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專題4.3 三角恒等變換【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 兩角和與差的三角函數(shù)公式】 3
【題型2 兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】 3
【題型3 輔助角公式的運(yùn)用】 4
【題型4 角的變換問題】 4
【題型5 三角函數(shù)式的化簡】 5
【題型6 給角求值】 5
【題型7 給值求值】 6
【題型8 給值求角】 6
【題型9 三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 7
1、三角恒等變換
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)會推導(dǎo)兩角差的余弦公式
(2)會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式
(3)掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用 (4)能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡單的恒等變換 2022年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分 2023年新課標(biāo)I卷：第8題，5分 2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：第7題，5分 2024年新課標(biāo)I卷：第4題，5分 2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第13題，5分 三角恒等變換是三角函數(shù)的重要工具，是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)、重點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要考察三角函數(shù)的化簡求值、三角函數(shù)的變換等內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下；但在有關(guān)三角函數(shù)的解答題中有時也會涉及到三角恒等變換、合并化簡，此時試題難度中等，復(fù)習(xí)時需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，靈活變換.
【知識點(diǎn)1 三角恒等變換思想】
1．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式
(1)角的代換
代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用
尤為突出.
常用的角的代換形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代換
用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其
中要特別注意的是“1”的代換.
(3)輔助角公式
通過應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳?br/>(a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù) [或].這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個
三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.
【知識點(diǎn)2 三角恒等變換的應(yīng)用技巧】
1．兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧
(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.
(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.
2．兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形
運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.
3．輔助角公式的運(yùn)用技巧
對asinx+bcosx化簡時，輔助角的值如何求要清楚.
4．角的變換問題的解題策略：
(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個"已知角"的和或差的形式；
(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.
(3)常見的角變換：，，，，等.
【知識點(diǎn)3 三角恒等變換幾類問題的解題策略】
1．給值求值問題的解題思路
給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求
出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.
2．給角求值問題的解題思路
給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角
之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.
3．給值求角問題的解題思路
給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.
4．三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略
三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化
為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.
【方法技巧與總結(jié)】
1．.
2．降冪公式：，.
3．，，.
【題型1 兩角和與差的三角函數(shù)公式】
【例1】（2024·江西九江·三模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】
【例2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）若 ， 則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，滿足，且，，則的值為（ ）
A．－2 B． C． D．2
【題型3 輔助角公式的運(yùn)用】
【例3】（2024·安徽合肥·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·湖北·二模）函數(shù)，當(dāng)取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·陜西銅川·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 角的變換問題】
【例4】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．或
【變式4-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知都是銳角，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，均為銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·山西·三模）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【題型5 三角函數(shù)式的化簡】
【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）化簡：（ ）
A．4 B．2 C． D．
【變式5-2】（2023·吉林延邊·二模）下列化簡不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 給角求值】
【例6】（2024·遼寧·二模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知且．
(1)求，，；
(2)若為銳角，且，求．
【變式6-3】（2024·浙江臺州·二模）已知函數(shù).
（ ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（ ）若，求的值.
【題型7 給值求值】
【例7】（2024·河北保定·三模）已知銳角，（）滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2024·遼寧丹東·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·貴州貴陽·二模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·遼寧·二模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型8 給值求角】
【例8】（2023·江蘇無錫·三模）已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（23-24高三·全國·期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知，寫出符合條件的一個角的值為 .
【變式8-3】（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則 .
【題型9 三角恒等變換的綜合應(yīng)用】
【例9】（2024·上?！つM預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的在上單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．
【變式9-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，且
(1)求的解析式；
(2)設(shè)求函數(shù)在內(nèi)的值域．
【變式9-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求的值；
(2)設(shè)，求函數(shù)的最小值.
【變式9-3】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
(2)在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且，，，求的面積.
一、單選題
1．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知，，則（）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津北辰·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．若是偶函數(shù)，則，
D．在區(qū)間上的值域?yàn)?br/>二、多選題
9．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)，，則下列計算正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．若，則
10．（2023·遼寧大連·一模）在中，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江西·二模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則將的圖象向左平移個單位長度，能得到函數(shù)的圖象
B．若，則當(dāng)時，的值域?yàn)?br/>C．若在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)，則
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
三、填空題
12．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知，則 .
13．（2024·廣西南寧·一模）已知，則 ．
14．（2024·安徽·三模）已知，其中，且，則 .
四、解答題
15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
16．（2024·湖北·模擬預(yù)測）（1）求證：；
（2）求值：.
17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為銳角三角形，且．
(1)求的值；
(2)求的最小值．
18．（2023·山西大同·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中），直線、是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
19．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）若函數(shù)，其中.
(1)若，求；
(2)若在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求的取值范圍.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題4.3 三角恒等變換【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 兩角和與差的三角函數(shù)公式】 3
【題型2 兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】 4
【題型3 輔助角公式的運(yùn)用】 6
【題型4 角的變換問題】 8
【題型5 三角函數(shù)式的化簡】 10
【題型6 給角求值】 11
【題型7 給值求值】 13
【題型8 給值求角】 15
【題型9 三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 18
1、三角恒等變換
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)會推導(dǎo)兩角差的余弦公式
(2)會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式
(3)掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用 (4)能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡單的恒等變換 2022年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分 2023年新課標(biāo)I卷：第8題，5分 2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：第7題，5分 2024年新課標(biāo)I卷：第4題，5分 2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第13題，5分 三角恒等變換是三角函數(shù)的重要工具，是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)、重點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要考察三角函數(shù)的化簡求值、三角函數(shù)的變換等內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下；但在有關(guān)三角函數(shù)的解答題中有時也會涉及到三角恒等變換、合并化簡，此時試題難度中等，復(fù)習(xí)時需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，靈活變換.
【知識點(diǎn)1 三角恒等變換思想】
1．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式
(1)角的代換
代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用
尤為突出.
常用的角的代換形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代換
用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其
中要特別注意的是“1”的代換.
(3)輔助角公式
通過應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳?br/>(a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù) [或].這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個
三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.
【知識點(diǎn)2 三角恒等變換的應(yīng)用技巧】
1．兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧
(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.
(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.
2．兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形
運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.
3．輔助角公式的運(yùn)用技巧
對asinx+bcosx化簡時，輔助角的值如何求要清楚.
4．角的變換問題的解題策略：
(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個"已知角"的和或差的形式；
(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.
(3)常見的角變換：，，，，等.
【知識點(diǎn)3 三角恒等變換幾類問題的解題策略】
1．給值求值問題的解題思路
給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求
出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.
2．給角求值問題的解題思路
給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角
之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.
3．給值求角問題的解題思路
給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.
4．三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略
三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化
為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.
【方法技巧與總結(jié)】
1．.
2．降冪公式：，.
3．，，.
【題型1 兩角和與差的三角函數(shù)公式】
【例1】（2024·江西九江·三模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)，則原等式可化為，化簡后求出即可.
【解答過程】令，則，
所以由，
得，
即，
即，得，
所以，
故選：C.
【變式1-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)差角公式可得，即可利用同角關(guān)系求解.`
【解答過程】由得，解得，
故，結(jié)合，故
由于，故 ，
故選：A.
【變式1-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)兩角和差的余弦公式化簡，再根據(jù)結(jié)合兩角差的余弦公式化簡即可得解.
【解答過程】由，
得，
故
所以
.
故選：C.
【變式1-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得，進(jìn)一步結(jié)合兩角和的正切公式即可得解.
【解答過程】由題意，即，
即，所以.
故選：B.
【題型2 兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】
【例2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角差的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值，注意角的范圍即可求解.
【解答過程】由，，得，，
∴，即，
∴，解得.
又，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故選：A.
【變式2-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由，兩邊平方相加得到，再利用二倍角的余弦公式求解.
【解答過程】解：因?yàn)椋?br/>所以，
兩式相加得：，即，
化簡得，
所以，
故選：A.
【變式2-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）若 ， 則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得，再由二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.
【解答過程】由 ，得，
所以，即，
所以．
故選：D．
【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，滿足，且，，則的值為（ ）
A．－2 B． C． D．2
【解題思路】
根據(jù)題意切化弦結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合運(yùn)算求解即可.
【解答過程】由，即，可得，
則，
可得，
因?yàn)?，即?br/>可得，
又因?yàn)椋?，所以?br/>故選：B．
【題型3 輔助角公式的運(yùn)用】
【例3】（2024·安徽合肥·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可求解.
【解答過程】由得，即，
所以，
故選：D.
【變式3-1】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用差角的余弦公式、輔助角公式化簡變形即得.
【解答過程】依題意，，
所以.
故選：D.
【變式3-2】（2024·湖北·二模）函數(shù)，當(dāng)取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由輔助角公式、誘導(dǎo)公式直接運(yùn)算即可求解.
【解答過程】，
其中，
而，
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，此時.
故選：B.
【變式3-3】（2024·陜西銅川·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用和差公式、輔助角公式化簡得，然后通過整體代換，根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求解.
【解答過程】，
.
故選：A.
【題型4 角的變換問題】
【例4】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．或
【解題思路】求出、的范圍，利用平方關(guān)系求出、，再由求出，結(jié)合的范圍可得答案.
【解答過程】因?yàn)?，所以?br/>所以，
因?yàn)?，，所以?br/>所以，
又由知
又因?yàn)椋?
故選：B.
【變式4-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知都是銳角，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，求得，再由的單調(diào)性，求得，利用兩角差的余弦公式，求得，結(jié)合余弦的倍角公式，即可求解.
【解答過程】由與均為銳角，且，所以，
因?yàn)?，可得，?br/>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，
因?yàn)?，所以?br/>所以，
則.
故選：A.
【變式4-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，均為銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用和對和進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解.
【解答過程】由題意，
又 ，
故，
即
又均為銳角，所以，
故，
故選：D.
【變式4-3】（2024·山西·三模）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)結(jié)合的范圍分析可得，，再根據(jù)結(jié)合的范圍分析可得，由結(jié)合兩角和差公式分析求解.
【解答過程】因?yàn)?，則，且，
則，可得，，
又因?yàn)椋瑒t，且，
可得，，
所以
.
故選：D.
【題型5 三角函數(shù)式的化簡】
【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】切化弦后通分，根據(jù)兩角和差的正余弦公式求解即可.
【解答過程】
.
故選：A.
【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）化簡：（ ）
A．4 B．2 C． D．
【解題思路】利用三角恒等變換的公式求解即可.
【解答過程】.
故選：A．
【變式5-2】（2023·吉林延邊·二模）下列化簡不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用三角恒等變換的知識進(jìn)行化簡，從而確定正確答案.
【解答過程】A選項(xiàng)，
，所以A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，
，B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯誤.
故選：D.
【變式5-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由同角的商數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式，降冪公式，誘導(dǎo)公式化簡求值即可．
【解答過程】
，
故選：A．
【題型6 給角求值】
【例6】（2024·遼寧·二模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意得到進(jìn)而得到，，從而有.
【解答過程】∵，
∴，
則，
，
∴
，
故選A.
【變式6-1】（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結(jié)合的范圍可確定最終結(jié)果.
【解答過程】且，，.
又，，.
當(dāng)時，
，
，，不合題意，舍去；
當(dāng)，同理可求得，符合題意.
綜上所述：.
故選：A.
【變式6-2】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知且．
(1)求，，；
(2)若為銳角，且，求．
【解題思路】
（1）二倍角公式直接求，由的正負(fù)判斷角的范圍，結(jié)合解出和的值.
（2）由的值和的范圍求出、的值，利用，結(jié)合兩角差的正弦公式即可求出的值.
【解答過程】（1）解：因?yàn)?，所以?br/>又，，，所以，則，，又，且，解得：，.
（2）因?yàn)榍?，所以，?br/>因?yàn)闉殇J角，，所以，
則
.
【變式6-3】（2024·浙江臺州·二模）已知函數(shù).
（ ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（ ）若，求的值.
【解題思路】（1）先用輔助角公式變形函數(shù)為，再把帶入函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，分離出即可得解；
（2）由，即，根據(jù)的范圍求出，帶入即可得解.
【解答過程】（Ⅰ）
令，
得，，
的單調(diào)增區(qū)間為，；
（Ⅱ），即，
，，
又，
所以，得
.
【題型7 給值求值】
【例7】（2024·河北保定·三模）已知銳角，（）滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用輔助角公式化簡已知函數(shù)，得到正弦型函數(shù)，再利用自變量的范圍得到函數(shù)是不單調(diào)的，所以自變量不相等但函數(shù)值相等的情形就是兩角互補(bǔ)，從而就可以通過運(yùn)算得到結(jié)果.
【解答過程】設(shè)，其中，，，
當(dāng)時，，
此時在，有增有減，
又因?yàn)椋?，所以，所以?br/>所以.
故選：D.
【變式7-1】（2024·遼寧丹東·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】解法1：令，，利用兩角和與差的正弦公式化簡即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用兩角和的正弦公式將展開，可得，再利用輔助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解.
【解答過程】解法1：由，得，
得，
得，所以，
所以．
解法2：將
展開得，
整理得，
即，
所以．
故選：A.
【變式7-2】（2024·貴州貴陽·二模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】拆分角度，再根據(jù)和差化積公式求得，由正切二倍角公式即可得所求.
【解答過程】由得
，，
兩式相除可得，
所以 .
故選：A．
【變式7-3】（2024·遼寧·二模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)兩角差的余弦公式化簡求出的關(guān)系，即可得解.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
所以.
故選：B.
【題型8 給值求角】
【例8】（2023·江蘇無錫·三模）已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角，再利用已知條件即可求解.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>又因?yàn)椋?br/>所以，
所以
因?yàn)?，所以?br/>所以，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)?，所?
故選：C.
【變式8-1】（23-24高三·全國·期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接利用三角函數(shù)恒等變換進(jìn)行湊角化簡，再根據(jù)，的范圍即可求出結(jié)果.
【解答過程】由已知可將，，
則，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以選項(xiàng)A，B錯誤，
即，則，所以．則C錯，D對，
故選：D.
【變式8-2】（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知，寫出符合條件的一個角的值為 （答案不唯一） .
【解題思路】根據(jù)題目條件得到和，從而求出，進(jìn)而求出角的值.
【解答過程】，
故，
，即，
故，
故，即，
則，
則 ，
可取.
故答案為：（答案不唯一）.
【變式8-3】（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則 .
【解題思路】根據(jù)三角恒等變化化簡可得，再結(jié)合，，解方程即可得的值.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以，即
又，，所以，
則可得，則故.
故答案為：.
【題型9 三角恒等變換的綜合應(yīng)用】
【例9】（2024·上?！つM預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的在上單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．
【解題思路】（1）利用二倍角公式及和差角公式化簡函數(shù)解析式，再求出相位的范圍，并借助正弦函數(shù)的性質(zhì)求出遞減區(qū)間.
（2）由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.
【解答過程】（1）依題意，
，
當(dāng)時，，由，得，
所以函數(shù)的在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）當(dāng)時，，又函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點(diǎn)，
即函數(shù)在只有兩個零點(diǎn)，
因此，解得，
所以的取值范圍為.
【變式9-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，且
(1)求的解析式；
(2)設(shè)求函數(shù)在內(nèi)的值域．
【解題思路】（1）根據(jù)最小正周期確定的值，再根據(jù)特殊值求解，即可得函數(shù)解析式；
（2）利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可.
【解答過程】（1）由周期，，
又得，即，因?yàn)椋裕?br/>從而．
（2）由題意，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>從而，則，所以的值域?yàn)椋?br/>【變式9-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求的值；
(2)設(shè)，求函數(shù)的最小值.
【解題思路】（1）先把函數(shù)化成的形式，在結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式求值；
（2）先化簡得表達(dá)式，用換元法把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題求解.
【解答過程】（1）因?yàn)? .
.
.
（2）因?yàn)椋海?
所以：.
設(shè)，則，且，
所以：，
當(dāng)時，.
所以的最小值為.
【變式9-3】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
(2)在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且，，，求的面積.
【解題思路】（1）對函數(shù)進(jìn)行化簡，用輔助角公式合為一個三角函數(shù)，相鄰兩條對稱軸之間的距離為即為半周期，可求出；
（2）由可得，由正弦定理求解即可.
【解答過程】（1）
，
∵，，，
∵，，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即的值域?yàn)?
（2）由，且，可得，
又由正弦定理知，，∴，
∴，由，
∴.
一、單選題
1．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先對進(jìn)行化簡整理，得到，求得結(jié)果.
【解答過程】
，
所以.
故選：A.
2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用兩角和差的正余弦公式展開，兩邊同除，得到.再利用兩角差的正切公式展開，將換成，化簡即可得到答案.
【解答過程】，所以，
兩邊同除，得到，即.
，.
故選：C.
3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解．
【解答過程】由，得，
，整理得，
即，由，得，
所以.
故選：D.
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡已知可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求值.
【解答過程】根據(jù)題意，
，
而
.
故選：D.
5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知，，則（）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知先利用和差角的正切公式進(jìn)行化簡可求，然后結(jié)合二倍角公式及同角基本關(guān)系對所求式子進(jìn)行化簡，即可求解.
【解答過程】因?yàn)?，?br/>所以，，
解得或（舍，
則
.
故選：A.
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)和差角公式，結(jié)合弦切互化，即可代入化簡求解.
【解答過程】由題得，
又，所以，所以，則.
故選:A.
7．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得，利用兩角和與差的正弦公式化簡，可得，根據(jù)角的范圍，即可得到答案.
【解答過程】因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)?，所以，，所以?br/>由，得，
即 ，
所以，所以．
又，所以．
故選：D.
8．（2024·天津北辰·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．若是偶函數(shù)，則，
D．在區(qū)間上的值域?yàn)?br/>【解題思路】A項(xiàng)，化簡函數(shù)求出，即可得出周期；B項(xiàng)，計算出函數(shù)為0時自變量的取值范圍，即可得出函數(shù)的對稱點(diǎn)，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，利用偶函數(shù)即可求出的取值范圍；D項(xiàng)，計算出時的范圍，即可得出值域.
【解答過程】由題意，
在中，
，
A項(xiàng)，，A正確；
B項(xiàng)，令, 得,
當(dāng)時,,
所以的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱,故B正確;
C項(xiàng)，是偶函數(shù)，
∴, ，
解得：, 故C正確；
D項(xiàng), 當(dāng) 時, ,
所以,
所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋蔇錯誤.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)，，則下列計算正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【解題思路】由兩角和差的余弦公式判斷A，利用二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系判斷B，化弦為切，結(jié)合兩角和差的正余弦公式求解判斷C，利用二倍角公式及三角恒等變換化簡求解判斷D.
【解答過程】對于A，因?yàn)?，，則，，故，
所以，正確；
對于B，因?yàn)椋裕?br/>而，所以，又，所以，，
所以，錯誤；
對于C，由得，，所以，
即，因?yàn)?，，所以?br/>則或，即或（不合題意，舍去），錯誤；
對于D，，
因?yàn)椋裕?br/>即，即，
所以，即，
因?yàn)?，所以?br/>所以，所以，正確.
故選：AD.
10．（2023·遼寧大連·一模）在中，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由化簡得到，再逐項(xiàng)判斷.
【解答過程】解：由，
因?yàn)?，所以?br/>所以，
所以，不一定為1，A錯；
因?yàn)椋?br/>∴，
從而有，所以B正確，
又，所以也不一定等于1，C錯；
而，D正確；
故選：BD.
11．（2024·江西·二模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則將的圖象向左平移個單位長度，能得到函數(shù)的圖象
B．若，則當(dāng)時，的值域?yàn)?br/>C．若在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)，則
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
【解題思路】利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．
【解答過程】
，
當(dāng)時，，則將的圖象向左平移個單位長度得到：
，故A正確；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故，則的值域?yàn)椋蔅錯誤；
令，，則，，
又，
若在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)，則，解得，故C錯誤；
若在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，又，所以，解得，
又，所以，
由可得，
要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故D正確．
故選：AD．
三、填空題
12．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知，則 .
【解題思路】直接用和差角公式展開再用二倍角公式計算即可.
【解答過程】 .
故答案為：.
13．（2024·廣西南寧·一模）已知，則 ．
【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦值可得，進(jìn)而可得.
【解答過程】由題意，，且，故.
故
.
故，.
故答案為：.
14．（2024·安徽·三模）已知，其中，且，則 .
【解題思路】由第一個已知條件得，結(jié)合二倍角公式進(jìn)一步得出，結(jié)合第二個已知條件可得關(guān)于的方程，由此即可求解.
【解答過程】依題意，，
，
所以，
所以 ，
而，
因?yàn)?，故?br/>則，
則，
即，
則
，
解得，故.
故答案為：.
四、解答題
15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
【解題思路】（1）根據(jù)及得到，根據(jù)半角公式求出，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到；
（2）先求出，從而求出，利用湊角法求出的值，得到答案.
【解答過程】（1）因?yàn)?，所?
又，所以，故.
因?yàn)椋?br/>所以，
則.
（2）由已知條件，得.
又，所以.
由，得.
所以
.
因?yàn)椋?，所以，所?
16．（2024·湖北·模擬預(yù)測）（1）求證：；
（2）求值：.
【解題思路】（1）先通分，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得證；
（2）根據(jù)（1）結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡即可.
【解答過程】（1）
；
（2）由（1）得：
.
17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為銳角三角形，且．
(1)求的值；
(2)求的最小值．
【解題思路】（1）利用三角形內(nèi)角和為，結(jié)合兩角和與差的正弦余弦公式將變形，求解即可；
（2）結(jié)合（1）把變形，整理得到關(guān)于正切的式子，令，，然后利用不等式求解最小值.
【解答過程】（1）因?yàn)椋?，?br/>在銳角中，因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以，
在銳角中，，為銳角，所以，
所以；
（2）由（1）知，所以，
即，
所以
，
令，，則，
所以原式
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，
即或，時等號成立，符合銳角三角形，所以原式的最小值為.
18．（2023·山西大同·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中），直線、是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【解題思路】（1）利用三角恒等變換得到，由題意得到函數(shù)的最小正周期，從而得到；
（2）先求出，再利用誘導(dǎo)公式得到答案.
【解答過程】（1），
設(shè)的最小正周期為，
因?yàn)橹本€、是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，
所以，
因?yàn)?，所以，解得?br/>（2），由得，
，
即.
19．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）若函數(shù)，其中.
(1)若，求；
(2)若在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求的取值范圍.
【解題思路】（1）先根據(jù)三角恒等變換公式化簡函數(shù)，再代入求值即可；
（2）整體換元，結(jié)合正弦函數(shù)圖象列不等式，分類求解即可.
【解答過程】（1）因?yàn)?br/>，
當(dāng)，所以，
所以
；
（2）由（1）知，
當(dāng)時，，
要使在上無零點(diǎn)，
則，，
解得，
則，故，
又，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，舍去.
綜上：的取值范圍為.
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