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專題4.2 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式【五大題型】
【新高考專用】
【題型1 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用】 3
【題型2 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】 3
【題型3 三角函數(shù)式的化簡、求值】 4
【題型4 三角恒等式的證明】 4
【題型5 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】 5
1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，，
(2)掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡單應(yīng)用 2022年浙江卷：第13題，5分 2023年全國甲卷（文數(shù)）：第14題，5分 2023年全國甲卷（理數(shù)）：第13題，5分 2024年新課標(biāo)I卷：第4題，5分 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第9題，5分 同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)化簡求值的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察“弦切互化”、同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式綜合等內(nèi)容，考查較為靈活，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下.
【知識(shí)點(diǎn)1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系】
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
基本關(guān)系式 語言描述
平方關(guān)系 同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1.
商數(shù)關(guān)系 同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
2．基本關(guān)系式的變形公式
【知識(shí)點(diǎn)2 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧】
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“積”轉(zhuǎn)換的解題技巧
(1)利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.
(2)形如等類型可進(jìn)行弦化切.
2．注意公式的逆用及變形應(yīng)用：
.
3．應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：
對于這三個(gè)式子，利用，可以知一求二.
【知識(shí)點(diǎn)3 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用的解題策略】
1．誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.
(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.
2．含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)
行運(yùn)算.如.
【知識(shí)點(diǎn)4 同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用的解題策略】
1．化簡、求值
利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式
進(jìn)行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.
2．用誘導(dǎo)公式求值
用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有與，與，與等，常見的互補(bǔ)關(guān)系與，與，與等.
【方法技巧與總結(jié)】
1．同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形
2．誘導(dǎo)公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3．同角三角函數(shù)關(guān)系式的注意事項(xiàng)
在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號.
【題型1 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用】
【例1】（2024·海南·模擬預(yù)測）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·山西·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則（ ）
A．或 B．或 C． D．
【變式1-3】（2023·陜西咸陽·三模）已知方程，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】
【例2】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B．2 C． D．
【題型3 三角函數(shù)式的化簡、求值】
【例3】（2023·云南大理·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知為第二象限角，若則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 三角恒等式的證明】
【例4】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）設(shè).求證：.
【變式4-1】（2024高一·全國·專題練習(xí)）求證：
(1)＝；
(2)
【變式4-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）（1）求證：；
（2）設(shè)，求證.
【變式4-3】（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）求證：
(1)；
(2)；
(3)．
【題型5 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】
【例5】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的值；
(2)求的值.
【變式5-1】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）在①；②；③的終邊關(guān)于軸對稱，并且這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并回答問題.
已知第四象限角滿足__________，求下列各式的值.
(1)
(2)
【變式5-2】（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)化簡；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【變式5-3】（23-24高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）在單位圓中，銳角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，連接圓心和得到射線，將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，其中.
(1)求的值；
(2)記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若，求的值.
一、單選題
1．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知且，則（ ）
A． B． C． D．3
5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·青海西寧·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·遼寧·三模）已知，則（ ）
A． B．1 C． D．3
8．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知均是銳角，設(shè)的最大值為，則=（ ）
A． B． C．1 D．
二、多選題
9．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南邵陽·三模）下列說法正確的有（ ）
A．若角的終邊過點(diǎn)，則角的集合是
B．若，則
C．若，則
D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是
11．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)為第一象限角,,則（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
12．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為 .
13．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知，則 ．
14．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若，則 ．
四、解答題
15．（2024·福建三明·模擬預(yù)測）已知.
（1）求的值；
（2）若，且是第三象限角，求的值.
16．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）化簡求值.
(1)化簡:;
(2)已知:，計(jì)算:.
17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知
求的值；
求的值.
18．（2024·福建福州·一模）已知
（1）求的值；
（2）若，且角終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值
19．（2023·河南·三模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題4.2 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式【五大題型】
【新高考專用】
【題型1 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用】 3
【題型2 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】 5
【題型3 三角函數(shù)式的化簡、求值】 6
【題型4 三角恒等式的證明】 7
【題型5 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】 9
1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，，
(2)掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡單應(yīng)用 2022年浙江卷：第13題，5分 2023年全國甲卷（文數(shù)）：第14題，5分 2023年全國甲卷（理數(shù)）：第13題，5分 2024年新課標(biāo)I卷：第4題，5分 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第9題，5分 同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)化簡求值的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察“弦切互化”、同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式綜合等內(nèi)容，考查較為靈活，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下.
【知識(shí)點(diǎn)1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系】
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
基本關(guān)系式 語言描述
平方關(guān)系 同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1.
商數(shù)關(guān)系 同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
2．基本關(guān)系式的變形公式
【知識(shí)點(diǎn)2 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧】
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“積”轉(zhuǎn)換的解題技巧
(1)利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.
(2)形如等類型可進(jìn)行弦化切.
2．注意公式的逆用及變形應(yīng)用：
.
3．應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：
對于這三個(gè)式子，利用，可以知一求二.
【知識(shí)點(diǎn)3 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用的解題策略】
1．誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.
(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.
2．含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)
行運(yùn)算.如.
【知識(shí)點(diǎn)4 同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用的解題策略】
1．化簡、求值
利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式
進(jìn)行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.
2．用誘導(dǎo)公式求值
用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有與，與，與等，常見的互補(bǔ)關(guān)系與，與，與等.
【方法技巧與總結(jié)】
1．同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形
2．誘導(dǎo)公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3．同角三角函數(shù)關(guān)系式的注意事項(xiàng)
在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號.
【題型1 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用】
【例1】（2024·海南·模擬預(yù)測）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先左右兩邊平方，得出，再應(yīng)用弦化切，最后結(jié)合角的范圍可得求出正切值．
【解答過程】∵，∴，即，∴，
∴，得，∴，
∴或，
∵，且，∴由三角函數(shù)定義知，
∴，故．
故選：D.
【變式1-1】（2023·山西·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
根據(jù)同角三角關(guān)系分析運(yùn)算，注意三角函數(shù)值的符號的判斷.
【解答過程】由題意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因?yàn)椋傻茫?br/>所以.
故選：D.
【變式1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則（ ）
A．或 B．或 C． D．
【解題思路】在直線任取與原點(diǎn)不重合的點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)定義得，然后利用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式化為齊次式求解可得.
【解答過程】因?yàn)榻堑慕K邊在直線上，
任取，，所以，
所以
.
故選：C．
【變式1-3】（2023·陜西咸陽·三模）已知方程，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，變形為，得到，再由，利用商數(shù)關(guān)系求解.
【解答過程】解：因?yàn)榉匠蹋?br/>所以，
即，則或（舍去），
所以，
所以，
，
故選：B.
【題型2 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】
【例2】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即得.
【解答過程】由，得.
故選：B.
【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結(jié)合誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系運(yùn)算即可得.
【解答過程】由題意得，則，
故
.
故選：D.
【變式2-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用三角函數(shù)的定義可求出的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.
【解答過程】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，
所以，
所以.
故選：D.
【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B．2 C． D．
【解題思路】利用已知的三角函數(shù)值，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得答案.
【解答過程】令，則，
從而
.
故選：A.
【題型3 三角函數(shù)式的化簡、求值】
【例3】（2023·云南大理·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系將原式化簡，即可求得答案.
【解答過程】因?yàn)椋瑒t
,
故選:D．
【變式3-1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先確定角的終邊所在的位置，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可得解.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以角的終邊在第二象限，
又因?yàn)?br/>，
且，
所以.
故選：B.
【變式3-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由正弦展開式和三角函數(shù)化簡求值得出.
【解答過程】，
所以，
所以，
解得．
故選：D.
【變式3-3】（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知為第二象限角，若則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式，可得答案.
【解答過程】由，則，
由為第二象限角，則，所以.
故選：A.
【題型4 三角恒等式的證明】
【例4】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）設(shè).求證：.
【解題思路】由題意從所求式子的左邊出發(fā)，把作為一個(gè)整體代入，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系進(jìn)行化簡即可證得右邊.
【解答過程】證明：左邊
把代入，得原式右邊，故原等式成立.
【變式4-1】（2024高一·全國·專題練習(xí)）求證：
(1)＝；
(2)
【解題思路】（1）將左邊化為，進(jìn)而結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系進(jìn)行證明；
（2）用立方和公式與完全平方公式并結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將式子化簡.
【解答過程】（1）左邊=
=右邊.
（2）左邊=
=右邊.
【變式4-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）（1）求證：；
（2）設(shè)，求證.
【解題思路】（1）（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡等式中結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一側(cè)，即可證結(jié)論.
【解答過程】（1）左邊= =右邊，所以原等式成立.
（2）方法1：左邊= ===右邊，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左邊= ===右邊，等式成立.
【變式4-3】（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）求證：
(1)；
(2)；
(3)．
【解題思路】（1）利用平方差公式及證明.
（2）利用提取公因式及證明.
（3）利用通分，因式分解等式的運(yùn)算結(jié)合證明.
【解答過程】（1）.
故成立.
（2）
故成立.
（3）
.
故成立.
【題型5 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】
【例5】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的值；
(2)求的值.
【解題思路】（1）利用三角函數(shù)定義求出，再利用誘導(dǎo)公式化簡并代入求值.
（2）求出，利用誘導(dǎo)公式及齊次式法求值.
【解答過程】（1）依題意，，則，，，
所以原式.
（2）由（1）知，，
所以原式.
【變式5-1】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）在①；②；③的終邊關(guān)于軸對稱，并且這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并回答問題.
已知第四象限角滿足__________，求下列各式的值.
(1)
(2)
【解題思路】（1）選條件①時(shí)，根據(jù)誘導(dǎo)公式，將原式化簡，得到；選條件②，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出；選條件③時(shí)，根據(jù)角的終邊對稱，得到，，求出，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將弦化切，即可得出結(jié)果；
（2）先將所求式子化為，再將弦化切，即可得出結(jié)果.
【解答過程】（1）選①，，
得，則．
則；
選②，是第四象限角，所以，，
又，則，
可得，，則．
則；
選③，是第四象限角，則，，
又因?yàn)椋慕K邊關(guān)于軸對稱，
則，．
又因?yàn)椋?br/>所以，即．
則；
（2）由上可知選擇①、②、③都可得，
．
【變式5-2】（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)化簡；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【解題思路】（1）由誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案；
（3）由已知求出，結(jié)合的范圍，由誘導(dǎo)公式即可求出的值.
【解答過程】（1）
（2）因?yàn)椋詾榈谌笙藿腔虻谒南笙藿?
當(dāng)為第三象限角時(shí)，；
當(dāng)為第四象限角村，.
（3）因?yàn)椋?
因?yàn)椋?
故.
因此.
【變式5-3】（23-24高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）在單位圓中，銳角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，連接圓心和得到射線，將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，其中.
(1)求的值；
(2)記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若，求的值.
【解題思路】（1）由題意可得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式化簡、求解；
（2）由題意可得：，進(jìn)而可知，根據(jù)同角三角關(guān)系結(jié)合三角恒等變換分析求解.
【解答過程】（1）由于點(diǎn)在單位圓上，且是銳角，可得，
所以，
所以
；
（2）由（1）可知，且為銳角，可得，
根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，
因?yàn)椋遥?br/>因此，所以
所以
.
一、單選題
1．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．2
【解題思路】根據(jù)切弦互化法計(jì)算即可求解.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以．
故選：B．
2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.
【解答過程】由，可得，
可得
則，
因?yàn)椋耘c異號，可得為第二或第四象限，
當(dāng)為第二象限角時(shí)，可得；
當(dāng)為第四象限角時(shí)，可得.
故選：C.
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用角的變換，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.
【解答過程】.
故選：C.
4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知且，則（ ）
A． B． C． D．3
【解題思路】由誘導(dǎo)公式可得，根據(jù)平方關(guān)系，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系得.
【解答過程】由誘導(dǎo)公式得，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
故選：B.
5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
根據(jù)題意，由誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以，
則，
所以.
故選：B.
6．（2024·青海西寧·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意可得，根據(jù)齊次式法可得，即可得結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)椋傻茫?br/>可得，
所以.
故選：A.
7．（2024·遼寧·三模）已知，則（ ）
A． B．1 C． D．3
【解題思路】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和弦切關(guān)系化簡可得.
【解答過程】，
故選：D.
8．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知均是銳角，設(shè)的最大值為，則=（ ）
A． B． C．1 D．
【解題思路】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合基本不等式求最值可得，然后由求解即可
【解答過程】由基本不等式可得，，，
三式相加，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)均為時(shí)等號成立，
所以，
則．
故選：B.
二、多選題
9．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】點(diǎn)代入單位圓的方程求出點(diǎn)可得，再由弦化切可得答案.
【解答過程】角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，
，，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故選：AC.
10．（2024·湖南邵陽·三模）下列說法正確的有（ ）
A．若角的終邊過點(diǎn)，則角的集合是
B．若，則
C．若，則
D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是
【解題思路】由三角函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷B，根據(jù)“1”的代換和弦切互化求解判斷C，根據(jù)扇形弧長公式求解判斷D.
【解答過程】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，為第一象限角，
所以由三角函數(shù)的定義知，所以角的終邊與終邊相同，
所以角的集合是，故A選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋訠選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋訡選項(xiàng)正確；
設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，因?yàn)樯刃嗡鶎Φ幕￠L為，
所以扇形周長為，故，所以D選項(xiàng)不正確．
故選：ABC.
11．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)為第一象限角,,則（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】首先由題意得是第一象限角,所以,再利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式對選項(xiàng)逐個(gè)計(jì)算確定正確答案.
【解答過程】由題意得,
則,
若在第四象限,則,
所以也是第一象限角,即,,A項(xiàng)錯(cuò)誤;
,B項(xiàng)正確;
,C項(xiàng)錯(cuò)誤;
,D項(xiàng)正確.
故選:BD.
三、填空題
12．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為 .
【解題思路】利用任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式即可求解結(jié)果．
【解答過程】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，
所以，
所以，則，
故答案為：.
13．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知，則 ．
【解題思路】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得，將表達(dá)式利用平方和關(guān)系為1化簡可得結(jié)果.
【解答過程】由可得，即；
所以
將代入計(jì)算可得；
即.
故答案為：.
14．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若，則 ．
【解題思路】利用角的變換，以及誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.
【解答過程】，
因?yàn)閤是第二象限角，若，所以是第一象限角，
所以，
所以.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·福建三明·模擬預(yù)測）已知.
（1）求的值；
（2）若，且是第三象限角，求的值.
【解題思路】（1）首先利用誘導(dǎo)公式，以及利用齊次分式化簡為正切形式，再代入求值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，解方程，求得，再利用同角基本關(guān)系式求的值.
【解答過程】解：（1）因?yàn)椋?br/>所以；
（2）由，得，所以，
又且是第三象限角，可得，
所以.
16．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）化簡求值.
(1)化簡:;
(2)已知:，計(jì)算:.
【解題思路】（1）由正弦、余弦的誘導(dǎo)公式化簡，然后由平方關(guān)系變形可得．
（2）根據(jù)給定條件，利用正余弦的齊次式法計(jì)算即得．
【解答過程】（1）
.
（2）由，得
.
17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知
求的值；
求的值.
【解題思路】（1）作的平方可得,則,由的范圍求解即可；
（2）先利用降冪公式和切弦互化進(jìn)行化簡,得原式,將與代入求解即可
【解答過程】（1）由題,,
則,
因?yàn)?br/>又,則,所以
因此,
（2）由題,
,
由（1）可,代入可得原式.
18．（2024·福建福州·一模）已知
（1）求的值；
（2）若，且角終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值
【解題思路】（1）由平方可解得，利用誘導(dǎo)公式化簡，從而可得結(jié)果；（2）結(jié)合（1）利用得，，由角終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，原式化為，從而可得結(jié)果.
【解答過程】（1）∵，∴，
即，
∴
（2）由（1）得，
又，，
，
又角終邊經(jīng)過點(diǎn)，
.
19．（2023·河南·三模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
【解題思路】（1）先利用誘導(dǎo)公式對式子進(jìn)行化簡，再根據(jù)角的終邊經(jīng)過的點(diǎn)求出，即可求解；
（2）先根據(jù)是第二象限角，判斷出的符號，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)定義求出，再對式子進(jìn)行化簡代入即可求解.
【解答過程】解：（1）,
,
即
.
又角的終邊經(jīng)過點(diǎn)()，
，
故；
（2）是第二象限角，
，
則，
，
.
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