象可知，首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，會發生藥物中毒，故錯誤．
故選：C．
8．（2023·江西南昌·二模）為了預防某種病毒，某學校需要通過噴灑藥物對教室進行全面消毒．出于對學生身體健康的考慮，相關部門規定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，學生方可進入教室．已知從噴灑藥物開始，教室內部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間t（分鐘）之間的函數關系為，函數的圖像如圖所示．如果早上7：30就有學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
【解題思路】函數的圖像過點，代入函數的解析式求得未知系數a，解函數不等式即可.
【解答過程】根據函數的圖像，可得函數的圖像過點，
由函數圖像連續，代入函數的解析式，可得，解得，
所以，
令，可得或，
解得或．
所以如果7：30學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是7：00．
故選：A．
二、多選題
9．（2024·河南·模擬預測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：（和均為大于0的常數），為反應速率常數（與反應速率成正比），為熱力學溫度（），在同一個化學反應過程中為大于0的定值.已知對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為和時，反應速率常數分別為和（此過程中，與的值保持不變），則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
【解題思路】利用不等式性質以及指數型函數單調性即可判斷AB，由，利用對數運算可求得D正確.
【解答過程】由，，，根據不等式性質可得，
所以，又，所以，故，故A選項正確，B選項錯誤；
易知，
若，可得，所以，故C選項錯誤，D選項正確.
故選：AD.
10．（2023·全國·模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間（單位：天）之間的函數關系．則下列說法中正確的是（ ）
A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低
B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多
C．天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%
D．天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%
【解題思路】根據艾賓浩斯遺忘曲線對選項進行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】由函數解析式和圖象可知隨著的增加而減少，故A正確．
由圖象的減少快慢可知：第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多，B正確．
當時，，
則，
即天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C錯誤．
，故D錯誤．
故選：AB.
11．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時間（單位：分鐘）之間滿足函數關系（為常數，是自然對數的底數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．排氣12分鐘后濃度為
D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫
【解題思路】由題意列式，求出，即可判斷A，B；可得函數解析式，將代入，即可判斷C；結合解析式列出不等關系，求出人可以安全進入車庫的排氣時間，判斷D.
【解答過程】設，代入，得,
解得，A正確，B錯誤．
此時，所以，C正確．
當時，即，得，所以，
所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，D正確．
故選:ACD．
三、填空題
12．（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于秒，原子核內部作用過程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經過 31 天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內走過的距離.（參考數據：光速為米/秒，）
【解題思路】依題意可得尺子經過天后，剩余的長度米，結合對數運算可得結果.
【解答過程】依題意，光在2“阿托秒”內走的距離為米，
經過天后，剩余的長度米，由，得，
兩邊同時取對數，得，
而，則，所以至少需要經過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內走的距離.
故答案為：31.
13．（2024·上海長寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關數據如下表：
甲 乙 丙
接單量t（單） 7831 8225 8338
油費s（元） 107150 110264 110376
平均每單里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油費a（元） 0.7 0.7 0.7
出租車空駛率；依據以上數據，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則 .（精確到0.01）
【解題思路】根據題意得到出租車空駛率的模型，檢驗甲、乙兩輛出租車的空駛率，滿足題意，從而利用該模型求得丙的空駛率，從而得解.
【解答過程】依題意，因為出租車行駛的總里程為，出租車有載客時行駛的里程為，
所以出租車空駛率，
對于甲，，滿足題意；
對于乙，，滿足題意；
所以上述模型滿足要求，
則丙的空駛率為，即.
故答案為：.
14．（2024·北京·模擬預測）農業技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產量統計如下：

根據上表所提供信息，第 5 號區域的總產量最大．
【解題思路】分別求出種植密度函數和單株產量函數的解析式，再求總產量的函數解析式，由此確定其最大值及取最大值的條件即可.
【解答過程】設區域代號為，種植密度為，單株產量為，則，
由圖象可得種植密度是區域代號的一次函數，
故設，，
由已知函數的圖象經過點,，
所以，解得，
所以，
由圖象可得單株產量是區域代號的一次函數，
故可設，，
觀察圖象可得當時，，當時，，
所以，解得，
所以，
所以總產量
當時，函數有最大值，即號區域總產量最大，最大值為.
故答案為：5.
四、解答題
15．（2024·貴州六盤水·模擬預測）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.水城春茶因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內外.經驗表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是，室溫是，則經過時間t（單位：分鐘）后物體的溫度（單位：）滿足，其中k為正常數.該研究小組在的室溫下，通過多次測量取平均值的方法，測得200mL初始溫度為的水的溫度降至相應溫度所需時間如下表所示：
從降至所需時間 3.4分鐘
從降至所需時間 5.0分鐘
(1)從上表中選取一組數據求出k的值（精確到0.01），并根據上述冷卻模型寫出冷卻時間t關于冷卻后水溫的函數解析式；
(2)在（1）的條件下，現用200mL水在的室溫下泡制水城春茶，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多少分鐘？（精確到0.1分鐘）
（參考數據：，，，）
【解題思路】（1）根據所選擇數據代入解析式，利用對數運算公式和參考數據可得；
（2）將代入（1）中解析式計算可得.
【解答過程】（1）由題可知，有，
若取第一組數據，則有，得，
此時解析式為；
若取第二組數據，則有，解得，
此時解析式為.
綜上，所求解析式為
（2）由（1）知，，
令，則，解得.
所以，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要分鐘.
16．（2023·上海楊浦·一模）企業經營一款節能環保產品，其成本由研發成本與生產成本兩部分構成．生產成本固定為每臺130元．根據市場調研，若該產品產量為x萬臺時，每萬臺產品的銷售收入為I（x）萬元．兩者滿足關系：
(1)甲企業獨家經營，其研發成本為60萬元．求甲企業能獲得利潤的最大值；
(2)乙企業見有利可圖，也經營該產品，其研發成本為40萬元．問：乙企業產量多少萬臺時獲得的利潤最大；（假定甲企業按照原先最大利潤生產，并未因乙的加入而改變）
(3)由于乙企業參與，甲企業將不能得到預期的最大收益、因此會作相應調整，之后乙企業也會隨之作出調整，最終雙方達到動態平衡（在對方當前產量不變的情況下，已方達到利潤最大）求動態平衡時，兩企業各自的產量和利潤分別是多少．
【解題思路】根據利潤等于銷售收入減去成本即可得到函數關系式，用二次函數求最值的方法即可得到.
【解答過程】（1）設利潤為
當時
所以，產量為45萬臺時，甲企業獲利最大為1965萬元．
（2）設乙企業產量為x萬臺，此時甲依舊按照45萬臺產量生產對于乙企業，每萬臺產品的銷售收入為
所以乙企業產量為22.5萬臺，獲得利潤最大．
（3）假設達到動態平衡時，甲企業產量a萬臺，乙企業產量b萬臺．
甲企業：
當時利潤最大
乙企業
當時利潤最大．
聯立，解得時達到動態平衡．
此時利潤分別為：甲企業840萬元，乙企業860萬元．
17．（2024·浙江金華·模擬預測）太陽能板供電是節約能源的體現，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件，太陽能板通過電池板將太陽能轉換為電能，再將電能儲存于蓄電池中．已知在一定條件下，入射光功率密度（E為入射光能量且為入射光入射有效面積），電池板轉換效率與入射光功率密度成反比，且比例系數為k．
(1)若平方米，求蓄電池電能儲存量Q與E的關系式；
(2)現有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量，鋰離子蓄電池的放電量．設，給定不同的Q，請分析并討論為了使得太陽能板供電效果更好，應該選擇哪種蓄電池？
注：①蓄電池電能儲存量；
②當S，k，Q一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好．
【解題思路】（1）利用題目所給公式及數據計算即可得；
（2）用S，k，Q表示出兩種蓄電池的放電量后作差比大小即可得.
【解答過程】（1），
若平方米，則；
（2）由，即，
鉛酸蓄電池的放電量為：，
鋰離子蓄電池的放電量為：，
則
，
令，可得，
即時，，此時應選擇鉛酸蓄電池，
當時，，此時應選擇鋰離子蓄電池，
當時，，兩種電池都可以.
18．（2023·上海嘉定·一模）李先生屬于一年工作天的上班族，計劃購置一輛新車用以通勤.大致推斷每天早八點從家出發，晚上六點回家，往返總距離為公里.考慮從兩款車型中選擇其一， 款車是燃油車，款車是電動車，售價均為萬元.現提供關于兩種車型的相關信息：
款車的油耗為升/百公里，油價為每升至元.車險費用元/年.購置稅為售價的.購車后，車價每年折舊率為.保養費用平均元/萬公里；
款車的電耗為度/百公里，電費為每度至元.車險費用元/年.國務院年出臺文件，宣布保持免除購置稅政策.電池使用壽命為年，更換費用為萬元.購車后，車價每年折舊率為.保養費用平均元/萬公里.
(1)除了上述了解到的情況，還有哪些因素可能需要考慮 寫出這些因素（至少個，不超過個）；
(2)為了簡化問題，請對相關因素做出合情假設，由此為李先生作出買車的決策，并說明理由.
【解題思路】（1）李先生要考慮生活中得各類費用以及車身本身的因素，列出幾條即可
（2）通過數據的分析，得出相關的結論對買款或買款車進行分析.
【解答過程】（1）李先生可能還需要考慮的因素有：
1、考慮非通勤時段的車輛使用情況；
2、油價和電價的變化；
3、工作單位能否提供免費充電；
4、電動車的國家減免政策的變化；
5、車輛的外觀、內飾與品牌效應.
6、車牌費用
（2）假設僅考慮通勤時的車輛費用，油價和電價保持相對穩定，
電動車的免購置稅政策保持不變.
計算時取價格區間的中位數即電價元/度、油價元/升.
車輛費用為車價、能源費用、稅費、車險費用、保養費用，并扣除車輛殘余價值.
使用年數 夠車費 里程數 油耗 油費 車險費用 購置稅 保養費 車輛殘值 總費用
1 300000 10000 600 5100 4000 30000 2000 264000 77100
2 300000 20000 1200 10200 8000 30000 4000 232320 119880
3 300000 30000 1800 15300 12000 30000 6000 204442 158858
4 300000 40000 2400 20400 16000 30000 8000 179909 194491
5 300000 50000 3000 25500 20000 30000 10000 158320 227180
6 300000 60000 3600 30600 24000 30000 12000 139321 257279
7 300000 70000 4200 35700 28000 30000 14000 122603 285097
8 300000 80000 4800 40800 32000 30000 16000 107890 310910
9 300000 90000 5400 45900 36000 30000 18000 94944 334956
10 300000 100000 6000 51000 40000 30000 20000 83550 357450
使用 年數 夠車 費 里程數 電耗 電費 車險 費用 購置稅 保養費 車輛 殘值 電池更換費 總費用
1 300000 10000 2000 1300 6000 0 1000 255000 0 53300
2 300000 20000 4000 2600 12000 0 2000 216750 0 99850
3 300000 30000 6000 3900 18000 0 3000 184238 0 140663
4 300000 40000 8000 5200 24000 0 4000 156602 0 176598
5 300000 50000 10000 6500 30000 0 5000 133112 0 208388
6 300000 60000 12000 7800 36000 0 6000 113145 100000 336655
7 300000 70000 14000 9100 42000 0 7000 96173 100000 361927
8 300000 80000 16000 10400 48000 0 8000 81747 100000 384653
9 300000 90000 18000 11700 54000 0 9000 69485 100000 405215
10 300000 100000 20000 13000 60000 0 10000 59062 100000 423938
寫出至年任意一年中的一組對比數據，
例如：
款車使用年的總費用為：
款車使用年的總費用為：
所以，如果李先生打算開年就按二手車賣掉，可以選款車.
再寫出至年任意一年中的一組對比數據，
結論：
使用年數不超過年，建議買款車；
使用年數超過年，建議買款車.
19．（2024·北京·二模）為響應國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業為抓住新能源汽車發展帶來的歷史性機遇，決定開發生產一款新能源電池設備.生產這款設備的年固定成本為200萬元，每生產臺需要另投入成本（萬元），當年產量不足45臺時，萬元，當年產量不少于45臺時，萬元.若每臺設備的售價與銷售量的關系式為萬元，經過市場分析，該企業生產新能源電池設備能全部售完.
(1)求年利潤（萬元）關于年產量（臺）的函數關系式；
(2)年產量為多少臺時，該企業在這一款新能源電池設備的生產中獲利最大？最大利潤是多少萬元？
【解題思路】（1）根據題目給出的函數解析式，利用收益減去成本，可得答案；
（2）根據二次函數的性質以及基本不等式，可求得最值，可得答案.
【解答過程】（1）當，時，
；
當，時，
；
綜上所述：
（2）當，時，，則當時，的最大值為650；
當，時，
（當且僅當，即時等號成立）；
∴當年產量為49臺時，該企業在這款新能源電池設備的生產中獲利潤最大，最大為701萬.
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