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專題3.3 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值】 2
【題型2 求已知函數(shù)的極值】 5
【題型3 根據(jù)極值（點）求參數(shù)】 8
【題型4 求不含參函數(shù)的最值】 11
【題型5 求含參函數(shù)的最值】 13
【題型6 已知函數(shù)最值求參數(shù)】 17
【題型7 函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】 19
1、導數(shù)與函數(shù)的極值、最值
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件
(2)會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值 (3)掌握利用導數(shù)研究函數(shù)最值的方法 (4)會用導數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題 2022年新課標I卷：第10題，5分 2023年新課標I卷：第11題，5分 2023年新課標Ⅱ卷：第11題，5分 2024年新課標I卷：第10題，6分 2024年新課標Ⅱ卷：第11題，6分、第16題，15分 導數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，高考對最值、極值的考查相對穩(wěn)定，是高考常考的熱點內(nèi)容，從近三年的高考情況來看，高考中常涉及的問題有利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等；與不等式、方程的根(或函數(shù)的零點)等內(nèi)容結(jié)合考查，此類問題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，此類問題在選擇、填空、解答題中都有考查，而在解答題中進行考查時試題難度較大，復習時需要加強練習.
【知識點1 函數(shù)的極值問題的求解思路】
1．運用導數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求導數(shù)f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；
(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號；
(5)求出極值.
2．根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：
(1)已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列
方程組，利用待定系數(shù)法求解.
(2)導數(shù)值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗.
【知識點2 函數(shù)的最值問題的解題策略】
1．利用導數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：
(1)利用導數(shù)求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的一般步驟：
①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；
②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；
③將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：
求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和
極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.
2．求含有參數(shù)的函數(shù)的最值的解題策略：
求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.
【方法技巧與總結(jié)】
1．求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值
就是最值.
2．函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.
【題型1 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值】
【例1】（2024·云南楚雄·一模）若，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】對比選項可知，由題意，（）是函數(shù)的零點，（）都是函數(shù)的極值點，由此可以排除A，C；進一步對和0的大小關(guān)系分類討論，得出函數(shù)在處附件的增減變換情況即可.
【解答過程】對比各個選項可知，
由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)可得，（）是函數(shù)的零點，
令，
可知（）且，都是函數(shù)的極值點，由此可以排除A，C；
若，則函數(shù)的圖象形狀為增減增，
具體為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，可知B符合；
若，則函數(shù)的圖象形狀為減增減，
具體為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知D不符合．
故選：B.
【變式1-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù)，給出下列4個圖象：
其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】對的情況進行分類討論，借助于導數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進行分析即可判斷函數(shù)的大致圖象.
【解答過程】由題意知，定義域為，
當時，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)單調(diào)遞增，可對應(yīng)①；
當時，，令可得：，所以當時，，當時，，所以，函數(shù)先減后增，且當時，，此時可對應(yīng)②；
當時，，當時，當時，，當時，，所以，函數(shù)先增后減，
當時，，且此時，所以可對應(yīng)③，
當時，，此時，所以可對應(yīng)④.
故選：D.
【變式1-2】（23-24高二下·四川廣元·階段練習）如圖是的導函數(shù)的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．當時，取得極大值 B．在上是增函數(shù)
C．當時，取得極大值 D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
【解題思路】由導函數(shù)的圖象，確定導函數(shù)的正負，由此得到函數(shù)的單調(diào)性，由極值的定義判斷函數(shù)的極值，由此判斷四個選項即可.
【解答過程】根據(jù)導函數(shù)的圖象可知，
當時，，當時，，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以當時，取得極小值，當時，取得極大值，當時，取得極小值，
故ABC錯誤，D正確.
故選：D.
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖，則m，n的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解題思路】由圖及解析式易得，將各項參數(shù)代入，利用導數(shù)研究的極值點，結(jié)合圖中極值點判斷正誤.
【解答過程】由題圖知，當時，所以．
當，時，，
則，
所以上，遞減，上，遞增，
所以的極小值點為，A不符合；
當，時，，
則，
所以上，遞增，上，遞減，
所以的極小值點為，B不符合；
當，時，，
則，
所以上，遞減，上，遞增，
所以的極小值點為，C符合；
當，時，的圖象關(guān)于直線對稱，D不符合．
故選：C.
【題型2 求已知函數(shù)的極值】
【例2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）函數(shù)的極小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用二次導數(shù)研究的單調(diào)性，并通過觀察得其零點，進而判斷的單調(diào)性，然后可得極小值.
【解答過程】，
記，則，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以，當時，，
因為，且當時，，
所以，當時，，即，在上單調(diào)遞減；
當時，，即，在上單調(diào)遞增.
所以，當時，取得極小值.
故選：B.
【變式2-1】（2024·寧夏銀川·一模）若函數(shù)在處取得極大值，則的極小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意求出的值，進而求出，再解出極小值即可.
【解答過程】因為函數(shù)在處取得極大值，
則，且，
即，所以；
所以，，
令，則或，
由，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以函數(shù)在處取得極大值，.
故選：C.
【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導函數(shù)，，則（ ）
A．的極大值為，無極小值
B．的極小值為，無極大值
C．的極大值為，無極小值
D．的極小值為，無極大值
【解題思路】本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的極值，考查考生的運算求解能力，可按下列順序求解：
的單調(diào)性的極值情況
【解答過程】的定義域為，，
所以 ，
求導得，令，得，
當時，；當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，取得極大值，無極小值．
故選：C．
【變式2-3】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且，則（ ）
A．有一個極小值點，一個極大值點 B．有兩個極小值點，一個極大值點
C．最多有一個極小值點，無極大值點 D．最多有一個極大值點，無極小值點
【解題思路】設(shè)，求導后，構(gòu)造，求導，得到其單調(diào)性和極值情況，結(jié)合極小值為0，故當時，至多有1個變號零點，且在上無變號零點；分在區(qū)間上沒有變號零點和1個變號零點兩種情況，得到極值情況.
【解答過程】令，則，
故．
令，
所以，
當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
所以的極小值為，
的極大值為，
所以當時，至多有1個變號零點，且在上無變號零點；
當在區(qū)間上沒有變號零點時，
則，，單調(diào)遞增，無極值點，
當在區(qū)間上有1個變號零點時，
可設(shè)為，則當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以有且只有一個極小值點，無極大值點．
綜上，最多有一個極小值點，無極大值點．
故選：C.
【題型3 根據(jù)極值（點）求參數(shù)】
【例3】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求導數(shù)確定單調(diào)性，討論x的取值范圍可得結(jié)果.
【解答過程】由題意得，，故，
因為函數(shù)在上無極值，
所以在R上恒成立，
當時，，
設(shè)，則，
當時，得，當時，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而，故，
當時，，則.
綜上，.
故選：D.
【變式3-1】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處有極值，則等于（ ）
A． B．16 C．或16 D．16或18
【解題思路】求導，即可由且求解，進而代入驗證是否滿足極值點即可.
【解答過程】，
若函數(shù)在處有極值8，
則 且，即 ，
解得：或 ，
當時，，此時不是極值點，故舍去，
當時，，
當或時，，當，故是極值點，
故符合題意，
故，
故，
故選：A.
【變式3-2】（2024·河北秦皇島·三模）已知0是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分類討論、與三種情況，結(jié)合導數(shù)與極值點的定義即可得解.
【解答過程】因為，所以，
令，可得或，
當，即時，
令，得或；令，得；
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)的極大值點，滿足題意；
當，即時，恒成立，
則在上單調(diào)遞增，沒有極值點，不滿足題意；
當，即時，
令，得或；令，得；
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)的極小值點，不滿足題意；
綜上，，即的取值范圍為.
故選：A.
【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上恰有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】函數(shù)在上恰有兩個極值點，在上有兩個變號零點，分離常數(shù)得，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有兩個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解；或直接求函數(shù)的單調(diào)性，求圖象在上與軸有兩個交點的條件.
【解答過程】解法一： 由題意可得，因為函數(shù)在上恰有兩個極值點，所以在上有兩個變號零點．
令，可得，令，
則直線與函數(shù)，的圖象有兩個不同的交點，
，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
又，當x趨近于0時，趨近于+∞，當x趨近于π時，趨近于+∞，
所以可作出的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，
即實數(shù)a的取值范圍是，
故選：D．
解法二 由題意可得．因為函數(shù)在上恰有兩個極值點，所以在上有兩個變號零點．
當時，在上恒成立，不符合題意．
當時，令，則，
當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，
因為，，所以，則，即實數(shù)a的取值范圍是，
故選：D．
【題型4 求不含參函數(shù)的最值】
【例4】（2024·陜西西安·二模）函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求導，判斷導數(shù)正負得函數(shù)在上的單調(diào)性求得結(jié)果.
【解答過程】，，
令，解得，即在上單調(diào)遞增，
令，解得，所以在和上單調(diào)遞減，
又，，，，
所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.
故選：D.
【變式4-1】（2024·寧夏固原·一模）函數(shù)在區(qū)間上的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.
【解答過程】，
所以在區(qū)間上，即單調(diào)遞增；
在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，
又，，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
故選：A.
【變式4-2】（2024·甘肅蘭州·二模）若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)m的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】對所給不等式適當變形，利用同構(gòu)思想得出對于任意恒成立，進一步構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)分析最值即可求出結(jié)果.
【解答過程】由題意可得，
恒成立等價于恒成立，
令，
則恒成立，
所以在定義域內(nèi)嚴格單調(diào)遞增，
所以若有成立，則必有恒成立，
即對于任意恒成立，
令，
則，
令，
所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
所以，
從而，所以的取值范圍為，即實數(shù)m的最大值為，
故選：B.
【變式4-3】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．-1
【解題思路】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對于使得取得最小值時，直線和函數(shù)的圖象相切，求得上的一點的切線方程為，得到，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.
【解答過程】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
對于使得取得最小值時，直線和函數(shù)的圖象相切，
又由，可得，則，
可得在點的切線為，即，
令，所以，
令，所以，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
所以的最小值為.
故選：C.
【題型5 求含參函數(shù)的最值】
【例5】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）.
(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；
(2)當時，求證：.
【解題思路】（1）求導（）（），分，討論求解；
（2）方法一：隱零點法，由，，轉(zhuǎn)化為證明，令，（），由成立即可；方法二：（同構(gòu)）由，，轉(zhuǎn)化為，進而變形為，再構(gòu)造函數(shù)（），證即可.
【解答過程】（1）解：（）（），
令，則，
當時，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，.
當時，，則當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
而，.所以
綜上所述，當時，，；
當時，所以，.
（2）方法一：隱零點法
因為，，所以，欲證，只需證明，
設(shè)，（），，
令，易知在上單調(diào)遞增，
而，，
所以由零點的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
當時，，，在上單調(diào)遞減；
當時，，，在上單調(diào)遞增；
所以
所以，因此.
方法二：（同構(gòu)）
因為，，所以，欲證，只需證明，
只需證明，
因此構(gòu)造函數(shù)（），
，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增：
所以，所以，
所以，
因此.
【變式5-1】（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值.
【解題思路】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再解關(guān)于導函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，再分、、、四種情況討論，得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
【解答過程】（1）當時，，
則，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
函數(shù)的極大值為，沒有極小值.
（2）由題意得.
若，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時的最大值為；
若，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
此時的最大值為；
若，則，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
此時的最大值為；
若，則，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時的最大值為.
綜上可得，.
【變式5-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最值；
(2)若，設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，該曲線在點處的切線方程為，求證：
【解題思路】（1）利用函數(shù)求導，討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得到其最值.
（2）利用，求出曲線在點處的切線方程，然后進行聯(lián)立證明即可.
【解答過程】（1）因為函數(shù)，定義域為.
所以，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，此時，函數(shù)無最值.
當時，，，
則，在單調(diào)遞增；
，在單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得最大值，最大值為，無最小值.
（2）因為，所以函數(shù)，則
曲線與軸正半軸的交點為，
則切線斜率為，
切線方程為：.
則，
令
，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
的最大值為，
所以，
即.
【變式5-3】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)討論在上的最大值；
(3)是否存在實數(shù)a，使得對任意，都有？若存在，求a可取的值組成的集合；若不存在，說明理由．
【解題思路】
（1）求得，，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程即可；
（2）先討論的單調(diào)性，找到極值點，再根據(jù)，，的大小關(guān)系，求函數(shù)最值即可；
（3）根據(jù)（2）中所求函數(shù)單調(diào)性和最值，結(jié)合題意可知，只需，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性和最值，即可求得的取值.
【解答過程】（1）當時，，，又 ， ，
故曲線在處的切線方程為，也即.
（2）， ，顯然 在上為單調(diào)減函數(shù)；
令 ，即，解得，
故當， ，單調(diào)遞增；
當， ，單調(diào)遞減；
若，即時，在上單調(diào)遞增，又，
故當時，在上的最大值為；
若，即時，在上單調(diào)遞減，又，
故當時，在上的最大值為；
若，即時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
故當時，在上的最大值為；
綜上所述，當時，在上的最大值為.
當時，在上的最大值為；
當時，在上的最大值為.
（3）由（2）可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，
故在上的最大值為；
若存在實數(shù)，對任意，都有，則，顯然；
又當時，，也即，；
令，則 ，
則當， ，單調(diào)遞增，
當， ，單調(diào)遞減，
故的最大值為，則，當且僅當時取得等號；
故若存在實數(shù)，滿足題意，則只有當時，滿足；
也即當時，對任意，都有.
綜上所述，a可取的值組成的集合為.
【題型6 已知函數(shù)最值求參數(shù)】
【例6】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，則實數(shù)a的值為（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【解題思路】先利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值計算即可.
【解答過程】由題意可知：，
所以當時，則在上單調(diào)遞增，
所以.
故選：D.
【變式6-1】（2023·四川宜賓·三模）若函數(shù)的最小值是，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導數(shù)求出函數(shù)在上的極小值，然后對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍.
【解答過程】當時，，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)的極小值為，
因為函數(shù)的最小值為，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時，函數(shù)在上無最小值，不合乎題意；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時，函數(shù)在上的極小值為，且，則，
綜上所述，.
故選：A.
【變式6-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）已知（為常數(shù)）在上有最大值3，則函數(shù)在上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】對函數(shù)進行求導，判斷其單調(diào)性和最值，根據(jù)最大值為求出，進而根據(jù)單調(diào)性可得其最小值.
【解答過程】由得，
故當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故當時，取得最大值，即，此時，
當，，當時，
故最小值為，
故選：C.
【變式6-3】（2024·甘肅金昌·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)導數(shù)性質(zhì)求出的取值范圍，在由在區(qū)間上既有最大值又有最小值求出的取值范圍，然后求交集即可.
【解答過程】1.因為，則，
若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
即恒成立，則，解得；
2.因為，則，
①當時，對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
此時只有最大值，沒有最小值不滿足題意；
②當時，對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
此時只有最小值，沒有最大值不滿足題意；
③當時，令，解得；令，解得；
則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以為最小值，
若在上既有最大值，又有最小值，
則且，解得：；
綜上所述：．
故選：B.
【題型7 函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】
【例7】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的導函數(shù)為．
(1)當時，求的最小值；
(2)若存在兩個極值點，求a的取值范圍．
【解題思路】（1）求導判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解，
（2）求導，分類討論導函數(shù)的正負，結(jié)合零點存在性定理即可求解.
【解答過程】（1）當時，，，，
令函數(shù)，，則有，
當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)，
所以，即的最小值為2；
（2）因為，有，
令，有，
①當時，因為，所以，即在上為增函數(shù)，
所以至多存在一個，使得，故不存在兩個極值點，
②當時，解，得，
故當時，，為減函數(shù)，當時，，
為增函數(shù)，所以，
（ⅰ）．當，即時，，在上為增函數(shù)，
故不存在極值點，
（ⅱ）．當，即時，
又因為，所以，
又由第（1）問知，故，所以，
又因為，又，
所在，使得，
且在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以，分別是的極大值點和極小值點，
綜上所述，的取值范圍為．
【變式7-1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若恰有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）利用導數(shù)求解單調(diào)區(qū)間即可.
（2）依據(jù)題意求出，分析條件轉(zhuǎn)化為變號零點的存在性問題，轉(zhuǎn)化為交點問題求解參數(shù)即可.
【解答過程】（1）易知的定義域為，
而，
令，，令，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由題意得，
，
若恰有兩個極值點，則在有兩個變號零點，
易知是的零點，
令，化簡得，故與有一個交點即可，
而定義域為，
而，當時，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
而，
當時，，故.
故實數(shù)的取值范圍為.
【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)當時，求的極值點；
(2)當時，設(shè)，且，記的最大值為，試求的取值范圍.
【解題思路】（1）將代入,然后對求導，判斷的正負，得到的單調(diào)性，進而求出極值點；
（2）對求導，通過一元二次方程根的情況，判斷的正負，得到的極值點，寫出的表達式，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，得到的取值范圍.
【解答過程】（1）當時，，定義域為，
，
當或時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
因此的極大值點是，極小值點是1.
（2）由已知的定義域為，
，
對于方程，在上恒成立，
則方程有兩個不同的正根，設(shè)為，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，則，，
當或時，，當時，，
所以的極大值點為，極小值點為，
因為，所以，
因為，所以，
所以
，
令，
于是，，
，所以在上單調(diào)遞減，
又，當時，，所以，
故的取值范圍是.
【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性．
(2)若有兩個極值點．
①求實數(shù)的取值范圍；
②求證：．
【解題思路】（1）求得，設(shè)，得到，再令，求得為上的增函數(shù)，且，進而求得單調(diào)區(qū)間；
（2）①求得，令，解得，設(shè)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解；
②由函數(shù)有兩個零點，得到，令，轉(zhuǎn)化為證明，不妨令，只需證明，化簡得到，令，轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.
【解答過程】（1）解：當時，可得，其中，則，
設(shè)，則，
令，可得恒成立，
所以為上的增函數(shù)，且，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以，所以在上單調(diào)遞增．
（2）解：①因為函數(shù)，可得，
令，解得，
設(shè)，可得，
因為有兩個極值點，則直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．
又當時，，故可作出的大致圖象，如圖所示，
結(jié)合圖象可得，，即實數(shù)的取值范圍為．
②由函數(shù)有兩個零點，所以，
令，則等價于關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
只需證明，
不妨令，由得，
要證，只需證明，
即證，
即證，即證，
令，則，只需證明，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
綜上所述，原不等式成立．
一、單選題
1．（2024·上海青浦·二模）如圖，已知直線與函數(shù)的圖象相切于兩點，則函數(shù)有（ ）．
A．2個極大值點，1個極小值點 B．3個極大值點，2個極小值點
C．2個極大值點，無極小值點 D．3個極大值點，無極小值點
【解題思路】作出與直線平行的函數(shù)的所有的切線，即可觀察得到與的大小關(guān)系的不同區(qū)間，進而得出的正負區(qū)間，得出的單調(diào)性，進而得到的極值情況，從而判定各個選項的正確與否.
【解答過程】，
作出與直線平行的函數(shù)的所有切線，各切線與函數(shù)的切點的橫坐標依次為，
在處的導數(shù)都等于，
在上，,單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
因此函數(shù)有三個極大值點，有兩個極小值點.
故選：B.
2．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意得在上恒成立，即，然后構(gòu)造函數(shù)，利用可得在上單調(diào)遞增，從而可得，則可求出的取值范圍，進而可求得的最大值.
【解答過程】依題意可知，在上恒成立，所以，
設(shè)，，所以（），
所以在上單調(diào)遞增，，
故，即的最大值為．
故選：C．
3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)在上有兩個變號零點，再進行參數(shù)的討論即可.
【解答過程】由題意得．
因為函數(shù)在上恰有兩個極值點，則在上有兩個變號零點．
當時，在上恒成立，不符合題意．
當時，令，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
又，，
所以，則，即實數(shù)的取值范圍是.
故選：D．
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）某學校組織學生到一個木工工廠參加勞動，在木工師傅指導下要把一個體積為的圓錐切割成一個圓柱，切割過程中磨損忽略不計，則圓柱體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】寫出圓柱的體積解析式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出圓柱體的最大體積
【解答過程】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，圓柱的底面半徑為，高為，
則，所以，
所以.
設(shè)，則.
令，得或（舍去），
當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
所以的最大值為.
故選：C.
5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)的最小值為，則的最小值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【解題思路】由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，令，運用導數(shù)可求得的最小值，進而可得結(jié)果.
【解答過程】因為，
令，則，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
，
，
故選：B．
6．（2024·福建泉州·一模）已知，是函數(shù)兩個極值點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出函數(shù)導數(shù)，解方程得出極值點，計算可判斷選項.
【解答過程】，令，解得，
所以，故AB不正確；
，故C正確D錯誤.
故選：C.
7．（2024·廣東深圳·二模）設(shè)函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得，即可得到，構(gòu)造函數(shù)，求導得其最值，即可得到結(jié)果.
【解答過程】由題意可得，即，
所以，
又，所以在上單調(diào)遞增，
即，所以，
且，
令，，
則，其中，
令，則，
當時，，則單調(diào)遞增，
當時，，則單調(diào)遞減，
所以當時，有極大值，即最大值，
所以，，
所以.
故選：B.
8．（2024·北京順義·三模）利用所學數(shù)學知識解決新問題是我們學習數(shù)學的一個重要目的，同學們利用我們所學數(shù)學知識，探究函數(shù)，，則下列命題不正確的是（ ）
A．有且只有一個極值點 B．在上單調(diào)逆增
C．存在實數(shù)，使得 D．有最小值
【解題思路】由條件可得函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復合函數(shù)，然后求導判斷其單調(diào)性與極值，即可得到結(jié)果.
【解答過程】由得，令，
則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復合函數(shù)，
因為為增函數(shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，
，
由得，列表如下：
0
由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在時，取得極小值（最小值），
所以在上單調(diào)遞增，即B正確；
在時，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯誤.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·重慶·三模）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，求得，轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，結(jié)合選項，即可求解.
【解答過程】由函數(shù)，可得，
因為既有極小值又有極大值，
可得方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
則滿足，可得，所以，，，
例如：時，滿足上式，此時不成立．
故選：ABC.
10．（2024·浙江杭州·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．的最小值為
C．方程的解有2個 D．導函數(shù)的極值點為
【解題思路】利用導數(shù)判斷單調(diào)性，求解最值判斷A，B，將方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題判斷C，對構(gòu)造函數(shù)再次求導，判斷極值點即可.
【解答過程】易知，可得，
令，，令，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的最小值為，故A，B正確，
若討論方程的解，即討論的零點，
易知，，故，
故由零點存在性定理得到存在作為的一個零點，
而當時，，顯然在內(nèi)無零點，
故只有一個零點，即只有一個解，故C錯誤，
令，故，
令，解得，而，，
故是的變號零點，即是的極值點，
故得導函數(shù)的極值點為，故D正確.
故選：ABD.
11．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象在點處的切線在y軸上的截距為
B．在上為增函數(shù)
C．在上的最大值為
D．若在內(nèi)恰有11個極值點，則實數(shù)m的取值范圍為
【解題思路】對于A：當時，，求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求切線方程，即可得結(jié)果；對于B：當時，，求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性即可；對于C：可知為偶函數(shù)，根據(jù)對稱性結(jié)合選項B中的對稱性分析判斷；對于D：根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知在內(nèi)恰有5個極值點，結(jié)合選項A分析極值點分布即可.
【解答過程】對于選項A：當時，，則，
可得，，
則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，
所以切線在y軸上的截距為，故A正確；
對于選項B：當時，，
則，
因為時，則，可知，則；
當時，則，可知，則；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于選項C：由選項B可知：在的最大值為，
因為的定義域為，且，
可知函數(shù)為偶函數(shù)，
所以在上的最大值為，故C正確；
對于選項D：若在內(nèi)恰有11個極值點，
由選項C可知：為定義在上的偶函數(shù)，
可知為的極值點，則在內(nèi)恰有5個極值點，
由選項A可知：當時，，
令得，且的零點均為變號零點，
可知：的極值點即為的零點，
令，解得，
即在內(nèi)的極值點為，
由題意可得：，即，
所以實數(shù)m的取值范圍為，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
12．（2024·上海·三模）若函數(shù)在上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【解題思路】根據(jù)題意，函數(shù)的極小值點在內(nèi)，再結(jié)合即可求出實數(shù)的取值范圍.
【解答過程】因為，所以，
令得，，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以當時，有極小值，
因為函數(shù)在上存在最小值，
又，
所以，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上無極值點，則的取值范圍為 .
【解題思路】由題意可得在內(nèi)單調(diào)，而當時，，所以在上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最小值即可.
【解答過程】由，得，
因為在上無極值點，
所以在內(nèi)單調(diào)，
因為當時，，
所以在恒成立，
即，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，
所以，
即的取值范圍為，
故答案為：.
14．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列命題中正確的有 ①③ ．
①函數(shù)有兩個極值點；
②若關(guān)于x的方程恰有1個解，則；
③函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個交點；
④若，且，則無最值．
【解題思路】對函數(shù)的解析式進行化簡并畫出函數(shù)圖象，由圖可知函數(shù)有兩個極值點，即①正確；利用函數(shù)與方程的思想可得恰有1個解時或，可知②錯誤；易知和是函數(shù)的兩條切線，分類討論參數(shù)并通過構(gòu)造函數(shù)證明即可得出的圖像與直線有且僅有一個交點，故③正確；分別解出的表達式，代入并構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究其單調(diào)性可得有最小值，即④錯誤.
【解答過程】由函數(shù)可得，
函數(shù)的圖像如下圖所示：

對于①，由圖可知，和是函數(shù)的兩個極值點，故①正確；
對于②，若函數(shù)恰有1個零點，即函數(shù)與的圖像僅有一個交點，可得或，故②不正確；
對于③，因為函數(shù)，在點處切線斜率，在點處的切線為，
函數(shù)，在處的切線斜率為，在處切線為，如圖中虛線所示，
易知當，即時，的圖像與直線恰有一個交點；
當，即時，令，得，
令，則，，
由二次函數(shù)的圖像及零點存在定理可知，方程有且只有一個實數(shù)根；
當，即時，令，設(shè)，
則（僅當時取等號），
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，
設(shè) 單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，，
，
所以函數(shù)有且僅有一個實數(shù)根；故③正確；
對于④，由 ，
則，，，則，
設(shè)，則，
設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，
且，，所以存在，使，
且當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以存在最小值，故④不正確；
故選：①③．
四、解答題
15．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【解題思路】（1）利用導數(shù)，分類討論求區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）得到的函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)最大值.
【解答過程】（1）的定義域為 ，
求導數(shù)，得 ，
若，則，此時在上單調(diào)遞增，
若，則由得，當時，，在上單調(diào)遞減，
當時， ，在上單調(diào)遞增，
綜上，當，的增區(qū)間為，無減區(qū)間，
若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）由（1）知，當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
由，得，
若時，函數(shù)的最大值為，
若時，函數(shù)的最大值為，
綜上，當時，函數(shù)的最大值為，
當時，函數(shù)的最大值為.
16．（2024·河北石家莊·三模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當時，若函數(shù)，求函數(shù)極值點的個數(shù)．
【解題思路】（1）求導得，分類討論當，，時分別確定導函數(shù)的符合從而得函數(shù)單調(diào)性即可；
（2）求導得，令，求導確定其單調(diào)性與最值，從而可得的單調(diào)與極值情況.
【解答過程】（1） ，
當時，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．
當時，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；
當時，在單調(diào)遞增．
（2）時，，
設(shè)在區(qū)間單調(diào)遞增．
因為，
所以存在唯一使得，
當時，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增．
，且在單調(diào)遞減，所以，又
因此在區(qū)間存在唯一零點
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；所以極值點為，
因此極值點個數(shù)為2.
17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的最小值為0，
(1)求的值;
(2)若，證明:存在唯一的極大值點，且.
【解題思路】（1）對函數(shù)求導后，分和兩種情況討論求解即可；
（2）令，求導后可得在遞減，遞增，再結(jié)合零點存在性定理得在存在唯一的使得，在存在唯一的零點，從而得是唯一的極大值點.
【解答過程】（1），
當時，，所以在上遞減，則沒有最小值，
當時，由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時，取得最小值，得成立，
下面證為唯一解，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，
所以方程有且只有唯一解，
綜上，；
（2）證明:由（1）知，
令，
當時，，當時，，
所以在上遞減，上遞增，
因為，
所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零點，
所以當或時，，即，
當時，，即，
所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，
即是唯一的極大值點，
，
由，得，
所以，
因為，所以.
18．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在定義域上僅有1個極大值點.
(1)求的取值范圍；
(2)若，證明：.
【解題思路】（1）求得，根據(jù)題意，得到為的極大值點，得出，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得出，即可求解；
（2）因為，轉(zhuǎn)化為證明，令，求得，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，得到，進而得到，即可得證.
【解答過程】（1）解：由函數(shù)，
可得，
因為函數(shù)在定義域上僅有1個極大值點，即有零點為，
所以為的極大值點，
在上，則須，
又由，
所以當時，單調(diào)遞增，值域為；
當時，單調(diào)遞減，值域為，
故只須，即，所以的取值范圍為.
（2）證明：由（1）知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
要證，只須證，
因為，只須證，即證，
令，
則
令，可得
當時，，為減函數(shù)，
當時，可得，則，
即，所以，
則時，為增函數(shù)，故，即，
故原不等式得證.
19．（2024·天津河北·二模）已知，函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時.
（ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（ⅱ）設(shè)的極大值為，求的最小值；
(3)設(shè)，且，求證：.
【解題思路】（1）求導數(shù)得，可求得切線方程；
（2）求導數(shù)得單調(diào)區(qū)間，可求得最值，再對求導數(shù)，可得最值；
（3）利用分析法和放縮法，可求出結(jié)果.
【解答過程】（1）時，
，整理得.
曲線在點處的切線方程為.
（2）（ⅰ）
令，解得
.
，
當變化時，的變化情況如下表：
0
↗ 極大值 ↘
函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是
有極大值，沒有極小值；
的極大值
（ⅱ） 設(shè)，
，
令，解得.
，
當變化時，的變化情況如下表：
0
↘ 極小值 ↗
而
的最小值為.
（3）當時，要證
兩邊同時取對數(shù)，即證，
即證，兩邊同時乘以，
即證，
而，
由（2）可知，
令，則，代入上式，得
，
，
.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題3.3 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值】 2
【題型2 求已知函數(shù)的極值】 3
【題型3 根據(jù)極值（點）求參數(shù)】 4
【題型4 求不含參函數(shù)的最值】 4
【題型5 求含參函數(shù)的最值】 5
【題型6 已知函數(shù)最值求參數(shù)】 6
【題型7 函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】 6
1、導數(shù)與函數(shù)的極值、最值
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件
(2)會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值 (3)掌握利用導數(shù)研究函數(shù)最值的方法 (4)會用導數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題 2022年新課標I卷：第10題，5分 2023年新課標I卷：第11題，5分 2023年新課標Ⅱ卷：第11題，5分 2024年新課標I卷：第10題，6分 2024年新課標Ⅱ卷：第11題，6分、第16題，15分 導數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，高考對最值、極值的考查相對穩(wěn)定，是高考常考的熱點內(nèi)容，從近三年的高考情況來看，高考中常涉及的問題有利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等；與不等式、方程的根(或函數(shù)的零點)等內(nèi)容結(jié)合考查，此類問題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，此類問題在選擇、填空、解答題中都有考查，而在解答題中進行考查時試題難度較大，復習時需要加強練習.
【知識點1 函數(shù)的極值問題的求解思路】
1．運用導數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求導數(shù)f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；
(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號；
(5)求出極值.
2．根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：
(1)已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列
方程組，利用待定系數(shù)法求解.
(2)導數(shù)值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗.
【知識點2 函數(shù)的最值問題的解題策略】
1．利用導數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：
(1)利用導數(shù)求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的一般步驟：
①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；
②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；
③將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：
求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和
極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.
2．求含有參數(shù)的函數(shù)的最值的解題策略：
求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.
【方法技巧與總結(jié)】
1．求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值
就是最值.
2．函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.
【題型1 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值】
【例1】（2024·云南楚雄·一模）若，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù)，給出下列4個圖象：
其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-2】（23-24高二下·四川廣元·階段練習）如圖是的導函數(shù)的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．當時，取得極大值 B．在上是增函數(shù)
C．當時，取得極大值 D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖，則m，n的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【題型2 求已知函數(shù)的極值】
【例2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）函數(shù)的極小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·寧夏銀川·一模）若函數(shù)在處取得極大值，則的極小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導函數(shù)，，則（ ）
A．的極大值為，無極小值
B．的極小值為，無極大值
C．的極大值為，無極小值
D．的極小值為，無極大值
【變式2-3】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且，則（ ）
A．有一個極小值點，一個極大值點 B．有兩個極小值點，一個極大值點
C．最多有一個極小值點，無極大值點 D．最多有一個極大值點，無極小值點
【題型3 根據(jù)極值（點）求參數(shù)】
【例3】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處有極值，則等于（ ）
A． B．16 C．或16 D．16或18
【變式3-2】（2024·河北秦皇島·三模）已知0是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上恰有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 求不含參函數(shù)的最值】
【例4】（2024·陜西西安·二模）函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·寧夏固原·一模）函數(shù)在區(qū)間上的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·甘肅蘭州·二模）若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)m的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．-1
【題型5 求含參函數(shù)的最值】
【例5】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）.
(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；
(2)當時，求證：.
【變式5-1】（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值.
【變式5-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最值；
(2)若，設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，該曲線在點處的切線方程為，求證：
【變式5-3】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)討論在上的最大值；
(3)是否存在實數(shù)a，使得對任意，都有？若存在，求a可取的值組成的集合；若不存在，說明理由．
【題型6 已知函數(shù)最值求參數(shù)】
【例6】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，則實數(shù)a的值為（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【變式6-1】（2023·四川宜賓·三模）若函數(shù)的最小值是，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）已知（為常數(shù)）在上有最大值3，則函數(shù)在上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·甘肅金昌·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型7 函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】
【例7】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的導函數(shù)為．
(1)當時，求的最小值；
(2)若存在兩個極值點，求a的取值范圍．
【變式7-1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若恰有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)當時，求的極值點；
(2)當時，設(shè)，且，記的最大值為，試求的取值范圍.
【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性．
(2)若有兩個極值點．
①求實數(shù)的取值范圍；
②求證：．
一、單選題
1．（2024·上海青浦·二模）如圖，已知直線與函數(shù)的圖象相切于兩點，則函數(shù)有（ ）．
A．2個極大值點，1個極小值點 B．3個極大值點，2個極小值點
C．2個極大值點，無極小值點 D．3個極大值點，無極小值點
2．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）某學校組織學生到一個木工工廠參加勞動，在木工師傅指導下要把一個體積為的圓錐切割成一個圓柱，切割過程中磨損忽略不計，則圓柱體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)的最小值為，則的最小值為（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2024·福建泉州·一模）已知，是函數(shù)兩個極值點，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·廣東深圳·二模）設(shè)函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．（2024·北京順義·三模）利用所學數(shù)學知識解決新問題是我們學習數(shù)學的一個重要目的，同學們利用我們所學數(shù)學知識，探究函數(shù)，，則下列命題不正確的是（ ）
A．有且只有一個極值點 B．在上單調(diào)逆增
C．存在實數(shù)，使得 D．有最小值
二、多選題
9．（2024·重慶·三模）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江杭州·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．的最小值為
C．方程的解有2個 D．導函數(shù)的極值點為
11．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象在點處的切線在y軸上的截距為
B．在上為增函數(shù)
C．在上的最大值為
D．若在內(nèi)恰有11個極值點，則實數(shù)m的取值范圍為
三、填空題
12．（2024·上海·三模）若函數(shù)在上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上無極值點，則的取值范圍為 .
14．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列命題中正確的有 ．
①函數(shù)有兩個極值點；
②若關(guān)于x的方程恰有1個解，則；
③函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個交點；
④若，且，則無最值．
四、解答題
15．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
16．（2024·河北石家莊·三模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當時，若函數(shù)，求函數(shù)極值點的個數(shù)．
17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的最小值為0，
(1)求的值;
(2)若，證明:存在唯一的極大值點，且.
18．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在定義域上僅有1個極大值點.
(1)求的取值范圍；
(2)若，證明：.
19．（2024·天津河北·二模）已知，函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時.
（ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（ⅱ）設(shè)的極大值為，求的最小值；
(3)設(shè)，且，求證：.
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