資源簡介

專題3.1 導數的概念及其意義、導數的運算【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 導數的定義及其應用】 2
【題型2 （復合）函數的運算】 3
【題型3 求曲線切線的斜率（傾斜角）】 5
【題型4 求在曲線上一點的切線方程、過一點的切線方程】 6
【題型5 與切線有關的參數問題】 8
【題型6 切線的條數問題】 9
【題型7 兩條切線平行、垂直問題】 11
【題型8 公切線問題】 14
【題型9 與切線有關的最值問題】 16
1、導數的概念及其意義、導數的運算
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數
(2)通過函數圖象，理解導數的幾何意義
(3)能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數的導數 2022年新課標I卷：第15題，5分 2023年全國甲卷（文數）：第8題，5分 2024年新課標I卷：第13題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第7題，5分 2024年全國甲卷（理數）：第6題，5分 導數是高考數學的必考內容，導數的概念及其意義、導數的運算是高考常考的熱點內容，從近三年的高考情況來看，主要涉及導數的運算及幾何意義，一般以選擇題、填空題的形式考察導數的幾何意義、求曲線的切線方程，導數的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查，試題難度屬中低檔.
【知識點1 導數的運算的方法技巧】
1.導數的運算的方法技巧
(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導.
(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.
(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
【知識點2 復合函數的導數】
1.復合函數的定義
一般地，對于兩個函數y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函
數y=f(u)和u=g(x)的復合函數，記作y=f(g(x)).
2.復合函數的求導法則
復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為 =，即y對x的導數等于y
對u的導數與u對x的導數的乘積.
3.求復合函數導數的步驟
第一步：分層：選擇中間變量，寫出構成它的內、外層函數；
第二步：分別求導：分別求各層函數對相應變量的導數；
第三步：相乘：把上述求導的結果相乘；
第四步：變量回代：把中間變量代回.
【知識點3 切線問題的解題策略】
1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：
(1)求出函數y=f(x)在x=x0處的導數，即曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率；
(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：
(1)設出切點坐標T(x0,f(x0))(不出現y0)；
(2)利用切點坐標寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)將已知條件代入②中的切線方程求解.
3.與切線有關的參數問題的解題策略：
(1)處理與切線有關的參數問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數：①切點處的導數是切線的斜率；
②切點在切線上，故滿足切線方程；
③切點在曲線上，故滿足曲線方程.
(2)利用導數的幾何意義求參數問題時，注意利用數形結合，化歸與轉化的思想方法.
4.公切線問題的解題思路
求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般
是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.
【題型1 導數的定義及其應用】
【例1】（2024·重慶·模擬預測）（ ）
A．72 B．12 C．8 D．4
【解題思路】令，根據導數的概念，可求解.
【解答過程】令，根據導數的概念，
，
，所以.
故選：B．
【變式1-1】（2024·江西宜春·模擬預測）已知函數在處的導數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導數的定義即可求出．
【解答過程】，
故選：A．
【變式1-2】（23-24高二下·江西贛州·期中）設存在導函數且滿足，則曲線上的點處的切線的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】由導數的定義及幾何意義即可求解.
【解答過程】解：因為存在導函數且滿足，
所以，即曲線上的點處的切線的斜率為，
故選：A.
【變式1-3】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）若定義在上的函數滿足，其導函數滿足，則與大小關系一定是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據導數的定義，結合題意得出，令，整理化簡即可得到正確答案.
【解答過程】∵且，
∴，即.
令，得：，
∴，所以.
故選：C.
【題型2 （復合）函數的運算】
【例2】（2024·山西晉中·模擬預測）已知函數，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】觀察，構造函數，利用導數的四則運算得到，代入即可得解.
【解答過程】設，
則，故，
所以
.
故選：C.
【變式2-1】（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數，設為的導函數，若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．2023
【解題思路】根據進行奇偶性和周期性的推導，得到是周期為4的偶函數，從而算出的值.
【解答過程】因為，所以兩邊求導，得，
即①
因為為定義在上的奇函數，則，
所以兩邊求導，得，所以是定義在上的偶函數，
所以，結合①式可得，，
所以，兩式相減得，，
所以是周期為4的偶函數，
所以.
由①式，令，得，所以.
故選：C.
【變式2-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設，，，，
則等于（ ）
A．0 B． C． D．
【解題思路】根據題意分析可知：可知，且，結合周期性分析求解.
【解答過程】由題意可得：，
可知，且，
且，所以.
故選：A.
【變式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函數的定義域均為為的導函數，且，，若為偶函數，則（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【解題思路】由題意分析可得，再推導得的奇偶性和周期性，利用特殊值求出，進而分析得到，計算可得答案.
【解答過程】由題意，可知，①，
令可得，，所以.
又因為為偶函數，所以，兩邊同時求導可得，②
令可得，，所以，
聯立①②可得，，化簡可得，所以是周期為2的函數，所以，，
又因為，所以，所以，
所以.
故選：A.
【題型3 求曲線切線的斜率（傾斜角）】
【例3】（2024·福建廈門·一模）已知直線與曲線在原點處相切，則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導數幾何意義求直線的斜率，進而確定傾斜角.
【解答過程】由，則，即直線的斜率為，
根據傾斜角與斜率關系及其范圍知：的傾斜角為.
故選：C.
【變式3-1】（2024·河北唐山·模擬預測）已知曲線在處的切線為，則的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．
【解題思路】由導數的幾何意義結合導數運算即可求解.
【解答過程】對求導得，，由題意曲線在處的切線的斜率為.
故選：A.
【變式3-2】（2024·新疆阿克蘇·一模）若直線與曲線相切，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據導數的幾何意義，求導數的取值范圍，即可求解.
【解答過程】，
由導數的幾何意義可知，.
故選：A.
【變式3-3】（2024·貴州·模擬預測）設點是函數圖象上的任意一點，點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出，令后可求，再根據導數的取值范圍可得的范圍，從而可得的取值范圍.
【解答過程】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故選：B.
【題型4 求在曲線上一點的切線方程、過一點的切線方程】
【例4】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則曲線在處的切線斜率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求導，令，求出，再結合導數的幾何意義即可求解.
【解答過程】依題意，，令，
故，解得，故，故．
故選：D．
【變式4-1】（2024·河南洛陽·模擬預測）曲線在處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用導數的幾何意義去求曲線在處的切線方程
【解答過程】，則，
當時，，，
所以切線方程為，即．
故選：D．
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）過原點可以作曲線的兩條切線，則這兩條切線方程為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【解題思路】由解析式得為偶函數，故過原點作的兩條切線一定關于y軸對稱，再由導數幾何意義求上的切線，結合偶函數對稱性寫出另一條切線.
【解答過程】由，得為偶函數，
故過原點作的兩條切線一定關于y軸對稱．
當時，，則，
設切點為，故，解得或（舍），
所以切線斜率為1，從而切線方程為．
由對稱性知：另一條切線方程為．
故選：A.
【變式4-3】（2024·北京東城·一模）過坐標原點作曲線的切線，則切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設切點坐標為，求得切線方程為，把原點代入方程，得到，解得，即可求得切線方程.
【解答過程】由函數，可得，
設切點坐標為，可得切線方程為，
把原點代入方程，可得，即，
解得，所以切線方程為，即.
故選：A.
【題型5 與切線有關的參數問題】
【例5】（2024·廣西貴港·三模）已知曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】求出函數的導函數，依題意可得，即可求出，再將切點代入切線方程，即可求出；
【解答過程】解：，，
∴，∴．將代入得，∴．
故選：C．
【變式5-1】（2024·河南鄭州·二模）已知曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
【解題思路】根據導數的幾何意義可知切線斜率為，可得，計算出切點代入切線方程即可得.
【解答過程】由題意可得，
根據導數的幾何意義可知，在點處的切線斜率為，解得；
所以切點為，代入切線方程可得，解得.
故選：C.
【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖象在點處的切線方桯為.則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】對函數求導，再求出處的切線方程，即可求得；
【解答過程】解：函數，則，函數的圖象在點處的切線方桯為，
所以，解得，則.
故選：C.
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知曲線在點處的切線也是曲線的一條切線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據導數的幾何意義可求得在點處的切線方程，設其與相切于點，由切線斜率可求得，利用兩點連線斜率公式構造方程求得.
【解答過程】，，，，
在點處的切線方程為：；
設與相切于點，則，解得：，
又，，解得：.
故選：C.
【題型6 切線的條數問題】
【例6】（2024·全國·模擬預測）若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意，由導數的幾何意義表示出切線方程，然后列出不等式代入計算，即可得到結果.
【解答過程】設切點為，由已知得，則切線斜率，
切線方程為．
∵直線過點，∴，
化簡得．∵切線有2條，
∴，則的取值范圍是，
故選：D.
【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則過點可作曲線的切線的條數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】設切點為，根據導數的幾何意義求得在切點處的切線方程，再將代入，求得的值，即可得解.
【解答過程】解：因為，所以，
設切點為，
所以在切點處的切線方程為，
又在切線上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以過點可作曲線的切線的條數為2.
故選：C．
【變式6-2】（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定結果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【解答過程】在曲線上任取一點，對函數求導得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當時，，當時，，作出函數的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數曲線的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）若過點與曲線相切的直線只有2條，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求得，求得切線方程,結合題意，轉化為方程有2個不等實根，根據二次函數的性質，即可求解.
【解答過程】設過點的直線與曲線相切于點，
由，可得，所以切線的斜率，
整理得，
因為切線有2條，所以切點有2個，即方程有2個不等實根，
則，解得或，
所以的取值范圍是．
故選：D．
【題型7 兩條切線平行、垂直問題】
【例7】（2024·四川遂寧·模擬預測）與曲線和都相切的直線與直線垂直，則=（ ）
A．-8 B．-3 C．4 D．6
【解題思路】由題可得切線斜率為2，分別設出切點，利用斜率求出切點即可得出.
【解答過程】因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為2，
設直線與相切于，
因為，所以，解得，故直線與相切于，
設直線與相切于，
因為，則，解得，則，
所以直線的方程為，即，
在直線上，則，解得.
故選：A.
【變式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函數與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設函數圖象上切點為，求出函數的導函數，根據求出切點坐標與切線方程，設函數的圖象上的切點為 ，根據，得到，再由，即可求出，從而得解；
【解答過程】解：設函數圖象上切點為，因為，所以，得， 所以，所以切線方程為，即，設函數的圖象上的切點為 ，因為，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．
故選：A.
【變式7-2】（2024·浙江杭州·模擬預測）函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求導，由導函數的幾何意義和直線垂直的條件可得方程一定有解，再由根的判別式和余弦函數的值域可得選項.
【解答過程】因為，所以，
因為函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線，所以不妨設在和處的切線互相垂直，
則，即①，
因為a的值一定存在，即方程①一定有解，所以，
即，解得或，
又，所以有或，，所以方程①變為，所以，
故選：B.
【變式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定義在上的函數的圖像關于直線對稱，且當時，，過點作曲線的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】當時，，可得函數在為增函數，結合函數的對稱性可得函數的最小值為,進而分析可得點作曲線的兩條切線的斜率，設右側的切點為，求出函數的導數，由導數的幾何意義可得，即，結合兩點間連線的斜率公式可得，即，聯立兩式求出的值，代入函數的解析式可得結果.
【解答過程】根據題意，分析可得當時，，
則函數在為增函數，
又由函數的圖象關于直線對稱，函數在為減函數，
所以函數的最小值為，
點作曲線的兩條切線，
則兩條切線的關于直線對稱，即兩條切線的斜率互為相反數，
若兩條切線互相垂直，切線的斜率，
設右側的切點為，
因為，所以導數，
則有，即，①
又由切線過點，可得，
即，解可得，②
聯立①②可得，
則函數的最小值為，
故選B.
【題型8 公切線問題】
【例8】（2024·福建·模擬預測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】設出切點，寫出切線方程，利用對應系數相等建立方程，解出即可.
【解答過程】設直線與曲線的切點為且，
與曲線的切點為且，
又，，
則直線與曲線的切線方程為，即，
直線與曲線的切線方程為，即，
則，解得，故，
故選：A.
【變式8-1】（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【解題思路】設直線的方程為，先根據直線和圓相切算出，在根據導數的幾何意義算.
【解答過程】依題意得，設直線的方程為，
由直線和圓相切可得，，解得，
當時，和相切，
設切點為，根據導數的幾何意義，，
又切點同時在直線和曲線上，即，解得，
即和相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，
和仍會保持相切狀態，即時，，
綜上所述，或.
故選：A.
【變式8-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）若曲線與曲線有且只有一個公共點，且在公共點處的切線相同，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
利用導數的幾何意義得出其公切線，計算即可.
【解答過程】易得,設公共點為,
則由題意可得,即
且
令,則上式可化為:
記，則恒成立，即在上單調遞增，而，故滿足的根只有，即.
故選：C.
【變式8-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數與的圖象關于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據與的圖象關于直線對稱，得到，設直線與函數的圖象的切點坐標為，與函數的圖象的切點坐標為，由斜率相等得到，然后再利用斜率和傾斜角的關系求解.
【解答過程】解：因為函數與的圖象關于直線對稱，
所以與互為反函數，所以，
則．由，得，
設直線與函數的圖象的切點坐標為，
與函數的圖象的切點坐標為，
則直線的斜率，故，
顯然，故，
所以直線的傾斜角為，
故選：B．
【題型9 與切線有關的最值問題】
【例9】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數，若使得的圖象在點處的切線與軸平行，則的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解題思路】先利用三角恒等變換公式化簡函數，根據題意得函數在上存在對稱軸，利用整體代換列不等式，解不等式即可求出最值.
【解答過程】 ，
因為使得的圖象在點處的切線與軸平行，
所以函數在上存在最值，即函數在上存在對稱軸，
令，得，
因為，所以，
即，則，
又，故時，取最小值為.
故選：D.
【變式9-1】（23-24高三上·安徽·階段練習）已知函數與存在公切線，則實數a的最小值（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分別求出函數與的導數，設出切點寫出切線方程，利用對應系數相等列出方程，構造函數，利用導數判斷出單調性求出最值，可得實數a的最小值．
【解答過程】，
設和的切點分別為，則和切線方程分別為，
即與存在公切線，則方程有解，即，
在上遞減，在遞增，在處取到最小值，∴的最小值為，即a的最小值為．
故選：B．
【變式9-2】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，設曲線在處的切線為，則與兩條坐標軸所圍成的圖形面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導數求出直線的方程，求出直線與兩坐標軸的交點，利用基本不等式可求得與兩條坐標軸所圍成的圖形面積的最小值.
【解答過程】對求導，得，當時，，，
所以曲線在處的切線的方程為．
在直線的方程中，令，可得；令，可得.
故與兩條坐標軸的交點分別為、，
所以與兩坐標軸所圍成的圖形為，
其面積，
當且僅當時，即當時取等號，
所以，與兩條坐標軸所圍成的圖形面積的最小值為.
故選：C．
【變式9-3】（2024·浙江·模擬預測）已知直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【解題思路】設切點為，曲線求導得到切線斜率，利用斜率相等求得切點坐標，代入直線方程后得，構造新的函數，應用導數求函數的最值即可.
【解答過程】由，知定義域為，
設切點為，，，
所以，故切點為，代入直線方程，
則，
，
令，，
令，解得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
則，
故的最小值為1.
故選：B.
一、單選題
1．（2024·湖北襄陽·二模）已知函數，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【解題思路】由題意，根據求導公式和運算法則可得，結合導數的定義即可求解.
【解答過程】由題意知，，則.
所以.
故選：B.
2．（23-24高二下·山東·階段練習）若，則（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【解題思路】根據導數的定義以及給出的極限值可得答案.
【解答過程】
，
所以.
故選：B.
3．（2024·福建漳州·三模）已知函數是函數的導函數，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】計算的導數，得到，代值即可.
【解答過程】因為，
所以，
即，
所以，
所以.
故選：D.
4．（2024·上海閔行·二模）某環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改、設企業的污水排放量與時間t的關系為，用 的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.則下列正確的命題是（ ）

A．在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；
B．在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；
C．在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都不達標；
D．甲企業在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強
【解題思路】根據題目中的數學模型建立關系，比較甲乙企業的污水治理能力.
【解答過程】設甲企業的污水排放量與時間t的關系為，乙企業的污水排放量與時間t的關系為.
對于A選項，在這段時間內，甲企業的污水治理能力，
乙企業的污水治理能力.由圖可知，，
所以,即甲企業的污水治理能力比乙企業強，故A選項錯誤；
對于B選項，由圖可知， 在時刻的切線斜率小于在時刻的切線斜率，
但兩切線斜率均為負值，故在時刻甲企業的污水治理能力比乙企業強，故B選項錯誤；
對于C選項，在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都小于污水達標排放量，
故甲、乙兩企業的污水排放都達標，故C選項錯誤；
對于D選項，由圖可知，甲企業在，，這三段時間中，
在時的差值最大，所以在時的污水治理能力最強，故D選項正確，
故選：D.
5．（2024·河南·模擬預測）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用導數的幾何意義，求切點和斜率，即可求切線方程.
【解答過程】，故切點為，，，即切線的斜率為1，
所以切線方程為，即.
故選：D.
6．（2024·山西·模擬預測）已知函數若對任意，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】求得，根據題意轉化為為偶函數，即可求解.
【解答過程】由函數，
可得，
因為曲線在點和處的切線互相平行或重合，
可得為偶函數，所以，解得.
故選：C.
7．（2024·全國·模擬預測）若過點可作函數圖象的兩條切線，則必有（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設切點為，，求導，根據導數的幾何意義可得有兩個正根，利用判別式及根與系數關系列不等式可得解.
【解答過程】設切點為，，
又，所以切線斜率，
所以切線方程為，
又切線過點，
則，，
即，
由過點可作兩條切線，
所以有兩個正根，
即，整理可得，
故選：C.
8．（2024·遼寧遼陽·二模）若對函數的圖象上任意一點處的切線，函數的圖象上總存在一點處的切線，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求導得到范圍A，再分，，三種情況討論得范圍B，最后根據條件得A與B包含關系，計算得到答案.
【解答過程】由，得，所以，
由，得，設該導函數值域為B，
(1)當時，導函數單調遞增，，
由題意得
故，解得；
(2)當時，導函數單調遞減，，同理可得，與矛盾，舍去；
（3）當時，不符合題意.
綜上所述：的取值范圍為.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·湖南·二模）下列函數的圖象與直線相切的有（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】假設選項中的曲線與直線相切，利用導數的幾何意義求出對應斜率是否為1，求得切點進行逐一判斷即可得出結論.
【解答過程】選項A中，若與相切，設切點為，
易知，則，解得，即切點為，切線為，A正確；
選項B中，若與相切，設切點為，
易知，則，解得，切點為，切線方程為，即B錯誤；
選項C中，若與相切，設切點為，
易知，則，解得，
當時，切點為，切線方程為，C正確；
選項D中，易知與有三個交點，，
又，顯然在三個交點處的斜率均不是1，所以不是切線，D錯誤.
故選：AC.
10．（2024·山東泰安·模擬預測）已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由為偶函數，得，兩邊求導化簡后可得 為奇函數，然后逐個賦值分析判斷即可.
【解答過程】對于，∵為偶函數，則
兩邊求導得: , ∴ ， 為奇函數，,
令，則，，所以不正確
對于，令，可得，則, 所以正確;
對于，，
可得，，兩式相加的
令，即可得，所以正確;
對于，∵，則，
又，可得，所以是以為周期的函數，
所以，所以正確.
故選：.
11．（2024·江蘇南通·模擬預測）過平面內一點P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點為、、不重合，設直線、分別與y軸交于點A、B，則（ ）
A．、兩點的縱坐標之積為定值 B．直線的斜率為定值
C．線段AB的長度為定值 D．面積的取值范圍為
【解題思路】根據切線方程的定義，利用分類討論的思想，可得整理切線方程，根據直線垂直可得切點橫坐標的乘積，進而可得縱坐標的乘積，利用直線斜率公式，等量代換整理，可得其值，利用切線方程，求得的坐標，可得答案.
【解答過程】由函數，則，
設，，
當，時，由題意可得，，化簡可得，符合題意；
當時，由題意可得，，化簡可得，顯然不成立；
當時，由題意可得，，化簡可得，顯然不成立；
對于A，，故A錯誤；
對于B，直線的斜率，故B正確；
對于C，易知直線，直線，
令，則，即，同理可得，
，故C正確；
對于D，聯立，整理可得，解得，
令，其中，則，
所以，函數在上單調遞增，則當時，，
所以，，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
12．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知函數，若，則 .
【解題思路】求出導函數，利用列式求解即可.
【解答過程】由得，因為，所以.
故答案為：.
13．（2024·云南楚雄·模擬預測）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為
.
【解題思路】先求出切線方程，后求圍成的三角形面積即可.
【解答過程】易知的定義域為，而，故切點為，
設切線斜率為，且，故，
切線方程為，化簡得，
當時，，當時，，
易知圍成的圖形是三角形，設面積為，故.
故答案為：.
14．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數的圖象與函數（且）的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標為 .
【解題思路】設公共點為 ，即可得到，再由導數的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點坐標，從而求出，再求出切線方程.
【解答過程】設公共點為 ，則，即，
所以，所以，
由，，所以，，
又在公共點處有相同的切線，所以，即，
所以，則，所以，
所以公共點坐標為.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二下·北京延慶·期末）求下列函數的導函數.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解題思路】（1）利用求導法則求導即得；
（2）利用分式函數的求導法則求導即得；
（3）利用分式函數的求導法則求導即得；
（4）利用復合函數的求導法則求導即得.
【解答過程】（1）；
（2）；
（3） ；
（4） .
16．（23-24高二·全國·隨堂練習）（1）已知，用割線逼近切線的方法求；
（2）已知，用割線逼近切線的方法求．
【解題思路】根據題意結合導數的定義運算求解.
【解答過程】（1）因為，
則，
所以；
（2）因為，
則，
所以.
17．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數．
(1)當時，若直線與曲線相切，求；
(2)若直線與曲線恰有兩個公共點，求．
【解題思路】（1）此類問題，通過設切點坐標，求導數，利用切點處的導數等于切線斜率，以及切點在切線上也在曲線上，解聯立方程組即可；
（2）由已知問題等價于方程，即方程有兩個不等實根，顯然是方程的一個根，所以當時，方程可化為（*），它還有不等于的唯一根，根據一元二次方程的根的性質即可解決問題．
【解答過程】（1）當時，，，
因為直線與曲線相切，
設切點為，則切線斜率，
可得，解得或，
所以或．
（2）因為直線與曲線恰有兩個公共點，
所以方程，
即方程有兩個不等實根，
因為是方程的一個根；
當時，方程可化為（*），
依題意，方程（*）有不等于的唯一根，
因為，若，則（*）即，，滿足條件；
若，則由，解得：．
綜上所述，或．
18．（2024·湖南郴州·三模）已知函數.
(1)若在區間上恒成立，求實數的取值范圍；
(2)若函數和有公切線，求實數的取值范圍.
【解題思路】（1）設，用導數法解即可；
（2）設函數在點處與函數在點處有相同的切線，
由，化簡得到，然后將問題轉化為關于的方程有解求解.
【解答過程】（1）由題意，當時，設，
則，
，
令，得（舍負）
在上單調遞減，在上單調遞增，
.
根據題意的取值范圍為.
（2）設函數在點處與函數在點處有相同的切線，
則，
，代入
得.
問題轉化為：關于的方程有解，
設，則函數有零點，
，當時，
.
問題轉化為：的最小值小于或等于0.
，
設，則
當時，，當時，.
在上單調遞減，在上單調遞增，
的最小值為.
由知，
故.
設，
則，
故在上單調遞增，
當時，，
的最小值等價于.
又函數在上單調遞增，
.
19．（23-24高二下·江西·期中）已知函數，.
(1)當時，求曲線在處的切線方程.
(2)若，是否存在直線與曲線和都相切？若存在，求出直線的方程（若直線的方程含參數，則用表示）；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）根據導數的幾何意義，先求導數得到切線的斜率，利用點斜式可得方程；
（2）先求兩個函數的導數，利用公切線建立等量關系，求解方程可得答案.
【解答過程】（1）當時，，，.
曲線在處的切線方程為，即.
（2）設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，，.
曲線在點A處的切線為，
與曲線相切于點，
則且（*），
由，則，
代入（*）得，
解得或.
當時，直線.當時，，直線.
故存在直線與曲線和都相切，直線的方程為或.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題3.1 導數的概念及其意義、導數的運算【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 導數的定義及其應用】 2
【題型2 （復合）函數的運算】 3
【題型3 求曲線切線的斜率（傾斜角）】 3
【題型4 求在曲線上一點的切線方程、過一點的切線方程】 4
【題型5 與切線有關的參數問題】 4
【題型6 切線的條數問題】 5
【題型7 兩條切線平行、垂直問題】 5
【題型8 公切線問題】 6
【題型9 與切線有關的最值問題】 6
1、導數的概念及其意義、導數的運算
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數
(2)通過函數圖象，理解導數的幾何意義
(3)能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數的導數 2022年新課標I卷：第15題，5分 2023年全國甲卷（文數）：第8題，5分 2024年新課標I卷：第13題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第7題，5分 2024年全國甲卷（理數）：第6題，5分 導數是高考數學的必考內容，導數的概念及其意義、導數的運算是高考常考的熱點內容，從近三年的高考情況來看，主要涉及導數的運算及幾何意義，一般以選擇題、填空題的形式考察導數的幾何意義、求曲線的切線方程，導數的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查，試題難度屬中低檔.
【知識點1 導數的運算的方法技巧】
1.導數的運算的方法技巧
(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導.
(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.
(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
【知識點2 復合函數的導數】
1.復合函數的定義
一般地，對于兩個函數y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函
數y=f(u)和u=g(x)的復合函數，記作y=f(g(x)).
2.復合函數的求導法則
復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為 =，即y對x的導數等于y
對u的導數與u對x的導數的乘積.
3.求復合函數導數的步驟
第一步：分層：選擇中間變量，寫出構成它的內、外層函數；
第二步：分別求導：分別求各層函數對相應變量的導數；
第三步：相乘：把上述求導的結果相乘；
第四步：變量回代：把中間變量代回.
【知識點3 切線問題的解題策略】
1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：
(1)求出函數y=f(x)在x=x0處的導數，即曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率；
(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：
(1)設出切點坐標T(x0,f(x0))(不出現y0)；
(2)利用切點坐標寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)將已知條件代入②中的切線方程求解.
3.與切線有關的參數問題的解題策略：
(1)處理與切線有關的參數問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數：①切點處的導數是切線的斜率；
②切點在切線上，故滿足切線方程；
③切點在曲線上，故滿足曲線方程.
(2)利用導數的幾何意義求參數問題時，注意利用數形結合，化歸與轉化的思想方法.
4.公切線問題的解題思路
求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般
是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.
【題型1 導數的定義及其應用】
【例1】（2024·重慶·模擬預測）（ ）
A．72 B．12 C．8 D．4
【變式1-1】（2024·江西宜春·模擬預測）已知函數在處的導數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（23-24高二下·江西贛州·期中）設存在導函數且滿足，則曲線上的點處的切線的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式1-3】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）若定義在上的函數滿足，其導函數滿足，則與大小關系一定是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 （復合）函數的運算】
【例2】（2024·山西晉中·模擬預測）已知函數，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數，設為的導函數，若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．2023
【變式2-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設，，，，
則等于（ ）
A．0 B． C． D．
【變式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函數的定義域均為為的導函數，且，，若為偶函數，則（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【題型3 求曲線切線的斜率（傾斜角）】
【例3】（2024·福建廈門·一模）已知直線與曲線在原點處相切，則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·河北唐山·模擬預測）已知曲線在處的切線為，則的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式3-2】（2024·新疆阿克蘇·一模）若直線與曲線相切，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·貴州·模擬預測）設點是函數圖象上的任意一點，點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 求在曲線上一點的切線方程、過一點的切線方程】
【例4】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則曲線在處的切線斜率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·河南洛陽·模擬預測）曲線在處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）過原點可以作曲線的兩條切線，則這兩條切線方程為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式4-3】（2024·北京東城·一模）過坐標原點作曲線的切線，則切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 與切線有關的參數問題】
【例5】（2024·廣西貴港·三模）已知曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式5-1】（2024·河南鄭州·二模）已知曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖象在點處的切線方桯為.則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知曲線在點處的切線也是曲線的一條切線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 切線的條數問題】
【例6】（2024·全國·模擬預測）若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則過點可作曲線的切線的條數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式6-2】（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）若過點與曲線相切的直線只有2條，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型7 兩條切線平行、垂直問題】
【例7】（2024·四川遂寧·模擬預測）與曲線和都相切的直線與直線垂直，則=（ ）
A．-8 B．-3 C．4 D．6
【變式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函數與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·浙江杭州·模擬預測）函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定義在上的函數的圖像關于直線對稱，且當時，，過點作曲線的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型8 公切線問題】
【例8】（2024·福建·模擬預測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【變式8-1】（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【變式8-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）若曲線與曲線有且只有一個公共點，且在公共點處的切線相同，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數與的圖象關于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【題型9 與切線有關的最值問題】
【例9】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數，若使得的圖象在點處的切線與軸平行，則的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【變式9-1】（23-24高三上·安徽·階段練習）已知函數與存在公切線，則實數a的最小值（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，設曲線在處的切線為，則與兩條坐標軸所圍成的圖形面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2024·浙江·模擬預測）已知直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
一、單選題
1．（2024·湖北襄陽·二模）已知函數，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（23-24高二下·山東·階段練習）若，則（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．（2024·福建漳州·三模）已知函數是函數的導函數，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·上海閔行·二模）某環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改、設企業的污水排放量與時間t的關系為，用 的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.則下列正確的命題是（ ）

A．在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；
B．在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；
C．在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都不達標；
D．甲企業在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強
5．（2024·河南·模擬預測）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·山西·模擬預測）已知函數若對任意，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2024·全國·模擬預測）若過點可作函數圖象的兩條切線，則必有（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·遼寧遼陽·二模）若對函數的圖象上任意一點處的切線，函數的圖象上總存在一點處的切線，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2024·湖南·二模）下列函數的圖象與直線相切的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·山東泰安·模擬預測）已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江蘇南通·模擬預測）過平面內一點P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點為、、不重合，設直線、分別與y軸交于點A、B，則（ ）
A．、兩點的縱坐標之積為定值 B．直線的斜率為定值
C．線段AB的長度為定值 D．面積的取值范圍為
三、填空題
12．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知函數，若，則 .
13．（2024·云南楚雄·模擬預測）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為
.
14．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數的圖象與函數（且）的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標為 .
四、解答題
15．（23-24高二下·北京延慶·期末）求下列函數的導函數.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
16．（23-24高二·全國·隨堂練習）（1）已知，用割線逼近切線的方法求；
（2）已知，用割線逼近切線的方法求．
17．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數．
(1)當時，若直線與曲線相切，求；
(2)若直線與曲線恰有兩個公共點，求．
18．（2024·湖南郴州·三模）已知函數.
(1)若在區間上恒成立，求實數的取值范圍；
(2)若函數和有公切線，求實數的取值范圍.
19．（23-24高二下·江西·期中）已知函數，.
(1)當時，求曲線在處的切線方程.
(2)若，是否存在直線與曲線和都相切？若存在，求出直線的方程（若直線的方程含參數，則用表示）；若不存在，請說明理由.
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