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專題4.1 任意角和弧度制、三角函數的概念【五大題型】
【新高考專用】
【題型1 終邊相同的角】 4
【題型2 象限角】 5
【題型3 弧度制及其應用】 6
【題型4 任意角的三角函數的定義及應用】 9
【題型5 三角函數值符號的判定】 10
1、任意角和弧度制、三角函數的概念
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解任意角的概念和弧度制
(2)能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性
(3)借助單位圓理解三角函數（正弦、余弦、正切）的定義 2023年北京卷：第13題，5分 2024年北京卷：第12題，5分 任意角和弧度制、三角函數的概念是三角函數的基礎，是高考數學的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察任意角的概念、三角函數的概念，一般以選擇題、填空題的形式出現，試題比較簡單.
【知識點1 三角函數的基本概念】
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.
(2)角的表示
如圖：
①始邊：射線的起始位置OA；
②終邊：射線的終止位置OB；
③頂點：射線的端點O；
④記法：圖中的角可記為“角”或“”或“AOB”.
2．象限角與終邊相同的角
(1)終邊相同的角
若角,終邊相同，則它們的關系為：將角的終邊旋轉(逆時針或順時針)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合
，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和.
(2)象限角、軸線角
①象限角、軸線角的概念
在平面直角坐標系中，如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在
第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限，稱這個角為軸線角.
②象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度為單位來進行度量，1度的角等于周角的.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相關概念
①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.
②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.
記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.
4．任意角的三角函數
(1)利用單位圓定義任意角的三角函數
設是一個任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).
①把點P的縱坐標y叫做的正弦函數，記作，即y=；
②把點P的橫坐標x叫做的余弦函數，記作，即x=；
③把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作，即= (x≠0).
我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為：
正弦函數
余弦函數
正切函數
(2)用角的終邊上的點的坐標表示三角函數
如圖，設是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x,y)，點P與原點的距離
為r.則=，=，=.
【知識點2 任意角和弧度制的解題策略】
1．終邊相同的角的集合
利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集
合，然后通過集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需的角.
2．確定，(k∈N*)的終邊位置的方法
先寫出或的范圍，然后根據k的可能取值確定或的終邊所在的位置.
3．應用弧度制解決問題的幾大要點
應用弧度制解決問題時應注意：
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題.
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
【知識點3 三角函數的定義及應用的解題策略】
1．三角函數定義的應用
(1)直接利用三角函數的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角
的三角函數值.
(2)已知角的某一個三角函數值，可以通過三角函數的定義列出含參數的方程，求參數的值.
2．判定三角函數值的符號的解題策略
要判定三角函數值的符號，關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角，再根據正、余弦函數值在各
象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.
【題型1 終邊相同的角】
【例1】（2024·全國·模擬預測）下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用終邊相同角的定義即可求得與的終邊相同的角.
【解答過程】與的終邊相同的角為.
故選：B.
【變式1-1】（23-24高一上·內蒙古·期末）若角與角的終邊相同，則可能是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據觀察選項得答案.
【解答過程】由已知
觀察選項可得只有，所以可能是.
故選：D.
【變式1-2】（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據角的終邊在直線上，利用終邊相同的角的寫法，考慮角的終邊的位置的兩種情況，即可求出角的集合.
【解答過程】由題意知角的終邊在直線上，
故或，
即或，
故角的取值集合為.
故選：C.
【變式1-3】（23-24高一下·安徽蚌埠·階段練習）將角的終邊繞坐標原點O逆時針旋轉60°后與130°角的終邊重合，則與角終邊相同的角的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意設，解出即可；
【解答過程】設，
解得，
所以與角終邊相同的角的集合為，
故選：D.
【題型2 象限角】
【例2】（2024·全國·模擬預測）若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據象限角的概念判斷即可.
【解答過程】若是第一象限角，則，
，則是第四象限角，故D錯誤；
，則是第一象限角，故A錯誤；
，則是第二象限角，故B錯誤；
，則是第三象限角，故C錯誤.
故選：C.
【變式2-1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解題思路】，再根據終邊相同的角的集合，判斷是第幾象限角，即可求出結果.
【解答過程】因為，又是第三象限角，
所以是第三象限角，
故選：C.
【變式2-2】（23-24高一下·河南·階段練習）已知角以x軸正半軸為始邊，終邊經過點，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解題思路】先確定點P在第四象限，即角的終邊在第四象限，的終邊為角終邊的反向延長線，即可得出答案.
【解答過程】，，即，
故點P在第四象限，即角的終邊在第四象限，
的終邊為角終邊的反向延長線，那么的終邊在第二象限．
故選：B．
【變式2-3】（2024·貴州·模擬預測）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由象限角的知識結合充分和必要條件的定義作出判斷.
【解答過程】當是第四象限角時，，則，即是第二或第四象限角.當為第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要條件．
故選：A.
【題型3 弧度制及其應用】
【例3】（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計算即得.
【解答過程】顯然為等腰三角形，，
則，，又，
所以，于是，
所以璜身的面積近似為.
故選：C.
【變式3-1】（2024·新疆克拉瑪依·三模）擲鐵餅是一項體育競技活動．如圖是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿的“弓”．經測量此時兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為1.25米，這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離為（ ）米．
A． B． C． D．
【解題思路】由已知結合弧長公式可求，進而可得答案．
【解答過程】根據題意作出下圖，弧的長為，，
所以．
故選：C．
【變式3-2】（2024·貴州貴陽·三模）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積（），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現已知弧田面積為，且弦是矢的倍，按照上述經驗公式計算所得弧田的弧長是（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】根據弧田面積可求得，利用勾股定理可構造方程求得半徑，并根據長度關系得到圓心角弧度數，利用扇形弧長公式可求得結果.
【解答過程】如圖，

由題意得：，
弧田面積，解得：.
設圓半徑為，則有，即，解得：，
，則在中，，，
所求弧長為.
故選：D.
【變式3-3】（2023·浙江嘉興·二模）相傳早在公元前3世紀，古希臘天文學家厄拉多塞內斯就首次測出了地球半徑.厄拉多塞內斯選擇在夏至這一天利用同一子午線（經線）的兩個城市（賽伊城和亞歷山大城）進行觀測，當太陽光直射塞伊城某水井時，亞歷山大城某處的太陽光線與地面成角，又知某商隊旅行時測得與的距離即劣弧的長為5000古希臘里，若圓周率取3.125，則可估計地球半徑約為（ ）
A．35000古希臘里 B．40000古希臘里
C．45000古希臘里 D．50000古希臘里
【解題思路】利用圓心角所對應的弧長是即可求解.
【解答過程】設圓周長為，半徑長為，兩地間的弧長為，對應的圓心角為，
的圓心角所對應的弧長就是圓周長，
的圓心角所對應的弧長是，即，
于是在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長為：，
.
當為5000古希臘里，，即時，
古希臘里.
故選：B.
【題型4 任意角的三角函數的定義及應用】
【例4】（2023·福建福州·模擬預測）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，為其終邊上一點，則（ ）
A． B．4 C． D．1
【解題思路】根據已知條件，結合任意角的三角函數的定義，即可求解．
【解答過程】始邊與軸非負半軸重合，，為其終邊上一點，
則，且，解得．
故選：D．
【變式4-1】（2024·江西·二模）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據三角函數的定義求解.
【解答過程】根據題意，
由三角函數的定義得.
故選：A.
【變式4-2】（2023·河南開封·三模）設α是第二象限角，P（x，1）為其終邊上一點，且，則tanα=（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用三角函數的定義先解得，再求正切值即可.
【解答過程】由三角函數定義可知：，又α是第二象限角，
故，所以.
故選：B.
【變式4-3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知角的頂點位于平面直角坐標系的原點，始邊在軸的非負半軸上，終邊與單位圓相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據終邊所在的象限，可以分別求出正弦函數和余弦函數的值，代入即可.
【解答過程】因為終邊與單位圓交于點，則終邊落在第二象限，
所以，，.
故選：A.
【題型5 三角函數值符號的判定】
【例5】（2024·河南·模擬預測）已知是第二象限角，則點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】根據三角函數確定橫坐標和縱坐標的正負，即可求解.
【解答過程】因為是第二象限角，所以，，
進而硧定，.
所以點在第四象限.
故選：D.
【變式5-1】（2023·四川宜賓·三模）已知角的終邊上一點的坐標，其中a是非零實數，則下列三角函數值恒為正的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據定義求出，然后逐一對各個選項分析判斷即可得出結果.
【解答過程】因為角的終邊上一點的坐標且a是非零實數，所以根據三角函數的定義知，，，，
選項A，，故選項A正確；
選項B，，因為的正負不知，故選項B錯誤；
選項C，，因為的正負不知，故選項C錯誤；
選項D，，因為的正負不知，故選項D錯誤；
故選：A.
【變式5-2】（2023·河南·模擬預測）已知是第二象限角，則點（，）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】利用誘導公式化簡再確定象限.
【解答過程】由題意知：，，進而得到，，
所以點（，）位于第三象限.
故選：C.
【變式5-3】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】對A、B：舉出反例即可得；對C、D：借助三角函數的商數關系及其值域計算即可得.
【解答過程】由題意可得、，，
對A：當時，，則，，
此時，故A錯誤；
對B：當時，，故B錯誤；
對C、D：，由，
故，則，即，
故C正確，D錯誤.
故選：C.
一、單選題
1．（23-24高三下·甘肅·階段練習）集合中的最大負角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用任意角的定義與集合所表示的角即可得解.
【解答過程】因為，
所以集合中的最大負角為.
故選：C.
2．（2024·河北衡水·模擬預測）“角的終邊在同一條直線上”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】借助的值，直接分別判斷充分性和必要性.
【解答過程】由角的終邊在同一條直線上，得，
即，所以.
反之，由，得，
當為偶數時，角的終邊在同一條射線上；
當為奇數時，角的終邊在同一條直線上.
綜上，“角的終邊在同一條直線上”是“”的充要條件.
故選 ：C.
3．（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角的集合.
【解答過程】終邊落在陰影部分的角為，，
即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是．
故選：B．
4．（2024·山東·模擬預測）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A．0 B． C． D．
【解題思路】由三角函數的定義即可求得，從而得到結果.
【解答過程】由題意可得，則，所以，
所以.
故選：B.
5．（2024·全國·模擬預測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區磚雕藝術的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】先求出，，進而求得梅花磚雕的側面積及扇環的面積可得該梅花磚雕的表面積.
【解答過程】
延長與交于點．由，，得，．
因為所對的圓心角為直角，所以，．
所以該梅花磚雕的側面積，
扇環的面積為，
則該梅花磚雕的表面積．
故選：C．
6．（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A．11 B． C．10 D．
【解題思路】由題意利用任意角的三角函數定義，可求得的值，代入計算即可.
【解答過程】因為角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，
且角的終邊經過點，
所以，，
所以.
故選：B.
7．（2024·浙江·二模）古人把正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數這八種三角函數的函數線合稱為八線.其中余切函數，正割函數，余割函數，正矢函數，余矢函數.如圖角始邊為軸的非負半軸，其終邊與單位圓交點，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點，過點作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】利用單位圓以及三角函數的定義可知，，，然后結合新定義簡單計算可判斷各個選項.
【解答過程】根據題意，易得，
對于A，因為，即，故A錯誤；
對于B，根據三角函數定義結合相似三角形相似比可得，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，根據三角函數定義結合相似三角形相似比可得，故D錯誤.
故選：C.
8．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計算即得.
【解答過程】顯然為等腰三角形，，則，，
即，于是，
所以璜身的面積近似為.
故選：C.
二、多選題
9．（2023·貴州遵義·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若，則與是終邊相同的角
B．若角的終邊過點，則
C．若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度
D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限
【解題思路】舉反例判斷A；由三角函數的定義判斷B；由弧長公式判斷C；由與同號判斷D.
【解答過程】對于A：當時，，但終邊不同，故A錯誤；
對于B：，當時，，故B錯誤；
對于C：由，得，故C正確；
對于D：，即與同號，則角的終邊在第一象限或第三象限，故D正確；
故選：CD.
10．（2023·河北石家莊·一模）在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【解題思路】根據三角函數的定義及已知列方程求參數x即可.
【解答過程】由題設，故，整理得，
所以或.
故選：BC.
11．（2023·吉林·二模）如圖，A，B是在單位圓上運動的兩個質點.初始時刻，質點A在（1，0）處，質點B在第一象限，且.質點A以的角速度按順時針方向運動，質點B同時以的角速度按逆時針方向運動，則（ ）
A．經過1后，扇形AOB的面積為
B．經過2后，劣弧的長為
C．經過6后，質點B的坐標為
D．經過后，質點A，B在單位圓上第一次相遇
【解題思路】根據任意角的概念和題意逐項進行分析即可求解.
【解答過程】對于，由題意可知：經過1后，，
所以此時扇形AOB的面積為，故選項錯誤；
對于，經過2后，，
所以此時劣弧的長為，故選項正確；
對于，經過6后，質點轉過的角度為，結合題意，此時質點為角的終邊與單位圓的交點，所以質點B的坐標為，故選項錯誤；
對于，經過后，質點轉過的角度為，質點轉過的角度為，因為，所以經過后，質點，在單位圓上第一次相遇，故選項正確，
故選：.
三、填空題
12．（2024·寧夏·二模）最美數學老師手表上的時針長度是1厘米，則時針（時）轉出的扇形面積是
平方厘米．
【解題思路】根據任意角的概念及角度制與弧度制的轉化關系化為弧度制，再由扇形面積公式計算可得．
【解答過程】時針長度是1厘米，則時針（時）轉出的扇形面積（平方厘米）．
故答案為：.
13．（2024·全國·模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸．若是角終邊上一點，且，則 ．
【解題思路】根據三角函數定義式列方程，解方程即可.
【解答過程】由題設知，
即，且，
即，且，
解得，
故答案為：.
14．（2023·廣東佛山·一模）若點關于原點對稱點為，寫出的一個取值為 （答案不唯一，，均可以） .
【解題思路】根據、關于原點對稱，所以兩角的終邊在一條直線上，得：，.再令隨意取值，可得結論.
【解答過程】∵和關于原點對稱.
∴與的終邊在一條直線上.即：，.
∴，.
令得.
故答案為：（滿足，即可）.
四、解答題
15．（2024高一下·全國·專題練習）已知角的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：
(1)；
(2)；
【解題思路】（1）由為第四象限角可知，根據不等式的性質可得角終邊所在區域，分類討論可得角終邊所在的位置；
（2）由為第四象限角可知，根據不等式的性質可得角終邊所在區域，分類討論可得角終邊所在的位置.
【解答過程】（1）由于為第四象限角可知，.
所以
當時，，終邊在第二象限，
當時，，終邊在第四象限，
所以的終邊在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
當時，，終邊在第二象限，
當時，，終邊在第三象限，
當時，，終邊在第四象限，
所以的終邊在第二、第三或第四象限.
16．（23-24高一·全國·隨堂練習）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解題思路】（1）（2）（3）（4）根據終邊相同角的定義可寫出滿足條件的角的集合，然后解不等式，求出滿足條件的整數的值，即可得出滿足條件的元素.
【解答過程】（1）解：與終邊相同的角的集合為，
由，可得，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，適合不等式的元素為、、.
（2）解：因為，
所以，與終邊相同的角的集合為，
由，可得，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，適合不等式的元素為、、.
（3）解：因為，
所以，與終邊相同的角的集合為，
由，可得、、，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，適合不等式的元素為、、.
（4）解：因為，
所以，與終邊相同的角的集合為，
由，可得，
當時，，
當時，，
當時，.
所以，適合不等式的元素為、、.
17．（23-24高一·全國·隨堂練習）利用單位圓，求適合下列條件的角α的集合．
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）作出單位圓與直線，求出交點坐標，根據三角函數的定義得出內滿足的角，進而根據終邊相同角的集合，即可寫出答案；
（2）作出單位圓與直線，求出交點坐標，根據三角函數的定義結合圖象得出內滿足的角，進而根據終邊相同角的集合，即可寫出答案.
【解答過程】（1）

如圖1，為直線與單位圓的兩個交點，可知，.
設的終邊落在射線上，的終邊落在射線上，，
根據三角函數的定義可知，，，，
所以，，.
又當的終邊落在射線或上時，有，
所以，滿足條件的的集合為 .
（2）

如圖2，為直線與單位圓的兩個交點，可知，.
設的終邊落在射線上，的終邊落在射線上，，
根據三角函數的定義可知，，，，
所以，，.
根據圖2可知，當，且時，有.
所以，當時，由可得，.
18．（23-24高一上·云南昆明·階段練習）在平面直角坐標系中，單位圓與x軸的正半軸及負半軸分別交于點A，B，角的始邊為x軸的非負半軸，終邊與單位圓交于x軸下方一點P．
(1)如圖，若，求點P的坐標；
(2)若點P的橫坐標為，求的值．
【解題思路】（1）過點作于點，則，求得即可得出的坐標；
（2）由題意設，結合條件求出的坐標，利用三角函數的定義求出.
【解答過程】（1）
過點作于點，
若，則，
又，則，
由題意點在第四象限，所以的坐標為.
（2）由題意設，
∵點在單位圓上，且在x軸下方，
∴，且，解得，
∴.
19．（2024·上海黃浦·二模）某企業欲做一個介紹企業發展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構成的）.已知，，線段BA，CD與，的長度之和為30，圓心角為弧度.
(1)求關于x的函數表達式；
(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.
【解題思路】（1）根據扇形的弧長公式結合已知條件可得出關于、的等式，即可得出關于的函數解析式；
（2）利用扇形的面積公式結合二次函數的基本性質可求得的最大值，即可得出結論.
【解答過程】（1）解：根據題意，可算得，．
因為，所以，
所以，.
（2）解：根據題意，可知
，
當時，.
綜上所述，當時銘牌的面積最大，且最大面積為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題4.1 任意角和弧度制、三角函數的概念【五大題型】
【新高考專用】
【題型1 終邊相同的角】 4
【題型2 象限角】 4
【題型3 弧度制及其應用】 5
【題型4 任意角的三角函數的定義及應用】 6
【題型5 三角函數值符號的判定】 7
1、任意角和弧度制、三角函數的概念
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解任意角的概念和弧度制
(2)能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性
(3)借助單位圓理解三角函數（正弦、余弦、正切）的定義 2023年北京卷：第13題，5分 2024年北京卷：第12題，5分 任意角和弧度制、三角函數的概念是三角函數的基礎，是高考數學的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察任意角的概念、三角函數的概念，一般以選擇題、填空題的形式出現，試題比較簡單.
【知識點1 三角函數的基本概念】
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.
(2)角的表示
如圖：
①始邊：射線的起始位置OA；
②終邊：射線的終止位置OB；
③頂點：射線的端點O；
④記法：圖中的角可記為“角”或“”或“AOB”.
2．象限角與終邊相同的角
(1)終邊相同的角
若角,終邊相同，則它們的關系為：將角的終邊旋轉(逆時針或順時針)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合
，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和.
(2)象限角、軸線角
①象限角、軸線角的概念
在平面直角坐標系中，如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在
第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限，稱這個角為軸線角.
②象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度為單位來進行度量，1度的角等于周角的.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相關概念
①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.
②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.
記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.
4．任意角的三角函數
(1)利用單位圓定義任意角的三角函數
設是一個任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).
①把點P的縱坐標y叫做的正弦函數，記作，即y=；
②把點P的橫坐標x叫做的余弦函數，記作，即x=；
③把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作，即= (x≠0).
我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為：
正弦函數
余弦函數
正切函數
(2)用角的終邊上的點的坐標表示三角函數
如圖，設是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x,y)，點P與原點的距離
為r.則=，=，=.
【知識點2 任意角和弧度制的解題策略】
1．終邊相同的角的集合
利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集
合，然后通過集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需的角.
2．確定，(k∈N*)的終邊位置的方法
先寫出或的范圍，然后根據k的可能取值確定或的終邊所在的位置.
3．應用弧度制解決問題的幾大要點
應用弧度制解決問題時應注意：
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題.
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
【知識點3 三角函數的定義及應用的解題策略】
1．三角函數定義的應用
(1)直接利用三角函數的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角
的三角函數值.
(2)已知角的某一個三角函數值，可以通過三角函數的定義列出含參數的方程，求參數的值.
2．判定三角函數值的符號的解題策略
要判定三角函數值的符號，關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角，再根據正、余弦函數值在各
象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.
【題型1 終邊相同的角】
【例1】（2024·全國·模擬預測）下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（23-24高一上·內蒙古·期末）若角與角的終邊相同，則可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（23-24高一下·安徽蚌埠·階段練習）將角的終邊繞坐標原點O逆時針旋轉60°后與130°角的終邊重合，則與角終邊相同的角的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 象限角】
【例2】（2024·全國·模擬預測）若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【變式2-2】（23-24高一下·河南·階段練習）已知角以x軸正半軸為始邊，終邊經過點，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【變式2-3】（2024·貴州·模擬預測）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題型3 弧度制及其應用】
【例3】（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·新疆克拉瑪依·三模）擲鐵餅是一項體育競技活動．如圖是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿的“弓”．經測量此時兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為1.25米，這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離為（ ）米．
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·貴州貴陽·三模）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積（），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現已知弧田面積為，且弦是矢的倍，按照上述經驗公式計算所得弧田的弧長是（ ）

A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·浙江嘉興·二模）相傳早在公元前3世紀，古希臘天文學家厄拉多塞內斯就首次測出了地球半徑.厄拉多塞內斯選擇在夏至這一天利用同一子午線（經線）的兩個城市（賽伊城和亞歷山大城）進行觀測，當太陽光直射塞伊城某水井時，亞歷山大城某處的太陽光線與地面成角，又知某商隊旅行時測得與的距離即劣弧的長為5000古希臘里，若圓周率取3.125，則可估計地球半徑約為（ ）
A．35000古希臘里 B．40000古希臘里
C．45000古希臘里 D．50000古希臘里
【題型4 任意角的三角函數的定義及應用】
【例4】（2023·福建福州·模擬預測）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，為其終邊上一點，則（ ）
A． B．4 C． D．1
【變式4-1】（2024·江西·二模）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·河南開封·三模）設α是第二象限角，P（x，1）為其終邊上一點，且，則tanα=（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知角的頂點位于平面直角坐標系的原點，始邊在軸的非負半軸上，終邊與單位圓相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【題型5 三角函數值符號的判定】
【例5】（2024·河南·模擬預測）已知是第二象限角，則點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式5-1】（2023·四川宜賓·三模）已知角的終邊上一點的坐標，其中a是非零實數，則下列三角函數值恒為正的是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·河南·模擬預測）已知是第二象限角，則點（，）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式5-3】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則（ ）
A． B．
C． D．
一、單選題
1．（23-24高三下·甘肅·階段練習）集合中的最大負角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北衡水·模擬預測）“角的終邊在同一條直線上”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山東·模擬預測）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區磚雕藝術的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A．11 B． C．10 D．
7．（2024·浙江·二模）古人把正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數這八種三角函數的函數線合稱為八線.其中余切函數，正割函數，余割函數，正矢函數，余矢函數.如圖角始邊為軸的非負半軸，其終邊與單位圓交點，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點，過點作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（ ）

A． B．
C． D．
8．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·貴州遵義·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若，則與是終邊相同的角
B．若角的終邊過點，則
C．若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度
D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限
10．（2023·河北石家莊·一模）在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
11．（2023·吉林·二模）如圖，A，B是在單位圓上運動的兩個質點.初始時刻，質點A在（1，0）處，質點B在第一象限，且.質點A以的角速度按順時針方向運動，質點B同時以的角速度按逆時針方向運動，則（ ）
A．經過1后，扇形AOB的面積為
B．經過2后，劣弧的長為
C．經過6后，質點B的坐標為
D．經過后，質點A，B在單位圓上第一次相遇
三、填空題
12．（2024·寧夏·二模）最美數學老師手表上的時針長度是1厘米，則時針（時）轉出的扇形面積是
平方厘米．
13．（2024·全國·模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸．若是角終邊上一點，且，則 ．
14．（2023·廣東佛山·一模）若點關于原點對稱點為，寫出的一個取值為 .
四、解答題
15．（2024高一下·全國·專題練習）已知角的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：
(1)；
(2)；
16．（23-24高一·全國·隨堂練習）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．（23-24高一·全國·隨堂練習）利用單位圓，求適合下列條件的角α的集合．
(1)；
(2)．
18．（23-24高一上·云南昆明·階段練習）在平面直角坐標系中，單位圓與x軸的正半軸及負半軸分別交于點A，B，角的始邊為x軸的非負半軸，終邊與單位圓交于x軸下方一點P．
(1)如圖，若，求點P的坐標；
(2)若點P的橫坐標為，求的值．
19．（2024·上海黃浦·二模）某企業欲做一個介紹企業發展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構成的）.已知，，線段BA，CD與，的長度之和為30，圓心角為弧度.
(1)求關于x的函數表達式；
(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.
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