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專題4.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】 3
【題型2 三角函數(shù)的定義域、值域與最值】 5
【題型3 三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】 7
【題型4 三角函數(shù)的周期性問題】 9
【題型5 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】 11
【題型6 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 13
【題型7 三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】 16
【題型8 三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】 19
【題型9 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 21
1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)能畫出三角函數(shù)的圖象
(2)了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（小）值
(3)借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)及正切函數(shù)在上的性質(zhì) 2023年新課標(biāo)I卷：第15題，5分 2023年天津卷：第6題，5分 2024年新課標(biāo)I卷：第7題，5分 2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第9題，6分 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第13題，5分 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，其中三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高考考察的重心.從近幾年的高考情況來看，比較注重對三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系的考查，試題多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等或偏下.
【知識點(diǎn)1 三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】
1．三角函數(shù)的定義域的求解思路
求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.
2．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).
【知識點(diǎn)2 三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性的求解思路】
1．三角函數(shù)周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函數(shù)的周期時，可考慮用圖象法或定義法求周期.
2．三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心的求解策略
(1)對于可化為f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)對于可化為f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.
3．三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法
三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，
若y=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).
若y=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
【知識點(diǎn)3 三角函數(shù)的單調(diào)性問題的解題策略】
1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法
求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx+φ看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).
2．已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路
對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡捷.
【方法技巧與總結(jié)】
1．對稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期.
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期.
2．與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
(1)若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ=(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
【題型1 三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】
【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)判斷即可.
【解答過程】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br/>，
所以為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故排除A，C．
因?yàn)椋逝懦鼴．
故選：D．
【變式1-1】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解題思路】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個數(shù).
【解答過程】函數(shù)與都是偶函數(shù)，其中，，
在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如下圖，
由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)為6.
故選：D.
【變式1-2】（2024·山東·一模）函數(shù)，則的部分圖象大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及時函數(shù)值的正負(fù)，通過排除法得答案.
【解答過程】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，
即函數(shù)為偶函數(shù)，排除BD；
當(dāng)時，，排除C.
故選：A.
【變式1-3】（2023·河南鄭州·一模）已知函數(shù)，，下圖可能是下列哪個函數(shù)的圖像（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷.
【解答過程】對于，但定義域?yàn)椋瑵M足，為偶函數(shù).
同理可得：為奇函數(shù).
記，則
所以且，所以為非奇非偶函數(shù)；
同理可證：為非奇非偶函數(shù)；和為奇函數(shù).
由圖可知，圖像對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且.
顯然選項(xiàng)A，B對應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；
對C: ，為奇函數(shù).
當(dāng)時， ，故錯誤；
對D， ，為奇函數(shù).
當(dāng)時， .故正確.
故選：D.
【題型2 三角函數(shù)的定義域、值域與最值】
【例2】（2024·廣東湛江·二模）函數(shù)在上的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可容易求得結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)?，所以，所以，
故在上的值域?yàn)?
故選：B.
【變式2-1】（2024·河南鄭州·一模）已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意可得，再利用值域可限定，解得的取值范圍為.
【解答過程】由及可得，
根據(jù)其值域?yàn)椋遥?br/>由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得，
即可得，解得.
故選：B.
【變式2-2】（2024·安徽安慶·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在上沒有最小值，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先化簡解析式，根據(jù)對稱性可得，再結(jié)合最小值點(diǎn)即可求解.
【解答過程】，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以，
故，即，
當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值，
因?yàn)樵谏蠜]有最小值，
所以，即，
由解得，故，得.
故選：B.
【變式2-3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)的最大值為2，其圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則在區(qū)間上的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
【解題思路】利用題目條件求出的解析式，然后討論在上的單調(diào)性即可.
【解答過程】由條件知，，，
從而，，
所以，即，
又因?yàn)椋?
這說明，該函數(shù)在上遞增，在上遞減.
又，所以在區(qū)間上的最小值為.
故選：B.
【題型3 三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B．若是偶函數(shù)，則
C．在區(qū)間上的值域?yàn)?br/>D．的圖象關(guān)于直線對稱
【解題思路】代入驗(yàn)證法判斷函數(shù)的圖象的對稱中心和對稱軸，進(jìn)而判斷選項(xiàng)AD；求得t的值判斷選項(xiàng)B；求得在區(qū)間上的值域判斷選項(xiàng)C.
【解答過程】對于A：，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A正確．
對于B：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以，即，故B正確．
對于C：當(dāng)時，，
所以，
即在區(qū)間上的值域?yàn)椋蔆錯誤．
對于D：當(dāng)時，，
則的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確．
故選：C.
【變式3-1】（2024·貴州黔南·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可知：為函數(shù)的對稱軸，結(jié)合余弦函數(shù)對稱性分析求解.
【解答過程】由題意可知：為函數(shù)的對稱軸，
則，則，
對于選項(xiàng)A：令，解得，不合題意；
對于選項(xiàng)B：令，解得，符合題意；
對于選項(xiàng)C：令，解得，不合題意；
對于選項(xiàng)D：令，解得，不合題意；
故選：B.
【變式3-2】（2024·甘肅隴南·一模）下列函數(shù)圖象的對稱軸方程為的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸，利用整體代入的方法可求出A、C中函數(shù)的對稱軸方程，利用余弦函數(shù)的對稱軸，利用整體代入的方法可求出B、D中函數(shù)的對稱軸方程，即得答案.
【解答過程】對于A，，令，即，
即的對稱軸方程為，A錯誤；
對于B，，令，即，
即的對稱軸方程為，B正確；
對于C，，令，即，
即的對稱軸方程為，C錯誤；
對于D，，令，即，
即的對稱軸方程為，D錯誤；
故選：B.
【變式3-3】（2024·廣東佛山·二模）已知函數(shù)在有且僅有兩個零點(diǎn)，且，則圖象的一條對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由函數(shù)的零點(diǎn)情況，求出的取值范圍，再利用給定等式分析判斷函數(shù)圖象的對稱軸即可得解.
【解答過程】由函數(shù)在有且僅有兩個零點(diǎn)，
得，解得，則，
又，而，當(dāng)時，，，
由，得，當(dāng)時，，
即函數(shù)在有3個零點(diǎn)，不符合題意，
因此是函數(shù)圖象的一條對稱軸，即，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，均不符合題意；
當(dāng)時，，得，則圖象的對稱軸為.
故選：C.
【題型4 三角函數(shù)的周期性問題】
【例4】（2024·天津·一模）下列函數(shù)中，以為周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】結(jié)合函數(shù)周期性的定義與正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可得.
【解答過程】對A：，，故不以為周期，故A錯誤；
對B：，故以為周期，
當(dāng)時，，由在上單調(diào)遞減，
且，故在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對C：，，故不以為周期，故C錯誤；
對D：，故以為周期，
當(dāng)時，，由在上單調(diào)遞減，
但，故時，，
故在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：D.
【變式4-1】（2023·湖南長沙·一模）已知函數(shù)，若存在，當(dāng)時，，則函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可得出，結(jié)合，可得，再由三角函數(shù)最小正周期的公式即可得出答案.
【解答過程】因?yàn)榇嬖冢?dāng)時，，
所以，即，
又因?yàn)椋瑒t，所以，
所以函數(shù)的最小正周期為：，
故選：B.
【變式4-2】（2024·安徽馬鞍山·三模）記函數(shù) 的最小正周期為，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.
【解答過程】函數(shù)的最小正周期，則，解得；
又，即是函數(shù)的一條對稱軸，
所以，解得.
又，當(dāng)時，.
故選：C.
【變式4-3】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）定義運(yùn)算如果，，滿足等式，函數(shù)在單調(diào)遞增，則取最大值時，函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出函數(shù)的解析式，根據(jù)已知條件求出的值，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，可得出的最大值，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果.
【解答過程】，
因?yàn)椋裕?br/>而，所以，即，
當(dāng)時，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，解得，
當(dāng)取最大值時，的最小正周期，
故選：A．
【題型5 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】
【例5】（2024·青海·模擬預(yù)測）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)選項(xiàng)判斷.
【解答過程】令，，得，，
當(dāng)時，增區(qū)間是，當(dāng)時，增區(qū)間是，
其中只有是增區(qū)間的子集.
故選：C.
【變式5-1】（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得到最大值，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的最值結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得，即，進(jìn)而求的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)分析判斷.
【解答過程】因?yàn)樵谔幦〉玫阶畲笾担瑒t，
可得，解得，
所以，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，
令，可得，，
故ABC錯誤，D正確.
故選：D.
【變式5-2】（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式，得到，結(jié)合在上是增函數(shù)，即可求解.
【解答過程】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，
因?yàn)椋以谏鲜窃龊瘮?shù)
所以，即.
故選：D.
【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則使得和都單調(diào)遞增的一個區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項(xiàng)是否正確.
【解答過程】當(dāng)從增加到時，從0遞減到，從遞增到1，
所以從遞減到，從遞減到，A錯誤；
當(dāng)從增加到時，從遞減到，從1遞減到，
所以從遞增到，從遞減到，B錯誤；
當(dāng)從增加到時，從遞減到，從遞減到，
所以從遞增到，從遞減到，C錯誤；
當(dāng)從增加到時，從-1遞增到，從遞減到0，
所以從遞增到，從遞增到，D正確；
故選：D.
【題型6 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】
【例6】（2023·天津·二模）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由的范圍確定的范圍，分別討論單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的情況，根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可構(gòu)造不等式組求得的范圍，進(jìn)而確定最大值.
【解答過程】當(dāng)時，；
若在上單調(diào)遞增，則，
解得：，又，若不等式組有解，則
解得：，，則；
若在上單調(diào)遞減，則，
解得：，又，若不等式組有解，則，
解得：，與矛盾，在上單調(diào)遞減不成立；
綜上所述：，則的最大值為.
故選：B.
【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在上存在對稱軸，求出對稱軸方程，建立不等式組求解即可.
【解答過程】已知，
令，解得
則函數(shù)對稱軸方程為
函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，
，解得，
又由，且，得，
故僅當(dāng)時，滿足題意.
故選：C.
【變式6-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，，在上單調(diào)，則的最大值為（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．7
【解題思路】根據(jù)可知直線為圖象的對稱軸，根據(jù)可得的對稱中心為，結(jié)合三角函數(shù)的周期性可得，再根據(jù)在上單調(diào)，可得，逐一驗(yàn)證當(dāng)取到最大值11,9,7時，求解，檢驗(yàn)在上單調(diào)性看是否滿足，即可得答案.
【解答過程】，∴直線為圖象的對稱軸，
，的對稱中心為，
，
，
．
又在上單調(diào)，．
，，
又，
∴當(dāng)時，，因?yàn)橹本€為圖象的對稱軸，
所以，，
解得，，又，所以，則，
當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，舍去；
當(dāng)時，，因?yàn)橹本€為圖象的對稱軸，
所以，，
解得，，又，所以，則，
當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，舍去；
∴當(dāng)時，，因?yàn)橹本€為圖象的對稱軸，
所以，，
解得，，又，所以，則，
當(dāng)時，，則在上單調(diào).
則的最大值為7．
故選：D.
【變式6-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）定義設(shè)函數(shù)，可以使在上單調(diào)遞減的的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分段寫出函數(shù)解析式，并確定單調(diào)遞減區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.
【解答過程】依題意，，
函數(shù)的遞減區(qū)間是，，，
于是或，，
即，，解得，由，得，無解；
或，，解得，由，得，則或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，選項(xiàng)C滿足，ABD不滿足.
故選：C.
【題型7 三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】
【例7】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知函數(shù)圖象的一個對稱中心是，點(diǎn)在的圖象上，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．直線是圖象的一條對稱軸
C．在上單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)
【解題思路】
由可得，由對稱中心可求得，從而知函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可.
【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上， 所以.又，所以.
因?yàn)閳D象的一個對稱中心是，所以，，
則，.又，所以，則，A正確.
，則直線不是圖象的一條對稱軸，B不正確.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，C正確.
，是奇函數(shù)，D正確.
故選：B.
【變式7-1】（2024·天津·模擬預(yù)測）已知為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論錯誤的個數(shù)為（ ）
①；
②若的最小正周期為，則；
③若在區(qū)間上有且僅有3個最值點(diǎn)，則的取值范圍為；
④若，則的最小值為2．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【解答過程】對于①：若，為偶函數(shù)，
則，即，又，所以，故①正確；
對于②：若的最小正周期為且，則，所以，故②正確；
對于③：由，，得，
若在區(qū)間上有且僅有個最值點(diǎn)，
則，解得，故③正確；
對于④：因?yàn)椋簦?br/>則或，，
解得或，
又，所以的最小值為，故④錯誤.
故選：A.
【變式7-2】（2024·河北唐山·一模）已知函數(shù)的最小正周期為π，則（ ）
A．在單調(diào)遞增 B．是的一個對稱中心
C．在的值域?yàn)?D．是的一條對稱軸
【解題思路】由函數(shù)的最小正周期為π，求出，再代入化簡，畫出的圖象，再對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為π，所以，
所以函數(shù)
即，作出函數(shù)的圖象，
如下圖所示：
對于A，由圖可知，在單調(diào)有增有減，故A錯誤；
對于B，由圖象可知，無對稱中心，故B錯誤；
對于C，由圖象可知，為偶函數(shù)，當(dāng)，
，所以，
所以，所以在的值域?yàn)椋蔆正確；
對于D，由圖象可知，的對稱軸為，故D錯誤.
故選：C.
【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：
①的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；
②函數(shù)的最小正周期為；
③函數(shù)在上單調(diào)遞減；
④對于函數(shù)．
其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【解題思路】利用中心對稱的性質(zhì)驗(yàn)證判斷A；求出周期判斷B；探討函數(shù)單調(diào)性判斷C；計(jì)算判斷D.
【解答過程】對于①，由得的定義域?yàn)椋?br/>，
因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故①正確；
對于②，因?yàn)椋?br/>所以是的周期，故②錯誤；
對于③，當(dāng)時，，所以，
故，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，③正確；
對于④，由上知，當(dāng)時，，
，
因此，故④正確.
故選：C.
【題型8 三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】
【例8】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)給定周期求得，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點(diǎn)所在區(qū)間列出不等式組，然后結(jié)合已知求出范圍.
【解答過程】由函數(shù)的最小正周期為，得，而，解得，
則，由，
得，又在上單調(diào)遞減，
因此，且，解得①，
由余弦函數(shù)的零點(diǎn)，得，即，
而在上存在零點(diǎn)，則，
于是②，又，聯(lián)立①②解得，
所以的取值范圍是.
故選：B.
【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且在區(qū)間上有5個零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)復(fù)合型三角函數(shù)最小正周期的計(jì)算公式，結(jié)合其單調(diào)性和零點(diǎn)，可得答案.
【解答過程】因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期．
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，可得；
因?yàn)樵趨^(qū)間上有5個零點(diǎn)，所以，即，可得；
綜上，．
故選：D．
【變式8-2】（2024·全國·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先由零點(diǎn)個數(shù)求出，再用整體法得到不等式組，求出的取值范圍.
【解答過程】因?yàn)椋渲校獾茫海?br/>則，要想保證函數(shù)在恰有三個零點(diǎn)，
滿足①，，令，解得：；
或要滿足②，，令，解得：；
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，其他情況均不滿足條件，
綜上：的取值范圍是.
故選：C.
【變式8-3】（2023·四川雅安·一模）已知函數(shù)（且），設(shè)T為函數(shù)的最小正周期，，若在區(qū)間有且只有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意可確定為函數(shù)的最小正周期，結(jié)合求出，再根據(jù)在區(qū)間有且只有三個零點(diǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)列出不等式，求得答案.
【解答過程】由題意知為函數(shù)的最小正周期，故，
由得，即，
由于，故，
在區(qū)間有且只有三個零點(diǎn)，故，
且由于在上使得的x的值依次為，
故，解得，即，
故選：D.
【題型9 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【例9】（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)，記，，，.
(1)若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，求和的值；
(2)若，，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）利用三角函數(shù)的周期公式求得，再利用三角函數(shù)的值域與周期性求得，從而得解；
（2）根據(jù)題意，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為在有解，從而利用參變分離法或二次函數(shù)根的布分即可得解.
【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以，
則當(dāng)時，，
所以，得，
因?yàn)椋匀〉茫?br/>（2）解法一：
當(dāng)，時，，，
設(shè)，
由題意得，在有解，化簡得，
又在上單調(diào)遞減，
所以，則.
解法二：
當(dāng)，時，，，
設(shè)，
由題意得，在有解，
記，對稱軸為，
則由根的分布可得，即，解得，
所以.
【變式9-1】（2023·北京海淀·三模）已知函數(shù).在下列條件① 條件② 條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知.
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值.
條件①：；條件②：最大值與最小值之和為0；條件③：最小正周期為.
【解題思路】（1）選擇適合的條件求出和的值，得出函數(shù)的表達(dá)式，即可求出的值；
（2）求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)即可求出實(shí)數(shù)的最大值.
【解答過程】（1）由題意，
在中，
選條件①②：
由①知，，所以；
由②知，，所以；矛盾.
∴函數(shù)不能同時滿足條件①和②，
∴不能選①和②.
選條件①③：
由條件③得，，又因?yàn)椋?
由①知，，所以.
則.
所以
選條件②③：
由于最小正周期為，所以，所以；
由最大值與最小值之和為0，
，
故，解得.
所以.故.
（2）由題意及（1）得，
選條件①③：
在中，
令，
∴，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，此時，
所以，
∴的最大值為.
選條件②③：
令，所以，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，此時，
∴的最大值為.
【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為常數(shù).
(1)證明：的圖象關(guān)于直線對稱.
(2)設(shè)在上有兩個零點(diǎn)，.
（ⅰ）求的取值范圍；
（ⅱ）證明：.
【解題思路】（1）利用平方關(guān)系將函數(shù)變形為，再計(jì)算即可證明；
（2）（ⅰ）令則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上有兩個不相等實(shí)數(shù)根，即可得到，從而求出參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）令，，根據(jù)韋達(dá)定理得到，將兩邊平方可得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
【解答過程】（1）因?yàn)?br/>，
因?yàn)?，
所以的圖象關(guān)于直線對稱.
（2）（ⅰ）令，因?yàn)椋裕瑒t，
則，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以關(guān)于的方程在上有兩個不相等實(shí)數(shù)根，
所以，解得，
即的取值范圍為.
（ⅱ）令，，則，為關(guān)于的方程的兩根，
所以，，
所以，
所以，即，
因?yàn)椋?br/>所以，所以，
由于，，所以，
則，即，
又在上單調(diào)遞減，所以，即.
【變式9-3】（23-24高一下·江蘇鹽城·開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，，求的對稱中心；
(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個零點(diǎn)，若函數(shù)在（且）上恰好有10個零點(diǎn)，求的最小值；
(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）由，可求得函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而確定參數(shù)的值，再由整體代換即可求得對稱中心；（2）由三角函數(shù)的平移變換求得的解析式，再由零點(diǎn)的定義確定參數(shù)的值，結(jié)合圖象可得的最小值；（3）將所給條件轉(zhuǎn)化為和的值域的包含關(guān)系，即可求得參數(shù)的取值范圍．
【解答過程】（1）∵的最小正周期為，
又∵，，∴的最小正周期是，
故，解得，
當(dāng)時，，由，的對稱中心為；
當(dāng)時，，由，的對稱中心為；
綜上所述，的對稱中心為或.
（2）∵函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，
∴.
又∵是的一個零點(diǎn)，
，即，
∴或，
解得或，
由可得
∴，最小正周期.
令，則
即或，解得或，；
若函數(shù)在（且）上恰好有10個零點(diǎn)，故
要使最小，須、恰好為的零點(diǎn)，故.
（3）由（2）知，對任意，存在，使得成立，則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
由可得，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
一、單選題
1．（2024·福建泉州·一模）已知函數(shù)的周期為，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)周期排除AB，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷CD即可.
【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，
所以當(dāng)時，對正、余弦函數(shù)來說，，故排除AB，
當(dāng)時，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故C正確，D錯誤.
故選：C.
2．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，并判斷時，函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷選項(xiàng).
【解答過程】，
定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，
由，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
當(dāng)時，，因?yàn)闉樯蠝p函數(shù)，為上的增函數(shù)，
則為上的減函數(shù)，且當(dāng)，，則當(dāng)，
，故，排除A.
故選：C.
3．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，若當(dāng)時，的最小值是，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用正弦型函數(shù)的對稱性可得，再利用正弦型函數(shù)的最小值即可得解.
【解答過程】由題意可得，則，
又，故，即，
當(dāng)時，，又的最小值是，
則，故，即的最大值是.
故選：B.
4．（2024·廣東汕頭·三模）已知 A，B，C是直線與函數(shù)（，）的圖象的三個交點(diǎn)，如圖所示．其中，點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，若，則（ ）
A． B．
C．的圖象關(guān)于中心對稱 D．在上單調(diào)遞減
【解題思路】根據(jù)給定條件，可得，進(jìn)而求得，結(jié)合，得到，再逐項(xiàng)分析判斷即可.
【解答過程】由，得，而，且點(diǎn)A在圖象的下降部分，則，
于是，顯然是直線與的圖象的三個連續(xù)的交點(diǎn)，
由點(diǎn)橫坐標(biāo)，即，解得，，
解得，，則，而，因此，所以，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，的圖象關(guān)于不對稱，C錯誤；
對于D，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值，
又，因此在上不單調(diào)，D錯誤.
故選：B.
5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且是函數(shù) 相鄰的兩個零點(diǎn)，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】對于A，由判斷，對于B，由題意可得，結(jié)合周期公式可求出，對于C，由可求出，對于D，求的值可判斷是否為對稱軸即可.
【解答過程】對于A，因?yàn)椋裕蔄正確；
對于B，，且是函數(shù)相鄰的兩個零點(diǎn)，
所以其周期，所以，故B正確；
對于C，令 ，則，
又因?yàn)椋裕蔆錯誤；
對于D，由以上可知，所以，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故D正確.
故選：C.
6．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：
（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點(diǎn)
（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【解答過程】對于（1），由，
所以不是函數(shù)的圖象的對稱中心，所以（1）錯誤；
對于（2）中，由，
所以不是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以（2）錯誤；
對于（3）中，令，可得，
當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；
當(dāng)時，可得，所以在內(nèi)，函數(shù)有4個零點(diǎn)，所以（3）正確；
對于（4）中，由，可得，此時函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以（4）錯誤.
故選：A.
7．（2024·青海海南·二模）已知函數(shù)，且.若的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出函數(shù)的周期，再求出，求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【解答過程】函數(shù)，且，的最小值為，
則，所以，故，所以，所以，
令得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：A.
8．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）在區(qū)間上只有1個零點(diǎn)，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由范圍求得的范圍，結(jié)合整體思想轉(zhuǎn)化為在上只有1個零點(diǎn)，在上單調(diào)遞增，求解即可.
【解答過程】當(dāng)時，，
因?yàn)樵谏现挥?個零點(diǎn)，
所以，解得，
當(dāng)時，，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，解得.
綜上可得.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·吉林·二模）已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．方程的解集為
D．是函數(shù)是奇函數(shù)的充分不必要條件
【解題思路】對于A：根據(jù)圖象結(jié)合五點(diǎn)法求相應(yīng)參數(shù)即可；對于B：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于C：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對于D：以為整體，根據(jù)正弦函數(shù)奇偶性結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【解答過程】由圖象可得：，且圖象過點(diǎn)，
則，即，
且，可得，故A正確；
則，
由結(jié)合圖象可得，
則，解得，
所以.
對于B：因?yàn)椋瑒t，
且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；
對于C：令，即，
則或，
解得或，
所以方程的解集為或，故C錯誤；
對于D：若，則為奇函數(shù)，即充分性成立；
若為奇函數(shù)，
則，解得，
可知不一定得到，故必要性不成立；
綜上所述：是函數(shù)是奇函數(shù)的充分不必要條件，故D正確；
故選：ABD.
10．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為2
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．不等式的解集為
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
【解題思路】對于A，由正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解，對于B，由，可求出對稱軸方程判斷，對于C，由求解即可，對于D，先由求出的遞增區(qū)間，再由為函數(shù)增區(qū)間的子集可求出的取值范圍.
【解答過程】對于A，的最大值為，故A錯誤；
對于B，令，得，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；
對于C，不等式可化為，則，解得，
因此原不等式的解集為，故C正確；
對于D，由，，解得.
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以，解得，故D正確.
故選：BCD.
11．（2024·貴州貴陽·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．在上的值域?yàn)?br/>C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【解題思路】根據(jù)正切型三角函數(shù)的圖象性質(zhì)確定其最小正周期，從而得的值，再根據(jù)函數(shù)特殊點(diǎn)求得的值，從而可得解析式，再由正切型三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【解答過程】函數(shù)的最小正周期為，則有，即，
由函數(shù)的圖象可知：，即，
由圖象可知：，所以，因此不正確；
關(guān)于， 當(dāng)時，，故在處無定義，
故B錯誤.
因?yàn)椋?br/>所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；
，
當(dāng)時， ，
當(dāng)時， ，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時，則有，故D正確.
故選：CD．
三、填空題
12．（2024·河北衡水·三模）已知是函數(shù)的一條對稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個對稱中心，則的取值范圍為 ．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的對稱軸求出，求出函數(shù)在原點(diǎn)附近的對稱中心，由題意列不等式，即可求得答案.
【解答過程】由題意知是函數(shù)的一條對稱軸，
故，解得，，因?yàn)椋剩?br/>故，令，解得，
原點(diǎn)附近的6個對稱中心分別為，
若3個對稱中心恰好是，
則，則t不存在，不合題意；
若3個對稱中心恰好是，
則，則；
故當(dāng)時，符合題意．
故t的取值范圍為，
故答案為：.
13．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為 .
【解題思路】結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可得.
【解答過程】由，得，
由，得；
由在上恰有兩個零點(diǎn)可得，
解得.

故答案為：.
14．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)圖象的一個對稱中心為，且在上單調(diào)遞增，則的最小值為 .
【解題思路】根據(jù)題意，由的一個對稱中心為，可得，，再由在上單調(diào)遞增，得，，由上兩式可得答案.
【解答過程】因?yàn)榈囊粋€對稱中心為，所以，，
即，，①；
又，則，在上單調(diào)遞增，
所以，，
即，解得，，②；
又，結(jié)合①②可得，的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的值，
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解題思路】
（1）將代入化簡即可得出答案；
（2）化簡，求的單調(diào)遞增區(qū)間即求的單調(diào)遞減區(qū)間，令，即可得出答案.
【解答過程】（1）.
（2） ,
求的單調(diào)遞增區(qū)間即求的單調(diào)遞減區(qū)間，
令，
解得：，
所以所求的單調(diào)增區(qū)間為.
16．（2023·廣東佛山·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中為正整數(shù)，，且.
(1)求圖象的一個對稱中心；
(2)若，求.
【解題思路】（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間，以及可得，進(jìn)而可得對稱中心；
（2）先根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出的可能取值，然后根據(jù)得到和的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系以及的可能取值對照驗(yàn)證計(jì)算即可.
【解答過程】（1）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，
且，，，
所以，
所以圖像的一個對稱中心是；
（2）由題設(shè)，的最小正周期，，
故，由，得，
由為的一個對稱中心，
所以，①.
因?yàn)椋曰颍?
若②，①-②得，
即.
不存在整數(shù)，，使得.
若③，①-③得，
即，
不存在整數(shù)，，使得，當(dāng)時，.
此時，由，
得.
17．（2024·廣東佛山·一模）記為函數(shù)的最小正周期，其中，且，直線為曲線的對稱軸.
(1)求；
(2)若在區(qū)間上的值域?yàn)椋蟮慕馕鍪?
【解題思路】
（1）根據(jù)題意由可得，再結(jié)合為曲線的對稱軸即可確定的值；
（2）由題意確定區(qū)間的長度小于一個周期，即可確定，分類討論，討論函數(shù)在何時取最值，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出，經(jīng)驗(yàn)證即可確定其值，從而求得答案.
【解答過程】（1）由題意知為函數(shù)的最小正周期，故；
由得，而，故或；
又直線為曲線的對稱軸，即，
則，結(jié)合，可知；
（2）由（1）可知，在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br/>可知區(qū)間的長度小于一個周期，即，
由，得，
①若，則，即，
則，此時，函數(shù)最大值為1，不符合題意；
②若，則，即，
則或，
當(dāng)時，，函數(shù)取不到最大值，不符合題意，
當(dāng)時，，函數(shù)最大值為，不符合題意；
③若，則或，
則或，則，
此時，函數(shù)取不到最小值，不符合題意；
④若，則或，
則或，則或或，
當(dāng)時，，能滿足題意，此時；
當(dāng)時，，函數(shù)最大值為1，不符合題意，
當(dāng)時，由上面分析可知不符合題意，
綜合以上可知.
18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且點(diǎn)恰好是的圖象中距離點(diǎn)最近的最高點(diǎn)，試求的解析式；
(2)若，且在上單調(diào)，在上恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.
【解題思路】（1）依題意可得函數(shù)的周期求出，又過點(diǎn)B取最值求；
（2）根據(jù)求，由已知條件及正弦函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍.
【解答過程】（1）依題意可知：，即，所以，
又過點(diǎn)，所以,即，
又，所以，即.
（2）因?yàn)椋遥裕矗?br/>又當(dāng)時恰有兩個零點(diǎn)，，
依題意：，即，
又在上單調(diào)，所以，
依題意;若，即，所以，因，故不合題意；
若，即，所以，因，故；
若，即，顯然不等式組無解；
綜上的取值范圍為.
19．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.
(1)求的解析式：
(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值.
條件①：為奇函數(shù)：
條件②：圖像上相鄰兩個對稱中心間的距離為：
條件③：圖像的一條對稱軸為.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
【解題思路】（1）可以選擇條件①②或條件②③，先由周期計(jì)算，再計(jì)算即可；
（2）先求出整體的范圍，再結(jié)合單調(diào)性求最大值即可.
【解答過程】（1）選①②:由①為奇函數(shù)，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，解得
又，所以.
由條件②得，解得所以；
選②③
由條件②得，解得.
由條件③中一條對稱軸為，可得，，
解得，，
又，所以，所以
（2）
..
因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)時，即時取得最大值，最大值為.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題4.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】 3
【題型2 三角函數(shù)的定義域、值域與最值】 4
【題型3 三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】 4
【題型4 三角函數(shù)的周期性問題】 5
【題型5 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】 5
【題型6 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 6
【題型7 三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】 6
【題型8 三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】 7
【題型9 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 8
1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)能畫出三角函數(shù)的圖象
(2)了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（小）值
(3)借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)及正切函數(shù)在上的性質(zhì) 2023年新課標(biāo)I卷：第15題，5分 2023年天津卷：第6題，5分 2024年新課標(biāo)I卷：第7題，5分 2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第9題，6分 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第13題，5分 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，其中三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高考考察的重心.從近幾年的高考情況來看，比較注重對三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系的考查，試題多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等或偏下.
【知識點(diǎn)1 三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】
1．三角函數(shù)的定義域的求解思路
求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.
2．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).
【知識點(diǎn)2 三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性的求解思路】
1．三角函數(shù)周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函數(shù)的周期時，可考慮用圖象法或定義法求周期.
2．三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心的求解策略
(1)對于可化為f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)對于可化為f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.
3．三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法
三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，
若y=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).
若y=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
【知識點(diǎn)3 三角函數(shù)的單調(diào)性問題的解題策略】
1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法
求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx+φ看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).
2．已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路
對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡捷.
【方法技巧與總結(jié)】
1．對稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期.
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期.
2．與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
(1)若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ=(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
【題型1 三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】
【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【變式1-2】（2024·山東·一模）函數(shù)，則的部分圖象大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023·河南鄭州·一模）已知函數(shù)，，下圖可能是下列哪個函數(shù)的圖像（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 三角函數(shù)的定義域、值域與最值】
【例2】（2024·廣東湛江·二模）函數(shù)在上的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·河南鄭州·一模）已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·安徽安慶·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在上沒有最小值，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)的最大值為2，其圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則在區(qū)間上的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
【題型3 三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B．若是偶函數(shù)，則
C．在區(qū)間上的值域?yàn)?br/>D．的圖象關(guān)于直線對稱
【變式3-1】（2024·貴州黔南·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·甘肅隴南·一模）下列函數(shù)圖象的對稱軸方程為的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2024·廣東佛山·二模）已知函數(shù)在有且僅有兩個零點(diǎn)，且，則圖象的一條對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 三角函數(shù)的周期性問題】
【例4】（2024·天津·一模）下列函數(shù)中，以為周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·湖南長沙·一模）已知函數(shù)，若存在，當(dāng)時，，則函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·安徽馬鞍山·三模）記函數(shù) 的最小正周期為，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）定義運(yùn)算如果，，滿足等式，函數(shù)在單調(diào)遞增，則取最大值時，函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】
【例5】（2024·青海·模擬預(yù)測）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得到最大值，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則使得和都單調(diào)遞增的一個區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【題型6 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】
【例6】（2023·天津·二模）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，，在上單調(diào)，則的最大值為（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．7
【變式6-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）定義設(shè)函數(shù)，可以使在上單調(diào)遞減的的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】
【例7】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知函數(shù)圖象的一個對稱中心是，點(diǎn)在的圖象上，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．直線是圖象的一條對稱軸
C．在上單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)
【變式7-1】（2024·天津·模擬預(yù)測）已知為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論錯誤的個數(shù)為（ ）
①；
②若的最小正周期為，則；
③若在區(qū)間上有且僅有3個最值點(diǎn)，則的取值范圍為；
④若，則的最小值為2．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式7-2】（2024·河北唐山·一模）已知函數(shù)的最小正周期為π，則（ ）
A．在單調(diào)遞增 B．是的一個對稱中心
C．在的值域?yàn)?D．是的一條對稱軸
【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：
①的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；
②函數(shù)的最小正周期為；
③函數(shù)在上單調(diào)遞減；
④對于函數(shù)．
其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【題型8 三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】
【例8】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且在區(qū)間上有5個零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（2024·全國·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】（2023·四川雅安·一模）已知函數(shù)（且），設(shè)T為函數(shù)的最小正周期，，若在區(qū)間有且只有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型9 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【例9】（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)，記，，，.
(1)若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，求和的值；
(2)若，，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式9-1】（2023·北京海淀·三模）已知函數(shù).在下列條件① 條件② 條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知.
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值.
條件①：；條件②：最大值與最小值之和為0；條件③：最小正周期為.
【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為常數(shù).
(1)證明：的圖象關(guān)于直線對稱.
(2)設(shè)在上有兩個零點(diǎn)，.
（ⅰ）求的取值范圍；
（ⅱ）證明：.
【變式9-3】（23-24高一下·江蘇鹽城·開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，，求的對稱中心；
(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個零點(diǎn)，若函數(shù)在（且）上恰好有10個零點(diǎn)，求的最小值；
(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
一、單選題
1．（2024·福建泉州·一模）已知函數(shù)的周期為，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，若當(dāng)時，的最小值是，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·廣東汕頭·三模）已知 A，B，C是直線與函數(shù)（，）的圖象的三個交點(diǎn)，如圖所示．其中，點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，若，則（ ）
A． B．
C．的圖象關(guān)于中心對稱 D．在上單調(diào)遞減
5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且是函數(shù) 相鄰的兩個零點(diǎn)，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：
（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點(diǎn)
（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·青海海南·二模）已知函數(shù)，且.若的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）在區(qū)間上只有1個零點(diǎn)，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·吉林·二模）已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．方程的解集為
D．是函數(shù)是奇函數(shù)的充分不必要條件
10．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為2
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．不等式的解集為
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
11．（2024·貴州貴陽·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．在上的值域?yàn)?br/>C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
三、填空題
12．（2024·河北衡水·三模）已知是函數(shù)的一條對稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個對稱中心，則的取值范圍為 ．
13．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為 .
14．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)圖象的一個對稱中心為，且在上單調(diào)遞增，則的最小值為 .
四、解答題
15．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的值，
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
16．（2023·廣東佛山·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中為正整數(shù)，，且.
(1)求圖象的一個對稱中心；
(2)若，求.
17．（2024·廣東佛山·一模）記為函數(shù)的最小正周期，其中，且，直線為曲線的對稱軸.
(1)求；
(2)若在區(qū)間上的值域?yàn)椋蟮慕馕鍪?
18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且點(diǎn)恰好是的圖象中距離點(diǎn)最近的最高點(diǎn)，試求的解析式；
(2)若，且在上單調(diào)，在上恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.
19．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.
(1)求的解析式：
(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值.
條件①：為奇函數(shù)：
條件②：圖像上相鄰兩個對稱中心間的距離為：
條件③：圖像的一條對稱軸為.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
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